martes, 22 de enero de 2013

Cayó uno de los antiguos de Erdős

Leyendo el "Additive Combinatorics" de Tao y Vu, batallé algo para entender el argumento por el cual un conjunto finito de enteros no nulos $S$ debe contener al menos un subconjunto $T$ con más de la tercera parte de sus elementos y que sea asúmico; es decir, que no existan $x,y,z\in T$ tales que $x+y=z$. (Esto de asúmico es un neologismo que estoy introduciendo; no me extrañaría que lo llamaran "sum-free" tal cual en español).

Si $f(n)$ es el $k$ más grande tal que cada subconjunto de $n$ enteros no nulos contiene un conjunto asúmico de tamaño $k$, lo anterior equivale a que $f(n)\geq n/3$. Erdős preguntó hace mucho tiempo hasta dónde se podía mejorar esto. Bourgain conserva desde hace más de 20 años el récord de la cota inferior $(n+2)/3$ para $f(n)$. Por arriba, construcciones ingeniosas han servido para mostrar sucesivamente que, definiendo $\sigma = \lim_{n\to \infty}f(n)/n$, resulta que $\sigma\leq 7/15,3/7,12/29,2/5,11/28$, donde la última cota había sido obtenida apenas hace 3 años por Mark Lewko después de una extensa búsqueda computacional. Me ilusionaba que, en cuanto pudiera dejar algunas cosas que estoy investigando en claro, podría lanzarme a construir conjuntos para tratar de romper la actual marca.

Pero eso, en rigor, sería superfluo, porque descubrí en arXiv que Eberhard, Green (el Green del teorema de Green-Tao) y Manners acaban de demostrar que se pueden construir conjuntos que acercan a $\sigma$ tanto como se quiera a $1/3$. Creo que todavía sería interesante ver si se puede convertir su argumento en un algoritmo efectivo. Como sea, es emocionante ver que se ha resuelto un problema llevaba más de 40 años abierto y que se podía plantear de manera elemental.

lunes, 14 de enero de 2013

Para el buzón de quejas y sugerencias (3)

Interesantes palabras de Timothy Gowers en su bitácora:
Imagine, for example, that somebody sets up an editorial board that does nothing except ask referees to report on papers on the arXiv, “accept” the papers it regards as good enough, and list those papers, with links, on a website. It seems to many people, including me, that such a board is doing pretty well all that we need of a mathematics journal.

Imagine, por ejemplo, que alguien organiza un comité editorial que no hace otra cosa que pedirle a los árbitros que hagan reportes sobre artículos en arXiv, "aceptar" a los que consideren suficientemente buenos y listar tales artículos, con hipervínculos, en una página en la Red. A muchas personas les parece, incluído yo, que tal comité está haciendo bastante bien todo lo que necesitamos de una revista de matemática.
¡Justamente lo que propongo sea la revista de la "Sociedad Matemática Oaxaqueña"! Pero (siempre hay un pero), continúa:
But suppose that there a board of that kind were to be established, with the stated aim of competing directly with Journal of Functional Analysis, and that you were a postdoc trying to improve your publication list with a view to getting a good job somewhere.

Pero suponga que se estableciera tal tipo de comité, con la meta manifiesta de competir directamente con el "Journal of Functional Analysis", y que usted fuese un posdoctorante tratando de mejorar su lista de publicaciones con miras a conseguir un mejor trabajo en algún lugar.
He ahí el meollo del asunto: ¿para qué queremos tal revista? Mi punto de vista es que no se busca competir con con el "Annals" ni con nada por el estilo. Vaya: ni siquiera con boletines de sociedades matemáticas ya establecidas. El objetivo es, como debe ser, verificar que lo que se está haciendo en Matemática va bien. Específicamente, porque una revista como la que se describe tendría un atractivo especial para los matemáticos oaxaqueños, y serviría como un trampolín para otras publicaciones más prestigiosas. Por eso, inclusive, se evitaría tener ISSN y estar indexado en el Mathematical Reviews o el Zentralblatt, pues así un autor podría envíar su artículo a otra revista (también, si quiere, que su obra se re-publique en esta hipotética revista, ¿por qué no?).

