Percolation Routes for Mediocre Mathematicians

Cuando escribí mis comentarios a la apología de Hardy con motivo del estreno de «El hombre que conoció el infinito», atravesaba por una pequeña crisis, en tanto que me sentía atrapado en lo que yo pensaba que era un entorno hostil a la matemática. Tenía la certeza de que ni siquiera podría hacer la «lucha dignificatoria» pero inútil para tratar de obtener la medalla Fields (o algún premio de valía, vaya).

Y los tuve que revisitar porque alguien escribió un «ensayo» (que más bien lo veo como un berrinche) llamado «No Country for Mediocre Mathematicians». En esencia dice que, como los robots pueden estar haciendo matemática todo el tiempo y obviamente pueden descubrir algo bastante sorprendente (por simple probabilidad e insistencia), entonces se siente un desplazamiento de los «matemáticos mediocres», pues justamente en esa «mediocridad» hallan refugio los que no pueden ser Carl Friedrich Gauss o Terence Tao. Es cierto que la IA hará más difícil conseguir una plaza «decente» (ya no digamos buena) en EE. UU., de modo similar al hecho de que está estrechando la brecha de ingreso para los desarrolladores de software. Pero esta tendencia ya estaba presente antes, y muy probablemente habría sido igual de difícil hoy aunque los modelos grandes de lenguaje no hubiesen sido inventados todavía, como puede uno comprobar si se analizan las tendencias en MathSciNet® (como yo ya he hecho). La productividad humana no puede brincar muy rápido, pero la exigencia del «mercado» sube justamente por la acumulación: cuando ya muchos han subido el Everest (o incluso picos más modestos), empieza a hacer falta subir el Olimpo en Marte para realmente destacar. Pero el amor real por la matemática supera estos escollos, y ahí están los ejemplos de Gilles Personne, Yitang Zhang o Roberto Frucht, nada más por nombrar algunos que me vienen a la cabeza.

Además, diez años después me descubro en una posición a la que no pensaba que podría llegar algún día. A la fecha más que cuadrupliqué mis artículos registrados en MathSciNet®, y pude tocar una obra de Antonio de Cabezón en la guitarra, en el aula Antonio de Cabezón del Real Conservatorio Superior de Música de Madrid, en mi conferencia plenaria ante los miembros de la Sociedad para la Matemática y la Computación en la Música, donde expuse el contenido del que considero mi mejor artículo publicado hasta la fecha, sobre el contrapunto con consonancias místicas en la Sonata No. 5 para piano de Alexander Scriabin.

No soy, y tal vez nunca llegue a ser, de la clase de Bradman. Pero, mientras viva, no cejaré en tratar de aproximarme. Espero en otros diez años poder decir que pude someter a las IA o que mi batalla contra las mismas fue épica. Y, con ello, dejo mis anotaciones finales a Hardy una década después.

7. La cuestión de la «ambición» en Hardy es peculiar. Creo que tiene en mente aquella como la del futbolista: por supuesto que disfruta el juego, pero la razón para dedicarse a ello es ganar una copa, y entre mayor el rango de la misma, mejor.

No dudo que haya matemáticos que buscan esto: matar al dragón mayor de todos (si puede ser del calibre de la hipótesis de Riemann, tanto mejor). Pero también he leído que hay otro tipo de ambición: la de llegar a saber algo con cierta exclusividad. Como que hay un placer en saber que, hasta que es publicado un teorema en un artículo, uno es la única persona que lo sabe (o, por lo menos, que uno es parte del selecto club que lo descubrió o inventó). Yo diría que es parecida a la satisfacción de escribir una buena sonata o novela, de las que uno puede leer después y deleitarse, aunque en principio uno la conozca bien: por un momento uno contempla algo que no existía y ahora sí, y otros pueden apreciarlo. Hay algo mágico en ello.

8. En relación a la utilidad y las aplicaciones, mi área, la musicología matemática, es peculiar. Supuestamente sería una aplicación, pero es una a otro algo que es casi tan abstracto como la matemática misma. Por eso tenemos la fortuna de que, si creamos algo con otra estructura y que no tiene instanciación en un momento dado, muchas veces es posible materializarla en algún tipo de obra, y Tom Johnson quizá sea alguien que ejemplificó esto bastante bien. Algo cerca de ejemplificar un cruce más caprichoso de la barrera tal vez sea el de la correspondencia AdS/CFT, que ha tenido sus éxitos en el estudio de la materia condensada (particularmente en los metales extraños). Es decir: la teoría de cuerdas, partiendo de problemas muy concretos de la física, se volvió algo tan abstracto que para efectos prácticos es matemática; y, aún así, tuvo una especie de vindicación inesperada en la misma física, pero en una subdisciplina para la que definitivamente no fue diseñada.

