sábado, 9 de septiembre de 2017

Fibonacci por novena vez

Siendo matemático, me sorprende que ni cuenta me di cuando fui Fibonacci las ocho veces anteriores. Es probable que esta sea la antepenúltima vez que lo sea.

También me percato de que prácticamente nunca he hablado de los números de Fibonacci en mi bitácora, siendo que es un tópico matemático. Dos cosas me gustaría enumerar para "remediar" esto.

  1. Mi identidad favorita relativa a los números de Fibonacci es la de Cassini \[ F_{n-1}F_{n+1} = F_{n}^{2}+(-1)^{n}, \] pues explica una aparente paradoja geométrica semejante a una de las predilectas del buen Gardner.
    El cuadrado tiene $34^{2}=1156$ unidades de área, mientras que el "rectángulo" de abajo tiene $55\times 21 = 1155$, ¿a dónde se fue la unidad cuadrada faltante? En realidad los triángulos se traslapan un poquito, pero apenas y se puede distinguir cuando esto representa menos del $0{.}1\%$ del área del cuadrado original.
  2. Uno de mis números de Fibonacci favoritos es el $144$, pues además es cuadrado; no tiene mucho que Yann Bugeaud, Maurice Mignotte y Samir Siksek demostraron que es el máximo con esa propiedad en lo que a potencia no trivial respecta (mi hermanazo JHS me dió la punta de madeja para saber que en cuanto a cuadrado el resultado se debe a J. H. E. Cohn y O. Wyler en 1964). Asimismo, una leyenda dice que en los últimos días del matemático Thomas Fantet de Lagny este parecía tan lánguido que sus amigos no sabían si aún estaba consciente. Para averiguarlo, uno de ellos le preguntó: "¿Cuál es el cuadrado de $12$?" y la vida de Lagny sólo le alcanzó para responder "$144$". Por cierto, mientras Lagny estudiaba fracciones continuas se le adelantó a Gabriel Lamé en descubrir que al algoritmo de Euclides le toma el máximo número de iteraciones para determinar el máximo común divisor justamente cuando la entrada son dos números consecutivos de Fibonacci.
P. D. He aquí el pastel. Infortunadamente, otra vez no fui del todo bien interpretado por la repostera: se supone que la sección transversal debiera verse como la clásica espiral de cuadrados cuyos lados son números de Fibonacci consecutivos. Pero todo lo que tuvo de inexacto lo tuvo de delicioso.

3 comentarios:

Anónimo dijo...


¡Feliz cumpleaños, mi buen amigo!

Espero que te la pases muy bien al lado de los tuyos...

Con afecto,

J.H.S

P.D. Que el 144 es el mayor cuadrado perfecto en la suc. de Fibonacci es un resultado de 1963 o 1964 típicamente atribuido a J. H. E. Cohn; lo que Bugeaud, Mignotte y Siksek probaron es que de hecho ese número es la mayor potencia perfecta (no trivial) en la suc. de Fibonacci (por cierto, el artículo se publicó en Annals of Mathematics en 2006).

Octavio Agustin dijo...

Gracias mi hermano. Créeme que rasqué un rato ese asunto de los cuadrados sin mucho éxito, y sabía que me podías dar el norte necesario. Mil gracias.

Octavio Agustin dijo...

Y ahora caigo en cuenta que no revisé la bibliografía del artículo de Bugeaud, Mignotte y Siksek, ¡que menso!