Algunos matemáticos (no tan) notables

Cuando buscaba sobre el desempeño de Maryam Mirzakhani, Artur Ávila de Cordeiro de Melo, Terence Tao y Ngô Bào Châu en las Olimpiadas Internacionales de Matemática, me encontré con estos matemáticos que también ganaron la medalla de oro de 1995 y 1988.

1. Nikolay Nikolov (1995).
2. Hongyu He (1988).
3. Nicușor Dan (1988).

Escribo esta entrada para tener la referencia a la mano. Particularmente llamativo es el caso de Nikolay Nikolov, que en mi opinión es el número 1 de los número 1 de 1995.

P. D.: ¡No me había percatado de que ésta es la cuadrigentésima entrada! ¡Hurra!

Adenda (11/03/16). Me faltaron medallistas dorados:

1. Adrian Vasiu. (1988).
2. ¿Nikolai Filonov? (1988).

De esto y lo otro (2)

1. Murió Marvin Minsky, un polímata de nuestros tiempos, cuyo trabajo tuvo profundas consecuencias para estudio de la inteligencia artificial. Entre otras cosas, inventó un microscopio y una máquina musical. Lo recuerdo particularmente porque, durante una entrevista en 1992, comentaba sobre maneras de "desperdiciar la inteligencia", y señalaba particularmente aquella en la que "un grupo de personas se junta a ver otras pateando un balón".
2. Me importa un cacahuate lo que opine la desdichada AMPAS: para mí "El marciano" es la mejor película, con el mejor actor, con el mejor guión adaptado (¡el mismo autor del libro en el que está basado me secunda en cierto modo!), el mejor diseño de producción y los mejores efectos especiales. Y aunque no la nominaron en la categoría ¡también tiene el mejor vestuario! Creo esto porque se enfoca en un tema que va mucho más allá de las banalidades del sexo o la venganza, que finalmente las tienen los demás animales (o, por lo menos, los hominoides), y poner todo lo susodicho a tan grande servicio me parece excelente.

Crear un laberinto dentro de otro

En los inicios del año recibo la triste noticia de que el martes de esta semana murió Pierre Boulez. Me cae bien porque estudió matemática antes de ser compositor, y dirigió el legendario IRCAM (donde se amalgaman la computación, la matemática y la música maravillosamente) desde su fundación en 1977 hasta 1992.

Lo que más huella ha dejado para mí de su obra es la idea del análisis creativo. En sus palabras:

La situation la plus séduisante est de créer un labyrinthe à partir d’un autre labyrinthe, de superposer son propre labyrinthe à celui du compositeur : non pas essayer en vain de reconstituer sa démarche, mais créer, à partir de l’image incertaine qu’on peut en avoir, une autre démarche. L’analyse productive est probablement, dans le cas le plus désinvolte, l’analyse fausse, trouvant dans l’œuvre non pas une vérité générale, mais une vérité particulière, transitoire, et greffant sa propre imagination sur l’imagination du compositeur analysé. Cette rencontre analytique, cette détonation soudaine, pour subjective qu’elle soit, n’en est pas moins la seule créatrice. (vid. Anne Boissiere: Geste, interprétation, invention selon Pierre Boulez, Revue DEMéter, décembre 2002).

[La situación más seductora es la de crear un laberinto a partir de otro laberinto, de superponer su propio laberinto al del compositor: no tratar en vano de reconstruir sus andanzas sino crear, a partir de la imagen incierta que uno pueda tener, otra andanza. El análisis productivo es probablemente, en el caso más desenvuelto, el análisis falso, que encuentra en la obra no una verdad general, sino una verdad particular, transitoria, e injerta su propia imaginación en la imaginación del compositor analizado. Esta acometida analítica, esta detonación súbita, por subjetiva que sea, no es más que la única creadora.]

También me resulta memorable el hecho de que supervisara la grabación de la obra integral de Anton Webern (otro compositor al que admiro profundamente), y que descubriera que cabía perfectamente en seis discos compactos.

En fin: dedico mi opus 41, "Vivir es pertenecer a otro", sobre un texto de Fernando Pessoa, al maestro francés. Me parece que queda como anillo al dedo.

Vivir es pertenecer a otro. Morir es pertenecer a otro. Vivir y morir son la misma cosa. Pero vivir es pertenecer a otro de afuera, y morir es pertenecer a otro de adentro. [Fernando Pessoa: Textos de Crítica e de Intervenção, Lisboa, Ática, 1980.]

