Primo por decimocuarta vez

Llego a los 43 ahogado en el tsunami de la IA contemporánea y preocupado por un apocalipsis matemático, con la cereza del pastel del robo en despoblado de OpenAI de una solución del problema de Navier-Stokes. Pero no hay que rendirse. El Homo sapiens es un animal que no se rinde.

Y, bueno, el $43$ es tal que \[ \left(\frac{43-1}{2}\right)! = 21! \equiv -1 \pmod{43}, \] y no se sabe si esto ocurre infinitas veces e infinitas veces también es 1 para otros primos. Si llego a algo en esto, entonces ojalá no se lo robe la IA. Si es que llegamos al 2030.

Por otra parte, el $43$ es la constante mínima de los dados mágicos de Honacker: en un dado estándar a cada punto se le asocia un natural mayor a $0$ distinto, y debe ocurrir que la suma de las caras sea la misma. La constante $C$ es la que está en la cara de un punto. Quedan $\frac{6\cdot 7}{2}-1 = 20$ puntos para asignarles naturales, y si fueran consecutivos entonces sumarían $\frac{20\cdot 21}{2} = 210$. Como hay $5$ caras en las cuales repartirlos, entonces \[ C\geq \frac{210}{5} = 42. \]

Sin embargo, en la cara de dos puntos tenemos también la suma $C$ y quedarían $18$ puntos que considerar, que por lo menos deben sumar $\frac{18\cdot 19}{2} = 171$. O sea, $5C\geq C+171$, de donde $C\geq \frac{171}{4}=42{.}75$. Es decir, $C\geq 43$. Y en la página Zoo of Numbers se ve que se puede asignar \begin{multline} \{\{43\},\{21,22\},\{8,16,19\},\{5,9,12,17\},\\ \{3,4,7,14,15\},\{1,2,6,10,11,13\}\}, \end{multline} así que sí es $43$ la menor constante.

Por otra parte el octaedro es uno de mis poliedros favoritos (por casi obvias razones), y ahí se ponen los puntos para que en caras opuestas sumen $9$. Ahora la constante $C$ se tendría que repartir en principio entre $\frac{8\cdot 9}{2}-1 =35$ puntos, por lo que si fueran consecutivos y se distribuyeran entre las restantes $7$ caras, nos dice que \[ C\geq \frac{1}{7}\frac{35\cdot 36}{2} = 90. \]

Siendo que la cara de dos puntos también suma $C$, y restaría asignar $33$ naturales a las restantes $6$ caras, entonces \[ 7C\geq C+\frac{33\cdot 34}{2} = C+561 \] o sea \[ C \geq \frac{561}{6} = 93{.}5. \]

Y resulta que sí hay una asignación con constante $94$ \begin{multline} \{\{94\},\{48,46\}, \{26,32,36\}, \{4,29,30,31\},\\ \{1,13,25,27,28\}, \{2,3,20,22,23,24\},\\ \{5,6,8,17,18,19,21\},\{7,9,10,11,12,14,15,16\}\}. \end{multline}