Por qué no soy guitarrista de concierto

Quien me lee sabe que soy aficionado a la música de Daft Punk, especialmente del álbum "Random Access Memories". Ya he dicho también cómo es que me enamoré de la matemática y decidí estudiarla profesionalmente, y por fin cumpliré con dar algunos detalles en cuanto a cómo es que no estudié música. Pues resulta que mucho de lo que dice de viva voz Giorgio Moroder en la pista "Giorgio by Moroder" es aplicable casi a la letra (!) a mi persona:

When I was fifteen, sixteen, when I really started to play the guitar,
I definitely wanted to become a musician.
It was almost impossible because the dream was so big.
I didn't see any chance because I was living in a little town; I was studying.
And when I finally broke away from school and became a musician [Esto es lo que me falló a mí]
I thought, "Well, now I may have a little bit of a chance,"
Because all I really wanted to do is music – and not only play music
But compose music.

Angélica anota jocosamente: "Y no es que Agustín-Aquino se arrepienta y confiese su culpa, sino que su autobiografía es una copia textual de las memorias de Giorgio Moroder. Pero nosotros, que amamos a Agustín-Aquino, creemos que estas conductas que se le atribuyen le son totalmente ajenas. Probablemente sean de Giorgio Moroder".

Recuerdo que desde que tenía unos 8 años quería aprender a leer música, y que incluso en un programa del canal local lo explicaron con una escalera, pero nunca entendí, y eso era motivo de mucha frustración para mí. En particular, porque había desarrollado, a raíz de un desafío, un profundo gusto por la música de concierto (la del barroco europeo, para ser más específico). Cuando tenía unos once años, preinstalado en la computadora que compró mi padre, venía el videojuego "Lenny's MusicToons". En particular, en la sección "Pitch Attack", uno tenía que disparar según la nota que se ponía en el pentagrama para ir subiendo de rango hasta llegar a general de división. Lo jugué prácticamente con adicción y, aunque no llegué hasta el máximo nivel, sí aprendí mucho.

Así, cuando fue obligado comprar una flauta de pico para la clase de apreciación musical en la secundaria, me resultó sumamente fácil y deleitoso aprender a tocar, especialmente teniendo a la mano el diagrama de digitaciones que incluye el instrumento.

Me pasaba las tardes y noches jugando y practicando con la computadora y tocando... para la desdicha de los oídos de mi padre. Fue entonces que me llamó y me dijo: "¿Por qué no mejor aprendes a tocar la guitarra?". Asentí y acto seguido trajo el susodicho instrumento, me enseñó medianamente a templarla y me cedió toda su colección de revistas "Guitarra Fácil", deseándome buena suerte para dominar el material.

Después de examinar la colección con algo de cuidado concluí que era milagroso poder, al vuelo, mudar de una pisada a otra mientras se cantaba (todavía hoy me resulta difícil acompañar mi propio canto, cuando muy en privado me animo a ensayarlo), y después de intentarlo un par de semanas, desistí y continué con la flauta de pico.

Al poco de eso me inscribí al taller de música de la secundaria, pero resulta que la flauta de pico no es un instrumento bien valorado en las presentaciones públicas. Me percaté que lo opuesto pasa con la guitarra, y observé con cuidado cómo el maestro enseñaba los rudimentos a los guitarristas. Repetí todo ello en mi casa, y en más o menos un mes logré la hazaña de tocar las canciones del repertorio que presentaría el grupo. El maestro consintió en que me integrara a los guitarristas, me tomó algo de aprecio y me enseñó un poco más, de lo que llaman "guitarra clásica", y después por mi cuenta probé hacer algunas transcripciones (tan audaces y descabelladas como de los primeros compases de la Quinta Sinfonía de Beethoven). En mi juvenil candidez e ignorancia, suponía que nadie más hacía eso.

Me sacó de mi error una guitarrista profesional que sucedió al maestro a cargo del taller de música. Además de corregir (y al mismo tiempo echar a perder) mis posturas para lograr un mejor dominio del instrumento, no dejó de recalcarme que mis dedos no servían para tocar la guitarra.

Al proseguir hacia la preparatoria, por casualidad se conjuntaron entre los alumnos dos chelistas, un clarinetista, un violinista, una fagotista y una soprano, y con ellos formaron un ensamble que interpretó un peculiar repertorio para un aniversario de la institución educativa. Las autoridades de la escuela se enteraron de que tocaba algo bien la guitarra y me sumaron al conjunto. Así conocí al violinista y a su profesora, que era miembro del Ensamble Tao. Le pregunté si sabía de alguien que enseñara guitarra de concierto, y me respondió que por casualidad se les uniría un guitarrista que había estudiado en la Escuela Nacional de Música (ENM, hoy Facultad de Música de la Unam), de nombre Julio García, y que accedió a instruirme.

Afirmo, y creo que sin exageración, que todo lo que sé (bien) se lo debo al maestro Julio, y con él consulté mi intención de ser guitarrista de concierto e ingresar también a la ENM. No recuerdo exactamente si me dijo si sí o no; mi padre también le preguntó y en mi memoria su respuesta fue básicamente "Debe intentarlo para saberlo", y que no fue satisfactoria para mi padre.

Sin un bachillerato en artes, supe que tenía que hacer estudios equivalentes en la ENM antes de entrar propiamente a la licenciatura en instrumentista, lo cual no me pareció muy seductor, pero aún así presenté el examen de admisión. Sospecho que mi padre, al mirar lo serio de mis intenciones de estudiar música, me advirtió sutilmente que no las financiaría. No tuve el valor para arrojarme a la empresa sin soporte económico; tal vez cometí un error, tal vez no.

Solamente me falta agregar que, paralelamente a todo ello, en otra computadora había un programa para secuenciación de MIDI, y que fatigué persiguiendo ser compositor, pues la máquina nunca respingaba ante mis desvaríos. He tenido la bendición y maldición de poder seguir haciendo eso (lo digo porque únicamente una vez he podido componer algo sin usar la computadora). Creo que mi crónica puede concluir igual que como lo hace Moroder.

Once you free your mind about a concept of
harmony and music being correct
you can do whatever you want.
So, nobody told me what to do,
and there was no preconception of what to do.

Y la mejor manera de liberarse de las ataduras es, aunque no lo crean, la Matemática.
P. D.: Por un descuido imperdonable olvidé mencionar a mi gran amigo José Alberto Allec Campos quien, mientras trabajó en la constructura de mi padre, me enseñó la teoría musical básica, como lo es el círculo de quintas y cómo construir las armaduras de las distintas tonalidades, entre otras cosas, y por las que le estaré eternamente agradecido.

¿Para ser como Bill Gates?

No están tan atinados los artículos periodísticos que circulan en la red que aseguran que puede uno leer 200 libros al año. Para empezar, esto lo sacaron de una bitácora de alguien que usa la velocidad máxima de lectura (¡400 palabras por minuto!) de sus datos (que, por cierto, no indica la fuente de los mismos). Según calculo a partir de los datos de un artículo (su muestra es de 32 lectores estudiantes de licenciatura), la velocidad de lectura en palabras por minuto anda por ahí de las 250 palabras por minuto en promedio (en inglés). Usando otro artículo con velocidades de lectura de los que aprenden inglés como segunda lengua, sale un promedio más bajo, pero la desviación estándar anda en lo mismo, de unas 30 palabras por minuto. Según la regla de las dos sigmas, y suponiendo que las velocidades se distribuyen de forma aproximadamente normal, más del 95% de las personas lee con una velocidad entre las 190 y 310 palabras por minuto. (Yo leo unas 240 palabras por minuto en inglés y 361 en español).

Por otro lado, el autor de la bitácora pone como 20000 la longitud promedio de un libro, lo cual es demasiado poco. Usando una infografía que encontré y una muestra hecha por mí mismo, es más seguro que ande un orden de magnitud arriba. Debo añadir que la infografía y mi muestra incluyen libros que vale la pena leer (de autores como James Joyce o Jane Austen, por citar dos casos). Así, 200000 palabras es más realista (la mediana fue de algo mayor a 130000). Asimismo debe recalcarse es que la longitud de los libros seguramente tiene una distribución de Pareto, con parámetro de forma menor a 1 (salió 0.288 con los datos de la infografía, pero hay que considerar que son pocos puntos muestrales), lo que significa que no tiene mucho sentido determinar la media ni desviación estándar de la población. Eso quiere decir que es muy difícil hablar de la longitud típica de un libro o incluso de qué tan desviada de alguna media puede estar: para cualquier conjunto de libros que juzguemos típico, es muy probable que encontremos una cantidad significativa de obras atípicas en su longitud. Dicho esto, un libro de doscientas mil palabras a una velocidad promedio de 250 palabras por minuto requiere unos 800 minutos o poco más de 13 horas para ser leído. Usando las 5 horas que supuestamente "desperdiciamos" en la televisión diariamente apenas nos da para unos 140 libros. Insisto: a velocidad promedio. Usando la regla de las dos sigmas podría ser tan poco como 87 libros y tanto como 170. Esto, sin embargo, todavía cae lejos de los 200 proclamados. Tampoco nos metemos en las honduras de cuánto de eso se asimila; según sé de la investigación al respecto, es necesario leer a cierta velocidad y un vocabulario amplio para asegurar una comprensión fluida. Naturalmente, si no se practica leyendo se está todavía más lejos llegar a consumir las centenas de libros que harían felices a muchos escritores y editores.

Apenas algunas palabras

Francamente me siento muy triste por cómo están progresando los asuntos; es una tristeza exacerbada por la relativa impotencia de un individuo.

Actuando en respuesta análoga a llamados hechos por los activistas estadounidenses (como Michael Moore, por ejemplo, o incluso el mismísimo Barack Obama), le escribí a los encargados de ciertas comisiones en el Congreso de la Unión de mi país para actuar frente al despreciable Donald Trump. Sólo uno me contestó: el presidente de la comisión de asuntos migratorios, lo cual tendré muy en cuenta. Apenas tenga un tiempo y pueda reflexionar suficiente, voy a hablarles por teléfono.

A los demócratas en Estados Unidos se les acusa de ser llorones desconectados de la realidad por parte de sus opositores. La utraderecha ha soslayado la masiva manifestación que lograron convocar en contra de las políticas de su malhadado presidente, alegando que deben actuar, no simplemente marchar. Que por qué no votaron. Pero los recuentos dicen que sí votaron, y mayoritariamente, sólo que no donde era crucial hacerlo, y en mi opinión no era tan fácil calcular cómo debieron distribuirse. Puedo acotar aquí que yo he votado por lo que me interesa y que, hasta ahora, no me arrepiento en lo más mínimo de la dirección en la que lo hice; aunque, por otra parte, las diferencia entre las opciones es realmente muy vaga.

Las reacciones en México son muy semejantes: muchos exclaman que quejarse es fácil pero resolver las cosas no, que hay que tener pantalones (¿y falda, que no?) y arremangarse la camisa. Pero no entiendo cómo vamos a enfrentar a un país con un PIB nominal más de diez veces mayor al nuestro y con una milicia por lo menos cinco veces mayor. Creo que la única manera de aprovechar eso es precisamente que nos resulta más fácil movernos que al mamut estadounidense; el problema es que no hay mucho a donde correr, y menos considerando que lo tenemos de vecino. Además, si Betsy DeVos es elegida como ministra de educación de allá, por fin tendremos la oportunidad de vencerlos en el plano intelectual; ellos estarán entretenidos en su guerra contra los osos grizzly, mientras aquí simplemente tendremos que reforzar la lectura en voz alta y de comprensión. Sin embargo, los obstáculos nacionales para generar una sociedad inteligente son formidables. Además, debemos fijarnos muy bien en no cometer los mismos errores que nuestro vecino.

