La última del 2019

En mi cumpleaños tuve el gran gusto de recibir algunos de mis regalos favoritos: ¡libros! Uno en particular lo había ansiado tener en mis manos desde que la Royal Society le otorgó el Science Book Prize en 2016: «The Invention of Nature» de Andrea Wulf.

Aparte de ser una obra laureada, lo que más me estimulaba para leerla era que trata sobre Alexander von Humboldt, un científico al que admiro mucho desde que supe que colectó varios datos muy valiosos sobre Mesoamérica, y sobre Mitla en particular.

Grande fue mi decepción, por lo tanto, al descubrir que Wulf le dedica apenas unos párrafos al viaje de Humboldt por mi patria, sin mencionar para nada a mi amada Oaxaca. Pero todavía más lo fue por la mala prensa que le dedica a la matemática. En un pasaje, por ejemplo, afirma que el medio primario de Humboldt para entender a la naturaleza es la comparación y no la «matemática abstracta o los números». En otro va tan lejos como para afirmar que William Herschel tenía la idea de un universo evolucionando que «no estaba basado solo en matemática», sino una entidad «viva que cambia, crece y fluctúa».

Me parece que en general Wulf no se ha acercado mucho a la matemática que digamos, pues el cálculo infinitesimal ¡justamente estudia lo que cambia, crece y fluctúa y es indispensable para los astrónomos desde hace siglos! Quizá por eso acepta el cliché de la «frialdad matemática» sin miramientos, tomando a la reina de las ciencias como una especie de maldición que a todo vuelve un mecanismo sin sentimientos o algo por el estilo. Wulf apenas y menciona la cercanía entre Humboldt y Gauss, y solamente en la bibliografía se entera uno de la mucha correspondencia entre el prusiano y Gustav Lejeune Dirichlet. Muy de pasada informa Wulf que Humboldt patrocinó a un «joven matemático» con 100 táleros... Si infiero correctamente, entonces estamos hablando de ni más ni menos que Gotthold Einsenstein, que correspondió a este gesto con creces, haciendo contribuciones notables a la teoría de números y el análisis.

Aprovecho para mencionar que, si no recuerdo mal, la idea de tener miradas más globales y conectoras de la matemática que tanto distinguió a Berhard Riemann venía precisamente de Lejeune Dirichlet, y cuesta poco trabajo suponer que ese espíritu provenía de Humboldt en alguna medida.

Otro aspecto que no me gustó del libro de Wulf es que al final parece más un panfleto de ambientalismo recalcitrante que otra cosa. Si bien es difícil diferir con Humboldt en que la cultura humana en general es perjudicial para los ecosistemas en cuanto al funcionamiento que han tenido durante millones de años, también es cierto que la cultura y la vida humana tienen valor. Sin duda hay que moderar la ambición (en especial de la comodidad) que muchas veces ofrece el capitalismo o el libre mercado, pero también es complicado construir un barco, instrumentos científicos o imprentas sin afectar al medio ambiente. Creo que justamente lo que observó George Perkins Marsh sobre el Egipto antiguo, una civilización que duró miles de años y que consumía unas diez mil veces menos energía per cápita que la contemporánea, basta para convencerse de que a lo más que podemos aspirar es a maximizar nuestro paso por el planeta minimizando los estragos para el resto de los seres vivientes, justamente aprovechando la tecnología y conocimiento que tanto hemos luchado para obtener.

Hay que recalcar que todo ese saber se ha logrado no solo con visiones panorámicas, sino también en la vuelta del péndulo que se concentra en fenomenos puntuales, como lo son el origen de la gravedad, la radiación de cuerpo negro o el mecanismo concreto para la transmisión de la información genética, por mencionar unos cuantos casos.

En fin, quien desee recordar que la contemplación artística de la naturaleza y el maravillarse de que podemos comprender y predecir su comportamiento no están peleados, seguro disfrutará este libro. Yo no, porque ya pasé por ese romanticismo un tanto ramplón cuando estudié el bachillerato y creo que el universo es más complicado que unos pocos eslóganes fáciles de memorizar. Esto lo refrendó Humboldt mientras componía su última obra maestra, «Kosmos», y vale citarlo como cierre.

«Es casi con renuencia que estoy a punto de hablar de un sentimiento, que parece surgir de puntos de vista de mentes estrechas, o de un cierto sentimentalismo débil y mórbido –aludo al "temor" que tienen algunas personas de que la naturaleza pierda gradualmente una porción del encanto y la magia de su poder a medida que aprendemos más y más cómo desvelar sus secretos, que comprendemos el mecanismo de los movimientos de los cuerpos celestes y que estimamos numéricamente la intensidad de las fuerzas naturales.»

Un discurso que nadie me pidió

Hace no mucho participé en una feria matemática, y escuché un discurso durante la inauguración de la misma.

Se dijo que la idea era presentar a la matemática como «algo lúdico», «diferente a lo que se aprende en la escuela».

No me parece que sea óptimo este mensaje. Yo habría dicho algo como lo que sigue.

Traemos esta feria para que conozcan de primera mano (pues somos profesores y estudiantes de la licenciatura en matemática) lo que se siente estudiar matemática. Cómo es una ciencia que te engancha y que puedes pasar las horas pensando cómo embona un trocito de pensamiento con otro para lograr un todo lo más armónico posible. Cómo paso a paso el razonamiento te lleva a una respuesta (porque no es poco frecuente que haya más de una), a veces a través de un camino inesperado. No es algo que sea manifiesto durante sus clases en la escuela, pero de la misma manera que una música tiene que practicar durante años escalas y demás ejercicios para mejorar su coordinación y fortalecer sus manos para conseguir una ejecución virtuosa y expresiva, así también hay que practicar con ahínco la aritmética básica para entender la manipulación simbólica elemental, y así ir subiendo la complejidad de los ejercicios para por fin desentrañar la belleza abstracta de la reina de las ciencias.

Buscamos, pues, que con esta feria puedan ver algunos «grandes éxitos» de la matemática que han encantado a muchas generaciones, como la papiroflexia, los hexaflexágonos, trucos con naipes, las torres de Hanoi, los tangramas, los cubos de Rubik, Soma y Bedlam, y varios acertijos tradicionales. Gracias por venir, y esperamos poderles compartir el gozo que nos proporciona la disciplina que cultivamos.

Motivación para los matemáticos en ciernes

Una vez más me he colocado sin ayuda en la complicada situación de hablarle a los estudiantes de nuevo ingreso con el fin de, como mínimo, motivarlos a perseverar en este proyecto tan demandante como lo es estudiar una licenciatura en matemática aplicada.

¿Debo hablar desde mi experiencia? No lo sé, no pienso que sea representativa de un estudiante de matemática. Aún así, tengo la inquietud de dirigirme a ustedes y juzgo que no tengo alternativa [risas]: el hablar sobre mi experiencia, no el hablar con ustedes, desde luego; las razones las insinuaré después. Así que puedo comenzar con mi ya vieja historia de que originalmente quería ser licenciado instrumentista (en guitarra, específicamente) y estudiar en la Escuela Nacional de Música, y que no terminaba de decidirme entre eso y la matemática.

Yo descubrí la matemática como profesión por medio de los libros de Martin Gardner en el bachillerato, y mientras esperaba presentar el examen de admisión en la Nacional, decidí que era pertinente matricularme en matemática aplicada en la UTM y estudiar el propedéutico. De hecho, de principio a mí no me llamaban la atención las aplicaciones de la matemática. En realidad, soñaba con demostrar la hipótesis de Riemann y así ganar la fama duradera de manera totalmente legítima y respetable.

