Parece trivial...

Revisando la tesis de David Grynkiewicz, hallé esto.

Proposición. Sean $A$ y $B$ subconjuntos de un grupo finito (y abeliano, si se quiere). Si $|A|+|B|\geq |G|+1$, entonces $G=A+B$.

Tiene cara de trivial, pero necesité más de dos líneas para convencerme. Veamos.

1. Los conjuntos $B$ y $g-B$ tienen la misma cardinalidad para cualquier $g\in G$.
2. Recordemos el buen principio de inclusión y exclusión: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

Ahora bien, si $A\cap (g-B)$ fuera vacío para algún $g\in G$, entonces $|A\cup(g-B)|=|A|+|B|\geq |G|+1$. Pero eso significa que un subconjunto de $G$, ¡es más grande que $G$ mismo! (por eso ha de decir Grynkiewicz que se usa el principio de las casillas). Esta imposibilidad implica que, para cualquier $g\in G$, hay al menos un $a\in A$ y un $b\in B$ tal que $a=g-b$, o lo que es lo mismo, $g=a+b$. Y, efectivamente, $G=A+B$.

Cerca la bala para darle mate a mi objetivo. Pero no. Aunque justifica la opinión de Emmanuel Amiot de que dos trozos lo suficientemente grandes de $G$ siempre deben cubrir a $G$.

P. D.: Por cierto, nuevamente transgredí mi principio de no hablar de "tecnicismos" por el puro disfrute de la Matemática. Sin embargo, queda derogado, y a partir de ahora lo haré de vez en cuando; espero que a alguna que otra persona le agrade.

P. D. 2: Gracias a un artículo de Hamidoune me entero que este teorema es bastante viejo, pues ya aparece en un libro de H. B. Mann de 1965.