En ésta epoca de dar regalos utilicé mucha matemática. En especial, logré sacar una caja cúbica de una caja de pizza y luego aplicarle una envoltura óptima. Por cierto que traté de usar la misma idea en general pero no es clara la explicación de cómo generalizarla para un paralelepípedo arbitrario; sospecho que con el rectángulo obvio no queda uno muy lejos del optimizador.
También usé el cómo doblar un círculo para cubrir un triángulo equilátero. Por cierto, este hecho igual lo aprovechan por lo menos en Acatlima para crear sabrosos triángulos rellenos de frijol.
Por último, fue de mucha utilidad el truco de cómo obtener un tetraedro de un sobre para unos dulces.
domingo, 30 de diciembre de 2018
viernes, 30 de noviembre de 2018
En las vísperas de la "cuarta transformación"
Como dije antes, el camarada Andréi Andreyévich López Rabotnik está cumpliendo con sus promesas de campaña, lo que me tiene profundamente preocupado.
En particular, me ha tenido estudiando y reestudiando historia, economía, sociología, psicología, etcétera, para poder defender posturas que muchos profesionales han tomado en nuestro país y que han funcionado bien. Es un hecho que mayormente y a nivel macroeconómico México va mejor o al menos igual de bien durante este sexenio que en los anteriores. Sin duda hay problemas con el crimen, pero el mismo gobierno entrante ha reconocido que sin el apoyo del ejército no será posible manejarlo.
En fin. Los resultados de lo que propone el régimen que en unas horas inicia son sabidos, pues se han ensayado en otros países, en varios momentos de la historia; vaya, los mercados lo reflejan, lo mismo que mi fondo de ahorro para el retiro. Pienso que lo que queda para el futuro sombrío (que, esperemos, se reduzca a seis años) es buscar cómo asegurar el futuro de mis hijas y defender con todas mis fuerzas cada espacio de libertad del que disfruto en mi país, porque estoy seguro de que vendrán por ellos.
No estoy jugando ni exagerando: en mi trabajo nos mandaron las instrucciones de la camarada doctora María Elena Raimondova Álvarez-Buylla Roces de que no tenemos libertad para explorar la frontera del conocimiento. Ya les respondí que no las acataré. A partir de mañana pudiera ser que experimente las consecuencias. Pero si ellos no tienen prisa, yo tampoco.
En particular, me ha tenido estudiando y reestudiando historia, economía, sociología, psicología, etcétera, para poder defender posturas que muchos profesionales han tomado en nuestro país y que han funcionado bien. Es un hecho que mayormente y a nivel macroeconómico México va mejor o al menos igual de bien durante este sexenio que en los anteriores. Sin duda hay problemas con el crimen, pero el mismo gobierno entrante ha reconocido que sin el apoyo del ejército no será posible manejarlo.
En fin. Los resultados de lo que propone el régimen que en unas horas inicia son sabidos, pues se han ensayado en otros países, en varios momentos de la historia; vaya, los mercados lo reflejan, lo mismo que mi fondo de ahorro para el retiro. Pienso que lo que queda para el futuro sombrío (que, esperemos, se reduzca a seis años) es buscar cómo asegurar el futuro de mis hijas y defender con todas mis fuerzas cada espacio de libertad del que disfruto en mi país, porque estoy seguro de que vendrán por ellos.
No estoy jugando ni exagerando: en mi trabajo nos mandaron las instrucciones de la camarada doctora María Elena Raimondova Álvarez-Buylla Roces de que no tenemos libertad para explorar la frontera del conocimiento. Ya les respondí que no las acataré. A partir de mañana pudiera ser que experimente las consecuencias. Pero si ellos no tienen prisa, yo tampoco.
miércoles, 31 de octubre de 2018
Un cómputo difícil
Pensaba en este asunto de la consulta por el Nuevo Aeropuerto de la Ciudad de México. Según el Prep, el camarada Andréi Andreyévich López Rabotnik obtuvo prácticamente el $52.960$% de los votos, con una desviación estándar de aproximadamente
\[
\sqrt{\frac{0.52960\cdot 0.47040}{57\times 10^{6}}} = 6.6\times 10^{-5}.
\]
Según entiendo (pero seguramente lo entiendo mal), sería razonable suponer que el $52.96$% de la población estaría de acuerdo con cancelar la obra, y en la consulta se elevó esto a $70.641$%. Al intentar calcular la sumatoria \[ \sum_{k=747000}^{1057463}\binom{1057463}{k}0.52960^{k}0.47040^{1057463-k} \] para obtener el $p$-valor de que esto ocurra, no pude hacerlo con Maxima. Precisamente en estos casos, se supone, acude en nuestro auxilio la aproximación normal, con lo que podría usarse la función de error para estimar el número. Tendríamos que calcular \[ 1-\mathrm{erf}\left(\frac{0.70641-0.52960}{4.9\times 10^{-4}}\right) = 1-\mathrm{erf}(360.8) \] y tanto Maxima como Wolfram Alpha me dicen que esto da $0$. No es de extrañar: hablamos de un valor que se aleja en más de trescientas desviaciones estándar de la media.
Y bueno, siendo muy inocente diríamos que es virtualmente imposible que haya ganado de forma tan aplastante la opción de cancelar la obra en Texcoco. Si acaso está raro que, siendo que el gobierno entrante goza de tanta legitimidad, ¿para qué tomarse tantas molestias y dinero en ejecutar lo que de por sí quiere "el pueblo"? Insistiría que hay que comprender que el trasfondo no es impulsar la democracia, sino complacer a la base. Pero podría estar equivocado.
Aunque lo que realmente me intriga ahora es ¿cómo se puede calcular de forma cada vez más precisa la función de error para valores grandes? He realizado algunos tientos pero resulta que no es tan fácil...
P. D.: Más razones.
P. S. 2: Todavía más razones. La fuente tiene a su favor que le publicó al Dr. Fernando Córdova Tapia su pieza en contra del aeropuerto en Texcoco.
Según entiendo (pero seguramente lo entiendo mal), sería razonable suponer que el $52.96$% de la población estaría de acuerdo con cancelar la obra, y en la consulta se elevó esto a $70.641$%. Al intentar calcular la sumatoria \[ \sum_{k=747000}^{1057463}\binom{1057463}{k}0.52960^{k}0.47040^{1057463-k} \] para obtener el $p$-valor de que esto ocurra, no pude hacerlo con Maxima. Precisamente en estos casos, se supone, acude en nuestro auxilio la aproximación normal, con lo que podría usarse la función de error para estimar el número. Tendríamos que calcular \[ 1-\mathrm{erf}\left(\frac{0.70641-0.52960}{4.9\times 10^{-4}}\right) = 1-\mathrm{erf}(360.8) \] y tanto Maxima como Wolfram Alpha me dicen que esto da $0$. No es de extrañar: hablamos de un valor que se aleja en más de trescientas desviaciones estándar de la media.
Y bueno, siendo muy inocente diríamos que es virtualmente imposible que haya ganado de forma tan aplastante la opción de cancelar la obra en Texcoco. Si acaso está raro que, siendo que el gobierno entrante goza de tanta legitimidad, ¿para qué tomarse tantas molestias y dinero en ejecutar lo que de por sí quiere "el pueblo"? Insistiría que hay que comprender que el trasfondo no es impulsar la democracia, sino complacer a la base. Pero podría estar equivocado.