La última del 2015

Mis dos bitácoras padecen mi grave falta de tiempo, pese a que las atesoro como una memoria y un medio de expresión. Trataré de remediar esto un poco en el último día del año.

1. Murió Klaus Roth, quien trabajara en teoremas profundos sobre aproximación diofántica. Específicamente, el teorema de Thue-Siegel-Roth (que le ganara la medalla Fields), que conduce al algorítmico resultado de Størmer y las proporciones superparticulares. Entre estos, especial mención les doy a los que resultan en el espacio de Euler (es decir, cuando sólo nos interesan octavas, terceras menores y cuartas), pues los únicos son 2/1, 3/2 y 9/8, que corresponden a la octava, la quinta justa y el tono, a partir de los cuales se construye toda la escala pitagórica.
2. También murió el gran lógico y filósofo Jaakko Hintikka. Segun Mendelson, encontró demostraciones alternativas del teorema de completitud de Gödel para el cálculo de predicados; no me parece poca cosa. Mas impresionante todavía es que pudo demostrar que la lógica de orden superior se puede "simular" con la de segundo orden.
3. Vi "Un gallo con muchos huevos", que debiera recibir una acogida mejor de la que le dieron las reseñas, sobre todo si se le compara con fiascos como "Minions", y probablemente hasta contra "El buen dinosaurio".
4. Asimismo, con gran ilusión compré mi boleto para el episodio VII "El despertar de la Fuerza", para encontrarme básicamente otra vez con "Una nueva esperanza". Ange, en particular, estuvo muy a disgusto con la tontería de "encontrar a Luke". Y lo peor es que ¡ahora no puedo esperar al episodio VIII!
5. Por fin pude comprar "Trascender", y creo que quienes echan pestes sobre esta excelente película o les dio miedo o de plano está más allá de sus capacidades.
6. No quiero terminar sin manifestar mi regocijo al presentar mi libro tanto en la Unca como en la Unam, en ambas ocasiones en compañía de mi amigo y mentor el gran Dr. Emilio Lluis Puebla.

Y, pues, ¡feliz 2016!

Decepciones y rechazos

El fin de semana recibí la triste noticia de que "La canción de Volterra", op. 38, no obtuvo premio alguno en el concurso convocado por el Cocyt. Pude localizar al primer, segundo y tercer lugar en Yutub, y aunque realmente no me parecieron muy buenas en lo que a la música refiere (en todo caso, el tercer lugar merecía más), por lo menos puedo decir que la premiación fue mejor que la del año pasado, pues a diferencia del ganador del primer lugar de la vez anterior, en esta ocasión no se vitupera a la ciencia y la tecnología. Debo agregar que, como prometí, mi obra concursante tuvo letra, pero tristemente eso no le ayudó.

Las malas nuevas no acaban ahí. Hace poco, también, Timothy Gowers rechazó mi artículo que trata sobre conjuntos súmicos para su nueva revista Discrete Analysis, y que los conecta con problemas de musicología matemática relacionados con el contrapunto. Dado que su revista es superpuesta al arXiv, francamente no entiendo qué le quitaba colocar teoremas correctos y relevantes en ella. Por supuesto, no podía adivinar que necesitaba cosas como la solución del problema de la discrepancia de Erdös, recientemente conquistado por Terence Tao. Espero ansioso el primer número de su experimiento, para ver si de verdad yo no merecía "publicar" ahí.

De la misma manera, rebotó en el Australasian Journal of Combinatorics mi artículo donde cuento el número de dicotomías fuertes usando tablas de marcas, y en el que asimismo propongo una conjetura sobre un fenómeno parecido a la criba cíclica. El árbitro dice que mi artículo "sólo es una aplicación" y que, por conjeturar solamente está "incompleto". Para aplicar los resultados de criba cíclica, el grupo debe ser cíclico o un producto "fácil" de grupos cíclicos, y hasta donde entiendo el grupo afín sobre $\mathbb{Z}_{2k}$ no es lo que llamaría sencillo. Sin embargo, debo confesar que ahora que he leído de nuevo mi artículo, puedo mejorar la exposición en algunos puntos. Seguiré intentando.

