Por el Día de Pi 2021

Hace algunos años, cuando estudiaba el bachillerato, usando la estrategia de Arquímedes y Vietè de los polígonos y la duplicación de sus lados, más algunas propiedades de los límites, llegué a la siguiente sucesión $$a_{k} = \frac{\sqrt{a_{k-1}^{2}+1}-1}{a_{k-1}}$$ con $a_{1}=1$; esta sucesión es tal que la sucesión $$b_{k} = 2^{k+1}a_{k}$$ converge a $\pi$. Es bastante lenta, pues tarda $6$ términos en llegar a los dos decimales clásicos y, aunque no lo he verificado rigurosamente, me parece que su convergencia es lineal porque así es la de Vietè, en la que finalmente se basa.

Hasta hoy, dando el curso de Análisis Numérico, se me ocurrió aplicarle la extrapolación de Aitken (y que, según la Wikipedia, ya era conocida por el infravalorado Seki Kowa ¡precisamente para el cálculo de $\pi$!). Tomando los primeros $11$ términos de la sucesión $b_{k}$ y acelerándola definiendo $$c_{k} = b_{k}-\frac{(b_{k+1}-b_{k})^{2}}{b_{k+2}-2b_{k+1}+b_{k}},$$ tenemos lo siguiente.

$k$	$b_{k}$	$c_{k}$
$1$	$4$	$3.151635005375788$
$2$	$3.313708498984761$	$3.142216101965998$
$3$	$3.182597878074529$	$3.141631577694588$
$4$	$3.151724907429258$	$3.141595085792044$
$5$	$3.144118385245867$	$3.141592805595554$
$6$	$3.142223629942345$	$3.141592663087611$
$7$	$3.141750369169704$	$3.141592654158086$
$8$	$3.141632080702249$	$3.141592653584479$
$9$	$3.141602510241972$	$3.141592653622552$
$10$	$3.141595117718365$	-
$11$	$3.141593269631745$	-

No está tan mal, por lo menos ya se obtienen $11$ decimales correctos antes de ser vencidos por los errores de truncamiento.