Aunque lo que realmente me intriga ahora es ¿cómo se puede calcular de forma cada vez más precisa la función de error para valores grandes? He realizado algunos tientos pero resulta que no es tan fácil...
P. D.: Más razones.
Matemática para ganar elecciones y sepultar un aeropuerto.
— El Financiero TV (@ElFinancieroTv) November 2, 2018
Los lugares seleccionados para la consulta ciudadana fueron cuidadosamente seleccionados. Una fórmula matemática lo muestra así en #La4ta con @scherermar . pic.twitter.com/e3fbGJMMPR
P. S. 2: Todavía más razones. La fuente tiene a su favor que le publicó al Dr. Fernando Córdova Tapia su pieza en contra del aeropuerto en Texcoco.
domingo, 9 de septiembre de 2018
Tetraédrico por sexta vez
Aunque me causa alegría haber llegado a los 35 años hoy, me da un poco de tristeza hacerlo lejos de mi país y de mi familia. Pero todo sea por darles algo mejor a ambos.
Si uno construye pirámides con base triangular acomodando naranjas, puede uno usar $1$, $4$, $10$, $20$, $35$, etcétera, de ellas. Es la sucesión de los números tetraédricos.
También es posible desmontar la sexta pirámide y armar justamente el sexto de los números pentagonales. Según las soluciones de la curva elíptica $Y^3+Y=X^{3}-X$, los únicos números tetraédricos con los que es posible hacer esto son $0$, $1$ y $35$.
Obviamente esto me sirve de pretexto para mencionar a mi héroe Euler y su teorema de los números pentagonales. Una última propiedad que encontré agradable del $35$ es que también es un coeficiente binomial. Más especificamente, es \[ \binom{7}{4}=\binom{7}{3}=35 \] o sea, todas las formas de elegir (sin importar el orden) cuatro objetos entre siete disponibles. O de descartarlos, si se quiere. También esto significa que hay (sin tomar en cuenta equivalencias debidas a simetrías afines) la misma cantidad de acordes de tres que de cuatro notas en una escala diatónica.
Si uno construye pirámides con base triangular acomodando naranjas, puede uno usar $1$, $4$, $10$, $20$, $35$, etcétera, de ellas. Es la sucesión de los números tetraédricos.
También es posible desmontar la sexta pirámide y armar justamente el sexto de los números pentagonales. Según las soluciones de la curva elíptica $Y^3+Y=X^{3}-X$, los únicos números tetraédricos con los que es posible hacer esto son $0$, $1$ y $35$.
Obviamente esto me sirve de pretexto para mencionar a mi héroe Euler y su teorema de los números pentagonales. Una última propiedad que encontré agradable del $35$ es que también es un coeficiente binomial. Más especificamente, es \[ \binom{7}{4}=\binom{7}{3}=35 \] o sea, todas las formas de elegir (sin importar el orden) cuatro objetos entre siete disponibles. O de descartarlos, si se quiere. También esto significa que hay (sin tomar en cuenta equivalencias debidas a simetrías afines) la misma cantidad de acordes de tres que de cuatro notas en una escala diatónica.
martes, 21 de agosto de 2018
El teorema de Pitágoras y la constante de Arquímedes en acción
Para una actividad escolar de mi hija menor, le pidieron un gorro cónico de fiesta. Ange me dijo que teníamos cartulina rosa e hilo elástico, así que podíamos hacerlo nosotros mismos. Después de dictaminar que un radio en la base de $6$ cm era razonable, busqué cuál era la altura estándar y encontré que podían tomarse $16$ cm. ¿De qué radio debía ser el sector circular a trazar? Es relativamente fácil ver que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $6$ y $16$ cm, o sea
\[
\sqrt{6^{2}+16^{2}} \approx 17.1
\]
cm. Para averiguar el ángulo que debía subtenderse, se multiplica por $\pi$ al cociente del radio de la base entre el radio del sector, lo que da aproximadamente $0{.}70\pi$ radianes. No tenía transportador, solamente escuadra, así que para trazarlo primero se nota que el ángulo excede un cuarto de vuelta en $0{.}2\pi$. Luego con un triángulo rectángulo con base $17.1\cos(0{.}2\pi)=13.83$ y altura $17.1\sin(0{.}2\pi)=10.05$ obtenemos el ángulo faltante. Vean el resultado una vez aplicado el compás, las tijeras, el pegamento y puesto el elástico.
Pero, ¿a quién podrían servirle estas cosas?
Pero, ¿a quién podrían servirle estas cosas?
sábado, 28 de julio de 2018
No hay quinto malo
Veo con gran alegría que mi quinto artículo "Enumeration of strong dichotomy patterns" por fin salió en la revista electrónica Algebra and Discrete Mathematics, después de ser rechazado por una revista de Elsevier, no recibir acuse de recibo por parte del Seminaire Lotharingien de Combinatoire y ser rechazado también por el Australasian Journal of Combinatorics. Tardó dos años en ser publicado, y creo que ya me acostumbré a estas dilaciones.
Por cierto que no sé si debe contarse mi contribución del congreso de Puerto Vallarta como artículo; MathSciNet® tiene indizado el libro de memorias y algunos de las contribuciones individuales, pero no la mía. Si llega a aparecer, tal vez podría decir que ya estoy dentro del rango proporcional a mi cociente intelectual en cuanto a publicaciones. Creo que no está tan mal.
¡Venga el sexto!
Por cierto que no sé si debe contarse mi contribución del congreso de Puerto Vallarta como artículo; MathSciNet® tiene indizado el libro de memorias y algunos de las contribuciones individuales, pero no la mía. Si llega a aparecer, tal vez podría decir que ya estoy dentro del rango proporcional a mi cociente intelectual en cuanto a publicaciones. Creo que no está tan mal.
¡Venga el sexto!
lunes, 2 de julio de 2018
Discurso a mi patria
Compatriotas mexicanos:
Ayer salí a votar con la convicción de que el futuro de México estaba asegurado, y que el ejercicio democrático lo realizaba un pueblo lo suficientemente educado como para esquivar los errores del pasado.
Pero me equivoqué.
Y básicamente eso sería todo lo que tengo que decirles. Sin embargo, voy a abundar un poco, por entrenenimiento mío y de ustedes, y para hacer una promesa.
Recién atestiguamos el ejemplo del vecino al elegir al peor candidato y aprendimos cero, nada, naranjas dulces. Ahí hemos visto cómo rezuma la pus del resentimiento y la estupidez de ciertos colectivos contra la cándida pero variopinta mayoría ante la complacencia de la élite gobernante. En palabras llanas: nos toca chingarnos todos.
En el corto plazo, aseguran los que saben, tratará el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik de cumplir sus promesas, al costo que sea. Cuando esto sea insostenible o algo falle seriamente, la culpa será de la mafia del poder, lo que requerirá algún tipo de purga de la sociedad y por medio de esta maniobra se hará de más recursos para nuevas iteraciones de dilapidación, o vayan ustedes a saber qué otro tipo de atropellos se le ocurrirán en el camino.