¿Han oído hablar de la hipótesis de Riemann? ¿No? Así de a rápido les diría que por ahí del siglo XVII Pietro Mengoli demostró que la suma de los recíprocos de los naturales mayores a $0$ \[ 1/1+1/2+1/3+1/4+\cdots \] diverge, usando sumas telescópicas. Se preguntó si podría con tales técnicas sumar los recíprocos de los cuadrados, pero no pudo hacerlo. Este es el famoso problema de Basilea. Uno de los Bernoulli (no recuerdo cuál, alguno de ellos) demostró con sumas telescópicas que la suma en cuestión está acotada \[ 1+ \frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots < 2 \] así que forzosamente converge. En el siglo XVII Euler consideró la suma de los recíprocos elevados a la $s$ y que es la famosa zeta \[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} \] y logró demostrar que $\zeta(2) = \pi^{2}/6$, y de hecho encontró el valor de la zeta para los naturales pares, lo que lo catapultó a la fama. Bernhard Riemann, en el siglo XIX, vio a la función como una de variable compleja, estudió sus propiedades y descubrió que, aparte de en los números enteros negativos pares (los llamados ceros triviales), se anulaba en otros (los no triviales) sobre la recta de los complejos con parte real igual a $1/2$, y conjeturó que no había otros ceros. Ésta es la famosa hipótesis de Riemann.

Debo decir que justamente aprender bien los fundamentos de mi disciplina me sacó del error de pensar que sobre la base de la pura fuerza de voluntad se puede triunfar sobre un problema tan abstruso como ese.

Al final ya no estudié música, pero nunca abandoné la ilusión de matematizarla para comprenderla mejor y, finalmente, extender su capacidad expresiva. Compré el libro de armonía de Schönberg cuando fui a la Nacional para mi examen de admisión y recuerdo que encontraba fascinante la explicación matemática de la armonía en términos de los sobretonos, lo mismo que la tabla de acordes con notas en común que, según entendí después, tiene consecuencias para la teoría armónica formulada por Hugo Riemann (uno diferente al de la hipótesis, por cierto). Sea como fuere intuía que había un trasfondo matemático en el por qué algunas combinaciones de acordes en sucesión suenan mejor unas que otras.

Para mí, pues, la musicología matemática es una pasión de larga data. No es un simple pasatiempo para hacer divulgación ni una elección cómoda para eludir temas arcanos, como creo que muchos piensan. De haber sido posible, habría hecho mi tesis de licenciatura sobre este tema, pero no es una rama particularmente popular de la matemática (por lo menos en aquel entonces y por estas exactas latitudes). Sin embargo, sí pude trabajarlas durante la maestría y el doctorado. El doctor Emilio Lluis Puebla, mi director o codirector de tesis en ambos casos y ahora un gran amigo y colega, afirma que soy el primero en doctorarse en la UNAM con un trabajo sobre musicología matemática. Dada su antigüedad en la Facultad de Ciencias, confío en su palabra.

Ser matemático, desde mi punto de vista, es una búsqueda de la verdad, de una certeza que trasciende el tiempo y el espacio, y que típicamente es señalada como el que un teorema es verdadero en cualquier parte del Universo. En palabras de Martin Gardner:

La matemática no solo es real, sino que es la única realidad. Que el universo entero está hecho de materia, es obvio. Y la materia está hecha de partículas. Está hecha de electrones y neutrones y protones. Así que el universo entero está hecho de partículas. ¿Y de qué están hechas esas partículas? No salieron de la nada. La única cosa que podemos decir sobre la realidad del electrón es citar sus propiedades matemáticas. Así que en cierto sentido la materia se disuelve por completo y lo que nos queda es puramente una estructura matemática.

También dice Godfrey Harold Hardy, en su libro "A Mathematician's Apology", cuya lectura recomiendo ampliamente:

El cuarto en el que me encuentro dando clase es parte del mundo físico, que tiene en sí mismo cierto patrón. El estudio de ese patrón, y en general el patrón de la realidad física, es una ciencia en sí misma, que llamamos geometría física. Supóngase ahora que un dínamo violento, o un cuerpo gravitatorio masivo, es traído al salón. Entonces los físicos nos dirían que la geometría del cuarto ha cambiado, que su patrón físico ha sido distorsionado de forma leve pero auténtica. ¿Los teoremas [de la geometría euclidiana] que haya probado [en el salón] sea han vuelto falsos? Sin duda es absurdo suponer que las demostraciones que he dado son afectadas de alguna manera. Es como suponer que una obra de Shakespeare cambia porque alguien derrama su té sobre una de sus páginas.

De la misma manera, contrariamente a lo que muchos suponen, hay una libertad connatural a la matemática que ni los regímenes más opresivos o la guerra pueden eliminar. Dice la periodista Masha Gessen en su libro sobre Grigori Perelman, el matemático que demostró la conjetura de Poincaré:

“En la Unión Soviética posestalinista [la matemática] era una de las maneras más naturales para un intelectual librepensador de buscar la realización personal,” dice Grigory Shabat, un conocido matemático moscovita. […] La matemática prometía que uno podía hacer no solo trabajo intelectual sin la intervención del Estado (aunque también sin su apoyo) sino también encontrar algo que no estaba disponible en la sociedad soviética tardía: una simple verdad cognoscible. “Los matemáticos son personas que poseen una especial honestidad intelectual”, prosigue Shabat. “Si dos matemáticos enuncian afirmaciones contradictorias, uno de ellos tiene razón y el otro no. Y definitivamente lo averiguarán, y el que está equivocado definitivamente lo admitirá”.

Pero al bajar, como debemos, de ese topos uranos, tengo la impresión de que los jóvenes de hoy día que estudian matemática les preocupa principalmente el empleo y el dinero; espero por lo menos que en ese orden de prelación, pero no lo sé. Según una encuesta citada en un artículo aparecido en la revista Expansión hecha a principios de 2019, al 80% de los mexicanos les preocupa el empleo, al 68% la economía y al 56% la seguridad. Es verosímil que estos porcentajes también sean representativos de mi audiencia.

He escuchado a alumnos decir que la situación en cuanto al empleo no es halagüeña en México. Sin embargo, desde la Gran Recesión de 2008 a 2009, en la que se perdieron cientos de miles de empleos formales y coincidió con mi egreso de la maestría, la generación de los mismos ha sido relativamente aceptable y, en particular, en noviembre de 2017 se generó un máximo histórico de más de un millón cien mil empleos formales según datos del colectivo “México, ¿cómo vamos?”. Desde 2010 las tasas de generación de empleo han rondado el 3.5% de crecimiento mensual aunque, infortunadamente, han venido a la baja desde mediados de 2018. Esperemos que se mantengan positivas, pese a todo. Y pues ya que han decidido estudiar matemática, según datos de 2018 del Instituto Mexicano para la Competitividad, no deberían estar particularmente preocupados. Solo el 17.3% de los que estudian matemática están desempleados o subempleados, cuando esto puede ser tan bajo como 8% y tan alto como 42.1%. El retorno de la inversión para esta carrera es del 10.5%, cuando va desde el 0% hasta el 12.2%, todo esto al estudiar en una universidad pública. Es la séptima carrera mejor pagada, con un ingreso promedio de $13 232. No obstante, el 61.1% se dedican a servicios educativos y el 84% son subordinados, así que si su sueño es amasar una gran fortuna y ser jefes, entonces seguramente esta no es la mejor opción. Quiero pensar que, al igual que yo, efectivamente estas no son las prioridades de su vida, pero puedo equivocarme.

