La tercera fue la vencida

Una buena noticia: mi artículo "Counterpoint in 2k-tone equal temperament" por fin salió publicado en el número 3 del volumen 3 del "Journal of Mathematics and Music". Francamente, considerando el contenido del trabajo y cómo había estado el arbitraje, pensé que esto no sucedería (claro, ya sabía que sí saldría hace un rato, pero hasta no ver, no creer).

Hay una versión en español del artículo en mi página. Es el original que mandé a la revista, y que no contiene todo lo que me sugirieron le añadiera. Naturalmente, a mi me gusta la forma primigenia, porque da la real dimensión de lo que obtuve.

Ahora puedo tachar una cosa de la lista que publiqué hace casi un año, :-D.

Copiar e recombinar deveriam ser direitos inalienáveis de todo ser vivo

Ha um ramo bastante novo da matemática chamado geometria tropical. Foi nomeado assim como um homenagem a Imre Simon, um matemático e cientista da computação brasileiro que trabalhou na Universidade de São Paulo. Ele morreu no passado 13 de agosto, de câncer de pulmão.

Especificamente, geometria tropical é um ramo da geometria algébrica, que traduze questões geométricas clássicas em problemas combinatórios. Alguns problemas em geometria complexa ou real podem ser simplificados devido ao caráter linear (por partes) dos objetos tropicais.

As coisas tropicalizadas podem ser muito estranhas: uma linha, por exemplo, consiste de três raios que emanam de um único ponto. Uma cônica tropical é mais estranha ainda. Mas alguns resultados razoáveis são válidos, como o teorema de Bezout: dois cónicas tropicais se cruzam em quatro pontos.

Las lecciones de Matemática pura me cautivan más y más

Aventemos un montón de puntos en el plano. Si buscamos las regiones que quedan delimitadas por las rectas que equistan de cada par de puntos de modo que cada una contenga exactamente un punto, teselaremos el plano con unos polígonos convexos. Y quedará algo que se verá más o menos así.

Esta construcción geométrica se denomina diagrama de Voronoi.

¿Qué tal si los puntos son edificios o monumentos históricos de una ciudad? Viajando por los lados de los polígonos del diagrama de Voronoi nos aseguraremos de estar siempre lo más lejos posible de algún par de sitios.

¿Y por qué querríamos alejarnos lo más posible de tales puntos de interés? ¡Para poder construir una línea del tren subterráneo sin ponerlos en peligro! De hecho, construirán una en Sevilla, España, y la Universidad de Sevilla aprovechará estos conceptos matemáticos para trazar la ruta que seguirá la nueva línea.

Por supuesto, no sólo se desea que la obra evite dañar las joyas arquitectónicas: también se busca que el recorrido resultante sea el más corto posible entre los que conectan los puntos extremos. Para ello, es necesario encontrar la ruta más corta en el grafo definido por los segmentos del diagrama de Voronoi, pero que estén apartados alguna distancia reglamentaria de los edificios o monumentos. Lo bueno es que para encontrarlas ya existen algoritmos muy eficientes... ¡Qué hermosa y humana aplicación de la Matemática!

La Matemática como un lenguaje adecuado

Doron Zeilberger escribió que uno de sus más grandes héroes (y eso que Zeilberger admira a muy pocos) había muerto en su opinión #103. ¿Quién? Israil Moiseevic Gelfand. Este eximio matemático nos dejó el día 5 del mes pasado (pero, como bien observa Zeilberger, no ha muerto, en la terminología de P. Erdös).

Admito que no lo advertí antes, a pesar de conocer un gran teorema debido a él y a Kolmogorov. Antes de enunciarlo, hay que tener en mente que el conjunto C(X) de todas las funciones continuas de un espacio topológico X al cuerpo de los reales, es un anillo conmutativo con identidad. Además, C(?) define un funtor contravariante de la categoría de los espacios topológicos a los anillos con identidad.

Teorema (Kolmogorov-Gelfand). Si X y Y son espacios topológicos compactos y Hausdorff, entonces C(X) es isomorfo a C(Y) si, y sólo si, X es homeomorfo a Y.

Esto mata las aspiraciones de obtener información sin esfuerzo de un espacio más o menos razonable con sólo asociarle un anillo de manera obvia. Y es muy curioso que si el conjunto de funciones, en lugar de ir al cuerpo de los reales, van a un grupo o un anillo más sencillo, sí nos pueden decir cosas interesantes.

Leyendo un poco de su biografía, podrán apreciar el calibre de este gran matemático. Como bien se indica, no sólo demostró grandes cosas, sino que aportó poderosos métodos. Para finalizar, algunas de sus palabras:

Es importante no separar la Matemática de la vida. Uno puede explicarle quebrados incluso a los más briagos. Si les preguntas: "¿Qué es más grande, 2/3 o 3/5?" es posible que no sepan. Pero si les preguntas "¿Qué es mejor, dos botellas de mezcal para tres personas, o tres botellas de mezcal para cinco personas?" te contestaran de inmediato. Dirán que dos para tres, desde luego.