Ya me fluyen algunas ideas, pero sólo para el largo plazo. Con los boicots contra productos estadounidenses hay que tener cuidado: sería obligado que renunciáramos a las tortillas y a otros productos que requieren maíz (pues también alimenta al ganado), porque a Estados Unidos es a quien se lo compramos en gran cantidad (somos su segundo mejor cliente, después de Japón). Y trabajar sin comer nunca ha sido mi fuerte.

La última del 2016

En este año que termina no me dio tiempo de encontrar el video más visto en Yutub, pero supongo que en México el de cierta persona acompañada de sus progenitores ha de estar entre los primeros lugares.

Por otro lado, me siento realizado porque mis tuits le gustaron a la CNRS, a Nalini Joshi, a Evelyn Lamb, a John Allen Paulos y a Keith Devlin. Igualmente, me causa algo de orgullo haberle causado algo de picazón a la insulsa escritora de un programa de televisión por medio de la aludida red social.

Por último, me pareció interesante leer lo que opina Hawking en el Foro Económico Mundial sobre la automatización de muchos empleos ya no tan simples, como podría serlo cierta clase de periodismo. Sin embargo, creo que las máquinas todavía no hacen un trabajo siempre decente en algo tan mundano como lavar la ropa, y como hasta donde tengo noticia todavía no suben escaleras, no me siento tan agobiado.

Y pues, ¡feliz 2017!

Más vale paso que dure... (3)

Prometí anteriormente que hablaría del empeño que mostraron los antiguos pobladores de Mitla en la construcción de lo que ahora está en ruinas, y que es comparable tanto con el de los que erigieron Monte Albán o el de unas hormigas que fascinaron a Evelyn Lamb durante su visita a Oaxaca.

Pues bien: el trabajo primoroso de los frisos realmente requeriría un tesón poco visto en los métodos constructivos modernos. Las piedras que utilizaban en el sitio venían de relativamente lejos (hasta unos $7$ kilómetros de distancia, entre montes y serranías, según un trabajo ya algo antiguo pero excelente de 1992 de Nelly Robles García), de canteras donde eran removidos enormes bloques (¡de $3.1\times 1.38 \times 0.85$ metros cúbicos, por ejemplo!) del que seguramente se separaban fragmentos; estos eran tallados hasta darles las formas de cuadriláteros o relieves curveados que servían de unidades para los frisos.

Todo esto se hacía usando otras piedras como herramientas, que no instrumentos de metal, y hasta donde tengo noticia realmente no se conocen los métodos que usaban para separar los trozos gigantes; se piensa que se hacían perforaciones en la matriz de roca para ser rellenadas con palos y que, al humedecerse, ejercían suficiente presión como para fracturar el material. Ni siquiera me atrevo a imaginar la cantidad de paciencia que se necesitaba para esto, pues restaría todavía trasladar el resultado hasta el sitio de la obra. Según Robles García, no faltaba la ocasión en que la bendita piedra se quebraba en el traslado, y había que comenzar de nuevo.

En la siguiente figura pueden ver cómo, desde mi punto de vista, podría ensamblarse el friso de la fotografía, donde los números indican el orden de "inserción" en marco del friso.

Por la prisa no pude reproducirlo exacto, pero se entiende que la parte azul de los rectángulos grandes tiene el zigzag grabado en relieve, pero que forman una sola unidad. El módulo que se repite consta de $8$ piezas, y según vemos en la fotografía se requerían unas $48$ repeticiones para completarlo.

Suponiendo que tomara unos diez minutos hacer una unidad, resulta un jornal de $8$ horas para completar un cuadro con frisos. Según estimo por el número de edificios de cada grupo de Mitla y el número de frisos por pared, hay del orden $1\times 10^{2}$ cuadros (sin contar los que posiblemente no han sobrevivido hasta nuestros días), por lo que tomaría no menos de unos tres meses de trabajo diario de una sola persona llevarlos a cabo. Y esto cuando ya se han colocado todos los cimientos y se tienen talladas todas las piezas, lo que con seguridad añadiría varios años más a la duración de la obra.

Decorando el árbol navideño

No soy particularmente afecto a los adornos decembrinos, pero Ange y mi hija sí. Conseguir el árbol se hizo imperioso, que afortunadamente consintieron en que fuera de plástico.

¿Y qué tan larga se necesita la serie para que se vea bien?

Si se aproxima con una espiral cónica, con ecuaciones paramétricas \[ x = \frac{tr}{h}\cos(ah), y = \frac{tr}{h}\sin(ah), z = t/h \] donde $a$ es la frecuencia angular, $h$ es la altura del árbol y $r$ es el radio en la base, de modo que conforme $t$ va de $0$ a $h$ se recorre todo el cono, la longitud de la curva es \[ s(t) = \frac{h((\tfrac{r}{h})^{2}+1)}{2ar}\mathrm{arcsinh}\left(\frac{art}{h\sqrt{(\tfrac{r}{h})^{2}+1}}\right)+\frac{t}{2}\sqrt{(\tfrac{r}{h})^{2}(a^{2}t^{2}+1)+1}. \]

Para nuestro caso, la altura es $h=1{.}6$ y el radio en la base es aproximadamente $r=0{.}5$. Yo quería que diera $6$ vueltas, así que deberíamos tener $a=6\cdot 2\pi = 12\pi$, lo que requeriría unos $15{.}27$ metros.

Pero no resultaría muy práctico, pues si he observado bien el espaciamiento promedio entre los focos, tendríamos que conseguir una serie de unas $600$ o $700$ luces, que no hemos visto por acá en Huajuapan.

Ange consiguió una de $300$ luces, que equivale a unos $7{.}5$ metros, ¿cuántas vueltas le daría? Usando la gráfica de la función de longitud en términos de $a$, resulta un valor algo así como $ a \approx 18 \approx 2.86(2\pi)$, o sea un poco menos de tres vueltas (y es que la gráfica se ve muy lineal después de que la espiral da una vuelta). Dado que el árbol se ensambla de tres módulos, pues no se ve tan mal; al menos, Ximenita quedó complacida.

Mi encuentro personal con el teorema del valor intermedio

Una temporada Ange y mis hijas estuvieron en San Antonino mientras yo seguía trabajando en la Universidad de la Cañada. Varios fines de semana hice el viaje entre Oaxaca de Juárez y Teotitlán, y en un promedio con una desviación estándar muy pequeña (menor a los diez minutos), me tomaba tres horas completarlo.

Para no dormirme mientras manejaba, hice una lista de reproducción musical en mi celular, con la duración apropiada. Inevitablemente, tuve un déjà vu: pasaba por el mismo punto de la carretera (cerca de Nacaltepec) escuchando exactamente la misma canción. Y cuando digo canción, es porque lo es: "Right here, right now", interpretada por Giorgio Moroder y Kylie Minogue, del álbum "Déjà vu" del compositor (!).

¡Por supuesto! Si $t_{1}:[0,1]\to [0:3]$ es el instante $t_{1}$ de mi lista de reproducción que iba escuchando al pasar por el punto $x$ (donde el $0$ está en Oaxaca y el $1$ está en Teotitlán) sobre la carretera durante la ida, y $t_{2}(x)$ es lo análogo pero de regreso, podemos definir \[ f(x) = t_{1}(x)-t_{2}(x) \] y entonces \[ f(0) = t_{1}(0)-t_{2}(0) = 0-3 = -3, f(1) = t_{1}(1)-t_{2}(1) = 3-0 = 3 \] pues con $t_{2}$, cuando llego a Oaxaca desde Teotitlán, ya he escuchado toda la lista, lo mismo que con $t_{1}$ al llegar a Teotitlán. Puesto que no me teletransporto ni salto elementos de la lista de reproducción, tanto $t_{1}$ como $t_{2}$ son continuas y por lo tanto $f$ también. Por el teorema del valor intermedio, se sigue que existe un punto $\xi$ sobre la carretera tal que $f(\xi) =0$, esto es \[ 0 = t_{1}(\xi)-t_{2}(\xi) \] o sea $t_{1}(\xi) = t_{2}(\xi)$.

Vale señalar que no importa entonces si hago algunas paradas en el viaje, o si realizo diferentes patrones de aceleración y frenado, siempre que idas y vueltas tomen el mismo tiempo. Aunque eso sí va a afectar a cuál momento de mi lista le toca la coincidencia.

Naturalmente, esto es una variación del tema del monje que sube y baja la montaña y pasa por el mismo lugar a la misma hora, pero midiendo el tiempo con música en lugar de con un puro pulso de reloj, lo que probablemente aumenta el dramatismo de la situación. Además, aquí pusimos al tiempo en función de la posición, y no al revés, como tal vez sea más intuitivo para el monje; pero no para mí, porque el viaje podía ser oportuno a diferentes horas del día. Algo me dice que de manera semejante se le ocurrió a alguien ese ejemplo.

Del anecdotario (III)

La primera "estancia profesional" cuando estudiaba Matemática en la UTM la hice en el Cimat, bajo la tutela de la maestra Helga Fetter Nathansky, en 2004. En una ocasión, no podía yo con algo elemental del álgebra lineal.

— ¿Cómo es que no te sale? Es trivial. —Sentenció ella en su tono severo.
— Para mí no lo es.
— Está bien. Ponle una letra al escalar, la que tú quieras.
— $\zeta$ —escribí, mientras se acercaba al pizarrón la maestra.
— ¿Por qué una letra tan difícil? ¡No la puedo dibujar!

:-D

¡¿Algunos temas?!

Recientemente apareció una reseña en la página de la UTM sobre el desarrollo del Segundo Congreso Internacional sobre Modelación Matemática. Escribo esto para declarar que no me gustó lo que escribieron sobre mi plática plenaria:

Finalmente se tuvo la última sesión plenaria la cual fue dictada por el Dr. Octavio Alberto Agustín Aquino, en la que habló acerca de la matemática y su papel en la creación de la música. Su plática fue acompañada por la interpretación de algunos temas con el uso de la guitarra.

Primeramente, no hablé de la matemática en general y después de cómo se usa para hacer música ¡en lo absoluto! Si por lo menos hubieran leído el resumen de mi ponencia, sabrían que me ocupé específicamente del contrapunto y el modelo de Guerino Mazzola para hacer análisis del de la primera especie, y cómo eso se puede extender al contrapunto doble. Además, no "acompañé" mi plática con interpretaciones de "algunos temas", sino que específicamente ilustré aspectos con los que, por experiencia, se que muchas personas no están familiarizados. Más concretamente: toqué íntegro un pequeño estudio de Fernando Sor (por que tiene partes en contrapunto de la primera especie), y un fragmento del "Hortus Musicus" de Johann Adam Reincken (porque la fuga tiene contrapunto doble), lo cual, con todo respeto, son mucho más que unos simples "temas".

Es verdad que dije que algunos mundos de contrapunto se han encontrado en la música hindú, de la pianista Joomi Park y del compositor Alexander Scriabin, y que me gustaría componer una fuga usando lo que salga para contrapunto doble, pero eso estuvo muy lejos de ser el tema central de mi plática.

Del anecdotario (II)

En 2005 hice mi estancia profesional en la sucursal de Morelia del Instituto de Matemáticas de la Unam. Ange y yo solicitamos trabajar con el Dr. Moubariz Garaev, y resultó toda una experiencia; principalmente para Angélica, que aprendió sobre sumas trigonométricas. Yo estuve estudiando la demostración del teorema de los números primos, lo cual fue edificante, pero no tanto como los intrigantes métodos de Vinogradov.

Hubo un momento en que no podía encontrar el orden asintótico de cierta suma, y se lo expuse dos veces a Garaev para que lo verificara. A la tercera e infructuosa vez, me dijo algo así como:

— Si lo puedes hacer, házlo, y no estés dando vueltas.