Si se le da dinero a la gente nada más por que sí entonces aumenta el consumo, pero si no hay más producción (y recordemos que intentaremos producir todo lo que consumamos), entonces la única salida es que aumenten los precios, y con ello la inflación. Yo cometí la imprudencia de acostumbrarme a una inflación baja durante mi vida adulta (normalmente de menos del 10% y casi siempre rondando el 5%), pero pues ya ven... Todo por servir se acaba. O tal vez el Banco de México, en su independencia prometida, pueda obrar milagros. Sabrá Dios.
Estas exquisiteces serían las menos graves, por lo menos desde mi perspectiva. El camarada Andréi Andreyévich López Rabotnik estableció muy claramente que la reforma educativa tiene mal el nombre (y todo, de hecho) por lo que, después de una supuesta consulta, la derogará. Lo más lógico que puedo suponer es que, una vez que tal despropósito se consume, la criminal y pérfida Sección XXII tendrá nuevamente carta blanca para la compra-venta de plazas y así poder seguir disfrutando de sus prebendas malhabidas, con las consecuencias obvias para la educación de la niñez y juventud oaxaqueña y las flagrantes en cuanto a la violación de los demás derechos humanos de la población en general. Ahora sí podré creer que el régimen tendría por objetivo mantenernos en la oscuridad de la ignorancia para hacer con nosotros lo que le plazca.
Lo menos que puedo prometer hacer es continuar sacando a las mentes de los jóvenes de las tinieblas mientras el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik y su séquito no estén mirando, pero debo ir por más. El enseñar más y con mayor ahínco sobre el pensamiento crítico y la matemática (con algunos toques de ateísmo por aquí y por allá) al público en general es mi obvia primera respuesta, y se que no es suficiente, pero debo admitir que no estaba preparado para este escenario. Toda sugerencia que no pase por la violencia es bienvenida.
En fin: que no quede de nosotros, los que entendemos las consecuencias de nuestros actos y de los demás. No me extrañaría que tengan miedo igual que yo. Y si, por el contrario, son muy sacalepunta, les pido de favor me echen porras y me unten un poco de su audacia.
He dicho.
Octavio Alberto Agustín Aquino.
Ayer salí a votar con la convicción de que el futuro de México estaba asegurado, y que el ejercicio democrático lo realizaba un pueblo lo suficientemente educado como para esquivar los errores del pasado.
Pero me equivoqué.
Y básicamente eso sería todo lo que tengo que decirles. Sin embargo, voy a abundar un poco, por entrenenimiento mío y de ustedes, y para hacer una promesa.
Recién atestiguamos el ejemplo del vecino al elegir al peor candidato y aprendimos cero, nada, naranjas dulces. Ahí hemos visto cómo rezuma la pus del resentimiento y la estupidez de ciertos colectivos contra la cándida pero variopinta mayoría ante la complacencia de la élite gobernante. En palabras llanas: nos toca chingarnos todos.
En el corto plazo, aseguran los que saben, tratará el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik de cumplir sus promesas, al costo que sea. Cuando esto sea insostenible o algo falle seriamente, la culpa será de la mafia del poder, lo que requerirá algún tipo de purga de la sociedad y por medio de esta maniobra se hará de más recursos para nuevas iteraciones de dilapidación, o vayan ustedes a saber qué otro tipo de atropellos se le ocurrirán en el camino.
Si se le da dinero a la gente nada más por que sí entonces aumenta el consumo, pero si no hay más producción (y recordemos que intentaremos producir todo lo que consumamos), entonces la única salida es que aumenten los precios, y con ello la inflación. Yo cometí la imprudencia de acostumbrarme a una inflación baja durante mi vida adulta (normalmente de menos del 10% y casi siempre rondando el 5%), pero pues ya ven... Todo por servir se acaba. O tal vez el Banco de México, en su independencia prometida, pueda obrar milagros. Sabrá Dios.
Estas exquisiteces serían las menos graves, por lo menos desde mi perspectiva. El camarada Andréi Andreyévich López Rabotnik estableció muy claramente que la reforma educativa tiene mal el nombre (y todo, de hecho) por lo que, después de una supuesta consulta, la derogará. Lo más lógico que puedo suponer es que, una vez que tal despropósito se consume, la criminal y pérfida Sección XXII tendrá nuevamente carta blanca para la compra-venta de plazas y así poder seguir disfrutando de sus prebendas malhabidas, con las consecuencias obvias para la educación de la niñez y juventud oaxaqueña y las flagrantes en cuanto a la violación de los demás derechos humanos de la población en general. Ahora sí podré creer que el régimen tendría por objetivo mantenernos en la oscuridad de la ignorancia para hacer con nosotros lo que le plazca.
Lo menos que puedo prometer hacer es continuar sacando a las mentes de los jóvenes de las tinieblas mientras el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik y su séquito no estén mirando, pero debo ir por más. El enseñar más y con mayor ahínco sobre el pensamiento crítico y la matemática (con algunos toques de ateísmo por aquí y por allá) al público en general es mi obvia primera respuesta, y se que no es suficiente, pero debo admitir que no estaba preparado para este escenario. Toda sugerencia que no pase por la violencia es bienvenida.
En fin: que no quede de nosotros, los que entendemos las consecuencias de nuestros actos y de los demás. No me extrañaría que tengan miedo igual que yo. Y si, por el contrario, son muy sacalepunta, les pido de favor me echen porras y me unten un poco de su audacia.
He dicho.
Octavio Alberto Agustín Aquino.
martes, 26 de junio de 2018
Adversus scholastica certamina
Este asunto de las competiciones académicas ya lo he tratado antes, pero creo que es buen momento
de agregar nuevas reflexiones.
Primero que nada, debo decir que este tipo de justas son excelentes para resolver problemas relacionados con tecnología con el fin de conseguir avances sustanciales. En principio, si deseamos obtener un robot capaz de tocar convincentemente el violín, un proceso para extraer dióxido de carbono de la atmósfera o la demostración más corta posible del teorema de Perelman-Poincaré y tenemos prisa, un concurso tiene una alta probabilidad de entregárnoslos.
Sin embargo, si se supone que la primordial razón para hacer matemática es para entender y ampliar nuestro conocimiento sobre ciertas entidades abstractas, ¿por qué importa quién ha de lograrlo primero o que esto suceda lo más pronto posible? Además, el pionero o campeón rara vez hace el esfuerzo por explicar sus métodos de manera que todos los demás puedan verificar sus resultados o extender sus métodos, y son legiones de otros matemáticos (que no alcanzan amplio reconocimiento por lo general) quienes se encargan de sistematizar y exponer. Esto ya lo ha señalado con gran maestría Jordan Ellenberg (quien, además, tiene autoridad moral para manifestarse pues es medallista olímpico y campeón del Putnam), y no está por demás leer los argumentos de Izabella Łaba, con su característico estilo contundente, cuando afirma que la actitud de los matemáticos a lo largo de los siglos ha sido más competitiva que cooperativa.
