Un eliminador de la necesidad del pensamiento inteligente

El sábado pasado murió el gran matemático Herbert Wilf. Me enteré súbitamente al entrar a la página del Electronic Journal of Combinatorics.

Wilf es conocido, creo yo, principalmente por su libro "A=B" escrito con Marko Petkovšek y Doron Zeilberger, donde exponen un casi milagroso algoritmo que verifica y resuelve identidades combinatorias. Otra de sus obras famosas es "Generatingfunctionology" que expone de manera diáfana la fructífera relación que hay entre la combinatoria y el análisis a través las funciones generadoras. A mí en lo particular me gustan mucho sus notas "East side, west side...", que encuentro particularmente esclarecedoras en lo que a la recursión y la combinatoria respecta.

Wilf conoció a Erdős (su número de Erdős es 2), y lo pueden ver dando su opinión y recordando al eximio húngaro en el documental "N is a number". Le llamó la atención que Erdős considerase con mucha seriedad cualquier pregunta, pues al decirle Wilf "Hola, Paul, ¿cómo estás?" Erdős le responde después de mucha ponderación que estaba muy triste, pues echaba de menos a su madre (siendo que la mayor parte de la gente, según Wilf, simplemente dice "Bien, gracias").

RIP, Herbert S. Wilf.

El gato con ¿huaraches?

Ayer Ange y yo fuimos a ver "El gato con botas". Tenía bastantes ganas de verla por las reseñas favorables, aunque Ange no estaba muy convencida pues no le gustan los gatos y menos los huevos que hablan.

En general la trama es interesante, pero alejada por completo del original del Perrault (que, por cierto, podría inspirar una película estupenda si alguien se animase a filmarla en un estilo semejante). Sin embargo, lo que más llamó mi atención es que se especifica que una parte de la acción se desarrolla en España.

Y, vaya, hay paisajes de cañones y tierras áridas que no parecen característicos de la península ibérica. Al principio pensé que no hay desiertos por allá, pero ciertamente los hay (como el de Tabernas, por ejemplo). Sin embargo, si algunas fotografías disponibles en la red son representativas del lugar, no veo mucha similitud.

También me precipité a descalificar la mención de la virgen de Guadalupe, cuando ciertamente hay una en Extremadura (y que es negra, por cierto); es probable, sin embargo, que en España se considere a alguna otra de mayor importancia o devoción. Sea como fuere, el carácter general del entorno de la narración se siente mexicano, sin mencionar que en la entrada del pueblo se ven unos magueyes, cuando esta planta llegó a España ya bien entrado el siglo XX.

Todo lo anterior me lleva a reflexionar nuevamente sobre la idea que hay en Estados Unidos respecto a México, y que parece ligar a mi país inextricablemente con España. Más allá de la lengua, ¿puede decirse que sean confundibles o intercambiables? Vaya, uno de los productores de la cinta en cuestión es mi compatriota Guillermo del Toro (que hasta presta su voz para algo del doblaje) ¿no se le ocurrió sugerir que pusieran de una vez que andan por los rumbos de California? ¿O poner una ambientación verdaderamente española?

Y sí, ya sé que es un cuento, pero entonces bien pudieron ubicarlo en Uzbekistán, Suazilandia o algo totalmente desconectado de ubicaciones reales, como Muy Muy Lejano.

La nobilísima necesidad de la inteligencia

Ayer, en el programa "Historias Engarzadas", el invitado fue el periodista Jorge Zarza. Cuando éste hablaba sobre su elección de carrera, dijo que una compañera le mencionó la escuela de periodismo "Carlos Septién García", porque ella pensó que tenía madera para tal profesión. Luego se manifestó de este modo el Sr. Zarza:

Veo la tira de materias. ¡Perfecto! No hay Matemáticas. Esto es lo mío. ¡Esto es lo mío! Que buena carrera me acaban de poner en mis manos.

Vaya cosa... ¿Y si hubiera incluido algo de Matemática, habría tomado otra decisión? No es que piense que a todos les deba gustar esta disciplina, pero al menos no debería determinar así las elecciones profesionales. Además, no me parece positivo que exprese una opinión de esa naturaleza.

A la fecha, el plan de estudios de su alma mater sigue sin Matemática (aunque trae "Ciencia contemporánea", además de "Periodismo científico" como seminario). En la FES Aragón se imparte la licenciatura en Comunicación y Periodismo, y trae por lo menos "Estadística aplicada a la comunicación". ¿Explicará esto la poca destreza de los periodistas en México con relación a la Matemática y la ciencia en general? Quizá por ello suceden incidentes como el de los terniones.

Vale la pena contrastar esto con la entrevista que le hace Esther Vargas a Francisco Vidal:

EV: Se dice que los periodistas estudian justamente periodismo porque no saben ni dominan las Matemáticas. ¿Cuál es la relación que debe tener el periodista con las Matemáticas, con las estadísticas?
FV: La Matemática es un lenguaje y una forma de pensar. Digamos que tenemos dos grandes lenguajes en la Humanidad: uno que son las palabras y otros son los números. El periodista del futuro debe asignarle la misma importancia al lenguaje matemático que al lenguaje escrito.

Por trabajar en temas que le parecen importantes

El lunes de esta semana le dieron el "Premio Presidencial por la Excelencia en la tutoría de Ciencia, Matemática e Ingeniería" (!) al Dr. Carlos Castillo Chávez, profesor de Biología Matemática de la Universidad Estatal de Arizona.

La prensa recalca que el Dr. Castillo Chávez es "de origen mexicano". Generalmente eso quiere decir que los padres, abuelos, tíos o mascotas de la persona en cuestión son mexicanos, aunque realmente haya nacido en Estados Unidos y se haya educado como gringa. En este caso, no: el Dr. Castillo Chávez es mexicano de nacimiento, y estuvo un rato en su tierra natal antes de irse para el otro lado.

Si le hacemos caso a la Wikipedia, el señor tenía unos 16 años (me imagino que cursaba el bachillerato o algo equivalente) cuando sucedió lo de Tlatelolco, en 1968. Según una autobiografía del susodicho, el evento le hizo "perder el interés en la escuela" pues "la esperanza de democracia y cambio habían sido destruídas por la milicia". Se mudó a los Estados Unidos de América a los veintidós, y ahí sí dijo "mejor sigo estudiando" y hasta obtuvo su doctorado.

Qué chido, ¿no?

No soy feo... soy abstracto

Scott Rickard se propuso crear una pieza musical fea. ¿Cómo? Según él, la belleza de la música radica en sus patrones y repeticiones, así que si componía una pieza que (supuestamente) careciera de ellos, sería horrible por excelencia. No sé si Rickard conocerá la teoría de Ramsey, para que viera que su ideal es algo difícil de alcanzar.

Pero, sea como fuere, se le ocurrió utilizar unas construcciones conocidas como arreglos de Costas (que no tienen que ver con playas, sino con el Dr. John P. Costas, quien las descubrió). Estos objetos combinatorios se pueden definir como matrices cuadradas de ceros y unos de tamaño $n\times n$, tales que ninguno de los $\binom{n}{2}$ vectores que conecten dos unos de la matriz tengan la misma magnitud o inclinación.

Resulta que no se sabe si existen arreglos de Costas para todo $n$, pero lo bueno es que sí existen para $n=88$, que es el número de teclas estándar de un piano. Rickard agarró una y la tradujo a una partitura de modo se puede escuchar dicha configuración. No la encuentro particularmente desagradable.

Es fácil repetir el experimento de forma un poco menos espectacular. Un artículo de Solomon Golomb presenta tres arreglos de Costas de $6\times 6$, que se pueden traducir como compases de $\frac{6}{4}$ restringiendo la melodía a la escala de tonos enteros, lo cual hice. Como resulta que la cualidad de ser arreglo de Costas se preserva bajo las simetrías del cuadrado, puse en una voz los tres ejemplos de Golomb (transpuestos un tono cada vez) y luego los retrogradé y transpuse en la otra voz. ¿Qué les parece?

Hay toda una página consagrada a los arreglos de Costas (que, sorprendentemente, surgieron en el contexto de las señales de radar) la cual sugiero al lector interesado consultar. Se ve en tal sitio que para $n=6$ y $n=12$ hay $19$ y $990$ arreglos esencialmente distintos (es decir, descontando simetrías) respectivamente, por lo que hay material para crear mucha más música "fea".

¿Vacilación ante las vaciladas?

El tristemente célebre fiasco de los triernios (o terniones) fue interesante, en mi opinión porque observé que muchos matemáticos reaccionaron a proporción ante semejante despropósito. Pero es hasta ahora que el Dr. José Antonio de la Peña Mena publica su opinión sobre el tema en la versión electrónica de "La Crónica de Hoy". En ella, de una patada desacredita el trabajo de Morales del Río, cuando algunos otros se han molestado en hacerlo con algunas más.

Es curioso que el Dr. de la Peña haga el siguiente reproche:

¿Por qué ninguna institución ha tenido, hasta ahora, una reacción, sea para descalificar la noticia, sea para explicar la situación desde un contexto académico serio? (30/11/11)

y se lo dirige específicamente a la Academia Mexicana de Ciencias y al CONACyT. No es que los defienda, ni mucho menos, pero, ¿y la Sociedad Matemática Mexicana? ¿No podría ser la primera en alzar la voz?

Para terminar, vale mencionar que se ha señalado otra inconsistencia interesante en el trabajo de Morales. Si $i$ y $j$ son las "unidades complejas" y $i^2=j^2=ij=ji=-1$, entonces \[ i = -i(j^2) = -(ij)j = j, \] de lo que aparentemente se concluye que los terniones son lo mismo que los complejos. No tan rápido: lo que implica esto es que los "terniones" no pueden ser asociativos en lo que a la multiplicación se refiere, como afirma Morales del Río en la página 23 de su artículo. En fin. Recomiendo al lector interesado la entrada en la bitácora "Series divergentes" y los comentarios de los lectores si quiere ver cómo desmenuzan con calma la obra de Morales del Río.

Aprendiendo a manejar

Es en este año que estoy aprendiendo a conducir un automóvil (o manejar un carro, ¿cómo es mejor?) con la mejor maestra: mi Angélica. Un vehículo manual, cabe aclarar, pues al parecer es prácticamente trivial el caso de los automáticos.

Siempre se me ha hecho gacho que se levanten cejas cuando revelo que, antes de mis 28 años, todavía no podía realizar esa tarea. Y más gacho todavía es que no haya propiamente un "manual" que explique los rudimentos de la misma. Alguna vez pregunté por qué no viene esa información en todos los manuales de los carros, como con cualquier otro aparato. Me contestaron (con un tono sardónico, por cierto): "¿Y quién querría comprar un automóvil si no sabe usarlo?".

Lo que a mí me sirvió es comprender lo más básico del mecanismo básico del automóvil. Véase la siguiente figura.

El motor, como es relativamente fácil de imaginar, le transmite movimiento a las llantas. Puede funcionar a diferentes "niveles" de operación (las velocidades, pues). El pedal de acelerador como que le inyecta más o menos gasolina para que se mueva más o menos rápido.