A lo que contesté:

— Creo que sí puedo, pero yo siento que...
— Tú eres estudiante de matemática, no de literatura, los sentimientos no tienen nada que ver. Si lo puedes demostrar demuéstralo, y si no vuelve hasta que puedas.

Lo bueno es que la cuarta fue la vencida.

:(

Der Teufel ist ein Optimist

En Acatlima, Huajuapan de León, Oaxaca, ahora hay una panadería (que se hubiera apreciado mucho existiera en mis tiempos de estudiante). Puesto que cumplió aniversario de existencia, hubo música, atole, pastel y baile. Más específicamente, el baile de los diablos de Juxtlahuaca.

En eso estaban cuando llegamos mi hija y yo a comprar pan, y ella exclama: "¡Mira papá, el Diablo de los Números y Robert!". Le estoy leyendo el maravilloso libro de Hans Magnus Enzensberger, y la verdad me hizo mi día al reconocerlos en su disfraz oaxaqueño. Agregó: "Aunque esa máscara de Robert no me habías dicho que la tenía".

:D

Suertudo por décima vez

Cumplo un tanto ajetreado los 33 años, que es el décimo número suertudo. Un número se dice suertudo si sobrevive a un proceso de cribaje análogo al de los primos, pero simplemente por orden y no por divisibilidad. Es decir: primero elimino a cada segundo número, y me quedan $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,\ldots$; luego remuevo cada tercer número, y permanecen $1, 3, 7, 9, 13, 15, 19,\ldots$, y así sucesivamente. Este tipo de números comparten muchas propiedades de los primos; por ejemplo, se cumple que si $l_{n}$ es el $n$-ésimo número suertudo, entonces $l_{n}\sim n\log(n)$. Con suerte seré suertudo por undécima vez.

El pastel para esta ocasión es un toro (debía ser redondo y reticulado, pero algo diferente entendió la pastelera), y si se divide en $16$ cuadros, resulta que hay $33$ formas de colorear de negro cuatro cuadritos (y el resto de blanco) descontando simetrías. Para ver por qué, usando GAP se puede calcular que el grupo de simetrías de simetrías del toro cuadriculado es de orden $128$, los índices de ciclos de cada una de las simetrías, y finalmente determinar que el polinomio de índices de ciclos es \[ p(x) = \frac{1}{128}(16x_{8}^{2}+52x_{4}^{4}+16x_{1}^{2}x_{2}x_{4}^{3}+27x_{2}^{8}+12x_{1}^{4}x_{2}^{6}+4x_{1}^{8}x_{2}^{4}+x_{1}^{16}). \] Sustituyendo $x_{1}=1+y$, $x_{2}=1+y^{2}$, $x_{4}=1+y^{4}$, $x_{8}=1+y^{8}$ y simplificando con la ayuda de Maxima, nos da \[ q(y) = y^{16}+y^{15}+5y^{14}+10y^{13}+33y^{12}+53y^{11}+101y^{10}+122y^{9}+153y^{8} \] \[ +122y^{7}+101y^{6}+53y^{5}+33y^{4}+10y^{3}+5y^{2}+y+1. \] Como ven, el coeficiente de $y^{4}$ (y el de $y^{12}$, por supuesto, pues los colores se pueden intercambiar), es $33$. Esto lo supe examinando la sucesión A093466 de la OEIS. :D

Esas coloraciones en general les llaman cuasicuatrominós, e incluyen a los cinco tetrominós, que son posiblemente el caso particular más famoso de los poliominós tan favoritos de Golomb. No sabía que no pueden embaldosar un rectángulo de $5\times 4 = 20$ cuadros, pero sí uno de $5\times 8$ o $4\times 10$ si se usan dos juegos. :D

P. D. 1: ¿Por qué chingados Corea del Norte realiza ensayos nucleares en mi cumpleaños, pues? >:[

Tres necrologías del año

Muchos matemáticos, y buenos, han muerto en lo que va del año.

1. Mi hermanazo JHS me informó sobre el fallecimiento el 8 de mayo pasado de Tom M. Apostol, a la avanzada edad de 92 años. De él me gusta particularmente su libro sobre teoría analítica de números, del cual recuerdo el infame ejercicio que resistió mis intentos de solución durante unos 10 años "Demuestre que si $a\perp b$, entonces $\mathrm{mcd}(a+b,a^{2}-ab+b^{2})$ es $1$ o $3$". También que llevaba un ejemplar cuando me asaltaron en Oaxaca de Juárez, en un camión, y cuyo precio de segunda mano era muy superior al del celular que me quitaron. Recomiendo que vean el único video de su Project MATHEMATICS! que encontré en Yutub, y que queda excelentemente bien parado contra lo que se produce en tiempos modernos. Me gusta en especial la ampliación de la recta numérica para ilustrar la irracionalidad de $\pi$. Por último, pero no por ello menos importante, me sorprendió muy gratamente encontrar que examinó el asunto del cerro que fue perforado por ambos lados para construir el famoso túnel de Eupalino, colocando una piedra de toque en la investigación de la historia y etnohistoria de la matemática.
2. Jonathan Borwein, a los 65 años, nos dejó el 2 de agosto. Aquí mencioné alguna vez la serie que extrae dígitos hexadecimales de $\pi$ de su hermano Peter, et álii; de hecho ellos dos encontraron otra serie muy complicada pero interesante para $\frac{1}{\pi}$. La entrada referente a Borwein en una bitácora de la AMS es concisa pero muy buena respecto a su rastro matemático, y me agrada ver que un artículo panorámico es el que le ha valido más citas.
3. El día 3 del presente murió Jean-Christophe Yoccoz, medallista Fields en 1994. Les mentiría si dijera que puedo ignorar el hecho de que fue también medallista olímpico (plata y oro) en matemática, lo mismo que si añadiera que me da gusto este hecho, pero ahí lo tienen. Parece que no es fácil explicar por qué alcanzó la fama y reconocimiento, pero sí que su área era la de los sistemas dinámicos. En particular, que creó el concepto de los "rompecabezas" que llevan su nombre y que sirven, por ejemplo, para estudiar la conexidad local de los conjuntos de Julia o demostrar el teorema de Jakobson.
QEPD estos tres grandes. Que sus enseñanzas y métodos vivan para siempre.

Sobre "El hombre que conoció el infinito"

Hace unos meses se estrenó en Estados Unidos la película “El hombre que conoció el infinito”, que es una película biográfica sobre Srinivasa Ramanujan. Sin embargo, le dieron espacio promocional a Godfrey H. Hardy, John E. Littlewood y Percy A. MacMahon, cuyas vidas, opino, merecen ser llevadas también a la pantalla grande, aunque no cautiven al público con la narrativa de “el genio donde nadie lo espera”.

Esto me trajo de nuevo a mi atención la maravillosa “Apología de un matemático” de Hardy, que es considerada como una de las obras maestras de divulgación en cuanto a que transmite al público en general cómo se siente ser un matemático (puro), y que también ha sido catalogada como el testimonio de un artista.

Se supone que Hardy escribió tal libro porque, pasados los sesenta años, sentía que ya no era un matemático creativo. El ensayo es, en cierto modo, un testamento.

Yo, a mis 32 años, soy tautológico al afirmar que no soy de la estatura de G. H. Hardy. Es interesante que según MathSciNet®, Hardy sólo tiene un artículo en la base de datos de cuando tenía mi edad, mientras que yo llevo 3; mas por otro lado, en una edición de la integral de su obra, se cuentan 122 ítems, que incluyen preguntas publicadas en revistas educativas y artículos que, sospecho, son de divulgación; es así que incluso en “matemática ligera” me quedo muy corto (a menos que se cuente todo lo que he publicado en mi página personal, y no sé si aún así pueda siquiera decir que estoy a un orden de magnitud de Hardy).

Sea como fuere, llego un punto de mi vida donde, como mínimo, puedo esperar un hiato en mi actividad como matemático. Pese a ello, cuento con algunas pequeñas victorias, como el corregir un cálculo combinatorio a un reputado experto austriaco en el tema y aparecer listado en la Oeis por encontrar una relación entre la integración arquimediana, ciertas cubiertas minimales, y los q-coeficientes binomiales. Sobrevivir a tres arbitrajes de artículos igualmente solaza mi alma intranquila e insatisfecha, aunque sea por temporadas, y me conduce a una reflexión de Tsunetomo Yamamoto, que indirectamente aprendí de mi maestro de guitarra: “Si al disponer el espíritu correctamente cada mañana y tarde, es posible vivir como si el cuerpo ya estuviera muerto, uno gana la libertad en el camino. La vida entera estará libre de culpas, y tendrá éxito en su llamado”. Mi maestro lo aplicaba a los errores en la ejecución de una obra, pero creo que puede practicarse en todo: contra los grandes maestros, uno está matemáticamente muerto; aceptada esta realidad, se adquiere la libertad de pensar lo que se le hinche a uno la gana.

Es por eso que siento que puedo escribir una serie de apostillas a la apología de Hardy, con la perspectiva de un matemático que está muy lejos de la clase de Bradman y más bien cerca de la de Saunders (éste último es uno de los bateadores profesionales de cricket con promedio más bajo, y del cual con algo de suerte habrá oído hablar alguna vez Hardy, aunque sin mucho entusiasmo), y que por ello también podría resultarle un poquito más cercana al lector de a pie. Venga.