A modo de ejemplo, y para redondear lo que digo, hay que señalar que, en mi humilde opinión, Leonhard Euler mismo ha sido víctima de esto. Sus obras sobre mecánica hicieron mucho para poder aprovechar los métodos de Newton y Leibniz en la ingeniería práctica y su notación está ampliamente difundida por ser, efectivamente, clarificadora, y sin embargo es muy raro que un ingeniero o el público en general lo coloquen en el panteón de los matemáticos ilustres. Hay que reconocer que ni Arquímedes (a quien admiro) ni Gauss (a quien no tanto), entre otras luminarias, nunca hicieron mucho por desgranar sus prodigiosos artilugios que les permitían sondear las maravillas de la matemática.
Es por esto que yo me opongo a que se realicen concursos de matemática a diestra y siniestra. Me parece que es tóxico el fomentar la imagen del matemático como un genio que acaba con los "dragones" de los problemas con apenas algunas estocadas impulsadas por la fuerza arrolladora de su capacidad intelectual. No sobra remarcar el problema del efecto Mateo: cuando se realizan las pruebas preliminares, normalmente los competidores distan poco unos de otros, pero hay un ganador. A este ganador se le entrena y, obviamente, amplifica su ventaja sobre sus compañeros, y en futuras iteraciones de las competencias refuerza su dominio y se le entrena aún más. Pero sólo podemos, por definición, obtener una cantidad limitada de matemáticos por esta vía, ¿no es mejor destinar esos recursos de entrenamiento a todos los que sientan vocación por la matemática? Hay simulaciones que demuestran que dar un poco (aunque sea ínfimo) a todos es mejor que dar a manos llenas a los más "talentosos" para conseguir avances.
Primero que nada, debo decir que este tipo de justas son excelentes para resolver problemas relacionados con tecnología con el fin de conseguir avances sustanciales. En principio, si deseamos obtener un robot capaz de tocar convincentemente el violín, un proceso para extraer dióxido de carbono de la atmósfera o la demostración más corta posible del teorema de Perelman-Poincaré y tenemos prisa, un concurso tiene una alta probabilidad de entregárnoslos.
Sin embargo, si se supone que la primordial razón para hacer matemática es para entender y ampliar nuestro conocimiento sobre ciertas entidades abstractas, ¿por qué importa quién ha de lograrlo primero o que esto suceda lo más pronto posible? Además, el pionero o campeón rara vez hace el esfuerzo por explicar sus métodos de manera que todos los demás puedan verificar sus resultados o extender sus métodos, y son legiones de otros matemáticos (que no alcanzan amplio reconocimiento por lo general) quienes se encargan de sistematizar y exponer. Esto ya lo ha señalado con gran maestría Jordan Ellenberg (quien, además, tiene autoridad moral para manifestarse pues es medallista olímpico y campeón del Putnam), y no está por demás leer los argumentos de Izabella Łaba, con su característico estilo contundente, cuando afirma que la actitud de los matemáticos a lo largo de los siglos ha sido más competitiva que cooperativa.
A modo de ejemplo, y para redondear lo que digo, hay que señalar que, en mi humilde opinión, Leonhard Euler mismo ha sido víctima de esto. Sus obras sobre mecánica hicieron mucho para poder aprovechar los métodos de Newton y Leibniz en la ingeniería práctica y su notación está ampliamente difundida por ser, efectivamente, clarificadora, y sin embargo es muy raro que un ingeniero o el público en general lo coloquen en el panteón de los matemáticos ilustres. Hay que reconocer que ni Arquímedes (a quien admiro) ni Gauss (a quien no tanto), entre otras luminarias, nunca hicieron mucho por desgranar sus prodigiosos artilugios que les permitían sondear las maravillas de la matemática.
Es por esto que yo me opongo a que se realicen concursos de matemática a diestra y siniestra. Me parece que es tóxico el fomentar la imagen del matemático como un genio que acaba con los "dragones" de los problemas con apenas algunas estocadas impulsadas por la fuerza arrolladora de su capacidad intelectual. No sobra remarcar el problema del efecto Mateo: cuando se realizan las pruebas preliminares, normalmente los competidores distan poco unos de otros, pero hay un ganador. A este ganador se le entrena y, obviamente, amplifica su ventaja sobre sus compañeros, y en futuras iteraciones de las competencias refuerza su dominio y se le entrena aún más. Pero sólo podemos, por definición, obtener una cantidad limitada de matemáticos por esta vía, ¿no es mejor destinar esos recursos de entrenamiento a todos los que sientan vocación por la matemática? Hay simulaciones que demuestran que dar un poco (aunque sea ínfimo) a todos es mejor que dar a manos llenas a los más "talentosos" para conseguir avances.
lunes, 28 de mayo de 2018
Por su visionario programa...
Lo importante que ha sucedido recientemente, y que no quiero dejar sin algún tipo de glosa, es que Robert Langlands fue galardonado con el premio Abel este año; no será muy sustanciosa puesto que es un asunto muy técnico y que, a decir verdad, no alcanzo a apreciar del todo. El libro de Bernstein y Gelbart "An Introduction to the Langlands Program" parece que es un buen punto de partida para quien quiera profundizar en el famoso programa iniciado por Langlands.
Según entiendo, todo tiene su origen en la ley de reciprocidad cuadrática tan apreciada por Gauss. Hay que decir primero que un entero $q$ un residuo cuadrático módulo $n$ si es congruente con un cuadrado perfecto, esto es, $q\equiv x^{2}\pmod{n}$ para algún $x$ entero. El símbolo de Legendre $(\frac{q}{p})$ es una indicatriz de la residuosidad cuadrática, pues se define como $0$ si $q$ es nulo, $1$ si $q$ es no nulo y es un residuo cuadrático, y $-1$ si no es un residuo cuadrático. Así, $5$ es un residuo cuadrático módulo $11$ porque $5\equiv 7^{2} \pmod{11}$, mientras que $2$ no es residuo cuadrático módulo $11$, luego $(\frac{5}{11})=1$ y $(\frac{2}{11})=-1$.
Dicho esto, la ley de reciprocidad cuadrática nos dice que, si $p$ y $q$ son números primos impares, entonces \[ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}. \] En otras palabras: hay una relación (¿recíproca?) entre la residuosidad cuadrática de $p$ módulo $q$ y la de $q$ módulo $p$. Juntando esto con las propiedades del símbolo de Legendre, es posible saber si la ecuación cuadrática más simple $x^{2}\equiv a \pmod{p}$ para un primo impar $p$ tiene solución o no.
Con un poco de razonamiento algebraico muy elegante, es posible ver que el símbolo de Legendre en realidad es un homomorfismo del grupo de unidades de $\mathbb{Z}_{p}$ hacia el grupo $\{1,-1\}$ con la multiplicación. La mejor forma de hacerlo es estudiar el cuerpo $K$ de descomposición del polinomio $x^{q}-1$ sobre $\mathbb{Z}_{p}$, y luego estudiar las propiedades del grupo de Galois $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Z}_{p})$.
