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domingo, 1 de noviembre de 2020

Una más sobre las series armónicas

Las serie armónica, es consabido y lo he dicho varias veces, es divergente k=11k=. Lo interesante es que si la "descentramos" (pero no en un entero) y la extendemos a todos los enteros, ¡converge! kZ1n+α=πtan(πα),(αZ). ¡La suma tiene que ver con π! Es tópico que la serie armónica alternante converge k=1(1)k+1k=ln(2), y sigue convergiendo si la "descentramos" y extendemos a todos los enteros, y podemos saber a dónde k=1(1)kk+α=πsin(πα),(αZ). ¡Fascinante! Y todo esto se puede ver como consecuencia de la maravillosa fórmula de sumación de Poisson. No les quito el deleite de verificarlo siguiendo los pasos que indican Stein y Shakarchi en su libro de análisis de Fourier. Estas fórmulas son algunas de las razones por las que me encanta este tipo de análisis.

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