Potencia de dos por quinta vez

Llegar a los $100000_{2}=200_{4}=40_{8}=20_{16}$ no ha sido tan sencillo, pero heme aquí.

Consultando el Number Gossip no veo propiedades interesantes de este número, excepto que probablemente sea la única potencia de dos tal que todos sus dígitos son primos, y su practicidad. Un número es práctico cuando cualquier número natural inferior a él puede expresarse como sumas de divisores distintos del mismo, y el $32$ lo es por casi obvias razones. De hecho, todas las potencias de $2$ son prácticas, pero no recíprocamente. El siguiente número práctico es el $36$, ¿llegaré a ser práctico por catorceava vez? No sé.

Me puse a pensar si el $32$ es la solución a algún problema combinatorio interesante, y ¡no me vino a la mente de inmediato que es el número de subconjuntos de un conjunto con $5$ elementos! Exprimiendo la OEIS, encuentro algunos más:

• Es un número tal que su factorial menos uno es primo. Es decir, $32!-1 = 263130836933693530167218012159999999$ es primo (¡gracias, S. B. Ekhad, por el cálculo!). Esto me servirá para recordar un primo enorme.
• Es el número de formas de colocar cuatro reyes que no se ataquen en un tablero cilíndrico de ajedrez de $4\times 4$.
• Es el mínimo número tal que pueden elegirse $13$ números entre $\{1,2,3,\ldots,32\}$ de modo que no haya tres en progresión aritmética
• Es el total de subconjuntos de las raíces $25$-avas de la unidad que suman $0$.
• Es el número de clases de $h$-cobordismo de homotopía suave de las $n$-esferas para $n=32,33,41,48$ y $53$, hasta donde llega la OEIS. Me gusta la observación ahí plasmada del hecho de que para $n=3$ este valor sea $1$ significa que la conjetura de Poincaré ha sido demostrada.

P. D. Vean el pastel de la celebración.

P. D. 2. Mi hermanazo JHS me dió un excelente regalo de cumpleaños en los comentarios: entre los números de Fermat, $2^{2^{5}}+1 = 2^{32}+1$ es el menor que es compuesto, y esto lo demostró ¡nada menos que mi héroe, Leonhard Euler, en 1732! ¡Gracias! Y también por la corrección, pues había colocado el signo equivocado en el $1$ en una versión anterior de esta posdata.

La constante de Arquímedes en acción (2)

Hace un mes la estancia donde enviamos a Ximenita hizo una "clausura". Nos pidieron cierto vestuario para algunos números musicales que presentarían los niños. Un conjunto, en particular, incluía una falda circular de satén rojo.

Una falda circular se construye a partir de una corona circular, tal que la circunferencia del círculo interior es igual a la medida de la cintura de quien la usará. Por supuesto, se parte de la hipótesis de que un corte transversal del cuerpo está razonablemente cerca de una circunferencia.

Lo interesante es que algunas guías para construir el patrón tratan de esquivar el cálculo del radio de círculo interior, y lo tantean usando la cinta métrica. Es realmente muy simple: si $C$ es la medida de la cintura, simplemente se divide entre $2\pi$ para encontrar el radio (hay que tener cuidado al hacerlo entre la calculadora, porque hacen falta unos paréntesis antes de poner $2\times \pi$). Luego a esta longitud se le suma la longitud de la falda mas alguna holgura (para el dobladillo y por si acaso), y con esos datos se pueden trazar los sectores de círculo en una tela doblada en cuatro.

Ange y yo encontramos un tutorial donde consideraba la posibilidad de mejorar el corte usando una corona elíptica. Lo curioso es que, sin un patrón, sería necesaria por lo menos la excentricidad promedio de las cinturas humanas para estimar los semiejes, o tener una manera de medir el "ancho" $2a$ de la persona para utilizar una fórmula aproximada como la de Ramanujan
\[ C = \pi(a+b)\left(1+\frac{3h^{2}}{10+\sqrt{4-3h^{2}}}\right)
\] donde $h=(a-b)/(a+b)$ para encontrar $b$ y trazar la curva. Hay que recordar que el cálculo de la circunferencia de una elipse es un problema nada trivial, que motivó estudiar ciertas integrales que precisamente recibieron el nombre de elípticas, y que resultó mucho muy fructífero.