Sin embargo, el motor no puede estar eternamente pegado a las llantas, porque entonces sería tremendamente difícil frenar o modular la velocidad del carro sin forzarlo o incluso dañarlo. Por eso trae un mecanismo que permite regular el modo en que el motor le proporciona el empuje a las llantas. La parte importante de dicho mecanismo es el embrague, que digamos que controla la cercanía de la "T" de la figura a la llanta. Cuando el embrague está pisado hasta el fondo, la T está completamente despegada de la llanta, mientras que está en contacto completo cuando no se pisa. De ahí que es necesario meter el embrague y dejar de acelerar para cambiar la velocidad del motor, pues de este modo la transición en el movimiento de la llanta es suave y sin complicaciones.

También hay que sacar con cuidado el embrague mientras se acelera: de lo contrario, de un jalón deja uno caer esa "T" que está dando vueltas junto con el motor sobre una llanta que no se mueve a velocidad suficiente, y por eso se apaga el automóvil.

Este "modelo" mental me ha funcionado bastante bien. Incluso explica por qué hay que poner a medias el embrague mientras se acelera en una pendiente, pues las llantas (dada la gravedad actuando sobre el carro) tratan de moverse en dirección contraria a la que viene el motor, y por eso hay que dejar como que "vayan agarrando vuelo" antes de soltar el embrague.

Si se me escapa algún detalle útil, lo agradeceré infinito en los comentarios.

Hipercompleja ¿aportación?

Con bombo y platillo se anunció el gran "aporte" del profesor Alfredo Morales del Río al descubrir los "terniones", tanto en algunos periódicos en formato electrónico como en la página oficial del Centro Universitario de la Ciénega. Se supone que son una generalización (aunque quién sabe si de esto es consciente Morales del Río) de los números complejos, y la publicó en la revista "Estudios de la Ciénega", No. 23.

Francamente no entiendo por qué dice Morales del Río que los "encontró", pues él mismo dice que son una clase particular de números hipercomplejos. Los números hipercomplejos fueron definidos por primera vez por Benjamin Peirce en 1872, y básicamente son números de la forma \[ a_{0}+a_{1}\mathbf{i}_{1}+\ldots+a_{n}\mathbf{i}_{n} \] donde los $a_{i}$ son números reales arbitrarios. El comportamiento de estos números hipercomplejos depende de la forma en que se definan los productos $\mathbf{i}_{\ell}\mathbf{i}_{k}$ para cada $1\leq \ell, k \leq n$. Los "terniones" de Morales del Río resultan de tomar $n=2$ y \[ \mathbf{i}_{1}^2 = \mathbf{i}_{2}^{2} = \mathbf{i}_{1}\mathbf{i}_{2} = \mathbf{i}_{2}\mathbf{i}_{1} = -1. \] Esta es una entre muchas elecciones posibles. Vale observar que, por el teorema de Hurwitz, los "terniones" no pueden disfrutar de todas las propiedades agradables de los reales o los complejos. En particular, Morales del Río afirma que todos los números terniones no nulos tienen inverso multiplicativo. Esto es falso. Para empezar, si tiene inverso el "ternión" $a_{0}+a_{1}\mathbf{i}_{1}+a_{2}\mathbf{i}_{2}$, entonces debe ser de la forma \[ \frac{a_{0}}{N(a_{0},a_{1},a_{2})}-\frac{a_{1}}{N(a_{0},a_{1},a_{2})}\mathbf{i}_{1} -\frac{a_{2}}{N(a_{0},a_{1},a_{2})}\mathbf{i}_{2} \] donde \[ N(a_{0},a_{1},a_{2}) = a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_{1}a_{2}, \] y tal "ternión" no existe para todos los terniones de la forma $x\mathbf{i}_{1}-x\mathbf{i}_{2}$, pues en tal caso $N(0,x,-x)=0$ y la división no puede efectuarse. Esto da al traste con la intención de generalizar con ellos todo lo que se puede hacer con los complejos.

Es significativo que un mexicano intente hacer un aporte original a la matemática. Pero si el profesor Morales del Río estuviera más al tanto de su estado actual, seguro que tendría un mayor chance de tener éxito (en su artículo, la referencia más reciente es del 2000 y es un libro de divulgación).

Todo esto me trae a la memoria un comentario de una profesora de análisis complejo. Se preguntaba por qué la expansión de Taylor se llamaba de Maclaurin cuando era la misma de Taylor pero alrededor del cero. Igual cualquiera podría tomar cualquier $n$ y definir como guste un producto de las unidades complejas y bautizar con su nombre a los $n$-iones resultantes.

La Matemática engendra belleza

Dos cosas interesantes:

1. La Universidad Autónoma Metropolitana le ha concedido a Enrique Carbajal González (alias Sebastián) un doctorado honoris causa. Una de las razones (entre otras varias) es por "hacer de su trabajo una expresión de los profundos sentimientos de lo humano, proyectados en la creación artística". Esto dijo el escultor al recibir esta distición (y es muy difícil mejorar sus palabras):

   Mi escultura está basada en la utilización de razonamientos matemáticos con fines estéticos. Al contrario de quienes piensan que ciencia y arte son dos mundos distantes y casi antagónicos, uno pertenece a la razón analítica y el otro es hijo de la imaginación y el sueño: mi proceso creativo parte de la convicción de que las matemáticas engendran belleza.

   ¿Reconocen entonces, los que le otorgaron este doctorado, que la Matemática expresa profundos sentimientos de lo humano? Espero que sí.
2. La Real Sociedad Matemática Española y la fundación Universia abrieron una página llamada "El Árbol de las Matemáticas", donde pretenden listar a matemáticos "iberoamericanos" notables. Mi opinión es que, en su estado actual, tiene un sesgo inaceptable hacia España (por lo que un mejor nombre sería "El Árbol de la Matemática Española", y estaría más que perfecto). Sugeriría que hubiesen invitado a las sociedades matemáticas de los países en cuestión a compilar sus respectivos ramales, y después juntar todo en alguna página maestra. Sea como fuere, me complace ver que el Dr. José Antonio de la Peña Mena fue considerado para ingresar a esta selecta enumeración. Enhorabuena.

Seguramente esto también es Matemática

Apenas caigo en cuenta...

Desde su deplorable opinión sobre el teorema de Pitágoras, Adrián Paenza no es mi divulgador de la Matemática favorito. Pero, y no sé cómo le hizo, logró que la presidente de su país estuviera en la presentación de su libro más reciente.

No imagino siquiera a un funcionario mexicano de alto rango haciendo algo semejante. Por supuesto, la opinión de Cristina Fernández:

Una ciencia como la Matemática que, debo confesarles también (a fuerza de ser sincera) yo, en el colegio, no me gustaba. Porque no le entendía, porque me la enseñaban horrible, no sé por qué.

no resulta de mucha ayuda. Sí, dijo también que es muy importante, pero alguien puede concluir "Si ni a la presidente le gusta eso, ¿por qué ha de gustarme a mí?". Ojalá que no sea eso lo que se inspire en el público.

Sea como fuere, ¡vaya! Qué chévere acontecimiento.

Z-once-ras

¿Por qué será que el 11 de noviembre del 2011 ha tenido un poco más de publicidad que el 10 de octubre del 2010 u otras fechas semejantes? Una de esas "coincidencias" cayó en uno de mis cumpleaños. Y ni me acordé en su momento.

Incluso en la bitácora NumberADay le dedicaron una entrada al 111111, pero no parece ser un número particularmente interesante.

Algo quizá remotamente notable que ocurrió hoy es que se iban a terminar las votaciones para las Nuevas Siete Maravillas Naturales. El evento pasó desapercibido en México, probablemente porque no tuvo finalistas en el concurso. Además, todo quedó eclipsado por el sorpresivo fallecimiento del secretario de gobernación José Francisco Blake Mora (que en paz descanse). Es feo esto, pero seguro que esta fecha sí será memorable para la familia del difunto.

El viajero matemático

Después de mucho pensarlo, por fin compré el libro de Claudi Alsina "Geometría para Turistas". Las preguntas que vienen en la contraportada constituyen una invitación muy seductora para explorar su contenido, y en gran medida la experiencia es muy gratificante.

Pero no me agradó lo que el autor señala de México. Temo contradecir al Dr. Alsina, pero México pertenece a Norteamérica, no a Centroamérica. No es solamente mi opinión, pues por lo menos en el libro "North America: a tourism handbook" así lo dice en su primera página. La razón, desde mi punto de vista, es la pura geografía, y no alguna aspiración mexicana de participar del supuesto "Primer Mundo" que son los cercanos Estados Unidos y Canadá. Es verdad que Alsina menciona primero el "legado maya" en general, que también está presente en América Central, pero él mismo dice que "la zona mexicana de Yucatán junto al Caribe, [es] de especial importancia" (p. 213).

Luego vienen los errores en los nombres. Dejando de lado que escribe "Teotihucán" en lugar de "Teotihuacan", encima ¡se lo adjudica a los mayas! Y luego continúa con "Chichán Itzá" (es Chichen), "Yachilón" (es Yaxchilan) y me llama la atención que las alineaciones estelares y juegos de sombras de algunas edificaciones mayas no parecen contar como geometría. Da como referencia bibliográfica al libro de Morley para saber más sobre la cultura maya; es verdad que ese libro tuvo una importancia fundacional para los estudios de esta cultura, pero actualmente está superado y merece el lector saber de otras obras más actualizadas sobre el tema (¿tal vez el "Breaking the Maya Code" de Michael Coe?). El vínculo de la Red que ofrece no está mal, si bien yo agregaría el de la Asociación Europea de Mayistas, el de FAMSI o el de Mesoweb.

Después de lo maya, Alsina se dirige hacia la Ciudad de México, cuyas anotaciones en general están bien. Sin embargo, pudo mencionar la Ruta de la Amistad que está repleta de geometrías interesantes, como ya he comentado anteriormente, o mirar un poco hacia las esculturas de Sebastián. También dar la dirección de la página del Museo Nacional de Antropología e Historia no hubiera estado de más.

Y más que todo lo anterior, donde me parece que se quedó sumamente corto es en Brasil. No puedo creer que se le escapara que el que tal vez sea el único monumento a la Matemática está en ese país. Igualmente, no quiso visitar Rio de Janeiro, con su célebre Cristo Redentor que se enlistó entre las Nuevas Siete Maravillas. Si hacía falta geometría para justificar ese vuelo, se podía mencionar la ingeniería necesaria para hacer una estatua que tiene los brazos extendidos, y aprovechar para mencionar otras que la superan en altura y complejidad como "¡La Madre Patria llama!" en Rusia o el colosal Buda del Templo de la Primavera en China.

Sea como fuere, este enfoque de Alsina para la divulgación de la Matemática me parece muy interesante, pues en particular muestra cómo esta disciplina está por todos lados, en todos los tiempos, formando parte de la cultura humana.

Repartiendo el tiempo

En este inicio de semestre tengo, como es de esperarse, un horario de clases. Además, dado que los profesores de la UNCA laboramos ocho horas, cuando no estamos en el aula debemos hacer investigación o dar asesorías a los alumnos.

