miércoles, 28 de noviembre de 2012

Una sobre inducción

Pensaba en la demostración por inducción de la fórmula cerrada para calcular \[ \sum_{k=1}^{n}k. \] Supongamos que se nos presenta la sospecha de que debe ser un polinomio cuadrático $a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}$.

¿Qué tal si lo tomamos por cierto para $n-1$, y vemos cómo deben acomodarse las cosas para que sea cierto para $n$? Vale: debe satisfacerse \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}k &= \sum_{k=1}^{n-1}k+n \\ &= a_{2}(n-1)^{2}+a_{1}(n-1)+a_{0}+n\\ &= a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}, \end{align*} de donde se infiere que \begin{align*} -2a_{2}+a_{1}+1&=a_{1},\\ a_{2}-a_{1}+a_{0}&=a_{0}, \end{align*} y por ello que $a_{2}=\frac{1}{2}$ y que $a_{1}=\frac{1}{2}$. ¿Qué pasa con la $a_{0}$? No queda determinada, excepto porque tiene que cumplirse el caso base, lo que obliga a que $a_{0}=0$.

Listo, la fórmula y la demostración de un solo golpe. Creo que algo así es lo que propone Zeilberger como el "polynomische Ansätze", y que es un poco mejor que solamente ajustar algunos resultados de la suma con un polinomio.

martes, 20 de noviembre de 2012

Va el segundo...

Veo con deleite que en el volumen 7, número 2 del 2012 de la revista "Contributions to Discrete Mathematics", aparece por fin mi artículo "Antichains and counterpoint dichotomies". Ya tenía un rato en arXiv, de cualquier manera, y pueden comprobar con las versiones de preimpreso mi genialidad para cometer errores y desatinos.

Como bien agregaron los editores, recibieron mi artículo en el 8 de junio de 2010 y lo terminaron de procesar básicamente para el 26 de septiembre de este año. Un intervalo de tiempo muy normal para un autor de mi calibre, según tengo entendido.

¡Vamos ahora por el tercero!

jueves, 15 de noviembre de 2012

Una pregunta tonta

Pensando en un viejo problema, me pregunté: "¿Cuál es la probabilidad de que una permutación aleatoria de $2k$ objetos mande por lo menos a uno de un subconjunto $A$ de ellos a $\complement A$, donde $|A|=k$?".

Digamos que $U_{i}$ es el evento "el $i$-ésimo elemento de $A$ es enviado a $\complement A$". Lo que deseaba calcular es $P(\cup_{i=1}^{k} U_{i})$. Se puede aplicar el principio de inclusión y exclusión sumando las probabilidades de $U_{i}$, luego restando las de todos los pares $U_{i}\cap U_{j}$ (que es la probabilidad de que un par de elementos de $A$ caiga afuera de $A$ bajo la permutación), después sumando las de todas las triplas, y así sucesivamente.

Para este fin, primero observamos que la suma de las probabilidades de que "se salgan" las $j$-tuplas es \[ \sum_{a\in\binom{A}{j}}\frac{\binom{k}{j}}{\binom{2k}{j}}=\frac{\binom{k}{j}^{2}}{\binom{2k}{j}}, \] pues la probabilidad de que una $j$-tupla $a$ vaya a $\complement A$ es el cociente de las $j$-tuplas de $\complement A$ sobre el total de $j$-tuplas disponibles.

Ahora sí: \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{k} U_{i}\right) = \sum_{j=1}^{k}(-1)^{j-1}\frac{\binom{k}{j}^{2}}{\binom{2k}{j}}, \] lo cual se ve un poco intimidante. Pero, vaya, se supone que ya existen métodos automáticos para calcular estas cosas. Le pregunté a Wolfram Alpha primero, sin obtener un resultado del todo satisfactorio (¿es así de "complicado"?). Después decidí ir con el buen Maxima, para que me calculara algunos de los términos de la sucesión de probabilidades, y obtuve:
$k$ $P$
$3$ $\frac{19}{20}$
$4$ $\frac{69}{70}$
$5$ $\frac{251}{252}$
$6$ $\frac{923}{924}$
$7$ $\frac{3431}{3432}$

Satisfactoriamente regular, ¿cierto? Los hay que ya habrán visto que es esto (y desde hace rato, quizá), pero aguántenme un segundito. De aquí fuí con la OEIS y encontré que los denominadores de estas fracciones son los coeficientes binomiales centrales.

¡Claro! (y va la palmada en la frente): la probabilidad de que una elección de $k$ elementos entre $2k$ no vaya a sí misma bajo la permutación es obviamente la de que su imagen sea cualquiera de los otros $k$-subconjuntos disponibles: \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{k} U_{i}\right) = \sum_{j=1}^{k}(-1)^{j-1}\frac{\binom{k}{j}^{2}}{\binom{2k}{j}} = \frac{\binom{2k}{k}-1}{\binom{2k}{k}}. \] Y eso es lo que significa el resultado de Wolfram Alpha. Es por cosas como ésta que me gusta tanto la Matemática.

miércoles, 14 de noviembre de 2012

¿Cómo dicen los pollitos?

Es tristemente común tomar los dígitos que integran una constante o sucesión matemática famosa para producir "música" (la Online Encyclopedia of Integer Sequences inclusive lo hace de manera automática). De este modo se exhibe, supuestamente, la conexión que existe entre ambas áreas, siendo que la relación es mucho más profunda de lo que se pudiera imaginar de manera simplista.

Más específicamente, mi opinión al respecto es que lo que se haga de música usando a $\pi$, por nombrar un ejemplo concreto, debe expresar de algún modo la naturaleza del número en cuestion. En este sentido, simplemente escribirla en binario y tocar si el dígito es 1 y no tocar si es 0 no es realmente interesante, y menos si se eligen las armonías para disfrazar el hecho de que la configuración rítmica de lo que resulta es bastante caprichosa. Así es bastante fácil obtener algo bonito, pero que pudo venir de las codificaciones binarias de la poesía de Sor Juana Inés de la Cruz o el número de flatulencias diarias de una persona a lo largo de un mes sin que se distinga una gran diferencia. Una canción sobre las ideas de Arquímedes, Ramanujan u otros me gustaría infinitamente más.

Tomando cartas en el asunto, decidí componer algo a dos voces con un cierto patrón rítmico de fondo usando a $\pi$. La primera voz emitiría un tono fijo, mientras que la otra distaría de ésta los sucesivos intervalos \[ 3, \frac{13}{4}, \frac{16}{5}, \frac{19}{6} \quad\text{y}\quad \frac{22}{7} \] de ida y de regreso. Éstas son sucesivas aproximaciones cada vez mejores de $\pi$.

Usando Audacity, es fácil generar una onda sinusoidal (quise usar una cuadrada o triangular, pero eso hubiera vuelto redundantemente desagradable (¡o agradable!) el resultado). Un pequeño problema que encontré es que, si no se elige apropiadamente la frecuencia del "cantus firmus", entonces al multiplicarla por estos racionales no da siempre un número con una expansión decimal finita, y entonces al concatenar los tonos del "discanto" se oían pequeños chasquidos que no me gustaron.

Una solución, por supuesto, es tomar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones como frecuencia base, que es simplemente el producto $4\times 5\times 6\times 7 = 840$, pero en hercios es demasiado agudo. De todos modos construí el "contrapunto" simple con estas frecuencias y luego lo transporté a un tono menos agrio para el oído humano.

Haciendo más experimentos con aproximaciones racionales, noté que después de $\frac{22}{7}$ ya era muy difícil distinguir la diferencia entre los intervalos, y por eso hasta ahí llegue. Sin embargo, quería plasmar la notable aproximación $\frac{355}{113}$, que no se puede mejorar con un denominador de menos de cinco dígitos decimales. Si no se podía en el dominio de la frecuencia, se podía en el del tiempo. Por ello, introduje dos pulsos "rítmicos" de modo que los cocientes entre sus frecuencias fueran justamente $\frac{355}{113}$. En lo particular, me gusta mucho lo que se obtiene, pues al ser números coprimos tardan mucho en coincidir y generan muchas síncopas interesantes en el proceso. Esta idea no es original, desde luego, y pueden revisar una página titulada Euclidean Rythms para ensayar interesantes combinaciones rítmicas de coprimos.

Respecto a la obra que salió de todo esto, vale apuntar que introduje varios crescendi y decrescendi para hacer tolerable la adición de los ingredientes de la mezcla, y que la proporción inicial de tonos $3:1$ es una quinta sobre una octava en la afinación pitágorica, que es muy placentera y que genera un excelente contraste con lo inquieto que se oye el $22:7$ de en medio.

Para finalizar, en una entrada previa dije que una composición fea debe ser aburrida o incomprensible. Creo que mi opus 33 no es fea en este sentido, pues el ritmo y los intervalos extraños la hacen de todo menos sosa. Por otro lado, podría resultar difícil de interpretar (de hecho, no creo que pueda ser tocada por seres humanos, si alguien lo intenta le suplico me comunique cómo le fue), pero la explicación que acabo de dar elimina este obstáculo al menos un poco. Como quiera que fuese, mi objetivo no era conseguir una belleza fácil, sino expresar algo un poco más profundo, y que curiosamente se acomodó todo bien al final. En lo personal, el resultado me fascinó, y las pocas impresiones que he recogido hasta el momento me han convencido de que no quedé muy lejos de conseguir mi cometido.

¿Qué opinan ustedes?

P. D.: Hay otra versión con tonos más agudos, por si las quieren comparar.

P. D. 2: No son flatulencias, pero me refería algo como lo que hicieron con electroencefalografía ciertos investigadores cuando digo que se puede utilizar cualquier cosa.

P. D. 3: Intenté torturar a alumnos míos con estas obras, y lejos de resultar aturdidos o asqueados, me indicaron que esta música tiene un aire trance, y que recuerda a la obra de Armin van Buuren. ¡Vaya!

lunes, 12 de noviembre de 2012

Necrologías de sorpresa (1)

Impactado me entero, por medio del discurso del actual presidente de la Sociedad Matemática Mexicana durante la inauguración de la más reciente edición del Congreso Nacional de dicha asociación, que han fallecido este año:
Respecto al Dr. Raggi, puedo comentar que lo llegué a conocer en persona, aunque fuera solamente para preguntarle por el paradero de otro profesor que debía impartir un curso de maestría. No fue particularmente atento ni descortés, seguramente por que estaba muy ocupado. Hizo su doctorado en la UNAM bajo la dirección de Humberto Cárdenas Trigos, y su tesis doctoral trató sobre las unidades en álgebras de grupos. De una lectura de la primera y segunda parte de un artículo que publicó en los Anales del Instituto de Matemáticas de la UNAM al respecto, se infiere que encontró una demostración alternativa de un teorema de Graham Higman. También es muy notable su libro de texto "Álgebra Superior", que fue mi libro de texto para por lo menos parte de esa materia, en la licenciatura.