Necrologías de sorpresa (2)

Le escribí a mi gran amigo JHS acerca de un interesante libro sobre ciertas ecuaciones diferenciales con una perspectiva histórica, y en su respuesta me sorprende con que el Dr. Humberto Cárdenas Trigos nos ha dejado. He rascado por la Red buscando la fecha exacta en que este triste evento sucedió, pero no he podido dar con ella; lo único que sé de cierto es que fue antes del 8 de agosto, cuando recibí la noticia.

Su tesis doctoral, en la que encontró el anillo de cohomología del grupo simétrico, fue dirigida por Norman Steenrod. Creo que esto basta y sobra para darse una idea de la estatura de este matemático mexicano.

Nunca tuve el gusto de saludarlo en persona, pero Angélica sí lo conoció e incluso él le sugirió el tema de su tesis; le sorprendía la lucidez y agudeza que conservaba cuando tenía más de 80 años de edad.

QEPD, Dr. Humberto Cárdenas Trigos. Que sus teoremas e ideas vivan para siempre.

P. D. 1. Según examino en la página que me señaló JHS, veo que me lo comunicó con mucha prontitud: el Dr. Cárdenas había muerto el 7 de agosto.

¡Ya llegó!

Probablemente debí haber escrito algo cuando la sonda File (o Philae) llegó al cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko en noviembre del año pasado, pero me pareció que eso no fue lo suficientemente revolucionario (habrá quien no esté de acuerdo, por supuesto); en lo personal a mí me parecieron más interesantes las misiones del Giotto y del Impacto Profundo (Deep Impact). En todo caso, rebotar dos veces en un cometa es sin duda algo jocoso.

Por otro lado lo de hoy sí toca, por decirlo así, una fibra sensible. La sonda Nuevos Horizontes (New Horizons) llegó hoy al punto de aproximación más cercano a Plutón. Me gustó muchísimo la nota del New York Times al respecto, pues es interactiva y explica rápidamente y bastante bien cómo se desarrolla la misión, además de que trae un mapa móvil con las fotos más recientes del planeta enano. Los comentarios de Phil Plait también son muy iluminadores.

He mencionado antes que la astronomía fue una de las disciplinas que más me llamó la atención desde que era niño, y ahora entiendo que mucho de lo que se explicaba en los libros de divulgación que adquirí en esos tiempos eran conjeturas razonables (en particular, se ignoraba que existía Eris, un objeto de mayor masa que Plutón, y que desencadenó el pequeño debate sobre qué cosa es un planeta); me emociona intensamente pensar que a partir de este momento puedo decirle a mi hija que por fin la humanidad ha visitado los nueve planetas "clásicos", y que tenemos fotografías de ellos. Al respecto, algo interesante es que la nave descubrió que Eris es ligeramente más pequeño que Plutón en su radio (al menos en un 0.5 por ciento), lo que tal vez legitime en la mente de algunos (como yo, en particular) que debería ser considerado un planeta después de todo.

Si mi libro de contrapunto, como decía el sitio de Springer, hubiera aparecido justamente este día, habría sido maravilloso, pues la Nuevos Horizontes despegó en 2006, el año en que me recibí de licenciado en matemática aplicada, y no hubiera dejado de ser una interesante coincidencia.

¡Ya salió!

Después de una larga espera, por fin sale publicado mi primer libro "en serio" (es decir, que tiene ISBN y probablemente sea ingresado en MathSciNet®): Computational Counterpoint Worlds. Por supuesto, hay que recordar el de Teoría de Grupos con música que escribí en colaboración con el Dr. Emilio Lluis Puebla, la Dra. Mariana Montiel Hernández y la mtra. Janine Du Plessis, y las "Llamaradas de petate" sin duda; y espero no ofender a nadie al confesar que éste último es el que más satisfecho me tiene hasta el momento. Tampoco voy a ocultar mi emoción de ver mi nombre en la cubierta de esos famosos libros de matemática (aunque la editorial ya no es lo que era antes, pero no se puede tener todo en la vida).

Quien lo lea probablemente detecte algunas deficiencias. Y es que creo que todavía es un poco pronto para referir todo lo que se sabe en esta perspectiva del contrapunto, pues apenas publicaré una tentativa de cómo las torres de contrapunto pueden desembocar en contrapunto "continuo" (aunque ya se puede consultar en arXiv), y además no se ha podido extender satisfactoriamente a especies (en el sentido de Fux) distintas a la primera. Sin embargo, retrasar más un compendio implicaría tal vez jamás publicarlo, además que con esto podría atraerse a más gente para avanzar en esta área.