Mi horario se ve más o menos así:

Los cuadros oscuros indican que tengo clase y los cuadros claros que estoy en mi cubículo, las columnas son los días de la semana y las filas las horas del día laboral. El pequeño problema que se me ocurrió es este: ¿cómo reportarles a mis alumnos los horarios en los que estoy disponible, con la menor cantidad de "bloques" posible? Con bloque quiero decir, por ejemplo, "los lunes y martes estoy disponible de tal a tal hora".

En términos geométricos, lo anterior equivale a cubrir totalmente un polígono rectangular que se forma con los cuadros blancos con la menor cantidad de rectángulos posible, pero sin que se traslapen. Si uno no pone mucho empeño en obtener la mejor solución posible, podrían salirle unos nueve rectángulos (o ya de plano los 25 cuadrados si se tiene demasiada flojera para pensar). Después de repasarlo un rato obtuve una configuración con 6 rectángulos.

Esta solución, de hecho, es óptima (aunque no única). Resulta que existen algoritmos polinomiales para resolver el problema, y el que usé para generar esta solución es de complejidad $O(n^{5/2})$ y fue desarrollado por T. Ohtsuki. En un artículo de Sahni y Wu pueden encontrar más detalles; lo que más me gustó del problema es descubrir que también se relaciona con el diseño de circuitos integrados.

Vaya que sí pueden existir tales criaturas

Le otorgaron el Premio Nobel de Química 2011 a Daniel Schechtman por "el descubrimiento de los cuasicristales". Lo que me incomoda es que no se ha enfatizado el hecho de que matemáticamente ya se consideraba la posibilidad de que existieran tales configuraciones de átomos, mucho antes de que Schechtman los encontrara.

Específicamente (y sin entrar en las anticipaciones que hicieron al respecto los decoradores árabes y Johannes Kepler), Hao Wang se preguntó en los años 60 del siglo pasado si existían cierto tipo de losetas que cubriesen el plano de manera aperiódica (es decir, que al trasladar el patrón que se forma no se puede hacer coincidir con el original), que es la característica esencial de los cuasicristales. Es muy curioso que tal pregunta haya surgido de problemas relacionados con la teoría de la computación, no propiamente con la Geometría o la Química.

Después se confirmó que tales objetos existían, y en 1974 Roger Penrose descubrió un juego de seis losetas que tienen esa interesante propiedad. Posteriormente pudo reducir su número a dos, y se volvieron muy famosas gracias a la difusión que Martin Gardner les hizo por su naturaleza recreativa.

En fin: resulta que los cuasicristales tienden a ser duros, malos conductores de calor y no se les adhieren las cosas fácilmente. Por ello sirven muy bien para recubrimientos de sartenes, aislantes y mejorar las propiedades de otros materiales.

La utilidad de la Matemática

Es un tema muy viejo. Y aún así, creo yo, sigue tan inagotable como siempre. De su examen emanan resultados tan dispares como lo son la justificación de la presencia de la Matemática en la educación elemental, el financiamiento para su investigación y las razones para restarle importancia o acrecentar la animadversión que se le tiene.
Desde mi punto de vista los argumentos a favor son esencialmente los siguientes:

1. La Matemática es útil para comprender la naturaleza y punto. Por eso es necesario aprenderla y respaldarla económicamente.
2. La Matemática ayuda a pensar mejor.
3. La Matemática es un arte.
4. La Matemática es un buen pasatiempo.

Por otro lado, en contra están estos otros:

1. La Matemática sólo sirve para fines limitados y específicos.
2. La Matemática enseña a pensar de manera rígida y mecánica.
3. La Matemática es aburrida, fría y difícil.

Algo de verdad se asoma en todos ellos, incluso en los de tono negativo. Quiero hacer algunos comentarios al respecto.

• Es cierto que la Matemática tiene consecuencias prácticas muy importantes, y que al menos en términos de efectividad es indispensable para entender la realidad. Sin ir muy lejos, el hecho de disponer de una notación posicional (en la base que sea) agiliza cálculos que serían increíblemente fatigosos de otro modo; este conocimiento es de utilidad directa para cualquier persona, por el sólo hecho de que la cuantificación es algo que se nos presenta todos los días. Sin embargo, ya ha hecho notar G. H. Hardy (en su “A Mathematician’s Apology”) que la inmensa mayoría de la Matemática directamente útil es bastante desabrida; a nivel elemental, por ejemplo, los algoritmos de suma, resta, multiplicación y división son sencillos y poco interesantes en sí mismos, y además requieren de mucha práctica para perfeccionarlos. Pese a ello, adjudicarle aridez a la Matemática porque sus ejercicios son agobiantes es tanto como decir que la ejecución de un instrumento musical es aburrida porque las horas de práctica que implica son insoportablemente tediosas.
• El hecho de que un conocimiento (como lo es la Matemática) tenga un ámbito delimitado no quiere decir que no sea necesario para sobrevivir como un ser humano. En la mayoría de las escuelas de educación básica se enseña a hablar y escribir según las normas de algún idioma, y no veo que nadie diga que sea malo o indeseable aprender palabras nuevas o figuras literarias porque supuestamente no se ocupan en la vida diaria; además, siempre existe la oportunidad de ponerlas en práctica, ya que se requieren en la redacción de textos que sean adecuados para cada circunstancia. Está bien poder escribir un recado legible para un familiar, pero no que el currículum vitae tenga falta de ortografías o de sintaxis.
• Es difícil negar que la Matemática ayuda a ordenar el pensamiento. Baste decir que uno de los primeros deberes de los matemáticos profesionales es la correcta arquitectura de su razonamiento, sentando firme y totalmente sus suposiciones para obtener de ellas sus resultados, con el auxilio cauteloso de la lógica. Si esto no ayuda a mejorar el razonamiento, no sé que lo hará. En esencia, éste es el método que propone Descartes para la Filosofía, la cual seguramente es un buen estandarte de todas las disciplinas que no son “físico-matemáticas”.
• La rigidez, frialdad y mecanicidad que se le endilgan a la Matemática son, de hecho, algunas de sus mayores virtudes. Sería sumamente confuso y desagradable que un cómputo realizado por una computadora unas veces diera un resultado y luego otro usando exactamente los mismos datos, dependiendo del estado de ánimo de la máquina. Sería indeseable que una báscula respondiera a los sentimientos de los clientes cuando se compran las tortillas, o que a veces decidiéramos que vale más un billete o moneda que otro porque nos agrada más su diseño en cierto momento. La Matemática nos proporciona maneras de conocer con mucha precisión los resultados que hemos de esperar a partir de ciertos supuestos, y es evidente que la calidad de nuestras hipótesis y los resultados que de ellas obtengamos van de la mano. Si no entendemos por qué el número de posibles combinaciones a las que podemos apostar en un juego de azar es muy grande, ¿cómo aspiramos a comprender por qué no podemos ganarlo a pesar de estarlo jugando mucho tiempo?
• El aspecto recreativo y artístico de la Matemática también ha sido la bandera de quienes rebaten la austeridad y supuesta falta de imaginación de la Reina de las Ciencias. Aquí nuevamente Hardy nos dice que la Matemática es un verdadero arte porque, en lugar de combinar palabras, colores, sonidos o formas, lo que hacen los matemáticos es combinar ideas y conceptos. Se puede argumentar que una gran diferencia estriba en que el propósito de las obras de arte es estimular a los sentidos, mientras que los teoremas no hacen eso porque no tenemos un “sentido matemático” al cual acariciar. Tratemos de honrar al razonamiento matemático y aceptemos primero que el estímulo que recibimos del arte tiene como fin último el placer, y que el material del que está compuesta la obra es sencillamente un vehículo para realizar dicho propósito; entonces la Matemática es un arte supremo, porque puede deleitar directamente al cerebro sin recurrir necesariamente a los medios de las demás artes. La analogía es lo suficientemente buena como para sugerir la razón por la cual no a todos les gusta la Matemática o por lo menos por qué no es fácil apreciar su belleza. Un cuadro de René Magritte, por ejemplo, nos presenta objetos cotidianos que posiblemente a gran parte del público les provoque no más que un bostezo. No obstante, el modo en que Magritte los ensambla (más allá de su gran maestría para representarlos de manera fidedigna) es lo significativo de sus pinturas, y se necesita algo de concentración por parte del espectador para poder apreciarlo. Una vez que el receptor coopera, la recompensa es un disfrute todavía mayor de la obra (o por lo menos tal es mi experiencia).

La poesía de la realidad

El pasado sábado fui con mi familia a ver la exposición "Mosaico de Ciencia", montada en el Gimnasio Universitario de la UABJO. El material lo proporcionó la UNAM, y constituye una selección de lo que hay en su museo Universum.

Al llegar pensé que uno podía explorar el contenido libremente, pero descubrimos que te dan una visita guiada (lo cual seguramente beneficia a una buena parte del público). Se empieza con las ya clásicas placas de Chladni, que son planchas de metal que se cubren de una arena fina, de modo que al hacerlas resonar con un arco se perciban las regiones nodales de la vibración.

Después nos mostraron la deformación del espacio-tiempo por parte de la materia y sus consecuencias gravitatorias con el popular pozo de gravedad. Esta clase de aparatos son muy socorridos para recaudar fondos para muy diversos fines.

No quiero arruinar la experiencia de quienes estén por visitar la exhibición, así que describiré sumariamente el resto: hay experimentos con electricidad (los toques no fueron los favoritos de Angélica), caleidoscopios y un cubo que permite darse una idea de lo que es el espacio euclidiano tridimensional y su infinitud. Se puede intentar con éxito tapizar el plano con triángulos, y algunos cuadrángulos como los mosaicos de Penrose, pero se comprobará que es imposible hacerlo con puros pentágonos regulares. Se explica con un videojuego cómo funciona el ADN y se juega lotería con fractales.

Recomiendo ampliamente a mis paisanos darse una vuelta por la muestra. Es un esfuerzo muy elogiable por parte de las instituciones de educación superior para la difusión de la ciencia y la Matemática.

Los números son un lenguaje

En la edición digital del 30 de agosto del "Diario de Yucatán", dice alguien (que creo que se llama Armando alias "Catón"):

Muy importante es esa ciencia [la Matemática], aunque quizá no tanto como algunos matemáticos suponen, pues otras cosas hay en la vida a más de números, y éstos no lo resuelven todo.

Seguro que hay otras cosas en la vida. Pero me gustaría un ejemplo de una situación concreta y muy complicada que pueda resolverse fácilmente sin la necesidad de plantearla de manera matemática.

No quedan ahí los audaces comentarios de este señor. Todavía prosigue:

Pienso que los alumnos deben aprender Matemáticas, pero las que necesitan, y no un inútil fárrago de fórmulas, ecuaciones, algoritmos y mil y mil matematismos para realizar operaciones que, por lo demás, se pueden hacer ahora en una calculadora de un dólar, y que la mayoría de quienes se vieron obligados a aprenderlas nunca tendrá que utilizar.

