domingo, 9 de septiembre de 2018

Tetraédrico por sexta vez

Aunque me causa alegría haber llegado a los 35 años hoy, me da un poco de tristeza hacerlo lejos de mi país y de mi familia. Pero todo sea por darles algo mejor a ambos.

Si uno construye pirámides con base triangular acomodando naranjas, puede uno usar $1$, $4$, $10$, $20$, $35$, etcétera, de ellas. Es la sucesión de los números tetraédricos.


También es posible desmontar la sexta pirámide y armar justamente el sexto de los números pentagonales. Según las soluciones de la curva elíptica $Y^3+Y=X^{3}-X$, los únicos números tetraédricos con los que es posible hacer esto son $0$, $1$ y $35$.


Obviamente esto me sirve de pretexto para mencionar a mi héroe Euler y su teorema de los números pentagonales. Una última propiedad que encontré agradable del $35$ es que también es un coeficiente binomial. Más especificamente, es \[ \binom{7}{4}=\binom{7}{3}=35 \] o sea, todas las formas de elegir (sin importar el orden) cuatro objetos entre siete disponibles. O de descartarlos, si se quiere. También esto significa que hay (sin tomar en cuenta equivalencias debidas a simetrías afines) la misma cantidad de acordes de tres que de cuatro notas en una escala diatónica.

martes, 21 de agosto de 2018

El teorema de Pitágoras y la constante de Arquímedes en acción

Para una actividad escolar de mi hija menor, le pidieron un gorro cónico de fiesta. Ange me dijo que teníamos cartulina rosa e hilo elástico, así que podíamos hacerlo nosotros mismos. Después de dictaminar que un radio en la base de $6$ cm era razonable, busqué cuál era la altura estándar y encontré que podían tomarse $16$ cm. ¿De qué radio debía ser el sector circular a trazar? Es relativamente fácil ver que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $6$ y $16$ cm, o sea \[ \sqrt{6^{2}+16^{2}} \approx 17.1 \] cm. Para averiguar el ángulo que debía subtenderse, se multiplica por $\pi$ al cociente del radio de la base entre el radio del sector, lo que da aproximadamente $0{.}70\pi$ radianes. No tenía transportador, solamente escuadra, así que para trazarlo primero se nota que el ángulo excede un cuarto de vuelta en $0{.}2\pi$. Luego con un triángulo rectángulo con base $17.1\cos(0{.}2\pi)=13.83$ y altura $17.1\sin(0{.}2\pi)=10.05$ obtenemos el ángulo faltante. Vean el resultado una vez aplicado el compás, las tijeras, el pegamento y puesto el elástico.



Pero, ¿a quién podrían servirle estas cosas?

sábado, 28 de julio de 2018

No hay quinto malo

Veo con gran alegría que mi quinto artículo "Enumeration of strong dichotomy patterns" por fin salió en la revista electrónica Algebra and Discrete Mathematics, después de ser rechazado por una revista de Elsevier, no recibir acuse de recibo por parte del Seminaire Lotharingien de Combinatoire y ser rechazado también por el Australasian Journal of Combinatorics. Tardó dos años en ser publicado, y creo que ya me acostumbré a estas dilaciones.

Por cierto que no sé si debe contarse mi contribución del congreso de Puerto Vallarta como artículo; MathSciNet® tiene indizado el libro de memorias y algunos de las contribuciones individuales, pero no la mía. Si llega a aparecer, tal vez podría decir que ya estoy dentro del rango proporcional a mi cociente intelectual en cuanto a publicaciones. Creo que no está tan mal.

¡Venga el sexto!

lunes, 2 de julio de 2018

Discurso a mi patria

Compatriotas mexicanos:

Ayer salí a votar con la convicción de que el futuro de México estaba asegurado, y que el ejercicio democrático lo realizaba un pueblo lo suficientemente educado como para esquivar los errores del pasado.

Pero me equivoqué.

Y básicamente eso sería todo lo que tengo que decirles. Sin embargo, voy a abundar un poco, por entrenenimiento mío y de ustedes, y para hacer una promesa.

