domingo, 1 de noviembre de 2020
Una más sobre las series armónicas
Las serie armónica, es consabido y lo he dicho varias veces, es divergente
∞∑k=11k=∞.
Lo interesante es que si la "descentramos" (pero no en un entero) y la extendemos a todos los enteros, ¡converge!
∑k∈Z1n+α=πtan(πα),(α∉Z).
¡La suma tiene que ver con π! Es tópico que la serie armónica alternante converge
∞∑k=1(−1)k+1k=ln(2),
y sigue convergiendo si la "descentramos" y extendemos a todos los enteros, y podemos saber a dónde
∞∑k=1(−1)kk+α=πsin(πα),(α∉Z).
¡Fascinante! Y todo esto se puede ver como consecuencia de la maravillosa fórmula de sumación de Poisson. No les quito el deleite de verificarlo siguiendo los pasos que indican Stein y Shakarchi en su libro de análisis de Fourier. Estas fórmulas son algunas de las razones por las que me encanta este tipo de análisis.
Suscribirse a:
Comentarios de la entrada (Atom)
No hay comentarios.:
Publicar un comentario