Veo con gran alegría que mi quinto artículo "Enumeration of strong dichotomy patterns" por fin salió en la revista electrónica Algebra and Discrete Mathematics, después de ser rechazado por una revista de Elsevier, no recibir acuse de recibo por parte del Seminaire Lotharingien de Combinatoire y ser rechazado también por el Australasian Journal of Combinatorics. Tardó dos años en ser publicado, y creo que ya me acostumbré a estas dilaciones.
Por cierto que no sé si debe contarse mi contribución del congreso de Puerto Vallarta como artículo; MathSciNet® tiene indizado el libro de memorias y algunos de las contribuciones individuales, pero no la mía. Si llega a aparecer, tal vez podría decir que ya estoy dentro del rango proporcional a mi cociente intelectual en cuanto a publicaciones. Creo que no está tan mal.
¡Venga el sexto!
sábado, 28 de julio de 2018
lunes, 2 de julio de 2018
Discurso a mi patria
Compatriotas mexicanos:
Ayer salí a votar con la convicción de que el futuro de México estaba asegurado, y que el ejercicio democrático lo realizaba un pueblo lo suficientemente educado como para esquivar los errores del pasado.
Pero me equivoqué.
Y básicamente eso sería todo lo que tengo que decirles. Sin embargo, voy a abundar un poco, por entrenenimiento mío y de ustedes, y para hacer una promesa.
Recién atestiguamos el ejemplo del vecino al elegir al peor candidato y aprendimos cero, nada, naranjas dulces. Ahí hemos visto cómo rezuma la pus del resentimiento y la estupidez de ciertos colectivos contra la cándida pero variopinta mayoría ante la complacencia de la élite gobernante. En palabras llanas: nos toca chingarnos todos.
En el corto plazo, aseguran los que saben, tratará el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik de cumplir sus promesas, al costo que sea. Cuando esto sea insostenible o algo falle seriamente, la culpa será de la mafia del poder, lo que requerirá algún tipo de purga de la sociedad y por medio de esta maniobra se hará de más recursos para nuevas iteraciones de dilapidación, o vayan ustedes a saber qué otro tipo de atropellos se le ocurrirán en el camino.
Si se le da dinero a la gente nada más por que sí entonces aumenta el consumo, pero si no hay más producción (y recordemos que intentaremos producir todo lo que consumamos), entonces la única salida es que aumenten los precios, y con ello la inflación. Yo cometí la imprudencia de acostumbrarme a una inflación baja durante mi vida adulta (normalmente de menos del 10% y casi siempre rondando el 5%), pero pues ya ven... Todo por servir se acaba. O tal vez el Banco de México, en su independencia prometida, pueda obrar milagros. Sabrá Dios.
Estas exquisiteces serían las menos graves, por lo menos desde mi perspectiva. El camarada Andréi Andreyévich López Rabotnik estableció muy claramente que la reforma educativa tiene mal el nombre (y todo, de hecho) por lo que, después de una supuesta consulta, la derogará. Lo más lógico que puedo suponer es que, una vez que tal despropósito se consume, la criminal y pérfida Sección XXII tendrá nuevamente carta blanca para la compra-venta de plazas y así poder seguir disfrutando de sus prebendas malhabidas, con las consecuencias obvias para la educación de la niñez y juventud oaxaqueña y las flagrantes en cuanto a la violación de los demás derechos humanos de la población en general. Ahora sí podré creer que el régimen tendría por objetivo mantenernos en la oscuridad de la ignorancia para hacer con nosotros lo que le plazca.
Lo menos que puedo prometer hacer es continuar sacando a las mentes de los jóvenes de las tinieblas mientras el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik y su séquito no estén mirando, pero debo ir por más. El enseñar más y con mayor ahínco sobre el pensamiento crítico y la matemática (con algunos toques de ateísmo por aquí y por allá) al público en general es mi obvia primera respuesta, y se que no es suficiente, pero debo admitir que no estaba preparado para este escenario. Toda sugerencia que no pase por la violencia es bienvenida.
En fin: que no quede de nosotros, los que entendemos las consecuencias de nuestros actos y de los demás. No me extrañaría que tengan miedo igual que yo. Y si, por el contrario, son muy sacalepunta, les pido de favor me echen porras y me unten un poco de su audacia.
He dicho.
Octavio Alberto Agustín Aquino.
Ayer salí a votar con la convicción de que el futuro de México estaba asegurado, y que el ejercicio democrático lo realizaba un pueblo lo suficientemente educado como para esquivar los errores del pasado.
Pero me equivoqué.
Y básicamente eso sería todo lo que tengo que decirles. Sin embargo, voy a abundar un poco, por entrenenimiento mío y de ustedes, y para hacer una promesa.
Recién atestiguamos el ejemplo del vecino al elegir al peor candidato y aprendimos cero, nada, naranjas dulces. Ahí hemos visto cómo rezuma la pus del resentimiento y la estupidez de ciertos colectivos contra la cándida pero variopinta mayoría ante la complacencia de la élite gobernante. En palabras llanas: nos toca chingarnos todos.
En el corto plazo, aseguran los que saben, tratará el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik de cumplir sus promesas, al costo que sea. Cuando esto sea insostenible o algo falle seriamente, la culpa será de la mafia del poder, lo que requerirá algún tipo de purga de la sociedad y por medio de esta maniobra se hará de más recursos para nuevas iteraciones de dilapidación, o vayan ustedes a saber qué otro tipo de atropellos se le ocurrirán en el camino.
Si se le da dinero a la gente nada más por que sí entonces aumenta el consumo, pero si no hay más producción (y recordemos que intentaremos producir todo lo que consumamos), entonces la única salida es que aumenten los precios, y con ello la inflación. Yo cometí la imprudencia de acostumbrarme a una inflación baja durante mi vida adulta (normalmente de menos del 10% y casi siempre rondando el 5%), pero pues ya ven... Todo por servir se acaba. O tal vez el Banco de México, en su independencia prometida, pueda obrar milagros. Sabrá Dios.
Estas exquisiteces serían las menos graves, por lo menos desde mi perspectiva. El camarada Andréi Andreyévich López Rabotnik estableció muy claramente que la reforma educativa tiene mal el nombre (y todo, de hecho) por lo que, después de una supuesta consulta, la derogará. Lo más lógico que puedo suponer es que, una vez que tal despropósito se consume, la criminal y pérfida Sección XXII tendrá nuevamente carta blanca para la compra-venta de plazas y así poder seguir disfrutando de sus prebendas malhabidas, con las consecuencias obvias para la educación de la niñez y juventud oaxaqueña y las flagrantes en cuanto a la violación de los demás derechos humanos de la población en general. Ahora sí podré creer que el régimen tendría por objetivo mantenernos en la oscuridad de la ignorancia para hacer con nosotros lo que le plazca.
Lo menos que puedo prometer hacer es continuar sacando a las mentes de los jóvenes de las tinieblas mientras el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik y su séquito no estén mirando, pero debo ir por más. El enseñar más y con mayor ahínco sobre el pensamiento crítico y la matemática (con algunos toques de ateísmo por aquí y por allá) al público en general es mi obvia primera respuesta, y se que no es suficiente, pero debo admitir que no estaba preparado para este escenario. Toda sugerencia que no pase por la violencia es bienvenida.
En fin: que no quede de nosotros, los que entendemos las consecuencias de nuestros actos y de los demás. No me extrañaría que tengan miedo igual que yo. Y si, por el contrario, son muy sacalepunta, les pido de favor me echen porras y me unten un poco de su audacia.
He dicho.
Octavio Alberto Agustín Aquino.
martes, 26 de junio de 2018
Adversus scholastica certamina
Este asunto de las competiciones académicas ya lo he tratado antes, pero creo que es buen momento
de agregar nuevas reflexiones.
Primero que nada, debo decir que este tipo de justas son excelentes para resolver problemas relacionados con tecnología con el fin de conseguir avances sustanciales. En principio, si deseamos obtener un robot capaz de tocar convincentemente el violín, un proceso para extraer dióxido de carbono de la atmósfera o la demostración más corta posible del teorema de Perelman-Poincaré y tenemos prisa, un concurso tiene una alta probabilidad de entregárnoslos.
Sin embargo, si se supone que la primordial razón para hacer matemática es para entender y ampliar nuestro conocimiento sobre ciertas entidades abstractas, ¿por qué importa quién ha de lograrlo primero o que esto suceda lo más pronto posible? Además, el pionero o campeón rara vez hace el esfuerzo por explicar sus métodos de manera que todos los demás puedan verificar sus resultados o extender sus métodos, y son legiones de otros matemáticos (que no alcanzan amplio reconocimiento por lo general) quienes se encargan de sistematizar y exponer. Esto ya lo ha señalado con gran maestría Jordan Ellenberg (quien, además, tiene autoridad moral para manifestarse pues es medallista olímpico y campeón del Putnam), y no está por demás leer los argumentos de Izabella Łaba, con su característico estilo contundente, cuando afirma que la actitud de los matemáticos a lo largo de los siglos ha sido más competitiva que cooperativa.
A modo de ejemplo, y para redondear lo que digo, hay que señalar que, en mi humilde opinión, Leonhard Euler mismo ha sido víctima de esto. Sus obras sobre mecánica hicieron mucho para poder aprovechar los métodos de Newton y Leibniz en la ingeniería práctica y su notación está ampliamente difundida por ser, efectivamente, clarificadora, y sin embargo es muy raro que un ingeniero o el público en general lo coloquen en el panteón de los matemáticos ilustres. Hay que reconocer que ni Arquímedes (a quien admiro) ni Gauss (a quien no tanto), entre otras luminarias, nunca hicieron mucho por desgranar sus prodigiosos artilugios que les permitían sondear las maravillas de la matemática.
Es por esto que yo me opongo a que se realicen concursos de matemática a diestra y siniestra. Me parece que es tóxico el fomentar la imagen del matemático como un genio que acaba con los "dragones" de los problemas con apenas algunas estocadas impulsadas por la fuerza arrolladora de su capacidad intelectual. No sobra remarcar el problema del efecto Mateo: cuando se realizan las pruebas preliminares, normalmente los competidores distan poco unos de otros, pero hay un ganador. A este ganador se le entrena y, obviamente, amplifica su ventaja sobre sus compañeros, y en futuras iteraciones de las competencias refuerza su dominio y se le entrena aún más. Pero sólo podemos, por definición, obtener una cantidad limitada de matemáticos por esta vía, ¿no es mejor destinar esos recursos de entrenamiento a todos los que sientan vocación por la matemática? Hay simulaciones que demuestran que dar un poco (aunque sea ínfimo) a todos es mejor que dar a manos llenas a los más "talentosos" para conseguir avances.
Primero que nada, debo decir que este tipo de justas son excelentes para resolver problemas relacionados con tecnología con el fin de conseguir avances sustanciales. En principio, si deseamos obtener un robot capaz de tocar convincentemente el violín, un proceso para extraer dióxido de carbono de la atmósfera o la demostración más corta posible del teorema de Perelman-Poincaré y tenemos prisa, un concurso tiene una alta probabilidad de entregárnoslos.
Sin embargo, si se supone que la primordial razón para hacer matemática es para entender y ampliar nuestro conocimiento sobre ciertas entidades abstractas, ¿por qué importa quién ha de lograrlo primero o que esto suceda lo más pronto posible? Además, el pionero o campeón rara vez hace el esfuerzo por explicar sus métodos de manera que todos los demás puedan verificar sus resultados o extender sus métodos, y son legiones de otros matemáticos (que no alcanzan amplio reconocimiento por lo general) quienes se encargan de sistematizar y exponer. Esto ya lo ha señalado con gran maestría Jordan Ellenberg (quien, además, tiene autoridad moral para manifestarse pues es medallista olímpico y campeón del Putnam), y no está por demás leer los argumentos de Izabella Łaba, con su característico estilo contundente, cuando afirma que la actitud de los matemáticos a lo largo de los siglos ha sido más competitiva que cooperativa.
