Una de Tao por las que van de arena

A continuación, mi traducción de la excelente nota que publicó hoy Terence Tao en su bitácora, donde resume de un modo casi conmovedor muchas ideas de la Geometría Algebraica que yo no había asimilado por completo. Ojalá la disfruten tanto como yo.

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Una observación trivial sobre los esquemas

por Terence Tao

En la geometría algebraica clásica, el objeto central de estudio es una variedad algebraica $V$ sobre un cuerpo $k$ (y la teoría funciona mejor cuando este cuerpo $k$ es algebraicamente cerrado). Uno puede hablar sobre variedades afines o proyectivas; para los fines de esta discusión, restrinjamos nuestra atención a variedades afines. Tales variedades pueden ser vistas de al menos cuatro maneras diferentes:

• (Geometría algebraica) A través el conjunto $V(k)$ de puntos (sobre $k$) en esa variedad.
• (Álgebra conmutativa) A través del campo de funciones racionales $k(V)$ sobre esa variedad, o el subanillo $k[V]$ de funciones polinomiales en ese campo.
• (Dual de la geometría algebraica) A través de una colección de polinomios $P_{1},\ldots,P_{m}$ que perfilan a esa variedad.
• (Dual del álgebra conmutativa) A través del ideal $I(V)$ de polinomios que se anula sobre esa variedad.

Por ejemplo: el círculo unitario sobre los reales puede pensarse en cada una de estas cuatro maneras distintas:

• (Geometría algebraica) El conjunto de puntos $\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}=1\}$.
• (Álgebra conmutativa) El cociente $\mathbb{R}[x,y]/\langle x^{2}+y^{2}-1\rangle$ del anillo de polinomios $\mathbb{R}[x,y]$ sobre el ideal generado por $x^{2}+y^{2}-1$ (o, equivalentemente, el álgebra generada por $x,y$ sujeta a la restricción $x^{2}+y^{2}=1$), o el cuerpo de fracciones de ese cociente.
• (Dual de la geometría algebraica) El polinomio $x^{2}+y^{2}-1$.
• (Dual del álgebra conmutativa) El ideal $\langle x^{2}+y^{2}-1\rangle$ generado por $x^{2}+y^{2}-1$.

Los cuatro puntos de vista son casi equivalentes entre sí (particularmente cuando el cuerpo subyacente $k$ es algebraicamente cerrado), pues hay formas obvias de pasar de uno a otro. Por ejemplo, empezando con el conjunto de puntos de una variedad, uno puede formar el espacio de funciones racionales sobre dicha variedad, o el ideal de polinomios que se anula sobre la misma. Dado un conjunto de polinomios, uno puede perfilar los puntos donde se anula, o fomar el ideal que generan. Dado un ideal de un anillo de polinomios, uno puede sacar el cociente del anillo respecto al ideal y entonces formar el cuerpo de fracciones. Finalmente, dado un anillo de polinomios sobre una variedad, uno puede tomar su espectro (el espacio de ideales primos sobre el anillo) para recuperar el conjunto de puntos sobre esa variedad (junto con la topología de Zariski de dicha variedad).

Debido a las conexiones entre estos puntos de vista, hay extensivos "diccionarios" (muy peculiarmente el diccionario entre ideales y variedades) que convierte los conceptos básicos de una de estas cuatro perspectivas en cualquiera de las otras tres. Por ejemplo, pasar de una variedad a una subvariedad encoge el conujnto de puntos y el campo de funciones, pero agranda el conjunto de polinomios necesarios para perfilar la variedad, al igual que su ideal asociado. Tomar la intersección o unión de dos variedades corresponde a sumar o multiplicar los dos ideales respectivamente. La dimensión de una variedad algebraica (irreducible) puede definirse como el grado de transcendencia del campo de funciones, la longitud máxima de cadenas de subvariedades, o la dimensión de Krull del anillo de polinomios. Y así sucesiva y regresivamente. Gracias a estos diccionarios, ahora es un lugar común pensar en las álgebras conmutativas geométricamente o, recíprocamente, acercarse a la geometría algebraica desde la perspectiva del álgebra abstracta. Hay, sin embargo, algunos defectos bien conocidos de estos diccionarios, al menos cuando se ven desde el asiento clásico de las variedades algebraicas. El principal es que dos ideales diferentes (o dos conjuntos no equivalentes de polinomios) pueden perfilar el mismo conjunto de puntos, particularmente si el cuerpo subyacente $k$ no es algebraicamente cerrado.