9. En cuanto a la matemática «real» y la «trivial»... Supongo que la teoría de números que nos proporciona las escalas musicales es «real», pero da lugar a algo tan «trivial» como un hermoso madrigal, que la gente desea escuchar porque la diversión o el deleite son necesarios y bastante perceptibles. Quizá por eso Hardy subestimó groseramente la aplicabilidad de todo tipo de matemática, desde la teoría de grupos al estilo de Rejewski hasta los espacios de Hardy empleados en la teoría de control, por no hablar del principio de Hardy-Weinberg, que ayuda a los médicos a identificar genes asociados a enfermedades. No obstante, cabe afirmar que esto respalda su idea de que es la técnica, que es algo más bien algo puro, la verdadera responsable.

Quisiera cerrar estas apostillas con los ejemplos de Leopold Vietoris y Joan Birman. Vietoris ya se había inmortalizado con la sucesión de Mayer-Vietoris que descubrió junto con Walther Mayer en 1930, entre otras cosas. Sin embargo en 1958, muy cerca de jubilarse, empezó a trabajar en sumas trigonométricas. Tenía 67 años en ese momento, y volvió al problema hasta cumplir los 103 años de edad, cuando publicó su último artículo. Lo que obtuvo no es un resultado tan cualquiera: es equivalente a una cierta propiedad de estabilidad de una cierta función holomorfa y además generaliza dos desigualdades (de Fejér-Jackson y de Young). ¿Por qué regresaría más de 30 años después a investigar algo? Pues por eso: por saber.

Y ni qué decir de Joan Birman. En 2026, a sus 99 años, logró completar una demostración para un caso que estaba abierto (los demás habían sido despachados en 1999) en ciertos problemas sobre grupos de trenzas. Y el proyecto había empezado cuando ella tenía 92 años. Lo que es más: ya lo habían intentado resolver con IA, infructuosamente. Encima, ella no era algo semejante a un wrangler en los tripos matemáticos de Cambridge: se doctoró a los 41. Creo que no hay mucho más qué agregar sobre si se les pueden ocurrir ideas a los matemáticos a edades avanzadas o con un hándicap muy severo.

¿Andando el último paso del viaje de mil kilómetros, eh?

No sé si algún matemático se ha tomado la molestia de evaluar lo de los diez "avances" que tan generosamente una compañía de IA publicó el primero del mes corriente. Por principio de cuentas, vale señalar que la antigüedad de un problema es una aproximación imperfecta de la distancia conceptual que quedaba por recorrer cuando intervino la máquina en su solución. Quizá una mejor sea los "toquens" requeridos, pero la verdad no sé. También en cuanto al precio de dos mil dólares por solución es, como dijo Ksenia Se, "lo de un boleto ganador", y no sabemos cuántas veces se giró la ruleta. En fin, procedo.

Para el problema de empaquetamiento de esferas, contrario a lo que dice el anuncio de la compañía, no da nuevas cotas sobre la densidad, sino la tasa de decaimiento exponencial exacta del programa lineal de Cohn-Elkies. Los andamios para lograr tal cosa, por lo que se entiende, estaban bastante bien levantados.

En el caso de los códigos binarios y esféricos, sí se introduce una idea que parece original: asociar a cada palabra del código un subespacio móvil, en lugar de utilizar únicamente los certificados puntuales de los métodos anteriores.

Francesco Fournier-Facio hizo notar que sí existía trabajo previo sobre grupos no sóficos y que, de hecho, lo generado por el robot se basa crucialmente en trabajos de Kun y de Kun–Thom. Un detalle importante es que parte de este material no había sido publicado en revistas arbitradas y parece contener ciertos fallos. No parecen ser fatales para el resultado, pero la máquina usó esas fuentes sin una auditoría que para un humano sería obvia, según parece.