Recién atestiguamos el ejemplo del vecino al elegir al peor candidato y aprendimos cero, nada, naranjas dulces. Ahí hemos visto cómo rezuma la pus del resentimiento y la estupidez de ciertos colectivos contra la cándida pero variopinta mayoría ante la complacencia de la élite gobernante. En palabras llanas: nos toca chingarnos todos.

En el corto plazo, aseguran los que saben, tratará el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik de cumplir sus promesas, al costo que sea. Cuando esto sea insostenible o algo falle seriamente, la culpa será de la mafia del poder, lo que requerirá algún tipo de purga de la sociedad y por medio de esta maniobra se hará de más recursos para nuevas iteraciones de dilapidación, o vayan ustedes a saber qué otro tipo de atropellos se le ocurrirán en el camino.

Si se le da dinero a la gente nada más por que sí entonces aumenta el consumo, pero si no hay más producción (y recordemos que intentaremos producir todo lo que consumamos), entonces la única salida es que aumenten los precios, y con ello la inflación. Yo cometí la imprudencia de acostumbrarme a una inflación baja durante mi vida adulta (normalmente de menos del 10% y casi siempre rondando el 5%), pero pues ya ven... Todo por servir se acaba. O tal vez el Banco de México, en su independencia prometida, pueda obrar milagros. Sabrá Dios.

Estas exquisiteces serían las menos graves, por lo menos desde mi perspectiva. El camarada Andréi Andreyévich López Rabotnik estableció muy claramente que la reforma educativa tiene mal el nombre (y todo, de hecho) por lo que, después de una supuesta consulta, la derogará. Lo más lógico que puedo suponer es que, una vez que tal despropósito se consume, la criminal y pérfida Sección XXII tendrá nuevamente carta blanca para la compra-venta de plazas y así poder seguir disfrutando de sus prebendas malhabidas, con las consecuencias obvias para la educación de la niñez y juventud oaxaqueña y las flagrantes en cuanto a la violación de los demás derechos humanos de la población en general. Ahora sí podré creer que el régimen tendría por objetivo mantenernos en la oscuridad de la ignorancia para hacer con nosotros lo que le plazca.

Lo menos que puedo prometer hacer es continuar sacando a las mentes de los jóvenes de las tinieblas mientras el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik y su séquito no estén mirando, pero debo ir por más. El enseñar más y con mayor ahínco sobre el pensamiento crítico y la matemática (con algunos toques de ateísmo por aquí y por allá) al público en general es mi obvia primera respuesta, y se que no es suficiente, pero debo admitir que no estaba preparado para este escenario. Toda sugerencia que no pase por la violencia es bienvenida.

En fin: que no quede de nosotros, los que entendemos las consecuencias de nuestros actos y de los demás. No me extrañaría que tengan miedo igual que yo. Y si, por el contrario, son muy sacalepunta, les pido de favor me echen porras y me unten un poco de su audacia.

He dicho.

Octavio Alberto Agustín Aquino.

martes, 26 de junio de 2018

Adversus scholastica certamina

Este asunto de las competiciones académicas ya lo he tratado antes, pero creo que es buen momento de agregar nuevas reflexiones.

Primero que nada, debo decir que este tipo de justas son excelentes para resolver problemas relacionados con tecnología con el fin de conseguir avances sustanciales. En principio, si deseamos obtener un robot capaz de tocar convincentemente el violín, un proceso para extraer dióxido de carbono de la atmósfera o la demostración más corta posible del teorema de Perelman-Poincaré y tenemos prisa, un concurso tiene una alta probabilidad de entregárnoslos.

Sin embargo, si se supone que la primordial razón para hacer matemática es para entender y ampliar nuestro conocimiento sobre ciertas entidades abstractas, ¿por qué importa quién ha de lograrlo primero o que esto suceda lo más pronto posible? Además, el pionero o campeón rara vez hace el esfuerzo por explicar sus métodos de manera que todos los demás puedan verificar sus resultados o extender sus métodos, y son legiones de otros matemáticos (que no alcanzan amplio reconocimiento por lo general) quienes se encargan de sistematizar y exponer. Esto ya lo ha señalado con gran maestría Jordan Ellenberg (quien, además, tiene autoridad moral para manifestarse pues es medallista olímpico y campeón del Putnam), y no está por demás leer los argumentos de Izabella Łaba, con su característico estilo contundente, cuando afirma que la actitud de los matemáticos a lo largo de los siglos ha sido más competitiva que cooperativa.

