Otra experiencia con la IA generativa

Tenía un teorema de inexistencia de musicología matemática (no digo detalles aún porque estoy trabajando en el artículo). Se puede demostrar por un cómputo extensivo, pero yo quería una demostración "conceptual". Le pregunté a ChatGPT 5.5 Plus (que es un peldaño abajo de la versión más potente) con nivel alto de esfuerzo que viera si podía encontrar una. Sí pudo, según, pero no me parecía muy lejos del cómputo extensivo.

Pero entonces se me ocurrió como podría demostrarlo de manera verdaderamente conceptual (usando la geometría de lo que se denomina "toro de terceras"). Y de paso la misma idea servía para demostrar un teorema de existencia también de manera conceptual. Me faltaba otro teorema y, yo creo que por las interacciones con el robot, redujo su demostración a una revisión relativamente rápida de conjuntos súmicos. Sin embargo, yo la pude llevar a una de polinomios donde se pueden dar los certificados explícitos.

Entonces le pregunté por qué no podía encontrar las demostraciones que yo sí. Y me contestó lo siguiente:

No diría que, en principio, no podría encontrar demostraciones de ese tipo. Diría algo más preciso: Me resulta mucho más fácil encontrar tales demostraciones una vez que se han nombrado los objetos adecuados. Las demostraciones que presentas [...] dependen de varias decisiones que no se derivan únicamente de la afirmación.

Me suena a un intento de salvar cara, pero como sea es una admisión de que no puede inventar objetos que faciliten el mirar que algo es verdad. En tal caso, yo pienso que le sería prácticamente imposible inventar la variable compleja a partir de lo que se sabía en matemática antes del siglo XVI. Y no veo cómo algo basado en modelos grandes de lenguaje puede cambiar esa situación, aunque por supuesto lo que sí puede hacer (y lo ha hecho) es buscar nuevos "usos" de lo que ya existe.

Winehouse poniéndose con Sansón a las patadas

Una de las cosas que me sorprenden de Angélica es que le gusta el canto de Amy Winehouse. Solamente había escuchado "Back to Black", y tuve la impresión de que sonaba a blues o jazz. Y, en efecto, esos son de los géneros principales de Winehouse.

Por otro lado muy aparte, una de las cantantes de jazz cuyo canto más me deleita es Ella Fitzgerald, en especial por su interpretación de una de las obras maestras de Thelonious Monk, "'Round Midnight".

Así que se imaginaran mi sorpresa cuando una IA me dijo que Winehouse también había cantado esta magnífica canción. Pensé que sería alguna alucinación. Pero efectivamente era cierto, y me arrepentí de escucharla, pues Winehouse le quitó la parte que más me gusta de la letra:

When a quarrel we had needs mending,
does it mean that our love is ending?
Darlin' I need you. Lately I find
you're out of my heart,
and I'm out of my mind.

Lo reemplaza con scat (!). ¿Cómo se atreve, si lo que dice es raro en las canciones de amor, en tanto que afirma que no siempre es todo miel sobre hojuelas? Eso de que una pelea se puede "sanar" es sublime. Tuvo que ver con su personalidad de Winehouse, sin duda, pues así solamente queda tristeza y desasosiego.

Y no, no creo que Winehouse esté a la altura de Fitzgerald o Monk como para hacer este cambio.

La tesis de licenciatura de Brandon Jaime Curiel López

Hoy defendió exitosamente su tesis de licenciatura Brandon Jaime Curiel López, titulada «Modelos matemáticos de contrapunto y modulación en la música de Claudio Monteverdi». Es al segundo alumno en mi trayectoria académica a quien le dirijo su investigación en este nivel (o en cualquier nivel, para el caso, je, je).

Y, a modo de laudatio, quisiera explicar la importancia del trabajo de Brandon de manera sumaria.

Claudio Monteverdi fue un genio de la música en ese punto de la transición del Renacimiento al Barroco. Tanto técnica como expresivamente fue sobresaliente. Infortunadamente, su obra no está valorada como se debe salvo, quizá, por su ópera L'Orfeo, que es una de las más antiguas que aún se interpreta con cierta regularidad (y aquí les recomiendo amplísimamente la versión con Jordi Savall en la batuta).

Y, bueno, Monteverdi vivió en un momento donde la escala equitemperada empezaba a tomar vuelo y la armonía, entendida como manipular acordes en lugar de solamente concertar voces, se iba imponiendo como el mejor recurso disponible de los compositores para transmitir las emociones de un texto.

Por ello es que me pareció bien que Brandon explorara tanto el contrapunto como las modulaciones en la perspectiva mazzoliana (que en su versión más desarrollada presupone el equitemperamento). Para la cuestión contrapuntística tomamos como referencias un artículo puramente musicológico de Youyoung Kang donde muestra que sí tenían validez contrapuntística los artificios de Monteverdi, y una tesis de Haley Perritt que examina desde el punto de vista armónico algunas partes de L'Orfeo.

La cuestión fundamental en el caso del contrapunto es que, al juntarse dos voces en un intervalo, para transitar a otro media una simetría de contrapunto. Para el análisis basta con restringirse a un grupo particular de simetrías, de modo que pueden mediar desde una hasta cinco simetrías para transiciones válidas.

Lo que resultó impactante, al menos para mí, es que cuando Monteverdi transita de una quinta a una tercera o recíprocamente, ¡solamente media una simetría! Además, por algún motivo misterioso todavía, cuando hay ciertas palabras del texto que dice Kang que son importantes, ¡sólo ahí salen simetrías que dejan invariantes a una voz!

También salen válidas las transiciones de octava a sexta o recíprocas aunque con dos o más simetrías, y también cuando en su Gloria a 7 apila sobre ellas terceras a octavas o recíprocas, lo cual es muy notable. Ahí un incremento en el número de simetrías parece detectar el ingreso de nuevas voces, pero eso es más tentativo; sería tal vez mejor decir que es más difícil mantener la independencia del tejido de las voces.

En cuanto a la armonía, Mazzola propuso el modelo de cuantización, que en esencia formaliza el proceso de modulación de Schönberg a través de pivotes bien definidos (Wendepunkte). Algo que facilita el análisis para L'Orfeo es el bajo continuo que, al menos según algunas realizaciones bien conocidas del mismo, da los acordes que permiten detectar tres modulaciones en el aria inicial In questo lieto e fortunato giorno. Primero de C mayor a D mayor, luego a A mayor y finalmente de regreso a C mayor. Y esto coincide, fabulosamente, tanto con lo que describe la letra como la asociación de C a Orfeo, D a Eurídice y A al inframundo, y resume asombrosamente toda la ópera. Y Monteverdi hace todo esto ¡en 20 compases!

Finalmente, y es algo que parece ser particularmente novedoso, es que los llamados conjuntos cadenciales (que marcan unívoca y minimalmente a las tonalidades) están relacionados por la transformación de relativo del grupo PRL (salvo el de la cadencia del séptimo grado, donde no se puede aplicar ese grupo), y es el mecanismo por el cual modula Monteverdi del mayor al menor o viceversa.

En fin. Al menos yo ya no puedo escuchar igual los madrigales, motetes, misas y L'Orfeo de Monteverdi. Es matemática aplicada, sin duda.

El llamado cuarto piso

En mi opinión hacer arte es elegir. Elegir con cierta conciencia, desde luego. Pero, vaya, primero es elegir.

En el caso del contrapunto, si tenemos a nuestra disposición $2k$ tonos igualmente espaciados en la octava, entonces hemos de elegir $k$ de ellos para que sean consonancias ($K$) y el resto disonancias ($D$). Bueno, al menos eso sucedió por allá por el siglo XIV en el Renacimiento cuando $k = 6$, y quedaron $K=\{0,3,4,7,8,9\}$ y $D=\{1,2,5,6,10,11\}$.