A modo de ejemplo, y para redondear lo que digo, hay que señalar que, en mi humilde opinión, Leonhard Euler mismo ha sido víctima de esto. Sus obras sobre mecánica hicieron mucho para poder aprovechar los métodos de Newton y Leibniz en la ingeniería práctica y su notación está ampliamente difundida por ser, efectivamente, clarificadora, y sin embargo es muy raro que un ingeniero o el público en general lo coloquen en el panteón de los matemáticos ilustres. Hay que reconocer que ni Arquímedes (a quien admiro) ni Gauss (a quien no tanto), entre otras luminarias, nunca hicieron mucho por desgranar sus prodigiosos artilugios que les permitían sondear las maravillas de la matemática.
Es por esto que yo me opongo a que se realicen concursos de matemática a diestra y siniestra. Me parece que es tóxico el fomentar la imagen del matemático como un genio que acaba con los "dragones" de los problemas con apenas algunas estocadas impulsadas por la fuerza arrolladora de su capacidad intelectual. No sobra remarcar el problema del efecto Mateo: cuando se realizan las pruebas preliminares, normalmente los competidores distan poco unos de otros, pero hay un ganador. A este ganador se le entrena y, obviamente, amplifica su ventaja sobre sus compañeros, y en futuras iteraciones de las competencias refuerza su dominio y se le entrena aún más. Pero sólo podemos, por definición, obtener una cantidad limitada de matemáticos por esta vía, ¿no es mejor destinar esos recursos de entrenamiento a todos los que sientan vocación por la matemática? Hay simulaciones que demuestran que dar un poco (aunque sea ínfimo) a todos es mejor que dar a manos llenas a los más "talentosos" para conseguir avances.
lunes, 28 de mayo de 2018
Por su visionario programa...
Lo importante que ha sucedido recientemente, y que no quiero dejar sin algún tipo de glosa, es que Robert Langlands fue galardonado con el premio Abel este año; no será muy sustanciosa puesto que es un asunto muy técnico y que, a decir verdad, no alcanzo a apreciar del todo. El libro de Bernstein y Gelbart "An Introduction to the Langlands Program" parece que es un buen punto de partida para quien quiera profundizar en el famoso programa iniciado por Langlands.
Según entiendo, todo tiene su origen en la ley de reciprocidad cuadrática tan apreciada por Gauss. Hay que decir primero que un entero $q$ un residuo cuadrático módulo $n$ si es congruente con un cuadrado perfecto, esto es, $q\equiv x^{2}\pmod{n}$ para algún $x$ entero. El símbolo de Legendre $(\frac{q}{p})$ es una indicatriz de la residuosidad cuadrática, pues se define como $0$ si $q$ es nulo, $1$ si $q$ es no nulo y es un residuo cuadrático, y $-1$ si no es un residuo cuadrático. Así, $5$ es un residuo cuadrático módulo $11$ porque $5\equiv 7^{2} \pmod{11}$, mientras que $2$ no es residuo cuadrático módulo $11$, luego $(\frac{5}{11})=1$ y $(\frac{2}{11})=-1$.
Dicho esto, la ley de reciprocidad cuadrática nos dice que, si $p$ y $q$ son números primos impares, entonces \[ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}. \] En otras palabras: hay una relación (¿recíproca?) entre la residuosidad cuadrática de $p$ módulo $q$ y la de $q$ módulo $p$. Juntando esto con las propiedades del símbolo de Legendre, es posible saber si la ecuación cuadrática más simple $x^{2}\equiv a \pmod{p}$ para un primo impar $p$ tiene solución o no.
Con un poco de razonamiento algebraico muy elegante, es posible ver que el símbolo de Legendre en realidad es un homomorfismo del grupo de unidades de $\mathbb{Z}_{p}$ hacia el grupo $\{1,-1\}$ con la multiplicación. La mejor forma de hacerlo es estudiar el cuerpo $K$ de descomposición del polinomio $x^{q}-1$ sobre $\mathbb{Z}_{p}$, y luego estudiar las propiedades del grupo de Galois $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Z}_{p})$.
De aquí hay que ir a la ley de reciprocidad de Artin, que relaciona a la abelianización del grupo de Galois de una extensión de campos globales con el grupo clase de ideles del campo extensor, y cómo esto puede mirarse como una conexión entre las $L$-series de Artin (que son un tipo de series de Dirichlet) y los caracteres de Hecke (que son generalizaciones de los caracteres de Dirichlet). Todo esto es una ensalada de teoría de campos clase, y que fue llevada a sus mayores consecuencias hasta ahora por Langlands y los continuadores de su obra, y que relaciona a la teoría de números con el álgebra y el análisis (armónico). Es por eso que se considera una de las grandes unificaciones de la matemática.
Según entiendo, todo tiene su origen en la ley de reciprocidad cuadrática tan apreciada por Gauss. Hay que decir primero que un entero $q$ un residuo cuadrático módulo $n$ si es congruente con un cuadrado perfecto, esto es, $q\equiv x^{2}\pmod{n}$ para algún $x$ entero. El símbolo de Legendre $(\frac{q}{p})$ es una indicatriz de la residuosidad cuadrática, pues se define como $0$ si $q$ es nulo, $1$ si $q$ es no nulo y es un residuo cuadrático, y $-1$ si no es un residuo cuadrático. Así, $5$ es un residuo cuadrático módulo $11$ porque $5\equiv 7^{2} \pmod{11}$, mientras que $2$ no es residuo cuadrático módulo $11$, luego $(\frac{5}{11})=1$ y $(\frac{2}{11})=-1$.
Dicho esto, la ley de reciprocidad cuadrática nos dice que, si $p$ y $q$ son números primos impares, entonces \[ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}. \] En otras palabras: hay una relación (¿recíproca?) entre la residuosidad cuadrática de $p$ módulo $q$ y la de $q$ módulo $p$. Juntando esto con las propiedades del símbolo de Legendre, es posible saber si la ecuación cuadrática más simple $x^{2}\equiv a \pmod{p}$ para un primo impar $p$ tiene solución o no.
Con un poco de razonamiento algebraico muy elegante, es posible ver que el símbolo de Legendre en realidad es un homomorfismo del grupo de unidades de $\mathbb{Z}_{p}$ hacia el grupo $\{1,-1\}$ con la multiplicación. La mejor forma de hacerlo es estudiar el cuerpo $K$ de descomposición del polinomio $x^{q}-1$ sobre $\mathbb{Z}_{p}$, y luego estudiar las propiedades del grupo de Galois $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Z}_{p})$.
De aquí hay que ir a la ley de reciprocidad de Artin, que relaciona a la abelianización del grupo de Galois de una extensión de campos globales con el grupo clase de ideles del campo extensor, y cómo esto puede mirarse como una conexión entre las $L$-series de Artin (que son un tipo de series de Dirichlet) y los caracteres de Hecke (que son generalizaciones de los caracteres de Dirichlet). Todo esto es una ensalada de teoría de campos clase, y que fue llevada a sus mayores consecuencias hasta ahora por Langlands y los continuadores de su obra, y que relaciona a la teoría de números con el álgebra y el análisis (armónico). Es por eso que se considera una de las grandes unificaciones de la matemática.
sábado, 31 de marzo de 2018
Sobre un virtuoso normando (y no es Erik Satie)
Resulta que es un excelente momento para escribir sobre Nicolás de Oresme, un gran pensador del siglo XIV oriundo de Normandía, Francia.
Es muy interesante que Oresme fuera de los primeros en afirmar que la proporción entre las duraciones de las órbitas de distintos cuerpos celestes es probablemente irracional, lo que da al traste con la astrología; en tal caso no es posible predecir conjunciones, oposiciones y otras efemérides de modo preciso como para "vaticinar" el futuro.
Todavía más genial fue la idea de Oresme de graficar en la longitud al tiempo y en la latitud a la velocidad, con el fin de clasificar la naturaleza de un movimiento. De este modo, por ejemplo, un movimiento uniformemente acelerado se ve como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y se revela claramente, por medio de un simple cálculo de área, el llamado teorema de Merton: un cuerpo uniformemente acelerado que parte del reposo recorre la misma distancia que uno que se mueve a velocidad uniforme igual a la mitad de la velocidad final del primero. Tampoco ya es difícil ver cómo se generaliza esto a un cuerpo que no parte del reposo, y el teorema del valor medio está a un tiro de piedra. Es, pues, grande la deuda que tiene Descartes (cuyo natalicio es hoy) con su compatriota, en mi opinión.
En lo que a series respecta, la forma en que Oresme suma la geométrica \[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a}{m^{k}} \] es peculiar, pues dice que hay que tomar la diferencia entre dos términos sucesivos \[ \frac{a}{m^{k}}-\frac{a}{m^{k+1}} = \frac{a}{m^{k}}(1-\tfrac{1}{m})=\frac{a}{m^{k}}\frac{m-1}{m} \] y dividir entre el primero, de modo que queda $\frac{m-1}{m}$. El recíproco de esta fracción es la proporción de la suma al primer término (que es $a/m^{0}=a$), lo cual tiene mucho sentido si Oresme reparó en la autosemejanza de la suma si se dibujan sus términos como barras.
Esto lo explica Oresme en su Questiones super geometriam Euclidis, y en esta misma obra expone su maravillosa demostración de que la serie armónica es divergente. Antes de presentarla, vale apuntar que él estudia esta cuestión ante la situación de que a una cantidad, a la que se le agrega algo cada vez más pequeño, pueda crecer sin cota. Para ver que esto puede suceder, hay que considerar la agrupación de términos
\[
H = 1+ \left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
\]
esto es, según potencias de dos (primero 0, luego 1, luego 2, luego 4, etcétera). Dentro de cada paréntesis, la última fracción es la más pequeña, por lo que lo que hay entre el $k$-ésimo paréntesis (con $k>0$) es por lo menos
\[
2^{k-1}\frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2}
\]
y en consecuencia, si $H_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ es $n$-ésima suma parcial, se satisface
\[
H_{2^{k}} \geq 1+\frac{k}{2}
\]
y se deduce que la serie diverge. Esto, por cierto, también da un estimado de cuánto hay que esperar para que la serie alcance un valor dado de antemano.
Es muy interesante que Oresme fuera de los primeros en afirmar que la proporción entre las duraciones de las órbitas de distintos cuerpos celestes es probablemente irracional, lo que da al traste con la astrología; en tal caso no es posible predecir conjunciones, oposiciones y otras efemérides de modo preciso como para "vaticinar" el futuro.
Todavía más genial fue la idea de Oresme de graficar en la longitud al tiempo y en la latitud a la velocidad, con el fin de clasificar la naturaleza de un movimiento. De este modo, por ejemplo, un movimiento uniformemente acelerado se ve como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y se revela claramente, por medio de un simple cálculo de área, el llamado teorema de Merton: un cuerpo uniformemente acelerado que parte del reposo recorre la misma distancia que uno que se mueve a velocidad uniforme igual a la mitad de la velocidad final del primero. Tampoco ya es difícil ver cómo se generaliza esto a un cuerpo que no parte del reposo, y el teorema del valor medio está a un tiro de piedra. Es, pues, grande la deuda que tiene Descartes (cuyo natalicio es hoy) con su compatriota, en mi opinión.
En lo que a series respecta, la forma en que Oresme suma la geométrica \[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a}{m^{k}} \] es peculiar, pues dice que hay que tomar la diferencia entre dos términos sucesivos \[ \frac{a}{m^{k}}-\frac{a}{m^{k+1}} = \frac{a}{m^{k}}(1-\tfrac{1}{m})=\frac{a}{m^{k}}\frac{m-1}{m} \] y dividir entre el primero, de modo que queda $\frac{m-1}{m}$. El recíproco de esta fracción es la proporción de la suma al primer término (que es $a/m^{0}=a$), lo cual tiene mucho sentido si Oresme reparó en la autosemejanza de la suma si se dibujan sus términos como barras.
