Una más sobre las series armónicas

Las serie armónica, es consabido y lo he dicho varias veces, es divergente \[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} = \infty. \] Lo interesante es que si la "descentramos" (pero no en un entero) y la extendemos a todos los enteros, ¡converge! \[ \sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac{1}{n+\alpha} = \frac{\pi}{\tan(\pi \alpha)},\quad(\alpha\notin \mathbb{Z}). \] ¡La suma tiene que ver con $\pi$! Es tópico que la serie armónica alternante converge \[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} = \ln(2), \] y sigue convergiendo si la "descentramos" y extendemos a todos los enteros, y podemos saber a dónde \[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k+\alpha} = \frac{\pi}{\sin(\pi\alpha)},\quad(\alpha\notin\mathbb{Z}). \] ¡Fascinante! Y todo esto se puede ver como consecuencia de la maravillosa fórmula de sumación de Poisson. No les quito el deleite de verificarlo siguiendo los pasos que indican Stein y Shakarchi en su libro de análisis de Fourier. Estas fórmulas son algunas de las razones por las que me encanta este tipo de análisis.