De aquí hay que ir a la ley de reciprocidad de Artin, que relaciona a la abelianización del grupo de Galois de una extensión de campos globales con el grupo clase de ideles del campo extensor, y cómo esto puede mirarse como una conexión entre las $L$-series de Artin (que son un tipo de series de Dirichlet) y los caracteres de Hecke (que son generalizaciones de los caracteres de Dirichlet). Todo esto es una ensalada de teoría de campos clase, y que fue llevada a sus mayores consecuencias hasta ahora por Langlands y los continuadores de su obra, y que relaciona a la teoría de números con el álgebra y el análisis (armónico). Es por eso que se considera una de las grandes unificaciones de la matemática.
Según entiendo, todo tiene su origen en la ley de reciprocidad cuadrática tan apreciada por Gauss. Hay que decir primero que un entero $q$ un residuo cuadrático módulo $n$ si es congruente con un cuadrado perfecto, esto es, $q\equiv x^{2}\pmod{n}$ para algún $x$ entero. El símbolo de Legendre $(\frac{q}{p})$ es una indicatriz de la residuosidad cuadrática, pues se define como $0$ si $q$ es nulo, $1$ si $q$ es no nulo y es un residuo cuadrático, y $-1$ si no es un residuo cuadrático. Así, $5$ es un residuo cuadrático módulo $11$ porque $5\equiv 7^{2} \pmod{11}$, mientras que $2$ no es residuo cuadrático módulo $11$, luego $(\frac{5}{11})=1$ y $(\frac{2}{11})=-1$.
Dicho esto, la ley de reciprocidad cuadrática nos dice que, si $p$ y $q$ son números primos impares, entonces \[ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}. \] En otras palabras: hay una relación (¿recíproca?) entre la residuosidad cuadrática de $p$ módulo $q$ y la de $q$ módulo $p$. Juntando esto con las propiedades del símbolo de Legendre, es posible saber si la ecuación cuadrática más simple $x^{2}\equiv a \pmod{p}$ para un primo impar $p$ tiene solución o no.
Con un poco de razonamiento algebraico muy elegante, es posible ver que el símbolo de Legendre en realidad es un homomorfismo del grupo de unidades de $\mathbb{Z}_{p}$ hacia el grupo $\{1,-1\}$ con la multiplicación. La mejor forma de hacerlo es estudiar el cuerpo $K$ de descomposición del polinomio $x^{q}-1$ sobre $\mathbb{Z}_{p}$, y luego estudiar las propiedades del grupo de Galois $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Z}_{p})$.
De aquí hay que ir a la ley de reciprocidad de Artin, que relaciona a la abelianización del grupo de Galois de una extensión de campos globales con el grupo clase de ideles del campo extensor, y cómo esto puede mirarse como una conexión entre las $L$-series de Artin (que son un tipo de series de Dirichlet) y los caracteres de Hecke (que son generalizaciones de los caracteres de Dirichlet). Todo esto es una ensalada de teoría de campos clase, y que fue llevada a sus mayores consecuencias hasta ahora por Langlands y los continuadores de su obra, y que relaciona a la teoría de números con el álgebra y el análisis (armónico). Es por eso que se considera una de las grandes unificaciones de la matemática.
sábado, 31 de marzo de 2018
Sobre un virtuoso normando (y no es Erik Satie)
Resulta que es un excelente momento para escribir sobre Nicolás de Oresme, un gran pensador del siglo XIV oriundo de Normandía, Francia.
Es muy interesante que Oresme fuera de los primeros en afirmar que la proporción entre las duraciones de las órbitas de distintos cuerpos celestes es probablemente irracional, lo que da al traste con la astrología; en tal caso no es posible predecir conjunciones, oposiciones y otras efemérides de modo preciso como para "vaticinar" el futuro.
Todavía más genial fue la idea de Oresme de graficar en la longitud al tiempo y en la latitud a la velocidad, con el fin de clasificar la naturaleza de un movimiento. De este modo, por ejemplo, un movimiento uniformemente acelerado se ve como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y se revela claramente, por medio de un simple cálculo de área, el llamado teorema de Merton: un cuerpo uniformemente acelerado que parte del reposo recorre la misma distancia que uno que se mueve a velocidad uniforme igual a la mitad de la velocidad final del primero. Tampoco ya es difícil ver cómo se generaliza esto a un cuerpo que no parte del reposo, y el teorema del valor medio está a un tiro de piedra. Es, pues, grande la deuda que tiene Descartes (cuyo natalicio es hoy) con su compatriota, en mi opinión.
En lo que a series respecta, la forma en que Oresme suma la geométrica \[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a}{m^{k}} \] es peculiar, pues dice que hay que tomar la diferencia entre dos términos sucesivos \[ \frac{a}{m^{k}}-\frac{a}{m^{k+1}} = \frac{a}{m^{k}}(1-\tfrac{1}{m})=\frac{a}{m^{k}}\frac{m-1}{m} \] y dividir entre el primero, de modo que queda $\frac{m-1}{m}$. El recíproco de esta fracción es la proporción de la suma al primer término (que es $a/m^{0}=a$), lo cual tiene mucho sentido si Oresme reparó en la autosemejanza de la suma si se dibujan sus términos como barras.
Esto lo explica Oresme en su Questiones super geometriam Euclidis, y en esta misma obra expone su maravillosa demostración de que la serie armónica es divergente. Antes de presentarla, vale apuntar que él estudia esta cuestión ante la situación de que a una cantidad, a la que se le agrega algo cada vez más pequeño, pueda crecer sin cota. Para ver que esto puede suceder, hay que considerar la agrupación de términos
\[
H = 1+ \left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
\]
esto es, según potencias de dos (primero 0, luego 1, luego 2, luego 4, etcétera). Dentro de cada paréntesis, la última fracción es la más pequeña, por lo que lo que hay entre el $k$-ésimo paréntesis (con $k>0$) es por lo menos
\[
2^{k-1}\frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2}
\]
y en consecuencia, si $H_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ es $n$-ésima suma parcial, se satisface
\[
H_{2^{k}} \geq 1+\frac{k}{2}
\]
y se deduce que la serie diverge. Esto, por cierto, también da un estimado de cuánto hay que esperar para que la serie alcance un valor dado de antemano.
Es muy interesante que Oresme fuera de los primeros en afirmar que la proporción entre las duraciones de las órbitas de distintos cuerpos celestes es probablemente irracional, lo que da al traste con la astrología; en tal caso no es posible predecir conjunciones, oposiciones y otras efemérides de modo preciso como para "vaticinar" el futuro.
Todavía más genial fue la idea de Oresme de graficar en la longitud al tiempo y en la latitud a la velocidad, con el fin de clasificar la naturaleza de un movimiento. De este modo, por ejemplo, un movimiento uniformemente acelerado se ve como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y se revela claramente, por medio de un simple cálculo de área, el llamado teorema de Merton: un cuerpo uniformemente acelerado que parte del reposo recorre la misma distancia que uno que se mueve a velocidad uniforme igual a la mitad de la velocidad final del primero. Tampoco ya es difícil ver cómo se generaliza esto a un cuerpo que no parte del reposo, y el teorema del valor medio está a un tiro de piedra. Es, pues, grande la deuda que tiene Descartes (cuyo natalicio es hoy) con su compatriota, en mi opinión.
