sábado, 31 de marzo de 2018

Sobre un virtuoso normando (y no es Erik Satie)

Resulta que es un excelente momento para escribir sobre Nicolás de Oresme, un gran pensador del siglo XIV oriundo de Normandía, Francia.

Es muy interesante que Oresme fuera de los primeros en afirmar que la proporción entre las duraciones de las órbitas de distintos cuerpos celestes es probablemente irracional, lo que da al traste con la astrología; en tal caso no es posible predecir conjunciones, oposiciones y otras efemérides de modo preciso como para "vaticinar" el futuro.

Todavía más genial fue la idea de Oresme de graficar en la longitud al tiempo y en la latitud a la velocidad, con el fin de clasificar la naturaleza de un movimiento. De este modo, por ejemplo, un movimiento uniformemente acelerado se ve como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y se revela claramente, por medio de un simple cálculo de área, el llamado teorema de Merton: un cuerpo uniformemente acelerado que parte del reposo recorre la misma distancia que uno que se mueve a velocidad uniforme igual a la mitad de la velocidad final del primero. Tampoco ya es difícil ver cómo se generaliza esto a un cuerpo que no parte del reposo, y el teorema del valor medio está a un tiro de piedra. Es, pues, grande la deuda que tiene Descartes (cuyo natalicio es hoy) con su compatriota, en mi opinión.

En lo que a series respecta, la forma en que Oresme suma la geométrica \[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a}{m^{k}} \] es peculiar, pues dice que hay que tomar la diferencia entre dos términos sucesivos \[ \frac{a}{m^{k}}-\frac{a}{m^{k+1}} = \frac{a}{m^{k}}(1-\tfrac{1}{m})=\frac{a}{m^{k}}\frac{m-1}{m} \] y dividir entre el primero, de modo que queda $\frac{m-1}{m}$. El recíproco de esta fracción es la proporción de la suma al primer término (que es $a/m^{0}=a$), lo cual tiene mucho sentido si Oresme reparó en la autosemejanza de la suma si se dibujan sus términos como barras.

Esto lo explica Oresme en su Questiones super geometriam Euclidis, y en esta misma obra expone su maravillosa demostración de que la serie armónica es divergente. Antes de presentarla, vale apuntar que él estudia esta cuestión ante la situación de que a una cantidad, a la que se le agrega algo cada vez más pequeño, pueda crecer sin cota. Para ver que esto puede suceder, hay que considerar la agrupación de términos
\[
 H = 1+ \left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
\]
esto es, según potencias de dos (primero 0, luego 1, luego 2, luego 4, etcétera). Dentro de cada paréntesis, la última fracción es la más pequeña, por lo que lo que hay entre el $k$-ésimo paréntesis (con $k>0$) es por lo menos
\[
 2^{k-1}\frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2}
\]
y en consecuencia, si $H_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ es $n$-ésima suma parcial, se satisface
\[
H_{2^{k}} \geq 1+\frac{k}{2}
\]
y se deduce que la serie diverge. Esto, por cierto, también da un estimado de cuánto hay que esperar para que la serie alcance un valor dado de antemano.

jueves, 1 de marzo de 2018

Matemática a la boloñesa

En esta ocasión escribo sobre un matemático boloñés del siglo XVII, del cual descubro fascinado que también escribió cosas muy interesantes sobre la música. Me refiero ni más ni menos que a Pietro Mengoli. Lo que sigue se basa en material de un libro de Giovanni Ferraro y un artículo de Benjamin Wardhaugh.

