Consultando el Number Gossip no veo propiedades interesantes de este número, excepto que probablemente sea la única potencia de dos tal que todos sus dígitos son primos, y su practicidad. Un número es práctico cuando cualquier número natural inferior a él puede expresarse como sumas de divisores distintos del mismo, y el $32$ lo es por casi obvias razones. De hecho, todas las potencias de $2$ son prácticas, pero no recíprocamente. El siguiente número práctico es el $36$, ¿llegaré a ser práctico por catorceava vez? No sé.
Me puse a pensar si el $32$ es la solución a algún problema combinatorio interesante, y ¡no me vino a la mente de inmediato que es el número de subconjuntos de un conjunto con $5$ elementos! Exprimiendo la OEIS, encuentro algunos más:
- Es un número tal que su factorial menos uno es primo. Es decir, $32!-1 = 263130836933693530167218012159999999$ es primo (¡gracias, S. B. Ekhad, por el cálculo!). Esto me servirá para recordar un primo enorme.
- Es el número de formas de colocar cuatro reyes que no se ataquen en un tablero cilíndrico de ajedrez de $4\times 4$.
- Es el mínimo número tal que pueden elegirse $13$ números entre $\{1,2,3,\ldots,32\}$ de modo que no haya tres en progresión aritmética
- Es el total de subconjuntos de las raíces $25$-avas de la unidad que suman $0$.
- Es el número de clases de $h$-cobordismo de homotopía suave de las $n$-esferas para $n=32,33,41,48$ y $53$, hasta donde llega la OEIS. Me gusta la observación ahí plasmada del hecho de que para $n=3$ este valor sea $1$ significa que la conjetura de Poincaré ha sido demostrada.
P. D. 2. Mi hermanazo JHS me dió un excelente regalo de cumpleaños en los comentarios: entre los números de Fermat, $2^{2^{5}}+1 = 2^{32}+1$ es el menor que es compuesto, y esto lo demostró ¡nada menos que mi héroe, Leonhard Euler, en 1732! ¡Gracias! Y también por la corrección, pues había colocado el signo equivocado en el $1$ en una versión anterior de esta posdata.
5 comentarios:
Felicidades.
Gracias.
Espero que la hayas pasado de maravilla en el día de tu onomástico, Octavio...
Por cierto, 32 es el logaritmo en base 2 del menor número de Fermat que es compuesto.
Salud y saludos.
Corrigendum. Donde dice "(2 a la 32) - 1" debe decir "(2 a la 32) + 1". Para establecer que "(2 a la 32) - 1" es un número compúesto no se hubiera necesitado, creo yo, esperar a que Euler se ocupara del asunto (nótese que "(2 a la 32) - 1" es evidentemente un múltiplo de 3).
En mi descargo, puedo decir que especifiqué que eran "números de Fermat". :D
Por cierto, para quien no sea tan evidente: $2^{32}-1 = (2-1)(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)$.
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