Del Dr. Lacomba hay poco que agregar después de comprobar que fue alumno de Stephen Smale. Un artículo de 1973 publicado por él en "Transactions of the American Mathematical Society", según parece, resume los resultados de su disertación doctoral. Grosso modo, y hasta donde llega mi entendimiento, estudió las geodésicas (o caminos más cortos) en ciertos espacios usando ideas de su director de tesis.

Del Dr. Ize resalto que aparentemente está listado como "George Ize" en el Mathematics Genealogy Project, y que algo de su calibre se manifiesta al ver que su director de tesis fue Louis Nirenberg (éste último fue el primer premiado con la Medalla Chern). Su área de estudio fueron los sistemas dinámicos, y adivino que su disertación doctoral clasificaba algunos de los entresijos de los operadores de Fredholm, que aparecen en las ecuaciones integrales.

Resulta muy curioso también que, salvo que me equivoque con el Dr. Humberto Cárdenas, todos los directores de tesis de estos tres matemáticos mexicanos viven todavía. QEPD, grandes pioneros de la Matemática en México.

miércoles, 24 de octubre de 2012

Para el buzón de quejas y sugerencias (2)

This is the first post (and, I hope, the last one) I will write in English. Why? Because that I am very upset about something I heard recently, and I would like some people to be aware of this.

Of course, most of them would not give a damn about my anger, but still...

The cause of my wrath is a podcast by Samuel Hansen, concretely the episode "The Score" of his Kickstarter-funded "Relatively Prime" show. Such episode features Scott Rickard (of the "Costas-arrays-turned-to-music" fame) and Robert Schneider.

Hansen says that Rickard applied mathematics to music "in a way that [he] sincerely doubt[s] any musician would though about". Perhaps the notion of playing only once the 88 notes of a piano such that no repetition of intervals occurs is novel for musicians, but Rickard's idea concerning the so-called "lack of symmetries" in order to produce an "ugly" musical piece is rather silly. I am convinced that "ugliness" in music is more about being boring or incomprehensible, and that is precisely the point that Mozart tried to make (and successfully, in my opinion) with his "Ein musikalischer Spaß". Thus, musicians are rather aware of how to produce ugly results, and the quest for beauty is precisely the interesting (and mathematical!) problem of this (and every) art.

The redeeming aspect of this contribution is that Costas arrays are rather interesting mathematical objects, and I learned about them because of this lame attempt to produce unpleasant music (as I already mentioned in an earlier post). At this point I was just angry.

But then I hear Schneider with his almost unintelligible speech about issues that learned musicians (and certainly I do not count as one) have been aware for centuries: the harmony of small ratios and the many problems that the scales derived from them have. Of course this "pure" ratios have very exciting properties! And certainly they have been explored extensively! And it is rather easy to waste them in a rather boring song. The compromise of equal temperament (that is not due to Bach, by the way) and the wonderful contributions by other geniuses of mathematics and music such as Vincenzo Galilei, Simon Stevin and Marin Mersenne are not mentioned and, in my opinion, they are also miserably looked down on in these kind of discussions. If you accept equal temperament (or tunings that behave similarly), then you can concentrate less in "sounding good" and more in abstract structure, which I deem as a superior discovery within music.

After all this I had no remaining patience to hear about "algorithmic" music, so I stop here.

lunes, 22 de octubre de 2012

Del anecdotario (I)

Mi participación anterior en el "Carnaval de Matemática(s)", después de ver cómo estuvo, se supone debió ser la primera y la última. Lo más positivo que coseché de la experiencia fue un comentario de Mago Moebius (que para mí valió como el premio a la mejor entrada) y un temporal incremento en las visitas a mi bitácora (a pesar de que se haya opinado por ahí que estoy "pirao").

Sin embargo, hubo un pequeño detalle que me hizo reconsiderar el asunto (y que, además, preferiría no mencionar hasta que termine la presente edición del Carnaval, si acaso).

Lo malo es que no se me ocurrió sobre qué escribir a la mera hora. Además, no estoy muy de ánimo para refritear a Gardner, Pickover, Allen Paulos u otras grandes figuras de la divulgación matemática.

¿Y entonces? Mmm...

¿Valdrá contar algunas viejas anécdotas? Si no, pues ni modo. Ahí va.

La primera vez que fuí a un congreso de Matemática, específicamente al "Cuarto Congreso Internacional de Álgebras Topológicas y sus Aplicaciones", fue como estudiante del segundo semestre de licenciatura. ¿Por qué? Porque se celebró en Oaxaca, y no quise desaprovechar la oportunidad.

La persona que me apoyó con la cuota de inscripción fue la Dra. María de Lourdes Palacios Fabila (y que posteriormente sería sinodal en mis exámenes de maestría y doctorado), quien desde entonces ha sido sumamente amable conmigo.

Recuerdo que un momento muy vergonzoso ocurrió cuando, mientras tomaba un sorbo de agua durante una de las charlas, se me subió y tuve que hacer un gran e inútil esfuerzo para no llamar la atención. También que, durante una plática del Dr. Wiesław Żelasko, éste bosquejó unos pasos de una desigualdad o algo así, y hubo por ahí un exponente o símbolo que se comió (y no sabía yo si era un paso legítimo o no de su razonamiento), le pregunté y resultó que efectivamente era un pequeño desliz. La Dra. Palacios consideró que yo había "corregido" al Dr. Żelasko.

Ahí conocí a la Mtra. Helga Fetter Nathansky, quien extrañada se me acercó y me preguntó si yo entendía algo de todo lo que se hablaba en esas conferencias especializadísimas. Obviamente, no comprendía más que hablaban de espacios vectoriales con topologías integradas, de convergencias, etcétera, pero no cómo se encajaba todo eso (y el acento del inglés no ayudaba mucho). Después tuve el privilegio de trabajar con ella en el CIMAT durante mi "estancia profesional", lo que considero una de las experiencias más gratificantes de mi vida en lo que a Matemática respecta. De todo ello salió mi tesis de licenciatura.

También conocí al Dr. Carlos Bosch, quien con mucha amabilidad me explicó qué es un espacio barrelado barrilado.

No pude quedarme toda la semana que duró el congreso porque hubiera acumulado demasiadas faltas en mis cursos, pero sin duda la experiencia me gustó mucho, me puso los pies sobre la tierra y me animó a continuar con los estudios. Me pregunté si algún día llegaría a tener el calibre de algunas de esas luminarias de las álgebras topológicas, aunque fuera en otra rama. Hasta hoy, obviamente, no es así. Pero mientras haya vida...


Esta entrada participa en la edición 3.1415926 del Carnaval de Matemática(s), alojado en la bitácora "Series Divergentes".

miércoles, 3 de octubre de 2012

Sobre la Sociedad Matemática Oaxaqueña (V)

Revisando el asunto de la Sociedad Matemática Oaxaqueña...

Que no es por el momento, pero que aún quiero que sea...

Y considerando que no ha habido un catalizador para que se haga realidad...

Me he dado cuenta de que, aunque he expresado oralmente las necesidades a las que debe atender tal organización, no lo he hecho del todo explícito por escrito. Va:

  1. Organizar en la mayor cantidad de pueblos posible, en periodicidad y si se puede en simultaneidad, algo análogo (¡o mejor!) al Festival Matemático que ha organizado la UNAM en Coyoacán, y que ya lleva dos ediciones. No es la única opción. También se puede hacer algo como lo que orquesta Marcus du Sautoy en Inglaterra llamado "Maths in the City" (¡lo que hicieron del Teatro Sheldoniano no tiene madre!). En el mismo país se desarrolla el bello proyecto "Think Maths", y según dice ahí consiste en "un grupo de oradores matemáticos que visitan escuelas y organizan talleres y sesiones para todas las edades y habilidades". Una bella pieza del New Yorker sobre Glen Whitney y su cruzada para abrir el Museo de la Matemática en Nueva York también es sumamente inspirador y aporta ideas.
  2. Junto con pegado: ¡crear un Museo de la Matemática para Oaxaca! ¡Aunque sea virtual!
  3. Hacer una revista de la Sociedad que sea básicamente una "superposición" (overlay) a través del repositorio ArXiv. ¿Para qué hacer tal cosa, si podemos remitirnos a las prestigiosísimas revistas de celebérrimas y nobilísimas instituciones? Bueno: en realidad el único servicio que aportaría la Sociedad Matemática Oaxaqueña es el de arbitraje (no anónimo y público, si así lo disponen los árbitros) y la uniformación de la presentación del contenido. También serviría como un índice de la actividad matemática oaxaqueña (lo cual creo que es muy útil y todavía es difícil determinarla con certeza). De hecho, pienso que tal es el futuro de las publicaciones científicas (así lo ha manifestado Doron Zeilberger, por ejemplo); en cierto modo ya es el presente de muchas revistas. La Sociedad Matemática Oaxaqueña estaría a la vanguardia en ese sentido. [Se reciben mentadas, por cierto (risa macabra).]
  4. Escribir libros de fuente abierta para muchos niveles, como un projecto en California, Estados Unidos, o como el proyecto "Stacks", al que admiro particularmente. Y traducirlos a las lenguas originarias del estado, para la mayor cantidad de variantes posibles. Esto, por supuesto, es obligadamente un esfuerzo colectivo, y sería el pie de biblioteca de la Sociedad.
  5. Sí: cuando ya sea una entidad legal, abrir su perfil de Féisbuc y su cuenta de Tuiter para hacer promoción desvergonzada y despiadada de la Matemática en todas sus facetas, como ya lo hacen las sociedades norteamericanas (y aplaudo especialmente a la MAA) e incluso la mexicana.
  6. Por supuesto: apoyar en lo logístico o humano a la organización y promoción de las Olimpiadas y de las Escuelas de Verano especializadas (aunque, creo yo, esto ya lo toqué en el primer punto).
¿Suena todavía muy descabellado? Los habrá que aún exclamen un rotundo y furibundo "¡Sí!". En fin. Ahí están las ideas. Por lo pronto, trataré de seguir dando pláticas en las bibliotecas e ir a la radio, que ya es algo.

miércoles, 26 de septiembre de 2012

Se reciben sugerencias...