Regresando a mi experiencia personal, les puedo decir que no fue difícil conseguir becas para la maestría y el doctorado, y que junto con los trabajos que tuve me permitieron sobrevivir sin presiones financieras. Mi primer trabajo fue como maestro de bachillerato en Puebla de Zaragoza, donde aprendí a tratar con los alumnos y recibí capacitaciones pedagógicas, lo que a la larga me serviría para empezar a salir de lo que se denomina "la maldición del conocimiento"; este sesgo cognitivo consiste en considerar que si algo nos es sencillo de entender entonces ocurrirá lo mismo para los demás. El salario del semestre en que estuve ahí no me alcanzó para pagar el alquiler de un mes, pero aprendí mucho. En particular, me motivó para buscar un mejor trabajo y que conseguí como ayudante de profesor en la UNAM; durante un año me permitió ganar lo suficiente como para ahorrar, dejar ciudad de México y regresar a Oaxaca para buscar otra vez empleo. Por medio de la bolsa de trabajo del Conacyt di con una oferta de la Universidad de la Cañada, donde me fue bastante bien y conseguí mi definitividad. El único problema, desde el punto de vista profesional, era que consideraba que no podía ahí desenvolverme plenamente como matemático.

Por eso quise cambiar de aires y tuve la buena fortuna de regresar a la UTM (mi alma mater) durante mi sabático en la UNCA. Y heme aquí, pues también logré mi definitividad e ir caminando con paso lento, pero seguro.

Haciendo un corte de caja a la fecha, me parece que no lo he hecho tan mal: he publicado un libro monográfico que incorpora los resultados de mi tesis doctoral con una buena editorial, he logrado sacar seis artículos en revistas arbitradas internacionales, he dado dos conferencias plenarias en congresos internacionales, uno en México y otro en España, con sus correspondientes contribuciones arbitradas en las memorias. Vale mencionar que, según mis extrapolaciones con datos de Jerrold Grosmann, el promedio de trabajos registrados en MathSciNet® por matemático es de unos 9 ítems. Creo que todavía hay bastante camino por delante. Pál Erdös decía: “Hay un viejo dicho: Non numerantur, sed ponderatur (no se cuentan, se pesan). En el viejo parlamento húngaro de nobles, no contaban los votos, los pesaban. Esto es cierto para los artículos. Ustedes saben, Riemann tuvo una lista muy corta de artículos, lo mismo que Gödel. Gauss fue muy prolífico, lo mismo que Euler, por supuesto”. Por mi área he podido ofrecer recitales en la sala Ollin Yoliztli y el Real Conservatorio Superior de Música de Madrid, lo cual me llena de orgullo. Como docente he salido bien en las evaluaciones cuando se han realizado. Pero en la más alta estima tengo el reconocimiento de algunos alumnos en cuanto a que les ayudé a aprender, y algunas veces han solicitado que sea el titular de algunos de sus cursos.

Para terminar, les dejo esta frase de Hermann von Helmholtz, sin duda uno de los matemáticos a los que más les interesaban las aplicaciones y que además también se ocupó de la fisiología de la percepción musical:

Quien sea que al dedicarse a la ciencia busque una utilidad práctica inmediata, puede estar seguro de que busca en vano.

Asimismo, les dejo al costo el mismo consejo que me obsequió mi suegro cuando me casé: cualquier trabajo que consigas, agárralo, no importa lo que te paguen. Aunque sea experiencia te dejará.

Práctico cuadrado triangular (!)

Pues sí llegué a práctico por catorceava vez. A triangular, por novena vez. Y a cuadrado, por séptima vez (el cero, para mí, sí es natural). Me parece que no es tan común tener las tres propiedades al mismo tiempo. Con las listas de la OEIS calculo que los primeros números triangulares y prácticos son \[ 1,6,28,36,66,78,120,210,\ldots. \] Ahora bien: por un teorema de Euler, todos los números perfectos pares son de la forma \[ \frac{2^{n}(2^{n}-1)}{2}, \] así que también son triangulares, lo mismo que prácticos. La lista de los triangulares prácticos no aparece en la OEIS pero no sé si sea de suficiente interés. Resulta que Euler también (¡quién más!) determinó una fórmula para los números triangulares cuadrados \[ N_{k} = \left(\frac{(3+2\sqrt{2})^{k}-(3-2\sqrt{2})^{k}}{4\sqrt{2}}\right)^{2} \] y por ella sospecho que es difícil que haya otro cuadrado triangular práctico, pero no lo sé. He hecho una búsqueda rápida en la literatura pero he encontrado nada hasta ahora. Seguro JHS me sacará de mi ignorancia en cualquier momento... [En efecto, resulta que hay algunos más; echen un ojo a los comentarios].

Para el pastel pedí una decoración de una trenza lemniscática. De hecho, para el monoide generado por $\Sigma = \{\sigma_{1},\ldots,\sigma_{7}\}$ con las relaciones \[ \sigma_{i}\sigma_{j} = \sigma_{j}\sigma_{i},\quad \text{para } |i-j|\geq 2 \] y \[ \sigma_{i}\sigma_{i+1}\sigma_{i} = \sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1}\quad\text{para }1\leq i\leq n-1, \] que es el llamado monoide positivo de trenza de $8$ hebras, resulta (según a OEIS) que hay exactamente $36$ palabras de longitud $3$.

Seis artículos seis

Como regalo de cumpleaños adelantado recibo la noticia de que mi artículo "Modulation in tetradic harmony and its role in jazz", escrito conjuntamente con mi mentor y colega el doctor Guerino Mazzola, por fin fue publicado en el Journal of Mathematics and Music. Resultó también muy adecuado para el dichoso "reto de los diez años", pues dista casi exactamente una década de la publicación de mi primer artículo, en la misma revista.

Este es el primer trabajo que desarrollo completamente trabajando en la Universidad Tecnológica de la Mixteca, lo cual añade alegría a su salida a la luz. Sin embargo, otra vez tuvo sus complicaciones, pues es la primera vez que tengo que superar cuatro rondas de revisión. También aprovecho para agradecer nuevamente a la Unión Matemática Internacional por su apoyo por medio de su Abel Visiting Scholar Program para realizar la estancia en Estados Unidos, hace un año, para completar este trabajo.

Enhorabuena y ¡venga el séptimo! :-D

Bajarte la Luna

Desde hace más de un mes que quiero escribir esta entrada, porque debiera haberla publicado como celebración de la llegada de la humanidad a la Luna.

La cuestión es que las teorías de conspiración sobre el tema gozan de notable buena salud en pleno siglo XXI. Si bien hay una lista bastante grande de confirmaciones independientes de que el viaje de Armstrong, Collins y Aldrin ocurrió como está documentado en audio, fotografías, video y mediciones científicas, esto no es impedimiento para que gente inteligente que conozco manifieste dudas de su veracidad.

En México es particularmente punzante este tema pues en el museo Universum de la UNAM hay muestras de rocas lunares traídas por los astronautas de las misiones Apollo, lo que debiera despejar cualquier sombra de duda. No es tan fácil, sin embargo, porque a fin de cuentas se puede argumentar que tales muestras podrían haber sido colectadas de forma robótica o simplemente halladas en la Tierra, sin mencionar que en sí podrían ser falsas.

Esto nos coloca en una complicada situación epistemológica que tal vez solo podría resolverse viajando hasta el Mar de la Tranquilidad en la Luna, mirar en persona el módulo lunar y recuperar evidencias de que alguna tripulación lo alunizó ahí en 1969. Puede que no sea una actitud del todo ridícula. Yo jamás he mirado un electrón, un neutrón ni un protón, y ejecutar los experimentos de Thomson, o los de Rutherford-Geiger-Marsden, o los de Chadwick, está fuera de mi alcance. Sin embargo, puedo observar otros fenómenos macroscópicos que se explican bastante bien si se acepta que tales partículas existen, como la sensación al jugar con una caja de toques, la acidez estomacal o el funcionamiento de los detectores de humo. Y por supuesto que este tipo de dudas son sanas para la ciencia, pero que no pueden rayar en la locura de un escepticismo absoluto ni desechar gratuitamente a la deducción lógica, la argumentación matemática y la evidencia indirecta.

