Y otra más

Le di a ChatGPT 5.5 Plus en nivel alto mi artículo para que me ayudara a hacer una animación con manim para exponerlo, porque la verdad no había calculado que tendría que hacerlo (yo confiaba en poder ir al congreso... pero esa es otra historia).

Lo fue haciendo por escenas. Pero cometía errores muy molestos: no colocó bien los vértices para una banda de Möbius (y sabía que debía hacerse patente por el mismo texto), no acomodó bien objetos pequeños dentro de marcos, no me entendía los efectos que quería... Creó funciones a diestra y siniestra para insertar objetos, y luego costaba trabajo poner objetos encima de esos otros. Como sea se terminó un video de 21 escenas en un día, con muchas revisiones mías. Cuando yo hice un video antes de la IA con manim, me tomó cerca de un mes.

Un sistema inteligente se habría dado cuenta de un problema de inmediato: que a la hora de grabar el audio alinear todo eso iba a ser extremadamente difícil. Y ya era una pesadilla para la tercera escena. Al paso que llevaba, me tomaría más de una semana terminarlo. Le dije que lo hiciera automáticamente. Hizo una tabla, y me dijo básicamente que no podía.

Entonces le dije que convirtiera todo en diapositivas para que con un programa de edición de video las fuera yo pasando, ya renunciando a mi video bonito con animaciones. Estuvo trabajando como diez minutos y le pregunté «¿Qué haces?». Según yo, transformar el código en Python a LaTeX era más o menos trivial. Además, le había dicho que lo quería con la clase slides. Pues la cosa creó una nueva clase y sus diapositivas eran un desastre, todo encimado, sin haberse tomado la molestia de hacer diagramas conmutativos donde lo ameritaba.

Había perdido otro día, y de plano mandé al diablo al robot y me puse a hacer yo las diapositivas. Las terminé en unas 5 horas (lo tardado es disponer vértices igualmente espaciados en un círculo). Con el editor de video, en otro par de horas lo tuve listo.

Ah, porque persistí en mi error: le dije al robot que convirtiera mis diapositivas en imágenes para agregarlas. Y, como le encontraba algunos errores, borraba el archivo PDF y lo volvía a subir, según yo para reemplazarlo. Pero el robot me volvía a dar las diapositivas equivocadas. Un sistema inteligente se habría dado cuenta. Cuando le pregunté por qué no usaba el archivo más reciente, me dijo que porque necesitaba que se llamara diferente. ¿De dónde sacaba el archivo viejo, que ya había borrado? Quién sabe.

Por eso no voy a pagar más por el servicio.

Otra experiencia con la IA generativa

Tenía un teorema de inexistencia de musicología matemática (no digo detalles aún porque estoy trabajando en el artículo). Se puede demostrar por un cómputo extensivo, pero yo quería una demostración "conceptual". Le pregunté a ChatGPT 5.5 Plus (que es un peldaño abajo de la versión más potente) con nivel alto de esfuerzo que viera si podía encontrar una. Sí pudo, según, pero no me parecía muy lejos del cómputo extensivo.

Pero entonces se me ocurrió como podría demostrarlo de manera verdaderamente conceptual (usando la geometría de lo que se denomina "toro de terceras"). Y de paso la misma idea servía para demostrar un teorema de existencia también de manera conceptual. Me faltaba otro teorema y, yo creo que por las interacciones con el robot, redujo su demostración a una revisión relativamente rápida de conjuntos súmicos. Sin embargo, yo la pude llevar a una de polinomios donde se pueden dar los certificados explícitos.

Entonces le pregunté por qué no podía encontrar las demostraciones que yo sí. Y me contestó lo siguiente:

No diría que, en principio, no podría encontrar demostraciones de ese tipo. Diría algo más preciso: Me resulta mucho más fácil encontrar tales demostraciones una vez que se han nombrado los objetos adecuados. Las demostraciones que presentas [...] dependen de varias decisiones que no se derivan únicamente de la afirmación.