En lo que a series respecta, la forma en que Oresme suma la geométrica \[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a}{m^{k}} \] es peculiar, pues dice que hay que tomar la diferencia entre dos términos sucesivos \[ \frac{a}{m^{k}}-\frac{a}{m^{k+1}} = \frac{a}{m^{k}}(1-\tfrac{1}{m})=\frac{a}{m^{k}}\frac{m-1}{m} \] y dividir entre el primero, de modo que queda $\frac{m-1}{m}$. El recíproco de esta fracción es la proporción de la suma al primer término (que es $a/m^{0}=a$), lo cual tiene mucho sentido si Oresme reparó en la autosemejanza de la suma si se dibujan sus términos como barras.
Esto lo explica Oresme en su Questiones super geometriam Euclidis, y en esta misma obra expone su maravillosa demostración de que la serie armónica es divergente. Antes de presentarla, vale apuntar que él estudia esta cuestión ante la situación de que a una cantidad, a la que se le agrega algo cada vez más pequeño, pueda crecer sin cota. Para ver que esto puede suceder, hay que considerar la agrupación de términos
\[
H = 1+ \left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
\]
esto es, según potencias de dos (primero 0, luego 1, luego 2, luego 4, etcétera). Dentro de cada paréntesis, la última fracción es la más pequeña, por lo que lo que hay entre el $k$-ésimo paréntesis (con $k>0$) es por lo menos
\[
2^{k-1}\frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2}
\]
y en consecuencia, si $H_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ es $n$-ésima suma parcial, se satisface
\[
H_{2^{k}} \geq 1+\frac{k}{2}
\]
y se deduce que la serie diverge. Esto, por cierto, también da un estimado de cuánto hay que esperar para que la serie alcance un valor dado de antemano.
jueves, 1 de marzo de 2018
Matemática a la boloñesa
En esta ocasión escribo sobre un matemático boloñés del siglo XVII, del cual descubro fascinado que también escribió cosas muy interesantes sobre la música. Me refiero ni más ni menos que a Pietro Mengoli. Lo que sigue se basa en material de un libro de Giovanni Ferraro y un artículo de Benjamin Wardhaugh.
Mengoli es famoso por haber sumado, en su Novae Quadraturae Arithmeticae de 1650, los recíprocos de los números oblongos y triangulares, observando que corresponden a lo que ahora llamamos una serie telescópica. Más específicamente, en símbolos modernos demostró primero que \[ \frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1}a_{2}}+\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{2}a_{3}}+\cdots+\frac{a_{n}-a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n}} = \frac{a_{n}-a_{1}}{a_{1}a_{n}}, \] y que con la sucesión $a_{n}=n$ nos devuelve las sumas parciales de la serie de los números oblongos $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}$ en el miembro izquierdo. Se sigue de inmediato que \[ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n-1}{n} = 1-\frac{1}{n} \] y, finalmente, se le aplica un razonamiento arquimediano para demostrar que la "extensión" de la serie entonces no es ni mayor a $1$ (lo que es bastante obvio) ni menor a $1$; esto último es menos obvio, pero con cualquier $\epsilon>0$ que esta extensión estuviera por debajo de $1$, habría un $n$ lo bastante grande para que $1-\epsilon < 1-\frac{1}{n}$, lo que es contradictorio.
También, en unas cuantas páginas del prefacio, demuestra que la serie armónica es divergente. Su argumento es maravilloso. Comienza por observar (en la notación moderna) que \[ \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} > \frac{3}{n}, \] lo que básicamente proviene del hecho de que la media aritmética de tres números consecutivos es mayor que su media armónica. Ahora todo es cuestión de agrupar los sumandos apropiadamente para ver que, bajo el supuesto de que $H=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ existe, sucede \[ \begin{multline*} H = 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7}+\ldots \\ =1+(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4})+(\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7})+\ldots \\ >1+\tfrac{3}{3}+\tfrac{3}{6}+\tfrac{3}{9} +\ldots = 1+(1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\ldots) = 1+H, \end{multline*} \] lo cual es contradictorio.
Seguro animado por el éxito con los números oblongos quiso aplicar sus técnicas para obtener la suma de los recíprocos de los números cuadrados, esto es, $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}$, pero fue en vano. Algunas décadas después Jacob Bernoulli demostró en su Positiones arithmeticae de seriebus infinitis de 1689 que el límite existe y es menor a $2$; nadie se cansa, y mucho menos yo, de alabar la hazaña de Euler al sumar esta serie en 1734. Dicho sea de paso, Bernoulli tal vez creyó haber demostrado primero la divergencia de la serie armónica, pues desconocía el trabajo de Mengoli. Aunque tampoco este último podía cantar victoria, ya que Nicolás de Oresme descubrió una demostración en 1350, de la cual hablaremos en otra ocasión.
En lo que toca a la música, su tratado Speculationi di musica publicado una década después de su trabajo sobre series, se me hace muy interesante porque da una solución del problema que plantea una explicación clásica de la consonancia. Según esto, los tonos pueden pensarse como "pulsos" que se repiten con cierta frecuencia. Si dos tonos son tales que coinciden en sus pulsos, entonces los escuchamos como consonantes, y entre más frecuente sea esta coincidencia mayor será la sensación. Por eso, se supone, el unísono es muy grato, y de ahí las octavas, y luego las proporciones superparticulares como la quinta $3/2$ o la cuarta $3/4$, etcétera. El problema con esta teoría es que, si se desfasan los pulsos, nunca coincidirán; pese a ello, seguimos experimentando una sensación agradable. También pasa que, cuando no son perfectamente exactos los cocientes, nos sigue pareciendo placentero el resultado; cotejen la afinación justa contra la equitemperada si no me creen.
Mengoli resuelve el problema considerando que, más que las coincidencias, el oído detecta la alternancia de los pulsos. Así, la quinta que tiene una proporción de $3/2$, se escucha como el patrón $AABAB$ repetido periódicamente, donde con $A$ nos referimos a la sensación del primer tono y con $B$ al del segundo. Así, ya no importa si hay coincidencia perfecta, ni tampoco si la razón es tan exacta. Por ejemplo: la razón $301/201$ se percibe como que hay $301$ veces una $A$ y $201$ veces una $B$ repartidos adecuadamente según la fase, y "localmente" se oye como una quinta.
Más aún, con un complicado argumento fisiológico (inusitado para la época), concluye que estos cocientes son percibidos por el oído como el área (!) bajo la curva $f(x) = 1/x$, y que sabemos que se puede calcular por medio de logaritmos ¡lo cual corresponde bien al conocimiento actual sobre la percepción del sonido! Es por eso que, en música, para sumar intervalos multiplicamos y para restarlos dividimos en lo que frecuencias respecta.