Es cierto que una calculadora puede actualmente realizar cómputos impensables hace 500 años; las computadoras pueden ir todavía más lejos si hace falta. Pero, por lo mismo, no es trivial lograr sacarle las respuestas correctas. Muchos alumnos que he conocido llevan años utilizando los artefactos citados y todavía no pueden realizar las operaciones aritméticas básicas satisfactoriamente. Pero con el Sr. Armando la cosa no acaba ahí. Añade:

Me dicen que las Matemáticas enseñan a pensar. Sí: a pensar matemáticamente. Muchos otros caminos tiene el pensamiento, y a ellos nos conducen las humanidades, disciplinas que algunos maestros de ciencias miran con mayestático desdén.

Desde mi punto de vista, el párrafo sugiere que hay quienes tienen al pensamiento matemático por omnipotente. Los matemáticos profesionales, sin embargo, no se deben contar entre ellos, pues están muy conscientes de la inmensidad de su ignorancia y las limitaciones de los actuales métodos de su ciencia. Es más, por eso existen las revistas de investigación matemática, donde exponen los esfuerzos que realizan para conquistar las verdades matemáticas.

Además, creo que el pensamiento matemático (con todo y sus muchas limitaciones) demuestra su poder y eficacia en la tecnología actual. Y vale agregar que mucho de lo que ahora es ciencia y matemática antes fue filosofía (la cual, me parece, es una "humanidad"), pero se fueron separando de ella conforme precisaban cada vez más su objeto de estudio y éste se volvía más asequible en el sentido cuantitativo y lógico. Tal proceso les permitió penetrar, aunque fuera un poco, en los misterios del Universo, mientras que la filosofía se sigue regocijando con que las cosas permanezcan esencialmente incognoscibles.

No tengo nada contra la filosofía: al contrario, la juzgo indispensable para los seres humanos. Pero si la matemática es una disciplina que por lo menos intenta ser todo lo rigurosa y deductiva posible ¿cómo puede contentarse con razonamientos parciales y nebulosos?

Quiero concluir con un ejemplo. Recientemente en México se decretó un luto nacional por un atentado que cobró la vida de por lo menos medio centenar de personas; y que por los indicios está ligado al narcotráfico. En un noticiario se extrapoló este gesto a las cerca de cuarenta mil víctimas que ha acumulado la guerra contra las drogas en el país. Si seguimos los cálculos de los que hicieron este ejercicio, el presidente asignó alrededor de 83 minutos de duelo a cada muerte, lo que se traduce en 3.22 millones de minutos por todas los caídos desde que iniciaron las confrontaciones; o, lo que es lo mismo, algo así como un sexenio y cuatro meses de luto.

Cualquiera que haya asimilado la matemática de la educación primaria puede reproducir las cuentas mencionadas. Y si no, ¿qué podrían refutar al respecto? Mejor todavía: si los han verificado seguramente notarán que ocultan una serie de sutilezas, como la de quizá darle la misma importancia a la baja de un delincuente que a la de un militar. En cualquier caso, la comparación sirve para mejorar la perspectiva que se tiene de los acontecimientos.

Me gustaría ahora que alguien con razonamientos humanistas ofreciera su opinión sobre todo esto.

Se hacía grandote, se hacía chiquito...

Lo de la bajada de Gringolandia en su calificación que le otorgó Standard & Poor's es un tanto confuso.

Según Barack Obama, ellos se equivocaron en el dato de su deuda federal en 2 trillones de dólares. Para los gringos, esto es un 2 seguido de doce ceros. En español son 2 billones.

Ahora bien: según un comunicado de prensa de la compañía evaluadora al respecto, el problema fue que asignaron el valor de 14.7 billones a la deuda federal en lugar de 14.5 billones. Entonces el error es de 0.2 billones, o sea un 2 seguido de 11 ceros, que representa menos del 2% de la cifra que su gobierno da por correcta. Además, es diez veces menor que lo que señala la presidencia estadounidense.

No me extraña entonces que el conjunto de todos estos yerros no haga diferencia alguna en la calificación resultante.

El club de los 77

Sé que esto ya perdió mucho momento...

Recuerdo que el primero en mencionarlo fue mi cuñado: "¿Supieron lo de Amy Winehouse? Se unió al Club de los 27". Cuando le pregunté a qué se refería, me dijo que ciertas "luminarias" de la "música" habían muerto, peculiarmente, a los 27 años (¿cuenta Valentín Elizalde?).

Me pregunté si eso tenía algún fundamento. En una entrada de una bitácora se hace una investigación breve con datos de la Wikipedia, que le da algo de credibilidad al fenómeno. Luego pensé si algo semejante podría decirse en el caso de los matemáticos, pero que nadie se haya tomado la molestia de señalar (lo cual, por supuesto, no me sorprende).

Resulta que no puede decirse que haya tal. Lo más cercano es que Niels Henrik Abel, Gustav Roch, Frank Ramsey y Raymond Paley murieron todos a los 26 años. Los dos primeros de tuberculosis, el tercero de ictericia y el último en un accidente al esquiar.

Quizá un poco más notable sea un "Club de los 77", conformado por C. F. Gauss, G. L. Lagrange, P. S. Laplace y A. F. Möbius, cuyas ideas han probado ser bastante fecundas para la Matemática. Lo más curioso es que, hasta donde he podido averiguar, todos murieron de ancianidad. A mí me gustaría mucho poder pertenecer a este selecto grupo. Sueños guajiros, ¿verdad?

Pavorosa comparación

No soy muy aficionado al servicio ese del pajarillo azul. Pero hoy me sirvió para ver (por pura casualidad) que John Allen Paulos escribió que el atentado en Noruega fue, proporcionalmente, el doble de mortífero que el de las Torres Gemelas.

Vale añadir que Allen Paulos se refiere a los cocientes del número de víctimas entre el total de la población de los respectivos sucedidos, países y momentos. Verifiqué el cálculo y, salvo aproximaciones un poquito gruesas, es correcto: tres mil entre trescientos millones es la mitad de cien entre cinco millones.

Y es todavía más inquietante al considerar que Noruega está catalogada como uno de los estados más pacíficos del mundo (el noveno según el Índice de Paz Global del 2011), mientras que Estados Unidos no ha estado muy bien posicionado en la última década.

Conocer el camino y andarlo

Ayer la primera generación de la Universidad de la Cañada recibió su diploma por la conclusión de sus estudios. Me resulta muy gratificante haber participado (aunque sea de manera mínima) en la formación de tales alumnos.

Lo que quisiera resaltar de la ceremonia es el discurso del Dr. Seara, rector del Sistema de Universidades del Estado de Oaxaca, con el que defendía a la institución educativa que dirige en respuesta a la reciente lluvia de críticas. Es cierto que siempre las ha habido, pero últimamente se han incrementado en frecuencia y acritud.

Seguramente el problema tiene que ver con cuestiones políticas. Lo peor es que se está reflejando en recortes presupuestarios, lo que mina seriamente la actividad de las universidades del sistema.

La UABJO, una de las universidades más antiguas y renombradas de Oaxaca, recibió en el 2010 casi cuatro veces más presupuesto que el SUNEO entero, según el Instituto Estatal de Acceso a la Información Pública de Oaxaca. De acuerdo con el segundo informe de Mtro. Rafael Torres Valdés (actual rector de la UABJO) y las estadísticas del SUNEO, la matrícula de la UABJO es igualmente unas 4 veces mayor que la de todo el SUNEO. Resulta así que el SUNEO cuesta más o menos lo mismo que la UABJO. Habrá quien diga que hay muchos "peros" en las hipótesis de este razonamiento, pero apuesto a que las diferencias en cuanto costos y beneficios de los dos proyectos no están alejadas por un abismo gigantesco (salvo el de calidad, quizá).

Como testimonio personal, puedo decir que por el hecho de que la UTM ofreciera la licenciatura en Matemática Aplicada no tuve que ir a vivir al Distrito Federal u otro estado para estudiar [es verdad que ahora se ofrece la carrera en la UABJO (con la siempre invaluable ayuda de la UNAM), pero cuando egresé del bachillerato todavía no la abrían]. Me sentí muy orgulloso de que, al estudiar el posgrado, mi formación no desmerecía contra la de estudiantes de otros lugares.

Sea como fuere, el SUNEO tiene sus problemas y aspectos susceptibles de mejora. Lo interesante es que los paladines de la revisión y la optimización no han atinado a encontrarlos y, mejor todavía, a resolverlos.

Curioso contraste

En cierto noticiero mostraran primero la recreación de la atención médica que se presta a las víctimas de un accidente automovilístico, con el fin de convencer a las personas (en particular a los jóvenes) de no conducir en estado de ebriedad.

En seguida, al tristemente célebre individuo que acuñara el clamor del "¡FUA!".

La fruslería del tau

Que no es bueno pensar en términos de pi, que la constante buena es tau (que simplemente es el doble de pi).

Si agarramos un círculo perfecto arbitrario, medimos su circunferencia y su diámetro, y dividimos la longitud grande entre la pequeña, debemos obtener justamente pi. En otras palabras: pi por el diámetro de un círculo nos da su circunferencia. En los círculos "reales" no será exacto, pero se aproximará bastante.

¿Cuál es la diferencia entonces al usar tau? Que podría escribirse la fórmula tau por la longitud del radio igual a la longitud circunferencia. Uno de los proponentes de este giro de 360 grados (o de 180 para los que les gusta tau) en la Matemática elemental es un físico teórico de nombre Michael Hartl. Dice que porque muchas fórmulas se escriben más fácil, y se refuta él mismo con la fórmula del área del círculo y la identidad de Euler.

Pero realmente da igual. ¿Para qué ir contra la notación que ya es estándar? Cuesta tantísimo trabajo lograr que todos los matemáticos se pongan de acuerdo en esos temas que me parece que tal diatriba es lo mismo que buscarle tres pies al gato (sabiendo que normalmente tiene cuatro). Sospecho que los motivos verdaderos detrás de todo esto son, en realidad, llamar la atención y vender camisetas.

Vender menos de lo más

Me llegó un correo de una "editorial" interesada en "publicar" mi tesis doctoral.

Averigué más en la red y resulta que la compañía que me hace la oferta pertenece a VDM Publishing, que publica compilados de artículos de la Wikipedia y tesis de todos los niveles académicos.

Varios sospechan que todo es un fraude, mientras que otros (entre ellos, la editorial misma por supuesto) defienden que efectivamente te llegan 5 copias de tu trabajo publicado, que verdaderamente están disponibles para venderse en Amazon y otras librerías electrónicas y que recibes regalías por ello.

Desde mi punto de vista, sí hay una tranza implícita en este negocio. Aunque es cierto que los costos generados para los autores son ínfimos (comparados con la posibilidad de obtener gratis impresiones de más o menos buena calidad y encima las ganancias de vender uno que otro ejemplar adicional), también es muy probable VDM se beneficie ampliamente del efecto de las colas pesadas.

Esto de las "colas pesadas" consiste en que la Red (por poner un caso) hace que productos raros tengan mayor demanda en su conjunto que bienes más populares de manera individual. Y no es difícil ver por qué: si deseas algo muy específico y no lo encuentras fácilmente, aumenta la cantidad que estás dispuesto a pagar por él donde lo vendan. Y entre más artículos de este tipo tenga una tienda, mejor para el negocio.

