Esto no es cierto en general, sin duda. Si la función a representar es diferenciable, por ejemplo, el resultado es verdadero. Pero en la época en que Fourier presentó sus resultados ni siquiera se tenía bien establecida la idea de función, y no es de extrañar por qué causaron una reacción negativa en el comité formado por Lagrange, Laplace, Lacroix y Monge. Sin duda es curioso que cuando el Instituto de París propuso como tema de concurso la propagación del calor en cuerpos sólidos, Fourier mandó su memoria, ganó el premio ¡y eso que Lagrange y Laplace estaban en el jurado!
José Orihuela Calatayud, con motivo del próximo aniversario de este acontecimiento tan significativo en la Matemática, escribe en laverdad.es:
Las ideas de Fourier han motivado gran parte de los avances del análisis matemático desde 1807. La respuesta afirmativa al sueño de Fourier llegó 159 años más tarde, cuando, en 1966, el matemático sueco Leonard Carleson demostró que toda función de cuadrado integrable tiene una serie de Fourier convergente en casi todo punto.
Está muy bien, pero en primer lugar el Dr. Carleson se llama Lennart. Claro, Lennart es la versión sueca de Leonardo, pero ¿por qué Leonard y no Leonardo entonces? A propósito, el Dr. Carleson recibió el premio Abel 2006 (y este sí es como el Nóbel en Matemática).
Si los resultados del Dr. Carleson son la realización de los sueños de Fourier no me resulta muy claro, porque fue Nikolai Lusin en los años 20 quien preguntó si la serie de Fourier de cualquier función continua converge en todo punto salvo por un conjunto de medida cero. Lennart Carleson demostró que esto es cierto para toda función cuyo valor absoluto elevado al cuadrado es integrable.
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