A mi estimado y reducido público:

En fechas recientes observé que es posible dar cursos al público en general por parte de la universidad en la que trabajo. Mi idea es dar un curso de dos horas diarias durante dos semanas (el año que viene) que podría titularse "La matemática en su vida de usted. ¡Sí, de usted!". Hasta ahí lo fácil. Lo difícil es decidir qué podría incluirse en el curso. Tentativamente, hasta ahora se me ocurre:
  1. Los porcentajes y qué significan.
  2. El índice de masa corporal y otros por el estilo.
  3. La geometría de la medición de terrenos.
  4. Enfermedades y probabilidades (el teorema de Bayes).
  5. ¿Matemática en el futbol?
  6. Redes sociales.
Hay dos series de Steven Strogatz que han aparecido o aparecerán en el New York Times que también pensé podría copiar inmisericordemente (por ejemplo, el cómo son las distancias más cortas sobre una esfera, o el de la topología en las huellas digitales).

Por supuesto, la idea es hacer énfasis en la utilidad, pero también en la recreación desde la perspectiva cotidiana. Por poner un ejemplo concreto: ¿por qué generalmente ciertas teselaciones se reservan para los pisos, otras para las paredes y otras para las ventanas? (No sé la respuesta, por cierto).

Por lo tanto, les suplico me dejen en los comentarios algunas sugerencias o inquietudes sobre este proyecto.

Atentamente,

El Voto Batracio

jueves, 20 de septiembre de 2012

Una idea medio loca

Las personas que me conocen saben que, en lo personal, aborrezco profundamente el hecho de que haya compatriotas trabajando ilegalmente en cierto país que no digo su nombre pero que lo estoy pensando. Según tengo entendido (aunque posiblemente me equivoque), su trabajo ayuda sustanciosamente a la economía del susodicho país.

Entonces...

En vista de que los vecinos mismos no lo hacen...

¿Por qué no los cientifícos mexicanos desarrollan autómatas baratos y capaces de realizar todos esos trabajos que hacen nuestros paisanos allá? Se les venden a los interesados (y creo que los comprarían, porque tienen lana y quiero pensar que se distinguen por su mentalidad pragmática) y por fin se acaba con ese mercado de trabajo que inyecta "dinero mágico" a la economía mexicana.

El problema sería, por supuesto, que tampoco habría obstáculos para que aquí mismo se usaran los autómatas para los mismos fines. Aunque, ¿sería ése el peor de los problemas?

martes, 11 de septiembre de 2012

¡Más trabajo a la semana!

Pues entre las cuestiones raras que publica la "Gaceta" de la UNAM, está ahora esto de la pérdida del "43.1% del poder adquisitivo" del salario mínimo durante el sexenio que termina, aparecido el día de ayer. Nuevamente, los que hablan no indican la fuente de sus datos, ni siquiera si los van a publicar para poderlos examinar con calma.

En fin. Lo que hice fue meterme a la página del Banco de México y consultar el crecimiento del salario mínimo desde 2006 hasta agosto de 2012. Según mis cálculos, el cociente es \[ \frac{60.5}{47.05064} = 1.285848609073118\ldots, \] o sea que subió algo así como el $28.6\%$ (no me coincide con lo reportado por la "Gaceta", pero parece que hubo un errocillo por ahí).

En cuanto a la canasta básica, está más difícil. Antes lo calculaba el Banco de México, ahora el INEGI. En la página del INEGI no dicen exactamente cómo calculan el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), pero eso es lo que está relacionado con la canasta básica. Si entendí bien, básicamente es un cociente de la forma \[ \frac{\sum_{i} p_{1,i}x_{1,i}}{\sum_{i} p_{0,i}x_{0,i}} \] donde $x_{j,i}$ es la cantidad de producto $i$-ésimo, $p_{j,i}$ su precio unitario, y los de subíndice cero son de referencia para los de índice $1$. Según la página de datos, se tomó como referencia del $100\%$ los precios de la segunda quincena de 2010. En cuanto a "Alimentos, bebidas y tabaco" (que posiblemente sea lo que más intranquilidad provoca), el cociente del valor del 2012 entre el del 2006 (ojo que se cancela el valor de referencia) es \[ \frac{111.456565464700}{73.233900539977}=1.521925838210106\ldots \] lo que quiere decir que creció un $52.2\%$. Efectivamente: en proporción, aumentó más el precio de ciertas mercancías que el salario mínimo. Esta cifra tampoco encaja con la aparecida en la "Gaceta", pero pues dice que ellos lo tomaron "ponderado", y no sé cómo habrá sido. Aunque eso de que fuera del "$125.37\%$" está, creo yo, muy jalado de los pelos. Tal vez quisieron decir $25.37\%$, quién sabe.

Del poder adquisitivo no encontré una definición rigurosa (y hasta donde he buscado ni el Banco de México ni el INEGI lo calculan y registran). Pero, según veo, se trata de cuantificar lo que puedes comprar con el dinero. Bueno: supongamos que lo entendemos como el número de salarios mínimos necesarios para adquirir lo reportado como "Alimentos, bebidas y tabaco". Esto es \[ \frac{\sum_{i} p_{2006,i}x_{2006,i}}{S_{2006}}, \] donde $S_{2006}$ es el salario mínimo en el 2006; la expresión para 2012 es análoga. Entonces, si dividimos el "poder adquisitivo" del 2012 entre el del 2006, tenemos (usando la regla del emparedado) \[ \frac{\frac{\sum_{i} p_{2012,i}x_{2012,i}}{S_{2012}}}{\frac{\sum_{i} p_{2006,i}x_{2006,i}}{S_{2006}}}=\frac{\frac{\sum_{i} p_{2012,i}x_{2012,i}}{\sum_{i} p_{2006,i}x_{2006,i}}}{\frac{S_{2012}}{S_{2006}}}. \] En pocas y resumidas palabras: hay que dividir el cociente del INPC entre el de los salarios mínimos. Resulta que \[ \frac{1.521925838210106}{1.285848609073118}=1.183596441658214\ldots. \] Esto significa que necesito algo así como $18.4\%$ más en 2012 que en 2006 de salarios mínimos para comprar (lo que supongo es) la misma canasta de "Alimentos, bebidas y tabaco". Cálculos análogos se pueden hacer con los otros rubros del INPC. En lo personal, lo encuentro más razonable que un $43.1\%$.

Seguramente el Banco de México y el INEGI "mejoran" la realidad un poco, pero por lo menos los datos están ahí y podemos hacer cálculos con ellos y darnos una idea.

Adenda. Terminaba de redactar esto cuando por fin se me prendió el foco de revisar la página del "Centro de Análisis Multidisciplinario de la Facultad de Economía" de la UNAM. Posiblemente la referencia del artículo periodístico sea un documento que aparece en su frontispicio, pero es de 2007. Hay varios reportes de investigación, pero la verdad me pareció que no tienen un formato muy útil ni muy serio que digamos.

lunes, 10 de septiembre de 2012

Primo por décima vez

Ayer me convertí en primo (en años) por décima vez... ¿Llegaré a serlo por undécima ocasión? Ojalá. Ya fuí cubo antes, y espero también llegar a serlo por cuarta y última vez.

Mientras tanto, Ximena Isabel es cubo y cuadrado al mismo tiempo [y en general cualquier potencia no negativa, por lo menos], tanto en años como en meses. Angélica, por otro lado (y como era de esperarse) sigue siendo perfecta...

jueves, 6 de septiembre de 2012

Anticipando el Día Internacional de la Alfabetización

En una nota de la "Gaceta" de la UNAM del día de hoy, dice:
La situación de analfabetismo en México es dramática. [...] En números absolutos, hay más analfabetas en el país que hace poco más de 10 años. [...] "[...] En 2000-2005 teníamos cinco millones 742 mil y cinco millones 747 mil, respectivamente. En 2010 sumaban cinco millones 948 mil", señaló Hugo Casanova Cardiel.
¿De dónde sacó eso el Dr. Casanova Cardiel? No sé, la nota periodística no dice. Claro que aumenta el número de analfabetos en México cada año, pues crece la población. Pero la proporción sigue disminuyendo. Según los datos del INEGI, la tasa de analfabetismo en 2000 era del 9.5%, en 2005 del 8.5% y para 2010 llegó a 6.9%, que sacado de la población contada por el citado organismo en ese último año da algo así como 7 millones 700 mil personas analfabetas (creo que el INEGI no sabe maquillar mejor sus cifras).

De continuar más o menos linealmente esa tendencia en cuanto al decrecimiento en el porcentaje de analfabetismo, esperaríamos que en unos 25 años o menos prácticamente se anule (lo que, curiosamente, no necesariamente significa que hayan menos analfabetas). Si eso es lo dramático del caso, pues lo veo regular, considerando que tardó como medio siglo en llegar a menos del 50%. Además, según los datos que discutía en otra entrada, finalmente no quedamos tan lejos de la proyección del 6.2% que hiciera la UNESCO para México en el 2010.

miércoles, 5 de septiembre de 2012

Una de Tao por las que van de arena

A continuación, mi traducción de la excelente nota que publicó hoy Terence Tao en su bitácora, donde resume de un modo casi conmovedor muchas ideas de la Geometría Algebraica que yo no había asimilado por completo. Ojalá la disfruten tanto como yo.

Una observación trivial sobre los esquemas

por Terence Tao

En la geometría algebraica clásica, el objeto central de estudio es una variedad algebraica $V$ sobre un cuerpo $k$ (y la teoría funciona mejor cuando este cuerpo $k$ es algebraicamente cerrado). Uno puede hablar sobre variedades afines o proyectivas; para los fines de esta discusión, restrinjamos nuestra atención a variedades afines. Tales variedades pueden ser vistas de al menos cuatro maneras diferentes:
  • (Geometría algebraica) A través el conjunto $V(k)$ de puntos (sobre $k$) en esa variedad.
  • (Álgebra conmutativa) A través del campo de funciones racionales $k(V)$ sobre esa variedad, o el subanillo $k[V]$ de funciones polinomiales en ese campo.
  • (Dual de la geometría algebraica) A través de una colección de polinomios $P_{1},\ldots,P_{m}$ que perfilan a esa variedad.
  • (Dual del álgebra conmutativa) A través del ideal $I(V)$ de polinomios que se anula sobre esa variedad.
Por ejemplo: el círculo unitario sobre los reales puede pensarse en cada una de estas cuatro maneras distintas:
  • (Geometría algebraica) El conjunto de puntos $\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}=1\}$.
  • (Álgebra conmutativa) El cociente $\mathbb{R}[x,y]/\langle x^{2}+y^{2}-1\rangle$ del anillo de polinomios $\mathbb{R}[x,y]$ sobre el ideal generado por $x^{2}+y^{2}-1$ (o, equivalentemente, el álgebra generada por $x,y$ sujeta a la restricción $x^{2}+y^{2}=1$), o el cuerpo de fracciones de ese cociente.
  • (Dual de la geometría algebraica) El polinomio $x^{2}+y^{2}-1$.
  • (Dual del álgebra conmutativa) El ideal $\langle x^{2}+y^{2}-1\rangle$ generado por $x^{2}+y^{2}-1$.
Los cuatro puntos de vista son casi equivalentes entre sí (particularmente cuando el cuerpo subyacente $k$ es algebraicamente cerrado), pues hay formas obvias de pasar de uno a otro. Por ejemplo, empezando con el conjunto de puntos de una variedad, uno puede formar el espacio de funciones racionales sobre dicha variedad, o el ideal de polinomios que se anula sobre la misma. Dado un conjunto de polinomios, uno puede perfilar los puntos donde se anula, o fomar el ideal que generan. Dado un ideal de un anillo de polinomios, uno puede sacar el cociente del anillo respecto al ideal y entonces formar el cuerpo de fracciones. Finalmente, dado un anillo de polinomios sobre una variedad, uno puede tomar su espectro (el espacio de ideales primos sobre el anillo) para recuperar el conjunto de puntos sobre esa variedad (junto con la topología de Zariski de dicha variedad).

