En este año que termina no me dio tiempo de encontrar el video más visto en Yutub, pero supongo que en México el de cierta persona acompañada de sus progenitores ha de estar entre los primeros lugares.
Por otro lado, me siento realizado porque mis tuits le gustaron a la CNRS, a Nalini Joshi, a Evelyn Lamb, a John Allen Paulos y a Keith Devlin. Igualmente, me causa algo de orgullo haberle causado algo de picazón a la insulsa escritora de un programa de televisión por medio de la aludida red social.
Por último, me pareció interesante leer lo que opina Hawking en el Foro Económico Mundial sobre la automatización de muchos empleos ya no tan simples, como podría serlo cierta clase de periodismo. Sin embargo, creo que las máquinas todavía no hacen un trabajo siempre decente en algo tan mundano como lavar la ropa, y como hasta donde tengo noticia todavía no suben escaleras, no me siento tan agobiado.
Y pues, ¡feliz 2017!
sábado, 31 de diciembre de 2016
jueves, 15 de diciembre de 2016
Más vale paso que dure... (3)
Prometí anteriormente que hablaría del empeño que mostraron los antiguos pobladores de Mitla en la construcción de lo que ahora está en ruinas, y que es comparable tanto con el de los que erigieron Monte Albán o el de unas hormigas que fascinaron a Evelyn Lamb durante su visita a Oaxaca.
Pues bien: el trabajo primoroso de los frisos realmente requeriría un tesón poco visto en los métodos constructivos modernos. Las piedras que utilizaban en el sitio venían de relativamente lejos (hasta unos $7$ kilómetros de distancia, entre montes y serranías, según un trabajo ya algo antiguo pero excelente de 1992 de Nelly Robles García), de canteras donde eran removidos enormes bloques (¡de $3.1\times 1.38 \times 0.85$ metros cúbicos, por ejemplo!) del que seguramente se separaban fragmentos; estos eran tallados hasta darles las formas de cuadriláteros o relieves curveados que servían de unidades para los frisos.
Todo esto se hacía usando otras piedras como herramientas, que no instrumentos de metal, y hasta donde tengo noticia realmente no se conocen los métodos que usaban para separar los trozos gigantes; se piensa que se hacían perforaciones en la matriz de roca para ser rellenadas con palos y que, al humedecerse, ejercían suficiente presión como para fracturar el material. Ni siquiera me atrevo a imaginar la cantidad de paciencia que se necesitaba para esto, pues restaría todavía trasladar el resultado hasta el sitio de la obra. Según Robles García, no faltaba la ocasión en que la bendita piedra se quebraba en el traslado, y había que comenzar de nuevo.
En la siguiente figura pueden ver cómo, desde mi punto de vista, podría ensamblarse el friso de la fotografía, donde los números indican el orden de "inserción" en marco del friso.
Por la prisa no pude reproducirlo exacto, pero se entiende que la parte azul de los rectángulos grandes tiene el zigzag grabado en relieve, pero que forman una sola unidad. El módulo que se repite consta de $8$ piezas, y según vemos en la fotografía se requerían unas $48$ repeticiones para completarlo.
Suponiendo que tomara unos diez minutos hacer una unidad, resulta un jornal de $8$ horas para completar un cuadro con frisos. Según estimo por el número de edificios de cada grupo de Mitla y el número de frisos por pared, hay del orden $1\times 10^{2}$ cuadros (sin contar los que posiblemente no han sobrevivido hasta nuestros días), por lo que tomaría no menos de unos tres meses de trabajo diario de una sola persona llevarlos a cabo. Y esto cuando ya se han colocado todos los cimientos y se tienen talladas todas las piezas, lo que con seguridad añadiría varios años más a la duración de la obra.
Pues bien: el trabajo primoroso de los frisos realmente requeriría un tesón poco visto en los métodos constructivos modernos. Las piedras que utilizaban en el sitio venían de relativamente lejos (hasta unos $7$ kilómetros de distancia, entre montes y serranías, según un trabajo ya algo antiguo pero excelente de 1992 de Nelly Robles García), de canteras donde eran removidos enormes bloques (¡de $3.1\times 1.38 \times 0.85$ metros cúbicos, por ejemplo!) del que seguramente se separaban fragmentos; estos eran tallados hasta darles las formas de cuadriláteros o relieves curveados que servían de unidades para los frisos.
Todo esto se hacía usando otras piedras como herramientas, que no instrumentos de metal, y hasta donde tengo noticia realmente no se conocen los métodos que usaban para separar los trozos gigantes; se piensa que se hacían perforaciones en la matriz de roca para ser rellenadas con palos y que, al humedecerse, ejercían suficiente presión como para fracturar el material. Ni siquiera me atrevo a imaginar la cantidad de paciencia que se necesitaba para esto, pues restaría todavía trasladar el resultado hasta el sitio de la obra. Según Robles García, no faltaba la ocasión en que la bendita piedra se quebraba en el traslado, y había que comenzar de nuevo.