Me suena a un intento de salvar cara, pero como sea es una admisión de que no puede inventar objetos que faciliten el mirar que algo es verdad. En tal caso, yo pienso que le sería prácticamente imposible inventar la variable compleja a partir de lo que se sabía en matemática antes del siglo XVI. Y no veo cómo algo basado en modelos grandes de lenguaje puede cambiar esa situación, aunque por supuesto lo que sí puede hacer (y lo ha hecho) es buscar nuevos "usos" de lo que ya existe.

Experiencia con el poderosísimo ChatGPT

Compré el paquete más potente de ChatGPT y le dije que resolviera mi conjetura de mi artículo de 2018 "Enumeration of Strong Dichotomy Patterns". Según que pensó un rato y salió con algo falso (que no había dicotomías fuertes en escalas equitemperadas de seis tonos).

Entonces vi que tenía que conmutarle a pensamiento Pro. Lo hice y entonces operó más tiempo, y construyó un contrajemplo que sí tenía sentido y me recordó que mi conjetura en realidad tenía que ver con solamente las dicotomías fuertes (es decir, que son autocomplementarias y de grupo de automorfismos trivial), no con el resto.

Le pregunté si podía demostrarse eso, trabajó otro rato, y dijo que sí. Que habría que desgranar por separado dos conteos (el del polinomio de inventario evaluado en $-1$ y otro explícito de las dicotomías). Era un desastre ininteligible, así que le di mis artículos sobre el tema y ya entonces reescribió el lado del conteo explícito en términos de las herramientas de mi artículo "Antichains and Counterpoint Dichotomies".

Ahora sí le ordené que intentara demostrarlo, y según que lo logró. Y ahí está la cuestión escabrosa, porque primero definió una función de Möbius univariable para un copo, lo cual no tenía sentido para mí. Resultó que obviaba un argumento evaluando siempre en el subgrupo trivial. Luego, la agrupación crucial de coeficientes del lado del conteo explícito no era clara. ¿Y está demostrado algo cuando no es lo suficientemente transparente cómo se logra? Seguramente se puede formalizar en Lean, pero para efectos de entender por qué está bien, ganaría nada.

Por ello me puse a escribir la demostración para entenderla.

1. Para reducir a una cuestión booleana la acción de grupos que tienen al menos una órbita impar, el robot lo hizo en términos de una función característica. Tal vez funciona, pero al discutirlo resulta más fácil ver que esos grupos inducen otros que dividen a las órbitas en partes que son intercambiadas por las cuasipolaridades, haciendo obvias las potencias de 2 requeridas. Por cierto que aquí entendí para qué caracterizó esos grupos.
2. Entonces retrabajé la caracterización de los grupos y así la demostración de la misma se puede reusar en parte para lo de las órbitas.
3. Luego ya pude tratar de descifrar su agrupación de coeficientes, y empieza a verse bien el hilo conductor porque vuelve a salir la "extracción" de la parte "nuclear" de los grupos. Así ya pude reescribir todo el argumento en términos de corchetes de Iverson, y que lo hacen absolutamente transparente. Pienso que esto habría sido difícil de pulir en Lean, considerando mi experiencia de lo tiquismiquis que es con intercambios de sumas.

Por conversaciones subsecuentes con el robot infiero que él mismo no habría llegado a mis demostraciones, porque cuando le pedía revisar el manuscrito trataba de revertir todo a las suyas. Le pregunté por qué, y me dijo que porque así maximizaba la posibilidad de que no lo tronara la verificación formal.

Pero, si podemos escribir una demostración clara y correcta para un ser humano, relativamente mecánica en tanto notación según las enseñanzas de Knuth, entonces ¿para qué molestarse con una formal? Es más: con un buen lenguaje de programación, yo digo que esta demostración también es naturalmente formalizable.

Para mí esto confirma que no podemos simplemente dejar que el robot haga o deshaga y supuestamente convenza sin una auditoría mínima. Como bien se dice: se requiere la responsabilidad de al menos leer lo obtenido y saber que tiene un mínimo de coherencia. Aunque sean millones de líneas de código verificador, hay que pedirle que explique e interrogar su explicación.