Debido a las conexiones entre estos puntos de vista, hay extensivos "diccionarios" (muy peculiarmente el diccionario entre ideales y variedades) que convierte los conceptos básicos de una de estas cuatro perspectivas en cualquiera de las otras tres. Por ejemplo, pasar de una variedad a una subvariedad encoge el conujnto de puntos y el campo de funciones, pero agranda el conjunto de polinomios necesarios para perfilar la variedad, al igual que su ideal asociado. Tomar la intersección o unión de dos variedades corresponde a sumar o multiplicar los dos ideales respectivamente. La dimensión de una variedad algebraica (irreducible) puede definirse como el grado de transcendencia del campo de funciones, la longitud máxima de cadenas de subvariedades, o la dimensión de Krull del anillo de polinomios. Y así sucesiva y regresivamente. Gracias a estos diccionarios, ahora es un lugar común pensar en las álgebras conmutativas geométricamente o, recíprocamente, acercarse a la geometría algebraica desde la perspectiva del álgebra abstracta. Hay, sin embargo, algunos defectos bien conocidos de estos diccionarios, al menos cuando se ven desde el asiento clásico de las variedades algebraicas. El principal es que dos ideales diferentes (o dos conjuntos no equivalentes de polinomios) pueden perfilar el mismo conjunto de puntos, particularmente si el cuerpo subyacente $k$ no es algebraicamente cerrado.

Por ejemplo, si el cuerpo subyacente es la recta real $\mathbb{R}$, entonces las ecuaciones polinomiales $x^{2}+1=0$ y $1=0$ perfilan el mismo conjunto de puntos, a saber, el conjunto vacío, pero el ideal generado por $x^{2}+1$ en $\mathbb{R}[x]$ ciertamente es distinto del ideal generado por $1$. Este ejemplo particular no funciona en un cuerpo algebraicamente cerrado como $\mathbb{C}$, pero en ese caso las ecuaciones polinomiales $x^{2}=0$ y $x=0$ también perfilan un mismo conjunto de puntos (esto es, el origen), pero nuevamente $x^{2}$ y $x$ generan ideales diferentes en $\mathbb{C}[x]$. Gracias al teorema de los ceros de Hilbert, podemos dar vuelta a este problema (en el caso de que $k$ sea algebraicamente cerrado) al siempre pasar de un ideal a su radical, pero esto causa que muchos aspectos de la teoría de variedades algebraicas se hagan más complicados cuando las variedades en cuestión presentan singularidades o multiplicidades, como puede verse desde un principio con el simple ejemplo del teorema de Bézout.

Hoy en día, la manera corriente de tratar con estos asuntos es reemplazar la noción de variedad algebraica con la noción más general de esquema. A grandes rasgos, la manera en la que se definen los esquemas es enfocándose en la perspectiva del álgebra conmutativa como la primordial, y permirtirle al cuerpo base $k$ no ser algebraicamente cerrado, o ser solamente un anillo conmutativo en lugar de un cuerpo. (Uno puede considerar incluso anillos no conmutativos, lo que conduce a la geometría no conmutativa, pero no discutiremos esa extensión de la teoría de esquemas con mayor detalle aquí). Una vez que se generaliza a estos anillos más abstractos, la noción de una función racional se hace más complicada (uno tiene que trabajar localmente en vez de globalmente, recortando los puntos donde la función se hace singular), pero como una primera aproximación uno puede pensar en un esquema como que es básicamente el mismo concepto que un anillo conmutativo. (De hecho, debido a la necesidad de localizar, un esquema se define como una gavilla de anillos en lugar de un simple anillo, pero estas minucias no serán importantes para los propósitos de esta discusión). Todos los otros conceptos de la geometría algebraica que pudieran haberse definido con anterioridad usando una de las otras tres perspectivas, se redefinen en términos de este anillo (o gavilla de anillos) con el fin de generalizarlas a los esquemas.

Así, por ejemplo, en la teoría de esquemas los anillos $\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}\rangle$ y $\mathbb{R}[x]/\langle x\rangle$ describen diferentes esquemas; desde la perspectiva clásica, perfilan los mismos puntos, a saber, el punto $\{0\}$, pero el primer esquema hace a este punto "más gordo" que el segundo, al proporcionarle un grado (o multiplicidad) de $2$ en vez de $1$.

Por esto, pareciera que el vínculo entre la perspectiva del álgebra conmutativa y la de la geometría algebraica no es todavía lo suficientemente perfecta en la teoría de esquemas, a menos que uno esté dispuesto a empezar a "engordar" varias variedades [N. T.: ¡Valga la expresión!] para modelar correctamente la multiplicidad o la singularidad. Pero -y ésta es la observación trivial que quería hacer en esta entrada de la bitácora- uno puede recuperar una conexión muy estrecha entre ambas perspectivas en tanto uno permita la libertad de extender arbitrariamente el anillo base subyacente [sic].

He aquí lo que quiero decir con esto. Considérese la geometría algebraica clásica sobre algún anillo conmutativo $R$ (que no sea necesariamente un cuerpo). Cualquier conjunto de polinomios $P_{1},\ldots, P_{m}\in R[x_{1},\ldots,x_{d}]$ en $d$ variables indeterminadas $x_{1},\ldots,x_{d}$ con coeficientes en $R$ determina, por un lado, al ideal \begin{align*} I&:=\langle P_{1},\ldots,P_{m}\rangle\\ &= \{P_{1}Q{1}+\ldots+P_{m}Q_{m}:Q_{1},\ldots,Q_{m}\in R[x_{1},\ldots,x_{d}] \end{align*} en $R[x_{1},\ldots,x_{d}]$, y por otro perfila el conjunto de ceros \begin{multline*} V[R] := \{(y_{1},\ldots,y_{d}\in R^{d}:\\ P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d}=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d}) = 0\}, \end{multline*} puesto que cada uno de los polinomios $P_{1},\ldots,P_{m}$ claramente tiene sentido como una función de $R^{d}$ a $R$. Por supuesto, uno también puede escribir $V[R]$ en términos de $I$: \begin{equation*} V[R] := \{y_{1},\ldots,y_{d})\in R^{d}:P(y_{1},\ldots,y_{d})=0\text{ para todo } P\in I\}. \end{equation*}
Así, el ideal $I$ determina unívocamente al conjunto de ceros $V[R]$, y enfatizaremos esto escribiendo $V[R]$ como $V_{I}[R]$. Como ilustran los contrajemplos previos, el recíproco no es verdadero. No obstante, siempre que tengamos una extensión $R'$ del anillo $R$ (es dcir, un anillo conmutativo $R'$ que contenga a $R$ como subanillo), entonces podemos ver a los polinomios $P_{1},\ldots, P_{m}$ como funciones de $(R')^{d}$ a $R'$, de modo que también se define el conjunto de ceros para todas las extensiones: \begin{multline*} V[R']:=\{(y_{1},\ldots,y_{d}\}\in (R')^{d}:\\ P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d})=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=0\}. \end{multline*}
Como antes, $V[R']$ está determinada por el ideal $I$: \begin{multline*} V[R']=V_{I}[R']=\{(y_{1},\ldots,y_{d}\}\in (R')^{d}:\\ P(y_{1},\ldots,y_{d})=0\text{ para todo } P\in I\}. \end{multline*}
Una observación trivial es que, mientras el solo conjunto de ceros $V_{I}[R]$ es insuficiente para recuperar a $I$, la colección de conjuntos de ceros $V_{I}[R']$ para todas las extensiones $R'$ de $R$ (o, más precisamente, a la función de asignación $R'\mapsto V_{I}[R']$, conocida como el funtor de puntos de $V_{I}$) basta para recuperar a $I$, siempre y cuando al menos uno de los conjuntos de ceros, digamos $V_{I}[R_{0}]$, no sea vacío. De hecho, supongamos que tenemos dos ideales $I,I'$ de $R[x_{1},\ldots,x_{d}]$ que perfilan el mismo conjunto no vacío de ceros para todas las extensiones $R'$ de $R$. Entonces \[ V_{I}[R'] = V_{I'}[R'] \neq \emptyset \] para todas las extensiones $R'$ de $R$. Aplicamos esto con la extensión $R'$ de $R$ dada por $R':=R_{0}[x_{1},\ldots,x_{d}]/I$. Nótese que el embebimiento de $R$ en $R_{0}[x_{1},\ldots,x_{d}]/I$ es inyectivo, pues de lo contrario $I$ perfilaría al conjunto vacío como conjunto de ceros sobre $R_{0}$, así que $R'$ es ciertamente una extensión de $R$. Tautológicamente, el punto $(x_{1}\bmod I,\ldots, x_{d}\bmod I)$ cae en $V_{I}[R']$, y por lo tanto necesariamente cae en $V_{I'}[R']$ también. Desempacando lo que esto significa, concluimos que $P\in I$ siempre que $P\in I'$, lo que es lo mismo que $I'\subseteq I$. Por un argumento simétrico, también tenemos $I\subseteq I'$, por lo que $I=I'$, como se afirmaba. (Como se señalaba en los comentarios, este hecho (y su demostración) es esencialmente un caso particular del lema de Yoneda. La conexión es más estrecha si uno permite que $R'$ sea cualquier anillo con una función (no necesariamente inyectiva) de $R$ hacia él, en vez de una extensión de $R$, en cuyo caso uno puede eliminar la hipótesis de que $V_{I}[R_{0}]$ sea un conjunto no vacío para al menos un $R_{0}$, pero con la condición de que uno admita cocientes como $\mathbb{Z}/\langle 2\rangle$ o $\mathbb{Z}/\langle 3\rangle$ en su lugar, y entonces $V_{\langle 2\rangle}[R']$ y $V_{\langle 3\rangle}[R']$ ya no son necesariamente iguales).