En el caso de la rigidez de Connes vale mencionar que existe un trabajo independiente y concurrente (aunque también asistido por GPT-5.6) que propone una construcción diferente. La existencia de dos construcciones aumenta el interés del anuncio, pero no sustituye la revisión especializada de ninguna de ellas.

El permanente se define como el determinante, pero sin los signos alternantes. Es un problema de laboratorio importante en complejidad computacional, pues es insignia de la dificultad de diversos problemas de conteo. Sin embargo, la mejora obtenida por la máquina sigue siendo muy pequeña frente a lo que sería necesario para resolver los grandes problemas asociados. Su posible importancia reside más en la técnica utilizada que en haber reducido apreciablemente la distancia hasta ellos.

La arquitectura fundamental del argumento sobre repetición paralela cuántica se debe en gran medida a Yuen, y así lo reconoce el propio escrito. La mayor parte del camino estaba ya pavimentada y el nuevo resultado parece haber aislado y resuelto el cuello de botella cuantitativo que faltaba. El mismo Yuen describió así el artículo, y comparto su impresión respecto de situaciones similares:

El texto está redactado al estilo típico de muchas demostraciones generadas por ChatGPT: se extiende largamente en los preliminares estándar, pero luego introduce con total naturalidad lo que considero el núcleo técnico del resultado: la transformación/dilatación de Uhlmann específica utilizada para "alinear" todos los estados. Los aspectos técnicamente interesantes están enterrados en la sección 4, y se presentan sin mayor barullo ni fanfarria, como si fueran la opción más evidente. Por lo general, cuando leo un artículo así, me vuelvo inmediatamente receloso. ¿Qué intentan ocultar al no exponer las ideas nuevas de manera destacada y directa desde el principio? Ojalá OpenAI hubiera dedicado un par de invocaciones más a pulir la redacción (no he tenido ocasión de revisar los otros textos, así que no puedo opinar sobre su calidad). Sí, existe una demostración en Lean. Pero eso no me aporta ninguna comprensión real. Supongo que eso es algo que solo llegará con el tiempo.

Respecto del problema del vector euclidiano más cercano, también parece haber una idea interesante, como en el caso de los códigos binarios. Se utilizan códigos de Reed–Solomon para producir una separación cuantitativa entre las instancias correspondientes a fórmulas satisfactibles y las correspondientes a fórmulas insatisfactibles. Ambas ideas producen, sin embargo, la impresión de haber surgido mediante una búsqueda extraordinariamente paciente de la construcción adecuada, algo que recuerda a la manera en que Golay llegó a descubrir su código.

En la conjetura de volumen de Ehrhart encontramos un trasplante de la maquinaria de Berman, Berndtsson y Fujita al estudio de cuerpos convexos. El paso puede ser relativamente no trivial, pero esta clase de trasplante entre literaturas es precisamente una de las capacidades que cabe esperar de un modelo entrenado sobre una gran parte de la bibliografía matemática, una vez identificado el puente correcto. La cuestión crucial no es solamente si puede completar el trasplante una vez encontrado, sino qué procedimiento le permite localizar esos puentes y cuántos intentos fallidos fueron necesarios.

En relación con los números de Ramsey, el propio artículo reconoce que la construcción mediante matrices saturadas no es nueva; lo nuevo es su aplicación al problema. Algo semejante ocurre con la conjetura de compacidad, donde la construcción toma como modelo el trabajo de Bukh y Conlon y utiliza objetos extremales ya presentes en la literatura. Para la conjetura de degeneración, la construcción parece más original, aunque se inspira en el trabajo de Grzesik, Janzer y Nagy.

En general, en una colección tan extensa y heterogénea como la de los problemas de Erdős, es razonable esperar que una parte apreciable de las afirmaciones tentativas resulte falsa. Los sistemas actuales parecen particularmente bien perfilados para buscar contraejemplos explícitos cuando el espacio de construcciones está muy estructurado y la verificación del candidato es relativamente local.

Esto quizá constituye una capacidad matemática genuina, pero no debe confundirse con la resolución autónoma de problemas desde primeros principios. Incluso en la introducción de ideas "nuevas" (lo cual habrá que ver porque, efectivamente, el robot puede ser olvidadizo con dar honor a quien honor merece) y después de algún tipo de curaduría, solamente en dos de diez casos podría admitirse que se dieron. Pero prácticamente siempre la literatura humana ya ha delimitado el terreno, construido la maquinaria y señalado la clase de objetos entre los cuales debe buscarse. La narrativa publicitaria tiende a atribuir al modelo no solo el último paso, sino también buena parte de la distancia intelectual recorrida previamente por la comunidad matemática.