Por ejemplo, si el cuerpo subyacente es la recta real $\mathbb{R}$, entonces las ecuaciones polinomiales $x^{2}+1=0$ y $1=0$ perfilan el mismo conjunto de puntos, a saber, el conjunto vacío, pero el ideal generado por $x^{2}+1$ en $\mathbb{R}[x]$ ciertamente es distinto del ideal generado por $1$. Este ejemplo particular no funciona en un cuerpo algebraicamente cerrado como $\mathbb{C}$, pero en ese caso las ecuaciones polinomiales $x^{2}=0$ y $x=0$ también perfilan un mismo conjunto de puntos (esto es, el origen), pero nuevamente $x^{2}$ y $x$ generan ideales diferentes en $\mathbb{C}[x]$. Gracias al teorema de los ceros de Hilbert, podemos dar vuelta a este problema (en el caso de que $k$ sea algebraicamente cerrado) al siempre pasar de un ideal a su radical, pero esto causa que muchos aspectos de la teoría de variedades algebraicas se hagan más complicados cuando las variedades en cuestión presentan singularidades o multiplicidades, como puede verse desde un principio con el simple ejemplo del teorema de Bézout.

Hoy en día, la manera corriente de tratar con estos asuntos es reemplazar la noción de variedad algebraica con la noción más general de esquema. A grandes rasgos, la manera en la que se definen los esquemas es enfocándose en la perspectiva del álgebra conmutativa como la primordial, y permirtirle al cuerpo base $k$ no ser algebraicamente cerrado, o ser solamente un anillo conmutativo en lugar de un cuerpo. (Uno puede considerar incluso anillos no conmutativos, lo que conduce a la geometría no conmutativa, pero no discutiremos esa extensión de la teoría de esquemas con mayor detalle aquí). Una vez que se generaliza a estos anillos más abstractos, la noción de una función racional se hace más complicada (uno tiene que trabajar localmente en vez de globalmente, recortando los puntos donde la función se hace singular), pero como una primera aproximación uno puede pensar en un esquema como que es básicamente el mismo concepto que un anillo conmutativo. (De hecho, debido a la necesidad de localizar, un esquema se define como una gavilla de anillos en lugar de un simple anillo, pero estas minucias no serán importantes para los propósitos de esta discusión). Todos los otros conceptos de la geometría algebraica que pudieran haberse definido con anterioridad usando una de las otras tres perspectivas, se redefinen en términos de este anillo (o gavilla de anillos) con el fin de generalizarlas a los esquemas.

Así, por ejemplo, en la teoría de esquemas los anillos $\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}\rangle$ y $\mathbb{R}[x]/\langle x\rangle$ describen diferentes esquemas; desde la perspectiva clásica, perfilan los mismos puntos, a saber, el punto $\{0\}$, pero el primer esquema hace a este punto "más gordo" que el segundo, al proporcionarle un grado (o multiplicidad) de $2$ en vez de $1$.

Por esto, pareciera que el vínculo entre la perspectiva del álgebra conmutativa y la de la geometría algebraica no es todavía lo suficientemente perfecta en la teoría de esquemas, a menos que uno esté dispuesto a empezar a "engordar" varias variedades [N. T.: ¡Valga la expresión!] para modelar correctamente la multiplicidad o la singularidad. Pero -y ésta es la observación trivial que quería hacer en esta entrada de la bitácora- uno puede recuperar una conexión muy estrecha entre ambas perspectivas en tanto uno permita la libertad de extender arbitrariamente el anillo base subyacente [sic].