No he logrado averiguar cuánto se beneficia un autor por las ventas de su obra, pero estoy bastante seguro de que no es mucho. A mí al principio me sorprendió gratamente la oferta, y creo que para muchos ese es suficiente pago. Pero es como si uno estuviera de acuerdo en canjear los centavos de redondeo de nuestra cuenta bancaria a cambio de un abrazo, y que solamente un puñado de personas reciba todos los beneficios al final.

Lo que arruina el modelo es que es mucho más fácil poner a libre disposición del público (como haré en su momento con mi tesis doctoral) el material que piden estas empresas. ¿Por qué alguien pagaría por algo que puede tener de manera gratuita? Se me ocurren dos o tres razones, pero es seguro que la mayoría de los clientes potenciales se esfumaría.

Dadle un óbolo, pues debe beneficiarse de todo lo que aprende

Adrián Paenza es un matemático argentino que en estas últimas décadas se ha dedicado con fervor a la divulgación de la Matemática (reutilizando mucho material previamente expuesto por Martin Gardner y otros maestros en ese arte, debo agregar). Encomiable como lo es su labor en pro de la Reina de las Ciencias, lo es de monstruosa esta declaración suya:

Con la matemática es lo mismo, empezamos por el teorema de Pitágoras, que era fundamental hace 400 años, pero no ahora. Y lo que es peor, todos nos dicen que es fundamental y nosotros no sólo no lo entendemos, sino que no le vemos utilidad. A mí tampoco me gustaba esa matemática. (www.lanueva.com, 25/05/11)

¿¡Qué!? ¿Cómo es posible? El teorema de Pitágoras era fundamental hace dos mil años y lo sigue siendo hoy todavía. ¿Cómo se calcularían con precisión las distancias en un espacio euclidiano si no es con el teorema de Pitágoras? ¿Cómo se reconocerían las esquinas de 90 grados en un edificio si no es por ese egregio teorema? ¿Cómo lograríamos dibujar con cierta facilidad aproximaciones a distancias irracionales?

Además, prácticamente a nadie se le enseña la demostración del teorema (que es relativamente complicada), sino que simplemente le dicen "si tienes un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a y b, entonces la hipotenusa (el lado restante) mide la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de a y b". Al expresarlo de esa manera suena complicado (sobre todo por las palabras cateto e hipotenusa), pero anotando la fórmula es sumamente sencillo; tanto como calcular el perímetro y el área de un cuadrado u otras figuras planas simples por medio de una calculadora.

Y, por enésima ocasión: ¿por qué le tenemos que sacar provecho a todo lo que aprendemos en la escuela? E insisto: ¿de qué me sirve saber que con el Tratado de Guadalupe Hidalgo se perdió la mitad de lo que debiera ser el territorio mexicano? ¿Se puede hacer algo al respecto? A mí me habrían servido más unas clases de derecho o cómo hacer declaraciones de impuestos, y no me las dieron, ¿por qué? ¿Se les figuraba que era muy complicado para una mente de menos de 12 años? Por favor.

En la 3a Semana de las Culturas de la Cañada

Ayer dí un recital en el marco de la 3a Semana de las Culturas de la Cañada. El recital no me salió como hubiera querido, por que me hizo falta ensayar más. Pero no estuvo tan mal. Al parecer, la pieza favorita del público fueron los "Sones Mazatecos", que transcribí para guitarra sola especialmente para la ocasión.

Ahora, quiero hacer algunos comentarios sobre lo que ha ocurrido hasta hoy y que he presenciado.

1. El Dr. Marcus Winter dijo que hay pocas publicaciones sobre la arqueología de la Cañada, y que casi todas ellas están redactadas en inglés... Así que aconsejó aprender tal idioma a quienes se interesen en el tema. La sugerencia es buena, pero hay que recalcar un detalle: están en inglés porque los investigadores que vienen a desenterrar el pasado de la región hablan esa lengua, y no se tomaron la molestia de traducirlo al cuicateco, al mazateco, al español u otra lengua que se hable por acá.
2. Resulta que hay un (cascarón de) órgano tubular en la iglesia de Teotitlán de Flores Magón. El dato me resultó impactante, y lo subrayo con el fin de que se preserve éste y otros más que están diseminados por todo Oaxaca. Con seguridad los hay tales que los mismos pueblos donde se ubican ignoran su existencia. Si alguien descubre uno en su comunidad, le sugiero reportarlo al IOHIO de inmediato.
3. Ví el maravilloso cortometraje "El Señor de los Siete Colores", y que recomiendo amplia y vehementemente. Espero que este esfuerzo fílmico sirva para despertar la inquietud por otras leyendas semejantes de los pueblos de Oaxaca y todo su trasfondo cultural.

Uno estudia su trabajo no sólo para informarse, sino también para edificarse

El pasado 30 de abril murió el Daniel Quillen, medallista Fields y laudable por su definición de los K-grupos de ordenes superiores a 2.

Como mencioné hace poco, el Dr. Emilio Lluis hizo su tesis doctoral precisamente sobre K-teoría, y en uno de sus libros de divulgación comenta con algo de ironía:

[Una persona] insiste en que se le dé una idea vaga de lo que se está haciendo [como matemático] o de los problemas más relevantes del área. Así, el matemático le dice que el cálculo del n-ésimo grupo de homotopía de la construcción más de Quillen del espacio clasificante del grupo lineal general del anillo de los números enteros es el problema más importante de su rama, el cual lleva más de dos décadas sin poder resolverse...

Aunque recientemente se han hecho avances respecto al problema que menciona el Dr. Lluis, hasta donde sé sigue abierto.

En una nota de europapress.es sobre el fallecimiento de Quillen, menciona que la K-teoría "permite traducir los espacios en objetos algebraicos, con lo que se puede hacer cálculos". Es una interesante manera de expresarse sobre la K-teoría, pues el ejemplo proporcionado por el Dr. Lluis es el de los K-grupos de los enteros, los que uno diría que conforman un objeto algebraico. Por supuesto, para definir sus K-grupos, es necesario primero asociarles algún espacio apropiado... Mmm... Tal vez sería mejor decir que la K-teoría tiende puentes bidireccionales entre el álgebra, la topología y la teoría de números en beneficio de todas ellas.

El mono hace lo que el mono ve

Es fabulosa la siguiente declaración de Mario Vargas Llosa respecto a la "barbarie sintáctica" predominante en la Red de Redes:

Si escribes así, es que hablas así; si hablas así, es que piensas así, y si piensas así, es que piensas como un mono. Y eso me parece preocupante. Tal vez la gente sea más feliz si llega a ese estado. Quizás los monos son más felices que los seres humanos. Yo no lo sé.

¿Hasta que punto es esto un insulto? Ahora sí que al que le quede el saco, que se lo ponga. Nosotros pertenemos al grupo de los grandes simios, junto con los chimpancés, los gorilas y los orangutanes. Ya se ha comprobado en numerosas ocasiones que los chimpancés y los gorilas pueden adquirir habilidades notables con el lenguaje. Si bien en muchos experimentos al respecto lo que realmente se tiene es el efecto de "Hans el Listo", en otros se verifica que su comprensión de la sintaxis del lenguaje humano va más allá de la pura casualidad.

Tal vez exactamente lo mismo pasa con nuestra especie...

Con gusto y sin obligación

Me resultó muy grato ver que le hicieron una entrevista para "El Universal" a mi maestro y gran amigo el Dr. Emilo Lluis Puebla. El motivo fue el programa que ofrecerá hoy en el Castillo de Chapultepec de las cinco sonatas para violonchelo y piano (o al revés, depende del punto de vista), con Iñaki Etxepare en el violonchelo. Un evento que no deben desaprovechar los que tengan oportunidad de ir.

En la entrevista se hace énfasis en las dos facetas del Dr. Lluis: como concertista y como matemático. En su labor como pianista baste decir que da cerca de 50 excelentes conciertos al año (en promedio es ¡prácticamente uno cada semana!); como matemático, hizo su doctorado en Canadá bajo la supervisión de Victor Snaith en la abstrusa rama de la Matemática denominada K-teoría (la de ciertos números duales y del grupo cíclico de 9 elementos, en particular).

Por que al parecer una no es ninguna

Hoy me asaltaron...

Otra vez...

Y lo peor es que fue en mi amada ciudad natal, Oaxaca de Juárez. Iba en el camión a eso de las 14:30 horas, cuando a la altura del Teatro Álvaro Carrillo se subieron cuatro (¿o cinco?) tipos con mala actitud. Se dirigeron a la parte postrera del transporte, sacaron unas navajas y me amagaron a mí y a otros pasajeros. Se llevaron mi celular y mi cartera.

Lo irónico es que llevaba en mi mano un libro de Teoría de Números, cuyo valor es de algunos cientos de pesos, y no se les ocurrió quitármelo.

Si ponemos las cantidades equivocadas, ¿saldrán las respuestas correctas?

En eleconomista.com.mx, leí un artículo que critica (constructivamente, como debe ser) el hecho de dotar a niños de computadoras para usarlas en el aprendizaje. Esto me condujo a las investigaciones que ha realizado el Banco Interamericano de Desarrollo (BID) al respecto.

Según una publicación del BID, la educación en los países latinoamericanos han mejorado en cuanto a cobertura, pero tristemente la calidad no ha aumentado en la misma proporción. Eso es muy preocupante, porque hay países con PIB per cápita semejante que tienen mejores desempeños en pruebas internacionales de Matemática y Lectura.

Una forma de atacar el problema ha sido a través de la tecnología, empleando computadoras o dispositivos móviles para auxiliar el proceso educativo. Pero, según el documento citado del BID, estudios realizados al respecto revelan que la mayoría de esas medidas no tienen un impacto significativo en el desempeño de los alumnos, sobre todo en lo que a lectura se refiere. En lo que concierne a la Matemática el panorama parece más alentador, aunque un estudio sobre un programa gubernamental ecuatoriano se ve que la brecha entre los alumnos que tienen buen desempeño y los demás se agranda con el uso de las computadoras.

Sea como fuere, la conclusión a la que llega el BID es que de nada sirve introducir más equipo sofisticado si no va acompañado de la capacitación correspondiente de los profesores o de los alumnos. Yo iría más lejos al afirmar que ni siquiera son indispensables las máquinas, sino la capacitación de los profesores: un buen profesor con un pago justo puede educar a muchos más niños que una sola computadora.

No hay quinta parte mala pero...

Recién veo en el encabezado de una nota de "El Universal" que "sólo 2 de 10 cursan un posgrado". "¡¿Qué?!", pensé, "¿Un quinto de la población? ¿Tantos? Ya ni en Rusia". Pero luego, en el cuerpo de la noticia, aclaran: "de los que terminan una licenciatura". Ah, vaya, así cambia la cosa.

¿Hacen falta más estudiantes de posgrado en México? Creo que sí, pero el problema es también lo que van a hacer esos estudiantes cuando obtengan sus grados. Idealmente alguna institución los acogerá entre sus alas para volar juntos hacia las más altas cumbres científicas y tecnológicas, pero en la realidad... Quién sabe.