Esto lo explica Oresme en su Questiones super geometriam Euclidis, y en esta misma obra expone su maravillosa demostración de que la serie armónica es divergente. Antes de presentarla, vale apuntar que él estudia esta cuestión ante la situación de que a una cantidad, a la que se le agrega algo cada vez más pequeño, pueda crecer sin cota. Para ver que esto puede suceder, hay que considerar la agrupación de términos
\[
H = 1+ \left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
\]
esto es, según potencias de dos (primero 0, luego 1, luego 2, luego 4, etcétera). Dentro de cada paréntesis, la última fracción es la más pequeña, por lo que lo que hay entre el $k$-ésimo paréntesis (con $k>0$) es por lo menos
\[
2^{k-1}\frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2}
\]
y en consecuencia, si $H_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ es $n$-ésima suma parcial, se satisface
\[
H_{2^{k}} \geq 1+\frac{k}{2}
\]
y se deduce que la serie diverge. Esto, por cierto, también da un estimado de cuánto hay que esperar para que la serie alcance un valor dado de antemano.
jueves, 1 de marzo de 2018
Matemática a la boloñesa
En esta ocasión escribo sobre un matemático boloñés del siglo XVII, del cual descubro fascinado que también escribió cosas muy interesantes sobre la música. Me refiero ni más ni menos que a Pietro Mengoli. Lo que sigue se basa en material de un libro de Giovanni Ferraro y un artículo de Benjamin Wardhaugh.
Mengoli es famoso por haber sumado, en su Novae Quadraturae Arithmeticae de 1650, los recíprocos de los números oblongos y triangulares, observando que corresponden a lo que ahora llamamos una serie telescópica. Más específicamente, en símbolos modernos demostró primero que \[ \frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1}a_{2}}+\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{2}a_{3}}+\cdots+\frac{a_{n}-a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n}} = \frac{a_{n}-a_{1}}{a_{1}a_{n}}, \] y que con la sucesión $a_{n}=n$ nos devuelve las sumas parciales de la serie de los números oblongos $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}$ en el miembro izquierdo. Se sigue de inmediato que \[ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n-1}{n} = 1-\frac{1}{n} \] y, finalmente, se le aplica un razonamiento arquimediano para demostrar que la "extensión" de la serie entonces no es ni mayor a $1$ (lo que es bastante obvio) ni menor a $1$; esto último es menos obvio, pero con cualquier $\epsilon>0$ que esta extensión estuviera por debajo de $1$, habría un $n$ lo bastante grande para que $1-\epsilon < 1-\frac{1}{n}$, lo que es contradictorio.
También, en unas cuantas páginas del prefacio, demuestra que la serie armónica es divergente. Su argumento es maravilloso. Comienza por observar (en la notación moderna) que \[ \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} > \frac{3}{n}, \] lo que básicamente proviene del hecho de que la media aritmética de tres números consecutivos es mayor que su media armónica. Ahora todo es cuestión de agrupar los sumandos apropiadamente para ver que, bajo el supuesto de que $H=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ existe, sucede \[ \begin{multline*} H = 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7}+\ldots \\ =1+(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4})+(\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7})+\ldots \\ >1+\tfrac{3}{3}+\tfrac{3}{6}+\tfrac{3}{9} +\ldots = 1+(1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\ldots) = 1+H, \end{multline*} \] lo cual es contradictorio.
Seguro animado por el éxito con los números oblongos quiso aplicar sus técnicas para obtener la suma de los recíprocos de los números cuadrados, esto es, $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}$, pero fue en vano. Algunas décadas después Jacob Bernoulli demostró en su Positiones arithmeticae de seriebus infinitis de 1689 que el límite existe y es menor a $2$; nadie se cansa, y mucho menos yo, de alabar la hazaña de Euler al sumar esta serie en 1734. Dicho sea de paso, Bernoulli tal vez creyó haber demostrado primero la divergencia de la serie armónica, pues desconocía el trabajo de Mengoli. Aunque tampoco este último podía cantar victoria, ya que Nicolás de Oresme descubrió una demostración en 1350, de la cual hablaremos en otra ocasión.
En lo que toca a la música, su tratado Speculationi di musica publicado una década después de su trabajo sobre series, se me hace muy interesante porque da una solución del problema que plantea una explicación clásica de la consonancia. Según esto, los tonos pueden pensarse como "pulsos" que se repiten con cierta frecuencia. Si dos tonos son tales que coinciden en sus pulsos, entonces los escuchamos como consonantes, y entre más frecuente sea esta coincidencia mayor será la sensación. Por eso, se supone, el unísono es muy grato, y de ahí las octavas, y luego las proporciones superparticulares como la quinta $3/2$ o la cuarta $3/4$, etcétera. El problema con esta teoría es que, si se desfasan los pulsos, nunca coincidirán; pese a ello, seguimos experimentando una sensación agradable. También pasa que, cuando no son perfectamente exactos los cocientes, nos sigue pareciendo placentero el resultado; cotejen la afinación justa contra la equitemperada si no me creen.
Mengoli resuelve el problema considerando que, más que las coincidencias, el oído detecta la alternancia de los pulsos. Así, la quinta que tiene una proporción de $3/2$, se escucha como el patrón $AABAB$ repetido periódicamente, donde con $A$ nos referimos a la sensación del primer tono y con $B$ al del segundo. Así, ya no importa si hay coincidencia perfecta, ni tampoco si la razón es tan exacta. Por ejemplo: la razón $301/201$ se percibe como que hay $301$ veces una $A$ y $201$ veces una $B$ repartidos adecuadamente según la fase, y "localmente" se oye como una quinta.
Más aún, con un complicado argumento fisiológico (inusitado para la época), concluye que estos cocientes son percibidos por el oído como el área (!) bajo la curva $f(x) = 1/x$, y que sabemos que se puede calcular por medio de logaritmos ¡lo cual corresponde bien al conocimiento actual sobre la percepción del sonido! Es por eso que, en música, para sumar intervalos multiplicamos y para restarlos dividimos en lo que frecuencias respecta.
Mengoli es famoso por haber sumado, en su Novae Quadraturae Arithmeticae de 1650, los recíprocos de los números oblongos y triangulares, observando que corresponden a lo que ahora llamamos una serie telescópica. Más específicamente, en símbolos modernos demostró primero que \[ \frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1}a_{2}}+\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{2}a_{3}}+\cdots+\frac{a_{n}-a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n}} = \frac{a_{n}-a_{1}}{a_{1}a_{n}}, \] y que con la sucesión $a_{n}=n$ nos devuelve las sumas parciales de la serie de los números oblongos $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}$ en el miembro izquierdo. Se sigue de inmediato que \[ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n-1}{n} = 1-\frac{1}{n} \] y, finalmente, se le aplica un razonamiento arquimediano para demostrar que la "extensión" de la serie entonces no es ni mayor a $1$ (lo que es bastante obvio) ni menor a $1$; esto último es menos obvio, pero con cualquier $\epsilon>0$ que esta extensión estuviera por debajo de $1$, habría un $n$ lo bastante grande para que $1-\epsilon < 1-\frac{1}{n}$, lo que es contradictorio.
También, en unas cuantas páginas del prefacio, demuestra que la serie armónica es divergente. Su argumento es maravilloso. Comienza por observar (en la notación moderna) que \[ \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} > \frac{3}{n}, \] lo que básicamente proviene del hecho de que la media aritmética de tres números consecutivos es mayor que su media armónica. Ahora todo es cuestión de agrupar los sumandos apropiadamente para ver que, bajo el supuesto de que $H=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ existe, sucede \[ \begin{multline*} H = 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7}+\ldots \\ =1+(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4})+(\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7})+\ldots \\ >1+\tfrac{3}{3}+\tfrac{3}{6}+\tfrac{3}{9} +\ldots = 1+(1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\ldots) = 1+H, \end{multline*} \] lo cual es contradictorio.
Seguro animado por el éxito con los números oblongos quiso aplicar sus técnicas para obtener la suma de los recíprocos de los números cuadrados, esto es, $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}$, pero fue en vano. Algunas décadas después Jacob Bernoulli demostró en su Positiones arithmeticae de seriebus infinitis de 1689 que el límite existe y es menor a $2$; nadie se cansa, y mucho menos yo, de alabar la hazaña de Euler al sumar esta serie en 1734. Dicho sea de paso, Bernoulli tal vez creyó haber demostrado primero la divergencia de la serie armónica, pues desconocía el trabajo de Mengoli. Aunque tampoco este último podía cantar victoria, ya que Nicolás de Oresme descubrió una demostración en 1350, de la cual hablaremos en otra ocasión.
En lo que toca a la música, su tratado Speculationi di musica publicado una década después de su trabajo sobre series, se me hace muy interesante porque da una solución del problema que plantea una explicación clásica de la consonancia. Según esto, los tonos pueden pensarse como "pulsos" que se repiten con cierta frecuencia. Si dos tonos son tales que coinciden en sus pulsos, entonces los escuchamos como consonantes, y entre más frecuente sea esta coincidencia mayor será la sensación. Por eso, se supone, el unísono es muy grato, y de ahí las octavas, y luego las proporciones superparticulares como la quinta $3/2$ o la cuarta $3/4$, etcétera. El problema con esta teoría es que, si se desfasan los pulsos, nunca coincidirán; pese a ello, seguimos experimentando una sensación agradable. También pasa que, cuando no son perfectamente exactos los cocientes, nos sigue pareciendo placentero el resultado; cotejen la afinación justa contra la equitemperada si no me creen.
Mengoli resuelve el problema considerando que, más que las coincidencias, el oído detecta la alternancia de los pulsos. Así, la quinta que tiene una proporción de $3/2$, se escucha como el patrón $AABAB$ repetido periódicamente, donde con $A$ nos referimos a la sensación del primer tono y con $B$ al del segundo. Así, ya no importa si hay coincidencia perfecta, ni tampoco si la razón es tan exacta. Por ejemplo: la razón $301/201$ se percibe como que hay $301$ veces una $A$ y $201$ veces una $B$ repartidos adecuadamente según la fase, y "localmente" se oye como una quinta.
Más aún, con un complicado argumento fisiológico (inusitado para la época), concluye que estos cocientes son percibidos por el oído como el área (!) bajo la curva $f(x) = 1/x$, y que sabemos que se puede calcular por medio de logaritmos ¡lo cual corresponde bien al conocimiento actual sobre la percepción del sonido! Es por eso que, en música, para sumar intervalos multiplicamos y para restarlos dividimos en lo que frecuencias respecta.
martes, 13 de febrero de 2018
Por el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia
Celebrando el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia, el canal Curiosamente sacó un muy buen video alusivo.
Sin embargo, me parece que en honor a los hechos, y con ánimo de justipreciar las contribuciones de tan excelentes personas, hay que hacer algunas precisiones.
- Hipatia. El afirmar que hizo un "mejoramiento" del astrolabio y atribuirle la "invención de un aparato para medir la densidad de los líquidos" son extrapolaciones de la correspondencia que mantuvo con su estudiante y amigo Sinesio de Cirene (veáse Booth, Charlotte. Hypatia: Mathematician, Philosopher, Myth. Fonthill Media, 2017). Más importante que eso creo yo que es muy probable que ayudara a su padre a editar "Los Elementos" de Euclides y el "Almagesto" de Ptolomeo, y que escribiera un comentario muy atinado de la "Aritmética" de Diofanto para fines pedagógicos. De los estudios historiográficos actuales, tampoco está claro que la turba que asesinó a la filósofa estuviera movida enteramente por motivos religiosos.
- Ada Lovelace. Dada la posición social de la que gozaba, podía darse el lujo (para su época) de dedicarse a la curiosidad científica, y a la matemática en particular. Sin duda era muy inteligente, pues aprendió rápidamente en correspondencia con Augustus de Morgan lo necesario sobre los números de Bernoulli para entender el algoritmo para generarlos, pero no sé si podría catalogarla como una matemática o que esto le hiciera falta para apreciar su genio (aquí debo confesar que mi criterio en cuanto a qué es un matemático enfrenta una dificultad, pues no sabría decir si su comentario al artículo de Menabrea es un artículo con un resultado original o no). Además, Babbage ya había escrito algoritmos para el ingenio analítico antes que Lovelace (véase Hammerman, Robin y Andrew L. Russell. Ada's Legacy: Cultures of Computing from the Victorian to the Digital Age. Morgan & Claypool, 2015).