Mengoli es famoso por haber sumado, en su Novae Quadraturae Arithmeticae de 1650, los recíprocos de los números oblongos y triangulares, observando que corresponden a lo que ahora llamamos una serie telescópica. Más específicamente, en símbolos modernos demostró primero que \[ \frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1}a_{2}}+\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{2}a_{3}}+\cdots+\frac{a_{n}-a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n}} = \frac{a_{n}-a_{1}}{a_{1}a_{n}}, \] y que con la sucesión $a_{n}=n$ nos devuelve las sumas parciales de la serie de los números oblongos $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}$ en el miembro izquierdo. Se sigue de inmediato que \[ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n-1}{n} = 1-\frac{1}{n} \] y, finalmente, se le aplica un razonamiento arquimediano para demostrar que la "extensión" de la serie entonces no es ni mayor a $1$ (lo que es bastante obvio) ni menor a $1$; esto último es menos obvio, pero con cualquier $\epsilon>0$ que esta extensión estuviera por debajo de $1$, habría un $n$ lo bastante grande para que $1-\epsilon < 1-\frac{1}{n}$, lo que es contradictorio.

También, en unas cuantas páginas del prefacio, demuestra que la serie armónica es divergente. Su argumento es maravilloso. Comienza por observar (en la notación moderna) que \[ \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} > \frac{3}{n}, \] lo que básicamente proviene del hecho de que la media aritmética de tres números consecutivos es mayor que su media armónica. Ahora todo es cuestión de agrupar los sumandos apropiadamente para ver que, bajo el supuesto de que $H=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ existe, sucede \[ \begin{multline*} H = 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7}+\ldots \\ =1+(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4})+(\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7})+\ldots \\ >1+\tfrac{3}{3}+\tfrac{3}{6}+\tfrac{3}{9} +\ldots = 1+(1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\ldots) = 1+H, \end{multline*} \] lo cual es contradictorio.

Seguro animado por el éxito con los números oblongos quiso aplicar sus técnicas para obtener la suma de los recíprocos de los números cuadrados, esto es, $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}$, pero fue en vano. Algunas décadas después Jacob Bernoulli demostró en su Positiones arithmeticae de seriebus infinitis de 1689 que el límite existe y es menor a $2$; nadie se cansa, y mucho menos yo, de alabar la hazaña de Euler al sumar esta serie en 1734. Dicho sea de paso, Bernoulli tal vez creyó haber demostrado primero la divergencia de la serie armónica, pues desconocía el trabajo de Mengoli. Aunque tampoco este último podía cantar victoria, ya que Nicolás de Oresme descubrió una demostración en 1350, de la cual hablaremos en otra ocasión.

En lo que toca a la música, su tratado Speculationi di musica publicado una década después de su trabajo sobre series, se me hace muy interesante porque da una solución del problema que plantea una explicación clásica de la consonancia. Según esto, los tonos pueden pensarse como "pulsos" que se repiten con cierta frecuencia. Si dos tonos son tales que coinciden en sus pulsos, entonces los escuchamos como consonantes, y entre más frecuente sea esta coincidencia mayor será la sensación. Por eso, se supone, el unísono es muy grato, y de ahí las octavas, y luego las proporciones superparticulares como la quinta $3/2$ o la cuarta $3/4$, etcétera. El problema con esta teoría es que, si se desfasan los pulsos, nunca coincidirán; pese a ello, seguimos experimentando una sensación agradable. También pasa que, cuando no son perfectamente exactos los cocientes, nos sigue pareciendo placentero el resultado; cotejen la afinación justa contra la equitemperada si no me creen.

Mengoli resuelve el problema considerando que, más que las coincidencias, el oído detecta la alternancia de los pulsos. Así, la quinta que tiene una proporción de $3/2$, se escucha como el patrón $AABAB$ repetido periódicamente, donde con $A$ nos referimos a la sensación del primer tono y con $B$ al del segundo. Así, ya no importa si hay coincidencia perfecta, ni tampoco si la razón es tan exacta. Por ejemplo: la razón $301/201$ se percibe como que hay $301$ veces una $A$ y $201$ veces una $B$ repartidos adecuadamente según la fase, y "localmente" se oye como una quinta.

