Percolation Routes for Mediocre Mathematicians

Cuando escribí mis comentarios a la apología de Hardy con motivo del estreno de «El hombre que conoció el infinito», atravesaba por una pequeña crisis, en tanto que me sentía atrapado en lo que yo pensaba que era un entorno hostil a la matemática. Tenía la certeza de que ni siquiera podría hacer la «lucha dignificatoria» pero inútil para tratar de obtener la medalla Fields (o algún premio de valía, vaya).

Y los tuve que revisitar porque alguien escribió un «ensayo» (que más bien lo veo como un berrinche) llamado «No Country for Mediocre Mathematicians». En esencia dice que, como los robots pueden estar haciendo matemática todo el tiempo y obviamente pueden descubrir algo bastante sorprendente (por simple probabilidad e insistencia), entonces se siente un desplazamiento de los «matemáticos mediocres», pues justamente en esa «mediocridad» hallan refugio los que no pueden ser Carl Friedrich Gauss o Terence Tao. Es cierto que la IA hará más difícil conseguir una plaza «decente» (ya no digamos buena) en EE. UU., de modo similar al hecho de que está estrechando la brecha de ingreso para los desarrolladores de software. Pero esta tendencia ya estaba presente antes, y muy probablemente habría sido igual de difícil hoy aunque los modelos grandes de lenguaje no hubiesen sido inventados todavía, como puede uno comprobar si se analizan las tendencias en MathSciNet® (como yo ya he hecho). La productividad humana no puede brincar muy rápido, pero la exigencia del «mercado» sube justamente por la acumulación: cuando ya muchos han subido el Everest (o incluso picos más modestos), empieza a hacer falta subir el Olimpo en Marte para realmente destacar. Pero el amor real por la matemática supera estos escollos, y ahí están los ejemplos de Gilles Personne, Yitang Zhang o Roberto Frucht, nada más por nombrar algunos que me vienen a la cabeza.

Además, diez años después me descubro en una posición a la que no pensaba que podría llegar algún día. A la fecha más que cuadrupliqué mis artículos registrados en MathSciNet®, y pude tocar una obra de Antonio de Cabezón en la guitarra, en el aula Antonio de Cabezón del Real Conservatorio Superior de Música de Madrid, en mi conferencia plenaria ante los miembros de la Sociedad para la Matemática y la Computación en la Música, donde expuse el contenido del que considero mi mejor artículo publicado hasta la fecha, sobre el contrapunto con consonancias místicas en la Sonata No. 5 para piano de Alexander Scriabin.

No soy, y tal vez nunca llegue a ser, de la clase de Bradman. Pero, mientras viva, no cejaré en tratar de aproximarme. Espero en otros diez años poder decir que pude someter a las IA o que mi batalla contra las mismas fue épica. Y, con ello, dejo mis anotaciones finales a Hardy una década después.

7. La cuestión de la «ambición» en Hardy es peculiar. Creo que tiene en mente aquella como la del futbolista: por supuesto que disfruta el juego, pero la razón para dedicarse a ello es ganar una copa, y entre mayor el rango de la misma, mejor.

No dudo que haya matemáticos que buscan esto: matar al dragón mayor de todos (si puede ser del calibre de la hipótesis de Riemann, tanto mejor). Pero también he leído que hay otro tipo de ambición: la de llegar a saber algo con cierta exclusividad. Como que hay un placer en saber que, hasta que es publicado un teorema en un artículo, uno es la única persona que lo sabe (o, por lo menos, que uno es parte del selecto club que lo descubrió o inventó). Yo diría que es parecida a la satisfacción de escribir una buena sonata o novela, de las que uno puede leer después y deleitarse, aunque en principio uno la conozca bien: por un momento uno contempla algo que no existía y ahora sí, y otros pueden apreciarlo. Hay algo mágico en ello.

8. En relación a la utilidad y las aplicaciones, mi área, la musicología matemática, es peculiar. Supuestamente sería una aplicación, pero es una a otro algo que es casi tan abstracto como la matemática misma. Por eso tenemos la fortuna de que, si creamos algo con otra estructura y que no tiene instanciación en un momento dado, muchas veces es posible materializarla en algún tipo de obra, y Tom Johnson quizá sea alguien que ejemplificó esto bastante bien. Algo cerca de ejemplificar un cruce más caprichoso de la barrera tal vez sea el de la correspondencia AdS/CFT, que ha tenido sus éxitos en el estudio de la materia condensada (particularmente en los metales extraños). Es decir: la teoría de cuerdas, partiendo de problemas muy concretos de la física, se volvió algo tan abstracto que para efectos prácticos es matemática; y, aún así, tuvo una especie de vindicación inesperada en la misma física, pero en una subdisciplina para la que definitivamente no fue diseñada.

