Primo por decimocuarta vez

Llego a los 43 ahogado en el tsunami de la IA contemporánea y preocupado por un apocalipsis matemático, con la cereza del pastel del robo en despoblado de OpenAI de una solución del problema de Navier-Stokes. Pero no hay que rendirse. El Homo sapiens es un animal que no se rinde.

Y, bueno, el $43$ es tal que \[ \left(\frac{43-1}{2}\right)! = 21! \equiv -1 \pmod{43}, \] y no se sabe si esto ocurre infinitas veces e infinitas veces también es 1 para otros primos. Si llego a algo en esto, entonces ojalá no se lo robe la IA. Si es que llegamos al 2030.

Por otra parte, el $43$ es la constante mínima de los dados mágicos de Honacker: en un dado estándar a cada punto se le asocia un natural mayor a $0$ distinto, y debe ocurrir que la suma de las caras sea la misma. La constante $C$ es la que está en la cara de un punto. Quedan $\frac{6\cdot 7}{2}-1 = 20$ puntos para asignarles naturales, y si fueran consecutivos entonces sumarían $\frac{20\cdot 21}{2} = 210$. Como hay $5$ caras en las cuales repartirlos, entonces \[ C\geq \frac{210}{5} = 42. \]

Sin embargo, en la cara de dos puntos tenemos también la suma $C$ y quedarían $18$ puntos que considerar, que por lo menos deben sumar $\frac{18\cdot 19}{2} = 171$. O sea, $5C\geq C+171$, de donde $C\geq \frac{171}{4}=42{.}75$. Es decir, $C\geq 43$. Y en la página Zoo of Numbers se ve que se puede asignar \begin{multline} \{\{43\},\{21,22\},\{8,16,19\},\{5,9,12,17\},\\ \{3,4,7,14,15\},\{1,2,6,10,11,13\}\}, \end{multline} así que sí es $43$ la menor constante.

Por otra parte el octaedro es uno de mis poliedros favoritos (por casi obvias razones), y ahí se ponen los puntos para que en caras opuestas sumen $9$. Ahora la constante $C$ se tendría que repartir en principio entre $\frac{8\cdot 9}{2}-1 =35$ puntos, por lo que si fueran consecutivos y se distribuyeran entre las restantes $7$ caras, nos dice que \[ C\geq \frac{1}{7}\frac{35\cdot 36}{2} = 90. \]

Siendo que la cara de dos puntos también suma $C$, y restaría asignar $33$ naturales a las restantes $6$ caras, entonces \[ 7C\geq C+\frac{33\cdot 34}{2} = C+561 \] o sea \[ C \geq \frac{561}{6} = 93{.}5. \]

Y resulta que sí hay una asignación con constante $94$ \begin{multline} \{\{94\},\{48,46\}, \{26,32,36\}, \{4,29,30,31\},\\ \{1,13,25,27,28\}, \{2,3,20,22,23,24\},\\ \{5,6,8,17,18,19,21\},\{7,9,10,11,12,14,15,16\}\}. \end{multline}

Y hablando de percolación...

No tiene mucho que Hugo Duminil-Copan, que ganó la medalla Fields en 2022, escribió un ensayo muy bueno en donde explica por qué decidió que no quiere que sus ideas estén contaminadas con IA. Mencionó, en particular, la llamada conjetura $\theta(p_{c})=0$, que dice que para la percolación en la retícula entera $d$-dimensional no se forma el racimo infinito para la probabilidad crítica $p_{c}$. Dicho de forma bastante imprecisa: si se va filtrando algo que va manchando los puntos de la retícula, avanzando por vasos que con cierta probabilidad están abiertos, hay una cierta probabilidad crítica a partir de la cual se forma una mancha infinita. La conjetura dice que justo cuando se tiene la probabilidad crítica aún no se forma la mancha infinita.

En fin, Duminil-Copin esperaba que dicha conjetura no cayese por medios robóticos. Pero resulta que en 2024 Gady Kozma y Shahaf Nitzan demostraron cómo reducir $\theta(p_{c})=0$ a otra que le pusieron la número 3 en su artículo, y hace unos días Justin Lieder con Claude lograron darle matarili a la misma.

Yo no diría que fue una "victoria" "limpia" de la máquina. Pero realmente entiendo el sentir de Duminil-Copin, en tanto que no hubo oportunidad de tener una mejor perspectiva de las conjeturas de Kozma y Nitzan (porque parece que cayeron todas las de su escrito señero). Y espero que pronto algún otro matemático logre encontrar una demostración más simple, elegante o iluminadora.