Por descubrimientos pioneros en Geometría, Topología y Álgebra

Me entero con regocijo que el Dr. John W. Milnor ha sido honrado con el Premio Abel del 2011. Milnor ya era medallista Fields desde 1962, pero aún así creo que su obra es lo suficientemente grande como para ameritar dos premios de tal magnitud.

Como ejemplo de su trabajo, me gusta particularmente un resultado que encontré en el libro "Las Matemáticas, perejil de todas las salsas" de Berlanga, Bosch y Rivaud. La situación es ésta: el problema de la cartografía es representar razonablemente bien la superficie de la Tierra sobre un plano. Hay varios criterios para definir un mapa razonablemente bueno: que preserve distancias, que preserve áreas, que preserve ángulos, que preserve geodésicas, en fin.

Una medida de la "calidad" de un mapa de un cacho del globo terráqueo que no preserva distancias es el logaritmo del cociente entre la máxima desviación de la distancia original sobre la mínima desviación; a este número Milnor le llamó "distorsión" del mapa. En un gran artículo de 1969, Milnor demostró que tal mapa no solamente existía (y es la proyección azimutal equidistante o proyección de Postel), sino que es única salvo por escalamientos.

Por supuesto, eso no es más que una pequeñísima muestra de todo lo que ha hecho John Milnor. Una de mis favoritas es su contraejemplo para la Hauptvermutung (que significa "Conjetura Principal" en alemán). En palabras mucho muy vagas, digamos que Milnor construyó dos balones ensamblados de parches triangulares, pero tales que los parches no pueden dividirse en triángulos más pequeños de modo que ambos balones tengan un patrón de triángulos idénticos.

Y si no existieran, las inventaríamos...

Ayer fue el Día Internacional de la Mujer.

No es algo que me cause mucha gracia. No porque piense que no es buena idea fomentar la equidad entre hombres y mujeres, sino precisamente porque debiera ser el día de la "Equidad de Género" o algo por el estilo.

Me llama la atención, por ejemplo, que se ha debatido mucho sobre si las mujeres tienen o no la misma capacidad para la Matemática que los hombres. En mi experiencia, no noto diferencias significativas, salvo que no es tan frecuente que una mujer se apasione por algo que no tiene aplicaciones. Mi esposa es matemática, y la he visto resolver ejercicios sobre sumas exponenciales que, desde mi punto de vista, son muy complicados. Aunque ella me decía: "Si le vas a invertir tanto tiempo y esfuerzo a un problema, pues mejor que sirva para algo".

A veces salen estudios que afirman que hay diferencias entre géneros en algún nivel escolar, luego salen otros que los refutan, y así sucesivamente. Mi opinión es que no se trata de decirles a las alumnas: "Ustedes son buenas en Matemática se diga lo que se diga, y tienen que demostrárselo a todos (o, en particular, a los hombres)". A las que tengan la aptitud, que la desarrollen más allá de lo suficiente si así lo desean. Las que no, naturalmente que no hay que desmotivarlas, pero tampoco se trata de obligar a nadie a deglutir lo que le desagrada (estereotipos aparte, por supuesto).

Con todo, es evidente que falta mucho por hacer. Basta observar que de momento no se ha galardonado a mujer alguna con la medalla Fields, el premio Abel o el premio Wolf (por mencionar algo). Y vaya que hay mujeres que se lo han merecido, en mi humilde opinión. Para muestra yo pongo a Julia Robinson, que había hecho bastante para obtener una medalla Fields antes de cumplir los 40 años. Claro, era difícil de prever eso cuando recién había trabajado en el décimo problema de la lista de Hilbert. De todos modos, me pregunto si hasta ahora ninguna mujer ha hecho algo que la haga digna de estos reconocimientos. Creo firmemente que existen tales mujeres.

Quiero cerrar con unas palabras de la mismísima Robinson:

Lo que realmente soy es una matemática. En lugar de ser recordada como la primera mujer en esto o en aquello otro, preferiría ser recordada como lo debe ser un matemático: simplemente por los teoremas que demostré o los problemas que resolví.

Simple en principio, luego se complica...

Me entero con estupefacción que existe un cortometraje llamado "Ritos de Amor y Matemática", que al parecer trata sobre una pintura corporal matemática. No creo que llegue a exhibirse en México, pero haré lo posible por conseguirlo a ver qué tal está.

Lo interesante de esta obra es que generó una reseña de Jonathan Farley, un matemático especialista en teoría de retículas y conjuntos ordenados. En ella critica (según yo, con justicia) el filme "Los crímenes de Oxford", que hace un énfasis innecesario en el sexo, al igual que en otras películas de corte similar. Claro, es previsible que así sea siempre que la Matemática aparezca con protagonismo en el cine, pues en muchos casos no se abordan facetas triviales de la Reina de las Ciencias.

Y este párrafo (la traducción es mía) es particularmente notable.

A decir verdad, los estudiantes de posgrado en Matemática están más interesados en los números primos que en sus instintos primarios. Yo ni siquiera besé a una muchacha hasta dos años completos después de obtener mi doctorado. Cuando trasnochaba en mi cuarto en Oxford, como un estudiante de primer año de posgrado, no soñaba con una bella chica zambiana del Wadham College; lo que yo deseaba era poder demostrar el Último Teorema de Fermat y así poder morir felizmente al siguiente instante, aún si no pudiera contarle a nadie lo que había hecho. (gardian.co.uk, 5/12/10)

Mi caso es distinto. Por supuesto que la comprensión de la teoría de categorías, los números duales y su relación con el contrapunto ocupaba mucho de mi cerebro cuando empecé la maestría. Aún así, otro tanto igual (o mayor) lo ocupaba (y lo sigue ocupando) mi esposa Angélica. Fueron muchas las veces en que huía de la ciudad de México a toda velocidad para estar con ella, y más de una vez perdí un autobús por quedarme a su lado.

Sin embargo, como dice Farley, ciertamente hay matemáticos que no se interesan en intimar al nivel amoroso con otros seres humanos. Pero hay otros (y algo me dice que la mayoría) que sí. En particular me gusta citar los casos de Esther Klein y su esposo Georges Szekeres, o el de Leopold Vietoris y su esposa Maria Riccabona, parejas a las que sólo la muerte pudo separar.

La creatividad que hay en el país no se concreta en aplicaciones prácticas

En el ejemplar del 17 de febrero de "La Gaceta" de la UNAM, me enteré que en esa fecha se conmemora al inventor mexicano. La celebración se instituyó en memoria de Guillermo González Camarena, quien creara un mecanismo para ver la televisión a color. Pero lo que quisiera subrayar de la nota alusiva es lo siguiente:

La Encuesta sobre la Percepción Pública de la Ciencia y la Tecnología en México 2009, elaborada por el Instituto Nacional de Estadística y Geografía y el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, refiere que 52 por ciento de los mexicanos consultados opinó que los científicos son "peligrosos" por sus conocimientos.

¡Interesantísimo dato! Me viene a la memoria el perverso anuncio de una marca de refrescos que decía que por x cantidad de científicos que crean un arma, se hacen kx (con k una constante mayor que 1) actividades "positivas".

Lo feliz para mí es que creo que la Matemática no es una ciencia (o que es una ciencia "formal", pues); me figuro que por ello en el comercial no dijeron "por cada uno de los miles de teoremas que se demuestran anualmente, se componen chorromil horóscopos en todo el mundo". ¿Sabe el gran público qué es un matemático? ¿Sabrá que no es necesariamente lo mismo que un maestro de Matemática? De conocer a uno, ¿le infundiría el mismo terror? Ojalá que no.

La frase que intitula esta entrada la enunció Víctor Manuel Castaño Meneses, del Centro de Física Aplicada y Tecnología Avanzada (CFATA), precisamente a quien entrevistaron para el artículo de "La Gaceta". Debo añadir que su afirmación engloba a mucha de la Matemática que se hace en México. Seguramente el contenido real de su mensaje es que algo de esa creatividad debería concretarse en resultados prácticos y redituables.

Maneras poderosas y flexibles de organizar la mente

Ayer el rector de la UNAM, José Narro, dijo que "[México] no pertenece a la sociedad del conocimiento". Es muy cierto. Además, señaló que

Nos preocupa el rezago de más de 33 millones de mexicanos y dentro de ellos los 6 millones que no saben leer ni escribir, y eso nos hace vulnerables a la posibilidad de incorporarnos plenamente a la sociedad del conocimiento. (El Universal, 10/02/11)

Pero, ¿de dónde viene esa información? Según datos de la UNESCO, en el año 2000 la tasa de analfabetismo en México era del 8.8% y representaba a unos 5.8 millones de mexicanos mayores de 15 años. Las proyecciones de ese organismo indicaban que para el 2010 esa cifra bajaría a un poco más de 5 millones, lo que constituiría el 6.2% de la población.

La triste sorpresa es que eso no se pudo cumplir, pues el INEGI reporta que para el 2005 la tasa de analfabetismo era del 8.4%; esto se traduce, si he hecho bien mis cuentas con los datos del INEGI, en un poco más de 6 millones de mexicanos mayores de 15 años que no saben leer y escribir. Esperaremos a los resultados del censo más reciente para ver cómo estaban las cosas en el 2010.

Narro mencionó que en promedio los mexicanos tienen 9 años de escolaridad. Sin embargo, el INEGI dice que la media nacional es de 8.1 años, y que sólo 3 estados de la República tienen en promedio 9 años o más de escolaridad (el Distrito Federal, de hecho, tiene 10.2). No sé en qué están rezagados esos 33 millones pero me imagino que en el hecho de que no concluyen el bachillerato. Al respecto, del INEGI sólo pude obtener que en el 2004 la inscripción a la educación media superior era de unos tres millones y medio de personas.

Lo anterior tuvo que ver con la presentación de la "Enciclopedia de Conocimientos Fundamentales", coeditada por la UNAM y Siglo XXI, que se supone será un vehículo para difundir la cultura general. Visité el sitio de Siglo XXI, pero no pude obtener información de cuánto cuesta ni detalles sobre su contenido. ¿No sería bueno también hacer una que fuera gratuita y que se pudiera descargar en formato electrónico? Claro, escrita ex profeso por especialistas y de envergadura razonable, a diferencia de la Wikipedia.

Nota (22/02/2011): Según "La Gaceta" (el periódico interno de la UNAM) del 17 de febrero de 2011, el costo de la enciclopedia es de 700 pesos para alumnos con credencial vigente y de 1,000 pesos para académicos y administrativos.

Originalmente es como un pequeño ático vacío

Le hicieron una entrevista a la matemática española María Jesús Esteban Galarza para deia.com. Esta pregunta con su respuesta me deleitaron:

P: Al hablar con una matemática enseguida lo asociamos con personas de mente muy ordenada y bastante "cerebrines". ¿Sigue siendo así?

R: Hay de todo (sonríe). Lo de cerebrines no lo sé. Pero por lo menos creo que sí tenemos la cabeza amueblada. La mayoría sí disponemos de una mente ordenada y, en general, de una lógica de razonamiento.