1. Lo primero que hace Hardy es desdeñar a los expositores y críticos. Sin embargo, la labor de dar a conocer lo que un matemático hace es de primerísima importancia, porque toma una cantidad colosal de trabajo reunir el conocimiento que posee la humanidad en su conjunto, y es extremadamente fácil perderlo, con algo tan simple como el no financiarlo, ni siquiera en lo que a su preservación refiere (esto es, el archivamiento y la enseñanza). Pienso que, como Hardy nunca tuvo que dar clases, no pudo estar en contacto con la perspectiva del que es neófito verdadero, pues incluso aquellos dentro de su círculo de amigos cercanos que no eran matemáticos, se encontraban personas de capacidad intelectual muy grande (digamos, por ejemplo, John Maynard Keynes, George Edwards Moore o Charles Percy Snow). Asimismo es probable que, como trabajaba en un área sumamente reputada de la matemática (el análisis y la teoría de números), tampoco se enfrentó al tener que “explicar” o “exponer” sus resultados y el valor potencial que tienen, como sí me ha tocado en más de una ocasión; tal acometida, insisto, tiene mucho mérito intelectual y humano, por la elemental razón de que es un problema difícil.
2. En lo que a la crítica refiere, tengo que conceder que hay algo de cierto, en especial porque el arbitraje de artículos en revistas es una forma de crítica. Ginsburg y Weyers, al analizar cómo se comportan los críticos de cine, encontraron que realmente no saben discriminar entre buenas y malas películas en el corto plazo, que siguen a las modas y que hay mucha diferencia entre lo que ellos y el vulgo encuentran meritorio. Mi impresión es que lo mismo aplica para los árbitros de las revistas de matemática, y al comité que elige a los medallistas Fields. Esto también rehabilita parcialmente a Lancelot Hogben, en el sentido de que él enfatiza como valiosa la matemática “popular” por encima de la de “buen gusto”; es evidente que la gente en general no llegará a apreciar la alta matemática sin un esfuerzo intelectual considerable. En otras palabras: entre más refinado es un arte, menos personas lo disfrutan o valoran. Aunque me moleste un poco admitirlo, debo conceder este punto al Dr. Emilio Lluis Puebla, quien también lo sostiene, tanto para la matemática como para la música. Sin embargo, estudios realizados precisamente en Inglaterra sobre preferencias musicales indican que, entre más tipos de música conoce una persona, más diversificado es su consumo musical, y es otro motivo por la cual toda la divulgación matemática que pueda hacerse es valiosa. Quiero pensar que, entre más esté en contacto el público con la matemática, más matemática asimilará.
3. Como profesor en la Universidad de la Cañada, en numerosas ocasiones he tomado la postura de Hardy al tratar de mostrar a mis estudiantes que hago matemática no porque piense que tiene muchas aplicaciones, sino porque es interesante en sí misma. Es una confesión obligada, pues no doy clase a matemáticos, sino a informáticos, químicos e ingenieros, y necesito hacerles entender que, pese a que hago un esfuerzo porque mis enseñanzas incidan en su práctica profesional, lo cierto es que me emocionan profundamente algunos de los temas que tocamos y no tengo recato en afirmar que tal o cual teorema o noción es “hermoso” o “profundo” y que además es mi verdadera motivación para enseñar. No es infrecuente escuchar incredulidad o toparse con la pregunta “¿Y para qué tomarse tantas molestias?”. A veces respondo que de la misma manera es superfluo el patear una pelota, escuchar música, ver películas, bailar o tomarse autofotos, y sin embargo lo hacen y con cierto esmero. Aún si parece un lugar común, me asombra un poco que la mayoría nunca se pone a reflexionar sobre ello.
4. Ese asunto de “Hago lo que hago porque es la única cosa que hago bien” me resulta algo chocante. Si bien mi muestra es pequeña, me dejó desconcertado que a todos mis profesores de la universidad a los que les preguntaba la razón por la cual eran matemáticos contestaban “Es que era bueno para eso” y ya. Desde que quise estudiar matemática, siempre he sentido una pasión peculiar por ella, al grado de enfocarlo todo desde ese punto de vista, y desde entonces he querido hacer algo de valía. En especial, quiero acercar todo lo posible a la matemática y la música en lo que a contrapunto refiere. Así se lo plantee al Dr. Lluis Puebla: “Deseo llevar al contrapunto a sus últimas consecuencias”. No me parece elogiable la simple actitud de decir “¡Miren! Soy bueno para resolver problemas de matemática y eso me hace algo especial, así que puedo consagrarme a ello y punto”, sobre todo si se compara con una actitud semejante en la música y la pintura.
5. En cuanto a la cuestión de la edad, no me convence el argumento de Hardy de las elecciones para la Royal Society. Es una muestra sumamente pequeña y sesgada. La han ensayado con premios Nobel y ¡maravilla de maravillas! el patrón se repite. No obstante, los mismos datos revelan que grandes contribuciones se pueden dar a cualquier edad sin importar que sea progresivamente más raro, y lo que parece ser el verdadero obstáculo es el vigor. Mi experiencia es que la gente anciana, matemática o no, tiende a disminuir su tolerancia al fracaso, a la contradicción y a la frustración, lo que constituye un muro infranqueable para atacar preguntas abiertas. Lo que es verdaderamente demoledor para mí es que un matemático creativo y productivo tiende a permanecer así toda su vida y, si tiene una buena fortuna como la de Hardy de que lo reconozcan temprano, esa misma buena publicidad se traduce en colaboraciones y direcciones de tesis que acrecientan su caudal. Eso me preocupa, porque no me considero particularmente prolífico, seguramente porque nadie me ha insistido en que “echando a perder se aprende”; esta es una máxima que se olvida con la edad, pues progresivamente trata uno de ser más cauteloso. Los 122 opúsculos de Hardy a los 33 años realmente son una preparación para todo lo futuro; es peculiar que incluyen la famosa ley de genética poblacional de la que tanto se avergonzó. Hay que tener muchas ideas, escribir copiosamente, porque sólo así podemos toparnos con ideas originales y valiosas. Esa es otra razón por la cual necesitaba sacar todo esto.
6. Mi padre es testigo de que, cuando era más joven, yo declaraba ser un absoluto inútil (o, peor aún, mediocre) en todo. Nunca pude practicar un deporte con soltura (vamos, ni las canicas aprendí a jugar) y me costó una enormidad dominar el balero o el yo-yo. Nunca fui bueno para hacer operaciones aritméticas, en especial la resta; sufro al resumir textos, mi caligrafía es horrible según denuncian mis propios alumnos, me cuesta uno y la mitad del otro hablar con buena dicción, más una larga cadena de etcéteras a la que únicamente no puedo agregar que tenía una memoria peor que la de mis coetáneos. Pero es precisamente por esto, porque me gustaba leer y memorizar, que aprendí que podía contribuir con algo más que recitar datos como perico a la humanidad, y llegó el punto en que en la matemática y la música encontré la suficiente motivación para sobreponerme a mi crónica inutilidad.

Hay varias cosas que agregar, pero la arena se acabó. En otra ocasión le daré vuelta al reloj.

Carta abierta al pueblo oaxaqueño

Cuando escribí la carta previa, dirigida a los representantes del gobierno, nunca habría imaginado lo fallido de la incursión de las fuerzas federales al retirar un bloqueo en Asunción Nochixtlán, que ocurriría al día siguiente. Si bien son inaceptables las muertes de ciudadanos, ajenos o no a las organizaciones magisteriales, tampoco son entendibles ni justificables las heridas de los policías o los impactos de bala en sus helicópteros. He solicitado ante el Inai el acta notarial donde consta que al principio la policía no portaba armas ni toletes, pues el comisionado general de la Policía Federal, Enrique Galindo, afirmó que existe. No veo cómo podrían demostrar fehacientemente los otros involucrados que nadie portaba armas de fuego, pero espero hagan lo posible para lograrlo. Además, aún si son elementales, las piedras, palos, cohetones y bombas molotov son armas que pueden inflingir graves heridas y, en ciertos casos, la muerte; en especial si son esgrimidas por multitudes enardecidas.

Dado el giro que han tomado los acontecimientos, intuyo que intereses extremadamente turbios manipulan al pueblo oaxaqueño y sus circunstancias. Por ejemplo: aún cuando el gobierno debe mantener la postura de buscar que la ley prevalezca, no es válido que quiera usarla con fines políticos y electorales; tampoco debe mitigar disturbios usando armas de fuego y debe esforzarse en divulgar la información que la gente necesita en cuanto a su actuación. Por otro lado, de primera mano sé que los profesores llaman a padres de familia a escoltarlos y proveerlos de comida, lo cual no tiene sentido si se supone trabajan en el interés de la gente; los expone, como ya es evidente, a un peligro mortal e innecesario, sin mencionar las presiones económicas adicionales a las que los someten. Finalmente, hay grupos que llaman a un nocivo levantamiento en armas, que la historia ha demostrado contundentemente no conduce a una mejora real de las condiciones de vida de las naciones, sino a una simple rotación en el poder.

Los maestros en paro admiten, en discursos, pintas y consignas, que la educación es el modo verdadero de luchar contra los malos gobiernos. En esto tienen razón en grado sumo, y es por ello que no comprendo por qué suspenden su labor educativa antes del periodo vacacional. Por medio del ejemplo y enseñanza, tienen la capacidad de entregar a sus alumnos el gran poder del razonamiento crítico, indispensable para no ser presa de los engaños y la mansedumbre que tanto desprecian. Insisto aquí en el valor de la lógica y la evidencia más allá de la duda razonable para guiar los actos en lo individual y lo colectivo, y que deben aplicarse tanto a las fuentes gubernamentales como al testimonio de quienes contienden contra ellas. El compromiso de los maestros con estos principios y su puesta en práctica en las aulas es crucial e irrenunciable para el progreso de nuestra nación.

Adyacente a este tema se ubica el de la privatización de la educación. Con esto se refieren, confiando en mi comprensión del asunto, a que empresas particulares se convertirían en las únicas encargadas de proporcionar servicios educativos. Pero, en contraparte, los frecuentes paros y su deficiente calidad (por los motivos que sean; de cualquier manera no se puede corregir o aprovechar lo que no se hace o se practica) han orillado a muchas familias a satisfacer esta demanda con la iniciativa privada. Baste decir que, según datos de la Sep, se multiplicó por 1.53 en educación preescolar, por 1.29 en primaria y por 1.28 en secundaria la matrícula de escuelas privadas entre el ciclo escolar 2006-2007 y el 2007-2008, cuando ocurrió el más prolongado y ríspido plantón magisterial previo al actual. De continuar con esta tendencia, en pocas décadas la educación quedará paradójicamente privatizada para efectos prácticos.

Es un hecho documentado por John Hattie y otros investigadores, a través de metaestudios que combinan miles de artículos científicos, que es necesario fijar mínimos de desempeño para mejorar la educación, y que los actores que más influyen en el resultado del proceso educativo son los maestros, los temarios, los métodos de enseñanza y los estudiantes, en ese orden, y primordialmente a través de una retroalimentación mutua. Los maestros piden no colocar la responsabilidad entera sobre ellos en cuanto a los resultados deficientes, y como tampoco suena justo adjudicársela enteramente a los alumnos, ¿dónde ha de recaer entonces, de modo que haya una transformación real e inmediata de la situación? ¿En los temarios? Apenas he oído quejas al respecto, y además es una cuestión separada en sí de la reforma educativa. Además, ¿qué retroalimentación puede haber entre maestros y alumnos si no tienen clases? Si la educación y la enseñanza no es evaluada de alguna forma, ¿cómo conocerán el efecto que tiene su labor en los estudiantes?

Es verdad que las condiciones escolares muchas veces no son las mejores. Hay que llegar a comunidades que se ubican a varias horas a pie, y que hay alumnos que no tienen la misma lengua materna que el maestro. Igualmente es común que los niños tengan que caminar horas y sin desayunar para ir a los planteles, y eso retrasa en inicio de la jornada escolar. Sin embargo, ni siquiera en el más adverso de los escenarios esta circunstancia rebasa al 40% de los casos, que es la proporción de poblaciones con menos de 1000 habitantes, según mis cálculos con datos del Inegi.

Se ha dicho que los estragos de las movilizaciones son el precio justo a pagar por la búsqueda de una sociedad mejor. No obstante, para prácticamente la mitad de la población oaxaqueña (la que está en los ramos de la construcción, comercio y servicios, que según datos del Inegi es poco más del 49%), y que en su mayoría no pertenecen al decil de los ingresos más altos, significa privarse de una parte de su ingreso y encima pasar por carestías tanto de insumos para sus trabajos como de alimentos de la canasta básica. En un movimiento que aspira a llamarse democrático o incluyente, no se ha pedido la opinión de este significativo sector de la población.

Temo que esta argumentación es, de cualquier manera, inútil, pues cae principalmente en oídos sordos o ideológicamente blindados. Pero tengo esperanza en aquellos que, leyéndome, puedan adherirse a una causa moderada, que no pasa por las tácticas de una guerrilla urbana. Según la Coneval, la población moderadamente pobre en nuestro estado ha aumentado entre 2012 y 2014 del 61.9% al 66.8%, y en cuanto a pobreza extrema se ha pasado de 23.3% al 28.3%. Es verdad, sin duda, que la mayoría de los oaxaqueños tiene algún grado de pobreza y la perspectiva no es alentadora, pero acciones tan desmesuradas como las de los días recientes no ayudan en lo más mínimo a mejorarla; en especial, si los padres de familia oaxaqueños, preocupados por la educación de sus hijos, llegan a la previsible conclusión que deben jugarse el todo por el todo para pagarla a pesar de lo que diga la Constitución y las leyes secundarias.

Con mucho respeto y fraternidad,

Octavio Alberto Agustín Aquino

Algunas precisiones

Esta fotografía (tomada de la Agencia AP, lo mismo que la siguiente)

fue tomada aquí:

Y esta otra

acá:

La primera (donde los policías se repliegan pasando el puente Nochixtlán II) fue tomada a las 10:43 del domingo 20 de junio de 2016, mientras que la segunda (la muy difundida donde se ve un policía con un arma resguardándose en la Vulcanizadora "Reyes") a las 13:28 del mismo día. El policía apunta hacia un lugar fuera del camino que lleva de la gasolinera a la esquina de Cristóbal Colón, por donde pasaron al replegarse, como pueden verificar usando Google Street View. Un camión tapa la vulcanizadora, pero si se mueven un poco hacia adelante verán que esa cara del edificio mira hacia el este.