Guerino Mazzola descubrió que esta partición tiene la propiedad de que existe un único morfismo afín $p(x) = 5x+2$ que trasmuta consonancias en disonancias y de regreso. Considerando a toda la órbita de una partición $(K/D)$ bajo los morfismos afines $vx+u$ con $v\in \mathbb{Z}/2k\mathbb{Z}^{\times}$ y $u\in \mathbb{Z}/2k\mathbb{Z}$ como formas esencialmente equivalentes de la misma, se ve que hay seis clases de equivalencia: los famosos seis mundos de contrapunto.

Pues cuando $k=9$ (o sea, en una escala equitemperada de $18$ tonos) hay exactamente $40$ mundos de contrapunto. O sea que soy dicotómico de contrapunto por novena vez en mi vida. La vez anterior, cuando tenía $15$, ni me imaginaba que llegaría a doctorarme en matemática (dice el doctor Emilio Lluis Puebla que fui el primero en la Facultad de Ciencias con una tesis sobre musicología matemática) ni que aportaría una sucesión a la OEIS con el número de mundos de contrapunto. ¿Llegaré a ser dicotómico de contrapunto por décima ocasión? Se ve difícil pero no imposible.

El séptimo artículo

He perdido un poco la cuenta sobre mis artículos; por ejemplo, el que salió en las memorias del MCM 2019 no lo conté aquí. Pero bueno, «On First-Species Counterpoint Theory», escrito en coautoría con Juan Sebastián Arias Valero y Emilio Lluis Puebla (lo que me da mucho gusto y orgullo) es el séptimo que reseño en mi bitácora.

Mucho tiene de crítica a la teoría original del contrapunto de la primera especie de Mazzola, en el sentido de que trata de tomar sentido de los cómputos combinatorios, extiende al caso no conmutativo y plantea otros anillos para modelar a los intervalos de contrapunto.

El octavo artículo está en revisión todavía, y espero terminar el código del noveno en estos días.

Seis artículos seis

Como regalo de cumpleaños adelantado recibo la noticia de que mi artículo "Modulation in tetradic harmony and its role in jazz", escrito conjuntamente con mi mentor y colega el doctor Guerino Mazzola, por fin fue publicado en el Journal of Mathematics and Music. Resultó también muy adecuado para el dichoso "reto de los diez años", pues dista casi exactamente una década de la publicación de mi primer artículo, en la misma revista.

Este es el primer trabajo que desarrollo completamente trabajando en la Universidad Tecnológica de la Mixteca, lo cual añade alegría a su salida a la luz. Sin embargo, otra vez tuvo sus complicaciones, pues es la primera vez que tengo que superar cuatro rondas de revisión. También aprovecho para agradecer nuevamente a la Unión Matemática Internacional por su apoyo por medio de su Abel Visiting Scholar Program para realizar la estancia en Estados Unidos, hace un año, para completar este trabajo.

Enhorabuena y ¡venga el séptimo! :-D

Carta abierta a los legisladores mexicanos

Estimables diputados y senadores:

El 22 de mayo de 2018, la American Mathematical Society y el Mathematical Sciences Research Institute se reunieron con legisladores estadounidenses para contarles cómo la inversión federal en investigación básica produce valiosos resultados. Esto me motivó a emitir este mensaje. Me inspiró especialmente lo expuesto por Eric Demaine, un especialista en papiroflexia matemática, que les mostró cómo su investigación puede desembocar en la fabricación de muebles que se auto-ensamblan, mejores angioplastias, un mejor acomodo de lentes en vehículos espaciales, el estudio de proteínas para desarrollar nuevos medicamentos, etcétera, además de hermosas figuras de papel.

También me mueve el hecho de que se busca aprobar una nueva ley de humanidades, ciencia y tecnología que “orientará” a la investigación científica para “atender problemas prioritarios de la sociedad mexicana”. Sin ser explícita, se entiende que las facultades que tendría el Conahcyt, a través de la definición de “prioridades para la asignación y optimización de los recursos públicos destinados a las humanidades, ciencias y tecnologías”, le permitirían limitar o incluso eliminar ciertas vertientes de la investigación científica.

Como matemático esto me preocupa profundamente, pues los tiempos de la matemática se miden en intervalos enormes. Existen problemas sin resolver de miles de años de antigüedad, técnicas que toman cientos de años en desarrollarse y teoremas que necesitan décadas de esfuerzos colectivos sostenidos para demostrarse. En particular, es muy difícil predecir cuál de la matemática que se desarrolla en este momento podría resultar clave en la solución de un problema importante para la sociedad en el futuro.

Los ejemplos abundan, pero cito dos. Los griegos que estudiaron las curvas provenientes de cortar un cono nunca pudieron imaginar que mil ochocientos años después serían precisamente aquellas que describen los movimientos de los cuerpos celestes bajo el influjo de la gravedad. Cuando Cauchy, Abel o Galois desarrollaron la teoría de grupos para estudiar las simetrías o la resolución de ecuaciones polinomiales, tampoco podían adivinar que un siglo después el matemático polaco Marian Rejewski la aplicaría para elucidar el funcionamiento de la máquina Enigma, lo que a la larga contribuiría a acortar la Segunda Guerra Mundial y a que su curso favoreciera a los Aliados.

La matemática, durante mucho tiempo, pudo regodearse en el hecho de que, al ser sumamente abstracta, no podía utilizarse para fines maléficos. Sin embargo, en el siglo XX las computadoras y métodos numéricos permitieron a los científicos del proyecto Manhattan construir en un tiempo razonable una bomba atómica, y en pleno siglo XXI los algoritmos apoyados en la estadística y la optimización han mecanizado la discriminación en muchos ámbitos cruciales para la población, como lo son los seguros y la contratación de personal, sin mencionar la construcción de burbujas individuales en las redes sociales y que desemboca en la manipulación de la opinión pública para fines nefastos. Sin duda hay aspectos éticos que deben tomarse en cuenta en el estudio de la matemática, y aplaudo el que se piense en reforzar la consideración de estos criterios en la nueva ley. No obstante, creo que no debe ondearse esta bandera para sofocar la creatividad propia de la investigación matemática.

Mi apología, por supuesto, no necesita ser enfática en las aplicaciones manifiestas de la matemática. Muchos investigadores que se especializan en las ecuaciones diferenciales (en especial en la biomatemática) y ciertos aspectos discretos que se requieren en la computación y la modelación de redes sociales seguramente no tendrán problemas para justificar su financiamiento e impulso. Más bien quiero hacer una arenga para no restringir los recursos a la matemática que podría ser llamada "básica".

He de evidenciar aquí mi interés personal en el asunto, pues me dedico a la musicología matemática. Conozco colegas que juzgan que de hecho esta especialidad consiste en una aplicación de la matemática, y yo tendría que estar mayormente de acuerdo con la veracidad de tal enunciado; pero también hay que reconocer que sería fácil descartarla como un uso frívolo del poder de la matemática, pues no es para nada obvio si el estudio científico de la música es un problema prioritario de la sociedad mexicana (o de cualquier país, a fin de cuentas).

Si adoptamos tal rasero, sin embargo, entonces no sería la musicología matemática más vana que la geometría y topología algebraicas, la teoría de categorías, la teoría de números o la teoría de representaciones, por traer a colación unos cuantos casos en los que me consta que hay matemáticos mexicanos que han realizado notabilísimas contribuciones, y que les han valido amplio y merecido reconocimiento internacional. Este hecho, por cierto, no me parece que sea un “resultado magro” de los recursos invertidos en su formación y mucho menos del desarrollo de sus investigaciones. Y es por eso que el destinar presupuesto suficiente e irrestricto al cultivo de estas ramas requiere una ulterior defensa.