9. En cuanto a la matemática «real» y la «trivial»... Supongo que la teoría de números que nos proporciona las escalas musicales es «real», pero da lugar a algo tan «trivial» como un hermoso madrigal, que la gente desea escuchar porque la diversión o el deleite son necesarios y bastante perceptibles. Quizá por eso Hardy subestimó groseramente la aplicabilidad de todo tipo de matemática, desde la teoría de grupos al estilo de Rejewski hasta los espacios de Hardy empleados en la teoría de control, por no hablar del principio de Hardy-Weinberg, que ayuda a los médicos a identificar genes asociados a enfermedades. No obstante, cabe afirmar que esto respalda su idea de que es la técnica, que es algo más bien algo puro, la verdadera responsable.

Quisiera cerrar estas apostillas con los ejemplos de Leopold Vietoris y Joan Birman. Vietoris ya se había inmortalizado con la sucesión de Mayer-Vietoris que descubrió junto con Walther Mayer en 1930, entre otras cosas. Sin embargo en 1958, muy cerca de jubilarse, empezó a trabajar en sumas trigonométricas. Tenía 67 años en ese momento, y volvió al problema hasta cumplir los 103 años de edad, cuando publicó su último artículo. Lo que obtuvo no es un resultado tan cualquiera: es equivalente a una cierta propiedad de estabilidad de una cierta función holomorfa y además generaliza dos desigualdades (de Fejér-Jackson y de Young). ¿Por qué regresaría más de 30 años después a investigar algo? Pues por eso: por saber.

Y ni qué decir de Joan Birman. En 2026, a sus 99 años, logró completar una demostración para un caso que estaba abierto (los demás habían sido despachados en 1999) en ciertos problemas sobre grupos de trenzas. Y el proyecto había empezado cuando ella tenía 92 años. Lo que es más: ya lo habían intentado resolver con IA, infructuosamente. Encima, ella no era algo semejante a un wrangler en los tripos matemáticos de Cambridge: se doctoró a los 41. Creo que no hay mucho más qué agregar sobre si se les pueden ocurrir ideas a los matemáticos a edades avanzadas o con un hándicap muy severo.

¿Andando el último paso del viaje de mil kilómetros, eh?

No sé si algún matemático se ha tomado la molestia de evaluar lo de los diez "avances" que tan generosamente una compañía de IA publicó el primero del mes corriente. Por principio de cuentas, vale señalar que la antigüedad de un problema es una aproximación imperfecta de la distancia conceptual que quedaba por recorrer cuando intervino la máquina en su solución. Quizá una mejor sea los "toquens" requeridos, pero la verdad no sé. También en cuanto al precio de dos mil dólares por solución es, como dijo Ksenia Se, "lo de un boleto ganador", y no sabemos cuántas veces se giró la ruleta. En fin, procedo.

Para el problema de empaquetamiento de esferas, contrario a lo que dice el anuncio de la compañía, no da nuevas cotas sobre la densidad, sino la tasa de decaimiento exponencial exacta del programa lineal de Cohn-Elkies. Los andamios para lograr tal cosa, por lo que se entiende, estaban bastante bien levantados.

En el caso de los códigos binarios y esféricos, sí se introduce una idea que parece original: asociar a cada palabra del código un subespacio móvil, en lugar de utilizar únicamente los certificados puntuales de los métodos anteriores.

Francesco Fournier-Facio hizo notar que sí existía trabajo previo sobre grupos no sóficos y que, de hecho, lo generado por el robot se basa crucialmente en trabajos de Kun y de Kun–Thom. Un detalle importante es que parte de este material no había sido publicado en revistas arbitradas y parece contener ciertos fallos. No parecen ser fatales para el resultado, pero la máquina usó esas fuentes sin una auditoría que para un humano sería obvia, según parece.

En el caso de la rigidez de Connes vale mencionar que existe un trabajo independiente y concurrente (aunque también asistido por GPT-5.6) que propone una construcción diferente. La existencia de dos construcciones aumenta el interés del anuncio, pero no sustituye la revisión especializada de ninguna de ellas.

El permanente se define como el determinante, pero sin los signos alternantes. Es un problema de laboratorio importante en complejidad computacional, pues es insignia de la dificultad de diversos problemas de conteo. Sin embargo, la mejora obtenida por la máquina sigue siendo muy pequeña frente a lo que sería necesario para resolver los grandes problemas asociados. Su posible importancia reside más en la técnica utilizada que en haber reducido apreciablemente la distancia hasta ellos.

