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domingo, 30 de junio de 2019

Demostración de la fórmula de Fàa di Bruno

Vale, pues voy a seguir muy de cerca a (Johnson, 2002) aquí. Cada partición de {0,,m} se puede obtener de forma única al pegar a m a alguna partición de {0,,m1}, y hay de dos sopas:
  1. Se agrega como un nuevo bloque {m}, y así se incrementa el número de bloques en una unidad respecto a la partición inicial. Esto corresponde a derivar a g(k)(f(t)) con respecto a t para obtener g(k+1)(f(t))f(t).
  2. Se elige uno de los bloques de la partición y se le agrega m. Digamos que la cardinalidad del bloque es i; entonces el número de bloques de cardinalidad i se reduce en una unidad, y el número de bloques de cardinalidad i+1 aumenta en 1. Aún así, el número total de bloques permanece igual. Esto corresponde a derivar a (f(i)(t))bi respecto a t para obtener bi(f(i)(t))bi1f(i+1)(t), donde bi es el número de bloques de tamaño i.
Por ejemplo, recordemos que g(f(t))f está asociado al bloque \{0,1\}, y al derivar respecto a t obtenemos g''(f(t))f'(t)f''(t)+g'(f(t))f'''(t), cuyos sumandos están asociados, respectivamente, a \{\{2\},\{0,1\}\} (un bloque de cardinalidad 1 y un bloque de cardinalidad 2) y \{0,1,2\} (un solo bloque de cardinalidad 3). Naturalmente, van saliendo más sumandos que toman en cuenta todas las particiones posibles cuando se realizan todos los detalles de la derivación.

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