Mengoli es famoso por haber sumado, en su Novae Quadraturae Arithmeticae de 1650, los recíprocos de los números oblongos y triangulares, observando que corresponden a lo que ahora llamamos una serie telescópica. Más específicamente, en símbolos modernos demostró primero que \[ \frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1}a_{2}}+\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{2}a_{3}}+\cdots+\frac{a_{n}-a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n}} = \frac{a_{n}-a_{1}}{a_{1}a_{n}}, \] y que con la sucesión $a_{n}=n$ nos devuelve las sumas parciales de la serie de los números oblongos $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}$ en el miembro izquierdo. Se sigue de inmediato que \[ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n-1}{n} = 1-\frac{1}{n} \] y, finalmente, se le aplica un razonamiento arquimediano para demostrar que la "extensión" de la serie entonces no es ni mayor a $1$ (lo que es bastante obvio) ni menor a $1$; esto último es menos obvio, pero con cualquier $\epsilon>0$ que esta extensión estuviera por debajo de $1$, habría un $n$ lo bastante grande para que $1-\epsilon < 1-\frac{1}{n}$, lo que es contradictorio.
También, en unas cuantas páginas del prefacio, demuestra que la serie armónica es divergente. Su argumento es maravilloso. Comienza por observar (en la notación moderna) que \[ \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} > \frac{3}{n}, \] lo que básicamente proviene del hecho de que la media aritmética de tres números consecutivos es mayor que su media armónica. Ahora todo es cuestión de agrupar los sumandos apropiadamente para ver que, bajo el supuesto de que $H=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ existe, sucede \[ \begin{multline*} H = 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7}+\ldots \\ =1+(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4})+(\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7})+\ldots \\ >1+\tfrac{3}{3}+\tfrac{3}{6}+\tfrac{3}{9} +\ldots = 1+(1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\ldots) = 1+H, \end{multline*} \] lo cual es contradictorio.
Seguro animado por el éxito con los números oblongos quiso aplicar sus técnicas para obtener la suma de los recíprocos de los números cuadrados, esto es, $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}$, pero fue en vano. Algunas décadas después Jacob Bernoulli demostró en su Positiones arithmeticae de seriebus infinitis de 1689 que el límite existe y es menor a $2$; nadie se cansa, y mucho menos yo, de alabar la hazaña de Euler al sumar esta serie en 1734. Dicho sea de paso, Bernoulli tal vez creyó haber demostrado primero la divergencia de la serie armónica, pues desconocía el trabajo de Mengoli. Aunque tampoco este último podía cantar victoria, ya que Nicolás de Oresme descubrió una demostración en 1350, de la cual hablaremos en otra ocasión.
En lo que toca a la música, su tratado Speculationi di musica publicado una década después de su trabajo sobre series, se me hace muy interesante porque da una solución del problema que plantea una explicación clásica de la consonancia. Según esto, los tonos pueden pensarse como "pulsos" que se repiten con cierta frecuencia. Si dos tonos son tales que coinciden en sus pulsos, entonces los escuchamos como consonantes, y entre más frecuente sea esta coincidencia mayor será la sensación. Por eso, se supone, el unísono es muy grato, y de ahí las octavas, y luego las proporciones superparticulares como la quinta $3/2$ o la cuarta $3/4$, etcétera. El problema con esta teoría es que, si se desfasan los pulsos, nunca coincidirán; pese a ello, seguimos experimentando una sensación agradable. También pasa que, cuando no son perfectamente exactos los cocientes, nos sigue pareciendo placentero el resultado; cotejen la afinación justa contra la equitemperada si no me creen.
Mengoli resuelve el problema considerando que, más que las coincidencias, el oído detecta la alternancia de los pulsos. Así, la quinta que tiene una proporción de $3/2$, se escucha como el patrón $AABAB$ repetido periódicamente, donde con $A$ nos referimos a la sensación del primer tono y con $B$ al del segundo. Así, ya no importa si hay coincidencia perfecta, ni tampoco si la razón es tan exacta. Por ejemplo: la razón $301/201$ se percibe como que hay $301$ veces una $A$ y $201$ veces una $B$ repartidos adecuadamente según la fase, y "localmente" se oye como una quinta.
Más aún, con un complicado argumento fisiológico (inusitado para la época), concluye que estos cocientes son percibidos por el oído como el área (!) bajo la curva $f(x) = 1/x$, y que sabemos que se puede calcular por medio de logaritmos ¡lo cual corresponde bien al conocimiento actual sobre la percepción del sonido! Es por eso que, en música, para sumar intervalos multiplicamos y para restarlos dividimos en lo que frecuencias respecta.
martes, 13 de febrero de 2018
Por el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia
Celebrando el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia, el canal Curiosamente sacó un muy buen video alusivo.
Sin embargo, me parece que en honor a los hechos, y con ánimo de justipreciar las contribuciones de tan excelentes personas, hay que hacer algunas precisiones.
- Hipatia. El afirmar que hizo un "mejoramiento" del astrolabio y atribuirle la "invención de un aparato para medir la densidad de los líquidos" son extrapolaciones de la correspondencia que mantuvo con su estudiante y amigo Sinesio de Cirene (veáse Booth, Charlotte. Hypatia: Mathematician, Philosopher, Myth. Fonthill Media, 2017). Más importante que eso creo yo que es muy probable que ayudara a su padre a editar "Los Elementos" de Euclides y el "Almagesto" de Ptolomeo, y que escribiera un comentario muy atinado de la "Aritmética" de Diofanto para fines pedagógicos. De los estudios historiográficos actuales, tampoco está claro que la turba que asesinó a la filósofa estuviera movida enteramente por motivos religiosos.
- Ada Lovelace. Dada la posición social de la que gozaba, podía darse el lujo (para su época) de dedicarse a la curiosidad científica, y a la matemática en particular. Sin duda era muy inteligente, pues aprendió rápidamente en correspondencia con Augustus de Morgan lo necesario sobre los números de Bernoulli para entender el algoritmo para generarlos, pero no sé si podría catalogarla como una matemática o que esto le hiciera falta para apreciar su genio (aquí debo confesar que mi criterio en cuanto a qué es un matemático enfrenta una dificultad, pues no sabría decir si su comentario al artículo de Menabrea es un artículo con un resultado original o no). Además, Babbage ya había escrito algoritmos para el ingenio analítico antes que Lovelace (véase Hammerman, Robin y Andrew L. Russell. Ada's Legacy: Cultures of Computing from the Victorian to the Digital Age. Morgan & Claypool, 2015).
- Marie Curie. Con todo y lo prodigiosa que fue, creo que también merece crédito Pierre Curie, que hizo investigaciones pioneras en el fénomeno de piezoelectricidad y que le fueron de utilidad a Marie para estudiar la radioactividad del uranio. Murió atropellado por un carro tirado por caballos, y sobre él dijo Marie: "Es imposible para mí expresar la profundidad e importancia de la crisis que ocasionó en mi vida la pérdida de quien fuera mi más íntimo compañero y mejor amigo." (Curie, Marie. Pierre Curie. Dover, 2012, p. 94).
- Mária Telkes. Tal vez habría que señalar que es probable que asegurara su lugar en la lista porque fue inducida al Salón Nacional de la Fama de los Inventores en Estados Unidos en 2012. Esto deja de lado, lamentablemente, el hecho de que la primera mujer en ser admitida ahí fue Gertrude Belle Elion en 1991 por desarrollar medicamentos contra la leucemia, el choque séptico y el rechazo de tejidos en pacientes a los que les han realizado transplante de riñón.