Así, en tanto uno piense en una variedad o un esquema como perfilar puntos no solamente en el anillo o cuerpo base original, sino en todas las extensiones de ese anillo o cuerpo base, uno recupera una correspondencia exacta entre la perspectiva de la geometría algebraica y la del álgebra conmutativa. Esto es similar a la posición de la geometría algebracia clásica de ver a una variedad algebraica como definida simultáneamente sobre todos los campos que contienen los coeficientes de los polinomios que la definen, pero la crucial diferencia entre la teoría de esquemas y la geometría algebraica clásica es que uno permite las definiciones sobre anillos conmutativos, y no sólo sobre cuerpos. En particular, se necesita permitir extensiones a anillos que pueden contener elementos nilpotentes, pues de lo contrario no se podría distinguir entre un ideal y su radical.

Por supuesto, hay muchas maneras de extender un cuerpo en un anillo, pero como analista, una manera de hacerlo que es particularmente atractiva para mí es introducir un parámetro épsilon y trabajar módulo errores de $O(\epsilon)$. Para formalizar esto algebraicamente, digamos en el ánimo de ser concretos que el cuerpo base es la recta real $\mathbb{R}$. Considérese el anillo $\tilde{R}$ de las cantidades de valores reales $x=x_{\epsilon}$ que dependen del parámetro $\epsilon\geq 0$ (esto es, funciones de $\mathbb{R}^{+}$ a $\mathbb{R}$), que son localmente acotadas en el sentido de que $x$ está acotada siempre que $\epsilon$ esté acotada. (Uno puede, si lo desea, imponer sucesivas hipótesis de continuidad o suavidad sobre como $x$ depende de $\epsilon$, pero tal cosa no resulta ser relevante para la discusión que sigue. Los algebristas a menudo prefieren pensar en el anillo de series de Puiseux aquí en lugar de $\tilde{R}$, y los analistas no estándares prefieren en cambio usar los hiperreales, pero nuevamente esto no hace mucha diferencia para nuestros propósitos). Dentro de este anillo conmutativo, podemos formar el ideal de las cantidades $x=x_{\epsilon}$ que son de tamaño $O(\epsilon)$ conforme $\epsilon \to 0$, es decir, existe una cantidad $C>0$ independiente de $\epsilon$ tal que $|x|\leq C\epsilon$ para todos los $\epsilon$ lo suficientemente pequeños. Puede verificarse fácilmente que, efectivamente, esto es un ideal en $\tilde{R}$. Luego, formamos el anillo cociente $R':=\tilde{R}/I=\{x\bmod I:x\in\tilde{R}\}$. Nótese que $x=y\bmod I$ es equivalente al aserto $x=y+O(\epsilon)$, por lo que estamos traduciendo la noción de los analistas de "igual salvo por errores de $O(\epsilon)$" a términos algebraicos.

Claramente, $R'$ es un anillo conmutativo que extiende a $\mathbb{R}$. Por lo tanto, cualquier variedad algebraica \begin{multline*} V[\mathbb{R}]=\{(y_{1},\ldots,y_{d})\in \mathbb{R}^{d}:\\P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d})=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=0\} \end{multline*} definida sobre los reales $\mathbb{R}$ (de modo que los polinomios $P_{1},\ldots,P_{m}$ tienen coeficientes en $\mathbb{R}$), también están definidos sobre $R'$: \begin{multline*} V[R'] = \{(y_{1},\ldots, y_{d})\in (R')^{d}:\\ P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d})=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=0\}. \end{multline*} En un lenguaje que se asemeja más cercanamente al del análisis, tenemos \begin{multline*} V[R'] = \{(y_{1},\ldots,y_{d})\in\tilde{R}^{d}:\\P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d}),\ldots, P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=O(\epsilon)\} \bmod I^{d}. \end{multline*}
Vemos así que $V[R']$ es en un cierto sentido un "$\epsilon$-engordamiento" de $V[\mathbb{R}]$, y que por lo tanto es una manera de dar sentido riguroso a la intución de que los esquemas pueden "engordar" variedades. Por ejemplo, el esquema asociado al ideal $\langle x\rangle$, cuando se interpreta sobre $R'$, se convierte en una $O(\epsilon)$ vecindad del origen \[ V_{\langle x \rangle} [R'] = \{y\in \tilde{R}:y=O(\epsilon)\}\bmod I, \] pero el esquema asociado al ideal más pequeño $\langle x^{2}\rangle$, cuando se interpreta sobre $R'$, se convierte en una $O(\epsilon^{1/2})$-vecindad del origen, siendo así un punto mucho más "gordo": \begin{align*} V_{\langle x^{2}\rangle}[R'] &= \{y\in\tilde{R}:y^{2}=O(\epsilon)\} \bmod I \\ &= \{y\in \tilde{R}:y=O(\epsilon^{1/2})\}\bmod I. \end{align*}
Una vez introducido el épsilon de los analistas, uno puede ver claramente que $V_{\langle x^{2}\rangle}[R']$ viene de un esquema mayor que $V_{\langle x\rangle}[R']$, con menos polinomios que se anula en él; en particular, el polinomio $x$ se anula hasta un orden de $O(\epsilon)$ en $V_{\langle x\rangle}[R']$, pero no se anula hasta un orden $O(\epsilon)$ sobre $V_{\langle x^{2}\rangle} [R']$.

Trabajando con esta extensión de los analistas de $\mathbb{R}$, uno puede ya obtener una primera, razonable y buena aproximación del cómo se ven los esquemas sobre $\mathbb{R}$. Sin embargo, puesto que esta es solo una extensión de $\mathbb{R}$, y no una extensión de las "universales", no se pueden distinguir dos esquemas cualesquiera uno del otro, aunque se desempeña mejor que la geometría algebraica clásica. Por ejemplo, considérese el esquema perfilado por los polinomios $x^{2},y^{2}$ en dos dimensiones. Sobre $R'$, éste es \begin{multline*} V_{\langle x^{2},y^{2}\rangle}[R'] = \{(x,y)\in\tilde{R}^{2}:x^{2},y^{2}=O(\epsilon)\}\bmod I^{2} \\= \{(x,y)\in\tilde{R}^{2}:x,y=O(\epsilon^{1/2})\}\bmod I^{2}. \end{multline*}
Nótese que el polinomio $xy$ se anula hasta un orden $O(\epsilon)$ en este conjunto, pero $xy$ no cae en el ideal $\langle x^{2},y^{2}\rangle$. Equivalentemente, tenemos \[ V_{\langle x^{2},y^{2}\rangle}[R'] = V_{\langle x^{2},y^{2},xy\rangle}[R'], \] a pesar de que $\langle x^{2},y^{2}\rangle$ y $\langle x^{2},y^{2},xy\rangle$ son ideales distintos. Básicamente, el análogo del teorema de los ceros para $R'$ no remueve completamente la necesidad de realizar una operación de clausura en el ideal $I$; es menos drástico que tomar el radical, es más bien como tomar la "envolvente convexa", en cuanto a que uno necesita ser capaz de "interpolar" entre dos polinomios en el ideal (como lo son $x^{2}$ y $y^{2}$) para llegar a polinomios intermedios (como lo es $xy$) que uno entonces coloca en el ideal.

Uno puede ver a los ideales (y, por lo tanto, a los esquemas) desde la perspectiva de la teoría de modelos. Sea $I$ un ideal de un anillo de polinomios $R[x_{1},\ldots, X_{d}]$ generado por algunos polinomios $P_{1},\ldots, P_{m}\in R[x_{1},\ldots, x_{d}]$. Entonces, claramente, si $Q$ es otro polinomio en el ideal $I$, entonces podemos usar los axiomas del álgebra conmutativa (que son básicamente los axiomas del álgebra del bachillerato) para obtener la deducción sintáctica \[ P_{1}(x_{1},\ldots,x_{d})=\cdots =P_{m}(x_{1},\ldots,x_{d})\vdash Q(x_{1},\ldots, x_{d}) = 0 \] (puesto que $Q$ es solamente una suma de múltiplos de $P_{1},\ldots, P_{m}$). En particular, tenemos la deducción semántica \begin{multline} P_{1}(y_{1},\ldots, y_{d})=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=0\\ \Longrightarrow Q(y_{1},\ldots, y_{d})=0 \label{E:SemDed} \end{multline} para cualquier asignación de literales $y_{1},\ldots, y_{d}$ en $R$ (o en cualquier extensión $R'$ de $R$). Si restringimos a $y_{1},\ldots, y_{d}$ a caer solamente dentro de $R$, entonces (aún si $R$ es un cuerpo algebraicamente cerrado), el recíproco del enunciado anterior es falso; pueden existir polinomios $Q$ fuera de $I$ para los cuales \eqref{E:SemDed} se cumple para todas las asignaciones $y_{1},\ldots, y_{d}$ en $R$. Por ejemplo, tenemos \[ y^{2} = 0 \Longrightarrow y=0 \] para todo $y$ en un cuerpo algebraicamente cerrado, a pesar de que $x$ no cae en el ideal $\langle x^{2}\rangle$. Desde luego, el teorema de los ceros nuevamente explica lo que sucede aquí; la expresión \eqref{E:SemDed} siempre que $Q$ cae en el radical de $I$, que puede ser más grande que $I$ mismo. Pero si uno permite a las literales $y_{1},\ldots,y_{d}$ tomar valores en extensiones arbitrarias $R'$ de $R$, entonces la verdad del recíproco se reestablece, dando así un "teorema de completitud" que relaciona a las deducciones sintáctias del álgebra conmutativa a las interpretaciones semanticas de tales álgebras sobre las extensiones $R'$. Por ejemplo, puesto que \[ y^{2}=O(\epsilon) \not\Longrightarrow y=O(\epsilon) \] ya no tenemos un contraejemplo del recíproco que provenga de $x$ y $\langle x^{2}\rangle$ una vez que trabajamos en $R'$ en vez de $\mathbb{R}$. Por otro lado, todavía tenemos \[ x^{2},y^{2}=O(\epsilon) \Longrightarrow xy=O(\epsilon) \] por lo que la extensión $R'$ no es lo suficientemente poderosa para detectar que $xy$ de hecho no cae en $\langle x^{2},y^{2}\rangle$; un anillo más grande (al cual es más difícil asignar una interpretación analítica) se necesita para lograr tal fin.

lunes, 27 de agosto de 2012

Aumentaba el entendimiento humano

Me sorprende la muerte William Thurston, acaecida el pasado 21 de agosto. Con los ires y venires por el nacimiento de mi hija (lo que nos ha tenido muy contentos), no he estado al tanto de muchas cosas...

Su teorema de geometrización fue clave para resolver la conjetura de Poincaré.

