Cayó uno de los antiguos de Erdős

Leyendo el "Additive Combinatorics" de Tao y Vu, batallé algo para entender el argumento por el cual un conjunto finito de enteros no nulos $S$ debe contener al menos un subconjunto $T$ con más de la tercera parte de sus elementos y que sea asúmico; es decir, que no existan $x,y,z\in T$ tales que $x+y=z$. (Esto de asúmico es un neologismo que estoy introduciendo; no me extrañaría que lo llamaran "sum-free" tal cual en español).

Si $f(n)$ es el $k$ más grande tal que cada subconjunto de $n$ enteros no nulos contiene un conjunto asúmico de tamaño $k$, lo anterior equivale a que $f(n)\geq n/3$. Erdős preguntó hace mucho tiempo hasta dónde se podía mejorar esto. Bourgain conserva desde hace más de 20 años el récord de la cota inferior $(n+2)/3$ para $f(n)$. Por arriba, construcciones ingeniosas han servido para mostrar sucesivamente que, definiendo $\sigma = \lim_{n\to \infty}f(n)/n$, resulta que $\sigma\leq 7/15,3/7,12/29,2/5,11/28$, donde la última cota había sido obtenida apenas hace 3 años por Mark Lewko después de una extensa búsqueda computacional. Me ilusionaba que, en cuanto pudiera dejar algunas cosas que estoy investigando en claro, podría lanzarme a construir conjuntos para tratar de romper la actual marca.

Pero eso, en rigor, sería superfluo, porque descubrí en arXiv que Eberhard, Green (el Green del teorema de Green-Tao) y Manners acaban de demostrar que se pueden construir conjuntos que acercan a $\sigma$ tanto como se quiera a $1/3$. Creo que todavía sería interesante ver si se puede convertir su argumento en un algoritmo efectivo. Como sea, es emocionante ver que se ha resuelto un problema llevaba más de 40 años abierto y que se podía plantear de manera elemental.