A modo de ejemplo, y para redondear lo que digo, hay que señalar que, en mi humilde opinión, Leonhard Euler mismo ha sido víctima de esto. Sus obras sobre mecánica hicieron mucho para poder aprovechar los métodos de Newton y Leibniz en la ingeniería práctica y su notación está ampliamente difundida por ser, efectivamente, clarificadora, y sin embargo es muy raro que un ingeniero o el público en general lo coloquen en el panteón de los matemáticos ilustres. Hay que reconocer que ni Arquímedes (a quien admiro) ni Gauss (a quien no tanto), entre otras luminarias, nunca hicieron mucho por desgranar sus prodigiosos artilugios que les permitían sondear las maravillas de la matemática.

Es por esto que yo me opongo a que se realicen concursos de matemática a diestra y siniestra. Me parece que es tóxico el fomentar la imagen del matemático como un genio que acaba con los "dragones" de los problemas con apenas algunas estocadas impulsadas por la fuerza arrolladora de su capacidad intelectual. No sobra remarcar el problema del efecto Mateo: cuando se realizan las pruebas preliminares, normalmente los competidores distan poco unos de otros, pero hay un ganador. A este ganador se le entrena y, obviamente, amplifica su ventaja sobre sus compañeros, y en futuras iteraciones de las competencias refuerza su dominio y se le entrena aún más. Pero sólo podemos, por definición, obtener una cantidad limitada de matemáticos por esta vía, ¿no es mejor destinar esos recursos de entrenamiento a todos los que sientan vocación por la matemática? Hay simulaciones que demuestran que dar un poco (aunque sea ínfimo) a todos es mejor que dar a manos llenas a los más "talentosos" para conseguir avances.

lunes, 28 de mayo de 2018

Por su visionario programa...

Lo importante que ha sucedido recientemente, y que no quiero dejar sin algún tipo de glosa, es que Robert Langlands fue galardonado con el premio Abel este año; no será muy sustanciosa puesto que es un asunto muy técnico y que, a decir verdad, no alcanzo a apreciar del todo. El libro de Bernstein y Gelbart "An Introduction to the Langlands Program" parece que es un buen punto de partida para quien quiera profundizar en el famoso programa iniciado por Langlands.

Según entiendo, todo tiene su origen en la ley de reciprocidad cuadrática tan apreciada por Gauss. Hay que decir primero que un entero $q$ un residuo cuadrático módulo $n$ si es congruente con un cuadrado perfecto, esto es, $q\equiv x^{2}\pmod{n}$ para algún $x$ entero. El símbolo de Legendre $(\frac{q}{p})$ es una indicatriz de la residuosidad cuadrática, pues se define como $0$ si $q$ es nulo, $1$ si $q$ es no nulo y es un residuo cuadrático, y $-1$ si no es un residuo cuadrático. Así, $5$ es un residuo cuadrático módulo $11$ porque $5\equiv 7^{2} \pmod{11}$, mientras que $2$ no es residuo cuadrático módulo $11$, luego $(\frac{5}{11})=1$ y $(\frac{2}{11})=-1$.

Dicho esto, la ley de reciprocidad cuadrática nos dice que, si $p$ y $q$ son números primos impares, entonces \[ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}. \] En otras palabras: hay una relación (¿recíproca?) entre la residuosidad cuadrática de $p$ módulo $q$ y la de $q$ módulo $p$. Juntando esto con las propiedades del símbolo de Legendre, es posible saber si la ecuación cuadrática más simple $x^{2}\equiv a \pmod{p}$ para un primo impar $p$ tiene solución o no.