También es interesante su eversión de la esfera. El chiste es voltear la superficie de una esfera al revés en el espacio tridimensional (como un calcetín, más o menos); si se hace de modo muy simplista "hundiendo" mutuamente dos polos, en el ecuador queda una "arruga". Stephen Smale había demostrado que se puede lograr, pero no el modo explícito, cosa que sí hizo Thurston. El asunto se fue refinando hasta que un grupo de matemáticos (que incluía a uno ciego, Bernard Morin, aunque no de nacimiento) encontró una que es lo suficientemente intuitiva para explicarse sin muchos tecnicismos. Es curioso que una circunferencia no se puede voltear adentro del plano.

QEPD, William Thurston.

miércoles, 15 de agosto de 2012

Por fin: los sólidos platónicos

Lo prometido es deuda (para los que estaban pendientes, que seguro son poquitos). He aquí mis plegados de los sólidos platónicos, a partir de una hoja de papel cada uno.



Los diseños, para mi congoja, no son míos. El tetraedro, el cubo y el octaedro se deben a Kazuo Haga y aparecen en el magnífico libro de Kasahara y Takahama "Papiroflexia 'Origami' para expertos". El dodecaedro y el icosaedro son de Mitsu Kono, y son graciosamente notables, como explicaré más adelante.

Los tres primeros se construyen a partir de cuadrados, el dodecaedro a partir de una hoja de tamaño especial que se recorta de una tamaño carta, y el icosaedro a partir de un rectángulo plateado.

El icosaedro es interesante porque la hoja se divide en cinco franjas, y la central se pliega en triángulos equilateros como describe Jean Pedersen en su "Mathematical Tapestry" (p. 22). Mitsu Kono explica esto con cierto detalle en su página, pero para el dodecaedro no se mete en complicaciones y proporciona un patrón de dobleces listo para imprimir. A mí no me convenció esto del todo, puesto que así como se pueden doblar triángulos equiláteros sobre tiras, también se pueden doblar triángulos de Robinson, como describe Pedersen en la obra antes citada (p. 29). Usando esto es fácil completar el patrón de dobleces, con la peculiaridad de que es necesario marcar las estrellas en cada cara del dodecaedro resultante.

Kazuo Haga, por supuesto, también tiene sus versiones a partir de un cuadrado del icosaedro y del dodecaedro, pero francamente no fui capaz de ejecutarlos satisfactoriamente. John Montroll creó también las suyas (que publicó en su genial "A plethora of polyhedra in Origami"), pero creo que son un desafío aún mayor que las de Haga (aunque, posiblemente, son un poco más elegantes).

De colofón, les puedo decir que sobre los modelos aparecen, por orden creciente de caras, los alebrijes oaxaqueños de un chapulín, un guajolote, un batracio (¿un sapo, tal vez?) y un puercoespín. Sobre el icosaedro coloqué un jaguarcito de barro chiapaneco, y que en conjunto son un homenaje al señor 2 Lluvia "Ocoñaña" de Ñuu Tnuu (Tilantongo). El hecho de que el batracio esté sobre el octaedro, desde luego, tampoco es accidental.

sábado, 11 de agosto de 2012

Momentos de esperanza y desesperación

Sé que estoy considerando solamente a un medallista Fields no olímpico (evidencia anecdótica, además de que ya he criticado las medallas Fields antes).

Tampoco son mis favoritas sus áreas de estudio (ecuaciones en derivadas parciales y física matemática).

Ni siquiera me gusta la corbata estilo Lavallière (aunque al parecer es algo distintivo de los artistas, lo cual encuentro muy revelador).

Pero no dejan de ser solazantes las palabras de Cédric Villani ante la pregunta del por qué eligió la Matemática:
No fui un niño prodigio, pero siempre me sentí muy cómodo con esta ciencia. Vengo de una familia de intelectuales. Incluso sin que se hablara de ello, yo lo sentía en casa. Había libros en todos lados, se respiraba. El hecho de que haya sido la matemática y no otra cosa lo atribuiría a dos factores: primero al aspecto lúdico de esta disciplina, que es como un juego, como un enigma en el que hay que encontrar una solución. Y también al sistema francés, que le da un lugar de prestigio importantísimo ya desde el Siglo de las Luces. Hay un discurso en las instituciones que hace que si uno es bueno en matemática lo lleva a uno casi sin que tenga que elegir. (Entrevista de Nora Bär para "La Nación", 10/08/2012)

jueves, 2 de agosto de 2012

Sin título una vez más

Entrar en detalles es muy difícil, pues para empezar no los tengo todos. Mi interpretación del resultado es que, haiga sido como haiga sido, no existe el ambiente para crear una Sociedad Matemática Oaxaqueña.

Me imaginaba que la mayoría de los matemáticos y estudiantes oaxaqueños estaban ávidos por demostrar lo que piensan y desean hacer por su disciplina, fuera cara a cara o por medios electrónicos. Mi impresión es que no es así.

Del lado de la vertiente para dar a conocer la matemática y su estudio, pudiera ser que impere la opinión de G. H. Hardy que expresara en su "A Mathematician's Apology":
There is no scorn more profound, or on the whole more justifiable, than that of the men who make for the men who explain. Exposition, criticism, appreciation, is work for second-rate minds.

[No hay escarnio más profundo, o en su totalidad más justificable, que el de aquellos que son los que explican. La exposición, la crítica, la apreciación, es un trabajo para las mentes de segunda categoría.]
Lo vertido por Keith Devlin en "Prizes and Perils of Popularizing", parece dar algo de sustento a esto. Si lo leen, encontrarán que varios distinguidos divulgadores han sido menospreciados por su actividad o, en el mejor de los casos, vistos con cierta condescendencia. Sin embargo, una objeción al respecto es que ya tiene un par de décadas que se recogieron dichas impresiones.

Si no fuera eso, quizá se trate de lo que dice Ian Stewart en "Should we popularise mathematics? If so, how?":
A colleague [...] gives about 200 talks every year to school pupils, showing the mathematical magic tricks and surprising puzzles. He particularly likes to show them counterintuitive results [...].

He tells me that the students split into two distinct groups. One group finds the counterintuitive results stimulating. Pupils in the second group react by rejecting the mathematics: if it gives such unbelievable results, it must be nonsense. Once turned off, they cease to be receptive to any further approaches.

[Un colega [...] da alrededor de 200 pláticas cada año a estudiantes, mostrándole trucos mágicos matemáticos y sorprendentes rompecabezas. Le gusta, particularmente, mostrarles resultados que van contra la intuición [...].

Me dice que los estudiantes se dividen en dos grupos distintos. Un grupo encuentra los resultados contra-intuitivos estimulantes. Los pupilos del segundo grupo reacciona rechazando la matemática: si produce resultados tan inverosímiles, debe ser un sinsentido. Una vez que se apagan, dejan de ser receptivos ante cualquier otra aproximación.]
Del lado de estimular el estudio profesional de la misma, pienso que se considera a la Olimpiada estatal como un instrumento fundamental. En estos días me he estado convenciendo de que ciertamente es la mejor vía. Argumentos expresados en la bitácora de Terence Tao indican que la Olimpiada Internacional de Matemática es muy efectiva para producir matemáticos capaces de obrar grandes avances en la ciencia (o por lo menos medallistas Fields y premios de las sociedades matemáticas internacionales, si es que se tiene que medir de alguna forma). Un ejemplo es Ernesto Lupercio Lara, que aunque quedó en el lugar 215 (de 237) de la olimpiada de 1987, hace no mucho fue distinguido con el premio Ramanujan por su destacada investigación, como ya comenté alguna vez.

Si bien no tengo objeción con que exista dicha actividad y se promueva para conseguir tales resultados (sobre todo para el brillo y lustre de Oaxaca), no creo que sea la única manera de hacerlo, ni tampoco que sean éstos los únicos resultados que hay que perseguir. En particular, tal vez he sido demasiado enfático al declarar que no puedo ni quiero participar en tales cuestiones, pero de manera igualmente vehemente afirmo que no me opongo a que otros lo hagan en el seno de la hipotética "SOMATO" o cualquier otra organización. Estoy convencido de que en general las actividades en pro de la Matemática no son mutuamente excluyentes.

Quiero creer, pues, que hay razones para buscar mecanismos alternativos para impulsar el estudio profesional de la Matemática. En LessWrong hay un compilado de opiniones sobre las competencias, por parte de muchos insignes matemáticos. Una que me llama particularmente la atención es, irónicamente, la de Hardy:
And as there is only one test of originality in mathematics, namely the accomplishment of original work, and as it is useless to ask a youth of twenty-two to perform original research under [the Tripos'] examination conditions, the examination necessarily degenerates into a kind of game, and instruction for it into initiation into a series of stunts and tricks.

[Y puesto que sólo hay una prueba de originalidad en la Matemática, a saber, el logro de obras originales, y puesto que es inútil pedirle a un joven de veintidós realizar investigación original bajo las condiciones del examen [Tripos], el examen necesariamente degenera en una especie de juego, y la instrucción para él en una iniciación en una serie de acrobacias y trucos.]
No se puede tomar demasiado en serio, sin embargo, pues Hardy nunca participó en una Olimpiada y ni siquiera vivía cuando se realizó su primera edición. Tal vez algo más nos diga un triunfador olímpico por antonomasia, Terence Tao:
While individual steps in the solution [of a mathematical problem] might be able to be finished off quickly by someone with Olympiad training, the majority of the solution is likely to require instead the much more patient and lengthy process of reading the literature, applying known techniques, trying model problems or special cases, looking for counterexamples, and so forth.)

[Si bien los pasos individuales de la solución [de un problema matemático] pueden ser terminados rápidamente por alguien con entrenamiento olímpico, la mayoría de la solución muy probablemente requiera el mucho más paciente y largo proceso de leer la literatura, aplicar las técnicas existentes, ensayar problemas modelo o casos especiales, buscar contraejemplos, y así sucesivamente.]
Suena muy bien, hasta que examinamos las obras mismas de Tao (como lo que ha avanzado respecto a la conjetura de Goldbach) o, mejor aún, las de Ngô Bào Châu (sobre el programa de Langlands, específicamente), que al igual que Tao ganó la medalla de oro en la Olimpiada pero quedó en primer lugar. Algo ayuda, sin embargo, que Ngô Bào Châu tardó más en ganar la medalla Fields y que es mayor que Tao, lo que quizá es muestra de su perseverancia.