Puede que no sea tan evidente como debiera, pero el esfuerzo de reunir las perspectivas de tres personas localizadas en Estados Unidos, México y Suiza no es nada fácil, y menos cuando tuvo que hacerse por correo electrónico (debo homenajear aquí la extremada paciencia del Dr. Junod). Es un signo de nuestros tiempos, sin duda, la forma en que fue escrito y el tema sobre el que trata. Ojalá esto le acarree algo de éxito.

Esta otra va por Vito Volterra

La inspiración a veces te toma por sorpresa. Pese a ello, la corriente de donde vino puede tener un origen bastante concreto, como me ocurrió esta vez.

El día 3 de mayo del presente, el Dr. Mazzola me comunicó su observación de que el llamado "acorde místico" (que hizo las delicias de Alexander Scriabin), es una dicotomía fuerte, y me sugirió que buscáramos si esto tenía consecuencias en la armonía o el contrapunto de sus obras. Parece que la intuición de Scriabin lo dirigió allí precisamente para no tener que molestarse en la armonía o el contrapunto, pero en algún otro momento contaré que encontré.

La cuestión es que, cuando vi las tablas de pasos permitidos para esta dicotomía, noté que la escala de tonos enteros es ideal para componer con ella. Esto podría sospecharse trivial, porque el acorde místico casi es una escala de tonos enteros, pero hay que recordar que el acorde es solamente uno de los 48  representantes de la clase de la dicotomía, y la optimalidad de la escala de tonos enteros se preserva para todos ellos. También debo señalar que esta escala es una de mis favoritas, porque representa uno de los tres enfoques "macrotonales" de la música occidental.

Por otra parte, pensando en lo que expondría en el seminario institucional de la Unca, me topé con el modelo para competencia interespecífica que desarrollaron Alfred Lotka y Vito Volterra, y me entró la curiosidad por sus biografías. Ambos son, sin duda, individuos notables, pero Volterra destaca por haber sido invitado cuatro veces como ponente plenario al Congreso Internacional de Matemáticos. Leí, en la Wikipedia, una frase que escribió en una postal para un amigo en la época en que se opuso al régimen de Mussolini:

Crollano gli imperi, ma i teoremi della geometria euclidea conservano loro eterna giovinezza.

Tristemente no he podido verificar esta fuente, pero no suena descabellada la atribución; también hay muchas variantes, pero ésta es la versión más antigua que pude extraer de Gogl Bucs. Yo la traduzco libremente de la siguiente forma, tal vez ligeramente más enfática:

Caerán los imperios, pero los teoremas de la geometría euclídea nunca perderán su eterna juventud.

Puestos estos ingredientes, tomé los BollyRubettes de Julien Junod para Rubato, y compuse un cantus firmus en la escala de tonos enteros con la frase en español de Volterra, y fui arreglando el discanto con el BollyComposer en el mundo de contrapunto del acorde místico, de modo que resultara medianamente cantable.

¿Y quién lo cantaría? En Teotitlán no conozco intérpretes entrenados como para realizar una versión decente. Ya había buscado antes cómo generar voz sintetizada, y había dado con Sinsy, que utiliza modelos de Markov ocultos y cuyas capacidades ya han sido ampliamente exploradas. Un pequeño problema con este sintetizador es que la entrada debe estar en MusicXML, en el que no sabía escribir. Afortunadamente crearon un editor de música en línea llamado Flat, que proporciona salida en el formato necesario, y a partir de ahí obtuve una comprensión mediana de este último que me facilitó mucho la tarea de generar las partes.

Otro problema es que Sinsy sólo puede cantar en japonés y en inglés. Además, la entrada en japonés debe estar escrita en katakana o hiragana, los cuales apenas y entiendo qué son. Por lo tanto, apoyándome en el traductor de Gogl realicé la mejor aproximación posible con sílabas en inglés en la letra para que se escuchara en español. El resultado no es precisamente satisfactorio en cuanto a prosodia, mas da una idea muy buena de cómo sonaría la obra (y le añade un estilacho de Daft Punk que, en lo personal, me encanta).

