Una pregunta tonta

Pensando en un viejo problema, me pregunté: "¿Cuál es la probabilidad de que una permutación aleatoria de $2k$ objetos mande por lo menos a uno de un subconjunto $A$ de ellos a $\complement A$, donde $|A|=k$?".

Digamos que $U_{i}$ es el evento "el $i$-ésimo elemento de $A$ es enviado a $\complement A$". Lo que deseaba calcular es $P(\cup_{i=1}^{k} U_{i})$. Se puede aplicar el principio de inclusión y exclusión sumando las probabilidades de $U_{i}$, luego restando las de todos los pares $U_{i}\cap U_{j}$ (que es la probabilidad de que un par de elementos de $A$ caiga afuera de $A$ bajo la permutación), después sumando las de todas las triplas, y así sucesivamente.

Para este fin, primero observamos que la suma de las probabilidades de que "se salgan" las $j$-tuplas es \[ \sum_{a\in\binom{A}{j}}\frac{\binom{k}{j}}{\binom{2k}{j}}=\frac{\binom{k}{j}^{2}}{\binom{2k}{j}}, \] pues la probabilidad de que una $j$-tupla $a$ vaya a $\complement A$ es el cociente de las $j$-tuplas de $\complement A$ sobre el total de $j$-tuplas disponibles.

Ahora sí: \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{k} U_{i}\right) = \sum_{j=1}^{k}(-1)^{j-1}\frac{\binom{k}{j}^{2}}{\binom{2k}{j}}, \] lo cual se ve un poco intimidante. Pero, vaya, se supone que ya existen métodos automáticos para calcular estas cosas. Le pregunté a Wolfram Alpha primero, sin obtener un resultado del todo satisfactorio (¿es así de "complicado"?). Después decidí ir con el buen Maxima, para que me calculara algunos de los términos de la sucesión de probabilidades, y obtuve:

$k$	$P$
$3$	$\frac{19}{20}$
$4$	$\frac{69}{70}$
$5$	$\frac{251}{252}$
$6$	$\frac{923}{924}$
$7$	$\frac{3431}{3432}$

Satisfactoriamente regular, ¿cierto? Los hay que ya habrán visto que es esto (y desde hace rato, quizá), pero aguántenme un segundito. De aquí fuí con la OEIS y encontré que los denominadores de estas fracciones son los coeficientes binomiales centrales.

¡Claro! (y va la palmada en la frente): la probabilidad de que una elección de $k$ elementos entre $2k$ no vaya a sí misma bajo la permutación es obviamente la de que su imagen sea cualquiera de los otros $k$-subconjuntos disponibles: \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{k} U_{i}\right) = \sum_{j=1}^{k}(-1)^{j-1}\frac{\binom{k}{j}^{2}}{\binom{2k}{j}} = \frac{\binom{2k}{k}-1}{\binom{2k}{k}}. \] Y eso es lo que significa el resultado de Wolfram Alpha. Es por cosas como ésta que me gusta tanto la Matemática.