El que haya dos piedras lunares en México es responsabilidad directa de Gerardo Suárez Reynoso y Jorge Flores Valdés, que lograron que la NASA se las prestara a la UNAM en 1994. Una fue obtenida por el mismísimo Neil Armstrong en la misión del Apollo 11 y pesa 185 gramos. La otra, por Harrison Schmitt en la misión del Apollo 17 de 1972; es de 24 gramos y se puede tocar.

Ahora bien: hay tres maneras independientes de validar las muestras lunares. Por un lado, está el material recolectado por las misiones tripuladas estadounidenses; por otro, los meteoritos que se han encontrado en la Antártica y, finalmente, las muestras de las misiones robóticas soviéticas. En los tres casos se han examinado y coincidido en sus características en generales, y en particular delatan composiciones y edades semejantes.

La cuestión enseguida es que hay que ser especialista en mineralogía para verificar todo hasta el último detalle, y aquí sigo a un excelente artículo de Paul D. Lowman para lo más general. Lo primero es que la composición de las rocas lunares es consistente con una ausencia de agua, pues ésta altera significativamente a los minerales en la Tierra casi de inmediato. En segundo lugar, una ausencia de oxidación, y que es básicamente por lo cual la Luna se mira tan gris en comparación con los cafés, amarillos y rojos presentes en la Tierra. De hecho, Harrison Schmitt recogió una muestra de suelo naranja en la Luna porque es geólogo y le llamó la atención un color tan peculiar en medio de la grisura lunar (y que resultó que no era por oxidación, por cierto). En tercer lugar, la mayor parte de las rocas traídas por los astronautas son brechas, esto es, una especie de roca que parece como un panqué con pasas. Estas se forman fácilmente durante los impactos como los que han ocurrido en la Luna, donde se forma magma y quedan “atrapadas” en él otras piedras al irse solidificando, y que son algo más raras en la Tierra. En cuarto lugar, y como dice un sitio muy detallado pero muy técnico sobre el tema, las rocas lunares contienen gases conformados de proporciones de isótopos que no hay en la Tierra, sin mencionar que tienen edades de cristalización que son más antiguas que cualesquiera de las conocidas en nuestro planeta.

En fin, esto es lo que puedo explicar someramente, y que son argumentos totalmente convincentes desde mi punto de vista. Además, he estado en el Universum y visto con mis propios ojos las rocas lunares; les recomiendo hacer lo mismo. Para mí, pues, este asunto está zanjado, aunque creo que difícilmente rechazaría la oferta de visitar la Luna para cerrar cualquier resquicio escéptico que persistiera en mi cabeza.

Miliarios de la escuela

Platicaba recientemente con un alumno y le comentaba que ya había hecho recuentos de lo que más huella había dejado en mi memoria mi instrucción primaria y de licenciatura, y me surgió la inquietud de extender este ejercicio a los demás grados. He aquí la lista.

• Preescolar
  • A recortar.
  • A pegar bolitas de papel en un dibujo de un borrego, usando el pegamento que vertían en una corcholata.
  • A convertir un fruto de jacaranda en una rana.
  • Que hay niños que te agarran a golpes en bola, los muy cobardes.
• Secundaria
  • Los rudimentos del álgebra explicados con una balanza.
  • La clasificación de las nubes.
  • El principio de la palanca de Arquímedes.
  • El mechero de Bunsen y su uso.
  • La deducción de la fórmula cuadrática (si $ax^{2}+bx+c=0$, entonces $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$).
  • El teorema de Tales (el de la canción de Les Luthiers, aunque sobre ellos supe mucho más tarde).
  • Parénquima, colénquima y esclerénquima.
  • La nefasta existencia de las Hitlerjugend.
  • La música de Django Reinhart.
  • Los detalles de la Guerra de Secesión estadounidense.
  • Leí El laberinto de la soledad.
  • Leí El mundo de Sofía y me empecé a interesar seriamente en la filosofía. Me llamaron especialmente la atención la mayéutica socrática y el principio de "más vale padecer una injusticia que cometerla", las ideas de Heráclito y Parménides, y el cogito cartesiano. La "revolución copernicana" de Kant. La náusea sartreana.
  • Que el maestro de educación física me odiaba. Pero también lo básico para jugar futbol, volleyball y básquetbol, aunque nunca pude jugarlos bien. También darle muchas vueltas a la cancha de futbol hasta que se me saliera el cuajo.
• Bachillerato
  • Las identidades trigonométricas. Especialmente, la pitagórica ($\sin(x)^{2}+\cos(x)^{2} = 1$).
  • El teorema fundamental del álgebra.
  • La división sintética.
  • La física básica: desde las leyes de Newton (aunque nunca me he aprendido el orden) hasta la difracción de la luz en películas delgadas, pasando por las leyes de los circuitos eléctricos y el principio de flotación de Arquímedes.
  • La pirámide de aufbau y por qué se llama así.
  • El romance de Abenámar.
  • Las teorías de Émile Durkheim y Max Weber.
  • La silogística aristotélica.
  • Qué significa "c. b. p." en los medicamentos.
  • Las soluciones amortiguadoras y su relación con la fórmula cuadrática.
  • Los orbitales atómicos y su relación con la formación de enlaces químicos.
  • Alcanos, alquenos y alquinos.
  • Qué es la titulación (en química) y a usar una bureta para realizarla.
  • La importancia de los terpenos.
  • El cálculo infinitesimal básico. O, al menos, eso creí hasta empezar la licenciatura.
  • La geometría analítica. Especialmente, qué cosa es el latus rectum (mi profesora se enojaba que lo dijera en latín).
  • Los grabados de M. C. Escher.
  • La literatura de Jorge Luis Borges.
  • ¡Que es posible estudiar solamente matemática!
• Maestría
  • La Hauptvermutung de Steinitz y Tietze.
  • El nervio de una cubierta abierta.
  • Los complejos CW.
  • Los espacios de Eilenberg-Maclane.
  • Las suspensiones y su adjunción con el espacio de lazos.
  • El teorema de Hurewicz.
  • El bordismo y el cobordismo.
  • A resolver el problema de Basilea usando integración compleja.
  • La topología de Zariski.
  • La conjetura del jacobiano.
  • El Nullstellensatz de Hilbert. El truco de Rabinowtisch, en particular.
  • Las propiedades de los anillos noetherianos.
  • La dimensión de Krull.
  • El lema de Hensel.
  • Que es posible peinar una esfera de modo que tenga exactamente un remolino.
  • El teorema de Sard.
  • Los grafos de Cayley.
  • Los conos y los límites en teoría de categorías.
  • El lema de Yoneda.
  • La importancia de las pregavillas (o sea, de los funtores contravariantes hacia la categoría de conjuntos).
• Doctorado. Durante el doctorado no llevé curso alguno, pues me enfoqué en mi tesis. Pero aprendí lo siguiente.
  • El poder de la heurística de imponer un orden parcial en una estructura y buscar los elementos mínimos.
  • Entendí mejor el teorema de Seifert-van Kampen y la teoría de espacios cubrientes.
  • A mejorar la intuición de cuándo un enunciado matemático es verdadero y perseverar para encontrar su demostración.
  • Que hay que tener mucha paciencia con los editores y árbitros de una revista.

Adenda (12/07/19). Para fines de completitud, aquí están las listas (con algunas adiciones menores) de lo de primaria y licenciatura.

