lunes, 27 de agosto de 2012

Aumentaba el entendimiento humano

Me sorprende la muerte William Thurston, acaecida el pasado 21 de agosto. Con los ires y venires por el nacimiento de mi hija (lo que nos ha tenido muy contentos), no he estado al tanto de muchas cosas...

Su teorema de geometrización fue clave para resolver la conjetura de Poincaré.

También es interesante su eversión de la esfera. El chiste es voltear la superficie de una esfera al revés en el espacio tridimensional (como un calcetín, más o menos); si se hace de modo muy simplista "hundiendo" mutuamente dos polos, en el ecuador queda una "arruga". Stephen Smale había demostrado que se puede lograr, pero no el modo explícito, cosa que sí hizo Thurston. El asunto se fue refinando hasta que un grupo de matemáticos (que incluía a uno ciego, Bernard Morin, aunque no de nacimiento) encontró una que es lo suficientemente intuitiva para explicarse sin muchos tecnicismos. Es curioso que una circunferencia no se puede voltear adentro del plano.

QEPD, William Thurston.

miércoles, 15 de agosto de 2012

Por fin: los sólidos platónicos

Lo prometido es deuda (para los que estaban pendientes, que seguro son poquitos). He aquí mis plegados de los sólidos platónicos, a partir de una hoja de papel cada uno.



Los diseños, para mi congoja, no son míos. El tetraedro, el cubo y el octaedro se deben a Kazuo Haga y aparecen en el magnífico libro de Kasahara y Takahama "Papiroflexia 'Origami' para expertos". El dodecaedro y el icosaedro son de Mitsu Kono, y son graciosamente notables, como explicaré más adelante.

Los tres primeros se construyen a partir de cuadrados, el dodecaedro a partir de una hoja de tamaño especial que se recorta de una tamaño carta, y el icosaedro a partir de un rectángulo plateado.

El icosaedro es interesante porque la hoja se divide en cinco franjas, y la central se pliega en triángulos equilateros como describe Jean Pedersen en su "Mathematical Tapestry" (p. 22). Mitsu Kono explica esto con cierto detalle en su página, pero para el dodecaedro no se mete en complicaciones y proporciona un patrón de dobleces listo para imprimir. A mí no me convenció esto del todo, puesto que así como se pueden doblar triángulos equiláteros sobre tiras, también se pueden doblar triángulos de Robinson, como describe Pedersen en la obra antes citada (p. 29). Usando esto es fácil completar el patrón de dobleces, con la peculiaridad de que es necesario marcar las estrellas en cada cara del dodecaedro resultante.

Kazuo Haga, por supuesto, también tiene sus versiones a partir de un cuadrado del icosaedro y del dodecaedro, pero francamente no fui capaz de ejecutarlos satisfactoriamente. John Montroll creó también las suyas (que publicó en su genial "A plethora of polyhedra in Origami"), pero creo que son un desafío aún mayor que las de Haga (aunque, posiblemente, son un poco más elegantes).

De colofón, les puedo decir que sobre los modelos aparecen, por orden creciente de caras, los alebrijes oaxaqueños de un chapulín, un guajolote, un batracio (¿un sapo, tal vez?) y un puercoespín. Sobre el icosaedro coloqué un jaguarcito de barro chiapaneco, y que en conjunto son un homenaje al señor 2 Lluvia "Ocoñaña" de Ñuu Tnuu (Tilantongo). El hecho de que el batracio esté sobre el octaedro, desde luego, tampoco es accidental.

sábado, 11 de agosto de 2012

Momentos de esperanza y desesperación

Sé que estoy considerando solamente a un medallista Fields no olímpico (evidencia anecdótica, además de que ya he criticado las medallas Fields antes).

Tampoco son mis favoritas sus áreas de estudio (ecuaciones en derivadas parciales y física matemática).

Ni siquiera me gusta la corbata estilo Lavallière (aunque al parecer es algo distintivo de los artistas, lo cual encuentro muy revelador).

Pero no dejan de ser solazantes las palabras de Cédric Villani ante la pregunta del por qué eligió la Matemática:
No fui un niño prodigio, pero siempre me sentí muy cómodo con esta ciencia. Vengo de una familia de intelectuales. Incluso sin que se hablara de ello, yo lo sentía en casa. Había libros en todos lados, se respiraba. El hecho de que haya sido la matemática y no otra cosa lo atribuiría a dos factores: primero al aspecto lúdico de esta disciplina, que es como un juego, como un enigma en el que hay que encontrar una solución. Y también al sistema francés, que le da un lugar de prestigio importantísimo ya desde el Siglo de las Luces. Hay un discurso en las instituciones que hace que si uno es bueno en matemática lo lleva a uno casi sin que tenga que elegir. (Entrevista de Nora Bär para "La Nación", 10/08/2012)

jueves, 2 de agosto de 2012

Sin título una vez más

Entrar en detalles es muy difícil, pues para empezar no los tengo todos. Mi interpretación del resultado es que, haiga sido como haiga sido, no existe el ambiente para crear una Sociedad Matemática Oaxaqueña.

Me imaginaba que la mayoría de los matemáticos y estudiantes oaxaqueños estaban ávidos por demostrar lo que piensan y desean hacer por su disciplina, fuera cara a cara o por medios electrónicos. Mi impresión es que no es así.

Del lado de la vertiente para dar a conocer la matemática y su estudio, pudiera ser que impere la opinión de G. H. Hardy que expresara en su "A Mathematician's Apology":
There is no scorn more profound, or on the whole more justifiable, than that of the men who make for the men who explain. Exposition, criticism, appreciation, is work for second-rate minds.