Hay una afirmación semejante de Morris Kline respecto al pensamiento de Immanuel Kant sobre la ciencia:

[...] El mundo de la ciencia es un mundo de impresiones de los sentidos, arreglados y controlados por la mente, en concordancia con categorías innatas como lo son el espacio, el tiempo, causa y efecto y sustancia. La mente contiene muebles en los cuales los invitados deben acomodarse. (Mathematics and The Search of Knowledge, OUP, 1985)

María J. Esteban Galarza es la actual presidenta de la Sociedad de Matemática Aplicada e Industrial francesa, y su área de investigación son las ecuaciones en derivadas parciales. Pueden encontrar más detalles sobre ella en el libro "Mujeres y Matemáticas: 13 retratos" editado por la Real Sociedad Matemática Española.

Tristes sólo los que entienden

Dice Emilio Rabasa Gamboa (del Instituto de Investigaciones Jurídicas de la UNAM), en una columna para "El Universal":

Blue Monday (Lunes triste) se le denomina al tercer lunes de enero y representa para mucha gente el día más triste de todo el año. No es simple ocurrencia, está sustentado en una fórmula matemática del doctor Cliff Arnal, sicólogo e investigador de la Universidad de Cardiff, Reino Unido, quien en 2005 analizó y combinó diversos factores como el clima (W), las deudas (d), el tiempo transcurrido desde Navidad (T), el tiempo transcurrido desde haber fallado en los propósitos de Año Nuevo (Q), los bajos niveles motivacionales (M), y lo que él denominó como la “necesidad de reaccionar” (Na) y arribó a esta ecuación: ((W+D-d)T^Q)/(M*Na). (20/01/2011)

De forma un tanto más clara, la expresión es

No voy a repetir qué significan todas las variables, pero baste saber que

• la variable W no puede estar en las mismas unidades que D y d (que son ¿monetarias?),
• al parecer, los divisores son adimensionales y
• las variables T y Q están en unidades de tiempo.

Por lo tanto, esta fórmula no es consistente ni puede devolver unidades de tiempo. En particular, no puede indicar un día del año. ¿Qué es lo que dice? Tal vez ni su autor nos podría sacar de dudas. Y precisamente sobre Arnall dicen muchos artículos que está adscrito a la Universidad de Cardiff, pero esa misma institución dijo en el 2006 que ese señor ya no trabaja ahí desde febrero de ese año.

Creo que se han inventado todavía otras fórmulas (ignoro si debidas al mismo charlatán), pero la motivación de cualquiera de ellas era hacer un anuncio comercial para una agencia de viajes. Es detestable que pretendan darle legitimidad "científica" a una tontería por medio de la Matemática. ¡Qué vergüenza!

A Matemática é a grande poesia da forma

Cuando fui a Huatulco por lo del Seminario, al pasar por una tienda reparé en unos platos bellamente pintados con escenas de los pueblos de Oaxaca. Decidí comprar uno.

Propuse que sustituyera a otro que teníamos en la entrada de la casa para poner las llaves, y Angélica me dijo: "Pero es para colgarse, para admirarse...". Le respondí: "Sí, pero ahora será un monumento a la Matemática".

Efectivamente: la Matemática es hermosa por sí misma y por ese sólo hecho vale la pena cultivarla y contemplarla, a pesar de que perfectamente sirva para resolver una infinidad de dilemas prácticos (e inesperadamente, sobre todo).

Eso me hizo preguntarme si alguna vez se ha levantado un monumento a la Matemática. Al buscar, encontré que hay uno en Itaocara, Brasil, realizado en 1946. Es como una pirámide muy aguda metida dentro de otra, y tiene inscritos los nombres y frases de matemáticos famosos más algunas notaciones e identidades matemáticas memorables. ¿Sabe alguien de otro?

Desde luego, en numerosas esculturas aparecen principios matemáticos. Sin duda una de mis favoritas es "Reloj Solar", del escultor polaco Grzegorz Kowalski, que se hizo para la "Ruta de la Amistad" en el contexto de los Juegos Olímpicos de México 1968. Siempre que pasaba por allí pensaba felizmente en las cónicas ilustradas por un gigante, y sólo lamento que Kowalski no hubiera colocado alguno de los conos de modo que la hipérbola se hiciera manifiesta.

De hecho, el corredor escultórico de "La Ruta de la Amistad" está repleto de obras con sabor matemático, como es el caso de las "Esferas" de Kioshi Takahashi o de la de Jacques Moeschal. Por esos mismos rumbos hay una interesantísima escultura, enfrente del Instituto Nacional de Ecología, que asemeja las primeras etapas de una construcción fractal. ¿Alguien, por casualidad, conoce su nombre y autor?

Espejismo cultural masivo

¿Por qué es ahora que la gente hace caso a los científicos? ¿Por qué?

El profesor Parke Kunkle hace notar lo inconsistente (por decir lo menos) que es la Astrología (que por ningún motivo debe confundirse con la Astronomía, que es una ciencia), recordándole a todo el mundo que la posición de las estrellas cambia respecto al eje de rotación de la Tierra, de forma lenta pero segura. Por lo tanto, los mecanismos para realizar horóscopos no pueden tener validez intemporal. Claro, suponiendo que los astrólogos efectúen sus "predicciones" de manera sistemática.

Además, trae nuevamente a colación que la configuración real de las constelaciones obligaría a tener al menos trece signos zodiacales (con el famoso Ofiuco entre Escorpión y Sagitario). Esto es un hecho muy reconocido al menos desde 1970, se ha hecho popular en Japón desde hace veinte años e incluso hay quienes proponen que haya hasta 14 signos (añadiendo a la lista el signo de la Ballena, ¿qué tal?).

Y encima de todo eso, ¿nadie tiene consciencia de que la astrología se hizo durante mucho tiempo ignorando por completo la existencia de Urano, Neptuno, Plutón y otros planetoides y asteroides de tamaño considerable?

Por lo menos me gustaría que esta "noticia" sirva para poner de manifiesto el carácter engañoso de la Astrología, pero algo me dice que no será el caso.

El único [delito] que no da lugar al arrepentimiento

El sábado 8 de enero una de mis primas hermanas se suicidó.

Es algo verdaderamente lamentable, pues recién había terminado su licenciatura en Derecho y estaba próxima a titularse. Las razones por las que hizo esto no puedo exponerlas, pero me parece que nunca alguna es suficiente. Por lo menos, no en las circunstancias de mi prima.

Desde luego, otra opinión sostendría ella si viviera. Sin embargo, estoy seguro de que al ver el pesar y el ejemplo que su decisión le trajo a su familia inmediata (y a toda en general) le habría hecho revertirla.

Vaya: es deplorable perder de esa manera una valiosa vida.

¿Enturbiando las aguas del manantial del espíritu?

Se dice que el logo de los Juegos Olímpicos de Río de Janeiro 2016 se parece demasiado al de una fundación caritativa de Colorado, Estados Unidos.

Y que ambos, a su vez, se parecen al óleo "La Danza" de Henri Matisse, de 1909. Aunque tampoco el cuadro de Matisse es absolutamente original, pues se asemeja a la acuarela "Oberón, Titania y Puck danzando con hadas" del pintor inglés William Blake, realizada por ahí de 1785.

Desde el punto matemático, sin embargo, podemos distinguirlas en algo. Topológicamente (y específicamente, desde el punto de vista homotópico):

1. El logo de Río 2016 es el producto cuña de 4 círculos (o una rosa de cuatro pétalos).
2. El logo de la fundación caritativa es un simple círculo, lo mismo que la pintura de Blake.
3. La pintura de Matisse es un punto (nótese que dos bailarinas no se alcanzan a tomar la mano).

Por lo tanto, sus grupos fundamentales son, respectivamente:

1. Un grupo libre con cuatro generadores.
2. El grupo de los enteros.
3. El grupo trivial.

Por supuesto, el tercer grupo se puede embeber en el segundo, y el segundo en el primero, pero aún así son diferentes.

Contando dos cuentos

Dos leyendas han llamado mi atención hacia el final de este año:

1. Que los vampiros (en algunas tradiciones) tienen aritmomanía, es decir, compulsión por contar. He ahí un interesante apotropaico matemático, pues bastaba regar semillas, arena o granos de sal alrededor de la tumba de un supuesto vampiro para mantenerlo ocupado durante toda la noche con el conteo.
   
2. Uno de los involucrados en la construcción de la fortaleza de Jiayuguan, en la muralla China, alardeó de su capacidad aritmética diciéndole a su supervisor la cantidad exacta de ladrillos que requeriría la obra. El supervisor, un tanto molesto, le dijo que un grave castigo caería sobre todos los trabajadores si fallaba en su cálculo así fuera por un solo ladrillo. El cómputo, efectivamente, erró (y a propósito) por exactamente una unidad, que fue colocada suelta sobre un pórtico.
   Cuando el supervisor se disponía a administrar la punición prometida, se apresuraron a advertirle que un espíritu había colocado ahí el ladrillo para sujetar la construcción, por lo que colapsaría si era removido. Gracias a la superstición, nadie fue castigado y el ladrillo permanece todavía donde lo dejó el "fantasma".
   

Y si vivo cien años...

Hoy fue el último día del novenario de Bernarda Aguilar Santiago. Ella fue la bisabuela de mi esposa, y vivió poco más de 100 años. En reconocimento a ello, la propia Secretaria de Desarrollo Social (SEDESOL) le entregó una medalla conmemorativa.

Al concluir la levantada de cruz, uno de los sobrinos de la abuelita Berna nos dirigió un discurso conmovedor: consideraba que los familiares más cercanos a ella eran privilegiados por haberla conocido y de pertenecer a una raíz tan sólida. Que, ahora desaparecida la tía Bernarda, un fuerte lazo que los conectaba se disolvía irreparablemente.

Cuando se acercaba el centésimo cumpleaños de la bisabuelita, le comentaba a Angélica precisamente lo interesante que era la unión familiar en el pueblo. Si no estoy (demasiado) equivocado, de nuestra madre viene la mitad de nuestro material genético (sin tomar en cuenta el ADN mitocondrial). Algo de este material es heredado a sus nietos, luego puede que una porción de ese legado pase a sus bisnietos, y así sucesivamente. En lo que concierne a los 23 pares de cromosomas del ser humano, si lo recibido fuese exactamente la mitad redondeada al mayor entero más pequeño, a la quinta generación no quedaría rastro de la tatara-tatara-abuela.

Por supuesto, la aleatoriedad del proceso de la reproducción hace que esto sea una aproximación algo burda. En particular, entre más fecundas las generaciones, mayor la probabilidad de que algo de la bisabuela Bernarda esté entre sus tatara-tatara-tatara-...-nietos.

Pero si lo puramente biológico no está a nuestro arbitrio, el legado intangible que nos dejan nuestros ancestros sí está en nuestras manos. Por ello, debemos asegurarnos de que perdure, pues es el mínimo homenaje que podemos rendir a una mujer a la que le tomó cien años transmitírnoslo.