En primera, porque normalmente la matemática representa una fracción muy pequeña de lo que de por sí se invierte en la ciencia. Lo primordial para aquellos que se dedican a lo más puro de la matemática es la subsistencia y la de sus estudiantes, dado el caso. Por ejemplo: el monto solicitado en 1990 por Andrew Wiles para lo que después sería la demostración de la última conjetura de Fermat fue menos de la millonésima parte del total destinado a investigación y desarrollo en Estados Unidos en dicho año. La American Mathematical Society, por esas épocas, rondaba los diez mil miembros, y si todos hubieran pedido una cantidad semejante y se les hubiera otorgado, la suma sería inferior al 1% del presupuesto total para ciencia y tecnología del vecino del norte a principios de los años noventa. Estamos, pues, ante una inversión pequeñísima que tiene réditos gigantescos a largo plazo, y que por lo mismo no tiene por qué ser menoscabada.

En segunda, he de insistir que la sed de conocimiento es una cualidad preponderantemente humana. No de balde afirmaba el gran matemático alemán David Hilbert en 1900 que en la matemática (y la ciencia en general) no hay ignorancia permanente, sino que tenemos la capacidad colectiva de desvelar las respuestas a las interrogantes más profundas y que hemos de alcanzar el conocimiento. Aunado a esto está la capacidad humana de crear, y que es justamente la vía que nos conduce al descubrimiento. La creatividad, puedo afirmar, sirve de coligante entre la ciencia, la tecnología, la matemática y las artes, y no sobra en lo absoluto subrayar el enorme gozo que entraña el comprender algún aspecto del universo, los frutos de la creación artística o diversas mezclas que son posibles entre estas actividades. Además, estos son aspectos de la cultura que mayormente se pueden compartir para el beneficio de todos, como lo han demostrado numerosos divulgadores de la ciencia nacionales y extranjeros y, por supuesto, legiones de artistas. Las patentes y derechos de autor, sin duda, imponen algunas justas limitaciones, pero afortunadamente no son sempiternas. Todo esto redunda en un ambiente que impulsa la innovación y la tecnología, como ha demostrado de forma contundente el Valle del Silicio en California. Estoy consciente de que este último “ecosistema intelectual” ya está mostrando signos de agotamiento, pero esto sirve de argumento en contra de que ciertas áreas geográficas y disciplinas específicas deban acaparar los recursos humanos y financieros.

Regresando al cruce de caminos entre la ciencia y el arte y que es donde se ubica mi especialidad, puedo echar a volar mi imaginación respecto al cómo podría desembocar lo que investigo en beneficios concretos y comunes, en refuerzo de lo ya expuesto.

De los varios aspectos de la música que son particularmente susceptibles de ser comprendidos mejor a través de la matemática, yo me enfoco en el contrapunto. El contrapunto es una técnica de composición que permite conjuntar dos o más voces de manera que el resultado es armonioso. Es por eso que la noción de consonancia es central para mi investigación.

Sin entrar en los detalles, puedo decir que el estudio de las simetrías que gobiernan a las consonancias le permitieron al matemático suizo Guerino Mazzola, en colaboración con un equipo liderado por el neurólogo polaco Heinz-Gregor Wieser, obtener los primeros indicios de cómo la música es una “llave” para acceder a los recuerdos y además cómo desencadena emociones. Esto ha sido confirmado de forma indirecta con otras investigaciones, pero aún hay muchas preguntas que responder al respecto. Si bien yo no he podido colaborar todavía con un neurofisiólogo para refinar y extender estos descubrimientos, sí me he dedicado a progresivamente ampliar la potencia del modelo matemático del contrapunto para abarcar música cada vez más compleja, de modo que podríamos comprender mejor los efectos de la misma sobre el cerebro, y quizá estos algún día tengan consecuencias para la salud pública. Hay que tener en cuenta que la pirámide poblacional mexicana se está invirtiendo, lo que implica que podemos esperar el aumento de los padecimientos neurológicos degenerativos; la musicología matemática podría ser clave para encontrar paliativos o incluso curas de estos males. Reitero que esto es principalmente especulación, pero precisamente esta clase de ejercicios son los que caracterizan a la ciencia y la matemática. Vale recalcar aquí que tampoco, suponiendo que se descubre algo que tenga consecuencias positivas para la salud pública, tendrían que restringirse los beneficios a nuestro país, sino que deben tener repercusiones globales. Asimismo, el potencial concreto de crear matemática o música novedosa permanece como justificación suficiente de estos estudios.

Dejo la siguiente reflexión para concluir: el estudio de la matemática de los antiguos egipcios, babilonios y mayas nos indica que, cuando los especialistas se enfocan exclusivamente en resolver problemas con consecuencias sociales inmediatas, la creatividad y el conocimiento se estancan durante muchas generaciones. Debemos reconocer que, frente a las economías posindustriales con las que debemos convivir, no podemos darnos el lujo de frenar el progreso que hemos conseguido. Por el contrario, tenemos que acelerarlo para conservar la viabilidad de nuestro país.

Atentamente,

Octavio Alberto Agustín Aquino

Tetraédrico por sexta vez

Aunque me causa alegría haber llegado a los 35 años hoy, me da un poco de tristeza hacerlo lejos de mi país y de mi familia. Pero todo sea por darles algo mejor a ambos.

Si uno construye pirámides con base triangular acomodando naranjas, puede uno usar $1$, $4$, $10$, $20$, $35$, etcétera, de ellas. Es la sucesión de los números tetraédricos.

También es posible desmontar la sexta pirámide y armar justamente el sexto de los números pentagonales. Según las soluciones de la curva elíptica $Y^3+Y=X^{3}-X$, los únicos números tetraédricos con los que es posible hacer esto son $0$, $1$ y $35$.

Obviamente esto me sirve de pretexto para mencionar a mi héroe Euler y su teorema de los números pentagonales. Una última propiedad que encontré agradable del $35$ es que también es un coeficiente binomial. Más especificamente, es \[ \binom{7}{4}=\binom{7}{3}=35 \] o sea, todas las formas de elegir (sin importar el orden) cuatro objetos entre siete disponibles. O de descartarlos, si se quiere. También esto significa que hay (sin tomar en cuenta equivalencias debidas a simetrías afines) la misma cantidad de acordes de tres que de cuatro notas en una escala diatónica.

Matemática a la boloñesa

En esta ocasión escribo sobre un matemático boloñés del siglo XVII, del cual descubro fascinado que también escribió cosas muy interesantes sobre la música. Me refiero ni más ni menos que a Pietro Mengoli. Lo que sigue se basa en material de un libro de Giovanni Ferraro y un artículo de Benjamin Wardhaugh.

Mengoli es famoso por haber sumado, en su Novae Quadraturae Arithmeticae de 1650, los recíprocos de los números oblongos y triangulares, observando que corresponden a lo que ahora llamamos una serie telescópica. Más específicamente, en símbolos modernos demostró primero que \[ \frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1}a_{2}}+\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{2}a_{3}}+\cdots+\frac{a_{n}-a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n}} = \frac{a_{n}-a_{1}}{a_{1}a_{n}}, \] y que con la sucesión $a_{n}=n$ nos devuelve las sumas parciales de la serie de los números oblongos $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}$ en el miembro izquierdo. Se sigue de inmediato que \[ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n-1}{n} = 1-\frac{1}{n} \] y, finalmente, se le aplica un razonamiento arquimediano para demostrar que la "extensión" de la serie entonces no es ni mayor a $1$ (lo que es bastante obvio) ni menor a $1$; esto último es menos obvio, pero con cualquier $\epsilon>0$ que esta extensión estuviera por debajo de $1$, habría un $n$ lo bastante grande para que $1-\epsilon < 1-\frac{1}{n}$, lo que es contradictorio.