Debo agregar que originalmente mi plan era que se repitiera la estrofa con la dicotomía del acorde místico dos veces, pero después de hacer escuchar el resultado a algunos conocidos noté que, encima de la incomodidad que genera la voz sintética, el uso de consonancias no estándares es un poco difícil de digerir, así que decidí usar el BollyMorpher para transformar el original en otra versión con las consonancias tradicionales. Tuve que jugar mucho con los parámetros de la transformación, pues normalmente producía lineas completamente incantables (o, por lo menos, inverosímiles al oído) hasta dar con la apropiada. También vale comentar que la palabra "juventud" suena diáfana en la versión original a propósito, y me complació grandemente escuchar que dicha cualidad se conservó en la transformación.

Así nació, pues, "La Canción de Volterra", op. 38, en la cual se escucha primero el dueto en el mundo de las consonancias renacentistas, y después en el de las místicas.

Le envié el resultado de este experimento a Julien Junod, y ésta fue su impresión:

I really liked the conceptual mixture between high tech and mystical inspirations which adds a kind if sci-fi flavor, not to mention the synthetic voice that somehow reminds me of HAL's "Bicycle for Two " in "2001".

Realmente me gustó la mezcla conceptual entre la tecnología de punta y las inspiraciones místicas que añaden una especie de sabor de ficción científica, sin mencionar a la voz sintética que de alguna manera me recuerda a "Bicycle for Two" de Hal en "2001".

Para mí fue extremadamente grato componer esta pequeña obra, pues involucra mucha matemática y auxilio computacional que la hubieran hecho prácticamente imposible unos 10 años antes. Espero que quienes la escuchen no queden tan malheridos en sus tímpanos, si bien mi intención tampoco era precisamente deleitarlos. Finalmente, junto con "Pi", op. 33 (informalmente dedicada a Arquímedes y los matemáticos de la antigüedad) y "El número de Euler", op. 36, cierra una trilogía para la que todavía no tengo nombre, y me agradaría leer sugerencias en los comentarios.

Un volcado de memoria. Pérdida de tiempo deliberada (IV)

¡Hay tantas cosas en el tintero!

Algo que quiero decir desde hace rato es que es una porquería lo que provocan los partidos políticos en México. En especial en Oaxaca. Sería detestable que no pudieran llevarse a cabo las elecciones según lo proyectado por peleas estúpidas. Exijo que nadie me impida votar.

Otra diferente es que le deseo larga vida a los teoremas, definiciones e ideas de John Forbes Nash Jr., es una verdadera pena que haya muerto como lo hizo.

Aliviadas esas picazones, quería librarme de otras que son el centro de esta entrada. Tiene algún tiempo que leí en el New York Times sobre Violet Hart:

Ultimately, she [Violet Hart] hopes she can be a Martin Gardner for the Web 2.0 era.
[A la larga, ella espera poder ser una Martin Gardner para la era de la Red 2.0.]

¡Me causó tanta gracia! Tal vez parezca paradójica mi sorna, pues ella se proclama "matemúsica recreativa", y conocí a una persona que pensaba que por este solo hecho me agradaría su obra. Pero no. Y la razón es simple: Martin Gardner sabía que no sabía, y por eso exprimía conocimiento de sus amigos matemáticos para explicárselo primero a él mismo y después a los demás. Así se obraba la magia. Por otro lado, pienso que Hart cree entender y apreciar la matemática, y percibo que es por eso que le quita sustancia, que la despoja de la verdadera emoción y el arte, y la deja como una especie de payaso. Y eso está muy lejos de lo que hacía el maestro Gardner.

La buena noticia es que me parece que sí existen las Martinas Gardner del nuevo milenio. En especial, en mi opinión alguien que llena esos gigantescos zapatos es Evelyn Lamb; ella, en especial, tiene una bitácora en el Scientific American (¡dónde más!) llamada "Las raíces de la unidad" (un agradable juego de palabras). El lema que tiene es "Matemática: aprendiéndola, haciéndola, celebrándola" (las negritas son mías), que captura justamente el espíritu de Gardner. Quizá su secreto para la frescura es que ella está del otro lado del espejo: se topa con los temas que discute por medio de la enseñanza, y por ello busca hacerse entender lo mejor posible, sin pretenciones, de la manera más natural a su alcance.

