La demostración es correcta y no se necesita otro reconocimiento

Me inquietaron estos comentarios de Judith de Jorge en www.abc.es:

[La conjetura de Poincaré]... era el problema matemático más complejo del siglo y una de las diez cuestiones sin resolver del milenio hasta que en 2003 el ruso Grigory Perelman, considerada la persona más inteligente del mundo, publicó en internet la solución. En 2006 recibió el premio Fields, algo así como el Nobel de las matemáticas, por su hallazgo, pero él ni se pasó a recogerlo. Y eso que la revista Science lo consideró el hallazgo más importante del año. (03/12/09)

¿Quién considera a Perelman la persona más inteligente del mundo, eh? Me quedé en que decían que es Marilyn vos Savant. Seguramente es cierto que vos Savant es muy brillante, pero no se dedica a la Matemática ni a la ciencia. De hecho criticó sin mucho tino la demostración de Andrew Wiles de la conjetura de Fermat.

¿El problema matemático más complejo del siglo? Vaya. Podríamos decir que la conjetura de Fermat no se planteó en el siglo, ni tampoco la de Riemann. Pero no cabe duda que muchas otras conjeturas (por ejemplo, las "estándares" de ciclos algebraicos) se formularon durante tal siglo (supongo que el último del milenio pasado, ¿verdad?); su importancia (¿o dificultad?) se apreciará en tiempos venideros. En fin.

"Él ni se pasó a recogerlo". ¿Pensará de Jorge que se le olvidó? Posiblemente no entendí el sarcasmo apropiadamente. Como bien menciona, de todos modos, el hecho que Science lo considerase un hallazgo importante es un gran "premio". Pero que ahora un teorema inmortalice al Dr. Perelman es un reconocimiento que sobrepasa por mucho cualquier cantidad en dólares.

Judith de Jorge escribió esto al comentar una lista del Museo Smithsoniano sobre grandes momentos de la ciencia. Me alegra que por lo menos un descubrimiento matemático sea catalogado como una hazaña científica.

Una cosa que representa varias cosas reales igualmente bien

Gonzalo Navarro, en el sitio chileno de Terra, nos dice con mucho tino:

Cada vez más, tanto en Matemáticas como en Computación, la sociedad y especialmente los órganos de financiamiento exigen “aplicaciones" a “problemas reales” en la investigación y ven con malos ojos el trabajo en “teoría” (llamada también “investigación básica”). El ejemplo de [G. H.] Hardy ilustra lo vano de esta distinción: no hay forma de saber qué será útil finalmente en la investigación científica o tecnológica.

En mi experiencia particular, en el área de algoritmos, se da la curiosa situación de que cuanto más fácil es señalar las aplicaciones de una investigación, menos aplicaciones tiene ésta.

[...]

Los investigadores más teóricos o básicos suelen tener mayores problemas para explicar la utilidad de su trabajo que los más aplicados, a pesar de tener más que decir. (02/12/09)

Otro buen ejemplo es el de la Teoría de Categorías, a veces apodada "sinsentido abstracto". A muy grandes rasgos, se puede decir que la Teoría de Categorías estudia las estructuras generales de la Matemática y sus interrelaciones. Cuando S. Eilenberg y S. Mac Lane escribieron el artículo "General theory of natural equivalences" que la fundó como rama de la Matemática, no creo que se hallan imaginado jamás que tales abstracciones se aplicarían a la Computación, la Física o la Música (sin mencionar al resto de la Matemática, por supuesto).

Si me preguntaran para qué sirve mi investigación, ¿qué contestaría? Podría decir muchas cosas respecto a la composición (musical), pero no sé para qué más se podría utilizar. He obtenido algunos teoremas que indican como relacionar ciertas "teorías de contrapunto" microtonal, pero se pueden ver como resultados puramente matemáticos. ¿Qué tal que un día se apliquen para algo completamente diferente que aquello que los inspiró? Me emociona pensar en ello, aunque seguramente no me tocará ver que suceda.