También, en unas cuantas páginas del prefacio, demuestra que la serie armónica es divergente. Su argumento es maravilloso. Comienza por observar (en la notación moderna) que \[ \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} > \frac{3}{n}, \] lo que básicamente proviene del hecho de que la media aritmética de tres números consecutivos es mayor que su media armónica. Ahora todo es cuestión de agrupar los sumandos apropiadamente para ver que, bajo el supuesto de que $H=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ existe, sucede \[ \begin{multline*} H = 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7}+\ldots \\ =1+(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4})+(\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7})+\ldots \\ >1+\tfrac{3}{3}+\tfrac{3}{6}+\tfrac{3}{9} +\ldots = 1+(1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\ldots) = 1+H, \end{multline*} \] lo cual es contradictorio.

Seguro animado por el éxito con los números oblongos quiso aplicar sus técnicas para obtener la suma de los recíprocos de los números cuadrados, esto es, $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}$, pero fue en vano. Algunas décadas después Jacob Bernoulli demostró en su Positiones arithmeticae de seriebus infinitis de 1689 que el límite existe y es menor a $2$; nadie se cansa, y mucho menos yo, de alabar la hazaña de Euler al sumar esta serie en 1734. Dicho sea de paso, Bernoulli tal vez creyó haber demostrado primero la divergencia de la serie armónica, pues desconocía el trabajo de Mengoli. Aunque tampoco este último podía cantar victoria, ya que Nicolás de Oresme descubrió una demostración en 1350, de la cual hablaremos en otra ocasión.

En lo que toca a la música, su tratado Speculationi di musica publicado una década después de su trabajo sobre series, se me hace muy interesante porque da una solución del problema que plantea una explicación clásica de la consonancia. Según esto, los tonos pueden pensarse como "pulsos" que se repiten con cierta frecuencia. Si dos tonos son tales que coinciden en sus pulsos, entonces los escuchamos como consonantes, y entre más frecuente sea esta coincidencia mayor será la sensación. Por eso, se supone, el unísono es muy grato, y de ahí las octavas, y luego las proporciones superparticulares como la quinta $3/2$ o la cuarta $3/4$, etcétera. El problema con esta teoría es que, si se desfasan los pulsos, nunca coincidirán; pese a ello, seguimos experimentando una sensación agradable. También pasa que, cuando no son perfectamente exactos los cocientes, nos sigue pareciendo placentero el resultado; cotejen la afinación justa contra la equitemperada si no me creen.

Mengoli resuelve el problema considerando que, más que las coincidencias, el oído detecta la alternancia de los pulsos. Así, la quinta que tiene una proporción de $3/2$, se escucha como el patrón $AABAB$ repetido periódicamente, donde con $A$ nos referimos a la sensación del primer tono y con $B$ al del segundo. Así, ya no importa si hay coincidencia perfecta, ni tampoco si la razón es tan exacta. Por ejemplo: la razón $301/201$ se percibe como que hay $301$ veces una $A$ y $201$ veces una $B$ repartidos adecuadamente según la fase, y "localmente" se oye como una quinta.

Más aún, con un complicado argumento fisiológico (inusitado para la época), concluye que estos cocientes son percibidos por el oído como el área (!) bajo la curva $f(x) = 1/x$, y que sabemos que se puede calcular por medio de logaritmos ¡lo cual corresponde bien al conocimiento actual sobre la percepción del sonido! Es por eso que, en música, para sumar intervalos multiplicamos y para restarlos dividimos en lo que frecuencias respecta.

Buenos recuerdos del MCM 2017

Se me antojó asentar por escrito que:

1. Mi recital del MCM 2017 reclama el título de ser el mejor que he ofrecido en toda mi vida hasta la fecha (antes había sido el de la UTM del 2001, hace poco menos de 16 años), lo cual me llena de júbilo porque el público era de lo más conocedor. El Dr. Mazzola me proporcionó una reseña como la de Ponce a Segovia en 1923: "[Escucharte es] expe­ri­men­tar una sen­sa­ción de inti­mi­dad". Heinz Geisser (calificado por el Dr. Mazzola como un "auténtico músico"), quien por cierto tiene preparación académica como guitarrista, también me dijo que había estado muy bien. Los aplausos fueron muy generosos e, intuyo, completamente sinceros, y condujeron naturalmente a un encore para el que, con franqueza, no estaba preparado. ¡Albricias!
2. De la misma manera, mi nano-curso fue bastante bien recibido, y en particular el Dr. Mazzola opinó que fue una gran ocasión para discutir en vivo algunos temas, lo cual sería bueno incorporar en futuros congresos; no al estilo de los foros, donde hasta cierto punto las respuestas están precalculadas, sino al estilo de un seminario. He tomado nota para futuras referencias.

En las vísperas del MCM 2017

Faltan pocos días para que inicie el MCM 2017.

Si no me equivoco será la primera ocasión, después del festival de guitarra de San Miguel Allende al que fuí una vez en 2004, en que toco frente a un público de músicos profesionales (y algunos son guitarristas, además). Me aterra, pero al mismo tiempo me emociona. Ojalá salga bien librado.

También está lo de mi nano-curso. Le puse el prefijo "nano" por la proporción que guarda con el material, pues la idea es dar un bosquejo general de la teoría matemática de la música de Guerino Mazzola en sólo tres días. Además, como no creo que asistan a todas las sesiones, cada "clase" debe ser lo más autocontenida posible.

Y celebramos los 65 y 70 años de los doctores Emilio Lluis-Puebla y Guerino Mazzola, mis grandes mentores y amigos, por si no fuera suficiente.

Por qué no soy guitarrista de concierto

Quien me lee sabe que soy aficionado a la música de Daft Punk, especialmente del álbum "Random Access Memories". Ya he dicho también cómo es que me enamoré de la matemática y decidí estudiarla profesionalmente, y por fin cumpliré con dar algunos detalles en cuanto a cómo es que no estudié música. Pues resulta que mucho de lo que dice de viva voz Giorgio Moroder en la pista "Giorgio by Moroder" es aplicable casi a la letra (!) a mi persona:

When I was fifteen, sixteen, when I really started to play the guitar,
I definitely wanted to become a musician.
It was almost impossible because the dream was so big.
I didn't see any chance because I was living in a little town; I was studying.
And when I finally broke away from school and became a musician [Esto es lo que me falló a mí]
I thought, "Well, now I may have a little bit of a chance,"
Because all I really wanted to do is music – and not only play music
But compose music.

Angélica anota jocosamente: "Y no es que Agustín-Aquino se arrepienta y confiese su culpa, sino que su autobiografía es una copia textual de las memorias de Giorgio Moroder. Pero nosotros, que amamos a Agustín-Aquino, creemos que estas conductas que se le atribuyen le son totalmente ajenas. Probablemente sean de Giorgio Moroder".

Recuerdo que desde que tenía unos 8 años quería aprender a leer música, y que incluso en un programa del canal local lo explicaron con una escalera, pero nunca entendí, y eso era motivo de mucha frustración para mí. En particular, porque había desarrollado, a raíz de un desafío, un profundo gusto por la música de concierto (la del barroco europeo, para ser más específico). Cuando tenía unos once años, preinstalado en la computadora que compró mi padre, venía el videojuego "Lenny's MusicToons". En particular, en la sección "Pitch Attack", uno tenía que disparar según la nota que se ponía en el pentagrama para ir subiendo de rango hasta llegar a general de división. Lo jugué prácticamente con adicción y, aunque no llegué hasta el máximo nivel, sí aprendí mucho.

Así, cuando fue obligado comprar una flauta de pico para la clase de apreciación musical en la secundaria, me resultó sumamente fácil y deleitoso aprender a tocar, especialmente teniendo a la mano el diagrama de digitaciones que incluye el instrumento.

Me pasaba las tardes y noches jugando y practicando con la computadora y tocando... para la desdicha de los oídos de mi padre. Fue entonces que me llamó y me dijo: "¿Por qué no mejor aprendes a tocar la guitarra?". Asentí y acto seguido trajo el susodicho instrumento, me enseñó medianamente a templarla y me cedió toda su colección de revistas "Guitarra Fácil", deseándome buena suerte para dominar el material.