- Marie Curie. Con todo y lo prodigiosa que fue, creo que también merece crédito Pierre Curie, que hizo investigaciones pioneras en el fénomeno de piezoelectricidad y que le fueron de utilidad a Marie para estudiar la radioactividad del uranio. Murió atropellado por un carro tirado por caballos, y sobre él dijo Marie: "Es imposible para mí expresar la profundidad e importancia de la crisis que ocasionó en mi vida la pérdida de quien fuera mi más íntimo compañero y mejor amigo." (Curie, Marie. Pierre Curie. Dover, 2012, p. 94).
- Mária Telkes. Tal vez habría que señalar que es probable que asegurara su lugar en la lista porque fue inducida al Salón Nacional de la Fama de los Inventores en Estados Unidos en 2012. Esto deja de lado, lamentablemente, el hecho de que la primera mujer en ser admitida ahí fue Gertrude Belle Elion en 1991 por desarrollar medicamentos contra la leucemia, el choque séptico y el rechazo de tejidos en pacientes a los que les han realizado transplante de riñón.
- Cecilia Payne-Gaposchkin. Según la misma Gaposchkin, inicialmente le interesaba la ciencia en general (estudió primero botánica) y no la astronomía en particular; además, sí le otorgaron su título retroactivamente.
- Rosalind Franklin. La forma en la que se explica su contribución a la ciencia hace pensar que ella se le adelantó a Watson y Crick en el descubrimiento de la estructura del ADN. Si bien es cierto que su trabajo experimental (sus fotografías, en particular) fueron cruciales para develear este misterio, lo cierto es que, como buena científica, no avanzó conclusión alguna hasta tener suficientes datos. Fue un tanto cuanto audacia de Watson y Crick el usar la matemática para demostrar que la estructura de hélice era correcta haciendo un uso cuestionable, eso sí, de lo recabado por Franklin y su colaborador Maurice Wilkins (véase Wilkins, Maurice. Autobiography. Oxford University Press, 2005).
- Jane Goodall. Es muy importante mencionar que el arqueólogo y antropólogo Louis Leakey la impulsó a estudiar los chimpancés; esta inquietud fue producto de sus investigaciones, que lo llevaron a preguntarse por el comportamiento de los parientes del ser humano. Lo mismo vale para las célebres Dian Fossey y Birutė Galdikas, las cuales ampliaron nuestros conocimientos sobre los gorilas y los orangutanes, respectivamente.
miércoles, 31 de enero de 2018
Sobre un cremonés (y no es Stradivarius)
Antes de que se acabe el mes, previendo que no tendré tiempo de ir agregando material por lo menos mensualmente (como desde hace años me he propuesto), y aun a riesgo de recibir reprimendas por parte de mi gran amigo JHS, quiero escribir un poco sobre algunos matemáticos que, en mi opinión, son relegados a un segundo plano (si acaso) en los cursos de Cálculo.
Quiero comenzar con un italiano que vivió entre los siglos XVII y XVIII llamado Guido Grandi. Se hizo famoso por afirmar en 1703 que la expansión en serie de potencias \[ \frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k}, \] que puede pensarse como la sustitución $\rho = -x$ aplicada a la suma de la serie geométrica $\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}=\frac{1}{1-\rho}$, sigue siendo válida cuando $x=1$. Esto lo condujo a concluir que \[ \frac{1}{2} = 1-1+1-1+\ldots \] Así, Grandi defendía que podía obtenerse algo (es decir, $1/2$), a partir de la nada \[ (1-1)+(1-1)+\ldots = 0+0+\ldots = 0 \] y con ello hacía apología de la omnipotencia de Dios (!), ignorando convenientemente que también podría ponerse \[ 1+(-1+1)+(-1+1)+\ldots = 1 + 0 + 0 + \ldots \] en cuyo caso mágicamente perdemos la mitad a partir del todo. Por estos discurrimientos la serie alternante $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}$ también recibe el nombre de la serie de Grandi, y ejemplifica a una que diverge pero no lo hace creciendo o decreciendo sin cota (además de dejarnos la moraleja de que no podemos confiar en la asociatividad de la suma si se hace con infinitos términos).
A este matemático cremonés se le debe igualmente un especimen muy socorrido de curva paramétrica cuya área debe ser hallada, a saber, las rosas (¿polares?), que introdujera en 1728. Están dadas según la ecuación \[ r(\theta) = \cos(k\theta) \] salvo por rotaciones y escalamientos, cuando $k$ es entero. Lo interesante es que tal área ¡sólo depende de la paridad de $k$! Se le ocurrieron también las clélias, definidas paramétricamente en tres dimensiones según \[ x = \sin(m\theta)\cos(\theta),\quad y = \sin(m\theta)\sin(\theta),\quad z = \cos(\theta) \] y que yacen sobre una esfera. Son menos conocidas que las rosas quizá excepto en el caso $m=1$, cuando resulta la llamada curva de Viviani (la cual al estudiar geometría diferencial nos entretiene muy bien con el cálculo de su longitud de arco y curvatura), y que surge de la intersección de un cilindro de diámetro igual al radio de una esfera de modo que sean tangentes. Estas curvas tridimensionales se llaman así en dedicatoria a Clelia Grillo Borromeo Arese, una mujer de muy notable inteligencia, particularmente para la matemática. Me pregunto por qué no imitan más este ejemplo para elegir nomenclaturas los matemáticos, que es muy del estilo de los músicos y otros artistas.
Quiero comenzar con un italiano que vivió entre los siglos XVII y XVIII llamado Guido Grandi. Se hizo famoso por afirmar en 1703 que la expansión en serie de potencias \[ \frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k}, \] que puede pensarse como la sustitución $\rho = -x$ aplicada a la suma de la serie geométrica $\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}=\frac{1}{1-\rho}$, sigue siendo válida cuando $x=1$. Esto lo condujo a concluir que \[ \frac{1}{2} = 1-1+1-1+\ldots \] Así, Grandi defendía que podía obtenerse algo (es decir, $1/2$), a partir de la nada \[ (1-1)+(1-1)+\ldots = 0+0+\ldots = 0 \] y con ello hacía apología de la omnipotencia de Dios (!), ignorando convenientemente que también podría ponerse \[ 1+(-1+1)+(-1+1)+\ldots = 1 + 0 + 0 + \ldots \] en cuyo caso mágicamente perdemos la mitad a partir del todo. Por estos discurrimientos la serie alternante $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}$ también recibe el nombre de la serie de Grandi, y ejemplifica a una que diverge pero no lo hace creciendo o decreciendo sin cota (además de dejarnos la moraleja de que no podemos confiar en la asociatividad de la suma si se hace con infinitos términos).
A este matemático cremonés se le debe igualmente un especimen muy socorrido de curva paramétrica cuya área debe ser hallada, a saber, las rosas (¿polares?), que introdujera en 1728. Están dadas según la ecuación \[ r(\theta) = \cos(k\theta) \] salvo por rotaciones y escalamientos, cuando $k$ es entero. Lo interesante es que tal área ¡sólo depende de la paridad de $k$! Se le ocurrieron también las clélias, definidas paramétricamente en tres dimensiones según \[ x = \sin(m\theta)\cos(\theta),\quad y = \sin(m\theta)\sin(\theta),\quad z = \cos(\theta) \] y que yacen sobre una esfera. Son menos conocidas que las rosas quizá excepto en el caso $m=1$, cuando resulta la llamada curva de Viviani (la cual al estudiar geometría diferencial nos entretiene muy bien con el cálculo de su longitud de arco y curvatura), y que surge de la intersección de un cilindro de diámetro igual al radio de una esfera de modo que sean tangentes. Estas curvas tridimensionales se llaman así en dedicatoria a Clelia Grillo Borromeo Arese, una mujer de muy notable inteligencia, particularmente para la matemática. Me pregunto por qué no imitan más este ejemplo para elegir nomenclaturas los matemáticos, que es muy del estilo de los músicos y otros artistas.
lunes, 8 de enero de 2018
Diálogo con mi hija
XIAS: ¡Guácala! ¡Un gusano!
OAAA: Más bien es una oruga, hija. Y acuérdate que después se transforman en mariposas o polillas.
XIAS: Esa no, papá. Está muerta.
:Ddomingo, 31 de diciembre de 2017
La última del 2017
Después de casi cuatro años (!), por fin aparece mi cuarto artículo "A note on a sumset in $\mathbb{Z}_{2k}$" en el Online Journal of Analytic of Combinatorics, después de ser rechazado por una revista de Elsevier y por la epi-revista de Timothy Gowers. ¡Sigue el trabajo para el quinto artículo!
Además, en este año que agoniza salieron las memorias del congreso de Puerto Vallarta y las del MCM 2017, en las cuales participé en su contenido y edición, y lo cual fue un honor y un placer.
La parte triste del año es la cantidad de matemáticos notables que nos han dejado. La siguiente lista no es, desde luego, exhaustiva.
Y pues, ¡feliz 2018!
Además, en este año que agoniza salieron las memorias del congreso de Puerto Vallarta y las del MCM 2017, en las cuales participé en su contenido y edición, y lo cual fue un honor y un placer.
La parte triste del año es la cantidad de matemáticos notables que nos han dejado. La siguiente lista no es, desde luego, exhaustiva.
- Kenneth Arrow.
- Kenneth Gross.
- William Massey.
- Uta Merzbach.
- Maryam Mirzakhani.
- Cathleen Morawetz.
- Marjorie Rice.
- Thomas Saaty.
- Raymond Smullyan.
- Gaisi Takeuti.
- Miles Tierney.
- Vladimir Voevodsky.
- Lotfi Zadeh.
Y pues, ¡feliz 2018!
miércoles, 29 de noviembre de 2017
Sobre la colecta de firmas por los aspirantes independientes
Según datos el Ine, la licenciada Margarita Zavala ha progresado de la siguiente manera en su recolección de firmas.
Si ajusta uno a estos datos una función de la forma $f(t) = kt^{m}$, usando Octave nos da $k=340.95$ y $m = 1.76$, redondeado a dos decimales, con errores en la predicción de menos del $1{.}5$%, y cuyos residuos a ojo de buen cubero se ven bien repartidos. Esto significa, en particular, que podemos esperar que Zavala logre recabar las $866593$ firmas que requiere (aunque, infortunadamente, no podemos saber si lo suficientemente bien repartidas como solicita el Ine), pues cuando $t=120$ resulta $f(120) = 1556143.7$.
Escribo esto trayendo a colación que la periodista Azucena Uresti proclamó que, al día de inicio de recolección de firmas, los aspirantes necesitaban un "crecimiento exponencial" en su actividad para alcanzar el objetivo, delatando incredulidad al respecto. Inmediatamente le corregí que no era necesario un crecimiento exponencial, sino simplemente lineal (aunque a una tasa extremadamente veloz). Lean su respuesta.
Además, Uresti persistió un par de semanas en señalar que se veían lejos de su meta los aspirantes, lo cual a mi parecer es falto de ética porque en su papel de comunicadora debe fomentar la participación ciudadana, no un escepticismo en la misma que mina a una institución como el Ine. Todo esto sin mencionar que un crecimiento exponencial precisamente se observa muy lento cuando inicia.
Como se puede ver, no necesitan los aspirantes un crecimiento exponencial en la colecta de firmas, pues con un crecimiento superlineal pero subcuadrático basta y sobra, que ojalá sostengan todos los que registrados para el beneficio de nuestra democracia. Aquí estudio el caso de Margarita Zavala porque me inclino por su candidatura, pero un análisis semejante es válido para otros candidatos y nos permite darnos una idea si les será posible o no contender en las elecciones del año que viene.
| Días transcurridos | Firmas recabadas |
|---|---|
| 8.00 | 13033.00 |
| 14.00 | 35738.00 |
| 16.00 | 44537.00 |
| 28.00 | 119841.00 |
| 38.00 | 201497.00 |
| 43.00 | 253168.00 |
Si ajusta uno a estos datos una función de la forma $f(t) = kt^{m}$, usando Octave nos da $k=340.95$ y $m = 1.76$, redondeado a dos decimales, con errores en la predicción de menos del $1{.}5$%, y cuyos residuos a ojo de buen cubero se ven bien repartidos. Esto significa, en particular, que podemos esperar que Zavala logre recabar las $866593$ firmas que requiere (aunque, infortunadamente, no podemos saber si lo suficientemente bien repartidas como solicita el Ine), pues cuando $t=120$ resulta $f(120) = 1556143.7$.