• Primaria
  • A escribir. Con letra muy fea, pero no es culpa de la maestra.
  • A leer y a comprender.
  • La aritmética básica pese a mi dificultad con ella, incluyendo la de los números racionales.
  • La geometría elemental de las construcciones de Euclides.
  • Las fórmulas para las áreas y perímetros básicos, lo mismo que de cuerpos tridimensionales sencillos.
  • Las capitales de todos los países (aún si con fronteras de algunas décadas de edad) y otros datos geográficos básicos.
  • Los axiomas de los campos ordenados (aunque no los llamaba así mi maestra de sexto).
  • Relaciones de proporcionalidad directa e inversa.
• Licenciatura
  • Las demostraciones por vacuidad.
  • La noción de que la derivada es el “coeficiente” de la mejor aproximación lineal a una función en un punto.
  • La constante de Euler-Mascheroni.
  • Los autovalores y la forma canónica de Jordan.
  • Las ideas centrales de la topología algebraica (en particular, el cálculo de grupos de homología y el lema de Barratt-Whitehead).
  • El teorema de Euler relativo a los ciclos que llevan su nombre en la teoría de grafos.
  • La teoría de Fourier que se usa para resolver la ecuación hiperbólica en derivadas parciales.
  • El teorema del límite central.
  • Los estimadores de máxima verosimilitud.
  • El teorema de inclusión y exclusión.
  • La dualidad en programas lineales.
  • Que todo dominio entero finito es un cuerpo.
  • Que un ideal de un anillo es máximo si, y sólo si, el cociente respecto a él es un cuerpo.
  • Cómo obtener soluciones de ecuaciones diferenciales usando series de potencias (en particular, cómo esto conduce a las funciones de Bessel).
  • Las aplicaciones conformes (en particular, la transformación de Schwarz-Christoffel).
  • La fórmula integral de Cauchy.
  • La desigualdad de Cauchy-Schwarz.
  • El algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor.
  • A escribir demostraciones con un discurso y no solamente acumulando revolturas de frases con símbolos taquigráficos.

Demostración de la fórmula de Fàa di Bruno

Vale, pues voy a seguir muy de cerca a (Johnson, 2002) aquí. Cada partición de $\{0,\ldots, m\}$ se puede obtener de forma única al pegar a $m$ a alguna partición de $\{0,\ldots, m-1\}$, y hay de dos sopas:

1. Se agrega como un nuevo bloque $\{m\}$, y así se incrementa el número de bloques en una unidad respecto a la partición inicial. Esto corresponde a derivar a $g^{(k)}(f(t))$ con respecto a $t$ para obtener $g^{(k+1)}(f(t))f'(t)$.
2. Se elige uno de los bloques de la partición y se le agrega $m$. Digamos que la cardinalidad del bloque es $i$; entonces el número de bloques de cardinalidad $i$ se reduce en una unidad, y el número de bloques de cardinalidad $i+1$ aumenta en $1$. Aún así, el número total de bloques permanece igual. Esto corresponde a derivar a $(f^{(i)}(t))^{b_{i}}$ respecto a $t$ para obtener $b_{i}(f^{(i)}(t))^{b_{i}-1}f^{(i+1)}(t)$, donde $b_{i}$ es el número de bloques de tamaño $i$.

Por ejemplo, recordemos que $g'(f(t))f''(t)$ está asociado al bloque $\{0,1\}$, y al derivar respecto a $t$ obtenemos \[ g''(f(t))f'(t)f''(t)+g'(f(t))f'''(t), \] cuyos sumandos están asociados, respectivamente, a $\{\{2\},\{0,1\}\}$ (un bloque de cardinalidad $1$ y un bloque de cardinalidad $2$) y $\{0,1,2\}$ (un solo bloque de cardinalidad $3$). Naturalmente, van saliendo más sumandos que toman en cuenta todas las particiones posibles cuando se realizan todos los detalles de la derivación.

Y no se da una vanidad en vano...

Escribí esto para la ceremonia de entrega de unos reconocimientos de mejores promedios y campeones de una olimpiada de lógica, y que les dejo por si les interesa. Al final me decidí por otras palabras que no hacen justicia a mi sentir pero que, espero sinceramente, me hicieron ver menos odioso ante los demás.

La matemática es tan vasta que, para avanzar nuestro conocimiento, se necesitan a muchas personas para lograrlo. No solamente porque cada vez es más titánica esta tarea, sino porque para abrir brecha se necesitan enfoques creativos que, muy difícilmente, pueden salir de un solo grupo reducido de personas. Todos aquellos que tienen interés en la matemática son necesarios.

Para ejemplo, me viene primero a la mente el reverendo Thomas Bayes, que publicó nada en vida bajo su nombre, pero que su descubrimiento en probabilidad es vital para varios campos y en particular para algo tan contemporáneo como la inteligencia artificial. Mucho menos hay que olvidar a Richard Price, que fue quien reconoció la importancia de los escritos de Bayes y los preparó para su publicación.

Uno más que creo que vale la pena nombrar es a Christian Goldbach, que fue amigo de Euler y que es famoso por la conjetura que lleva su nombre, la cual ha sido campo fértil para nueva y fascinante matemática. Tal conjetura fue planteada de forma epistolar (como una conversación, pues) y se dice que fuera de ello Goldbach contribuyó con muy poco original a la matemática. Estoy en total desacuerdo, y creo que es evidente la razón.

Tanto Bayes como Goldbach probablemente no figurarían en "el cuadro de honor", pues distarían grandemente y por volumen de gigantes como Karl Pearson o Leonhard Euler. Pero es gracias a las contribuciones colectivas que la matemática es la ciencia viva de hoy día. Es por ello que conmino principalmente a aquellos que en el día a día luchan por comprender los arcanos de nuestra ciencia y apenas consiguen aprobar sus exámenes a no cejar y, muy por el contrario, redoblar esfuerzos, para que en un futuro cercano logremos comprender lo que hoy es inaccesible.

Cierro con un último ejemplo. Reconocemos, sin duda, el tesón y brillantez de Andrew Wiles para conseguir demostrar la última conjetura de Fermat, pero no debemos olvidar que su obra se levantó sobre los cimientos que colocaron Frey, Hensel, Kummer, Langlands, Ribet, Shimura, Taniyama, Tunnell, Weil y tantos otros, y de los cuales no me habría enterado con justicia si no fuera por el primoroso y diáfano detalle con el que escribió un artículo de divulgación Fernando Q. Gouvêa. A todos ellos, por lo menos yo, les agradezco de todo corazón su esfuerzo, lo mismo que a ustedes, alumnos que diariamente luchan contra sus demonios cartesianos. Enhorabuena.

P. D. (09/05/19): Recordé haber leído que los grupos grandes de investigación tienen precisamente el problema de que no son muy creativos. Y tiene sentido, precisamente por los problemas de comunicación que ello entraña. Sin embargo, creo que se mantiene mi punto porque yo observo que la "crema y nata" jala a más "crema y nata" aunque sea en grupos pequeños de investigación, y en esa retroalimentación simplemente se perpetúan ciertos temas favoritos. Comprendo ahora un poco mejor a Grothendieck cuando hablaba sobre el valor "de estar solo": no es en sí en la cuestión de estar aislado, sino en tratar de no prolongar líneas de pensamiento simplemente por congraciarse con los demás.

¡Santa matemática, Batman!

El 27 de marzo inició la tercera temporada del "Seminario de la Pizza" en la UTM, y se cumplía un aniversario de la muerte del matemático sardo Francesco Faà di Bruno, por lo que se me hizo una buena idea hablar de su vida y la fórmula que lleva su nombre. Sin embargo, debido a los imprevistos, no pude hacerlo, y por eso escribo esta entrada.

La vida de Faà di Bruno es particularmente interesante para algunos porque es lo más cerca que hay de un santo matemático: fue beatificado por Juan Pablo II en el centenario de su muerte.

Como saben, a mí me viene guango en sí que Faà di Bruno sea un beato y que le puedan rezar si quieren, pero pienso que algo de ese vaticano reconocimiento le es merecido en cuanto que su vida fue muy piadosa. Yo la veo en muchos sentidos como representativa de los matemáticos que no alcanzan una fama equiparable a la de Arquímedes, Euler o Gauss.

