Cumplo un tanto ajetreado los 33 años, que es el décimo
número suertudo. Un número se dice
suertudo si sobrevive a un proceso de cribaje análogo al de los primos, pero simplemente por orden y no por divisibilidad. Es decir: primero elimino a cada segundo número, y me quedan $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,\ldots$; luego remuevo cada tercer número, y permanecen $1, 3, 7, 9, 13, 15, 19,\ldots$, y así sucesivamente. Este tipo de números comparten muchas propiedades de los primos; por ejemplo, se cumple que si $l_{n}$ es el $n$-ésimo número suertudo, entonces $l_{n}\sim n\log(n)$. Con suerte seré suertudo por undécima vez.
El pastel para esta ocasión es un toro (debía ser redondo y reticulado, pero algo diferente entendió la pastelera), y si se divide en $16$ cuadros, resulta que hay $33$ formas de colorear de negro cuatro cuadritos (y el resto de blanco) descontando simetrías. Para ver por qué, usando GAP se puede calcular que el grupo de simetrías de simetrías del toro cuadriculado es de orden $128$, los índices de ciclos de cada una de las simetrías, y finalmente determinar que el polinomio de índices de ciclos es
\[
p(x) = \frac{1}{128}(16x_{8}^{2}+52x_{4}^{4}+16x_{1}^{2}x_{2}x_{4}^{3}+27x_{2}^{8}+12x_{1}^{4}x_{2}^{6}+4x_{1}^{8}x_{2}^{4}+x_{1}^{16}).
\]
Sustituyendo $x_{1}=1+y$, $x_{2}=1+y^{2}$, $x_{4}=1+y^{4}$, $x_{8}=1+y^{8}$ y simplificando con la ayuda de Maxima, nos da
\[
q(y) = y^{16}+y^{15}+5y^{14}+10y^{13}+33y^{12}+53y^{11}+101y^{10}+122y^{9}+153y^{8}
\]
\[
+122y^{7}+101y^{6}+53y^{5}+33y^{4}+10y^{3}+5y^{2}+y+1.
\]
Como ven, el coeficiente de $y^{4}$ (y el de $y^{12}$, por supuesto, pues los colores se pueden intercambiar), es $33$. Esto lo supe examinando la sucesión
A093466 de la OEIS. :D
Esas coloraciones en general les llaman cuasicuatrominós, e incluyen a los cinco
tetrominós, que son posiblemente el caso particular más famoso de los poliominós tan favoritos de Golomb. No sabía que no pueden embaldosar un rectángulo de $5\times 4 = 20$ cuadros, pero sí uno de $5\times 8$ o $4\times 10$ si se usan dos juegos. :D
P. D. 1: ¿Por qué chingados Corea del Norte realiza ensayos nucleares en mi cumpleaños, pues? >:[