Canta porque tiene una canción

Los físicos Dezhe Lin y Alexay Kozhevnikov de la Universidad Estatal de Pennsilvania, en su artículo "A compact statistical model of the song syntax in Bengalese finch" estudiaron el canto de los pinzones bengalíes usando algo que se denomina "modelo de Markov parcialmente observable con adaptación". Hasta donde entiendo, esto es una cadena de Markov generalizada, donde las probabilidades de transición pueden cambiar dependiendo de las veces que un estado es visitado.

En otras palabras: según estos investigadores, el pinzón utiliza unas siete "sílabas" de canto, y cuando canta una de ellas hay ciertas probabilidades de que la siguiente que emita sea alguna de las otras seis o se quede en la misma. Sin embargo, dependiendo del número de veces que repita una de estas sílabas, cambia la probabilidad de que transite a otra, cosa que no ocurre con un modelo de Markov estándar.

Recuerdo que en el Seminario de Huatulco se presentaron cosas como ésta para enseñarle a la computadora a improvisar y acompañar ya sea a seres humanos o a otras computadoras. ¿Cuánto tardarán en implementar esto que hacen las aves? ¿O de ahí precisamente vino la inspiración para aplicar estos modelos? Si alguien me ilumina al respecto, se lo agradeceré.

¿Una del libro?

Todo indica que en la tesis doctoral de Carlos Vinuesa, bajo la dirección de Javier Cilleruelo y con la colaboración de Ruzsa Imrének, le dieron mate a alguna instancia generalizada del problema de los conjuntos de Sidon.

Un conjunto de números naturales es de Sidon si las sumas de dos cualesquiera de sus elementos es distinta a la suma de cualquier otro par arbitrario en el conjunto; por ejemplo {1,2,3}. Se puede definir un conjunto de Sidon más general si se permite que se repitan cuando mucho dos, o tres, o a lo más n veces las sumas, o que sea infinito, o que se sumen más de dos elementos. Según entiendo, la buena nueva es que con este trabajo ya se tienen cotas asintóticas para el tamaño de los conjuntos de Sidon más generales.

Lo que me pregunto ahora es (en términos de Erdős): ¿será una demostración del Libro?

Algo más que noté en la prensa es que resaltan que el problema no tiene aplicaciones (todavía). ¿Y? Lo importante es que ahora conocemos mejor a los enteros que antes. Ser menos ignorantes (como especie) es algo de suyo muy notable.

Y otra es que han aprovechado para mencionar la contribución de Paul Erdős al estudio del problema. Como es de esperarse, sacan a colación esto del "número de Erdős". Era algo simpático al principio, pero me parece que últimamente se toma como una medida populachera de la "importancia" de un matemático.

Si esa importancia es inversamente proporcional a la magnitud de ese número, entonces yo tendría importancia 0: no he escrito artículo alguno en colaboración con alguien, así que mi número de Erdős es infinito. Me gustaría remediar lo de la colaboración, pero no me interesa en lo absoluto reducir mi número de Erdős.

Un síntoma de que hubo vida

Ayer por la tarde falleció mi abuela materna.

Fue algo triste para mí, porque fue muy buena conmigo y no alcancé a verla viva por última vez... me dolió mucho ver que sus últimos días los pasó postrada en un sillón; su brazo le había quedado muy lastimado por un accidente automovilístico y al poco tiempo del incidente tuvo una embolia que le quitó el habla y la movilidad de medio cuerpo.

Descanse en paz, Guillermina Pérez Luna. Sin ella y su obra, yo no estaría aquí.

Mi experiencia con el seminario

Pues, sea como fuere, se llevó a cabo el 4° Seminario Internacional de Teoría Matemática de la Música.

Con mucho beneplácito contamos con la presencia del Dr. Modesto Seara Vásquez para inaugurar el evento, y me parece que él se sintió muy contento de encontrarse ahí con el Dr. Julio Estrada.

Y para comenzar bien, nada menos que el "Status Quo 2010" que presentó el Dr. Guerino Mazzola. La conferencia fue verdaderamente excelente, salvo que la verdad no entendí bien la idea de cómo se clasifican las composiciones globales.

Luego seguía mi conferencia, que de hecho no dí en ese momento. De lo contrario, hubiera tenido que preparar con mucha prisa la video-conferencia del Dr. Peck (y aún con el tiempo extra tuve muchas dificultades, y le agradezco al Dr. Roberto Morales Manzanares por su gran ayuda). Pude hablar hasta el miércoles, con resultados decepcionantes tanto para mí como para la audiencia.

Lo bueno es que el golpe hace al jinete y ya la video-conferencia del Dr. Noll salió a pedir de boca. Si acaso el detalle es que el Dr. Noll no podía mostrar el puntero del ratón y eso le dificultó un poco explicar algunas cosas.

De las demás conferencias tengo poco que agregar. Y no porque no fuesen buenas, sino porque hablaron de temas de los cuales tengo poco o nulo conocimiento. Pero me parece que fue una experiencia bastante satisfactoria y gratificante para los participantes. Enhorabuena.

Mirarás lo que quieras ver

Ayer sucedió algo astronómico.

La ventana de nuestro cuarto da a una pequeña zotehuela techada. La Luna, mientras viajaba por el cielo, se coló por un momento entre las rendijas de la lámina, y me despertó. Pude ver entonces el rostro de mi esposa durmiendo, iluminado por un pequeño haz de luz plateada.

Aller Genuss ist musikalisch, mithin mathematisch

Memorable afirmación de Teimuraz Janikashvili, un violinista georgiano:

La música es matemática y la frontera con ésta reside en la interpretación. Las medidas están en la partitura, a partir de ahí se desarrolla la libertad artística. (www.nortecastilla.es, 05/11/2010)

¿Por qué? Aparte de que aumenta mi cuenta personal de músicos profesionales expresando la estrecha relación entre la Matemática y la música, dice intuitivamente algo que es cierto de manera más rigurosa.

No es tanto que la interpretación sea una separación entre la Matemática y la Música. Más bien, yo pienso como Guerino Mazzola cuando propone que "el matemático convierte los gestos en fórmulas, mientras que el músico convierte las fórmulas en gestos". Dicho en otras palabras: la Música es precisamente el proceso de interpretar las fórmulas (matemáticas), mientras que la Matemática consiste en abstraer los gestos musicales. Así, por ejemplo, la partitura atrapa en papel los gestos de una obra; en ese sentido, las partituras son fórmulas matemáticas y el acto de escribirlas es matemático. Por otro lado, la interpretación libera los gestos de la partitura (lo cual es manifiestamente musical), y esto puede verse desde un punto de vista más "matemático": los teoremas son gestos matemáticos congelados, y el acto de entenderlos o demostrarlos en una clase es (profundamente) musical.

Podríamos entonces reformular la frase de Janikashvili de esta manera:

La Matemática es Música y la frontera con ésta reside en la abstracción. Se intuyen con libertad artística los objetos matemáticos y sus relaciones, y a partir de ahí se desarrollan las demostraciones formales.

¿No es maravilloso?

La enseñanza del cálculo padece de diversas patologías

El viernes 15 de octubre de este año murió Carlos Ímaz Jahnke, que según el periódico "La Jornada" es "considerado uno de los matemáticos mexicanos con mayor reconocimiento".

No he podido encontrar cuál fue el tema que abordó en su tesis doctoral el Dr. Ímaz, sólo que la defendió en la UNAM. La nota de "La Jornada" dice que realizó "importantes contribuciones al campo de las ecuaciones diferenciales, particularmente en el estudio de estabilidad de sistemas y teoría del control" y que era reconocido por enseñar Cálculo utilizando infinitesimales; según una esquela aparecida en el sitio del CINVESTAV (donde trabajó mucho tiempo), fue "fundador de los departamentos de Matemática y Matemática Educativa del CINVESTAV y pionero de esta disciplina científica en México".

Esto me pone a reflexionar un poco respecto a lo siguiente: ¿es realmente lo mismo un profesor de Matemática que un matemático? Mi parecer es que perfectamente se puede ser lo uno sin ser lo otro. ¿Es justo que las personas en general los identifiquen?

En este sentido, no he podido determinar si el Dr. Ímaz hizo alguna contribución original al conocimiento matemático en sí. Tiene su entrada en el Mathematics Genealogy Project, pero no indica cuál fue su disertación doctoral ni su director de tesis. Las tesis doctorales que dirigió se concentran en la educación matemática, así que tampoco servirían para saber si investigaba algo puramente matemático.

Esto no quiere decir que la labor del Dr. Ímaz no fuese importante. Seguro que es vital investigar la enseñanza eficaz de la Matemática para provecho de la sociedad y la ciencia, pero eso es muy distinto a descubrir (o construir) conocimiento matemático nuevo. Lo digo porque hay matemáticos mexicanos muy notables que ameritan una mención en los periódicos cuando fallezcan, pero que no han escrito libros de texto, ni han contribuido al mejoramiento de la enseñanza de la Matemática ni tienen hijos metidos en la política.

Adenda (30/09/2013): Desde hace relativamente poco tengo acceso a MathSciNet®, en el cual el Dr. Ímaz Jahnke tiene reseñadas 19 publicaciones y 6 citas hasta el momento de escribir estos párrafos. El último artículo que, a mi parecer, fue de investigación respecto a las ecuaciones diferenciales, lo publicó en 1976.

Tilica y flaca

Revisando los archivos de la bitácora, descubrí que nunca había redactado una entrada relacionada con el Día de Muertos... qué vergüenza para mí.

El ecléctico altar; la curativa, útil y siempre bella cempasúchil; la limpieza de las tumbas y huesos y en general toda la pompa de las festividades es algo simplemente hermoso; es, de hecho, Patrimonio Cultural de la Humanidad según la UNESCO. Pero a veces valoran todo esto más fuera que en su mismo lugar de origen.

Y es que por estas fechas también se hacen actividades que tienen que ver con espantos, apariciones y hechos macabros o grotescos. Según yo, es una manera que se tiene para trivializar a la muerte y el miedo que regularmente provoca. El Día de Muertos me parece que es todo lo contrario: respeto y alegría por los difuntos. Se celebra que, de un modo u otro, constituyen nuestra esencia y futuro.

Hablando de otra cosa (pero no tanto), vi con Ange y mis cuñados la interesante película "Actividad paranormal". He ahí un aspecto negativo de la superstición, pues pienso que se debiera hacer hincapié, al final, en lo ficticio del guión. Como dijera Carl Sagan en su libro "El Mundo y sus Demonios":

¿Cuál es la diferencia entre un dragón invisible, incorpóreo y flotante que escupe fuego sin calor y ningún dragón en absoluto? Si no hay manera de refutar mi opinión, ningún experimento concebible que lo contradiga, ¿qué significa decir que mi dragón existe? La incapacidad para invalidar mi hipótesis no es, en absoluto, lo mismo que demostrar que es verdadera.

¿Cuánta energía se necesita para para mover talco, jalar una pata o dar una buena mordida? Sin duda que la suficiente para detectar claramente un "ente", y también la suficiente para contrarrestarla de algún modo... particularmente, con un psiquiatra.