Después de examinar la colección con algo de cuidado concluí que era milagroso poder, al vuelo, mudar de una pisada a otra mientras se cantaba (todavía hoy me resulta difícil acompañar mi propio canto, cuando muy en privado me animo a ensayarlo), y después de intentarlo un par de semanas, desistí y continué con la flauta de pico.

Al poco de eso me inscribí al taller de música de la secundaria, pero resulta que la flauta de pico no es un instrumento bien valorado en las presentaciones públicas. Me percaté que lo opuesto pasa con la guitarra, y observé con cuidado cómo el maestro enseñaba los rudimentos a los guitarristas. Repetí todo ello en mi casa, y en más o menos un mes logré la hazaña de tocar las canciones del repertorio que presentaría el grupo. El maestro consintió en que me integrara a los guitarristas, me tomó algo de aprecio y me enseñó un poco más, de lo que llaman "guitarra clásica", y después por mi cuenta probé hacer algunas transcripciones (tan audaces y descabelladas como de los primeros compases de la Quinta Sinfonía de Beethoven). En mi juvenil candidez e ignorancia, suponía que nadie más hacía eso.

Me sacó de mi error una guitarrista profesional que sucedió al maestro a cargo del taller de música. Además de corregir (y al mismo tiempo echar a perder) mis posturas para lograr un mejor dominio del instrumento, no dejó de recalcarme que mis dedos no servían para tocar la guitarra.

Al proseguir hacia la preparatoria, por casualidad se conjuntaron entre los alumnos dos chelistas, un clarinetista, un violinista, una fagotista y una soprano, y con ellos formaron un ensamble que interpretó un peculiar repertorio para un aniversario de la institución educativa. Las autoridades de la escuela se enteraron de que tocaba algo bien la guitarra y me sumaron al conjunto. Así conocí al violinista y a su profesora, que era miembro del Ensamble Tao. Le pregunté si sabía de alguien que enseñara guitarra de concierto, y me respondió que por casualidad se les uniría un guitarrista que había estudiado en la Escuela Nacional de Música (ENM, hoy Facultad de Música de la Unam), de nombre Julio García, y que accedió a instruirme.

Afirmo, y creo que sin exageración, que todo lo que sé (bien) se lo debo al maestro Julio, y con él consulté mi intención de ser guitarrista de concierto e ingresar también a la ENM. No recuerdo exactamente si me dijo si sí o no; mi padre también le preguntó y en mi memoria su respuesta fue básicamente "Debe intentarlo para saberlo", y que no fue satisfactoria para mi padre.

Sin un bachillerato en artes, supe que tenía que hacer estudios equivalentes en la ENM antes de entrar propiamente a la licenciatura en instrumentista, lo cual no me pareció muy seductor, pero aún así presenté el examen de admisión. Sospecho que mi padre, al mirar lo serio de mis intenciones de estudiar música, me advirtió sutilmente que no las financiaría. No tuve el valor para arrojarme a la empresa sin soporte económico; tal vez cometí un error, tal vez no.

Solamente me falta agregar que, paralelamente a todo ello, en otra computadora había un programa para secuenciación de MIDI, y que fatigué persiguiendo ser compositor, pues la máquina nunca respingaba ante mis desvaríos. He tenido la bendición y maldición de poder seguir haciendo eso (lo digo porque únicamente una vez he podido componer algo sin usar la computadora). Creo que mi crónica puede concluir igual que como lo hace Moroder.

Once you free your mind about a concept of
harmony and music being correct
you can do whatever you want.
So, nobody told me what to do,
and there was no preconception of what to do.

Y la mejor manera de liberarse de las ataduras es, aunque no lo crean, la Matemática.
P. D.: Por un descuido imperdonable olvidé mencionar a mi gran amigo José Alberto Allec Campos quien, mientras trabajó en la constructura de mi padre, me enseñó la teoría musical básica, como lo es el círculo de quintas y cómo construir las armaduras de las distintas tonalidades, entre otras cosas, y por las que le estaré eternamente agradecido.

Mi encuentro personal con el teorema del valor intermedio

Una temporada Ange y mis hijas estuvieron en San Antonino mientras yo seguía trabajando en la Universidad de la Cañada. Varios fines de semana hice el viaje entre Oaxaca de Juárez y Teotitlán, y en un promedio con una desviación estándar muy pequeña (menor a los diez minutos), me tomaba tres horas completarlo.

Para no dormirme mientras manejaba, hice una lista de reproducción musical en mi celular, con la duración apropiada. Inevitablemente, tuve un déjà vu: pasaba por el mismo punto de la carretera (cerca de Nacaltepec) escuchando exactamente la misma canción. Y cuando digo canción, es porque lo es: "Right here, right now", interpretada por Giorgio Moroder y Kylie Minogue, del álbum "Déjà vu" del compositor (!).

¡Por supuesto! Si $t_{1}:[0,1]\to [0:3]$ es el instante $t_{1}$ de mi lista de reproducción que iba escuchando al pasar por el punto $x$ (donde el $0$ está en Oaxaca y el $1$ está en Teotitlán) sobre la carretera durante la ida, y $t_{2}(x)$ es lo análogo pero de regreso, podemos definir \[ f(x) = t_{1}(x)-t_{2}(x) \] y entonces \[ f(0) = t_{1}(0)-t_{2}(0) = 0-3 = -3, f(1) = t_{1}(1)-t_{2}(1) = 3-0 = 3 \] pues con $t_{2}$, cuando llego a Oaxaca desde Teotitlán, ya he escuchado toda la lista, lo mismo que con $t_{1}$ al llegar a Teotitlán. Puesto que no me teletransporto ni salto elementos de la lista de reproducción, tanto $t_{1}$ como $t_{2}$ son continuas y por lo tanto $f$ también. Por el teorema del valor intermedio, se sigue que existe un punto $\xi$ sobre la carretera tal que $f(\xi) =0$, esto es \[ 0 = t_{1}(\xi)-t_{2}(\xi) \] o sea $t_{1}(\xi) = t_{2}(\xi)$.

Vale señalar que no importa entonces si hago algunas paradas en el viaje, o si realizo diferentes patrones de aceleración y frenado, siempre que idas y vueltas tomen el mismo tiempo. Aunque eso sí va a afectar a cuál momento de mi lista le toca la coincidencia.

Naturalmente, esto es una variación del tema del monje que sube y baja la montaña y pasa por el mismo lugar a la misma hora, pero midiendo el tiempo con música en lugar de con un puro pulso de reloj, lo que probablemente aumenta el dramatismo de la situación. Además, aquí pusimos al tiempo en función de la posición, y no al revés, como tal vez sea más intuitivo para el monje; pero no para mí, porque el viaje podía ser oportuno a diferentes horas del día. Algo me dice que de manera semejante se le ocurrió a alguien ese ejemplo.

¡¿Algunos temas?!

Recientemente apareció una reseña en la página de la UTM sobre el desarrollo del Segundo Congreso Internacional sobre Modelación Matemática. Escribo esto para declarar que no me gustó lo que escribieron sobre mi plática plenaria:

Finalmente se tuvo la última sesión plenaria la cual fue dictada por el Dr. Octavio Alberto Agustín Aquino, en la que habló acerca de la matemática y su papel en la creación de la música. Su plática fue acompañada por la interpretación de algunos temas con el uso de la guitarra.

Primeramente, no hablé de la matemática en general y después de cómo se usa para hacer música ¡en lo absoluto! Si por lo menos hubieran leído el resumen de mi ponencia, sabrían que me ocupé específicamente del contrapunto y el modelo de Guerino Mazzola para hacer análisis del de la primera especie, y cómo eso se puede extender al contrapunto doble. Además, no "acompañé" mi plática con interpretaciones de "algunos temas", sino que específicamente ilustré aspectos con los que, por experiencia, se que muchas personas no están familiarizados. Más concretamente: toqué íntegro un pequeño estudio de Fernando Sor (por que tiene partes en contrapunto de la primera especie), y un fragmento del "Hortus Musicus" de Johann Adam Reincken (porque la fuga tiene contrapunto doble), lo cual, con todo respeto, son mucho más que unos simples "temas".

