lunes, 9 de septiembre de 2019

Práctico cuadrado triangular (!)

Pues sí llegué a práctico por catorceava vez. A triangular, por novena vez. Y a cuadrado, por séptima vez (el cero, para mí, sí es natural). Me parece que no es tan común tener las tres propiedades al mismo tiempo. Con las listas de la OEIS calculo que los primeros números triangulares y prácticos son \[ 1,6,28,36,66,78,120,210,\ldots. \] Ahora bien: por un teorema de Euler, todos los números perfectos pares son de la forma \[ \frac{2^{n}(2^{n}-1)}{2}, \] así que también son triangulares, lo mismo que prácticos. La lista de los triangulares prácticos no aparece en la OEIS pero no sé si sea de suficiente interés. Resulta que Euler también (¡quién más!) determinó una fórmula para los números triangulares cuadrados \[ N_{k} = \left(\frac{(3+2\sqrt{2})^{k}-(3-2\sqrt{2})^{k}}{4\sqrt{2}}\right)^{2} \] y por ella sospecho que es difícil que haya otro cuadrado triangular práctico, pero no lo sé. He hecho una búsqueda rápida en la literatura pero he encontrado nada hasta ahora. Seguro JHS me sacará de mi ignorancia en cualquier momento... [En efecto, resulta que hay algunos más; echen un ojo a los comentarios].

Para el pastel pedí una decoración de una trenza lemniscática. De hecho, para el monoide generado por $\Sigma = \{\sigma_{1},\ldots,\sigma_{7}\}$ con las relaciones \[ \sigma_{i}\sigma_{j} = \sigma_{j}\sigma_{i},\quad \text{para } |i-j|\geq 2 \] y \[ \sigma_{i}\sigma_{i+1}\sigma_{i} = \sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1}\quad\text{para }1\leq i\leq n-1, \] que es el llamado monoide positivo de trenza de $8$ hebras, resulta (según a OEIS) que hay exactamente $36$ palabras de longitud $3$.

2 comentarios:

José Hdz. Stgo. dijo...

Octavio:

Con cosas que se saben de triangulares y cuadrados y aplicando un criterio para prácticos que en la red atribuyen a B. M. Stewart o a W. Sierpinski (o bien buscando en las tablas de la OEIS) es fácil dar otros ejemplos de prácticos cuadrados triangulares:

41616, 55420693056, ...

Obviamente, hay otras cuestiones que se pueden plantear con respecto a los números de esa lista... ¡Siempre hay más preguntas que respuestas!

Aprovecho la ocasión para enviarte mis más cordiales felicitaciones por el día de tu cumpleaños.

Afectuosamente,

José Hdz. Stgo.

Octavio dijo...

¡Gracias por el obsequio, mi amigo!