Lo primero que hay que aclarar es que el país donde nació Faà di Bruno, el reino de Cerdeña, tiene rato de no existir, pues fue absorbido por Italia durante la reunificación de esta última. Además, mucha de su educación y labor profesional la hizo en Francia, por lo que es inexacto adjudicarle una nacionalidad (aunque alcanzo a morir ya italiano).

Venía de una familia noble y acomodada, pero su madre murió cuando tenía nueve años. Al principio su destino se enfilaba hacia las armas: se matriculó en 1840 en la Real Academia Militar de Turín y le tocó defender en marzo de 1849 a su patria de las tropas austriacas. Justamente las experiencias durante la guerra le hicieron abandonar la milicia.

Viajó en 1850 a París para estudiar en La Sorbona con Augustin-Louis Cauchy, a quien admiraba no solo como matemático sino también como hombre de fe; además, fue colega de Charles Hermite y se hicieron amigos. Asimismo, visitaba la parroquia de San Sulpicio (que, para desgracia de la misma, hiciera famosa la novela "El código da Vinci") y trataba de ayudar a los pobres.

En 1851 se "licenció" en ciencia y regresó a su país, pero la situación era turbulenta y anticlerical, por lo que no consiguió trabajo. En el Observatorio de Turín le prometieron un puesto si se especializaba en astronomía y cumplió su parte con creces, pues estudió mecánica celeste con nada más ni nada menos que Urbain Le Verrier (el descubridor del planeta Neptuno), siguió haciendo investigación matemática bajo el auspicio de Cauchy y presentó en 1856 no una, sino dos tesis: una de matemática sobre la teoría de la eliminación y otra sobre "el desarrollo de la función de perturbación y las coordenadas de un planeta en su movimiento elíptico". Fueron defendidas ante el mismo Cauchy, Gabriel Lamé y Charles-Eugène Delaunay (que no debe confundirse con el Delaunay de las triangulaciones), todos ellos nombres inscritos en la torre Eiffel, al igual que Le Verrier.

En 1857 se le permitió dar cursos de matemática, física y astronomía en la Universidad de Turín, pero hasta 1860 consiguió un puesto como suplente del titular de la cátedra de Análisis Superior. Sin embargo, nunca lo promovieron a profesor de tiempo completo.

En Turín se dedicó en general a las obras de caridad y diseñó él mismo buena parte de la iglesia de Nostra Signora del Suffragio entre 1866 y 1869. Eso no le impidió seguir realizando investigación matemática, y en particular en 1876 publicó el libro "Théorie des formes binaires" que recibió una buena reseña de Paul Gordan y fue traducido al alemán por Max Noether en 1881.

Los católicos, muy gustosos de ciertas numerologías sagradas, listan catorce obras de misericordia: siete corporales y siete espirituales. Según las biografías que he leído, Faà di Bruno se distinguió en las siguientes, que poco tienen que ver realmente con creer en alguna deidad: visitar a los enfermos, dar de comer al hambriento, dar de beber al sediento, enseñar al que no sabe, dar buen consejo al que lo necesita y sufrir con paciencia los defectos del prójimo. En suma, tenemos evidencia de que era una buena persona.

Por lo que hemos visto, además, Faà di Bruno fue un militar capaz (llegó al grado de capitán) y patriota; fue un académico brillante aún si no fuera particularmente original. Fue instruido y evaluado por los mejores maestros de su época y escribió libros que fueron bien recibidos. Me parece, pues, que tuvo una vida ejemplar y que merece mucho ser recordada aunque solo fuera por una fórmula que no descubrió (pero de la que sí encontró una expresión original), y que discutiremos a continuación.

La fórmula de Faà di Bruno nos dice cómo calcular la $n$-ésima derivada de una composición \[ \frac{d^{n}}{dx^{n}}(g\circ f)(x). \] Para entenderla, me parece óptimo seguir la exposición de Warren P. Johnson y que le atribuye la siguiente interpretación combinatoria a Riordan.

Recordemos que una partición de un conjunto de $n>0$ elementos es un conjunto de sus subconjuntos tal que ninguno es vacío, son disjuntos dos a dos y su unión recupera al conjunto. A cada elemento de una partición se le llama bloque. Por ejemplo, un conjunto singular solo tiene una partición; un $2$-conjunto como $\{0,1\}$ tiene $2$ particiones, una de un bloque y una de dos a saber: $\{\{0,1\}\}$ y $\{\{0\},\{1\}\}$; un $3$-conjunto como $\{0,1,2\}$ tiene cinco particiones \[ \{\{0,1,2\}\},\{\{0,1\},\{2\}\}, \{\{0,2\},\{1\}\},\{\{1,2\},\{0\}\}, \{\{0\},\{1\},\{2\}\}, \] etcétera. Al número de particiones de un $n$-conjunto se le llama número de Bell y se denota con $B_{n}$. Ahora le asociaremos particiones a las derivadas de composiciones de la siguiente manera: la derivada $g'(f(x))\circ f'(x)$ está asociada a la partición $\{\{0\}\}$ del conjunto singular $\{0\}$, mientras que a las particiones $\{\{0,1\}\}$ y $\{\{0\},\{1\}\}$ de $\{0,1\}$ les asociamos $g'(f(x))f''(x)$ y $g''(f(x))(f'(x))^{2}$. En general, el orden de la derivada de $g$ cuenta el número de bloques y los restantes factores relativos a $(f^{(\ell)})^{s}$ indican que hay $s$ bloques de cardinalidad $\ell$. Así, las derivadas correspondientes a las particiones de las susodichas particiones de un $3$-conjunto serían \begin{multline*} g'(f(x))f'''(x),\\ g''(f(x))f''(x)f'(x),g''(f(x))f''(x)f'(x),g''(f(x))f''(x)f'(x),\\ g'''(x)(f'(x))^{3}. \end{multline*} Tenemos así que \[ \frac{d^{n}}{dx^{n}}(g\circ f)(x)=\sum g^{(k)}(f(x))\prod_{\ell=1}^{m} (f^{(\ell)}(x))^{b_{\ell}} \] donde la sumatoria se toma sobre todas las particiones de $\{0,\ldots,m-1\}$, de modo que $k$ es el número de bloques y $b_{\ell}$ es el número de bloques con $\ell$ elementos.

La demostración encadena bien (¡valga la expresión!) el proceso de la derivación con la construcción recursiva de las particiones, pero la dejaremos para otra ocasión, junto con otra muy simple que la conecta con la fórmula multinomial. También contemplaremos un tanto la versión determinantal de Faà di Bruno, que en cierto modo justifica que se lleve su nombre.

Por el Día de Pi

Apenas caigo en cuenta que no es tan difícil darse una idea del orden de magnitud de $1-\mathrm{erf}(x)$ para valores grandes de $x$. Puesto que \[ -x^{2}/2\leq -x/2 \] para $x\geq 1$, entonces \[ \frac{\exp(-x^{2}/2)}{\sqrt{2\pi}} \leq \frac{\exp(-x/2)}{\sqrt{2\pi}}. \] Si integramos, resulta \[ 1-\mathrm{erf}(x) \leq \int_{x}^{\infty}\frac{\exp(-t/2)}{\sqrt{2\pi}}\,dt = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\exp(-x/2), \] y al tomar $x=360.8$ (que es el valor relacionado con esto del voto por el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik y las encuestas para decidir sobre proyectos nacionales), tenemos \[ 1 - \mathrm{erf}(360.8) \leq 3.59\times 10^{-79}. \] Sin duda un valor muy, pero muy muy muy pequeñito, aunque por supuesto no nulo.