La tercera fue la vencida

Una buena noticia: mi artículo "Counterpoint in 2k-tone equal temperament" por fin salió publicado en el número 3 del volumen 3 del "Journal of Mathematics and Music". Francamente, considerando el contenido del trabajo y cómo había estado el arbitraje, pensé que esto no sucedería (claro, ya sabía que sí saldría hace un rato, pero hasta no ver, no creer).

Hay una versión en español del artículo en mi página. Es el original que mandé a la revista, y que no contiene todo lo que me sugirieron le añadiera. Naturalmente, a mi me gusta la forma primigenia, porque da la real dimensión de lo que obtuve.

Ahora puedo tachar una cosa de la lista que publiqué hace casi un año, :-D.

Copiar e recombinar deveriam ser direitos inalienáveis de todo ser vivo

Ha um ramo bastante novo da matemática chamado geometria tropical. Foi nomeado assim como um homenagem a Imre Simon, um matemático e cientista da computação brasileiro que trabalhou na Universidade de São Paulo. Ele morreu no passado 13 de agosto, de câncer de pulmão.

Especificamente, geometria tropical é um ramo da geometria algébrica, que traduze questões geométricas clássicas em problemas combinatórios. Alguns problemas em geometria complexa ou real podem ser simplificados devido ao caráter linear (por partes) dos objetos tropicais.

As coisas tropicalizadas podem ser muito estranhas: uma linha, por exemplo, consiste de três raios que emanam de um único ponto. Uma cônica tropical é mais estranha ainda. Mas alguns resultados razoáveis são válidos, como o teorema de Bezout: dois cónicas tropicais se cruzam em quatro pontos.

Las lecciones de Matemática pura me cautivan más y más

Aventemos un montón de puntos en el plano. Si buscamos las regiones que quedan delimitadas por las rectas que equistan de cada par de puntos de modo que cada una contenga exactamente un punto, teselaremos el plano con unos polígonos convexos. Y quedará algo que se verá más o menos así.

Esta construcción geométrica se denomina diagrama de Voronoi.

¿Qué tal si los puntos son edificios o monumentos históricos de una ciudad? Viajando por los lados de los polígonos del diagrama de Voronoi nos aseguraremos de estar siempre lo más lejos posible de algún par de sitios.

¿Y por qué querríamos alejarnos lo más posible de tales puntos de interés? ¡Para poder construir una línea del tren subterráneo sin ponerlos en peligro! De hecho, construirán una en Sevilla, España, y la Universidad de Sevilla aprovechará estos conceptos matemáticos para trazar la ruta que seguirá la nueva línea.

Por supuesto, no sólo se desea que la obra evite dañar las joyas arquitectónicas: también se busca que el recorrido resultante sea el más corto posible entre los que conectan los puntos extremos. Para ello, es necesario encontrar la ruta más corta en el grafo definido por los segmentos del diagrama de Voronoi, pero que estén apartados alguna distancia reglamentaria de los edificios o monumentos. Lo bueno es que para encontrarlas ya existen algoritmos muy eficientes... ¡Qué hermosa y humana aplicación de la Matemática!

La Matemática como un lenguaje adecuado

Doron Zeilberger escribió que uno de sus más grandes héroes (y eso que Zeilberger admira a muy pocos) había muerto en su opinión #103. ¿Quién? Israil Moiseevic Gelfand. Este eximio matemático nos dejó el día 5 del mes pasado (pero, como bien observa Zeilberger, no ha muerto, en la terminología de P. Erdös).

Admito que no lo advertí antes, a pesar de conocer un gran teorema debido a él y a Kolmogorov. Antes de enunciarlo, hay que tener en mente que el conjunto C(X) de todas las funciones continuas de un espacio topológico X al cuerpo de los reales, es un anillo conmutativo con identidad. Además, C(?) define un funtor contravariante de la categoría de los espacios topológicos a los anillos con identidad.