- Cecilia Payne-Gaposchkin. Según la misma Gaposchkin, inicialmente le interesaba la ciencia en general (estudió primero botánica) y no la astronomía en particular; además, sí le otorgaron su título retroactivamente.
- Rosalind Franklin. La forma en la que se explica su contribución a la ciencia hace pensar que ella se le adelantó a Watson y Crick en el descubrimiento de la estructura del ADN. Si bien es cierto que su trabajo experimental (sus fotografías, en particular) fueron cruciales para develear este misterio, lo cierto es que, como buena científica, no avanzó conclusión alguna hasta tener suficientes datos. Fue un tanto cuanto audacia de Watson y Crick el usar la matemática para demostrar que la estructura de hélice era correcta haciendo un uso cuestionable, eso sí, de lo recabado por Franklin y su colaborador Maurice Wilkins (véase Wilkins, Maurice. Autobiography. Oxford University Press, 2005).
- Jane Goodall. Es muy importante mencionar que el arqueólogo y antropólogo Louis Leakey la impulsó a estudiar los chimpancés; esta inquietud fue producto de sus investigaciones, que lo llevaron a preguntarse por el comportamiento de los parientes del ser humano. Lo mismo vale para las célebres Dian Fossey y Birutė Galdikas, las cuales ampliaron nuestros conocimientos sobre los gorilas y los orangutanes, respectivamente.
miércoles, 31 de enero de 2018
Sobre un cremonés (y no es Stradivarius)
Antes de que se acabe el mes, previendo que no tendré tiempo de ir agregando material por lo menos mensualmente (como desde hace años me he propuesto), y aun a riesgo de recibir reprimendas por parte de mi gran amigo JHS, quiero escribir un poco sobre algunos matemáticos que, en mi opinión, son relegados a un segundo plano (si acaso) en los cursos de Cálculo.
Quiero comenzar con un italiano que vivió entre los siglos XVII y XVIII llamado Guido Grandi. Se hizo famoso por afirmar en 1703 que la expansión en serie de potencias \[ \frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k}, \] que puede pensarse como la sustitución $\rho = -x$ aplicada a la suma de la serie geométrica $\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}=\frac{1}{1-\rho}$, sigue siendo válida cuando $x=1$. Esto lo condujo a concluir que \[ \frac{1}{2} = 1-1+1-1+\ldots \] Así, Grandi defendía que podía obtenerse algo (es decir, $1/2$), a partir de la nada \[ (1-1)+(1-1)+\ldots = 0+0+\ldots = 0 \] y con ello hacía apología de la omnipotencia de Dios (!), ignorando convenientemente que también podría ponerse \[ 1+(-1+1)+(-1+1)+\ldots = 1 + 0 + 0 + \ldots \] en cuyo caso mágicamente perdemos la mitad a partir del todo. Por estos discurrimientos la serie alternante $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}$ también recibe el nombre de la serie de Grandi, y ejemplifica a una que diverge pero no lo hace creciendo o decreciendo sin cota (además de dejarnos la moraleja de que no podemos confiar en la asociatividad de la suma si se hace con infinitos términos).
A este matemático cremonés se le debe igualmente un especimen muy socorrido de curva paramétrica cuya área debe ser hallada, a saber, las rosas (¿polares?), que introdujera en 1728. Están dadas según la ecuación \[ r(\theta) = \cos(k\theta) \] salvo por rotaciones y escalamientos, cuando $k$ es entero. Lo interesante es que tal área ¡sólo depende de la paridad de $k$! Se le ocurrieron también las clélias, definidas paramétricamente en tres dimensiones según \[ x = \sin(m\theta)\cos(\theta),\quad y = \sin(m\theta)\sin(\theta),\quad z = \cos(\theta) \] y que yacen sobre una esfera. Son menos conocidas que las rosas quizá excepto en el caso $m=1$, cuando resulta la llamada curva de Viviani (la cual al estudiar geometría diferencial nos entretiene muy bien con el cálculo de su longitud de arco y curvatura), y que surge de la intersección de un cilindro de diámetro igual al radio de una esfera de modo que sean tangentes. Estas curvas tridimensionales se llaman así en dedicatoria a Clelia Grillo Borromeo Arese, una mujer de muy notable inteligencia, particularmente para la matemática. Me pregunto por qué no imitan más este ejemplo para elegir nomenclaturas los matemáticos, que es muy del estilo de los músicos y otros artistas.
Quiero comenzar con un italiano que vivió entre los siglos XVII y XVIII llamado Guido Grandi. Se hizo famoso por afirmar en 1703 que la expansión en serie de potencias \[ \frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k}, \] que puede pensarse como la sustitución $\rho = -x$ aplicada a la suma de la serie geométrica $\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}=\frac{1}{1-\rho}$, sigue siendo válida cuando $x=1$. Esto lo condujo a concluir que \[ \frac{1}{2} = 1-1+1-1+\ldots \] Así, Grandi defendía que podía obtenerse algo (es decir, $1/2$), a partir de la nada \[ (1-1)+(1-1)+\ldots = 0+0+\ldots = 0 \] y con ello hacía apología de la omnipotencia de Dios (!), ignorando convenientemente que también podría ponerse \[ 1+(-1+1)+(-1+1)+\ldots = 1 + 0 + 0 + \ldots \] en cuyo caso mágicamente perdemos la mitad a partir del todo. Por estos discurrimientos la serie alternante $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}$ también recibe el nombre de la serie de Grandi, y ejemplifica a una que diverge pero no lo hace creciendo o decreciendo sin cota (además de dejarnos la moraleja de que no podemos confiar en la asociatividad de la suma si se hace con infinitos términos).
A este matemático cremonés se le debe igualmente un especimen muy socorrido de curva paramétrica cuya área debe ser hallada, a saber, las rosas (¿polares?), que introdujera en 1728. Están dadas según la ecuación \[ r(\theta) = \cos(k\theta) \] salvo por rotaciones y escalamientos, cuando $k$ es entero. Lo interesante es que tal área ¡sólo depende de la paridad de $k$! Se le ocurrieron también las clélias, definidas paramétricamente en tres dimensiones según \[ x = \sin(m\theta)\cos(\theta),\quad y = \sin(m\theta)\sin(\theta),\quad z = \cos(\theta) \] y que yacen sobre una esfera. Son menos conocidas que las rosas quizá excepto en el caso $m=1$, cuando resulta la llamada curva de Viviani (la cual al estudiar geometría diferencial nos entretiene muy bien con el cálculo de su longitud de arco y curvatura), y que surge de la intersección de un cilindro de diámetro igual al radio de una esfera de modo que sean tangentes. Estas curvas tridimensionales se llaman así en dedicatoria a Clelia Grillo Borromeo Arese, una mujer de muy notable inteligencia, particularmente para la matemática. Me pregunto por qué no imitan más este ejemplo para elegir nomenclaturas los matemáticos, que es muy del estilo de los músicos y otros artistas.
lunes, 8 de enero de 2018
Diálogo con mi hija
XIAS: ¡Guácala! ¡Un gusano!
OAAA: Más bien es una oruga, hija. Y acuérdate que después se transforman en mariposas o polillas.
XIAS: Esa no, papá. Está muerta.
:D
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