Las listas de problemas matemáticos se hicieron famosas desde que propusiera una el gran matemático alemán David Hilbert, en 1900, durante el Congreso de la Unión Matemática Internacional de aquel año. Los 23 problemas que Hilbert escogió guiaron mucha de la Matemática que se hizo durante el siglo XX. Actualmente, diez se consideran resueltos, 8 "casi" y 4 demasiado vagos para decidir si se podrían resolver o no.
En el año 2000, a petición de Vladimir Arnold (en aquel entonces, presidente de la Unión Matemática Internacional) Stephen Smale propuso una lista de problemas para el siglo XXI. De estos, en lo personal me parecen significativos los siguientes:
1. La hipótesis de Riemann.
2. La conjetura de Poincaré (porque el mismo Smale y Michael Freedman la demostraron para muchos casos y el que faltaba fue resuelto por el célebre Grigori Perelman).
3. P contra NP.
8. Introducción de la dinámica en la teoría económica.
9. El problema de programación lineal.
17. Solución de ecuaciones polinomiales.
18. Los límites de la inteligencia.
La hipótesis de Riemann, de hecho, es de los más importantes problemas no resueltos de la Matemática y figura entre los que eligió Hilbert. Su solución nos daría un conocimiento muy profundo de los números primos que, parafraseando a Simon Singh (autor de "El Enigma de Fermat"), podríamos decir que son los átomos de los números enteros.
Respecto al problema de P contra NP, el lector puede considerar una pregunta: le dan un montón de monedas de diferentes denominaciones y le dicen que junte 73 pesos cerrados. Si encuentra una manera de hacerlo, cualquiera puede verificar con relativa "facilidad" que lo ha hecho correctamente, realizando una simple suma. Pero, ¿existe en general un mecanismo "rápido" para juntar estos 73 pesos? ¿O cualquier cantidad en general? Saberlo permitiría optimizar el desempeño del transporte público o diseñar circuitos para computadoras más eficientes en menos tiempo.
Los problemas 8 y 9 son interesantes por sus aplicaciones. Sus soluciones, en el futuro, podrían evitar crisis económicas como la que actualmente atravesamos. El 18, por otro lado, no es fácil precisar si puede ser resuelto completamente.
Y el 17 ha sido parcialmente elucidado por Carlos Beltrán Álvarez y Luis Miguel Pardo Vasallo, y sobre ello habló este último el miércoles 22 en el teatro Macedonio Alcalá, en el marco de la Primera Reunión Conjunta de la Sociedad Matemática Mexicana y la Real Sociedad Matemática Española.
La gente suele pensar en un matemático como una supercalculadora que resuelve eficaz y rápidamente montones de ecuaciones. Naturalmente, un matemático prefiere confiarle este tedioso trabajo a una computadora. Y, sin embargo, los matemáticos no sabemos aún con toda certeza si la máquina puede, sistemáticamente y en un tiempo razonable, resolver una sencilla ecuación polinomial arbitraria. El trabajo de Beltrán Álvarez y Pardo Vasallo constituye un paso hacia la resolución de este problema.
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