No soy particularmente afecto a los adornos decembrinos, pero Ange y mi hija sí. Conseguir el árbol se hizo imperioso, que afortunadamente consintieron en que fuera de plástico.
¿Y qué tan larga se necesita la serie para que se vea bien?
Si se aproxima con una espiral cónica, con ecuaciones paramétricas
\[
x = \frac{tr}{h}\cos(ah), y = \frac{tr}{h}\sin(ah), z = t/h
\]
donde $a$ es la frecuencia angular, $h$ es la altura del árbol y $r$ es el radio en la base, de modo que conforme $t$ va de $0$ a $h$ se recorre todo el cono, la longitud de la curva es
\[
s(t) = \frac{h((\tfrac{r}{h})^{2}+1)}{2ar}\mathrm{arcsinh}\left(\frac{art}{h\sqrt{(\tfrac{r}{h})^{2}+1}}\right)+\frac{t}{2}\sqrt{(\tfrac{r}{h})^{2}(a^{2}t^{2}+1)+1}.
\]
Para nuestro caso, la altura es $h=1{.}6$ y el radio en la base es aproximadamente $r=0{.}5$. Yo quería que diera $6$ vueltas, así que deberíamos tener $a=6\cdot 2\pi = 12\pi$, lo que requeriría unos $15{.}27$ metros.
Pero no resultaría muy práctico, pues si he observado bien el espaciamiento promedio entre los focos, tendríamos que conseguir una serie de unas $600$ o $700$ luces, que no hemos visto por acá en Huajuapan.
Ange consiguió una de $300$ luces, que equivale a unos $7{.}5$ metros, ¿cuántas vueltas le daría? Usando la gráfica de la función de longitud en términos de $a$, resulta un valor algo así como $ a \approx 18 \approx 2.86(2\pi)$, o sea un poco menos de tres vueltas (y es que la gráfica se ve muy lineal después de que la espiral da una vuelta). Dado que el árbol se ensambla de tres módulos, pues no se ve tan mal; al menos, Ximenita quedó complacida.
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