Más aún, con un complicado argumento fisiológico (inusitado para la época), concluye que estos cocientes son percibidos por el oído como el área (!) bajo la curva $f(x) = 1/x$, y que sabemos que se puede calcular por medio de logaritmos ¡lo cual corresponde bien al conocimiento actual sobre la percepción del sonido! Es por eso que, en música, para sumar intervalos multiplicamos y para restarlos dividimos en lo que frecuencias respecta.

martes, 13 de febrero de 2018

Por el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia

Celebrando el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia, el canal Curiosamente sacó un muy buen video alusivo.

Sin embargo, me parece que en honor a los hechos, y con ánimo de justipreciar las contribuciones de tan excelentes personas, hay que hacer algunas precisiones.

  • Hipatia. El afirmar que hizo un "mejoramiento" del astrolabio y atribuirle la "invención de un aparato para medir la densidad de los líquidos" son extrapolaciones de la correspondencia que mantuvo con su estudiante y amigo Sinesio de Cirene (veáse Booth, Charlotte. Hypatia: Mathematician, Philosopher, Myth. Fonthill Media, 2017). Más importante que eso creo yo que es muy probable que ayudara a su padre a editar "Los Elementos" de Euclides y el "Almagesto" de Ptolomeo, y que escribiera un comentario muy atinado de la "Aritmética" de Diofanto para fines pedagógicos. De los estudios historiográficos actuales, tampoco está claro que la turba que asesinó a la filósofa estuviera movida enteramente por motivos religiosos.
  • Ada Lovelace. Dada la posición social de la que gozaba, podía darse el lujo (para su época) de dedicarse a la curiosidad científica, y a la matemática en particular. Sin duda era muy inteligente, pues aprendió rápidamente en correspondencia con Augustus de Morgan lo necesario sobre los números de Bernoulli para entender el algoritmo para generarlos, pero no sé si podría catalogarla como una matemática o que esto le hiciera falta para apreciar su genio (aquí debo confesar que mi criterio en cuanto a qué es un matemático enfrenta una dificultad, pues no sabría decir si su comentario al artículo de Menabrea es un artículo con un resultado original o no). Además, Babbage ya había escrito algoritmos para el ingenio analítico antes que Lovelace (véase Hammerman, Robin y Andrew L. Russell. Ada's Legacy: Cultures of Computing from the Victorian to the Digital Age. Morgan & Claypool, 2015).
  • Marie Curie. Con todo y lo prodigiosa que fue, creo que también merece crédito Pierre Curie, que hizo investigaciones pioneras en el fénomeno de piezoelectricidad y que le fueron de utilidad a Marie para estudiar la radioactividad del uranio. Murió atropellado por un carro tirado por caballos, y sobre él dijo Marie: "Es imposible para mí expresar la profundidad e importancia de la crisis que ocasionó en mi vida la pérdida de quien fuera mi más íntimo compañero y mejor amigo." (Curie, Marie. Pierre Curie. Dover, 2012, p. 94).
  • Mária Telkes. Tal vez habría que señalar que es probable que asegurara su lugar en la lista porque fue inducida al Salón Nacional de la Fama de los Inventores en Estados Unidos en 2012. Esto deja de lado, lamentablemente, el hecho de que la primera mujer en ser admitida ahí fue Gertrude Belle Elion en 1991 por desarrollar medicamentos contra la leucemia, el choque séptico y el rechazo de tejidos en pacientes a los que les han realizado transplante de riñón.
  • Cecilia Payne-Gaposchkin. Según la misma Gaposchkin, inicialmente le interesaba la ciencia en general (estudió primero botánica) y no la astronomía en particular; además, sí le otorgaron su título retroactivamente.
  • Rosalind Franklin. La forma en la que se explica su contribución a la ciencia hace pensar que ella se le adelantó a Watson y Crick en el descubrimiento de la estructura del ADN. Si bien es cierto que su trabajo experimental (sus fotografías, en particular) fueron cruciales para develear este misterio, lo cierto es que, como buena científica, no avanzó conclusión alguna hasta tener suficientes datos. Fue un tanto cuanto audacia de Watson y Crick el usar la matemática para demostrar que la estructura de hélice era correcta haciendo un uso cuestionable, eso sí, de lo recabado por Franklin y su colaborador Maurice Wilkins (véase Wilkins, Maurice. Autobiography. Oxford University Press, 2005).
  • Jane Goodall. Es muy importante mencionar que el arqueólogo y antropólogo Louis Leakey la impulsó a estudiar los chimpancés; esta inquietud fue producto de sus investigaciones, que lo llevaron a preguntarse por el comportamiento de los parientes del ser humano. Lo mismo vale para las célebres Dian Fossey y Birutė Galdikas, las cuales ampliaron nuestros conocimientos sobre los gorilas y los orangutanes, respectivamente.