[No hay escarnio más profundo, o en su totalidad más justificable, que el de aquellos que son los que explican. La exposición, la crítica, la apreciación, es un trabajo para las mentes de segunda categoría.]
Lo vertido por Keith Devlin en "Prizes and Perils of Popularizing", parece dar algo de sustento a esto. Si lo leen, encontrarán que varios distinguidos divulgadores han sido menospreciados por su actividad o, en el mejor de los casos, vistos con cierta condescendencia. Sin embargo, una objeción al respecto es que ya tiene un par de décadas que se recogieron dichas impresiones.

Si no fuera eso, quizá se trate de lo que dice Ian Stewart en "Should we popularise mathematics? If so, how?":
A colleague [...] gives about 200 talks every year to school pupils, showing the mathematical magic tricks and surprising puzzles. He particularly likes to show them counterintuitive results [...].

He tells me that the students split into two distinct groups. One group finds the counterintuitive results stimulating. Pupils in the second group react by rejecting the mathematics: if it gives such unbelievable results, it must be nonsense. Once turned off, they cease to be receptive to any further approaches.

[Un colega [...] da alrededor de 200 pláticas cada año a estudiantes, mostrándole trucos mágicos matemáticos y sorprendentes rompecabezas. Le gusta, particularmente, mostrarles resultados que van contra la intuición [...].

Me dice que los estudiantes se dividen en dos grupos distintos. Un grupo encuentra los resultados contra-intuitivos estimulantes. Los pupilos del segundo grupo reacciona rechazando la matemática: si produce resultados tan inverosímiles, debe ser un sinsentido. Una vez que se apagan, dejan de ser receptivos ante cualquier otra aproximación.]
Del lado de estimular el estudio profesional de la misma, pienso que se considera a la Olimpiada estatal como un instrumento fundamental. En estos días me he estado convenciendo de que ciertamente es la mejor vía. Argumentos expresados en la bitácora de Terence Tao indican que la Olimpiada Internacional de Matemática es muy efectiva para producir matemáticos capaces de obrar grandes avances en la ciencia (o por lo menos medallistas Fields y premios de las sociedades matemáticas internacionales, si es que se tiene que medir de alguna forma). Un ejemplo es Ernesto Lupercio Lara, que aunque quedó en el lugar 215 (de 237) de la olimpiada de 1987, hace no mucho fue distinguido con el premio Ramanujan por su destacada investigación, como ya comenté alguna vez.

Si bien no tengo objeción con que exista dicha actividad y se promueva para conseguir tales resultados (sobre todo para el brillo y lustre de Oaxaca), no creo que sea la única manera de hacerlo, ni tampoco que sean éstos los únicos resultados que hay que perseguir. En particular, tal vez he sido demasiado enfático al declarar que no puedo ni quiero participar en tales cuestiones, pero de manera igualmente vehemente afirmo que no me opongo a que otros lo hagan en el seno de la hipotética "SOMATO" o cualquier otra organización. Estoy convencido de que en general las actividades en pro de la Matemática no son mutuamente excluyentes.

Quiero creer, pues, que hay razones para buscar mecanismos alternativos para impulsar el estudio profesional de la Matemática. En LessWrong hay un compilado de opiniones sobre las competencias, por parte de muchos insignes matemáticos. Una que me llama particularmente la atención es, irónicamente, la de Hardy:
And as there is only one test of originality in mathematics, namely the accomplishment of original work, and as it is useless to ask a youth of twenty-two to perform original research under [the Tripos'] examination conditions, the examination necessarily degenerates into a kind of game, and instruction for it into initiation into a series of stunts and tricks.

[Y puesto que sólo hay una prueba de originalidad en la Matemática, a saber, el logro de obras originales, y puesto que es inútil pedirle a un joven de veintidós realizar investigación original bajo las condiciones del examen [Tripos], el examen necesariamente degenera en una especie de juego, y la instrucción para él en una iniciación en una serie de acrobacias y trucos.]
No se puede tomar demasiado en serio, sin embargo, pues Hardy nunca participó en una Olimpiada y ni siquiera vivía cuando se realizó su primera edición. Tal vez algo más nos diga un triunfador olímpico por antonomasia, Terence Tao:
While individual steps in the solution [of a mathematical problem] might be able to be finished off quickly by someone with Olympiad training, the majority of the solution is likely to require instead the much more patient and lengthy process of reading the literature, applying known techniques, trying model problems or special cases, looking for counterexamples, and so forth.)

[Si bien los pasos individuales de la solución [de un problema matemático] pueden ser terminados rápidamente por alguien con entrenamiento olímpico, la mayoría de la solución muy probablemente requiera el mucho más paciente y largo proceso de leer la literatura, aplicar las técnicas existentes, ensayar problemas modelo o casos especiales, buscar contraejemplos, y así sucesivamente.]
Suena muy bien, hasta que examinamos las obras mismas de Tao (como lo que ha avanzado respecto a la conjetura de Goldbach) o, mejor aún, las de Ngô Bào Châu (sobre el programa de Langlands, específicamente), que al igual que Tao ganó la medalla de oro en la Olimpiada pero quedó en primer lugar. Algo ayuda, sin embargo, que Ngô Bào Châu tardó más en ganar la medalla Fields y que es mayor que Tao, lo que quizá es muestra de su perseverancia.

Por último, la convergencia de matemáticos con ideas y estilos distintos bajo el cobijo de una sola organización creo que hubiera sido inmensamente benéfico, sea para hacer investigación o sea para todo lo ya mencionado. En lo particular, con este sencillo ejercicio me enteré de la existencia de muchos colegas y de las inquietudes de muchos otros. Si eso fue todo lo que se pudo obtener de estas experiencias, ha valido la pena. No obstante, me hubiera gustado que surgiera mucho más. Ahí será para la otra, casi con seguridad gracias a la acción de otra persona.