Carta abierta dirigida a presidentes municipales y gobernador de Oaxaca, y al Presidente de la República de los Estados Unidos Mexicanos

Creo que, si bien no tienen ni pueden tener un control directo sobre los detalles del día a día en nuestra nación, que por momentos se torna tumultuosa, su papel como símbolos o representantes del gobierno es fundamental para que los eventos tomen el mejor cauce. Es por ello que les dirijo este mensaje, en el que prima mi punto de vista. Sé que no me faltarán detractores que argumentarán que no conozco todos los hechos. ¿Y quién sí? Con probabilidad muy cercana a uno no saben todos los míos. Por ello insisto en que hablaré desde lo que he visto y escuchado directamente. Es decir, de lo que tengo alguna evidencia.

Desde mi nacimiento el gobierno de mi país normalmente ha facilitado mi existencia, y se lo agradezco profundamente. En particular, cuando pienso en los testimonios de Marcos Moshinsky, un reputado físico que adoptó con vehemencia la nacionalidad mexicana, pese a que otros países le ofrecieron quedarse con ellos para acrecentar su muy madura ciencia y tecnología. Él, sin embargo, siempre se ufanó de que nuestro país lo cobijó, haciendo algo tan trascendental como consignarle un nombre y una nacionalidad, cosa que no hizo su tierra natal. Correspondió este gesto ampliamente ayudando a consolidar el estudio de la física y la ciencia en general en nuestro país.

Yo nací en el Hospital General de Zona No. 1, en la ciudad de Oaxaca, acorde con las prestaciones con las que contaba mi madre como trabajadora del gobierno del estado. Recibí una educación básicamente gratuita (salvo por cuotas de padres de familia, que probablemente nunca desaparezcan pese a lo que marca la ley) en la Escuela Primaria Urbana Federal “Francisco J. Múgica”, y no me tocó que mis maestras faltaran a clases, por lo que la califico como buena y suficiente. Defiendo esta perspectiva porque aprendí a leer y a comprender, la aritmética básica pese a mi dificultad con ella, la geometría elemental de las construcciones de Euclides, las fórmulas para las áreas y perímetros básicos, lo mismo que de cuerpos tridimensionales sencillos, las capitales de todos los países (aún si con fronteras de algunas décadas de edad) y otros datos geográficos básicos, los axiomas de los campos ordenados (aunque no los llamaba así mi maestra de sexto), relaciones de proporcionalidad directa e inversa, entre otras muchas cosas, y de las que he escogido las que más me han marcado. De la historia no me quedan buenos recuerdos, en particular por su predilección por la de la Ciudad de México, pero probablemente no tienen la culpa las escuelas: por ahora son extranjeros los que mejor la conocen en lo que a nuestros pueblos concierne, y ni siquiera los supuestos defensores de la educación tienen mucho interés en diseminarla desde un punto de vista basado en evidencias y el método científico.

Mi padre es ingeniero civil (y, por cierto, es egresado del ahora Instituto Tecnológico de Oaxaca, que también es público), y durante muchos años concursó y ganó la construcción de muchas escuelas, que ahora se pretenden manejar como si pertenecieran a unos cuantos, cuando son propiedad de la nación. Digo esto porque tengo noticia de que, cuando los padres de familia de alguna de ellas deciden reemplazar a maestros que no dan clase por otros que sí lo hacen, los amagan y ocupan las instalaciones por la fuerza.

Jamás el gobierno, en su forma policial, me ha restringido el paso o me ha detenido arbitrariamente. En algunas ocasiones he pasado por retenes militares, pero me han tratado con respeto y profesionalidad (aún si no con cordialidad) y no me han privado el paso. Durante la ocupación del Centro Histórico de la Ciudad de Oaxaca en 2006, crucé un punto de control de la polícia, pero también sin incidentes. Tampoco me han levantado infracciones automovilísticas injustificadas.

Mi educación secundaria y de bachillerato la tomé en escuelas privadas, debido a que el arduo trabajo de mis padres les permitió asegurármela, y nadie les restringió hacerlo. Hice exámenes de admisión en una secundaria pública, pero no pude superar la parte de educación física y me hicieron saber que por ello estaba comprometida mi inscripción, y en consecuencia no insistí en ella. En otras palabras: tanto mis padres como yo tuvimos la libertad de elegir lo que juzgamos mejor y conveniente para nosotros, sin afectar a terceros ni que se nos fuera impedido.

Un gobernador del estado de Oaxaca tuvo el acierto de fundar dos universidades públicas, gratuitas para quien no puede pagarlas, y para mi formación profesional acudí a una de ellas. Nuevamente: nadie se interpuso en mi paso por ellas, e insistí en cubrir la colegiatura mensual porque mi familia estaba en condiciones para ello. Sí hubo, sin embargo, en algunas ocasiones bloqueos en las carreteras por las que pasaba cuando me dirigía en camioneta para ir a estudiar, que cobraban derecho de paso pese a que no tienen funciones de gobierno. Quiero añadir y remarcar aquí que esta universidad pública hizo posible realizar mi sueño de estudiar matemática y sin salir de mi estado, algo que quizá nadie hubiera imaginado a finales del siglo pasado en mi amada tierra natal.

Tal vez es a partir de este momento donde empecé a sentir la ineficacia burocrática del gobierno, cuando fue difícil que me repusieran mi cartilla militar, documento indispensable para la emisión del título profesional. También el trámite de mis cédulas profesionales fue engorroso, particularmente porque hubo cambios veleidosos en el formato de servicio social. No obstante, no constituyeron barreras insuperables.

Hablo de cédulas porque hice estudios de posgrado en la Universidad Nacional Autónoma de México, que también es una universidad pública. Cuento a su burocracia entre la más lerda con la que me he topado, lo que comprueba que no necesariamente todo lo que es ajeno al gobierno nacional es bueno. Pero, insisto, tampoco constituyó precisamente un via crucis insalvable.

Cuando busqué trabajo lo encontré. Cuando necesité darme de alta ante Hacienda lo hice y fue relativamente rápido, y con gusto pago mis impuestos porque me consta que se traducen en servicios: alumbrado público, drenaje, escuelas, hospitales, canchas deportivas, etcétera. Con mucha seguridad no hay una eficiencia perfecta, hay corrupción, robos, desvíos, pero hay servicios. El único lugar que he visitado donde posiblemente no los hubiera todos es Magdalena Jaltepec, pero mi principal indicio es que no encontré un teléfono público de monedas o tarjeta.

Una universidad pública me dió un trabajo estable y con paga decente, con la que he podido mantener a mi familia. Mi relación laboral con mi patrón está amparada con un contrato, que hasta escribir estas líneas no lo ha incumplido (salvo, posiblemente, en una ocasión en que pagó con retraso de un par de días la quincena, pero hasta donde entiendo y me consta fue una circunstancia fuera de su alcance). También me da seguro social y acceso al crédito gubernamental para vivienda.

Tal vez goce de una situación privilegiada, donde nada me ha impedido seriamente desarrollarme como persona y, más bien, mi camino ha sido facilitado a través de becas y apoyos de organismos como el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología. Sin embargo, esto no ha sido consecuencia directa de mi extracción social: dos de mis abuelos fueron huérfanos de ambos padres desde muy niños. Notables excepciones a la libertad de la que hablo han sido aquéllas en las que los objetivos de algunos pocos impide el libre paso de personas y mercancías, les niega el derecho a la educación a los niños o cobra cuotas de paso, como si no existiera ya quien regule la convivencia entre los ciudadanos. Por cierto que me consta el estado ruinoso de la educación básica de la población joven, porque los recibo como alumnos. Les pregunto directamente por los conocimientos que adquierieron en la primaria y secundaria, y es común que no puedan recordar haberlos obtenido o afirman categóricamente no haberlos recibido. Si sus profesores son tan excelentes, ¿cómo es posible que no logren un aprendizaje efectivo y duradero en promedio? Ese hueco es la causa de que mi enseñanza tampoco pueda ser de la calidad esperada. Es bueno, creo, que me agraden los retos y que tenga una fe perenne en la juventud que encuentro en las aulas para sobreponerme a ello.

Deposito una buena parte de mi confianza en el gobierno, pues no tengo por qué decir que no se la ha ganado. Por eso, en 2006, pedí ante la Presidencia de la República resolvieran el intolerable sitio de la capital de mi estado, y en el papel me respondieron; tal vez también lo trataron de hacer en los hechos. He intentado lo mismo hace unos años con problemas semejantes en la carretera que conecta a la universidad en la que trabajo con el pueblo que le queda más cercano con el gobierno estatal, pero sin respuesta. En esta ocasión también me comuniqué con la presidencia de la República. Redirigieron mi petición a la Sep, y ésta última la remitió al Ieepo. No me puedo quejar de no ser escuchado, pero sí de ser malinterpretado: no me inconformaba por la calidad de la enseñanza de los maestros, el estado de las escuelas o cobros indebidos de cuotas, sino por presuntos maestros y ciudadanos que bloquean arbitrariamente las vías de comunicación, entorpeciendo la vida universitaria de la institución en la que trabajo.

Hablé también con uno de los que participaba en el bloqueo, que en ese momento le dirigía un mensaje al resto, y le pregunté tan amablemente como pude si era posible negociar un retiro del bloqueo. Después de su hiperbólica respuesta (lo que entendí de ella es que en parte alegaba que el gobierno no deseaba dialogar), insistí en preguntar si se retirarían, y hasta entonces recibí un “no” por respuesta.

No quiero extenderme más. Solamente quiero que el gobierno, por instrucción de quienes lo encabezan, resuelva el problema particular de que una fracción de la población estatal cuya magnitud no es mayor al 1% decida y controle el destino del resto, en lo presente por medio de pérdidas económicas directas, y en el futuro, a consecuencia de una juventud incapaz de comprender y transformar la realidad que le rodea. Si por razones desconocidas e inexplicables para mí no pueden hacerlo por medio del legítimo uso de la fuerza, entonces por lo menos apéguense al Satyagraha predicado por Gandhi. Divulguen con mayor energía los puntos debatidos de las llamadas reformas estructurales, para asegurar que por lo menos no hay ambigüedades en las intenciones de los unos y los otros, y la población en general no pueda quejarse de no conocer las dos versiones de la historia. Insistan en la máxima “El respeto al derecho ajeno es la paz”. Los que ven conflicto, dicen desear la paz. Pídanles que hagan honor a dicho concepto.

Quiero, pues, seguir confiando en las autoridades.

Atentamente,

Octavio Alberto Agustín Aquino

Más vale paso que dure... (2)

En un tuit reciente, una de mis heroínas dijo:

Recommended entertainment in Oaxaca: museums, galleries, archaeological sites, mezcal, watching ants carry huge petals around a plaza.

— Evelyn Lamb (@evelynjlamb) May 18, 2016

Luego, agregó:

The pyramids aren't so impressive once you've seen these ants!

— Evelyn Lamb (@evelynjlamb) May 18, 2016

Esto no dejó de decepcionarme un poco. Sé que se trata de añadir algo de humor a su recorrido, pero la broma no me causa suficiente gracia. Es por eso que le respondí que Monte Albán y Mitla literalmente te vuelan los sesos con el cómo fueron construidas. Daré en esta ocasión los detalles respecto a la primera zona, y en otra respecto a la segunda.

