Una temporada Ange y mis hijas estuvieron en San Antonino mientras yo seguía trabajando en la Universidad de la Cañada. Varios fines de semana hice el viaje entre Oaxaca de Juárez y Teotitlán, y en un promedio con una desviación estándar muy pequeña (menor a los diez minutos), me tomaba tres horas completarlo.
Para no dormirme mientras manejaba, hice una lista de reproducción musical en mi celular, con la duración apropiada. Inevitablemente, tuve un déjà vu: pasaba por el mismo punto de la carretera (cerca de Nacaltepec) escuchando exactamente la misma canción. Y cuando digo canción, es porque lo es: "Right here, right now", interpretada por Giorgio Moroder y Kylie Minogue, del álbum "Déjà vu" del compositor (!).
¡Por supuesto! Si $t_{1}:[0,1]\to [0:3]$ es el instante $t_{1}$ de mi lista de reproducción que iba escuchando al pasar por el punto $x$ (donde el $0$ está en Oaxaca y el $1$ está en Teotitlán) sobre la carretera durante la ida, y $t_{2}(x)$ es lo análogo pero de regreso, podemos definir
\[
f(x) = t_{1}(x)-t_{2}(x)
\]
y entonces
\[
f(0) = t_{1}(0)-t_{2}(0) = 0-3 = -3, f(1) = t_{1}(1)-t_{2}(1) = 3-0 = 3
\]
pues con $t_{2}$, cuando llego a Oaxaca desde Teotitlán, ya he escuchado toda la lista, lo mismo que con $t_{1}$ al llegar a Teotitlán.
Puesto que no me teletransporto ni salto elementos de la lista de reproducción, tanto $t_{1}$ como $t_{2}$ son continuas y por lo tanto $f$ también. Por el teorema del valor intermedio, se sigue que existe un punto $\xi$ sobre la carretera tal que $f(\xi) =0$, esto es
\[
0 = t_{1}(\xi)-t_{2}(\xi)
\]
o sea $t_{1}(\xi) = t_{2}(\xi)$.
Vale señalar que no importa entonces si hago algunas paradas en el viaje, o si realizo diferentes patrones de aceleración y frenado, siempre que idas y vueltas tomen el mismo tiempo. Aunque eso sí va a afectar a cuál momento de mi lista le toca la coincidencia.
Naturalmente, esto es una variación del tema del monje que sube y baja la montaña y pasa por el mismo lugar a la misma hora, pero midiendo el tiempo con música en lugar de con un puro pulso de reloj, lo que probablemente aumenta el dramatismo de la situación. Además, aquí pusimos al tiempo en función de la posición, y no al revés, como tal vez sea más intuitivo para el monje; pero no para mí, porque el viaje podía ser oportuno a diferentes horas del día. Algo me dice que de manera semejante se le ocurrió a alguien ese ejemplo.
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