Desde el tamaño de las ciudades hasta la concentración del poder económico

Hace poco leí, en los resúmenes que prepara la AMS sobre la Matemática en los medios, que en muchos países la segunda ciudad más habitada tiene más o menos la mitad de habitantes que la primera, y la tercera la tercera parte y así sucesivamente. Es decir, que la población de una ciudad y el orden que ocupa por magnitud obedecen a la ley de Zipf. En otras palabras: el número de habitantes de la r-ésima ciudad más poblada es proporcional a 1/r. Expresando esto logarítmicamente, tenemos que

log P = log A - log r

donde P es el número de habitantes, r es la posición en la tabla y A es una constante.

Lo interesante es que Zipf descubrió esto en el contexto de la lingüística: la segunda palabra más usada en una lengua emplea más o menos la mitad de veces que la primera, etcétera.

Me pregunté si esto era cierto para México. Fui a la Wikipedia (pues encontrar los datos en el INEGI no es tan fácil) y encontré que con las primeras veinte ciudades se cumple más o menos

log P = 16.21386 - 0.95045 log r

y 0.95045 está bastante cerca de 1. Parece ser que esto está conectado con la economía de libre mercado, y el hecho de que las ciudades más grandes tienden a crecer más rápido. ¿Ocurrirá algo así como el efecto Mateo? Me pregunto si se podrá usar este conocimiento para regular el tamaño de las ciudades de alguna manera (¿será cierto que una ciudad tan horrible como el D. F. es la que más crece en la República?).

Compré el ejemplar de agosto del National Geographic en español y cuando ví los datos de las lenguas indígenas de México, me pareció observar también la ley de Zipf. Pero no. Al menos, no con los datos de la revista. Respecto a las primeras cinco lenguas, tenemos

log P = 14.09453 - 0.85478 log r

y 0.85478 no está tan cerca de 1. En fin, habría que localizar en el laberinto de la página del INALI más información.