Escribo esto trayendo a colación que la periodista Azucena Uresti proclamó que, al día de inicio de recolección de firmas, los aspirantes necesitaban un "crecimiento exponencial" en su actividad para alcanzar el objetivo, delatando incredulidad al respecto. Inmediatamente le corregí que no era necesario un crecimiento exponencial, sino simplemente lineal (aunque a una tasa extremadamente veloz). Lean su respuesta.
Porque el que más registró fueron 1600 en un dia. Multiplicacion— Azucena Uresti (@azucenau) 19 de octubre de 2017
Además, Uresti persistió un par de semanas en señalar que se veían lejos de su meta los aspirantes, lo cual a mi parecer es falto de ética porque en su papel de comunicadora debe fomentar la participación ciudadana, no un escepticismo en la misma que mina a una institución como el Ine. Todo esto sin mencionar que un crecimiento exponencial precisamente se observa muy lento cuando inicia.
Como se puede ver, no necesitan los aspirantes un crecimiento exponencial en la colecta de firmas, pues con un crecimiento superlineal pero subcuadrático basta y sobra, que ojalá sostengan todos los que registrados para el beneficio de nuestra democracia. Aquí estudio el caso de Margarita Zavala porque me inclino por su candidatura, pero un análisis semejante es válido para otros candidatos y nos permite darnos una idea si les será posible o no contender en las elecciones del año que viene.
sábado, 9 de septiembre de 2017
Fibonacci por novena vez
Siendo matemático, me sorprende que ni cuenta me di cuando fui Fibonacci las ocho veces anteriores. Es probable que esta sea la antepenúltima vez que lo sea.
También me percato de que prácticamente nunca he hablado de los números de Fibonacci en mi bitácora, siendo que es un tópico matemático. Dos cosas me gustaría enumerar para "remediar" esto.
También me percato de que prácticamente nunca he hablado de los números de Fibonacci en mi bitácora, siendo que es un tópico matemático. Dos cosas me gustaría enumerar para "remediar" esto.
- Mi identidad favorita relativa a los números de Fibonacci es la de Cassini
\[
F_{n-1}F_{n+1} = F_{n}^{2}+(-1)^{n},
\]
pues explica una aparente paradoja geométrica semejante a una de las predilectas del buen Gardner.
El cuadrado tiene $34^{2}=1156$ unidades de área, mientras que el "rectángulo" de abajo tiene $55\times 21 = 1155$, ¿a dónde se fue la unidad cuadrada faltante? En realidad los triángulos se traslapan un poquito, pero apenas y se puede distinguir cuando esto representa menos del $0{.}1\%$ del área del cuadrado original.
- Uno de mis números de Fibonacci favoritos es el $144$, pues además es cuadrado; no tiene mucho que Yann Bugeaud, Maurice Mignotte y Samir Siksek demostraron que es el máximo con esa propiedad en lo que a potencia no trivial respecta (mi hermanazo JHS me dió la punta de madeja para saber que en cuanto a cuadrado el resultado se debe a J. H. E. Cohn y O. Wyler en 1964). Asimismo, una leyenda dice que en los últimos días del matemático Thomas Fantet de Lagny este parecía tan lánguido que sus amigos no sabían si aún estaba consciente. Para averiguarlo, uno de ellos le preguntó: "¿Cuál es el cuadrado de $12$?" y la vida de Lagny sólo le alcanzó para responder "$144$". Por cierto, mientras Lagny estudiaba fracciones continuas se le adelantó a Gabriel Lamé en descubrir que al algoritmo de Euclides le toma el máximo número de iteraciones para determinar el máximo común divisor justamente cuando la entrada son dos números consecutivos de Fibonacci.
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miércoles, 23 de agosto de 2017
Saltos inesperados entre los primos
Esta es la "transcripción" de mi "conferencia-discurso" motivacional para los estudiantes que ingresarán a la Licenciatura en Matemática Aplicada de la Universidad Tecnológica de la Mixteca. Mucho del material sobre Yitang Zhang lo obtuve del artículo de Alec Wilkinson para The New Yorker.
Soy del todo sincero al declarar que es un honor y un gusto enorme dirigirme a ustedes, matemáticos en ciernes (aplicados, lo sé, pero yo no lo soy de forma propiamente dicha, sin mencionar que aún así son matemáticos a fin de cuentas), para darles algo de motivación.
Y como ya me ha pasado varias veces en que he aceptado encomiendas similares, descubro que me arrojo a una empresa que no tengo la menor idea de cómo realizar. Intenciones, sí, tengo muchas, pero no un plan trazado de antemano.
Pensé entonces en la clásica maña de preguntarse "¿qué clase de plática motivacional me hubiera gustado escuchar a mí?", y me resulta particularmente punzante porque yo estudié aquí en la UTM y de verdad me hubiera gustado recibir algunas palabras de aliento previas a iniciar el semestre. Mi respuesta es que mi idea e intención original no es mala en lo absoluto.
Primero que nada, la convocatoria pedía "un panorama sobre la matemática y el campo laboral de los egresados de matemática". Ambas cosas son desafiantes, pues incluso teniendo una semana para ello sería difícil, e imposible para un individuo, dar una visión de campo decente de nuestra disciplina. Lo del campo laboral, sobra decir, es un asunto espinoso.
Por eso es que quiero hablarles de Yitang Zhang.
El doctor Zhang es muy notable por haber demostrado, en 2013, que la pregunta
Regresando al doctor Zhang, nació en los años cincuenta en Shangai, China. Cuando cumplió quince años, como parte de la Gran Revolución Cultural, fue obligado junto con su madre a ir a una granja para labrar el campo; su padre fue enviado a otro lado. A Zhang le gustaba mucho leer (y la matemática en especial), pero no le permitían hacerlo porque no era esencial para la "lucha de clases" del proletariado. De todos modos, prácticamente todas las escuelas y universidades cerraron, y por eso Zhang trabajó diez años como campesino y no estudió el bachillerato. De modo que, a la primera oportunidad, entró directo a la Universidad de Pekín, y eso fue cuando tenía veintitrés años. En ese punto las cosas empezaron a ir como miel sobre hojuelas: obtuvo su grado de licenciatura en cuatro años, el de maestría en dos y obtuvo recomendaciones para hacer su doctorado en Estados Unidos, en la Universidad de Purdue.
El viento en popa dejó de soplar en este continente, sin embargo. A Zhang le apasionaba la teoría de números, pero el presidente de la universidad de Pekín, Ding Shisun, lo obligó a dedicarse a la geometría algebraica en aras del "bien común".
Zhang obedeció, y trabajó en un problema muy difícil denominado la conjetura del jacobiano. No pudo resolverla en los siete años que estudió el doctorado; realizó algún avance al respecto, pero nada verdaderamente notable, y además no quedó en buenos términos con su director de tesis en Estados Unidos. Sobra decir que no recibió cartas de recomendación, y por eso no encontró trabajo como académico.
Tuvo algunos empleos temporales: como contador y repartidor para un restaurante de Nueva York, en un motel (!), y otra vez como contador y cajero en un restaurante especializado en emparedados. Esto último fue porque se unió a un grupo político en pro de las libertades en China, y uno de sus miembros, que también no tenía ingresos, se le ocurrió comprar una franquicia y ocupar a Zhang para los números por evidentes razones. Durante ese periodo, Zhang iba a la biblioteca de la Universidad de Kentucky para leer revistas de geometría algebraica y teoría de números pero, según él mismo declara, "no mantuvo su sueño de hacer matemática".
Hasta 1999 lo contrataron en la Universidad de New Hampshire. Ahí dio clases de cálculo durante mucho tiempo en el campus de Durham, y el mismo jefe del departamento de matemática, Eric Grinberg, "iba de vez en cuando a recordarle que su puesto era temporal". Pero siempre Zhang siempre le respondía que le agradecía el tiempo que le permitían estar ahí.
Para 2001 había publicado solamente dos artículos. En uno, de 1985, no obtuvo nada realmente nuevo según el revisor de Mathematical Reviews; al otro, de 2001, el revisor lo calificó de "notable", aunque, por supuesto, no lo suficiente para obtener una definitividad, y en 2007 subió a arXiv otro sobre una variante de la conjetura de Landau-Siegel (que también es muy importante), pero está incompleto y, obviamente, permanece sin publicar "oficialmente". Muy poca gente sabía seguramente que trabajaba en la cuestión de las cotas sobre los saltos entre primos, y que logró terminar a finales del 2012. Su esposa le preguntaba: "¿qué haces?" y le contestaba "Estoy trabajando, estoy pensando", no entendía y le decía "¿Cómo que estás trabajando?". Y Zhang no hallaba cómo explicarle a su esposa. Revisó pues, su artículo minuciosamente y lo mandó por fin en 2013 a Annals of Mathematics, una de las revistas más prestigiosas de matemática (ahí, por ejemplo, apareció la demostración del teorema de Fermat-Wiles). El editor mandó el artículo para que lo revisaran Henryk Iwaniec y John Friedlander, quienes eran ni más ni menos que los autores de una técnica fundamental para el resultado de Zhang. Lo examinaron hasta el más mínimo detalle y su veredicto final fue positivo: "los resultados son del más alto rango. El autor ha tenido éxito en demostrar un teorema que hará época en lo que respecta a la distribución de los números primos. Aunque hemos estudiado los argumentos concienzudamente, nos ha sido difícil encontrar incluso los deslices más pequeños. Estamos muy contentos de recomendar enfáticamente su publicación en Annals".
El resto es historia, aunque para mí fue emocionante porque lo seguí en vivo. Primero hubo mucho ruido y se filtró una versión preliminar del artículo en la red (pero la versión definitiva no se puede descargar gratuitamente, y el autor no colgó una en arXiv). En todo caso, Zhang demostró que el salto entre primos consecutivos que se repite infinitamente es, cuando mucho, setenta millones. Este número lo escogió para garantizar que todo fluyera bien en su demostración, pero desde luego no es óptimo. Vi en arXiv cómo saltaron las primeras notas que lo iban bajando, y leí cómo Terence Tao empezó a coordinar los esfuerzos en el proyecto Polymath8, y entonces varias personas iban haciendo observaciones teóricas, escribiendo código, etcétera, hasta que lograron hacerlo descender a 246. El grupo sí subió sus resultados a arXiv, en 2014.
Cuando le preguntaron a Zhang en una entrevista cuál es un talento que un matemático debe tener, contestó: "Concentración, y nunca doblegar su personalidad. Quizá lo que tienes enfrente es muy complicado, es largo, pero debes poder sujetar los puntos principales con tu intuición".
Creo que hay varias moralejas de todo esto, pero quisiera señalar las siguientes:
Dicho todo esto, no me queda más que darles la bienvenida a la Universidad Tecnológica de la Mixteca, y ojalá sea el vehículo para que alcancen sus aspiraciones en la matemática. Enhorabuena.
Soy del todo sincero al declarar que es un honor y un gusto enorme dirigirme a ustedes, matemáticos en ciernes (aplicados, lo sé, pero yo no lo soy de forma propiamente dicha, sin mencionar que aún así son matemáticos a fin de cuentas), para darles algo de motivación.
Y como ya me ha pasado varias veces en que he aceptado encomiendas similares, descubro que me arrojo a una empresa que no tengo la menor idea de cómo realizar. Intenciones, sí, tengo muchas, pero no un plan trazado de antemano.
Pensé entonces en la clásica maña de preguntarse "¿qué clase de plática motivacional me hubiera gustado escuchar a mí?", y me resulta particularmente punzante porque yo estudié aquí en la UTM y de verdad me hubiera gustado recibir algunas palabras de aliento previas a iniciar el semestre. Mi respuesta es que mi idea e intención original no es mala en lo absoluto.
Primero que nada, la convocatoria pedía "un panorama sobre la matemática y el campo laboral de los egresados de matemática". Ambas cosas son desafiantes, pues incluso teniendo una semana para ello sería difícil, e imposible para un individuo, dar una visión de campo decente de nuestra disciplina. Lo del campo laboral, sobra decir, es un asunto espinoso.
Por eso es que quiero hablarles de Yitang Zhang.