Por último, la convergencia de matemáticos con ideas y estilos distintos bajo el cobijo de una sola organización creo que hubiera sido inmensamente benéfico, sea para hacer investigación o sea para todo lo ya mencionado. En lo particular, con este sencillo ejercicio me enteré de la existencia de muchos colegas y de las inquietudes de muchos otros. Si eso fue todo lo que se pudo obtener de estas experiencias, ha valido la pena. No obstante, me hubiera gustado que surgiera mucho más. Ahí será para la otra, casi con seguridad gracias a la acción de otra persona.

sábado, 21 de julio de 2012

Luego, la trisección del cubo

Rondando la red buscando sobre el plegado de los sólidos platónicos a partir de una única hoja de papel (y, repito, luego contaré en qué acabó todo eso), di con la interesante bitácora de Mario Marín (y no el infame gobernador de Puebla, sino un colombiano homónimo). Ahí ví una notable trisección del cubo, que consiste en tres pirámides. Tal fue el siguiente objeto que quise plegar. Fue un poco difícil (y mi solución creo que no es muy satisfactoria) pero bastante directo a partir de un cuadrado.

Fotografía: Valeria Agustín Aquino (mi hermana).


La pirámide es bastante notable, porque si la longitud del lado del cuadrado que tiene por base es la unidad, entonces un par de aristas que conectan a su ápice con la base miden $\sqrt{2}$, mientras que otra mide $\sqrt{3}$. Por supuesto, todas las caras que delimitan son triángulos rectángulos. Resulta muy placentero ver cómo configuran un cubo.

domingo, 15 de julio de 2012

Y ahora, la cuadrisección del tetraedro

En la entrada anterior les mostré un poliedro plegado a partir de una sola hoja de papel tamaño carta que es la mitad de un tetraedro. Cuando lo vió Angélica, me dijo que ensamblara un rompecabezas similar al uno que está en la sala de Matemática del museo Universum de la UNAM.

El detalle es que ese rompecabezas es una cuadrisección del tetraedro, y resulta de cortar a la mitad cada una de las piezas de la bisección antes mencionada. Y no es tan fácil cortar con papiroflexia.

Pero por fortuna es posible.



Este plegado, hasta donde llega mi conocimiento, también es original (y al parecer no lo ha hecho John Szinger) y es una modificación bastante directa del anterior. Por eso queda bastante robusto, lo que parece ventajoso para jugar con las piezas.

Los cuatro poliedros son idealmente idénticos, pero al doblarlos resulta que hay dos "versiones": una izquierda y otra derecha. Para los fines del acertijo, quizá lo mejor es hacerlos todos izquierdos o todos derechos.

jueves, 12 de julio de 2012

Una bisección del tetraedro

Martin Gardner, en el capítulo sobre los sólidos platónicos de su "Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions" describe cómo armar con papel las piezas de una bisección del tetraedro.

Últimamente he estado plegando los sólidos platónicos con una única hoja de papel (de lo que contaré más detalles en otra ocasión) y se me ocurrió que podría doblar ese poliedro con una sola hoja.

Bisection of a tetrahedron with origami


Y resulta que un plegado muy semejante al del octaedro que describe Kasahara y Takahama en su "Papiroflexia 'Origami' para expertos" sirve maravillosamente para este fin. Hasta donde he podido averiguar, este plegado es original. Lo que más me agrada es que se obtiene a partir de una hoja tamaño carta sin cortar (que es un tamaño muy común en México, tristemente), aunque también se puede sacar de cualquier hoja de la serie A prácticamente sin modificaciones. Prometo que en cuanto pueda pondré las instrucciones (o aunque sea el patrón de dobleces) en mi página.

Cuando tenía unos 11 años tuve mi primera fiebre por la papiroflexia. Recuerdo que mi intento más temprano de modelo original fue un cangrejo que obtuve cortando una base de ave para sacar las patas y las pinzas, y así usarlo para una ilustración en mis libretas de primaria; que con gran deleite hice los dinosaurios de Montroll cuando estaba en la secundaria, deseando que se me hubieran ocurrido a mí. Es hasta ahora que posiblemente se me hizo crear algo original en este sentido.

Sólo quiero agregar que este modelo se lo dedico a Angélica y a mi hija Ximena Isabel (que esperamos que en estos días llegue).

P. D. (13/07/12): Con cierta tristeza encuentro que John Szinger en 2002 plegó este poliedro. Aunque, con un poco de alegría, veo que su patrón de dobleces es distinto al que se me ocurrió. El de él, por lo que puedo apreciar, es más eficiente en cuanto a uso del papel, pero yo le hice menos dobleces adicionales a mi versión.

P. D. (5/08/12): Ya subí el diagrama de este modelo a mi página. No es perfecto, pero espero les sea de utilidad a quienes deseen plegarlo.

miércoles, 4 de julio de 2012

Partícula de Higgs, ¿estás ahí?

Pues me desayuno con la noticia de que en el CERN ha anunciado hoy han encontrado una nueva partícula, y que podría ser el bosón de Higgs. ¡Fascinante!

Según entiendo, está a "un nivel de cinco sigmas" de seguridad de que existe (eso equivale, más o menos, a un 99.99997% de certeza), que tiene una masa de unos 126 GeV (el gigaelectrónvoltio es la unidad de masa preferida en la física de altas energías) y que es un bosón. Por ello, lo más seguro es que sea la tan buscada partícula, por que tendría precisamente estas propiedades. Pero todavía tienen que confirmarlo.

Este descubrimiento es muy importante porque da mayores evidencias de que el llamado modelo estándar de la física de partículas no está tan errado (y que es lo más cercano que se tiene hasta el momento de una teoría del todo), a pesar de que todavía no explica cómo encaja la gravedad en todo el asunto.

lunes, 25 de junio de 2012

Para el buzón de quejas y sugerencias (1)

  • Que admitieron las horrorosas palabras "friki", "blog", "chat" y demás pen&%&# en el diccionario de la RAE. ¡Me lleva la ch*&#*&#$! ¡Si para empezar la puñetera palabra "blog" es de por sí una horrenda construcción en inglés! Pero no es culpa de la RAE. Es de los usuarios de la lengua.
  • Con todo el debido respeto que me merecen los doctores Tim W. Fawcett y Andrew D. Higginson: ¡que vayan y ch&%#&%%&/%&%! ¿Cómo que por poner matemática en los artículos de biología los especialistas no los leen y luego no hacen los experimentos para comprobar las teorías? A otro perro con ese hueso. Una de dos: o aprenden más matemática, o se juntan más y mejor con los matemáticos. Digo: yo como matemático podría alegar que como no le entiendo a los términos biológicos en un artículo, no me interesa trabajar en esos temas. Qué coraje. Se reciben retaches, por cierto.
  • Han llegado hasta mis oídos las noticias de que tengo algunos seguidores por mixtecas latitudes, a los que les mando muchos y cordiales saludos y agradecimientos.
  • Espero hayan notado que mi entrada anterior participa en el Carnaval de Matemática(s). Ojalá voten por mi contribución los que la encuentren disfrutable. Sobre todo porque muy probablemente será "debut y despedida".

jueves, 21 de junio de 2012

Unos grafos que no son planos y la banda de Möbius

Una página que puedo recomendar ampliamente es Cut the Knot. Recientemente la redescubrí porque andaba buscando un modelo para realizar un "manifiesto matemático"; algo así como el "A Mathematician's Lament" de Lockhart, pero menos enfocado a la educación y más a la "defensa" de la Matemática como un arte, como una actividad no solo útil sino intrínseca a la humanidad. Ahí está uno, y de momento no puedo mejorarlo.

Pero no es eso de lo que quiero hablar en esta entrada. Antes de continuar, vale decir que un grafo básicamente es un montón de puntos conectados con líneas (no necesariamente rectas), y se dice plano si se puede redibujar en el plano euclidiano de modo que las líneas no se crucen (¡pero sin desconectar lo que originalmente está conectado, ojo!).

Resulta que hurgando en el susodicho sitio sobre la no-planaridad del grafo bipartito completo $K_{3,3}$ (y que popularmente está asociado al "problema del agua, luz y electricidad"), Stuart Anderson sugiere que una forma de demostrarla es embebiendo  $K_{3,3}$ en una banda de Möbius sin que se crucen sus aristas. Más aún: el mismo truco sirve para demostrar que el grafo completo de cinco vértices tampoco es plano.

Buscando en la red encontré que Maxim Rytin hizo un programa en Mathematica para ver la construcción de manera interactiva, y no sólo en la banda de Möbius, sino también en un toro. Mejor aún: ¡incluyó el maravilloso grafo de Petersen!

Sin embargo, sus embebimientos no son muy simétricos o satisfactorios desde mi punto de vista, así que decidí hacer los míos.
El grafo bipartito $K_{3,3}$. Noten la bella simetría que le proporciona la banda de Möbius. Los vértices con número par forman una parte y los impares la otra.
El grafo de Petersen. Bueno, tal vez debiera ser de Kempe, pero esa es otra historia.  El camino de las orillas puede pensarse como el pentágono exterior en los dibujos clásicos de este grafo, y el de en medio como el pentagrama interior.
El grafo completo $K_{5}$. De hecho, es la triangulación simplicial más pequeña de la banda de Möbius.
Espero se hayan dado cuenta de que los vértices están numerados con la notación de punto y barra (aprovecho para insistir en que no la inventaron los mayas). Esto es porque los símbolos son muy simétricos y aptos para el caso en que se dibujen sobre un material transparente. De hecho, es mejor construir así una banda de Möbius, porque el papel opaco "esconde" el hecho de que este espacio topológico solamente tiene una cara. Para que se puedan ver los vértices de los grafos apropiadamente, tuve que dibujarlos por los dos lados de la cinta antes de pegarla.

Es muy interesante que $K_{5}$ divide a la banda en triángulos, $K_{3,3}$ en rectángulos y el grafo de Petersen en "pentágonos". Como la característica de Euler (caras menos aristas más vértices) de la banda de Möbius es $0$, sucede que $K_{5}$ tiene $5$ caras triangulares, $K_{3,3}$ tres caras rectangulares y el grafo de Petersen $10$ caras pentagonales.

Si pulsan en los enlaces abajo de cada fotografía encontrarán unos archivos en formato PDF para imprimir y armar.


Esta entrada participa en la edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas, cuya bitácora anfitriona es Scientia.

miércoles, 20 de junio de 2012

Lo que diga la mayoría...

Sé que me voy a arrepentir por escribir esta entrada. Pero un amigo me preguntó la razón por la cual no me había manifestado sobre cierto asunto espinoso. Pensé entonces que sería positivo, después de todo, hacer algo. Esto es lo mejor que se me ocurre.

Supongamos que tenemos un conjunto de $N$ bolas y que a algunas se les asigna uno de $3$ colores (digamos: blanco, negro y gris) de la siguiente manera: con la misma probabilidad se puede elegir cualquiera de los tres colores o no colorearla. Luego se guardan las bolas en una bolsa opaca. Damos por sentado que las bolas no adquieren ni cambian espontáneamente su color.

Digamos ahora que $n$ personas desean saber aproximadamente cuántas bolas hay de cada color, así que cada una elige exactamente $t$ de ellas al azar como muestra. Luego publican sus resultados.