¿Que es mucha redundancia? Tal vez, pero la juzgo necesaria respecto a los colegas oaxaqueños. No por falta de calidad, sino justamente de "prestigio".

lunes, 7 de enero de 2013

Desvaríos varios (1)

Apenas veo.

No hubo entradas de esta bitácora durante diciembre del año pasado.

Ni modo.

Y el 2013 no empieza para mí con muchas ganas de escribir.

Pero he estado pensando bastante. En mi familia, sobre la vida, sobre la Matemática...

Es buen momento para decir algo que traigo en mi cabeza sobre esto último, porque de los dos primeros no me gusta mucho hablar en público. De la vida sí, pues, pero no ahora, o al menos no de modo exclusivo.

¿Será que está mal pensar mucho en Matemática? Lo digo en este sentido: en diversos medios (aunque, debo admitir, sobre todo en la televisión estadounidense) se enfatiza que eso no corresponde a "una vida auténtica". ¿Por qué no? ¿Por qué son menos "raros" los seguidores de Justino Castor o Dolores Rivera que los que están pendientes de los avances de los científicos que trabajan en el LHC o que admiran a Stephen Hawking? [Deliberadamente no he escogido los mejores ejemplos].

Posiblemente sea una cuestión de la popularidad del sujeto de admiración en sí. También que no se considera sano que una persona necesite poca adrenalina en su vida para ser feliz, o que al menos no requiera compartir sus gustos como pretexto para socializar.

Luego está esto de las competencias matemáticas (y científicas, en general). En principio, fomentan el agudizaje de las facultades que ya traen los que se involucran en ellas, y son un mecanismo para que se junten personas con intereses similares. Pero, como bien señala una profesora a la que admiro mucho, no parecen ser una buena estrategia para lograr que más personas, quienes posiblemente podrían hacer contribuciones en estos campos, se interesen en ellos.

Habrá quien diga que tales individuos no hacen falta en estas empresas realmente, porque únicamente los "elegidos entre los dioses" son los que tiene chance de "lograr algo". Pudiera ser. La ventaja de las competencias es que permiten tamizar a los verdaderos elegidos, y destinarles recursos. Y aquí también hallo una conexión con mi punto anterior, cuando examinamos qué es lo que se quiere "lograr". Si el chiste es hacerse famoso por "conseguir" algo "grande" (demostrar una conjetura importante, o contestar una pregunta científica fundamental), entonces eso provoca que varios se apelotonen alrededor de temas populares porque así las hazañas son más visibles.

Otra consecuencia, sin embargo, es que se opaque algo que juzgo importante y que escuché decir a Alberto Verjovsky en un video, que en mi paráfrasis es "un progreso, por pequeño que sea, es fuente de mucha felicidad". Yo añadiría, todavía, "un progreso personal". Es decir: vale la pena simplemente entender, simplemente disfrutar, no importa que con ello no se confirme la sacrosanta Hipótesis de Riemann.

Me viene a la mente uno de los primeros artículos de Erdős (cuyos problemas son olímpicos por excelencia, si bien estoy convencido de que él realmente no tenía la mentalidad clásica de olímpico), que versa sobre una demostración nueva de un teorema. Comparado con medallistas Fields y otros gigantes, parece una cosa pequeña. Especialmente, quizá, por ser elemental en su naturaleza. Me imagino que hay quienes sinceramente concuerdan, pero que no lo manifiestan por la conspicuidad de Erdős. Por supuesto (y no recuerdo los detalles), se saca nueva información de la demostración de Erdős respecto al teorema, pero sospecho que las intenciones de Erdős iban más por el lado de entender él el resultado, de tener una victoria personal, más que el de la ostensión o la superación de los medios de un matemático previo.

Veo por ahí quienes posiblemente se les venga la palabra "mediocridad" a la mente. Y no en Erdős, sino en quien esto escribe o los que concuerden con mi punto de vista. Mas, ¿qué no hay espacio suficiente para ellos en la olimpiadas, pues?

Y eso que no traigo ganas de escribir.