La arquitectura fundamental del argumento sobre repetición paralela cuántica se debe en gran medida a Yuen, y así lo reconoce el propio escrito. La mayor parte del camino estaba ya pavimentada y el nuevo resultado parece haber aislado y resuelto el cuello de botella cuantitativo que faltaba. El mismo Yuen describió así el artículo, y comparto su impresión respecto de situaciones similares:

El texto está redactado al estilo típico de muchas demostraciones generadas por ChatGPT: se extiende largamente en los preliminares estándar, pero luego introduce con total naturalidad lo que considero el núcleo técnico del resultado: la transformación/dilatación de Uhlmann específica utilizada para "alinear" todos los estados. Los aspectos técnicamente interesantes están enterrados en la sección 4, y se presentan sin mayor barullo ni fanfarria, como si fueran la opción más evidente. Por lo general, cuando leo un artículo así, me vuelvo inmediatamente receloso. ¿Qué intentan ocultar al no exponer las ideas nuevas de manera destacada y directa desde el principio? Ojalá OpenAI hubiera dedicado un par de invocaciones más a pulir la redacción (no he tenido ocasión de revisar los otros textos, así que no puedo opinar sobre su calidad). Sí, existe una demostración en Lean. Pero eso no me aporta ninguna comprensión real. Supongo que eso es algo que solo llegará con el tiempo.

Respecto del problema del vector euclidiano más cercano, también parece haber una idea interesante, como en el caso de los códigos binarios. Se utilizan códigos de Reed–Solomon para producir una separación cuantitativa entre las instancias correspondientes a fórmulas satisfactibles y las correspondientes a fórmulas insatisfactibles. Ambas ideas producen, sin embargo, la impresión de haber surgido mediante una búsqueda extraordinariamente paciente de la construcción adecuada, algo que recuerda a la manera en que Golay llegó a descubrir su código.

En la conjetura de volumen de Ehrhart encontramos un trasplante de la maquinaria de Berman, Berndtsson y Fujita al estudio de cuerpos convexos. El paso puede ser relativamente no trivial, pero esta clase de trasplante entre literaturas es precisamente una de las capacidades que cabe esperar de un modelo entrenado sobre una gran parte de la bibliografía matemática, una vez identificado el puente correcto. La cuestión crucial no es solamente si puede completar el trasplante una vez encontrado, sino qué procedimiento le permite localizar esos puentes y cuántos intentos fallidos fueron necesarios.

En relación con los números de Ramsey, el propio artículo reconoce que la construcción mediante matrices saturadas no es nueva; lo nuevo es su aplicación al problema. Algo semejante ocurre con la conjetura de compacidad, donde la construcción toma como modelo el trabajo de Bukh y Conlon y utiliza objetos extremales ya presentes en la literatura. Para la conjetura de degeneración, la construcción parece más original, aunque se inspira en el trabajo de Grzesik, Janzer y Nagy.

En general, en una colección tan extensa y heterogénea como la de los problemas de Erdős, es razonable esperar que una parte apreciable de las afirmaciones tentativas resulte falsa. Los sistemas actuales parecen particularmente bien perfilados para buscar contraejemplos explícitos cuando el espacio de construcciones está muy estructurado y la verificación del candidato es relativamente local.

Esto quizá constituye una capacidad matemática genuina, pero no debe confundirse con la resolución autónoma de problemas desde primeros principios. Incluso en la introducción de ideas "nuevas" (lo cual habrá que ver porque, efectivamente, el robot puede ser olvidadizo con dar honor a quien honor merece) y después de algún tipo de curaduría, solamente en dos de diez casos podría admitirse que se dieron. Pero prácticamente siempre la literatura humana ya ha delimitado el terreno, construido la maquinaria y señalado la clase de objetos entre los cuales debe buscarse. La narrativa publicitaria tiende a atribuir al modelo no solo el último paso, sino también buena parte de la distancia intelectual recorrida previamente por la comunidad matemática.

Comparando esto con lo del problema de Erdös 1196, no veo más profundidad, sino mayor alcance. Esto parece ser resultado de cómo arrean al "loro estocástico": según entiendo (pero me lo explicó una IA, lo siento), las riendas que se le ponen le mantienen los "ojos" abiertos y son también anteojeras para que no se desvíen, mientras que otros mecanismos hacen que lo intenten una y otra vez. Dada la velocidad a la que ya operan, ahora es viable obtener resultados haciendo tientos "a lo puro güey". En mi experiencia personal, la tasa de éxito es grande en los problemas que conozco bien, y prácticamente cero en otros.