Demostración de la fórmula de Fàa di Bruno

Vale, pues voy a seguir muy de cerca a (Johnson, 2002) aquí. Cada partición de $\{0,\ldots, m\}$ se puede obtener de forma única al pegar a $m$ a alguna partición de $\{0,\ldots, m-1\}$, y hay de dos sopas:

1. Se agrega como un nuevo bloque $\{m\}$, y así se incrementa el número de bloques en una unidad respecto a la partición inicial. Esto corresponde a derivar a $g^{(k)}(f(t))$ con respecto a $t$ para obtener $g^{(k+1)}(f(t))f'(t)$.
2. Se elige uno de los bloques de la partición y se le agrega $m$. Digamos que la cardinalidad del bloque es $i$; entonces el número de bloques de cardinalidad $i$ se reduce en una unidad, y el número de bloques de cardinalidad $i+1$ aumenta en $1$. Aún así, el número total de bloques permanece igual. Esto corresponde a derivar a $(f^{(i)}(t))^{b_{i}}$ respecto a $t$ para obtener $b_{i}(f^{(i)}(t))^{b_{i}-1}f^{(i+1)}(t)$, donde $b_{i}$ es el número de bloques de tamaño $i$.

Por ejemplo, recordemos que $g'(f(t))f''(t)$ está asociado al bloque $\{0,1\}$, y al derivar respecto a $t$ obtenemos \[ g''(f(t))f'(t)f''(t)+g'(f(t))f'''(t), \] cuyos sumandos están asociados, respectivamente, a $\{\{2\},\{0,1\}\}$ (un bloque de cardinalidad $1$ y un bloque de cardinalidad $2$) y $\{0,1,2\}$ (un solo bloque de cardinalidad $3$). Naturalmente, van saliendo más sumandos que toman en cuenta todas las particiones posibles cuando se realizan todos los detalles de la derivación.