Una sobre inducción

Pensaba en la demostración por inducción de la fórmula cerrada para calcular $$\sum_{k=1}^{n}k.$$ Supongamos que se nos presenta la sospecha de que debe ser un polinomio cuadrático $a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}$.

¿Qué tal si lo tomamos por cierto para $n-1$, y vemos cómo deben acomodarse las cosas para que sea cierto para $n$? Vale: debe satisfacerse $$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}k &= \sum_{k=1}^{n-1}k+n \\ &= a_{2}(n-1)^{2}+a_{1}(n-1)+a_{0}+n\\ &= a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}, \end{align*}$$ de donde se infiere que $$\begin{align*} -2a_{2}+a_{1}+1&=a_{1},\\ a_{2}-a_{1}+a_{0}&=a_{0}, \end{align*}$$ y por ello que $a_{2}=\frac{1}{2}$ y que $a_{1}=\frac{1}{2}$. ¿Qué pasa con la $a_{0}$? No queda determinada, excepto porque tiene que cumplirse el caso base, lo que obliga a que $a_{0}=0$.

Listo, la fórmula y la demostración de un solo golpe. Creo que algo así es lo que propone Zeilberger como el "polynomische Ansätze", y que es un poco mejor que solamente ajustar algunos resultados de la suma con un polinomio.