Es bien sabido que el cerro donde se ubica Monte Albán fue tajado para construir el centro ceremonial, empezando alrededor de 500 a. C. Según mis tanteos con Gogl Maps, el área final de la planicie artificial es $A_{1} = 1.4\times 10^{5}$ metros cuadrados, quedando a una altura de $300$ metros sobre el nivel que están los pueblos adyacentes de Ixtlahuaca y Arrazola. Si tomamos como referencia los $h=41$ metros de la estructura más alta de la zona arqueológica como la probable altura del pico excavado, y a la misma plataforma norte con sus $A_{2}=1.4\times 10^{4}$ metros cuadrados de área como la parte superior de un cono truncado que posiblemente era el monte original, el volumen de tierra a extraer es de \[ V = \frac{1}{3}h\left(A_{1}+A_{2}+\sqrt{A_{1}A_{2}}\right) = 2.696\times 10^{6} \] metros cúbicos. Considerando que la densidad media de la tierra es $1.35$ toneladas sobre metro cúbico, estamos hablando de mover unos $M=3.6$ millones de toneladas de material. Si se observa la fotografía satelital, se alcanza a distinguir que la mayor parte fue arrojada por la ladera oeste del cerro.

La energía necesaria para realizar esta tarea es equivalente a la requerida para hacer descender toda esa masa concentrada en el centroide del cono truncado hasta el nivel del piso. Para facilitar el cálculo, vamos a suponer que las tapas son circulares con radios $R_{1} = 211.1$ y $R_{2} = 66.8$, de modo que el centroide está a una altura de \[ \overline{z}=\frac{h}{4}\frac{R_{1}^{2}+2R_{1}R_{2}+3R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}+R_{1}R_{2}+R_{2}^{2}} = 12.5 \] metros. Por lo tanto, la energía necesaria es $Mg\overline{z} = 4.4\times 10^{14}$ joules, o algo así como $1\times 10^{11}$ kilocalorias. Según WebMD, una persona que realiza un trabajo pesado necesita unas $6000$ kilocalorias adicionales al del metabolismo basal en un jornal de diez horas. En consecuencia, para lograr rebajar el cerro en un día se necesitaría una muchedumbre de unos 17 millones de personas. Sin embargo, la población sólo llegó al orden de unas quince mil hacia el final del Preclásico, por lo que lo más probable es que fuera un esfuerzo sostenido durante siglos para lograr la obra. Si se hubiera realizado durante unos tres siglos, se requeriría una cuadrilla de unas ciento cincuenta personas laborando diario; esto sin tomar en cuenta la construcción propiamente dicha de los templos, plazas, juego de pelota y la propia subida del monte. ¿No es esto comparable con el afán de las hormigas?

Solomon Golomb (1932-2016)

Murió Solomon Golomb el primero del corriente, a la avanzada edad de 83 años.

Codescubrió con Sidon y Babcock el hecho de que los conjuntos de enteros tales que sus sumas son todas distintas son extremadamente interesantes. También encontró un algoritmo para generar arreglos de Costas, de los que ya hemos hablado antes y que utilicé para una micro composición. Otra joya que tiene es un artículo de una página y fracción sobre fracciones egipcias.

Naturalmente, era un contribuyente asiduo de ideas para Martin Gardner, en especial con los famosos poliominós, y que mucho tuvo que ver con el Tetris.

QEPD, Solomon Golomb. Que sus ideas y juegos duren para siempre.

De esto y lo otro (3)

1. Andrew Wiles recibió el premio Abel de este año. No hay mucho más que decir, excepto que algo que me sorprendió enterarme en su momento es que la National Science Foundation (el Conacyt estadounidense) se ufana de haber financiado la demostración del teorema de Fermat-Wiles. Y no es que sea mentira. Lo interesante es que, hasta donde sé, no hay aplicaciones que reditúen en dinero contante y sonante de este resultado.
2. El 12 de este mes murió Lloyd Shapley, uno de esos buenos matemáticos que han ganado el premio de economía en memoria de Alfred Nobel. ¡Larga vida a sus teoremas, algoritmos y definiciones!
3. El Día de Pi en la Unca fue, diría yo, un éxito, y prueba que atraes más personas con pay que con... ustedes saben.

Una canción por el Día de Pi

Porque se parece tanto a un estado de embriaguez: cántese con la música de "La juma de ayer".

Quiero matar un capricho
que tengo en el corazón.
Voy a coger un tratao
con tremenda extensión.

Búsquenme una libreta,
lápiz y un borrador.
¡A formar un acordeón!
Y así matar el capricho
que tengo en el corazón.

(¡Intuición!)
Es lo que usaré.
Y tal vez si queda
tiempo, un poco
de buen rigor.
Y así encontrar la
idea de este paper remolón.

El lema de ayer
ya se demostró.
Otra conjetura
ya traigo yo.

Llévenme a la biblioteca,
pero llévenme por favor.
Que esta misma noche
encuentro la demostración.

¡Cu! ¡E! ¡De!

Algunos matemáticos (no tan) notables

Cuando buscaba sobre el desempeño de Maryam Mirzakhani, Artur Ávila de Cordeiro de Melo, Terence Tao y Ngô Bào Châu en las Olimpiadas Internacionales de Matemática, me encontré con estos matemáticos que también ganaron la medalla de oro de 1995 y 1988.

1. Nikolay Nikolov (1995).
2. Hongyu He (1988).
3. Nicușor Dan (1988).

Escribo esta entrada para tener la referencia a la mano. Particularmente llamativo es el caso de Nikolay Nikolov, que en mi opinión es el número 1 de los número 1 de 1995.

P. D.: ¡No me había percatado de que ésta es la cuadrigentésima entrada! ¡Hurra!

Adenda (11/03/16). Me faltaron medallistas dorados:

1. Adrian Vasiu. (1988).
2. ¿Nikolai Filonov? (1988).

De esto y lo otro (2)

1. Murió Marvin Minsky, un polímata de nuestros tiempos, cuyo trabajo tuvo profundas consecuencias para estudio de la inteligencia artificial. Entre otras cosas, inventó un microscopio y una máquina musical. Lo recuerdo particularmente porque, durante una entrevista en 1992, comentaba sobre maneras de "desperdiciar la inteligencia", y señalaba particularmente aquella en la que "un grupo de personas se junta a ver otras pateando un balón".
2. Me importa un cacahuate lo que opine la desdichada AMPAS: para mí "El marciano" es la mejor película, con el mejor actor, con el mejor guión adaptado (¡el mismo autor del libro en el que está basado me secunda en cierto modo!), el mejor diseño de producción y los mejores efectos especiales. Y aunque no la nominaron en la categoría ¡también tiene el mejor vestuario! Creo esto porque se enfoca en un tema que va mucho más allá de las banalidades del sexo o la venganza, que finalmente las tienen los demás animales (o, por lo menos, los hominoides), y poner todo lo susodicho a tan grande servicio me parece excelente.

Crear un laberinto dentro de otro

En los inicios del año recibo la triste noticia de que el martes de esta semana murió Pierre Boulez. Me cae bien porque estudió matemática antes de ser compositor, y dirigió el legendario IRCAM (donde se amalgaman la computación, la matemática y la música maravillosamente) desde su fundación en 1977 hasta 1992.

Lo que más huella ha dejado para mí de su obra es la idea del análisis creativo. En sus palabras:

La situation la plus séduisante est de créer un labyrinthe à partir d’un autre labyrinthe, de superposer son propre labyrinthe à celui du compositeur : non pas essayer en vain de reconstituer sa démarche, mais créer, à partir de l’image incertaine qu’on peut en avoir, une autre démarche. L’analyse productive est probablement, dans le cas le plus désinvolte, l’analyse fausse, trouvant dans l’œuvre non pas une vérité générale, mais une vérité particulière, transitoire, et greffant sa propre imagination sur l’imagination du compositeur analysé. Cette rencontre analytique, cette détonation soudaine, pour subjective qu’elle soit, n’en est pas moins la seule créatrice. (vid. Anne Boissiere: Geste, interprétation, invention selon Pierre Boulez, Revue DEMéter, décembre 2002).

[La situación más seductora es la de crear un laberinto a partir de otro laberinto, de superponer su propio laberinto al del compositor: no tratar en vano de reconstruir sus andanzas sino crear, a partir de la imagen incierta que uno pueda tener, otra andanza. El análisis productivo es probablemente, en el caso más desenvuelto, el análisis falso, que encuentra en la obra no una verdad general, sino una verdad particular, transitoria, e injerta su propia imaginación en la imaginación del compositor analizado. Esta acometida analítica, esta detonación súbita, por subjetiva que sea, no es más que la única creadora.]

También me resulta memorable el hecho de que supervisara la grabación de la obra integral de Anton Webern (otro compositor al que admiro profundamente), y que descubriera que cabía perfectamente en seis discos compactos.

En fin: dedico mi opus 41, "Vivir es pertenecer a otro", sobre un texto de Fernando Pessoa, al maestro francés. Me parece que queda como anillo al dedo.

Vivir es pertenecer a otro. Morir es pertenecer a otro. Vivir y morir son la misma cosa. Pero vivir es pertenecer a otro de afuera, y morir es pertenecer a otro de adentro. [Fernando Pessoa: Textos de Crítica e de Intervenção, Lisboa, Ática, 1980.]

La última del 2015

Mis dos bitácoras padecen mi grave falta de tiempo, pese a que las atesoro como una memoria y un medio de expresión. Trataré de remediar esto un poco en el último día del año.

1. Murió Klaus Roth, quien trabajara en teoremas profundos sobre aproximación diofántica. Específicamente, el teorema de Thue-Siegel-Roth (que le ganara la medalla Fields), que conduce al algorítmico resultado de Størmer y las proporciones superparticulares. Entre estos, especial mención les doy a los que resultan en el espacio de Euler (es decir, cuando sólo nos interesan octavas, terceras menores y cuartas), pues los únicos son 2/1, 3/2 y 9/8, que corresponden a la octava, la quinta justa y el tono, a partir de los cuales se construye toda la escala pitagórica.
2. También murió el gran lógico y filósofo Jaakko Hintikka. Segun Mendelson, encontró demostraciones alternativas del teorema de completitud de Gödel para el cálculo de predicados; no me parece poca cosa. Mas impresionante todavía es que pudo demostrar que la lógica de orden superior se puede "simular" con la de segundo orden.
3. Vi "Un gallo con muchos huevos", que debiera recibir una acogida mejor de la que le dieron las reseñas, sobre todo si se le compara con fiascos como "Minions", y probablemente hasta contra "El buen dinosaurio".
4. Asimismo, con gran ilusión compré mi boleto para el episodio VII "El despertar de la Fuerza", para encontrarme básicamente otra vez con "Una nueva esperanza". Ange, en particular, estuvo muy a disgusto con la tontería de "encontrar a Luke". Y lo peor es que ¡ahora no puedo esperar al episodio VIII!
5. Por fin pude comprar "Trascender", y creo que quienes echan pestes sobre esta excelente película o les dio miedo o de plano está más allá de sus capacidades.
6. No quiero terminar sin manifestar mi regocijo al presentar mi libro tanto en la Unca como en la Unam, en ambas ocasiones en compañía de mi amigo y mentor el gran Dr. Emilio Lluis Puebla.

Y, pues, ¡feliz 2016!

Decepciones y rechazos

El fin de semana recibí la triste noticia de que "La canción de Volterra", op. 38, no obtuvo premio alguno en el concurso convocado por el Cocyt. Pude localizar al primer, segundo y tercer lugar en Yutub, y aunque realmente no me parecieron muy buenas en lo que a la música refiere (en todo caso, el tercer lugar merecía más), por lo menos puedo decir que la premiación fue mejor que la del año pasado, pues a diferencia del ganador del primer lugar de la vez anterior, en esta ocasión no se vitupera a la ciencia y la tecnología. Debo agregar que, como prometí, mi obra concursante tuvo letra, pero tristemente eso no le ayudó.