Teorema (Kolmogorov-Gelfand). Si X y Y son espacios topológicos compactos y Hausdorff, entonces C(X) es isomorfo a C(Y) si, y sólo si, X es homeomorfo a Y.

Esto mata las aspiraciones de obtener información sin esfuerzo de un espacio más o menos razonable con sólo asociarle un anillo de manera obvia. Y es muy curioso que si el conjunto de funciones, en lugar de ir al cuerpo de los reales, van a un grupo o un anillo más sencillo, sí nos pueden decir cosas interesantes.

Leyendo un poco de su biografía, podrán apreciar el calibre de este gran matemático. Como bien se indica, no sólo demostró grandes cosas, sino que aportó poderosos métodos. Para finalizar, algunas de sus palabras:

Es importante no separar la Matemática de la vida. Uno puede explicarle quebrados incluso a los más briagos. Si les preguntas: "¿Qué es más grande, 2/3 o 3/5?" es posible que no sepan. Pero si les preguntas "¿Qué es mejor, dos botellas de mezcal para tres personas, o tres botellas de mezcal para cinco personas?" te contestaran de inmediato. Dirán que dos para tres, desde luego.

Me recargo en la pared...

Ayer fui a hablar a la Escuela Nacional de Música de la UNAM sobre la interacción entre la Matemática y la Música.

De por sí no quería ir. Tengo (muy) malas experiencias explicando esto a músicos (y a matemáticos, y a veces hasta a cualquier otra persona).

Primera, porque está el clásico rollo de "la Matemática es exacta, la Música es sentimiento, originalidad pura" o cosas por el estilo. ¡Vaya argumento! Sin ir más lejos, ¿es un argumento? Como si jamás se necesitaran originalidad, intuición o sentimientos para hacer Matemática, o como si nunca supiera exactamente un músico lo que hace al ejecutar o componer una obra. Entonces los simios de las máquinas de escribir nos podrían regalar valiosísimas (pero incomprensibles, y por ello geniales) obras maestras de la literatura. Y el burro de verdad toca la flauta. Aunque sea de vez en cuando.

Segunda: "¿Y eso para qué sirve?" y todas las variantes habidas y por haber de esta genial pregunta que, por supuesto, debe estar acompañada de un toque de sarcasmo o de incredulidad. Esto lo oigo hasta cuando digo explícitamente para qué sirve. Una cosa es no entender por qué sirve y otra muy diferente no admitirlo. Si existe una única transformación afín que convierte a las consonancias clásicas en disonancias es un hecho inmutable, así es y se acabó. Si alguien quiere o puede omitir esta realidad para explicar un fenómeno musical es su bronca. Pero no porque no lo necesite, no le guste, le enfade o trastoque sus más profundas convicciones filosóficas va a dejar de ser verdadero.

Tercera: si ultimadamente a mí me sirve y así le entiendo ¿cuál es el problema? ¿quién se murió de que, bajo ciertas suposiciones, hayan razones matemáticas para prohibir las quintas paralelas? Como ya dije, otros querrán que sea consecuencia de alguna opinión bien expresada por algún teórico del siglo apropiado. Pero si al maximizar una intersección de conjuntos se termina concluyendo que quedan establecida la prohibición, ¿por qué he de negarlo? ¿eh? ¿Y si igual la ignoro? ¿eh?

Cuarta: "¿Y no se puede más fácil?" Efectivamente: ignora todo lo anterior y utiliza la explicación a la que ya le habías entendido. Faltaba más. Claro, aparte está si de verdad se pueden dar argumentos matemáticos más elegantes. Pero confieso que jamás he escuchado algo así; me daría muchísima alegría.

Pero ya quedé curado de espanto. En mucho tiempo espero no tener que molestarme en hacer justificaciones. Ahí está el material, ahí están las grabaciones y los artículos académicos; al que le interese, que le invierta un poquito de su tiempo y de su seso; y que extraiga lo que le guste o le acomode.