Pensaba en la demostración por inducción de la fórmula cerrada para calcular
\[
\sum_{k=1}^{n}k.
\]
Supongamos que se nos presenta la sospecha de que debe ser un polinomio cuadrático $a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}$.
¿Qué tal si lo tomamos por cierto para $n-1$, y vemos cómo deben acomodarse las cosas para que sea cierto para $n$? Vale: debe satisfacerse
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}k &= \sum_{k=1}^{n-1}k+n \\
&= a_{2}(n-1)^{2}+a_{1}(n-1)+a_{0}+n\\
&= a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0},
\end{align*}
de donde se infiere que
\begin{align*}
-2a_{2}+a_{1}+1&=a_{1},\\
a_{2}-a_{1}+a_{0}&=a_{0},
\end{align*}
y por ello que $a_{2}=\frac{1}{2}$ y que $a_{1}=\frac{1}{2}$. ¿Qué pasa con la $a_{0}$? No queda determinada, excepto porque tiene que cumplirse el caso base, lo que obliga a que $a_{0}=0$.
Listo, la fórmula y la demostración de un solo golpe. Creo que algo así es lo que propone Zeilberger como el "polynomische Ansätze", y que es un poco mejor que solamente ajustar algunos resultados de la suma con un polinomio.
No hay comentarios.:
Publicar un comentario