Las malas nuevas no acaban ahí. Hace poco, también, Timothy Gowers rechazó mi artículo que trata sobre conjuntos súmicos para su nueva revista Discrete Analysis, y que los conecta con problemas de musicología matemática relacionados con el contrapunto. Dado que su revista es superpuesta al arXiv, francamente no entiendo qué le quitaba colocar teoremas correctos y relevantes en ella. Por supuesto, no podía adivinar que necesitaba cosas como la solución del problema de la discrepancia de Erdös, recientemente conquistado por Terence Tao. Espero ansioso el primer número de su experimiento, para ver si de verdad yo no merecía "publicar" ahí.

De la misma manera, rebotó en el Australasian Journal of Combinatorics mi artículo donde cuento el número de dicotomías fuertes usando tablas de marcas, y en el que asimismo propongo una conjetura sobre un fenómeno parecido a la criba cíclica. El árbitro dice que mi artículo "sólo es una aplicación" y que, por conjeturar solamente está "incompleto". Para aplicar los resultados de criba cíclica, el grupo debe ser cíclico o un producto "fácil" de grupos cíclicos, y hasta donde entiendo el grupo afín sobre $\mathbb{Z}_{2k}$ no es lo que llamaría sencillo. Sin embargo, debo confesar que ahora que he leído de nuevo mi artículo, puedo mejorar la exposición en algunos puntos. Seguiré intentando.

Potencia de dos por quinta vez

Llegar a los $100000_{2}=200_{4}=40_{8}=20_{16}$ no ha sido tan sencillo, pero heme aquí.

Consultando el Number Gossip no veo propiedades interesantes de este número, excepto que probablemente sea la única potencia de dos tal que todos sus dígitos son primos, y su practicidad. Un número es práctico cuando cualquier número natural inferior a él puede expresarse como sumas de divisores distintos del mismo, y el $32$ lo es por casi obvias razones. De hecho, todas las potencias de $2$ son prácticas, pero no recíprocamente. El siguiente número práctico es el $36$, ¿llegaré a ser práctico por catorceava vez? No sé.

Me puse a pensar si el $32$ es la solución a algún problema combinatorio interesante, y ¡no me vino a la mente de inmediato que es el número de subconjuntos de un conjunto con $5$ elementos! Exprimiendo la OEIS, encuentro algunos más:

• Es un número tal que su factorial menos uno es primo. Es decir, $32!-1 = 263130836933693530167218012159999999$ es primo (¡gracias, S. B. Ekhad, por el cálculo!). Esto me servirá para recordar un primo enorme.
• Es el número de formas de colocar cuatro reyes que no se ataquen en un tablero cilíndrico de ajedrez de $4\times 4$.
• Es el mínimo número tal que pueden elegirse $13$ números entre $\{1,2,3,\ldots,32\}$ de modo que no haya tres en progresión aritmética
• Es el total de subconjuntos de las raíces $25$-avas de la unidad que suman $0$.
• Es el número de clases de $h$-cobordismo de homotopía suave de las $n$-esferas para $n=32,33,41,48$ y $53$, hasta donde llega la OEIS. Me gusta la observación ahí plasmada del hecho de que para $n=3$ este valor sea $1$ significa que la conjetura de Poincaré ha sido demostrada.

P. D. Vean el pastel de la celebración.

P. D. 2. Mi hermanazo JHS me dió un excelente regalo de cumpleaños en los comentarios: entre los números de Fermat, $2^{2^{5}}+1 = 2^{32}+1$ es el menor que es compuesto, y esto lo demostró ¡nada menos que mi héroe, Leonhard Euler, en 1732! ¡Gracias! Y también por la corrección, pues había colocado el signo equivocado en el $1$ en una versión anterior de esta posdata.

La constante de Arquímedes en acción (2)

Hace un mes la estancia donde enviamos a Ximenita hizo una "clausura". Nos pidieron cierto vestuario para algunos números musicales que presentarían los niños. Un conjunto, en particular, incluía una falda circular de satén rojo.

Una falda circular se construye a partir de una corona circular, tal que la circunferencia del círculo interior es igual a la medida de la cintura de quien la usará. Por supuesto, se parte de la hipótesis de que un corte transversal del cuerpo está razonablemente cerca de una circunferencia.

Lo interesante es que algunas guías para construir el patrón tratan de esquivar el cálculo del radio de círculo interior, y lo tantean usando la cinta métrica. Es realmente muy simple: si $C$ es la medida de la cintura, simplemente se divide entre $2\pi$ para encontrar el radio (hay que tener cuidado al hacerlo entre la calculadora, porque hacen falta unos paréntesis antes de poner $2\times \pi$). Luego a esta longitud se le suma la longitud de la falda mas alguna holgura (para el dobladillo y por si acaso), y con esos datos se pueden trazar los sectores de círculo en una tela doblada en cuatro.

Ange y yo encontramos un tutorial donde consideraba la posibilidad de mejorar el corte usando una corona elíptica. Lo curioso es que, sin un patrón, sería necesaria por lo menos la excentricidad promedio de las cinturas humanas para estimar los semiejes, o tener una manera de medir el "ancho" $2a$ de la persona para utilizar una fórmula aproximada como la de Ramanujan
\[ C = \pi(a+b)\left(1+\frac{3h^{2}}{10+\sqrt{4-3h^{2}}}\right)
\] donde $h=(a-b)/(a+b)$ para encontrar $b$ y trazar la curva. Hay que recordar que el cálculo de la circunferencia de una elipse es un problema nada trivial, que motivó estudiar ciertas integrales que precisamente recibieron el nombre de elípticas, y que resultó mucho muy fructífero.

Necrologías de sorpresa (2)

Le escribí a mi gran amigo JHS acerca de un interesante libro sobre ciertas ecuaciones diferenciales con una perspectiva histórica, y en su respuesta me sorprende con que el Dr. Humberto Cárdenas Trigos nos ha dejado. He rascado por la Red buscando la fecha exacta en que este triste evento sucedió, pero no he podido dar con ella; lo único que sé de cierto es que fue antes del 8 de agosto, cuando recibí la noticia.

Su tesis doctoral, en la que encontró el anillo de cohomología del grupo simétrico, fue dirigida por Norman Steenrod. Creo que esto basta y sobra para darse una idea de la estatura de este matemático mexicano.

Nunca tuve el gusto de saludarlo en persona, pero Angélica sí lo conoció e incluso él le sugirió el tema de su tesis; le sorprendía la lucidez y agudeza que conservaba cuando tenía más de 80 años de edad.

QEPD, Dr. Humberto Cárdenas Trigos. Que sus teoremas e ideas vivan para siempre.

P. D. 1. Según examino en la página que me señaló JHS, veo que me lo comunicó con mucha prontitud: el Dr. Cárdenas había muerto el 7 de agosto.

¡Ya llegó!

Probablemente debí haber escrito algo cuando la sonda File (o Philae) llegó al cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko en noviembre del año pasado, pero me pareció que eso no fue lo suficientemente revolucionario (habrá quien no esté de acuerdo, por supuesto); en lo personal a mí me parecieron más interesantes las misiones del Giotto y del Impacto Profundo (Deep Impact). En todo caso, rebotar dos veces en un cometa es sin duda algo jocoso.

Por otro lado lo de hoy sí toca, por decirlo así, una fibra sensible. La sonda Nuevos Horizontes (New Horizons) llegó hoy al punto de aproximación más cercano a Plutón. Me gustó muchísimo la nota del New York Times al respecto, pues es interactiva y explica rápidamente y bastante bien cómo se desarrolla la misión, además de que trae un mapa móvil con las fotos más recientes del planeta enano. Los comentarios de Phil Plait también son muy iluminadores.

He mencionado antes que la astronomía fue una de las disciplinas que más me llamó la atención desde que era niño, y ahora entiendo que mucho de lo que se explicaba en los libros de divulgación que adquirí en esos tiempos eran conjeturas razonables (en particular, se ignoraba que existía Eris, un objeto de mayor masa que Plutón, y que desencadenó el pequeño debate sobre qué cosa es un planeta); me emociona intensamente pensar que a partir de este momento puedo decirle a mi hija que por fin la humanidad ha visitado los nueve planetas "clásicos", y que tenemos fotografías de ellos. Al respecto, algo interesante es que la nave descubrió que Eris es ligeramente más pequeño que Plutón en su radio (al menos en un 0.5 por ciento), lo que tal vez legitime en la mente de algunos (como yo, en particular) que debería ser considerado un planeta después de todo.

Si mi libro de contrapunto, como decía el sitio de Springer, hubiera aparecido justamente este día, habría sido maravilloso, pues la Nuevos Horizontes despegó en 2006, el año en que me recibí de licenciado en matemática aplicada, y no hubiera dejado de ser una interesante coincidencia.

¡Ya salió!

Después de una larga espera, por fin sale publicado mi primer libro "en serio" (es decir, que tiene ISBN y probablemente sea ingresado en MathSciNet®): Computational Counterpoint Worlds. Por supuesto, hay que recordar el de Teoría de Grupos con música que escribí en colaboración con el Dr. Emilio Lluis Puebla, la Dra. Mariana Montiel Hernández y la mtra. Janine Du Plessis, y las "Llamaradas de petate" sin duda; y espero no ofender a nadie al confesar que éste último es el que más satisfecho me tiene hasta el momento. Tampoco voy a ocultar mi emoción de ver mi nombre en la cubierta de esos famosos libros de matemática (aunque la editorial ya no es lo que era antes, pero no se puede tener todo en la vida).

Quien lo lea probablemente detecte algunas deficiencias. Y es que creo que todavía es un poco pronto para referir todo lo que se sabe en esta perspectiva del contrapunto, pues apenas publicaré una tentativa de cómo las torres de contrapunto pueden desembocar en contrapunto "continuo" (aunque ya se puede consultar en arXiv), y además no se ha podido extender satisfactoriamente a especies (en el sentido de Fux) distintas a la primera. Sin embargo, retrasar más un compendio implicaría tal vez jamás publicarlo, además que con esto podría atraerse a más gente para avanzar en esta área.

Puede que no sea tan evidente como debiera, pero el esfuerzo de reunir las perspectivas de tres personas localizadas en Estados Unidos, México y Suiza no es nada fácil, y menos cuando tuvo que hacerse por correo electrónico (debo homenajear aquí la extremada paciencia del Dr. Junod). Es un signo de nuestros tiempos, sin duda, la forma en que fue escrito y el tema sobre el que trata. Ojalá esto le acarree algo de éxito.

Esta otra va por Vito Volterra

La inspiración a veces te toma por sorpresa. Pese a ello, la corriente de donde vino puede tener un origen bastante concreto, como me ocurrió esta vez.

El día 3 de mayo del presente, el Dr. Mazzola me comunicó su observación de que el llamado "acorde místico" (que hizo las delicias de Alexander Scriabin), es una dicotomía fuerte, y me sugirió que buscáramos si esto tenía consecuencias en la armonía o el contrapunto de sus obras. Parece que la intuición de Scriabin lo dirigió allí precisamente para no tener que molestarse en la armonía o el contrapunto, pero en algún otro momento contaré que encontré.

La cuestión es que, cuando vi las tablas de pasos permitidos para esta dicotomía, noté que la escala de tonos enteros es ideal para componer con ella. Esto podría sospecharse trivial, porque el acorde místico casi es una escala de tonos enteros, pero hay que recordar que el acorde es solamente uno de los 48  representantes de la clase de la dicotomía, y la optimalidad de la escala de tonos enteros se preserva para todos ellos. También debo señalar que esta escala es una de mis favoritas, porque representa uno de los tres enfoques "macrotonales" de la música occidental.