Carta abierta a los legisladores mexicanos

Estimables diputados y senadores:

El 22 de mayo de 2018, la American Mathematical Society y el Mathematical Sciences Research Institute se reunieron con legisladores estadounidenses para contarles cómo la inversión federal en investigación básica produce valiosos resultados. Esto me motivó a emitir este mensaje. Me inspiró especialmente lo expuesto por Eric Demaine, un especialista en papiroflexia matemática, que les mostró cómo su investigación puede desembocar en la fabricación de muebles que se auto-ensamblan, mejores angioplastias, un mejor acomodo de lentes en vehículos espaciales, el estudio de proteínas para desarrollar nuevos medicamentos, etcétera, además de hermosas figuras de papel.

También me mueve el hecho de que se busca aprobar una nueva ley de humanidades, ciencia y tecnología que “orientará” a la investigación científica para “atender problemas prioritarios de la sociedad mexicana”. Sin ser explícita, se entiende que las facultades que tendría el Conahcyt, a través de la definición de “prioridades para la asignación y optimización de los recursos públicos destinados a las humanidades, ciencias y tecnologías”, le permitirían limitar o incluso eliminar ciertas vertientes de la investigación científica.

Como matemático esto me preocupa profundamente, pues los tiempos de la matemática se miden en intervalos enormes. Existen problemas sin resolver de miles de años de antigüedad, técnicas que toman cientos de años en desarrollarse y teoremas que necesitan décadas de esfuerzos colectivos sostenidos para demostrarse. En particular, es muy difícil predecir cuál de la matemática que se desarrolla en este momento podría resultar clave en la solución de un problema importante para la sociedad en el futuro.

Los ejemplos abundan, pero cito dos. Los griegos que estudiaron las curvas provenientes de cortar un cono nunca pudieron imaginar que mil ochocientos años después serían precisamente aquellas que describen los movimientos de los cuerpos celestes bajo el influjo de la gravedad. Cuando Cauchy, Abel o Galois desarrollaron la teoría de grupos para estudiar las simetrías o la resolución de ecuaciones polinomiales, tampoco podían adivinar que un siglo después el matemático polaco Marian Rejewski la aplicaría para elucidar el funcionamiento de la máquina Enigma, lo que a la larga contribuiría a acortar la Segunda Guerra Mundial y a que su curso favoreciera a los Aliados.

La matemática, durante mucho tiempo, pudo regodearse en el hecho de que, al ser sumamente abstracta, no podía utilizarse para fines maléficos. Sin embargo, en el siglo XX las computadoras y métodos numéricos permitieron a los científicos del proyecto Manhattan construir en un tiempo razonable una bomba atómica, y en pleno siglo XXI los algoritmos apoyados en la estadística y la optimización han mecanizado la discriminación en muchos ámbitos cruciales para la población, como lo son los seguros y la contratación de personal, sin mencionar la construcción de burbujas individuales en las redes sociales y que desemboca en la manipulación de la opinión pública para fines nefastos. Sin duda hay aspectos éticos que deben tomarse en cuenta en el estudio de la matemática, y aplaudo el que se piense en reforzar la consideración de estos criterios en la nueva ley. No obstante, creo que no debe ondearse esta bandera para sofocar la creatividad propia de la investigación matemática.

Mi apología, por supuesto, no necesita ser enfática en las aplicaciones manifiestas de la matemática. Muchos investigadores que se especializan en las ecuaciones diferenciales (en especial en la biomatemática) y ciertos aspectos discretos que se requieren en la computación y la modelación de redes sociales seguramente no tendrán problemas para justificar su financiamiento e impulso. Más bien quiero hacer una arenga para no restringir los recursos a la matemática que podría ser llamada "básica".

He de evidenciar aquí mi interés personal en el asunto, pues me dedico a la musicología matemática. Conozco colegas que juzgan que de hecho esta especialidad consiste en una aplicación de la matemática, y yo tendría que estar mayormente de acuerdo con la veracidad de tal enunciado; pero también hay que reconocer que sería fácil descartarla como un uso frívolo del poder de la matemática, pues no es para nada obvio si el estudio científico de la música es un problema prioritario de la sociedad mexicana (o de cualquier país, a fin de cuentas).

Si adoptamos tal rasero, sin embargo, entonces no sería la musicología matemática más vana que la geometría y topología algebraicas, la teoría de categorías, la teoría de números o la teoría de representaciones, por traer a colación unos cuantos casos en los que me consta que hay matemáticos mexicanos que han realizado notabilísimas contribuciones, y que les han valido amplio y merecido reconocimiento internacional. Este hecho, por cierto, no me parece que sea un “resultado magro” de los recursos invertidos en su formación y mucho menos del desarrollo de sus investigaciones. Y es por eso que el destinar presupuesto suficiente e irrestricto al cultivo de estas ramas requiere una ulterior defensa.

En primera, porque normalmente la matemática representa una fracción muy pequeña de lo que de por sí se invierte en la ciencia. Lo primordial para aquellos que se dedican a lo más puro de la matemática es la subsistencia y la de sus estudiantes, dado el caso. Por ejemplo: el monto solicitado en 1990 por Andrew Wiles para lo que después sería la demostración de la última conjetura de Fermat fue menos de la millonésima parte del total destinado a investigación y desarrollo en Estados Unidos en dicho año. La American Mathematical Society, por esas épocas, rondaba los diez mil miembros, y si todos hubieran pedido una cantidad semejante y se les hubiera otorgado, la suma sería inferior al 1% del presupuesto total para ciencia y tecnología del vecino del norte a principios de los años noventa. Estamos, pues, ante una inversión pequeñísima que tiene réditos gigantescos a largo plazo, y que por lo mismo no tiene por qué ser menoscabada.

En segunda, he de insistir que la sed de conocimiento es una cualidad preponderantemente humana. No de balde afirmaba el gran matemático alemán David Hilbert en 1900 que en la matemática (y la ciencia en general) no hay ignorancia permanente, sino que tenemos la capacidad colectiva de desvelar las respuestas a las interrogantes más profundas y que hemos de alcanzar el conocimiento. Aunado a esto está la capacidad humana de crear, y que es justamente la vía que nos conduce al descubrimiento. La creatividad, puedo afirmar, sirve de coligante entre la ciencia, la tecnología, la matemática y las artes, y no sobra en lo absoluto subrayar el enorme gozo que entraña el comprender algún aspecto del universo, los frutos de la creación artística o diversas mezclas que son posibles entre estas actividades. Además, estos son aspectos de la cultura que mayormente se pueden compartir para el beneficio de todos, como lo han demostrado numerosos divulgadores de la ciencia nacionales y extranjeros y, por supuesto, legiones de artistas. Las patentes y derechos de autor, sin duda, imponen algunas justas limitaciones, pero afortunadamente no son sempiternas. Todo esto redunda en un ambiente que impulsa la innovación y la tecnología, como ha demostrado de forma contundente el Valle del Silicio en California. Estoy consciente de que este último “ecosistema intelectual” ya está mostrando signos de agotamiento, pero esto sirve de argumento en contra de que ciertas áreas geográficas y disciplinas específicas deban acaparar los recursos humanos y financieros.

Regresando al cruce de caminos entre la ciencia y el arte y que es donde se ubica mi especialidad, puedo echar a volar mi imaginación respecto al cómo podría desembocar lo que investigo en beneficios concretos y comunes, en refuerzo de lo ya expuesto.

De los varios aspectos de la música que son particularmente susceptibles de ser comprendidos mejor a través de la matemática, yo me enfoco en el contrapunto. El contrapunto es una técnica de composición que permite conjuntar dos o más voces de manera que el resultado es armonioso. Es por eso que la noción de consonancia es central para mi investigación.

