El 27 de marzo inició la tercera temporada del "Seminario de la Pizza" en la UTM, y se cumplía un aniversario de la muerte del matemático sardo Francesco Faà di Bruno, por lo que se me hizo una buena idea hablar de su vida y la fórmula que lleva su nombre. Sin embargo, debido a los imprevistos, no pude hacerlo, y por eso escribo esta entrada.
La vida de Faà di Bruno es particularmente interesante para algunos porque es lo más cerca que hay de un santo matemático: fue beatificado por Juan Pablo II en el centenario de su muerte.
Como saben, a mí me viene guango en sí que Faà di Bruno sea un beato y que le puedan rezar si quieren, pero pienso que algo de ese vaticano reconocimiento le es merecido en cuanto que su vida fue muy piadosa. Yo la veo en muchos sentidos como representativa de los matemáticos que no alcanzan una fama equiparable a la de Arquímedes, Euler o Gauss.
Lo primero que hay que aclarar es que el país donde nació Faà di Bruno, el reino de Cerdeña, tiene rato de no existir, pues fue absorbido por Italia durante la reunificación de esta última. Además, mucha de su educación y labor profesional la hizo en Francia, por lo que es inexacto adjudicarle una nacionalidad (aunque alcanzo a morir ya italiano).
Venía de una familia noble y acomodada, pero su madre murió cuando tenía nueve años. Al principio su destino se enfilaba hacia las armas: se matriculó en 1840 en la Real Academia Militar de Turín y le tocó defender en marzo de 1849 a su patria de las tropas austriacas. Justamente las experiencias durante la guerra le hicieron abandonar la milicia.
Viajó en 1850 a París para estudiar en La Sorbona con Augustin-Louis Cauchy, a quien admiraba no solo como matemático sino también como hombre de fe; además, fue colega de Charles Hermite y se hicieron amigos. Asimismo, visitaba la parroquia de San Sulpicio (que, para desgracia de la misma, hiciera famosa la novela "El código da Vinci") y trataba de ayudar a los pobres.
En 1851 se "licenció" en ciencia y regresó a su país, pero la situación era turbulenta y anticlerical, por lo que no consiguió trabajo. En el Observatorio de Turín le prometieron un puesto si se especializaba en astronomía y cumplió su parte con creces, pues estudió mecánica celeste con nada más ni nada menos que Urbain Le Verrier (el descubridor del planeta Neptuno), siguió haciendo investigación matemática bajo el auspicio de Cauchy y presentó en 1856 no una, sino dos tesis: una de matemática sobre la teoría de la eliminación y otra sobre "el desarrollo de la función de perturbación y las coordenadas de un planeta en su movimiento elíptico". Fueron defendidas ante el mismo Cauchy, Gabriel Lamé y Charles-Eugène Delaunay (que no debe confundirse con el Delaunay de las triangulaciones), todos ellos nombres inscritos en la torre Eiffel, al igual que Le Verrier.
En 1857 se le permitió dar cursos de matemática, física y astronomía en la Universidad de Turín, pero hasta 1860 consiguió un puesto como suplente del titular de la cátedra de Análisis Superior. Sin embargo, nunca lo promovieron a profesor de tiempo completo.
En Turín se dedicó en general a las obras de caridad y diseñó él mismo buena parte de la iglesia de Nostra Signora del Suffragio entre 1866 y 1869. Eso no le impidió seguir realizando investigación matemática, y en particular en 1876 publicó el libro "Théorie des formes binaires" que recibió una buena reseña de Paul Gordan y fue traducido al alemán por Max Noether en 1881.
Los católicos, muy gustosos de ciertas numerologías sagradas, listan catorce obras de misericordia: siete corporales y siete espirituales. Según las biografías que he leído, Faà di Bruno se distinguió en las siguientes, que poco tienen que ver realmente con creer en alguna deidad: visitar a los enfermos, dar de comer al hambriento, dar de beber al sediento, enseñar al que no sabe, dar buen consejo al que lo necesita y sufrir con paciencia los defectos del prójimo. En suma, tenemos evidencia de que era una buena persona.
Por lo que hemos visto, además, Faà di Bruno fue un militar capaz (llegó al grado de capitán) y patriota; fue un académico brillante aún si no fuera particularmente original. Fue instruido y evaluado por los mejores maestros de su época y escribió libros que fueron bien recibidos. Me parece, pues, que tuvo una vida ejemplar y que merece mucho ser recordada aunque solo fuera por una fórmula que no descubrió (pero de la que sí encontró una expresión original), y que discutiremos a continuación.
La fórmula de Faà di Bruno nos dice cómo
calcular la $n$-ésima derivada de una
composición
\[
\frac{d^{n}}{dx^{n}}(g\circ f)(x).
\]
Para entenderla, me parece óptimo seguir la exposición de Warren P. Johnson y que le atribuye la siguiente interpretación combinatoria a Riordan.
Recordemos que una partición de un conjunto de $n>0$ elementos es un conjunto de sus subconjuntos tal que ninguno es vacío, son disjuntos dos a dos y su unión recupera al conjunto. A cada elemento de una partición se le llama bloque. Por ejemplo, un conjunto singular solo tiene una partición; un $2$-conjunto como $\{0,1\}$ tiene $2$ particiones, una de un bloque y una de dos a saber: $\{\{0,1\}\}$ y $\{\{0\},\{1\}\}$; un $3$-conjunto como $\{0,1,2\}$ tiene cinco particiones
\[
\{\{0,1,2\}\},\{\{0,1\},\{2\}\}, \{\{0,2\},\{1\}\},\{\{1,2\},\{0\}\}, \{\{0\},\{1\},\{2\}\},
\]
etcétera. Al número de particiones de un $n$-conjunto se le llama número de Bell y se denota con $B_{n}$.
Ahora le asociaremos particiones a las derivadas de composiciones de la siguiente manera: la derivada $g'(f(x))\circ f'(x)$ está asociada a la partición $\{\{0\}\}$ del conjunto singular $\{0\}$, mientras que a las particiones $\{\{0,1\}\}$ y $\{\{0\},\{1\}\}$ de $\{0,1\}$ les asociamos $g'(f(x))f''(x)$ y $g''(f(x))(f'(x))^{2}$. En general, el orden de la derivada de $g$ cuenta el número de bloques y los restantes factores relativos a $(f^{(\ell)})^{s}$ indican que hay $s$ bloques de cardinalidad $\ell$. Así, las derivadas correspondientes a las particiones de las susodichas particiones de un $3$-conjunto serían
\begin{multline*}
g'(f(x))f'''(x),\\
g''(f(x))f''(x)f'(x),g''(f(x))f''(x)f'(x),g''(f(x))f''(x)f'(x),\\
g'''(x)(f'(x))^{3}.
\end{multline*}
Tenemos así que
\[
\frac{d^{n}}{dx^{n}}(g\circ f)(x)=\sum
g^{(k)}(f(x))\prod_{\ell=1}^{m} (f^{(\ell)}(x))^{b_{\ell}}
\]
donde la sumatoria se toma sobre todas las particiones de $\{0,\ldots,m-1\}$, de modo que $k$ es el número de bloques y $b_{\ell}$ es el número de bloques con $\ell$ elementos.
La demostración encadena bien (¡valga la expresión!) el proceso de la derivación con la construcción recursiva de las particiones, pero la dejaremos para otra ocasión, junto con otra muy simple que la conecta con la fórmula multinomial. También contemplaremos un tanto la versión determinantal de Faà di Bruno, que en cierto modo justifica que se lleve su nombre.