Es verdad que dije que algunos mundos de contrapunto se han encontrado en la música hindú, de la pianista Joomi Park y del compositor Alexander Scriabin, y que me gustaría componer una fuga usando lo que salga para contrapunto doble, pero eso estuvo muy lejos de ser el tema central de mi plática.

Sobre "El hombre que conoció el infinito"

Hace unos meses se estrenó en Estados Unidos la película “El hombre que conoció el infinito”, que es una película biográfica sobre Srinivasa Ramanujan. Sin embargo, le dieron espacio promocional a Godfrey H. Hardy, John E. Littlewood y Percy A. MacMahon, cuyas vidas, opino, merecen ser llevadas también a la pantalla grande, aunque no cautiven al público con la narrativa de “el genio donde nadie lo espera”.

Esto me trajo de nuevo a mi atención la maravillosa “Apología de un matemático” de Hardy, que es considerada como una de las obras maestras de divulgación en cuanto a que transmite al público en general cómo se siente ser un matemático (puro), y que también ha sido catalogada como el testimonio de un artista.

Se supone que Hardy escribió tal libro porque, pasados los sesenta años, sentía que ya no era un matemático creativo. El ensayo es, en cierto modo, un testamento.

Yo, a mis 32 años, soy tautológico al afirmar que no soy de la estatura de G. H. Hardy. Es interesante que según MathSciNet®, Hardy sólo tiene un artículo en la base de datos de cuando tenía mi edad, mientras que yo llevo 3; mas por otro lado, en una edición de la integral de su obra, se cuentan 122 ítems, que incluyen preguntas publicadas en revistas educativas y artículos que, sospecho, son de divulgación; es así que incluso en “matemática ligera” me quedo muy corto (a menos que se cuente todo lo que he publicado en mi página personal, y no sé si aún así pueda siquiera decir que estoy a un orden de magnitud de Hardy).

Sea como fuere, llego un punto de mi vida donde, como mínimo, puedo esperar un hiato en mi actividad como matemático. Pese a ello, cuento con algunas pequeñas victorias, como el corregir un cálculo combinatorio a un reputado experto austriaco en el tema y aparecer listado en la Oeis por encontrar una relación entre la integración arquimediana, ciertas cubiertas minimales, y los q-coeficientes binomiales. Sobrevivir a tres arbitrajes de artículos igualmente solaza mi alma intranquila e insatisfecha, aunque sea por temporadas, y me conduce a una reflexión de Tsunetomo Yamamoto, que indirectamente aprendí de mi maestro de guitarra: “Si al disponer el espíritu correctamente cada mañana y tarde, es posible vivir como si el cuerpo ya estuviera muerto, uno gana la libertad en el camino. La vida entera estará libre de culpas, y tendrá éxito en su llamado”. Mi maestro lo aplicaba a los errores en la ejecución de una obra, pero creo que puede practicarse en todo: contra los grandes maestros, uno está matemáticamente muerto; aceptada esta realidad, se adquiere la libertad de pensar lo que se le hinche a uno la gana.

Es por eso que siento que puedo escribir una serie de apostillas a la apología de Hardy, con la perspectiva de un matemático que está muy lejos de la clase de Bradman y más bien cerca de la de Saunders (éste último es uno de los bateadores profesionales de cricket con promedio más bajo, y del cual con algo de suerte habrá oído hablar alguna vez Hardy, aunque sin mucho entusiasmo), y que por ello también podría resultarle un poquito más cercana al lector de a pie. Venga.

1. Lo primero que hace Hardy es desdeñar a los expositores y críticos. Sin embargo, la labor de dar a conocer lo que un matemático hace es de primerísima importancia, porque toma una cantidad colosal de trabajo reunir el conocimiento que posee la humanidad en su conjunto, y es extremadamente fácil perderlo, con algo tan simple como el no financiarlo, ni siquiera en lo que a su preservación refiere (esto es, el archivamiento y la enseñanza). Pienso que, como Hardy nunca tuvo que dar clases, no pudo estar en contacto con la perspectiva del que es neófito verdadero, pues incluso aquellos dentro de su círculo de amigos cercanos que no eran matemáticos, se encontraban personas de capacidad intelectual muy grande (digamos, por ejemplo, John Maynard Keynes, George Edwards Moore o Charles Percy Snow). Asimismo es probable que, como trabajaba en un área sumamente reputada de la matemática (el análisis y la teoría de números), tampoco se enfrentó al tener que “explicar” o “exponer” sus resultados y el valor potencial que tienen, como sí me ha tocado en más de una ocasión; tal acometida, insisto, tiene mucho mérito intelectual y humano, por la elemental razón de que es un problema difícil.
2. En lo que a la crítica refiere, tengo que conceder que hay algo de cierto, en especial porque el arbitraje de artículos en revistas es una forma de crítica. Ginsburg y Weyers, al analizar cómo se comportan los críticos de cine, encontraron que realmente no saben discriminar entre buenas y malas películas en el corto plazo, que siguen a las modas y que hay mucha diferencia entre lo que ellos y el vulgo encuentran meritorio. Mi impresión es que lo mismo aplica para los árbitros de las revistas de matemática, y al comité que elige a los medallistas Fields. Esto también rehabilita parcialmente a Lancelot Hogben, en el sentido de que él enfatiza como valiosa la matemática “popular” por encima de la de “buen gusto”; es evidente que la gente en general no llegará a apreciar la alta matemática sin un esfuerzo intelectual considerable. En otras palabras: entre más refinado es un arte, menos personas lo disfrutan o valoran. Aunque me moleste un poco admitirlo, debo conceder este punto al Dr. Emilio Lluis Puebla, quien también lo sostiene, tanto para la matemática como para la música. Sin embargo, estudios realizados precisamente en Inglaterra sobre preferencias musicales indican que, entre más tipos de música conoce una persona, más diversificado es su consumo musical, y es otro motivo por la cual toda la divulgación matemática que pueda hacerse es valiosa. Quiero pensar que, entre más esté en contacto el público con la matemática, más matemática asimilará.
3. Como profesor en la Universidad de la Cañada, en numerosas ocasiones he tomado la postura de Hardy al tratar de mostrar a mis estudiantes que hago matemática no porque piense que tiene muchas aplicaciones, sino porque es interesante en sí misma. Es una confesión obligada, pues no doy clase a matemáticos, sino a informáticos, químicos e ingenieros, y necesito hacerles entender que, pese a que hago un esfuerzo porque mis enseñanzas incidan en su práctica profesional, lo cierto es que me emocionan profundamente algunos de los temas que tocamos y no tengo recato en afirmar que tal o cual teorema o noción es “hermoso” o “profundo” y que además es mi verdadera motivación para enseñar. No es infrecuente escuchar incredulidad o toparse con la pregunta “¿Y para qué tomarse tantas molestias?”. A veces respondo que de la misma manera es superfluo el patear una pelota, escuchar música, ver películas, bailar o tomarse autofotos, y sin embargo lo hacen y con cierto esmero. Aún si parece un lugar común, me asombra un poco que la mayoría nunca se pone a reflexionar sobre ello.
4. Ese asunto de “Hago lo que hago porque es la única cosa que hago bien” me resulta algo chocante. Si bien mi muestra es pequeña, me dejó desconcertado que a todos mis profesores de la universidad a los que les preguntaba la razón por la cual eran matemáticos contestaban “Es que era bueno para eso” y ya. Desde que quise estudiar matemática, siempre he sentido una pasión peculiar por ella, al grado de enfocarlo todo desde ese punto de vista, y desde entonces he querido hacer algo de valía. En especial, quiero acercar todo lo posible a la matemática y la música en lo que a contrapunto refiere. Así se lo plantee al Dr. Lluis Puebla: “Deseo llevar al contrapunto a sus últimas consecuencias”. No me parece elogiable la simple actitud de decir “¡Miren! Soy bueno para resolver problemas de matemática y eso me hace algo especial, así que puedo consagrarme a ello y punto”, sobre todo si se compara con una actitud semejante en la música y la pintura.
5. En cuanto a la cuestión de la edad, no me convence el argumento de Hardy de las elecciones para la Royal Society. Es una muestra sumamente pequeña y sesgada. La han ensayado con premios Nobel y ¡maravilla de maravillas! el patrón se repite. No obstante, los mismos datos revelan que grandes contribuciones se pueden dar a cualquier edad sin importar que sea progresivamente más raro, y lo que parece ser el verdadero obstáculo es el vigor. Mi experiencia es que la gente anciana, matemática o no, tiende a disminuir su tolerancia al fracaso, a la contradicción y a la frustración, lo que constituye un muro infranqueable para atacar preguntas abiertas. Lo que es verdaderamente demoledor para mí es que un matemático creativo y productivo tiende a permanecer así toda su vida y, si tiene una buena fortuna como la de Hardy de que lo reconozcan temprano, esa misma buena publicidad se traduce en colaboraciones y direcciones de tesis que acrecientan su caudal. Eso me preocupa, porque no me considero particularmente prolífico, seguramente porque nadie me ha insistido en que “echando a perder se aprende”; esta es una máxima que se olvida con la edad, pues progresivamente trata uno de ser más cauteloso. Los 122 opúsculos de Hardy a los 33 años realmente son una preparación para todo lo futuro; es peculiar que incluyen la famosa ley de genética poblacional de la que tanto se avergonzó. Hay que tener muchas ideas, escribir copiosamente, porque sólo así podemos toparnos con ideas originales y valiosas. Esa es otra razón por la cual necesitaba sacar todo esto.
6. Mi padre es testigo de que, cuando era más joven, yo declaraba ser un absoluto inútil (o, peor aún, mediocre) en todo. Nunca pude practicar un deporte con soltura (vamos, ni las canicas aprendí a jugar) y me costó una enormidad dominar el balero o el yo-yo. Nunca fui bueno para hacer operaciones aritméticas, en especial la resta; sufro al resumir textos, mi caligrafía es horrible según denuncian mis propios alumnos, me cuesta uno y la mitad del otro hablar con buena dicción, más una larga cadena de etcéteras a la que únicamente no puedo agregar que tenía una memoria peor que la de mis coetáneos. Pero es precisamente por esto, porque me gustaba leer y memorizar, que aprendí que podía contribuir con algo más que recitar datos como perico a la humanidad, y llegó el punto en que en la matemática y la música encontré la suficiente motivación para sobreponerme a mi crónica inutilidad.