Por supuesto, no demerito a un inmediato sucesor matemático de Gardner: Ian Stewart. Sin embargo, como ya era un matemático formado y mucho muy bueno cuando empezó con su tarea divulgadora, pienso que no le es tan fácil transmitir la emoción del aprendizaje o de la enseñanza. No me malinterpreten: a mí en lo personal me fascina que no subestima al lector, pero no estoy muy seguro de que eso le resulte particularmente atractivo a los no iniciados.

Esto me trae a la mente algo que ví ayer en Yutub, con lo que quiero terminar por hoy. El video en cuestión da supuestos argumentos para justificar (adivino) la existencia de la actividades relativas a la Olimpiada de Matemática(s) en Nuevo León. Si bien últimamente he cambiado un poco de parecer respecto a los concursos científicos (al final diré por qué), estoy de acuerdo en muy poco de lo que ahí se vierte.

Intentaré resumir su razonamiento: en la educación "tradicional" se les enseña a los alumnos a resolver todo por medio de fórmulas, lo que atrofia su iniciativa; por ello, cuando por casualidad se enfrentan a un problema para el que no hay un camino ensayado y exitoso, se pierden y finalmente se rinden con facilidad. En cambio, en los "entrenamientos" (me figuro) para la olimpiada, se eligen precisamente los problemas "sin método" y se les imbuye a los estudiantes la confianza en su ingenio para puedan llegar por sí mismos a la solución.

El punto clave que omiten es que tal es una preparación para una competencia. Es como el que defiende la existencia de los programas para los atletas de alto rendimiento sosteniendo que ayuda a la gente a mejorar su salud física. Esto es obviamente falso: si la Conade deseara hacer tal cosa, no tendría porque exigirle el máximo a la población, sino simplemente lo necesario.

Claro, hasta aquí llegaría la analogía... ¿o no? Poniendo atención, verán que dice que ante un problema no estándar a veces sí hay quien lo resuelve con lo que aprendió a la escuela, con la suficiente paciencia y orden; pero a los autores del video esto no les interesa y no lo vuelven a mencionar ni por equivocación, porque esos alumnos no "brillan" por su "ingenio" (no saben vencer dragones de manera espectacular, vaya). Lo necesario no es suficiente, pues. Quiere decir que lo que importa no es resolver los problemas, sino el cómo se resuelven.

No tengo problema con enfatizar el método (o la falta del mismo), finalmente la matemática se construye sobre eso en gran medida. En otras palabras: perfectamente puede pintarse un paisaje esquemático de manera burda si lo que se quiere es describir una situación, pero tomar un lienzo, pinceles y óleo y lograr una obra maestra es harina de otro costal, y a los matemáticos nos encanta el pan que se logra con ella. También estoy de acuerdo que no se les proporciona el valor de la perseverancia a los niños y jóvenes en su educación elemental.

A lo que voy es que no puede decirse en letra pequeña que el beneficio del entrenamiento es para algunos elegidos. Esto es esencial. Más aún, los alumnos que mayor disposición tienen son justamente los seleccionados para representar a su salón, a su escuela, a su estado, al país, y con este tipo de actividades simplemente les incrementan su capacidad. ¿Y qué hay de los demás? ¿Nos guiarán con su ejemplo inspirador? A lo mejor. Precisamente.

Resulta que me he convencido de que en definitiva necesitamos que esa crema y nata sea de lo absolutamente mejor posible. Esos pocos con capacidades excepcionales, en verdad, contribuirán a obtener medallas Fields, premios Abel, premios Nobel, etcétera, y con algo de suerte llegarán a dirigir destinos de partes de nuestro país y con probabilidad cercana a 1 lo harán bien, porque hay evidencias de que existe una correlación fuerte entre la capacidad intelectual y el éxito en el desempeño de una tarea. Yo digo que este debe ser el gancho para vender a la Olimpiada, sin duda alguna.

Podría tener lo que necesitas, pero no sé si te hará feliz

Leyendo la Gaceta de la UNAM de ayer, encuentro que José Manuel Covarrubias afirma:

Las matemáticas, física y química no han cambiado en lo esencial y son bases fundamentales para la ingeniería aplicada, que se enseña en la última etapa de la carrera.

Creo que solamente un ingeniero puede tener esa visión tan simplista de las cosas, pese a que tiene razón en que no hay ingeniería sólida sin las "ciencias básicas" y la matemática (también me fascina que sus palabras sugieren la existencia de una "ingeniería teórica").