Hay que resistir y hacer resistir, pues.

Ante la solución del problema de Erdös 1196

Se dice (porque hay asertos que tendríamos que creer prima facie) que una IA junto con un agente verificador lograron resolver un problema de Erdös; no uno cualquiera, sino uno de los interesantes. Si esto sigue así, entonces Math Inc. (u otras compañías) podrían patentar demostraciones. No es imposible ni inusitado: Elwyn Berlekamp patentó varios algoritmos relacionados con la decodificación de códigos algebraicos, y un algoritmo de este tipo es, en esencia, una demostración de que cierta decodificación es posible.

¿Y qué sucederá entonces? Con suerte sabremos que ciertos teoremas, quizá tan importantes como los de los problemas del milenio, son verdaderos, pero será muy difícil conocer sus demostraciones. Tal vez algunas sean verdaderamente muy complicadas, digamos que de complejidades que excedan millones o tal vez decenas de millones de líneas de código "golfeado" (así le dicen cuando está reducido respecto a una "primera pasada") en Lean o algún otro lenguaje de verificación. Y no solamente no podríamos acceder a ellas sino que, aunque accediéramos, no sería realista esperar que podríamos entenderlas como para comunicarlas.

En mi opinión, es intolerable que la matemática funcione así.

¿Qué alternativas habría? De entrada lograr alguna IA pública que pueda generar formalizaciones, y no importaría que sea algo "lenta". Habría que financiarla. Habrá que buscar cómo. Pero, además, habrá de todas maneras que entender cómo funciona lo que obtenga. Eso requiere que de verdad se ponga la comunidad matemática "libre" a trabajar en esa exposición. También habrá que buscar y encontrar cómo financiar eso.

Tal debe ser la resistencia. Y que viva, sin duda.

Via ignorantium dura est

Aunque creo que este asunto de que «Ver a alguien entrenar en un gimnasio no te vuelve fuerte» es, a grandes rasgos, correcto para entender por qué es necesaria la educación institucional aún si las IA llegaran a ser más inteligentes que los Homo sapiens más inteligentes, también vale la pena entender que, por ejemplo, contar o entender la notación científica sigue siendo necesario.

La cuestión es tener las herramientas para aprehender el mundo. Claro, si se logra que haya una modificación directa para aumentar la capacidad de procesamiento (un cíborg, pues), entonces quizá ya no sería necesario (¿o sí? ¿O tendríamos que esperar a «actualizaciones» para poder mejorar?). Pero en lo que eso sucede (y es previsible que dilate, porque no parece claro que IA suficientemente avanzadas consideren que es algo necesario hacer), tenemos que seguir aprendiendo a leer, a contar para llevar registros, y cualquier esquema cognitivo (como la notación científica) para acomodar ciertas ideas o conceptos (o ¿cómo entender el tamaño de los átomos o el Sistema Solar, por ejemplo?).

Por el Día de Pi 2026

Yo nunca he sido de preguntarme para qué sirve la matemática. Y, sin embargo, he aquí por qué literalmente se nos puede atravesar en la calle.

Si se hubiera medido correctamente el radio o el diámetro de esta tapa, y se le hubiese dejado un margen razonable, entonces habría servido bien. Ahora ni se tapa el pozo ni se puede dejar destapado. Ojalá sea suficiente con desbastarle un poco; si no, entonces será un gasto doble.

Para los abandonos

Me sorprendió muy gratamente que existiese esta palabra en español, que fue la del día de hoy.

derrelicto
1. m. Mar. Buque u objeto abandonado en el mar.

Pero más me sorprendió que existiese esta otra, que es el significado más general que yo conocía por el inglés.

derelicto, ta
Del lat. derelictus 'abandonado'.
adj. Der. Dicho de una cosa: Que ha sido objeto de derelicción.

derelicción
Del lat. derelictio, -ōnis 'abandono'.
f. Der. Abandono de una cosa con ánimo de poner fin a la propiedad que se ostentaba sobre ella.

Me parece que la primera vez que leí esa palabra fue precisamente por la nave abandonada que sale en Super Metroid.