miércoles, 31 de enero de 2018

Sobre un cremonés (y no es Stradivarius)

Antes de que se acabe el mes, previendo que no tendré tiempo de ir agregando material por lo menos mensualmente (como desde hace años me he propuesto), y aun a riesgo de recibir reprimendas por parte de mi gran amigo JHS, quiero escribir un poco sobre algunos matemáticos que, en mi opinión, son relegados a un segundo plano (si acaso) en los cursos de Cálculo.

Quiero comenzar con un italiano que vivió entre los siglos XVII y XVIII llamado Guido Grandi. Se hizo famoso por afirmar en 1703 que la expansión en serie de potencias \[ \frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k}, \] que puede pensarse como la sustitución $\rho = -x$ aplicada a la suma de la serie geométrica $\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}=\frac{1}{1-\rho}$, sigue siendo válida cuando $x=1$. Esto lo condujo a concluir que \[ \frac{1}{2} = 1-1+1-1+\ldots \] Así, Grandi defendía que podía obtenerse algo (es decir, $1/2$), a partir de la nada \[ (1-1)+(1-1)+\ldots = 0+0+\ldots = 0 \] y con ello hacía apología de la omnipotencia de Dios (!), ignorando convenientemente que también podría ponerse \[ 1+(-1+1)+(-1+1)+\ldots = 1 + 0 + 0 + \ldots \] en cuyo caso mágicamente perdemos la mitad a partir del todo. Por estos discurrimientos la serie alternante $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}$ también recibe el nombre de la serie de Grandi, y ejemplifica a una que diverge pero no lo hace creciendo o decreciendo sin cota (además de dejarnos la moraleja de que no podemos confiar en la asociatividad de la suma si se hace con infinitos términos).

A este matemático cremonés se le debe igualmente un especimen muy socorrido de curva paramétrica cuya área debe ser hallada, a saber, las rosas (¿polares?), que introdujera en 1728. Están dadas según la ecuación \[ r(\theta) = \cos(k\theta) \] salvo por rotaciones y escalamientos, cuando $k$ es entero. Lo interesante es que tal área ¡sólo depende de la paridad de $k$! Se le ocurrieron también las clélias, definidas paramétricamente en tres dimensiones según \[ x = \sin(m\theta)\cos(\theta),\quad y = \sin(m\theta)\sin(\theta),\quad z = \cos(\theta) \] y que yacen sobre una esfera. Son menos conocidas que las rosas quizá excepto en el caso $m=1$, cuando resulta la llamada curva de Viviani (la cual al estudiar geometría diferencial nos entretiene muy bien con el cálculo de su longitud de arco y curvatura), y que surge de la intersección de un cilindro de diámetro igual al radio de una esfera de modo que sean tangentes. Estas curvas tridimensionales se llaman así en dedicatoria a Clelia Grillo Borromeo Arese, una mujer de muy notable inteligencia, particularmente para la matemática. Me pregunto por qué no imitan más este ejemplo para elegir nomenclaturas los matemáticos, que es muy del estilo de los músicos y otros artistas.

lunes, 8 de enero de 2018

Diálogo con mi hija

XIAS: ¡Guácala! ¡Un gusano!

