En medio de la pandemia (parece que cerca de un máximo local promedio de contagios diarios y quizá en el umbral de una intensificación), me estreno como primo irregular en mi número de años. Esta clase de primos es, contrariamente a lo usual en teoría de números, un poco difícil de describir.
Dado un cuerpo de números algebraicos, se puede definir cierto grupo asociado llamado su grupo de clase, que mide qué tanto falla la factorización única en su anillo de enteros. El orden de dicho grupo es el número de clase del cuerpo. Un primo impar $p$ es irregular si el número de clase del anillo ciclotómico $\mathbb{Q}(e^{2\pi i/p})$ es divisible entre $p$. Yo no sé tanto de teoría algebraica de números ni de paquetes de software para verificar la irregularidad de un primo, pero afortunadamente Kummer encontró un criterio algo más sencillo para saberlo.
Comenzamos observando que el numerador del trigésimo segundo número de Bernoulli es $7709321041217$, y es divisible entre $37$. El criterio de Kummer dice que un primo $p$ es irregular si divide al numerador de al menos uno de numeradores de los números de Bernoulli $B_{2},B_{4},\ldots,B_{p-3}$, por lo que resulta que $37$ es un primo irregular; de hecho, es el primo irregular más pequeño. Precisamente este tipo de primos surge en la demostración de Kummer de 1850 de que, por ejemplo,
\[
x^{31}+y^{31} = z^{31}
\]
no tiene soluciones no triviales en los enteros; esto es, la conjetura de Fermat es cierta para este exponente y para todos los primos regulares (o sea, los que no son irregulares). Leonard Carlitz, en 1953, probó que hay infinitos primos irregulares al estilo euclidiano. Supone primero que hay una cantidad finita de ellos, restados en uno los multiplica todos y también por un parámetro adecuado para obtener el número $M$. Divide al $M$-ésimo número de Bernoulli entre $M$ y lo pone en sus mínimos términos. Luego usa el teorema de Stadt-Clausen para demostrar que este número construido tiene como numerador a $1$. Pero, por otra parte, $|B_{2m}/2m|$ diverge a infinito conforme $m$ tiende a infinito, lo que contradice que la magnitud acotada del numerador.