Por otra parte, pensando en lo que expondría en el seminario institucional de la Unca, me topé con el modelo para competencia interespecífica que desarrollaron Alfred Lotka y Vito Volterra, y me entró la curiosidad por sus biografías. Ambos son, sin duda, individuos notables, pero Volterra destaca por haber sido invitado cuatro veces como ponente plenario al Congreso Internacional de Matemáticos. Leí, en la Wikipedia, una frase que escribió en una postal para un amigo en la época en que se opuso al régimen de Mussolini:

Crollano gli imperi, ma i teoremi della geometria euclidea conservano loro eterna giovinezza.

Tristemente no he podido verificar esta fuente, pero no suena descabellada la atribución; también hay muchas variantes, pero ésta es la versión más antigua que pude extraer de Gogl Bucs. Yo la traduzco libremente de la siguiente forma, tal vez ligeramente más enfática:

Caerán los imperios, pero los teoremas de la geometría euclídea nunca perderán su eterna juventud.

Puestos estos ingredientes, tomé los BollyRubettes de Julien Junod para Rubato, y compuse un cantus firmus en la escala de tonos enteros con la frase en español de Volterra, y fui arreglando el discanto con el BollyComposer en el mundo de contrapunto del acorde místico, de modo que resultara medianamente cantable.

¿Y quién lo cantaría? En Teotitlán no conozco intérpretes entrenados como para realizar una versión decente. Ya había buscado antes cómo generar voz sintetizada, y había dado con Sinsy, que utiliza modelos de Markov ocultos y cuyas capacidades ya han sido ampliamente exploradas. Un pequeño problema con este sintetizador es que la entrada debe estar en MusicXML, en el que no sabía escribir. Afortunadamente crearon un editor de música en línea llamado Flat, que proporciona salida en el formato necesario, y a partir de ahí obtuve una comprensión mediana de este último que me facilitó mucho la tarea de generar las partes.

Otro problema es que Sinsy sólo puede cantar en japonés y en inglés. Además, la entrada en japonés debe estar escrita en katakana o hiragana, los cuales apenas y entiendo qué son. Por lo tanto, apoyándome en el traductor de Gogl realicé la mejor aproximación posible con sílabas en inglés en la letra para que se escuchara en español. El resultado no es precisamente satisfactorio en cuanto a prosodia, mas da una idea muy buena de cómo sonaría la obra (y le añade un estilacho de Daft Punk que, en lo personal, me encanta).

Debo agregar que originalmente mi plan era que se repitiera la estrofa con la dicotomía del acorde místico dos veces, pero después de hacer escuchar el resultado a algunos conocidos noté que, encima de la incomodidad que genera la voz sintética, el uso de consonancias no estándares es un poco difícil de digerir, así que decidí usar el BollyMorpher para transformar el original en otra versión con las consonancias tradicionales. Tuve que jugar mucho con los parámetros de la transformación, pues normalmente producía lineas completamente incantables (o, por lo menos, inverosímiles al oído) hasta dar con la apropiada. También vale comentar que la palabra "juventud" suena diáfana en la versión original a propósito, y me complació grandemente escuchar que dicha cualidad se conservó en la transformación.

Así nació, pues, "La Canción de Volterra", op. 38, en la cual se escucha primero el dueto en el mundo de las consonancias renacentistas, y después en el de las místicas.

Le envié el resultado de este experimento a Julien Junod, y ésta fue su impresión:

I really liked the conceptual mixture between high tech and mystical inspirations which adds a kind if sci-fi flavor, not to mention the synthetic voice that somehow reminds me of HAL's "Bicycle for Two " in "2001".

Realmente me gustó la mezcla conceptual entre la tecnología de punta y las inspiraciones místicas que añaden una especie de sabor de ficción científica, sin mencionar a la voz sintética que de alguna manera me recuerda a "Bicycle for Two" de Hal en "2001".

Para mí fue extremadamente grato componer esta pequeña obra, pues involucra mucha matemática y auxilio computacional que la hubieran hecho prácticamente imposible unos 10 años antes. Espero que quienes la escuchen no queden tan malheridos en sus tímpanos, si bien mi intención tampoco era precisamente deleitarlos. Finalmente, junto con "Pi", op. 33 (informalmente dedicada a Arquímedes y los matemáticos de la antigüedad) y "El número de Euler", op. 36, cierra una trilogía para la que todavía no tengo nombre, y me agradaría leer sugerencias en los comentarios.

Un volcado de memoria. Pérdida de tiempo deliberada (IV)

¡Hay tantas cosas en el tintero!

Algo que quiero decir desde hace rato es que es una porquería lo que provocan los partidos políticos en México. En especial en Oaxaca. Sería detestable que no pudieran llevarse a cabo las elecciones según lo proyectado por peleas estúpidas. Exijo que nadie me impida votar.

Otra diferente es que le deseo larga vida a los teoremas, definiciones e ideas de John Forbes Nash Jr., es una verdadera pena que haya muerto como lo hizo.

Aliviadas esas picazones, quería librarme de otras que son el centro de esta entrada. Tiene algún tiempo que leí en el New York Times sobre Violet Hart:

Ultimately, she [Violet Hart] hopes she can be a Martin Gardner for the Web 2.0 era.
[A la larga, ella espera poder ser una Martin Gardner para la era de la Red 2.0.]

¡Me causó tanta gracia! Tal vez parezca paradójica mi sorna, pues ella se proclama "matemúsica recreativa", y conocí a una persona que pensaba que por este solo hecho me agradaría su obra. Pero no. Y la razón es simple: Martin Gardner sabía que no sabía, y por eso exprimía conocimiento de sus amigos matemáticos para explicárselo primero a él mismo y después a los demás. Así se obraba la magia. Por otro lado, pienso que Hart cree entender y apreciar la matemática, y percibo que es por eso que le quita sustancia, que la despoja de la verdadera emoción y el arte, y la deja como una especie de payaso. Y eso está muy lejos de lo que hacía el maestro Gardner.

La buena noticia es que me parece que sí existen las Martinas Gardner del nuevo milenio. En especial, en mi opinión alguien que llena esos gigantescos zapatos es Evelyn Lamb; ella, en especial, tiene una bitácora en el Scientific American (¡dónde más!) llamada "Las raíces de la unidad" (un agradable juego de palabras). El lema que tiene es "Matemática: aprendiéndola, haciéndola, celebrándola" (las negritas son mías), que captura justamente el espíritu de Gardner. Quizá su secreto para la frescura es que ella está del otro lado del espejo: se topa con los temas que discute por medio de la enseñanza, y por ello busca hacerse entender lo mejor posible, sin pretenciones, de la manera más natural a su alcance.

Por supuesto, no demerito a un inmediato sucesor matemático de Gardner: Ian Stewart. Sin embargo, como ya era un matemático formado y mucho muy bueno cuando empezó con su tarea divulgadora, pienso que no le es tan fácil transmitir la emoción del aprendizaje o de la enseñanza. No me malinterpreten: a mí en lo personal me fascina que no subestima al lector, pero no estoy muy seguro de que eso le resulte particularmente atractivo a los no iniciados.

Esto me trae a la mente algo que ví ayer en Yutub, con lo que quiero terminar por hoy. El video en cuestión da supuestos argumentos para justificar (adivino) la existencia de la actividades relativas a la Olimpiada de Matemática(s) en Nuevo León. Si bien últimamente he cambiado un poco de parecer respecto a los concursos científicos (al final diré por qué), estoy de acuerdo en muy poco de lo que ahí se vierte.

Intentaré resumir su razonamiento: en la educación "tradicional" se les enseña a los alumnos a resolver todo por medio de fórmulas, lo que atrofia su iniciativa; por ello, cuando por casualidad se enfrentan a un problema para el que no hay un camino ensayado y exitoso, se pierden y finalmente se rinden con facilidad. En cambio, en los "entrenamientos" (me figuro) para la olimpiada, se eligen precisamente los problemas "sin método" y se les imbuye a los estudiantes la confianza en su ingenio para puedan llegar por sí mismos a la solución.

El punto clave que omiten es que tal es una preparación para una competencia. Es como el que defiende la existencia de los programas para los atletas de alto rendimiento sosteniendo que ayuda a la gente a mejorar su salud física. Esto es obviamente falso: si la Conade deseara hacer tal cosa, no tendría porque exigirle el máximo a la población, sino simplemente lo necesario.

Claro, hasta aquí llegaría la analogía... ¿o no? Poniendo atención, verán que dice que ante un problema no estándar a veces sí hay quien lo resuelve con lo que aprendió a la escuela, con la suficiente paciencia y orden; pero a los autores del video esto no les interesa y no lo vuelven a mencionar ni por equivocación, porque esos alumnos no "brillan" por su "ingenio" (no saben vencer dragones de manera espectacular, vaya). Lo necesario no es suficiente, pues. Quiere decir que lo que importa no es resolver los problemas, sino el cómo se resuelven.

No tengo problema con enfatizar el método (o la falta del mismo), finalmente la matemática se construye sobre eso en gran medida. En otras palabras: perfectamente puede pintarse un paisaje esquemático de manera burda si lo que se quiere es describir una situación, pero tomar un lienzo, pinceles y óleo y lograr una obra maestra es harina de otro costal, y a los matemáticos nos encanta el pan que se logra con ella. También estoy de acuerdo que no se les proporciona el valor de la perseverancia a los niños y jóvenes en su educación elemental.

A lo que voy es que no puede decirse en letra pequeña que el beneficio del entrenamiento es para algunos elegidos. Esto es esencial. Más aún, los alumnos que mayor disposición tienen son justamente los seleccionados para representar a su salón, a su escuela, a su estado, al país, y con este tipo de actividades simplemente les incrementan su capacidad. ¿Y qué hay de los demás? ¿Nos guiarán con su ejemplo inspirador? A lo mejor. Precisamente.

Resulta que me he convencido de que en definitiva necesitamos que esa crema y nata sea de lo absolutamente mejor posible. Esos pocos con capacidades excepcionales, en verdad, contribuirán a obtener medallas Fields, premios Abel, premios Nobel, etcétera, y con algo de suerte llegarán a dirigir destinos de partes de nuestro país y con probabilidad cercana a 1 lo harán bien, porque hay evidencias de que existe una correlación fuerte entre la capacidad intelectual y el éxito en el desempeño de una tarea. Yo digo que este debe ser el gancho para vender a la Olimpiada, sin duda alguna.

Podría tener lo que necesitas, pero no sé si te hará feliz

Leyendo la Gaceta de la UNAM de ayer, encuentro que José Manuel Covarrubias afirma:

Las matemáticas, física y química no han cambiado en lo esencial y son bases fundamentales para la ingeniería aplicada, que se enseña en la última etapa de la carrera.

Creo que solamente un ingeniero puede tener esa visión tan simplista de las cosas, pese a que tiene razón en que no hay ingeniería sólida sin las "ciencias básicas" y la matemática (también me fascina que sus palabras sugieren la existencia de una "ingeniería teórica").

Por supuesto, la matemática, la física y la química han conseguido una precisión que progresivamente es más difícil de mejorar, mientras que la probabilidad de que tengan errores serios disminuye. Pero estoy seguro que hay muchísimas diferencias tanto conceptuales como algorítmicas entre Euler, Gauss, Jordan y sus sucesores como para sencillamente decir que resolvían ciertos problemas de manera equivalente. Por citar otro ejemplo: sé de buenas fuentes que el diseño de automóviles no fue el mismo desde que surgieron las ideas de Paul de Casteljau y Pierre Bézier en la segunda mitad del siglo XX (entre muchos otros); obviamente, el aumentar las herramientas disponibles para el diseñador invoca desarrollos en cómo se aplica la física, la química y la matemática para llevar sus ideas a la realidad. Y no surgen pocas innovaciones ahí.

Pero, vamos, nada cambia en lo fundamental, ¿verdad?