Comparando esto con lo del problema de Erdös 1196, no veo más profundidad, sino mayor alcance. Esto parece ser resultado de cómo arrean al "loro estocástico": según entiendo (pero me lo explicó una IA, lo siento), las riendas que se le ponen le mantienen los "ojos" abiertos y son también anteojeras para que no se desvíen, mientras que otros mecanismos hacen que lo intenten una y otra vez. Dada la velocidad a la que ya operan, ahora es viable obtener resultados haciendo tientos "a lo puro güey". En mi experiencia personal, la tasa de éxito es grande en los problemas que conozco bien, y prácticamente cero en otros.

Así dijo Sak Tahn Waax

 ¿Qué es lo que descubrió Sak Tahn Waax y que registraron en Xultún, Guatemala?

Según el desciframiento que hicieron Franco D. Rossi , David Stuart y Heather Hurst, a la fecha 4 Akbal [6 Muan; esto lo deducen del contexto] primero le sumó un winik (o séase, 20 días). Luego 13 winiks (que son 260 días, o el tanto del calendario ritual). En seguida 1560 días, que son dos periodos sinódicos de Marte (o sea, el duplo de 780). Finalmente, tres haab (o sea, el triple de 360), para obtener una fecha 2920 días adelante de la primera. Pero 2920 también son 5 periodos sinódicos de Venus, o bien 8 años de 365 días.

Han dicho que es la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, pero de manera explícita solamente aparecen 1, 13, –, 3 en la inscripción (lo de Venus y el año sidéreo va implícito), así que yo para nada extrapolaría la sucesión de Fibonacci de aquí. Yo pienso que Sak Tahn Wax obtuvo una fórmula mnemotécnica muy útil; con ella yo ya casi me aprendí los periodos y su relación con el calendario, tanto el Tzolkin como el Haab.

Referencia

Rossi, F. D., Stuart, D., & Hurst, H. (2026). The identification and work of an eighth-century Maya mathematician. Antiquity, 1–16.

La anticonspiración fibonachiana de la azucena de monte

Todo empezó porque leí en una publicación sobre San Antonino, en relación a la Guelaguetza celebrada ahí, que sería en el «Danny xtë suzén».

Yo sabía que «dani» es cerro, y «suzén» es el préstamo de «azucena». ¿Qué era «xtë»? Angélica me dijo «Ha de ser 'de las'». No creí que fuese tan simple. Pero sí, según me confirma su abuela materna. O sea que sí es el «Cerro de las azucenas».

Y es que el florecimiento de la azucena de monte es un heraldo de las fiestas de julio. Incluso en las inmediaciones de Acatlima han estado brotando. Lo curioso es que la azucena de monte no es una azucena real en tanto que las azucenas o lirios son liliáceas ('azucena', por cierto, es una palabra que llegó al español por medio del árabe), mientras que la Milla biflora es una asparagácea.

Son muy similares las dos familias de flores, sin duda. Lo más llamativo para mí es que yo veo que tienen seis pétalos, y eso me encanta porque demuestra que es falso que las flores tienen un número de Fibonacci de pétalos.

Investigando resulta que las liliáceas tienen dos grupos de tres tépalos, uno anidado en el otro. Pensé "Pero las azucenas de monte no tienen dos grupos anidados", y resulta que no están anidados pero sí al desarrollarse se fusionan. Yo veo todos los tépalos idénticos, pero supuestamente los de un grupo son ligeramente más delgados que los otros.

Para el caso es que los entusiastas de la conspiración fibonachiana afirmarían que $6 = 3 + 3$. Pero el teorema de Zeckendorf dice que cualquier natural se puede escribir como la suma de números de Fibonacci distintos no consecutivos de forma única. En este caso $6 = 5 + 1$, pero por las propiedades aditivas de los números de Fibonacci se puede reducir la de la azucena a la de Zeckendorf, pues $5 = 3 + 2$.