He aquí lo que quiero decir con esto. Considérese la geometría algebraica clásica sobre algún anillo conmutativo $R$ (que no sea necesariamente un cuerpo). Cualquier conjunto de polinomios $P_{1},\ldots, P_{m}\in R[x_{1},\ldots,x_{d}]$ en $d$ variables indeterminadas $x_{1},\ldots,x_{d}$ con coeficientes en $R$ determina, por un lado, al ideal \begin{align*} I&:=\langle P_{1},\ldots,P_{m}\rangle\\ &= \{P_{1}Q{1}+\ldots+P_{m}Q_{m}:Q_{1},\ldots,Q_{m}\in R[x_{1},\ldots,x_{d}] \end{align*} en $R[x_{1},\ldots,x_{d}]$, y por otro perfila el conjunto de ceros \begin{multline*} V[R] := \{(y_{1},\ldots,y_{d}\in R^{d}:\\ P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d}=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d}) = 0\}, \end{multline*} puesto que cada uno de los polinomios $P_{1},\ldots,P_{m}$ claramente tiene sentido como una función de $R^{d}$ a $R$. Por supuesto, uno también puede escribir $V[R]$ en términos de $I$: \begin{equation*} V[R] := \{y_{1},\ldots,y_{d})\in R^{d}:P(y_{1},\ldots,y_{d})=0\text{ para todo } P\in I\}. \end{equation*}
Así, el ideal $I$ determina unívocamente al conjunto de ceros $V[R]$, y enfatizaremos esto escribiendo $V[R]$ como $V_{I}[R]$. Como ilustran los contrajemplos previos, el recíproco no es verdadero. No obstante, siempre que tengamos una extensión $R'$ del anillo $R$ (es dcir, un anillo conmutativo $R'$ que contenga a $R$ como subanillo), entonces podemos ver a los polinomios $P_{1},\ldots, P_{m}$ como funciones de $(R')^{d}$ a $R'$, de modo que también se define el conjunto de ceros para todas las extensiones: \begin{multline*} V[R']:=\{(y_{1},\ldots,y_{d}\}\in (R')^{d}:\\ P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d})=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=0\}. \end{multline*}
Como antes, $V[R']$ está determinada por el ideal $I$: \begin{multline*} V[R']=V_{I}[R']=\{(y_{1},\ldots,y_{d}\}\in (R')^{d}:\\ P(y_{1},\ldots,y_{d})=0\text{ para todo } P\in I\}. \end{multline*}
Una observación trivial es que, mientras el solo conjunto de ceros $V_{I}[R]$ es insuficiente para recuperar a $I$, la colección de conjuntos de ceros $V_{I}[R']$ para todas las extensiones $R'$ de $R$ (o, más precisamente, a la función de asignación $R'\mapsto V_{I}[R']$, conocida como el funtor de puntos de $V_{I}$) basta para recuperar a $I$, siempre y cuando al menos uno de los conjuntos de ceros, digamos $V_{I}[R_{0}]$, no sea vacío. De hecho, supongamos que tenemos dos ideales $I,I'$ de $R[x_{1},\ldots,x_{d}]$ que perfilan el mismo conjunto no vacío de ceros para todas las extensiones $R'$ de $R$. Entonces \[ V_{I}[R'] = V_{I'}[R'] \neq \emptyset \] para todas las extensiones $R'$ de $R$. Aplicamos esto con la extensión $R'$ de $R$ dada por $R':=R_{0}[x_{1},\ldots,x_{d}]/I$. Nótese que el embebimiento de $R$ en $R_{0}[x_{1},\ldots,x_{d}]/I$ es inyectivo, pues de lo contrario $I$ perfilaría al conjunto vacío como conjunto de ceros sobre $R_{0}$, así que $R'$ es ciertamente una extensión de $R$. Tautológicamente, el punto $(x_{1}\bmod I,\ldots, x_{d}\bmod I)$ cae en $V_{I}[R']$, y por lo tanto necesariamente cae en $V_{I'}[R']$ también. Desempacando lo que esto significa, concluimos que $P\in I$ siempre que $P\in I'$, lo que es lo mismo que $I'\subseteq I$. Por un argumento simétrico, también tenemos $I\subseteq I'$, por lo que $I=I'$, como se afirmaba. (Como se señalaba en los comentarios, este hecho (y su demostración) es esencialmente un caso particular del lema de Yoneda. La conexión es más estrecha si uno permite que $R'$ sea cualquier anillo con una función (no necesariamente inyectiva) de $R$ hacia él, en vez de una extensión de $R$, en cuyo caso uno puede eliminar la hipótesis de que $V_{I}[R_{0}]$ sea un conjunto no vacío para al menos un $R_{0}$, pero con la condición de que uno admita cocientes como $\mathbb{Z}/\langle 2\rangle$ o $\mathbb{Z}/\langle 3\rangle$ en su lugar, y entonces $V_{\langle 2\rangle}[R']$ y $V_{\langle 3\rangle}[R']$ ya no son necesariamente iguales).