El doctor Zhang es muy notable por haber demostrado, en 2013, que la pregunta
¿Existe una distancia tal que existen infinitos primos consecutivos separados por ella?se contesta afirmativamente. La razón por la que es famosa es porque está ligada a la de los primos gemelos, que dice
¿Existen infinitos primos consecutivos a distancia dos?y que, tristemente, no sabemos todavía si se puede responder con un "sí".
Regresando al doctor Zhang, nació en los años cincuenta en Shangai, China. Cuando cumplió quince años, como parte de la Gran Revolución Cultural, fue obligado junto con su madre a ir a una granja para labrar el campo; su padre fue enviado a otro lado. A Zhang le gustaba mucho leer (y la matemática en especial), pero no le permitían hacerlo porque no era esencial para la "lucha de clases" del proletariado. De todos modos, prácticamente todas las escuelas y universidades cerraron, y por eso Zhang trabajó diez años como campesino y no estudió el bachillerato. De modo que, a la primera oportunidad, entró directo a la Universidad de Pekín, y eso fue cuando tenía veintitrés años. En ese punto las cosas empezaron a ir como miel sobre hojuelas: obtuvo su grado de licenciatura en cuatro años, el de maestría en dos y obtuvo recomendaciones para hacer su doctorado en Estados Unidos, en la Universidad de Purdue.
El viento en popa dejó de soplar en este continente, sin embargo. A Zhang le apasionaba la teoría de números, pero el presidente de la universidad de Pekín, Ding Shisun, lo obligó a dedicarse a la geometría algebraica en aras del "bien común".
Zhang obedeció, y trabajó en un problema muy difícil denominado la conjetura del jacobiano. No pudo resolverla en los siete años que estudió el doctorado; realizó algún avance al respecto, pero nada verdaderamente notable, y además no quedó en buenos términos con su director de tesis en Estados Unidos. Sobra decir que no recibió cartas de recomendación, y por eso no encontró trabajo como académico.
Tuvo algunos empleos temporales: como contador y repartidor para un restaurante de Nueva York, en un motel (!), y otra vez como contador y cajero en un restaurante especializado en emparedados. Esto último fue porque se unió a un grupo político en pro de las libertades en China, y uno de sus miembros, que también no tenía ingresos, se le ocurrió comprar una franquicia y ocupar a Zhang para los números por evidentes razones. Durante ese periodo, Zhang iba a la biblioteca de la Universidad de Kentucky para leer revistas de geometría algebraica y teoría de números pero, según él mismo declara, "no mantuvo su sueño de hacer matemática".
Hasta 1999 lo contrataron en la Universidad de New Hampshire. Ahí dio clases de cálculo durante mucho tiempo en el campus de Durham, y el mismo jefe del departamento de matemática, Eric Grinberg, "iba de vez en cuando a recordarle que su puesto era temporal". Pero siempre Zhang siempre le respondía que le agradecía el tiempo que le permitían estar ahí.
Para 2001 había publicado solamente dos artículos. En uno, de 1985, no obtuvo nada realmente nuevo según el revisor de Mathematical Reviews; al otro, de 2001, el revisor lo calificó de "notable", aunque, por supuesto, no lo suficiente para obtener una definitividad, y en 2007 subió a arXiv otro sobre una variante de la conjetura de Landau-Siegel (que también es muy importante), pero está incompleto y, obviamente, permanece sin publicar "oficialmente". Muy poca gente sabía seguramente que trabajaba en la cuestión de las cotas sobre los saltos entre primos, y que logró terminar a finales del 2012. Su esposa le preguntaba: "¿qué haces?" y le contestaba "Estoy trabajando, estoy pensando", no entendía y le decía "¿Cómo que estás trabajando?". Y Zhang no hallaba cómo explicarle a su esposa. Revisó pues, su artículo minuciosamente y lo mandó por fin en 2013 a Annals of Mathematics, una de las revistas más prestigiosas de matemática (ahí, por ejemplo, apareció la demostración del teorema de Fermat-Wiles). El editor mandó el artículo para que lo revisaran Henryk Iwaniec y John Friedlander, quienes eran ni más ni menos que los autores de una técnica fundamental para el resultado de Zhang. Lo examinaron hasta el más mínimo detalle y su veredicto final fue positivo: "los resultados son del más alto rango. El autor ha tenido éxito en demostrar un teorema que hará época en lo que respecta a la distribución de los números primos. Aunque hemos estudiado los argumentos concienzudamente, nos ha sido difícil encontrar incluso los deslices más pequeños. Estamos muy contentos de recomendar enfáticamente su publicación en Annals".
El resto es historia, aunque para mí fue emocionante porque lo seguí en vivo. Primero hubo mucho ruido y se filtró una versión preliminar del artículo en la red (pero la versión definitiva no se puede descargar gratuitamente, y el autor no colgó una en arXiv). En todo caso, Zhang demostró que el salto entre primos consecutivos que se repite infinitamente es, cuando mucho, setenta millones. Este número lo escogió para garantizar que todo fluyera bien en su demostración, pero desde luego no es óptimo. Vi en arXiv cómo saltaron las primeras notas que lo iban bajando, y leí cómo Terence Tao empezó a coordinar los esfuerzos en el proyecto Polymath8, y entonces varias personas iban haciendo observaciones teóricas, escribiendo código, etcétera, hasta que lograron hacerlo descender a 246. El grupo sí subió sus resultados a arXiv, en 2014.
Cuando le preguntaron a Zhang en una entrevista cuál es un talento que un matemático debe tener, contestó: "Concentración, y nunca doblegar su personalidad. Quizá lo que tienes enfrente es muy complicado, es largo, pero debes poder sujetar los puntos principales con tu intuición".
Creo que hay varias moralejas de todo esto, pero quisiera señalar las siguientes:
- Hay que tener determinación y paciencia para la matemática, y para la vida en general.
- Hay mucha presión por parte del entorno: expectativas de los colegas, de la familia, presiones laborales, económicas, pero si lo que a uno le apasiona es la matemática, hay que buscar cómo lidiar con ello para seguir haciéndolas.
- Continuando sobre el punto anterior, me gusta esta frase de Einstein de 1954:
Si fuera joven de nuevo y tuviera que decidir cómo ganarme la vida, no trataría de convertirme en científico, académico o maestro. Preferiría elegir ser plomero o vendedor ambulante, con la esperanza de encontrar ese modesto grado de independencia que aún se puede lograr en las presentes circunstancias.
- Lo que dice la canción de José Alfredo Jiménez: "No hay que llegar primero, sino hay que saber llegar". A Zhang le dieron su definitividad por fin en 2014 en New Hampshire, a consecuencia de la demostración, pero además le llovían las ofertas de otros lados. Aceptó la de la Universidad de California, en el campus de Santa Barbara. Seguramente ahí esperarán el tiempo que sea necesario para que logre nuevos avances en la teoría de números.
Completé mi doctorado en matemática aplicada en la Universidad de Texas e hice un posdoctorado en Vanderbilt. El enfoque de mi investigación fue ecuaciones no lineales en derivadas parciales. Después de mi posdoctorado decidí dejar la academia. Trabajé como desarrollador de software y administrador de proyectos durante varios años. En 2000 llegué al centro médico Anderson sobre el cáncer, primero como administrador de desarrollo de software, y después como investigador en estadística. Mi trabajo se centró en la estadística bayesiana, ensayos clínicos y desarrollo de algoritmos numéricos.Y para no hacer largo un cuento corto, su enumeración de lo que lo que más ocupa en su profesión es la siguiente:
- probabilidad,
- ecuaciones diferenciales,
- grandes redes (teoría de grafos),
- análisis complejo,
- análisis numérico,
- análisis funcional,
- filtrado y procesamiento de señales.
Mucha de la llamada 'matemática aplicada' solo es potencialmente aplicada, porque nadie ha realizado el arduo trabajo de aplicarla. Me gusta escarbar en los problemas reales y usar cualquier cosa que me sirva para crear una solución.De lo que he leído en su bitácora, incluso la zeta de Riemann le ha resultado de utilidad alguna vez. Asimismo, y en sintonía con las lecciones de la vida de Zhang, dice que trabajar por su cuenta al principio fue muy lento y ganaba poco dinero, por lo que le sirvió mucho tener un buen ahorro antes de empezar. El corolario obvio de esto es que, de partida, hay que trabajar en lo que sea que deje suficiente dinero como para acumular un poco, y luego ya usar eso como trampolín para crecer.
Dicho todo esto, no me queda más que darles la bienvenida a la Universidad Tecnológica de la Mixteca, y ojalá sea el vehículo para que alcancen sus aspiraciones en la matemática. Enhorabuena.
lunes, 24 de julio de 2017
Buenos recuerdos del MCM 2017
Se me antojó asentar por escrito que:
- Mi recital del MCM 2017 reclama el título de ser el mejor que he ofrecido en toda mi vida hasta la fecha (antes había sido el de la UTM del 2001, hace poco menos de 16 años), lo cual me llena de júbilo porque el público era de lo más conocedor. El Dr. Mazzola me proporcionó una reseña como la de Ponce a Segovia en 1923: "[Escucharte es] experimentar una sensación de intimidad". Heinz Geisser (calificado por el Dr. Mazzola como un "auténtico músico"), quien por cierto tiene preparación académica como guitarrista, también me dijo que había estado muy bien. Los aplausos fueron muy generosos e, intuyo, completamente sinceros, y condujeron naturalmente a un encore para el que, con franqueza, no estaba preparado. ¡Albricias!
- De la misma manera, mi nano-curso fue bastante bien recibido, y en particular el Dr. Mazzola opinó que fue una gran ocasión para discutir en vivo algunos temas, lo cual sería bueno incorporar en futuros congresos; no al estilo de los foros, donde hasta cierto punto las respuestas están precalculadas, sino al estilo de un seminario. He tomado nota para futuras referencias.
miércoles, 21 de junio de 2017
En las vísperas del MCM 2017
Faltan pocos días para que inicie el MCM 2017.
Si no me equivoco será la primera ocasión, después del festival de guitarra de San Miguel Allende al que fuí una vez en 2004, en que toco frente a un público de músicos profesionales (y algunos son guitarristas, además). Me aterra, pero al mismo tiempo me emociona. Ojalá salga bien librado.
También está lo de mi nano-curso. Le puse el prefijo "nano" por la proporción que guarda con el material, pues la idea es dar un bosquejo general de la teoría matemática de la música de Guerino Mazzola en sólo tres días. Además, como no creo que asistan a todas las sesiones, cada "clase" debe ser lo más autocontenida posible.
Y celebramos los 65 y 70 años de los doctores Emilio Lluis-Puebla y Guerino Mazzola, mis grandes mentores y amigos, por si no fuera suficiente.
Si no me equivoco será la primera ocasión, después del festival de guitarra de San Miguel Allende al que fuí una vez en 2004, en que toco frente a un público de músicos profesionales (y algunos son guitarristas, además). Me aterra, pero al mismo tiempo me emociona. Ojalá salga bien librado.
También está lo de mi nano-curso. Le puse el prefijo "nano" por la proporción que guarda con el material, pues la idea es dar un bosquejo general de la teoría matemática de la música de Guerino Mazzola en sólo tres días. Además, como no creo que asistan a todas las sesiones, cada "clase" debe ser lo más autocontenida posible.
Y celebramos los 65 y 70 años de los doctores Emilio Lluis-Puebla y Guerino Mazzola, mis grandes mentores y amigos, por si no fuera suficiente.
miércoles, 31 de mayo de 2017
Encuentros personales con el teorema del valor medio
- Según confirmo en un artículo de "The Economist" (aunque había visto el dato en otra parte investigando sobre cuestiones de lectura relacionadas con el Suneo), cuando uno cumple unos $1500$ días uno ya sabe $5000$ palabras. No es descabellado suponer que la función que asocia a cada instante de tiempo vivido el número de palabras que uno sabe es no decreciente (por lo menos hasta los cuatro años), y que podemos interpolarla con una función diferenciable. Entonces, por el teorema del valor medio, existe un momento antes de nuestro cuarto cumpleaños en que aprendimos ¡a una velocidad de $\frac{5000}{1500} \approx 7$ palabras por día! Recuerdo que en la fuente que me informó sobre la asimilación de vocabulario hace un cálculo semejante y luego lo desacredita, pero yo creo que esto habla de la rapidez con la que aprendemos a hablar y que muchas veces pasa desapercibida para nuestros padres. Para ser más claros (y discretos): si aprendiéramos solamente 5 palabras o menos cada día hasta los cuatro años, nuestro léxico no podría rebasar las ocho mil palabras.
