Práctico cuadrado triangular (!)

Pues sí llegué a práctico por catorceava vez. A triangular, por novena vez. Y a cuadrado, por séptima vez (el cero, para mí, sí es natural). Me parece que no es tan común tener las tres propiedades al mismo tiempo. Con las listas de la OEIS calculo que los primeros números triangulares y prácticos son \[ 1,6,28,36,66,78,120,210,\ldots. \] Ahora bien: por un teorema de Euler, todos los números perfectos pares son de la forma \[ \frac{2^{n}(2^{n}-1)}{2}, \] así que también son triangulares, lo mismo que prácticos. La lista de los triangulares prácticos no aparece en la OEIS pero no sé si sea de suficiente interés. Resulta que Euler también (¡quién más!) determinó una fórmula para los números triangulares cuadrados \[ N_{k} = \left(\frac{(3+2\sqrt{2})^{k}-(3-2\sqrt{2})^{k}}{4\sqrt{2}}\right)^{2} \] y por ella sospecho que es difícil que haya otro cuadrado triangular práctico, pero no lo sé. He hecho una búsqueda rápida en la literatura pero he encontrado nada hasta ahora. Seguro JHS me sacará de mi ignorancia en cualquier momento... [En efecto, resulta que hay algunos más; echen un ojo a los comentarios].

Para el pastel pedí una decoración de una trenza lemniscática. De hecho, para el monoide generado por $\Sigma = \{\sigma_{1},\ldots,\sigma_{7}\}$ con las relaciones \[ \sigma_{i}\sigma_{j} = \sigma_{j}\sigma_{i},\quad \text{para } |i-j|\geq 2 \] y \[ \sigma_{i}\sigma_{i+1}\sigma_{i} = \sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1}\quad\text{para }1\leq i\leq n-1, \] que es el llamado monoide positivo de trenza de $8$ hebras, resulta (según a OEIS) que hay exactamente $36$ palabras de longitud $3$.

Seis artículos seis

Como regalo de cumpleaños adelantado recibo la noticia de que mi artículo "Modulation in tetradic harmony and its role in jazz", escrito conjuntamente con mi mentor y colega el doctor Guerino Mazzola, por fin fue publicado en el Journal of Mathematics and Music. Resultó también muy adecuado para el dichoso "reto de los diez años", pues dista casi exactamente una década de la publicación de mi primer artículo, en la misma revista.

Este es el primer trabajo que desarrollo completamente trabajando en la Universidad Tecnológica de la Mixteca, lo cual añade alegría a su salida a la luz. Sin embargo, otra vez tuvo sus complicaciones, pues es la primera vez que tengo que superar cuatro rondas de revisión. También aprovecho para agradecer nuevamente a la Unión Matemática Internacional por su apoyo por medio de su Abel Visiting Scholar Program para realizar la estancia en Estados Unidos, hace un año, para completar este trabajo.

Enhorabuena y ¡venga el séptimo! :-D