OAAA: Más bien es una oruga, hija. Y acuérdate que después se transforman en mariposas o polillas.

XIAS: Esa no, papá. Está muerta.

:D

domingo, 31 de diciembre de 2017

La última del 2017

Después de casi cuatro años (!), por fin aparece mi cuarto artículo "A note on a sumset in $\mathbb{Z}_{2k}$" en el Online Journal of Analytic of Combinatorics, después de ser rechazado por una revista de Elsevier y por la epi-revista de Timothy Gowers. ¡Sigue el trabajo para el quinto artículo!

Además, en este año que agoniza salieron las memorias del congreso de Puerto Vallarta y las del MCM 2017, en las cuales participé en su contenido y edición, y lo cual fue un honor y un placer.

La parte triste del año es la cantidad de matemáticos notables que nos han dejado. La siguiente lista no es, desde luego, exhaustiva.
  • Kenneth Arrow.
  • Kenneth Gross.
  • William Massey.
  • Uta Merzbach.
  • Maryam Mirzakhani.
  • Cathleen Morawetz.
  • Marjorie Rice.
  • Thomas Saaty.
  • Raymond Smullyan.
  • Gaisi Takeuti.
  • Miles Tierney.
  • Vladimir Voevodsky.
  • Lotfi Zadeh.
No tengo por ahora más que agregar, en parte por falta de tiempo y en parte por falta de organización que tiene todo en mi cabeza.

Y pues, ¡feliz 2018!

miércoles, 29 de noviembre de 2017

Sobre la colecta de firmas por los aspirantes independientes

Según datos el Ine, la licenciada Margarita Zavala ha progresado de la siguiente manera en su recolección de firmas.

Días transcurridos Firmas recabadas
8.00 13033.00
14.00 35738.00
16.0044537.00
28.00119841.00
38.00201497.00
43.00253168.00


Si ajusta uno a estos datos una función de la forma $f(t) = kt^{m}$, usando Octave nos da $k=340.95$ y $m = 1.76$, redondeado a dos decimales, con errores en la predicción de menos del $1{.}5$%, y cuyos residuos a ojo de buen cubero se ven bien repartidos. Esto significa, en particular, que podemos esperar que Zavala logre recabar las $866593$ firmas que requiere (aunque, infortunadamente, no podemos saber si lo suficientemente bien repartidas como solicita el Ine), pues cuando $t=120$ resulta $f(120) = 1556143.7$.

Escribo esto trayendo a colación que la periodista Azucena Uresti proclamó que, al día de inicio de recolección de firmas, los aspirantes necesitaban un "crecimiento exponencial" en su actividad para alcanzar el objetivo, delatando incredulidad al respecto. Inmediatamente le corregí que no era necesario un crecimiento exponencial, sino simplemente lineal (aunque a una tasa extremadamente veloz). Lean su respuesta.

Además, Uresti persistió un par de semanas en señalar que se veían lejos de su meta los aspirantes, lo cual a mi parecer es falto de ética porque en su papel de comunicadora debe fomentar la participación ciudadana, no un escepticismo en la misma que mina a una institución como el Ine. Todo esto sin mencionar que un crecimiento exponencial precisamente se observa muy lento cuando inicia.

Como se puede ver, no necesitan los aspirantes un crecimiento exponencial en la colecta de firmas, pues con un crecimiento superlineal pero subcuadrático basta y sobra, que ojalá sostengan todos los que registrados para el beneficio de nuestra democracia. Aquí estudio el caso de Margarita Zavala porque me inclino por su candidatura, pero un análisis semejante es válido para otros candidatos y nos permite darnos una idea si les será posible o no contender en las elecciones del año que viene.