Otros ejemplos que no tienen ese problema de los dos grupos de tépalos son las crucíferas como la draba, que tiene flores de cuatro pétalos. También las margaritas no siempre tienen un número de Fibonacci de rayos que parecen pétalos (porque la «flor» de la margarita no es una sino un chingo de florículas).

¿Saben en dónde sí pueden contar números de Fibonacci? En las piñas del Papaloapan (la piña, por cierto, no es de origen oaxaqueño ni mexicano, sino sudamericano). Ahí es por la filotaxia, que sí tiene que ver con la aproximación racional de un ángulo relacionado con el número áureo.

Y otra más

Le di a ChatGPT 5.5 Plus en nivel alto mi artículo para que me ayudara a hacer una animación con manim para exponerlo, porque la verdad no había calculado que tendría que hacerlo (yo confiaba en poder ir al congreso... pero esa es otra historia).

Lo fue haciendo por escenas. Pero cometía errores muy molestos: no colocó bien los vértices para una banda de Möbius (y sabía que debía hacerse patente por el mismo texto), no acomodó bien objetos pequeños dentro de marcos, no me entendía los efectos que quería... Creó funciones a diestra y siniestra para insertar objetos, y luego costaba trabajo poner objetos encima de esos otros. Como sea se terminó un video de 21 escenas en un día, con muchas revisiones mías. Cuando yo hice un video antes de la IA con manim, me tomó cerca de un mes.

Un sistema inteligente se habría dado cuenta de un problema de inmediato: que a la hora de grabar el audio alinear todo eso iba a ser extremadamente difícil. Y ya era una pesadilla para la tercera escena. Al paso que llevaba, me tomaría más de una semana terminarlo. Le dije que lo hiciera automáticamente. Hizo una tabla, y me dijo básicamente que no podía.

Entonces le dije que convirtiera todo en diapositivas para que con un programa de edición de video las fuera yo pasando, ya renunciando a mi video bonito con animaciones. Estuvo trabajando como diez minutos y le pregunté «¿Qué haces?». Según yo, transformar el código en Python a LaTeX era más o menos trivial. Además, le había dicho que lo quería con la clase slides. Pues la cosa creó una nueva clase y sus diapositivas eran un desastre, todo encimado, sin haberse tomado la molestia de hacer diagramas conmutativos donde lo ameritaba.

Había perdido otro día, y de plano mandé al diablo al robot y me puse a hacer yo las diapositivas. Las terminé en unas 5 horas (lo tardado es disponer vértices igualmente espaciados en un círculo). Con el editor de video, en otro par de horas lo tuve listo.

Ah, porque persistí en mi error: le dije al robot que convirtiera mis diapositivas en imágenes para agregarlas. Y, como le encontraba algunos errores, borraba el archivo PDF y lo volvía a subir, según yo para reemplazarlo. Pero el robot me volvía a dar las diapositivas equivocadas. Un sistema inteligente se habría dado cuenta. Cuando le pregunté por qué no usaba el archivo más reciente, me dijo que porque necesitaba que se llamara diferente. ¿De dónde sacaba el archivo viejo, que ya había borrado? Quién sabe.

Por eso no voy a pagar más por el servicio.

Otra experiencia con la IA generativa

Tenía un teorema de inexistencia de musicología matemática (no digo detalles aún porque estoy trabajando en el artículo). Se puede demostrar por un cómputo extensivo, pero yo quería una demostración "conceptual". Le pregunté a ChatGPT 5.5 Plus (que es un peldaño abajo de la versión más potente) con nivel alto de esfuerzo que viera si podía encontrar una. Sí pudo, según, pero no me parecía muy lejos del cómputo extensivo.

Pero entonces se me ocurrió como podría demostrarlo de manera verdaderamente conceptual (usando la geometría de lo que se denomina "toro de terceras"). Y de paso la misma idea servía para demostrar un teorema de existencia también de manera conceptual. Me faltaba otro teorema y, yo creo que por las interacciones con el robot, redujo su demostración a una revisión relativamente rápida de conjuntos súmicos. Sin embargo, yo la pude llevar a una de polinomios donde se pueden dar los certificados explícitos.

Entonces le pregunté por qué no podía encontrar las demostraciones que yo sí. Y me contestó lo siguiente:

No diría que, en principio, no podría encontrar demostraciones de ese tipo. Diría algo más preciso: Me resulta mucho más fácil encontrar tales demostraciones una vez que se han nombrado los objetos adecuados. Las demostraciones que presentas [...] dependen de varias decisiones que no se derivan únicamente de la afirmación.