Con un poco de razonamiento algebraico muy elegante, es posible ver que el símbolo de Legendre en realidad es un homomorfismo del grupo de unidades de $\mathbb{Z}_{p}$ hacia el grupo $\{1,-1\}$ con la multiplicación. La mejor forma de hacerlo es estudiar el cuerpo $K$ de descomposición del polinomio $x^{q}-1$ sobre $\mathbb{Z}_{p}$, y luego estudiar las propiedades del grupo de Galois $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Z}_{p})$.

De aquí hay que ir a la ley de reciprocidad de Artin, que relaciona a la abelianización del grupo de Galois de una extensión de campos globales con el grupo clase de ideles del campo extensor, y cómo esto puede mirarse como una conexión entre las $L$-series de Artin (que son un tipo de series de Dirichlet) y los caracteres de Hecke (que son generalizaciones de los caracteres de Dirichlet). Todo esto es una ensalada de teoría de campos clase, y que fue llevada a sus mayores consecuencias hasta ahora por Langlands y los continuadores de su obra, y que relaciona a la teoría de números con el álgebra y el análisis (armónico). Es por eso que se considera una de las grandes unificaciones de la matemática.

sábado, 31 de marzo de 2018

Sobre un virtuoso normando (y no es Erik Satie)

Resulta que es un excelente momento para escribir sobre Nicolás de Oresme, un gran pensador del siglo XIV oriundo de Normandía, Francia.

Es muy interesante que Oresme fuera de los primeros en afirmar que la proporción entre las duraciones de las órbitas de distintos cuerpos celestes es probablemente irracional, lo que da al traste con la astrología; en tal caso no es posible predecir conjunciones, oposiciones y otras efemérides de modo preciso como para "vaticinar" el futuro.

Todavía más genial fue la idea de Oresme de graficar en la longitud al tiempo y en la latitud a la velocidad, con el fin de clasificar la naturaleza de un movimiento. De este modo, por ejemplo, un movimiento uniformemente acelerado se ve como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y se revela claramente, por medio de un simple cálculo de área, el llamado teorema de Merton: un cuerpo uniformemente acelerado que parte del reposo recorre la misma distancia que uno que se mueve a velocidad uniforme igual a la mitad de la velocidad final del primero. Tampoco ya es difícil ver cómo se generaliza esto a un cuerpo que no parte del reposo, y el teorema del valor medio está a un tiro de piedra. Es, pues, grande la deuda que tiene Descartes (cuyo natalicio es hoy) con su compatriota, en mi opinión.

En lo que a series respecta, la forma en que Oresme suma la geométrica \[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a}{m^{k}} \] es peculiar, pues dice que hay que tomar la diferencia entre dos términos sucesivos \[ \frac{a}{m^{k}}-\frac{a}{m^{k+1}} = \frac{a}{m^{k}}(1-\tfrac{1}{m})=\frac{a}{m^{k}}\frac{m-1}{m} \] y dividir entre el primero, de modo que queda $\frac{m-1}{m}$. El recíproco de esta fracción es la proporción de la suma al primer término (que es $a/m^{0}=a$), lo cual tiene mucho sentido si Oresme reparó en la autosemejanza de la suma si se dibujan sus términos como barras.

Esto lo explica Oresme en su Questiones super geometriam Euclidis, y en esta misma obra expone su maravillosa demostración de que la serie armónica es divergente. Antes de presentarla, vale apuntar que él estudia esta cuestión ante la situación de que a una cantidad, a la que se le agrega algo cada vez más pequeño, pueda crecer sin cota. Para ver que esto puede suceder, hay que considerar la agrupación de términos
\[
 H = 1+ \left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
\]
esto es, según potencias de dos (primero 0, luego 1, luego 2, luego 4, etcétera). Dentro de cada paréntesis, la última fracción es la más pequeña, por lo que lo que hay entre el $k$-ésimo paréntesis (con $k>0$) es por lo menos
\[
 2^{k-1}\frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2}
\]
y en consecuencia, si $H_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ es $n$-ésima suma parcial, se satisface
\[
H_{2^{k}} \geq 1+\frac{k}{2}
\]
y se deduce que la serie diverge. Esto, por cierto, también da un estimado de cuánto hay que esperar para que la serie alcance un valor dado de antemano.