En la siguiente figura pueden ver cómo, desde mi punto de vista, podría ensamblarse el friso de la fotografía, donde los números indican el orden de "inserción" en marco del friso.
Por la prisa no pude reproducirlo exacto, pero se entiende que la parte azul de los rectángulos grandes tiene el zigzag grabado en relieve, pero que forman una sola unidad. El módulo que se repite consta de $8$ piezas, y según vemos en la fotografía se requerían unas $48$ repeticiones para completarlo.
Suponiendo que tomara unos diez minutos hacer una unidad, resulta un jornal de $8$ horas para completar un cuadro con frisos. Según estimo por el número de edificios de cada grupo de Mitla y el número de frisos por pared, hay del orden $1\times 10^{2}$ cuadros (sin contar los que posiblemente no han sobrevivido hasta nuestros días), por lo que tomaría no menos de unos tres meses de trabajo diario de una sola persona llevarlos a cabo. Y esto cuando ya se han colocado todos los cimientos y se tienen talladas todas las piezas, lo que con seguridad añadiría varios años más a la duración de la obra.
miércoles, 14 de diciembre de 2016
Decorando el árbol navideño
No soy particularmente afecto a los adornos decembrinos, pero Ange y mi hija sí. Conseguir el árbol se hizo imperioso, que afortunadamente consintieron en que fuera de plástico.
¿Y qué tan larga se necesita la serie para que se vea bien?
Si se aproxima con una espiral cónica, con ecuaciones paramétricas \[ x = \frac{tr}{h}\cos(ah), y = \frac{tr}{h}\sin(ah), z = t/h \] donde $a$ es la frecuencia angular, $h$ es la altura del árbol y $r$ es el radio en la base, de modo que conforme $t$ va de $0$ a $h$ se recorre todo el cono, la longitud de la curva es \[ s(t) = \frac{h((\tfrac{r}{h})^{2}+1)}{2ar}\mathrm{arcsinh}\left(\frac{art}{h\sqrt{(\tfrac{r}{h})^{2}+1}}\right)+\frac{t}{2}\sqrt{(\tfrac{r}{h})^{2}(a^{2}t^{2}+1)+1}. \]
Para nuestro caso, la altura es $h=1{.}6$ y el radio en la base es aproximadamente $r=0{.}5$. Yo quería que diera $6$ vueltas, así que deberíamos tener $a=6\cdot 2\pi = 12\pi$, lo que requeriría unos $15{.}27$ metros.
Pero no resultaría muy práctico, pues si he observado bien el espaciamiento promedio entre los focos, tendríamos que conseguir una serie de unas $600$ o $700$ luces, que no hemos visto por acá en Huajuapan.
Ange consiguió una de $300$ luces, que equivale a unos $7{.}5$ metros, ¿cuántas vueltas le daría? Usando la gráfica de la función de longitud en términos de $a$, resulta un valor algo así como $ a \approx 18 \approx 2.86(2\pi)$, o sea un poco menos de tres vueltas (y es que la gráfica se ve muy lineal después de que la espiral da una vuelta). Dado que el árbol se ensambla de tres módulos, pues no se ve tan mal; al menos, Ximenita quedó complacida.
¿Y qué tan larga se necesita la serie para que se vea bien?
Si se aproxima con una espiral cónica, con ecuaciones paramétricas \[ x = \frac{tr}{h}\cos(ah), y = \frac{tr}{h}\sin(ah), z = t/h \] donde $a$ es la frecuencia angular, $h$ es la altura del árbol y $r$ es el radio en la base, de modo que conforme $t$ va de $0$ a $h$ se recorre todo el cono, la longitud de la curva es \[ s(t) = \frac{h((\tfrac{r}{h})^{2}+1)}{2ar}\mathrm{arcsinh}\left(\frac{art}{h\sqrt{(\tfrac{r}{h})^{2}+1}}\right)+\frac{t}{2}\sqrt{(\tfrac{r}{h})^{2}(a^{2}t^{2}+1)+1}. \]
Para nuestro caso, la altura es $h=1{.}6$ y el radio en la base es aproximadamente $r=0{.}5$. Yo quería que diera $6$ vueltas, así que deberíamos tener $a=6\cdot 2\pi = 12\pi$, lo que requeriría unos $15{.}27$ metros.
Pero no resultaría muy práctico, pues si he observado bien el espaciamiento promedio entre los focos, tendríamos que conseguir una serie de unas $600$ o $700$ luces, que no hemos visto por acá en Huajuapan.
Ange consiguió una de $300$ luces, que equivale a unos $7{.}5$ metros, ¿cuántas vueltas le daría? Usando la gráfica de la función de longitud en términos de $a$, resulta un valor algo así como $ a \approx 18 \approx 2.86(2\pi)$, o sea un poco menos de tres vueltas (y es que la gráfica se ve muy lineal después de que la espiral da una vuelta). Dado que el árbol se ensambla de tres módulos, pues no se ve tan mal; al menos, Ximenita quedó complacida.
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