Me suena a un intento de salvar cara, pero como sea es una admisión de que no puede inventar objetos que faciliten el mirar que algo es verdad. En tal caso, yo pienso que le sería prácticamente imposible inventar la variable compleja a partir de lo que se sabía en matemática antes del siglo XVI. Y no veo cómo algo basado en modelos grandes de lenguaje puede cambiar esa situación, aunque por supuesto lo que sí puede hacer (y lo ha hecho) es buscar nuevos "usos" de lo que ya existe.

Experiencia con el poderosísimo ChatGPT

Compré el paquete más potente de ChatGPT y le dije que resolviera mi conjetura de mi artículo de 2018 "Enumeration of Strong Dichotomy Patterns". Según que pensó un rato y salió con algo falso (que no había dicotomías fuertes en escalas equitemperadas de seis tonos).

Entonces vi que tenía que conmutarle a pensamiento Pro. Lo hice y entonces operó más tiempo, y construyó un contrajemplo que sí tenía sentido y me recordó que mi conjetura en realidad tenía que ver con solamente las dicotomías fuertes (es decir, que son autocomplementarias y de grupo de automorfismos trivial), no con el resto.

Le pregunté si podía demostrarse eso, trabajó otro rato, y dijo que sí. Que habría que desgranar por separado dos conteos (el del polinomio de inventario evaluado en $-1$ y otro explícito de las dicotomías). Era un desastre ininteligible, así que le di mis artículos sobre el tema y ya entonces reescribió el lado del conteo explícito en términos de las herramientas de mi artículo "Antichains and Counterpoint Dichotomies".

Ahora sí le ordené que intentara demostrarlo, y según que lo logró. Y ahí está la cuestión escabrosa, porque primero definió una función de Möbius univariable para un copo, lo cual no tenía sentido para mí. Resultó que obviaba un argumento evaluando siempre en el subgrupo trivial. Luego, la agrupación crucial de coeficientes del lado del conteo explícito no era clara. ¿Y está demostrado algo cuando no es lo suficientemente transparente cómo se logra? Seguramente se puede formalizar en Lean, pero para efectos de entender por qué está bien, ganaría nada.

Por ello me puse a escribir la demostración para entenderla.

1. Para reducir a una cuestión booleana la acción de grupos que tienen al menos una órbita impar, el robot lo hizo en términos de una función característica. Tal vez funciona, pero al discutirlo resulta más fácil ver que esos grupos inducen otros que dividen a las órbitas en partes que son intercambiadas por las cuasipolaridades, haciendo obvias las potencias de 2 requeridas. Por cierto que aquí entendí para qué caracterizó esos grupos.
2. Entonces retrabajé la caracterización de los grupos y así la demostración de la misma se puede reusar en parte para lo de las órbitas.
3. Luego ya pude tratar de descifrar su agrupación de coeficientes, y empieza a verse bien el hilo conductor porque vuelve a salir la "extracción" de la parte "nuclear" de los grupos. Así ya pude reescribir todo el argumento en términos de corchetes de Iverson, y que lo hacen absolutamente transparente. Pienso que esto habría sido difícil de pulir en Lean, considerando mi experiencia de lo tiquismiquis que es con intercambios de sumas.

Por conversaciones subsecuentes con el robot infiero que él mismo no habría llegado a mis demostraciones, porque cuando le pedía revisar el manuscrito trataba de revertir todo a las suyas. Le pregunté por qué, y me dijo que porque así maximizaba la posibilidad de que no lo tronara la verificación formal.

Pero, si podemos escribir una demostración clara y correcta para un ser humano, relativamente mecánica en tanto notación según las enseñanzas de Knuth, entonces ¿para qué molestarse con una formal? Es más: con un buen lenguaje de programación, yo digo que esta demostración también es naturalmente formalizable.

Para mí esto confirma que no podemos simplemente dejar que el robot haga o deshaga y supuestamente convenza sin una auditoría mínima. Como bien se dice: se requiere la responsabilidad de al menos leer lo obtenido y saber que tiene un mínimo de coherencia. Aunque sean millones de líneas de código verificador, hay que pedirle que explique e interrogar su explicación.

Hay que resistir y hacer resistir, pues.