- En la UTM están ampliando algunos pasillos, y tuve la siguiente conversación con un estudiante de matemática:
- O: Va a quedar perfecto que añadan este pasillo, va a desahogar mucho el tránsito de estudiantes, especialmente en las mañanas.
- X: (Gesto de inconformidad).
- O: ¿No?
- X: ¡Es que va a quedar muy empinado!
- O: Pues por el teorema del valor medio, tiene que haber un punto en los tramos adicionales con la inclinación que de por sí trae el cerro.
- X: No, pues sería irrazonable argumentar contra eso.
viernes, 31 de marzo de 2017
Por qué no soy guitarrista de concierto
Quien me lee sabe que soy aficionado a la música de Daft Punk, especialmente del álbum "Random Access Memories". Ya he dicho también cómo es que me enamoré de la matemática y decidí estudiarla profesionalmente, y por fin cumpliré con dar algunos detalles en cuanto a cómo es que no estudié música. Pues resulta que mucho de lo que dice de viva voz Giorgio Moroder en la pista "Giorgio by Moroder" es aplicable casi a la letra (!) a mi persona:
Recuerdo que desde que tenía unos 8 años quería aprender a leer música, y que incluso en un programa del canal local lo explicaron con una escalera, pero nunca entendí, y eso era motivo de mucha frustración para mí. En particular, porque había desarrollado, a raíz de un desafío, un profundo gusto por la música de concierto (la del barroco europeo, para ser más específico). Cuando tenía unos once años, preinstalado en la computadora que compró mi padre, venía el videojuego "Lenny's MusicToons". En particular, en la sección "Pitch Attack", uno tenía que disparar según la nota que se ponía en el pentagrama para ir subiendo de rango hasta llegar a general de división. Lo jugué prácticamente con adicción y, aunque no llegué hasta el máximo nivel, sí aprendí mucho.
Así, cuando fue obligado comprar una flauta de pico para la clase de apreciación musical en la secundaria, me resultó sumamente fácil y deleitoso aprender a tocar, especialmente teniendo a la mano el diagrama de digitaciones que incluye el instrumento.
Me pasaba las tardes y noches jugando y practicando con la computadora y tocando... para la desdicha de los oídos de mi padre. Fue entonces que me llamó y me dijo: "¿Por qué no mejor aprendes a tocar la guitarra?". Asentí y acto seguido trajo el susodicho instrumento, me enseñó medianamente a templarla y me cedió toda su colección de revistas "Guitarra Fácil", deseándome buena suerte para dominar el material.
Después de examinar la colección con algo de cuidado concluí que era milagroso poder, al vuelo, mudar de una pisada a otra mientras se cantaba (todavía hoy me resulta difícil acompañar mi propio canto, cuando muy en privado me animo a ensayarlo), y después de intentarlo un par de semanas, desistí y continué con la flauta de pico.
Al poco de eso me inscribí al taller de música de la secundaria, pero resulta que la flauta de pico no es un instrumento bien valorado en las presentaciones públicas. Me percaté que lo opuesto pasa con la guitarra, y observé con cuidado cómo el maestro enseñaba los rudimentos a los guitarristas. Repetí todo ello en mi casa, y en más o menos un mes logré la hazaña de tocar las canciones del repertorio que presentaría el grupo. El maestro consintió en que me integrara a los guitarristas, me tomó algo de aprecio y me enseñó un poco más, de lo que llaman "guitarra clásica", y después por mi cuenta probé hacer algunas transcripciones (tan audaces y descabelladas como de los primeros compases de la Quinta Sinfonía de Beethoven). En mi juvenil candidez e ignorancia, suponía que nadie más hacía eso.
Me sacó de mi error una guitarrista profesional que sucedió al maestro a cargo del taller de música. Además de corregir (y al mismo tiempo echar a perder) mis posturas para lograr un mejor dominio del instrumento, no dejó de recalcarme que mis dedos no servían para tocar la guitarra.
Al proseguir hacia la preparatoria, por casualidad se conjuntaron entre los alumnos dos chelistas, un clarinetista, un violinista, una fagotista y una soprano, y con ellos formaron un ensamble que interpretó un peculiar repertorio para un aniversario de la institución educativa. Las autoridades de la escuela se enteraron de que tocaba algo bien la guitarra y me sumaron al conjunto. Así conocí al violinista y a su profesora, que era miembro del Ensamble Tao. Le pregunté si sabía de alguien que enseñara guitarra de concierto, y me respondió que por casualidad se les uniría un guitarrista que había estudiado en la Escuela Nacional de Música (ENM, hoy Facultad de Música de la Unam), de nombre Julio García, y que accedió a instruirme.
Afirmo, y creo que sin exageración, que todo lo que sé (bien) se lo debo al maestro Julio, y con él consulté mi intención de ser guitarrista de concierto e ingresar también a la ENM. No recuerdo exactamente si me dijo si sí o no; mi padre también le preguntó y en mi memoria su respuesta fue básicamente "Debe intentarlo para saberlo", y que no fue satisfactoria para mi padre.
Sin un bachillerato en artes, supe que tenía que hacer estudios equivalentes en la ENM antes de entrar propiamente a la licenciatura en instrumentista, lo cual no me pareció muy seductor, pero aún así presenté el examen de admisión. Sospecho que mi padre, al mirar lo serio de mis intenciones de estudiar música, me advirtió sutilmente que no las financiaría. No tuve el valor para arrojarme a la empresa sin soporte económico; tal vez cometí un error, tal vez no.
Solamente me falta agregar que, paralelamente a todo ello, en otra computadora había un programa para secuenciación de MIDI, y que fatigué persiguiendo ser compositor, pues la máquina nunca respingaba ante mis desvaríos. He tenido la bendición y maldición de poder seguir haciendo eso (lo digo porque únicamente una vez he podido componer algo sin usar la computadora). Creo que mi crónica puede concluir igual que como lo hace Moroder.
P. D.: Por un descuido imperdonable olvidé mencionar a mi gran amigo José Alberto Allec Campos quien, mientras trabajó en la constructura de mi padre, me enseñó la teoría musical básica, como lo es el círculo de quintas y cómo construir las armaduras de las distintas tonalidades, entre otras cosas, y por las que le estaré eternamente agradecido.
When I was fifteen, sixteen, when I really started to play the guitar,Angélica anota jocosamente: "Y no es que Agustín-Aquino se arrepienta y confiese su culpa, sino que su autobiografía es una copia textual de las memorias de Giorgio Moroder. Pero nosotros, que amamos a Agustín-Aquino, creemos que estas conductas que se le atribuyen le son totalmente ajenas. Probablemente sean de Giorgio Moroder".
I definitely wanted to become a musician.
It was almost impossible because the dream was so big.
I didn't see any chance because I was living in a little town; I was studying.
And when I finally broke away from school and became a musician [Esto es lo que me falló a mí]
I thought, "Well, now I may have a little bit of a chance,"
Because all I really wanted to do is music – and not only play music
But compose music.
Recuerdo que desde que tenía unos 8 años quería aprender a leer música, y que incluso en un programa del canal local lo explicaron con una escalera, pero nunca entendí, y eso era motivo de mucha frustración para mí. En particular, porque había desarrollado, a raíz de un desafío, un profundo gusto por la música de concierto (la del barroco europeo, para ser más específico). Cuando tenía unos once años, preinstalado en la computadora que compró mi padre, venía el videojuego "Lenny's MusicToons". En particular, en la sección "Pitch Attack", uno tenía que disparar según la nota que se ponía en el pentagrama para ir subiendo de rango hasta llegar a general de división. Lo jugué prácticamente con adicción y, aunque no llegué hasta el máximo nivel, sí aprendí mucho.
Así, cuando fue obligado comprar una flauta de pico para la clase de apreciación musical en la secundaria, me resultó sumamente fácil y deleitoso aprender a tocar, especialmente teniendo a la mano el diagrama de digitaciones que incluye el instrumento.
Me pasaba las tardes y noches jugando y practicando con la computadora y tocando... para la desdicha de los oídos de mi padre. Fue entonces que me llamó y me dijo: "¿Por qué no mejor aprendes a tocar la guitarra?". Asentí y acto seguido trajo el susodicho instrumento, me enseñó medianamente a templarla y me cedió toda su colección de revistas "Guitarra Fácil", deseándome buena suerte para dominar el material.
Después de examinar la colección con algo de cuidado concluí que era milagroso poder, al vuelo, mudar de una pisada a otra mientras se cantaba (todavía hoy me resulta difícil acompañar mi propio canto, cuando muy en privado me animo a ensayarlo), y después de intentarlo un par de semanas, desistí y continué con la flauta de pico.
Al poco de eso me inscribí al taller de música de la secundaria, pero resulta que la flauta de pico no es un instrumento bien valorado en las presentaciones públicas. Me percaté que lo opuesto pasa con la guitarra, y observé con cuidado cómo el maestro enseñaba los rudimentos a los guitarristas. Repetí todo ello en mi casa, y en más o menos un mes logré la hazaña de tocar las canciones del repertorio que presentaría el grupo. El maestro consintió en que me integrara a los guitarristas, me tomó algo de aprecio y me enseñó un poco más, de lo que llaman "guitarra clásica", y después por mi cuenta probé hacer algunas transcripciones (tan audaces y descabelladas como de los primeros compases de la Quinta Sinfonía de Beethoven). En mi juvenil candidez e ignorancia, suponía que nadie más hacía eso.
Me sacó de mi error una guitarrista profesional que sucedió al maestro a cargo del taller de música. Además de corregir (y al mismo tiempo echar a perder) mis posturas para lograr un mejor dominio del instrumento, no dejó de recalcarme que mis dedos no servían para tocar la guitarra.
Al proseguir hacia la preparatoria, por casualidad se conjuntaron entre los alumnos dos chelistas, un clarinetista, un violinista, una fagotista y una soprano, y con ellos formaron un ensamble que interpretó un peculiar repertorio para un aniversario de la institución educativa. Las autoridades de la escuela se enteraron de que tocaba algo bien la guitarra y me sumaron al conjunto. Así conocí al violinista y a su profesora, que era miembro del Ensamble Tao. Le pregunté si sabía de alguien que enseñara guitarra de concierto, y me respondió que por casualidad se les uniría un guitarrista que había estudiado en la Escuela Nacional de Música (ENM, hoy Facultad de Música de la Unam), de nombre Julio García, y que accedió a instruirme.
Afirmo, y creo que sin exageración, que todo lo que sé (bien) se lo debo al maestro Julio, y con él consulté mi intención de ser guitarrista de concierto e ingresar también a la ENM. No recuerdo exactamente si me dijo si sí o no; mi padre también le preguntó y en mi memoria su respuesta fue básicamente "Debe intentarlo para saberlo", y que no fue satisfactoria para mi padre.
Sin un bachillerato en artes, supe que tenía que hacer estudios equivalentes en la ENM antes de entrar propiamente a la licenciatura en instrumentista, lo cual no me pareció muy seductor, pero aún así presenté el examen de admisión. Sospecho que mi padre, al mirar lo serio de mis intenciones de estudiar música, me advirtió sutilmente que no las financiaría. No tuve el valor para arrojarme a la empresa sin soporte económico; tal vez cometí un error, tal vez no.
Solamente me falta agregar que, paralelamente a todo ello, en otra computadora había un programa para secuenciación de MIDI, y que fatigué persiguiendo ser compositor, pues la máquina nunca respingaba ante mis desvaríos. He tenido la bendición y maldición de poder seguir haciendo eso (lo digo porque únicamente una vez he podido componer algo sin usar la computadora). Creo que mi crónica puede concluir igual que como lo hace Moroder.
Once you free your mind about a concept ofY la mejor manera de liberarse de las ataduras es, aunque no lo crean, la Matemática.
harmony and music being correct
you can do whatever you want.
So, nobody told me what to do,
and there was no preconception of what to do.