Finalmente, un árbitro decide tomar aleatoriamente $\lfloor PN\rfloor$ bolas, donde $0\leq P\leq 1$. Pero, como quiere que todas estén coloreadas, las colorea escogiendo uniformemente al azar los tres colores para cada bola que no esté pintada. Se decide que la "distribución oficial" de colores es la que obtenida por el árbitro. El resto de las bolas no pintadas se ignora.

Hice un programa en GNU Octave 3.2.4 para simular este proceso. En un experimento con $N=100$, $n=5$, $t=10$ y $P=0.8$, resulta que:
  • Hubo $29$, $23$, $21$ bolas blancas, negras y grises, respectivamente. Las $27$ restantes quedaron sin color.
  • De los muestreos de las $5$ personas, una dice que $50\%$ son blancas, el $20\%$ son negras y $10\%$ son grises; otra que son $20\%$, $50\%$ y $0\%$ (!) respectivamente; otra más que las proporciones son $20\%$, $10\%$ y $40\%$. De las otras dos, baste decir que ambas estiman que hay más negras. ¿Declararían los dos primeros que hay "empate técnico" entre blancas y negras?
  • Combinando por medio de un promedio los resultados de todos los muestreos, tenemos las proporciones $26\%$, $32\%$ y $16\%$. Interesante, ¿verdad? Nótese que cada uno de los muestreos usó un nada despreciable $10\%$ del total de bolas (pues $\frac{t}{N}=0.1$).
  • El árbitro obtuvo el resultado $31.25\%$, $32.5\%$ y $36.25\%$. Según él, deberían ser ¡más bolas grises, aún cuando originalmente son el color minoritario!
Obviamente, éste es un resultado entre muchos posibles. Pero creo que ofrece una idea del por qué hay que conducirnos con cuidado respecto a las encuestas electorales, y por qué la votación al final puede ser muy interesante.

martes, 5 de junio de 2012

Sobre el tránsito de Venus

Hoy ocurrió un tránsito de Venus. El de 2004 no lo vi, la verdad no le presté atención, y ahora lo lamento enormemente. Estos acontecimientos son raros y valiosos para la ciencia: en su momento permitieron determinar el tamaño del Sistema Solar por medio del paralaje, y en esta ocasión servirán para calibrar los métodos utilizados para detectar exoplanetas. Ahora que viene una pequeña en camino, quería conservar algo para mostrarle sobre este singular evento, pues posiblemente ella no tendrá oportunidad de verlo.

Preparé un espejo de Angélica (muy apropiado porque tiene su base y puede girar) como dice la página del Dr. Hugh Hunt y lo probé para ver si funcionaba.

Por cuestiones de óptica, entre más pequeña es la superficie reflejante, se necesita menos distancia para proyectar una imagen razonablemente grande, a costa de hacerla más tenue. Con el arreglo que hice, el reflejo era débil, pero confiaba en que algo se vería.


Salía de clase cuando aproximadamente iniciaba el fenómeno por estas latitutes (algo después de las 17:00, hora local). Intenté primero en el salón de clases mientras salió el sol un rato, mas un árbol y la falta de distancia para lograr un reflejo de tamaño apropiado se atravesaron. Enseguida se nubló, y algunos de mis alumnos me siguieron para ver si el clima daba una pequeña oportunidad. Inclusive se quedaron para verlo aunque fuera en la página de la NASA en mi cubo. Nada. Hasta lloviznó.


Terminada la jornada laboral guardaba algunas esperanzas de que el cielo se aclarara para alcanzar por lo menos un atisbo. Lástima, no hubo suerte.

viernes, 1 de junio de 2012

Friedrich Hirzebruch (1927-2012)

El pasado domingo 27 de mayo murió Friedrich Hirzebruch. Fue uno de los gigantes de la topología algebraica, entre otras cosas. Por poner un ejemplo: generalizó el teorema de Riemann-Roch (que relaciona a los ceros y polos de una función sobre una curva de un modo complicado pero sorprendente), lo que finalmente condujo a una generalización todavía más profunda por parte de Grothendieck y después a la K-teoría; ese resultado también fue precursor del celebrado teorema del índice de Atiyah y Singer.

Es algo interesante que le tocó vivir su niñez y juventud durante la Alemania nazi, por lo que tuvo que afiliarse a la división infantil de las Juventudes Hitlerianas. No había cumplido los 18 cuando se enlistó en la Wehrmacht (o sea, las fuerzas armadas de su país), y los Aliados lo hicieron prisionero, pero con tan buena fortuna que ese mismo año se terminó la guerra y lo liberaron; justo a tiempo para que entrara a la universidad de Múnich.

jueves, 31 de mayo de 2012

No el "cuánto" sino el "cómo"

Leyendo esto de Marina Keegan me sorprende que afirme "We don’t have a word for the opposite of loneliness". ¿Cómo de que no? Sin buscarle demasiado resulta que es "companionship". Continúa más adelante: "We’re so young. We’re so young. We’re twenty-two years old. We have so much time.". Y tampoco, porque murió el sábado 26 del presente a esa justa edad, en un accidente automovilístico.

Si entiendo bien, su mensaje en "The opposite of loneliness" es que nunca se es demasiado viejo para intentar algo, y menos a los veinte. Vale. Estoy de acuerdo. Pero creo que también hay que estar muy conscientes de la fragilidad de nuestra vida; que justamente por eso hay que poner manos a la obra inmediatamente, y no tanto porque uno "esté muy joven" en un momento dado y tenga uno "mucho potencial".

lunes, 21 de mayo de 2012

Sobre la Sociedad Matemática Oaxaqueña (IV)

Pues va el primer paso hacia adelante para la Sociedad Matemática Oaxaqueña. Los que hasta ahora manifiestamente nos hemos interesado en el proyecto
  • Dr. Víctor Alberto Cruz Barriguete (UTM, victorcruz arr mixteco punto utm punto mx),
  • JHS,
  • Dr. Marcelino Ramírez Ibáñez (marchelino arr [el correo de GMail]),
  • M. C. Virgilio Vázquez Hipólito (UNISIJ),
nos reuniremos el día 16 de julio del presente año, para deliberar el curso que debe tomar el asunto. Si alguien está interesado en participar, ruégole se comunique con nosotros vía correo electrónico (algunos se pueden encontrar en el wiki de la SMO) para proporcionarles más detalles.

Si consiguen un abogado que nos pueda auxiliar con los rollos legales, se los agradeceremos muchísimo. Y con correr la voz ya es bastante, :D

viernes, 18 de mayo de 2012

Una pregunta extraña

Hoy concluyó la IV Semana de las Culturas de la Cañada. La última conferencia del evento fue la mía, y platiqué sobre una clasificación, usando análisis de racimos, de la cerámica en la Cañada (de una manera muy tentativa, por supuesto). Al final, alguien me preguntó mi opinión sobre si el estudiar un posgrado o Matemática ha cambiado mis concepciones sobre dios.

Me gustaría que mis lectores, si gustan, me pusieran en los comentarios a qué clase de motivación piensan que pudo obedecer ese planteamiento.

lunes, 14 de mayo de 2012

Mangos y mangueras

A continuación, dos imágenes. La primera la tomé hace más de un mes, cuando mi suegro por alguna razón desenrolló una manguera en su patio y reveló sin querer una sinusoide aproximada.
Algo similar ya había ilustrado Albrecht Dürer en el primer libro de su Underweysung der Messung. Si no se tiene una manguera, se puede hacer enrollando un tubo de papel y haciendo un corte oblicuo, o ¡con un rodillo para pintar! Esto nos lo muestran Apostol y Mnatsakanian en un artículo del American Mathematical Monthly (artificio que a su vez tomaron de Steinhaus, y no sé hasta dónde se pueda seguir la cadenita).

La segunda que les mostraré es reciente (de ayer, específicamente).
Bartholdi y Henriques pelaron una naranja en espiral y demostraron que, entre más delgadita la tira, más se parece a una espiral de Bernoulli (alias clotoide o espiral de Cornu, o espiral de Euler) cuando se extiende sobre la mesa. Acá pelé un sabroso mango de Cuicatlán, y aunque la curva resultante es semejante, obviamente no es igual. Sería interesante la generalización del resultado para otras frutas.

domingo, 13 de mayo de 2012

Joram Lindenstrauss (1936-2012)

Visitando los obituarios de la AMS recibo la noticia de que Joram Lindenstrauss nos ha dejado el 29 de abril pasado. Para mí su trabajo es muy significativo, porque discutir la demostración que dieron él y Lior Tzafriri del teorema de espacios complementarios fue el tema de mi tesis de licenciatura.

Hace poco recibió algo de atención porque su hijo Elon ganó una medalla Fields.  Me extraña que a Joram mismo no le dieran una: tenía unos 35 años cuando resolvió lo de los espacios complementarios. Hizo además muchas contribuciones al análisis funcional, quizá una de las más notables es el lema de Johnson-Lindenstrauss, que indica de qué tamaño debe ser un espacio para meter un conjunto de puntos en otro espacio de modo que se preserven las distancias con alguna precisión prescrita. Otra fue atraer la atención hacia ciertos aspectos del trabajo de Grothendieck sobre análisis funcional.

viernes, 11 de mayo de 2012

Sin duda, cuidadosamente planeados

Un equipo, que supongo está a cargo de William A. Saturno de la Universidad de Boston, descubrió unas pinturas mayas en Xultún, Guatemala. Los artículos del Scientific American y del New York Times son los que mejor informan sobre el asunto.

Esto no suena muy sorpresivo, porque seguramente hay cientos o miles de sitios mesoamericanos que todavía no se han desenterrado o estudiado. Lo sobresaliente de éste en particular es que hay una pared donde, al parecer, un escriba maya registraba los pasos intermedios de sus razonamientos matemáticos para ir calibrando las regularidades lunares.

Y no sólo eso: encontraron otros números relacionados con el calendario y los planetas, que al menos a mí me sugieren que los matemáticos mayas sí iban contando múltiplo por múltiplo (vía sumas repetidas) para calcular fechas en el futuro o en el pasado del Haab y del Tzolkin, lo cual no deja de decepcionarme un poco. Con todo, resulta una información valiosísima, pues no se disponía de evidencias semejantes salvo por el códice Dresde, cuya realización es posterior a lo recién hallado.

Esperaremos a ver qué dicen los expertos extranjeros sobre el tema. Ah, por cierto: las cuentas que aparecieron ahí confirman que los mayas consideraban que su calendario podía dar vueltas eternamente, mucho más allá del 2012.

Adenda (13/05/12): Más detalles sobre este importante asunto los reporta el artículo de Saturno, Stuart, Aveni y Rossi publicado en la revista Science.