Así, en tanto uno piense en una variedad o un esquema como perfilar puntos no solamente en el anillo o cuerpo base original, sino en todas las extensiones de ese anillo o cuerpo base, uno recupera una correspondencia exacta entre la perspectiva de la geometría algebraica y la del álgebra conmutativa. Esto es similar a la posición de la geometría algebracia clásica de ver a una variedad algebraica como definida simultáneamente sobre todos los campos que contienen los coeficientes de los polinomios que la definen, pero la crucial diferencia entre la teoría de esquemas y la geometría algebraica clásica es que uno permite las definiciones sobre anillos conmutativos, y no sólo sobre cuerpos. En particular, se necesita permitir extensiones a anillos que pueden contener elementos nilpotentes, pues de lo contrario no se podría distinguir entre un ideal y su radical.

Por supuesto, hay muchas maneras de extender un cuerpo en un anillo, pero como analista, una manera de hacerlo que es particularmente atractiva para mí es introducir un parámetro épsilon y trabajar módulo errores de $O(\epsilon)$. Para formalizar esto algebraicamente, digamos en el ánimo de ser concretos que el cuerpo base es la recta real $\mathbb{R}$. Considérese el anillo $\tilde{R}$ de las cantidades de valores reales $x=x_{\epsilon}$ que dependen del parámetro $\epsilon\geq 0$ (esto es, funciones de $\mathbb{R}^{+}$ a $\mathbb{R}$), que son localmente acotadas en el sentido de que $x$ está acotada siempre que $\epsilon$ esté acotada. (Uno puede, si lo desea, imponer sucesivas hipótesis de continuidad o suavidad sobre como $x$ depende de $\epsilon$, pero tal cosa no resulta ser relevante para la discusión que sigue. Los algebristas a menudo prefieren pensar en el anillo de series de Puiseux aquí en lugar de $\tilde{R}$, y los analistas no estándares prefieren en cambio usar los hiperreales, pero nuevamente esto no hace mucha diferencia para nuestros propósitos). Dentro de este anillo conmutativo, podemos formar el ideal de las cantidades $x=x_{\epsilon}$ que son de tamaño $O(\epsilon)$ conforme $\epsilon \to 0$, es decir, existe una cantidad $C>0$ independiente de $\epsilon$ tal que $|x|\leq C\epsilon$ para todos los $\epsilon$ lo suficientemente pequeños. Puede verificarse fácilmente que, efectivamente, esto es un ideal en $\tilde{R}$. Luego, formamos el anillo cociente $R':=\tilde{R}/I=\{x\bmod I:x\in\tilde{R}\}$. Nótese que $x=y\bmod I$ es equivalente al aserto $x=y+O(\epsilon)$, por lo que estamos traduciendo la noción de los analistas de "igual salvo por errores de $O(\epsilon)$" a términos algebraicos.