Sin entrar en los detalles, puedo decir que el estudio de las simetrías que gobiernan a las consonancias le permitieron al matemático suizo Guerino Mazzola, en colaboración con un equipo liderado por el neurólogo polaco Heinz-Gregor Wieser, obtener los primeros indicios de cómo la música es una “llave” para acceder a los recuerdos y además cómo desencadena emociones. Esto ha sido confirmado de forma indirecta con otras investigaciones, pero aún hay muchas preguntas que responder al respecto. Si bien yo no he podido colaborar todavía con un neurofisiólogo para refinar y extender estos descubrimientos, sí me he dedicado a progresivamente ampliar la potencia del modelo matemático del contrapunto para abarcar música cada vez más compleja, de modo que podríamos comprender mejor los efectos de la misma sobre el cerebro, y quizá estos algún día tengan consecuencias para la salud pública. Hay que tener en cuenta que la pirámide poblacional mexicana se está invirtiendo, lo que implica que podemos esperar el aumento de los padecimientos neurológicos degenerativos; la musicología matemática podría ser clave para encontrar paliativos o incluso curas de estos males. Reitero que esto es principalmente especulación, pero precisamente esta clase de ejercicios son los que caracterizan a la ciencia y la matemática. Vale recalcar aquí que tampoco, suponiendo que se descubre algo que tenga consecuencias positivas para la salud pública, tendrían que restringirse los beneficios a nuestro país, sino que deben tener repercusiones globales. Asimismo, el potencial concreto de crear matemática o música novedosa permanece como justificación suficiente de estos estudios.

Dejo la siguiente reflexión para concluir: el estudio de la matemática de los antiguos egipcios, babilonios y mayas nos indica que, cuando los especialistas se enfocan exclusivamente en resolver problemas con consecuencias sociales inmediatas, la creatividad y el conocimiento se estancan durante muchas generaciones. Debemos reconocer que, frente a las economías posindustriales con las que debemos convivir, no podemos darnos el lujo de frenar el progreso que hemos conseguido. Por el contrario, tenemos que acelerarlo para conservar la viabilidad de nuestro país.

Atentamente,

Octavio Alberto Agustín Aquino

Cuestiones de lógica

En lo que va de la supuesta cuarta transformación, hay dos asuntos que se hacen frecuentes en el día a día.

1. La falacia tu quoque o apelar a la hipocresía. Ante el aluvión de críticas al gobierno del camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik (en especial porque no ha sido fiel a su prédica de honestidad como con las declaraciones patrimoniales de algunos funcionarios), sus fanáticos normalmente responden que "¿y por qué no fiscalizaban de la misma manera a las administraciones anteriores?". De la misma manera, cuando el Pan critica que no se vote a favor de la reducción del IEPS, el líder de la bancada morenista de forma socarrona los llamó "hipócritas". Esta respuesta, con todo lo satisfactoria que pudiera ser emocionalmente, no hace que sean menos valederas las observaciones. La situación es como la de una médica que le recomienda a una paciente bajar de peso y esta le replica "¡pero si usted es una marrana!". Las amenazas al sistema cardiovascular permanecen pese al bálsamo del desfogue.
2. El ex falso sequitur quodlibet o "de la falsedad todo se sigue" o principio de explosión. No es corta la lista de contradicciones en las que ha incurrido el camarada presidente. Dos ejemplos egregios: que había huachicol en las obras del nuevo aeropuerto y que no se habían reducido las importaciones de gasolina desde Estados Unidos a principios de este año. Aquí debo repetir lo dicho por Garry Kasparov: "Cuando un líder te miente constantemente, su objetivo no es hacerte creer en algo concreto, sino hacerte creer en lo que sea". Esto es un corolario al susodicho principio de explosión: si las premisas en un argumento son inconsistentes, entonces cualquier proposición puede deducirse de ellas. Esto disuelve la distinción entre lo verdadero y lo falso, y les es conveniente primordialmente a los fanáticos, que de partida ven todo como blanco o negro, y al final ya no les importa la realidad sino lo que les diga su caudillo. Sabemos que en el mundo real los hechos presentan diversos tonos de gris, y para quienes no caemos en la anulación de la verdad esta práctica del titular del ejecutivo nos resulta desgastante. Hay que resistir, sin embargo, para no dejarnos manipular.

La primera del 2019

Después de leer una columna de Carlos Elizondo Mayer-Serra, me siento francamente muy desconsolado. Es prácticamente imposible negar que tiene razón al evaluar la percepción que tiene la gente del camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik. Siento que, por ahora, todo está perdido.

Desde mi punto de vista, cada vez le diremos adiós a más libertades. No sé si alcance un sexenio para que se complete el proceso, pero está en marcha. Leía en Quora respuestas a la pregunta de que si Cuba realmente es tan pobre como la pinta Estados Unidos, y sospecho que aunque hay mucha propaganda, sí es verdad que muchos cubanos están resignados a vivir como lo han hecho bajo la dictadura de Castro y sus remanentes, y que hacia allá nos dirigimos. Debo añadir que me gustó mucho una en particular que afirma que todo aquél que aspira a ser diferente, a vivir en sus propios términos, termina yéndose de la isla; me consta que brillantes matemáticos cubanos que trabajan en México propagan la ideología comunista pero no se les ven ganas de regresarse a vivir al paraíso que engendra.

Me resulta todavía más claro (en particular después de ver lo minúscula que es la minoría que votó por el doctor José Antonio Meade Kuribreña) que hay unas tres o cuatro generaciones a las que les venden enemigos nítidos (sin importar si existen o no) muy fácilmente. Que el aumento en la cantidad de personas con educación media superior o superior sólo ha facilitado la penetración de los mensajes populistas. Que es apabullante el cómo gente con formación en el pensamiento crítico lo aplica brillantemente a su disciplina y falla miserablemente para analizar la realidad del país.

Aquí debo insistir en que México es un país que tiene problemas como muchos otros, pero no está en ruinas ni mucho menos. El artículo de Torreblanca, Muñoz y Merino aparecido en Nexos lo deja bastante claro; un dato que refuerza mi punto sobre la disonancia cognoscitiva es que, según veo, el José Merino coautor del escrito es uno de varios que no se cansó de alabar a los artífices del nuevo régimen como medio para conseguir un huesito. Regresando al punto, el tema de la violencia es particularmente notorio porque a principios del milenio vivimos en un ambiente de inusitada paz. También opino que la gráfica del susodicho artículo en relación a la desigualdad no hace justicia al hecho de que el índice de Gini trae tendencia a la baja desde hace tres décadas, lo mismo que el coeficiente de Palma. Esto es notable debido a que hay múltiples fuerzas e inercias que se oponen a que esto ocurra.

Antes me esperanzaba el pensar que, apenas viera lo mucho que se pierde con decisiones equivocadas y soluciones aparentemente rápidas, la población recapacitaría y obligaría al gobierno a tomar una dirección más moderada. Ha muerto en mí mucho de ese optimismo, al comprobar cómo México es un pueblo sin memoria ni mirada hacia el futuro, y ahora veo lo iluso que he sido al no darme cuenta de la intensidad y magnitud de esa amnesia y ceguera antes. Baste mencionar que entre los mejores especialistas de la historia mesoamericana rara vez hay mexicanos, y que el mismo camarada presidente desprecia a los profesionales proactivos y capaces. Otro ejemplo es que en mi pueblo adoptivo, San Antonino Castillo Velasco, saben que es una villa heroica por eventos relacionados con la Revolución, pero creo que ignoran que la mayor parte del desmadre de 1910 no tocó a Oaxaca ni que entre 1915 y 1920 el estado se declaró soberano, por lo que técnicamente estaba en contra de todos los revolucionarios, empezando por el presidente Venustiano Carranza. No saben, observo, en qué bando militaban, aunque yo podría apostar que del lado soberanista o "contrarrevolucionario" (!).

Bien dicen que el desconocer la historia nos condena a la rima. Una muy consonante y bastante ramplona, subrayo.