Hay varias cosas que agregar, pero la arena se acabó. En otra ocasión le daré vuelta al reloj.

Una canción por el Día de Pi

Porque se parece tanto a un estado de embriaguez: cántese con la música de "La juma de ayer".

Quiero matar un capricho
que tengo en el corazón.
Voy a coger un tratao
con tremenda extensión.

Búsquenme una libreta,
lápiz y un borrador.
¡A formar un acordeón!
Y así matar el capricho
que tengo en el corazón.

(¡Intuición!)
Es lo que usaré.
Y tal vez si queda
tiempo, un poco
de buen rigor.
Y así encontrar la
idea de este paper remolón.

El lema de ayer
ya se demostró.
Otra conjetura
ya traigo yo.

Llévenme a la biblioteca,
pero llévenme por favor.
Que esta misma noche
encuentro la demostración.

¡Cu! ¡E! ¡De!

Crear un laberinto dentro de otro

En los inicios del año recibo la triste noticia de que el martes de esta semana murió Pierre Boulez. Me cae bien porque estudió matemática antes de ser compositor, y dirigió el legendario IRCAM (donde se amalgaman la computación, la matemática y la música maravillosamente) desde su fundación en 1977 hasta 1992.

Lo que más huella ha dejado para mí de su obra es la idea del análisis creativo. En sus palabras:

La situation la plus séduisante est de créer un labyrinthe à partir d’un autre labyrinthe, de superposer son propre labyrinthe à celui du compositeur : non pas essayer en vain de reconstituer sa démarche, mais créer, à partir de l’image incertaine qu’on peut en avoir, une autre démarche. L’analyse productive est probablement, dans le cas le plus désinvolte, l’analyse fausse, trouvant dans l’œuvre non pas une vérité générale, mais une vérité particulière, transitoire, et greffant sa propre imagination sur l’imagination du compositeur analysé. Cette rencontre analytique, cette détonation soudaine, pour subjective qu’elle soit, n’en est pas moins la seule créatrice. (vid. Anne Boissiere: Geste, interprétation, invention selon Pierre Boulez, Revue DEMéter, décembre 2002).

[La situación más seductora es la de crear un laberinto a partir de otro laberinto, de superponer su propio laberinto al del compositor: no tratar en vano de reconstruir sus andanzas sino crear, a partir de la imagen incierta que uno pueda tener, otra andanza. El análisis productivo es probablemente, en el caso más desenvuelto, el análisis falso, que encuentra en la obra no una verdad general, sino una verdad particular, transitoria, e injerta su propia imaginación en la imaginación del compositor analizado. Esta acometida analítica, esta detonación súbita, por subjetiva que sea, no es más que la única creadora.]

También me resulta memorable el hecho de que supervisara la grabación de la obra integral de Anton Webern (otro compositor al que admiro profundamente), y que descubriera que cabía perfectamente en seis discos compactos.

En fin: dedico mi opus 41, "Vivir es pertenecer a otro", sobre un texto de Fernando Pessoa, al maestro francés. Me parece que queda como anillo al dedo.

Vivir es pertenecer a otro. Morir es pertenecer a otro. Vivir y morir son la misma cosa. Pero vivir es pertenecer a otro de afuera, y morir es pertenecer a otro de adentro. [Fernando Pessoa: Textos de Crítica e de Intervenção, Lisboa, Ática, 1980.]

La última del 2015

Mis dos bitácoras padecen mi grave falta de tiempo, pese a que las atesoro como una memoria y un medio de expresión. Trataré de remediar esto un poco en el último día del año.

1. Murió Klaus Roth, quien trabajara en teoremas profundos sobre aproximación diofántica. Específicamente, el teorema de Thue-Siegel-Roth (que le ganara la medalla Fields), que conduce al algorítmico resultado de Størmer y las proporciones superparticulares. Entre estos, especial mención les doy a los que resultan en el espacio de Euler (es decir, cuando sólo nos interesan octavas, terceras menores y cuartas), pues los únicos son 2/1, 3/2 y 9/8, que corresponden a la octava, la quinta justa y el tono, a partir de los cuales se construye toda la escala pitagórica.
2. También murió el gran lógico y filósofo Jaakko Hintikka. Segun Mendelson, encontró demostraciones alternativas del teorema de completitud de Gödel para el cálculo de predicados; no me parece poca cosa. Mas impresionante todavía es que pudo demostrar que la lógica de orden superior se puede "simular" con la de segundo orden.
3. Vi "Un gallo con muchos huevos", que debiera recibir una acogida mejor de la que le dieron las reseñas, sobre todo si se le compara con fiascos como "Minions", y probablemente hasta contra "El buen dinosaurio".
4. Asimismo, con gran ilusión compré mi boleto para el episodio VII "El despertar de la Fuerza", para encontrarme básicamente otra vez con "Una nueva esperanza". Ange, en particular, estuvo muy a disgusto con la tontería de "encontrar a Luke". Y lo peor es que ¡ahora no puedo esperar al episodio VIII!
5. Por fin pude comprar "Trascender", y creo que quienes echan pestes sobre esta excelente película o les dio miedo o de plano está más allá de sus capacidades.
6. No quiero terminar sin manifestar mi regocijo al presentar mi libro tanto en la Unca como en la Unam, en ambas ocasiones en compañía de mi amigo y mentor el gran Dr. Emilio Lluis Puebla.