Claramente, $R'$ es un anillo conmutativo que extiende a $\mathbb{R}$. Por lo tanto, cualquier variedad algebraica \begin{multline*} V[\mathbb{R}]=\{(y_{1},\ldots,y_{d})\in \mathbb{R}^{d}:\\P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d})=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=0\} \end{multline*} definida sobre los reales $\mathbb{R}$ (de modo que los polinomios $P_{1},\ldots,P_{m}$ tienen coeficientes en $\mathbb{R}$), también están definidos sobre $R'$: \begin{multline*} V[R'] = \{(y_{1},\ldots, y_{d})\in (R')^{d}:\\ P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d})=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=0\}. \end{multline*} En un lenguaje que se asemeja más cercanamente al del análisis, tenemos \begin{multline*} V[R'] = \{(y_{1},\ldots,y_{d})\in\tilde{R}^{d}:\\P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d}),\ldots, P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=O(\epsilon)\} \bmod I^{d}. \end{multline*}
Vemos así que $V[R']$ es en un cierto sentido un "$\epsilon$-engordamiento" de $V[\mathbb{R}]$, y que por lo tanto es una manera de dar sentido riguroso a la intución de que los esquemas pueden "engordar" variedades. Por ejemplo, el esquema asociado al ideal $\langle x\rangle$, cuando se interpreta sobre $R'$, se convierte en una $O(\epsilon)$ vecindad del origen \[ V_{\langle x \rangle} [R'] = \{y\in \tilde{R}:y=O(\epsilon)\}\bmod I, \] pero el esquema asociado al ideal más pequeño $\langle x^{2}\rangle$, cuando se interpreta sobre $R'$, se convierte en una $O(\epsilon^{1/2})$-vecindad del origen, siendo así un punto mucho más "gordo": \begin{align*} V_{\langle x^{2}\rangle}[R'] &= \{y\in\tilde{R}:y^{2}=O(\epsilon)\} \bmod I \\ &= \{y\in \tilde{R}:y=O(\epsilon^{1/2})\}\bmod I. \end{align*}
Una vez introducido el épsilon de los analistas, uno puede ver claramente que $V_{\langle x^{2}\rangle}[R']$ viene de un esquema mayor que $V_{\langle x\rangle}[R']$, con menos polinomios que se anula en él; en particular, el polinomio $x$ se anula hasta un orden de $O(\epsilon)$ en $V_{\langle x\rangle}[R']$, pero no se anula hasta un orden $O(\epsilon)$ sobre $V_{\langle x^{2}\rangle} [R']$.

Trabajando con esta extensión de los analistas de $\mathbb{R}$, uno puede ya obtener una primera, razonable y buena aproximación del cómo se ven los esquemas sobre $\mathbb{R}$. Sin embargo, puesto que esta es solo una extensión de $\mathbb{R}$, y no una extensión de las "universales", no se pueden distinguir dos esquemas cualesquiera uno del otro, aunque se desempeña mejor que la geometría algebraica clásica. Por ejemplo, considérese el esquema perfilado por los polinomios $x^{2},y^{2}$ en dos dimensiones. Sobre $R'$, éste es \begin{multline*} V_{\langle x^{2},y^{2}\rangle}[R'] = \{(x,y)\in\tilde{R}^{2}:x^{2},y^{2}=O(\epsilon)\}\bmod I^{2} \\= \{(x,y)\in\tilde{R}^{2}:x,y=O(\epsilon^{1/2})\}\bmod I^{2}. \end{multline*}
Nótese que el polinomio $xy$ se anula hasta un orden $O(\epsilon)$ en este conjunto, pero $xy$ no cae en el ideal $\langle x^{2},y^{2}\rangle$. Equivalentemente, tenemos \[ V_{\langle x^{2},y^{2}\rangle}[R'] = V_{\langle x^{2},y^{2},xy\rangle}[R'], \] a pesar de que $\langle x^{2},y^{2}\rangle$ y $\langle x^{2},y^{2},xy\rangle$ son ideales distintos. Básicamente, el análogo del teorema de los ceros para $R'$ no remueve completamente la necesidad de realizar una operación de clausura en el ideal $I$; es menos drástico que tomar el radical, es más bien como tomar la "envolvente convexa", en cuanto a que uno necesita ser capaz de "interpolar" entre dos polinomios en el ideal (como lo son $x^{2}$ y $y^{2}$) para llegar a polinomios intermedios (como lo es $xy$) que uno entonces coloca en el ideal.

