El atajo entre dos verdades reales

En mi curso de Análisis Complejo estamos en lo de transformaciones de Möbius. Buscando en la red me topé con este maravilloso video de Douglas Arnold y Jonathan Rogness que se ha vuelto muy famoso, donde las explica de modo admirablemente diáfano. También está disponible en la página de los autores en alta resolución. Lo único que me apena es no haber dado con esta maravilla antes. La música de fondo, excelentemente escogida, es el "De tierras y gente extranjeras" de las "Escenas de la Niñez" de Robert Schumann. Pueden bajar toda la obra en Musopen, y les recomiendo que escuchen también el "Ensueño" ("Träumerei").

Hablando de Möbius, está este otro video de Hans-Christian Graf von Bothmer y Oliver Schreyer donde se construye la botella de Klein y luego le hacen un corte de modo que se obtiene una banda de Möbius.

En la vida las cosas concurren de manera curiosa. Trataba de leer las noticias de Google en ruso y busqué "математика", y lo primero que apareció fue:

"Решение одной из важнейших задач современной математики и физики найдено во сне"

o sea

"Se encuentra solución a uno de los más importantes problemas de la Matemática y Física contemporáneas durante un letargo".

Sí, resulta que a Darren Crowdy se le ocurrió como generalizar la fórmula de Schwarz-Christoffel mientras escuchaba la solución de un ejercicio de uno de sus alumnos. La transformación de Schwarz-Christoffel sirve para aplicar el semiplano superior complejo en la región interior de un polígono y resulta muy útil al estudiar flujos. Sin embargo, no se sabía cómo extenderla para el caso en que la región tuviera "hoyos", por ejemplo.

En otra nota rusa al respecto aparece, sin miedo, la transformación de Schwarz-Christoffel, que es
\[ f(z) = A \int \prod_{j=1}^{n}(z-a_{j})^{k_{j}}\, dz + B, \quad |k_{j}|\leq 1, \] donde $A$ y $B$ son constantes. Conforme $z$ barre el eje real de izquierda a derecha, $f(z)$ recorre un polígono con vértices en los $a_{i}$.