Y, pues, ¡feliz 2016!

Decepciones y rechazos

El fin de semana recibí la triste noticia de que "La canción de Volterra", op. 38, no obtuvo premio alguno en el concurso convocado por el Cocyt. Pude localizar al primer, segundo y tercer lugar en Yutub, y aunque realmente no me parecieron muy buenas en lo que a la música refiere (en todo caso, el tercer lugar merecía más), por lo menos puedo decir que la premiación fue mejor que la del año pasado, pues a diferencia del ganador del primer lugar de la vez anterior, en esta ocasión no se vitupera a la ciencia y la tecnología. Debo agregar que, como prometí, mi obra concursante tuvo letra, pero tristemente eso no le ayudó.

Las malas nuevas no acaban ahí. Hace poco, también, Timothy Gowers rechazó mi artículo que trata sobre conjuntos súmicos para su nueva revista Discrete Analysis, y que los conecta con problemas de musicología matemática relacionados con el contrapunto. Dado que su revista es superpuesta al arXiv, francamente no entiendo qué le quitaba colocar teoremas correctos y relevantes en ella. Por supuesto, no podía adivinar que necesitaba cosas como la solución del problema de la discrepancia de Erdös, recientemente conquistado por Terence Tao. Espero ansioso el primer número de su experimiento, para ver si de verdad yo no merecía "publicar" ahí.

De la misma manera, rebotó en el Australasian Journal of Combinatorics mi artículo donde cuento el número de dicotomías fuertes usando tablas de marcas, y en el que asimismo propongo una conjetura sobre un fenómeno parecido a la criba cíclica. El árbitro dice que mi artículo "sólo es una aplicación" y que, por conjeturar solamente está "incompleto". Para aplicar los resultados de criba cíclica, el grupo debe ser cíclico o un producto "fácil" de grupos cíclicos, y hasta donde entiendo el grupo afín sobre $\mathbb{Z}_{2k}$ no es lo que llamaría sencillo. Sin embargo, debo confesar que ahora que he leído de nuevo mi artículo, puedo mejorar la exposición en algunos puntos. Seguiré intentando.

Esta otra va por Vito Volterra

La inspiración a veces te toma por sorpresa. Pese a ello, la corriente de donde vino puede tener un origen bastante concreto, como me ocurrió esta vez.

El día 3 de mayo del presente, el Dr. Mazzola me comunicó su observación de que el llamado "acorde místico" (que hizo las delicias de Alexander Scriabin), es una dicotomía fuerte, y me sugirió que buscáramos si esto tenía consecuencias en la armonía o el contrapunto de sus obras. Parece que la intuición de Scriabin lo dirigió allí precisamente para no tener que molestarse en la armonía o el contrapunto, pero en algún otro momento contaré que encontré.

La cuestión es que, cuando vi las tablas de pasos permitidos para esta dicotomía, noté que la escala de tonos enteros es ideal para componer con ella. Esto podría sospecharse trivial, porque el acorde místico casi es una escala de tonos enteros, pero hay que recordar que el acorde es solamente uno de los 48  representantes de la clase de la dicotomía, y la optimalidad de la escala de tonos enteros se preserva para todos ellos. También debo señalar que esta escala es una de mis favoritas, porque representa uno de los tres enfoques "macrotonales" de la música occidental.

Por otra parte, pensando en lo que expondría en el seminario institucional de la Unca, me topé con el modelo para competencia interespecífica que desarrollaron Alfred Lotka y Vito Volterra, y me entró la curiosidad por sus biografías. Ambos son, sin duda, individuos notables, pero Volterra destaca por haber sido invitado cuatro veces como ponente plenario al Congreso Internacional de Matemáticos. Leí, en la Wikipedia, una frase que escribió en una postal para un amigo en la época en que se opuso al régimen de Mussolini:

Crollano gli imperi, ma i teoremi della geometria euclidea conservano loro eterna giovinezza.

Tristemente no he podido verificar esta fuente, pero no suena descabellada la atribución; también hay muchas variantes, pero ésta es la versión más antigua que pude extraer de Gogl Bucs. Yo la traduzco libremente de la siguiente forma, tal vez ligeramente más enfática:

Caerán los imperios, pero los teoremas de la geometría euclídea nunca perderán su eterna juventud.

Puestos estos ingredientes, tomé los BollyRubettes de Julien Junod para Rubato, y compuse un cantus firmus en la escala de tonos enteros con la frase en español de Volterra, y fui arreglando el discanto con el BollyComposer en el mundo de contrapunto del acorde místico, de modo que resultara medianamente cantable.

¿Y quién lo cantaría? En Teotitlán no conozco intérpretes entrenados como para realizar una versión decente. Ya había buscado antes cómo generar voz sintetizada, y había dado con Sinsy, que utiliza modelos de Markov ocultos y cuyas capacidades ya han sido ampliamente exploradas. Un pequeño problema con este sintetizador es que la entrada debe estar en MusicXML, en el que no sabía escribir. Afortunadamente crearon un editor de música en línea llamado Flat, que proporciona salida en el formato necesario, y a partir de ahí obtuve una comprensión mediana de este último que me facilitó mucho la tarea de generar las partes.

Otro problema es que Sinsy sólo puede cantar en japonés y en inglés. Además, la entrada en japonés debe estar escrita en katakana o hiragana, los cuales apenas y entiendo qué son. Por lo tanto, apoyándome en el traductor de Gogl realicé la mejor aproximación posible con sílabas en inglés en la letra para que se escuchara en español. El resultado no es precisamente satisfactorio en cuanto a prosodia, mas da una idea muy buena de cómo sonaría la obra (y le añade un estilacho de Daft Punk que, en lo personal, me encanta).

Debo agregar que originalmente mi plan era que se repitiera la estrofa con la dicotomía del acorde místico dos veces, pero después de hacer escuchar el resultado a algunos conocidos noté que, encima de la incomodidad que genera la voz sintética, el uso de consonancias no estándares es un poco difícil de digerir, así que decidí usar el BollyMorpher para transformar el original en otra versión con las consonancias tradicionales. Tuve que jugar mucho con los parámetros de la transformación, pues normalmente producía lineas completamente incantables (o, por lo menos, inverosímiles al oído) hasta dar con la apropiada. También vale comentar que la palabra "juventud" suena diáfana en la versión original a propósito, y me complació grandemente escuchar que dicha cualidad se conservó en la transformación.

Así nació, pues, "La Canción de Volterra", op. 38, en la cual se escucha primero el dueto en el mundo de las consonancias renacentistas, y después en el de las místicas.

Le envié el resultado de este experimento a Julien Junod, y ésta fue su impresión:

I really liked the conceptual mixture between high tech and mystical inspirations which adds a kind if sci-fi flavor, not to mention the synthetic voice that somehow reminds me of HAL's "Bicycle for Two " in "2001".

Realmente me gustó la mezcla conceptual entre la tecnología de punta y las inspiraciones místicas que añaden una especie de sabor de ficción científica, sin mencionar a la voz sintética que de alguna manera me recuerda a "Bicycle for Two" de Hal en "2001".

Para mí fue extremadamente grato componer esta pequeña obra, pues involucra mucha matemática y auxilio computacional que la hubieran hecho prácticamente imposible unos 10 años antes. Espero que quienes la escuchen no queden tan malheridos en sus tímpanos, si bien mi intención tampoco era precisamente deleitarlos. Finalmente, junto con "Pi", op. 33 (informalmente dedicada a Arquímedes y los matemáticos de la antigüedad) y "El número de Euler", op. 36, cierra una trilogía para la que todavía no tengo nombre, y me agradaría leer sugerencias en los comentarios.