Uno puede ver a los ideales (y, por lo tanto, a los esquemas) desde la perspectiva de la teoría de modelos. Sea $I$ un ideal de un anillo de polinomios $R[x_{1},\ldots, X_{d}]$ generado por algunos polinomios $P_{1},\ldots, P_{m}\in R[x_{1},\ldots, x_{d}]$. Entonces, claramente, si $Q$ es otro polinomio en el ideal $I$, entonces podemos usar los axiomas del álgebra conmutativa (que son básicamente los axiomas del álgebra del bachillerato) para obtener la deducción sintáctica \[ P_{1}(x_{1},\ldots,x_{d})=\cdots =P_{m}(x_{1},\ldots,x_{d})\vdash Q(x_{1},\ldots, x_{d}) = 0 \] (puesto que $Q$ es solamente una suma de múltiplos de $P_{1},\ldots, P_{m}$). En particular, tenemos la deducción semántica \begin{multline} P_{1}(y_{1},\ldots, y_{d})=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=0\\ \Longrightarrow Q(y_{1},\ldots, y_{d})=0 \label{E:SemDed} \end{multline} para cualquier asignación de literales $y_{1},\ldots, y_{d}$ en $R$ (o en cualquier extensión $R'$ de $R$). Si restringimos a $y_{1},\ldots, y_{d}$ a caer solamente dentro de $R$, entonces (aún si $R$ es un cuerpo algebraicamente cerrado), el recíproco del enunciado anterior es falso; pueden existir polinomios $Q$ fuera de $I$ para los cuales \eqref{E:SemDed} se cumple para todas las asignaciones $y_{1},\ldots, y_{d}$ en $R$. Por ejemplo, tenemos \[ y^{2} = 0 \Longrightarrow y=0 \] para todo $y$ en un cuerpo algebraicamente cerrado, a pesar de que $x$ no cae en el ideal $\langle x^{2}\rangle$. Desde luego, el teorema de los ceros nuevamente explica lo que sucede aquí; la expresión \eqref{E:SemDed} siempre que $Q$ cae en el radical de $I$, que puede ser más grande que $I$ mismo. Pero si uno permite a las literales $y_{1},\ldots,y_{d}$ tomar valores en extensiones arbitrarias $R'$ de $R$, entonces la verdad del recíproco se reestablece, dando así un "teorema de completitud" que relaciona a las deducciones sintáctias del álgebra conmutativa a las interpretaciones semanticas de tales álgebras sobre las extensiones $R'$. Por ejemplo, puesto que \[ y^{2}=O(\epsilon) \not\Longrightarrow y=O(\epsilon) \] ya no tenemos un contraejemplo del recíproco que provenga de $x$ y $\langle x^{2}\rangle$ una vez que trabajamos en $R'$ en vez de $\mathbb{R}$. Por otro lado, todavía tenemos \[ x^{2},y^{2}=O(\epsilon) \Longrightarrow xy=O(\epsilon) \] por lo que la extensión $R'$ no es lo suficientemente poderosa para detectar que $xy$ de hecho no cae en $\langle x^{2},y^{2}\rangle$; un anillo más grande (al cual es más difícil asignar una interpretación analítica) se necesita para lograr tal fin.