P. D.: Por un descuido imperdonable olvidé mencionar a mi gran amigo José Alberto Allec Campos quien, mientras trabajó en la constructura de mi padre, me enseñó la teoría musical básica, como lo es el círculo de quintas y cómo construir las armaduras de las distintas tonalidades, entre otras cosas, y por las que le estaré eternamente agradecido.
miércoles, 15 de febrero de 2017
¿Para ser como Bill Gates?
No están tan atinados los artículos periodísticos que circulan en la red que aseguran que puede uno leer 200 libros al año. Para empezar, esto lo sacaron de una bitácora de alguien que usa la velocidad máxima de lectura (¡400 palabras por minuto!) de sus datos (que, por cierto, no indica la fuente de los mismos). Según calculo a partir de los datos de un artículo (su muestra es de 32 lectores estudiantes de licenciatura), la velocidad de lectura en palabras por minuto anda por ahí de las 250 palabras por minuto en promedio (en inglés). Usando otro artículo con velocidades de lectura de los que aprenden inglés como segunda lengua, sale un promedio más bajo, pero la desviación estándar anda en lo mismo, de unas 30 palabras por minuto. Según la regla de las dos sigmas, y suponiendo que las velocidades se distribuyen de forma aproximadamente normal, más del 95% de las personas lee con una velocidad entre las 190 y 310 palabras por minuto. (Yo leo unas 240 palabras por minuto en inglés y 361 en español).
Por otro lado, el autor de la bitácora pone como 20000 la longitud promedio de un libro, lo cual es demasiado poco. Usando una infografía que encontré y una muestra hecha por mí mismo, es más seguro que ande un orden de magnitud arriba. Debo añadir que la infografía y mi muestra incluyen libros que vale la pena leer (de autores como James Joyce o Jane Austen, por citar dos casos). Así, 200000 palabras es más realista (la mediana fue de algo mayor a 130000). Asimismo debe recalcarse es que la longitud de los libros seguramente tiene una distribución de Pareto, con parámetro de forma menor a 1 (salió 0.288 con los datos de la infografía, pero hay que considerar que son pocos puntos muestrales), lo que significa que no tiene mucho sentido determinar la media ni desviación estándar de la población. Eso quiere decir que es muy difícil hablar de la longitud típica de un libro o incluso de qué tan desviada de alguna media puede estar: para cualquier conjunto de libros que juzguemos típico, es muy probable que encontremos una cantidad significativa de obras atípicas en su longitud. Dicho esto, un libro de doscientas mil palabras a una velocidad promedio de 250 palabras por minuto requiere unos 800 minutos o poco más de 13 horas para ser leído. Usando las 5 horas que supuestamente "desperdiciamos" en la televisión diariamente apenas nos da para unos 140 libros. Insisto: a velocidad promedio. Usando la regla de las dos sigmas podría ser tan poco como 87 libros y tanto como 170. Esto, sin embargo, todavía cae lejos de los 200 proclamados. Tampoco nos metemos en las honduras de cuánto de eso se asimila; según sé de la investigación al respecto, es necesario leer a cierta velocidad y un vocabulario amplio para asegurar una comprensión fluida. Naturalmente, si no se practica leyendo se está todavía más lejos llegar a consumir las centenas de libros que harían felices a muchos escritores y editores.
Por otro lado, el autor de la bitácora pone como 20000 la longitud promedio de un libro, lo cual es demasiado poco. Usando una infografía que encontré y una muestra hecha por mí mismo, es más seguro que ande un orden de magnitud arriba. Debo añadir que la infografía y mi muestra incluyen libros que vale la pena leer (de autores como James Joyce o Jane Austen, por citar dos casos). Así, 200000 palabras es más realista (la mediana fue de algo mayor a 130000). Asimismo debe recalcarse es que la longitud de los libros seguramente tiene una distribución de Pareto, con parámetro de forma menor a 1 (salió 0.288 con los datos de la infografía, pero hay que considerar que son pocos puntos muestrales), lo que significa que no tiene mucho sentido determinar la media ni desviación estándar de la población. Eso quiere decir que es muy difícil hablar de la longitud típica de un libro o incluso de qué tan desviada de alguna media puede estar: para cualquier conjunto de libros que juzguemos típico, es muy probable que encontremos una cantidad significativa de obras atípicas en su longitud. Dicho esto, un libro de doscientas mil palabras a una velocidad promedio de 250 palabras por minuto requiere unos 800 minutos o poco más de 13 horas para ser leído. Usando las 5 horas que supuestamente "desperdiciamos" en la televisión diariamente apenas nos da para unos 140 libros. Insisto: a velocidad promedio. Usando la regla de las dos sigmas podría ser tan poco como 87 libros y tanto como 170. Esto, sin embargo, todavía cae lejos de los 200 proclamados. Tampoco nos metemos en las honduras de cuánto de eso se asimila; según sé de la investigación al respecto, es necesario leer a cierta velocidad y un vocabulario amplio para asegurar una comprensión fluida. Naturalmente, si no se practica leyendo se está todavía más lejos llegar a consumir las centenas de libros que harían felices a muchos escritores y editores.
jueves, 26 de enero de 2017
Apenas algunas palabras
Francamente me siento muy triste por cómo están progresando los asuntos; es una tristeza exacerbada por la relativa impotencia de un individuo.
Actuando en respuesta análoga a llamados hechos por los activistas estadounidenses (como Michael Moore, por ejemplo, o incluso el mismísimo Barack Obama), le escribí a los encargados de ciertas comisiones en el Congreso de la Unión de mi país para actuar frente al despreciable Donald Trump. Sólo uno me contestó: el presidente de la comisión de asuntos migratorios, lo cual tendré muy en cuenta. Apenas tenga un tiempo y pueda reflexionar suficiente, voy a hablarles por teléfono.
A los demócratas en Estados Unidos se les acusa de ser llorones desconectados de la realidad por parte de sus opositores. La utraderecha ha soslayado la masiva manifestación que lograron convocar en contra de las políticas de su malhadado presidente, alegando que deben actuar, no simplemente marchar. Que por qué no votaron. Pero los recuentos dicen que sí votaron, y mayoritariamente, sólo que no donde era crucial hacerlo, y en mi opinión no era tan fácil calcular cómo debieron distribuirse. Puedo acotar aquí que yo he votado por lo que me interesa y que, hasta ahora, no me arrepiento en lo más mínimo de la dirección en la que lo hice; aunque, por otra parte, las diferencia entre las opciones es realmente muy vaga.
Las reacciones en México son muy semejantes: muchos exclaman que quejarse es fácil pero resolver las cosas no, que hay que tener pantalones (¿y falda, que no?) y arremangarse la camisa. Pero no entiendo cómo vamos a enfrentar a un país con un PIB nominal más de diez veces mayor al nuestro y con una milicia por lo menos cinco veces mayor. Creo que la única manera de aprovechar eso es precisamente que nos resulta más fácil movernos que al mamut estadounidense; el problema es que no hay mucho a donde correr, y menos considerando que lo tenemos de vecino. Además, si Betsy DeVos es elegida como ministra de educación de allá, por fin tendremos la oportunidad de vencerlos en el plano intelectual; ellos estarán entretenidos en su guerra contra los osos grizzly, mientras aquí simplemente tendremos que reforzar la lectura en voz alta y de comprensión. Sin embargo, los obstáculos nacionales para generar una sociedad inteligente son formidables. Además, debemos fijarnos muy bien en no cometer los mismos errores que nuestro vecino.
Ya me fluyen algunas ideas, pero sólo para el largo plazo. Con los boicots contra productos estadounidenses hay que tener cuidado: sería obligado que renunciáramos a las tortillas y a otros productos que requieren maíz (pues también alimenta al ganado), porque a Estados Unidos es a quien se lo compramos en gran cantidad (somos su segundo mejor cliente, después de Japón). Y trabajar sin comer nunca ha sido mi fuerte.
Actuando en respuesta análoga a llamados hechos por los activistas estadounidenses (como Michael Moore, por ejemplo, o incluso el mismísimo Barack Obama), le escribí a los encargados de ciertas comisiones en el Congreso de la Unión de mi país para actuar frente al despreciable Donald Trump. Sólo uno me contestó: el presidente de la comisión de asuntos migratorios, lo cual tendré muy en cuenta. Apenas tenga un tiempo y pueda reflexionar suficiente, voy a hablarles por teléfono.
A los demócratas en Estados Unidos se les acusa de ser llorones desconectados de la realidad por parte de sus opositores. La utraderecha ha soslayado la masiva manifestación que lograron convocar en contra de las políticas de su malhadado presidente, alegando que deben actuar, no simplemente marchar. Que por qué no votaron. Pero los recuentos dicen que sí votaron, y mayoritariamente, sólo que no donde era crucial hacerlo, y en mi opinión no era tan fácil calcular cómo debieron distribuirse. Puedo acotar aquí que yo he votado por lo que me interesa y que, hasta ahora, no me arrepiento en lo más mínimo de la dirección en la que lo hice; aunque, por otra parte, las diferencia entre las opciones es realmente muy vaga.
Las reacciones en México son muy semejantes: muchos exclaman que quejarse es fácil pero resolver las cosas no, que hay que tener pantalones (¿y falda, que no?) y arremangarse la camisa. Pero no entiendo cómo vamos a enfrentar a un país con un PIB nominal más de diez veces mayor al nuestro y con una milicia por lo menos cinco veces mayor. Creo que la única manera de aprovechar eso es precisamente que nos resulta más fácil movernos que al mamut estadounidense; el problema es que no hay mucho a donde correr, y menos considerando que lo tenemos de vecino. Además, si Betsy DeVos es elegida como ministra de educación de allá, por fin tendremos la oportunidad de vencerlos en el plano intelectual; ellos estarán entretenidos en su guerra contra los osos grizzly, mientras aquí simplemente tendremos que reforzar la lectura en voz alta y de comprensión. Sin embargo, los obstáculos nacionales para generar una sociedad inteligente son formidables. Además, debemos fijarnos muy bien en no cometer los mismos errores que nuestro vecino.
Ya me fluyen algunas ideas, pero sólo para el largo plazo. Con los boicots contra productos estadounidenses hay que tener cuidado: sería obligado que renunciáramos a las tortillas y a otros productos que requieren maíz (pues también alimenta al ganado), porque a Estados Unidos es a quien se lo compramos en gran cantidad (somos su segundo mejor cliente, después de Japón). Y trabajar sin comer nunca ha sido mi fuerte.
sábado, 31 de diciembre de 2016
La última del 2016
En este año que termina no me dio tiempo de encontrar el video más visto en Yutub, pero supongo que en México el de cierta persona acompañada de sus progenitores ha de estar entre los primeros lugares.
Por otro lado, me siento realizado porque mis tuits le gustaron a la CNRS, a Nalini Joshi, a Evelyn Lamb, a John Allen Paulos y a Keith Devlin. Igualmente, me causa algo de orgullo haberle causado algo de picazón a la insulsa escritora de un programa de televisión por medio de la aludida red social.
Por último, me pareció interesante leer lo que opina Hawking en el Foro Económico Mundial sobre la automatización de muchos empleos ya no tan simples, como podría serlo cierta clase de periodismo. Sin embargo, creo que las máquinas todavía no hacen un trabajo siempre decente en algo tan mundano como lavar la ropa, y como hasta donde tengo noticia todavía no suben escaleras, no me siento tan agobiado.
Y pues, ¡feliz 2017!
Por otro lado, me siento realizado porque mis tuits le gustaron a la CNRS, a Nalini Joshi, a Evelyn Lamb, a John Allen Paulos y a Keith Devlin. Igualmente, me causa algo de orgullo haberle causado algo de picazón a la insulsa escritora de un programa de televisión por medio de la aludida red social.
Por último, me pareció interesante leer lo que opina Hawking en el Foro Económico Mundial sobre la automatización de muchos empleos ya no tan simples, como podría serlo cierta clase de periodismo. Sin embargo, creo que las máquinas todavía no hacen un trabajo siempre decente en algo tan mundano como lavar la ropa, y como hasta donde tengo noticia todavía no suben escaleras, no me siento tan agobiado.
Y pues, ¡feliz 2017!
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