Por el Día de Pi 2024

Se sabe que la serie armónica diverge, así que debe haber una suma parcial de la misma que excede a $\pi$. Según mis cuentas, esto ocurre por primera vez cuando $k=13$ pues $$\sum_{k=1}^{13}\frac{1}{k} = 3{.}18\ldots$$ pero $\sum_{k=1}^{12}\frac{1}{k} = 3{.}10\ldots$. Haciendo unos pocos cómputos más, pareciera ser que $$\sum_{k=1}^{13}\frac{1}{k}+\sum_{k=14}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} = \pi,$$ pero no ha de ser, porque la suma de la serie armónica alternante converge a $\ln(2)$ y la diferencia con esta es un número racional. ¿Cuál será el patrón?