Por supuesto, la matemática, la física y la química han conseguido una precisión que progresivamente es más difícil de mejorar, mientras que la probabilidad de que tengan errores serios disminuye. Pero estoy seguro que hay muchísimas diferencias tanto conceptuales como algorítmicas entre Euler, Gauss, Jordan y sus sucesores como para sencillamente decir que resolvían ciertos problemas de manera equivalente. Por citar otro ejemplo: sé de buenas fuentes que el diseño de automóviles no fue el mismo desde que surgieron las ideas de Paul de Casteljau y Pierre Bézier en la segunda mitad del siglo XX (entre muchos otros); obviamente, el aumentar las herramientas disponibles para el diseñador invoca desarrollos en cómo se aplica la física, la química y la matemática para llevar sus ideas a la realidad. Y no surgen pocas innovaciones ahí.

Pero, vamos, nada cambia en lo fundamental, ¿verdad?

Los Abel del 2015

Ciertamente me provoca mucha alegría que el premio Abel de este año será compartido por John Forbes Nash Jr. y Louis Nirenberg. A Nirenberg ya lo había mencionado en un par de ocasiones: una cuando recibió la medalla Chern (que es mi favorita entre los premios de la Unión Matemática Internacional) y otra porque fue el director de tesis doctoral de Jorge Ize.

Quienes se encargan del premio Abel, creo yo, hacen un muy buen trabajo divulgando la obra de los homenajeados. Leyendo un documento de la página oficial escrito por Arne B. Sletsjøe, por fin entiendo qué le dió tanta gloria a Nirenberg. El "ejemplo" que proporcionan para explicar es que, si tomamos la densidad de neuronas del cuerpo humano como una función positiva definida sobre el cuerpo humano visto como una "esfera" (esto no es una práctica matemática tan descabellada: en un libro de modelos matemáticos consideran una vaca esférica (!) para entender qué sucede si deja de comer), Nirenberg demostró que la construcción del humúnculo cortical tridimensional es posible, de modo que la "forma" (la curvatura, pues) que tiene el modelo refleja tal densidad. La Wikipedia me reveló que esto tiene muchas consecuencias prácticas, como en la radiolocalización (el radar, pues), el fenómeno de difracción y el diseño de aviones, etcétera.

Cuando leía sobre el trabajo matemático de Nash, hace algún tiempo, me preguntaba por qué nadie había señalado más enfáticamente su maravilloso resultado sobre el embebimiento isométrico $C^{1}$ de cualquier variedad riemanniana. Si no me falla mi memoria, me había topado con él mientras estudiaba cuestiones de geometría algebraica, y me pareció más interesante que lo que hizo en teoría de juegos. En el artículo antes citado de Sletsjøe, explican la construcción recursiva interesante que es necesaria para "doblar" la superficie que corresponde a la pantalla de los videojuegos (donde, si se sale por el lado izquierdo, brota uno por el derecho, y si se sale por la parte superior, sale uno hacia la parte inferior), para ambientarla bien en tres dimensiones. Si fuera de hule, sería fácil coser las orillas para obtener una rosquilla, pero el problema es que se pierden las distancias por el estiramiento. El teorema de Nash dice, sin embargo, que es posible, y un grupo francés llamado HEVEA logró hasta 2012 encontrar la manera de hacerlo.

Digamos que por un momento dejamos que sí sea de hule la pantalla y formamos el toro, y luego a lo largo le aplastamos surcos, y luego a esos surcos le aplastamos unos surcos sesgados, y así sucesivamente. Como están ingeniosamente configuradas, estas deformaciones compensan el estiramiento que debe tener la hoja para "cerrarse", y así se logra la conservación de la distancia.

¡Enhorabuena por los premiados!

Por el Día de Pi del Siglo

¿Por qué soy matemático? Desde hace algún tiempo quiero escribir mi respuesta a esa pregunta; esta ocasión es ideal porque hace poco leí la enésima experiencia de un olímpico a propósito de una película sobre el tema. Con una franqueza que espero no ofenda, debo decir que me enferma. Yo, al menos en matemática, nunca competí (deliberadamente), y quiero relatar mi experiencia.

Desde que aprendí a leer entendí que lo mío era dedicarme a la ciencia. Todavía no sabía a cuál de todas sus ramas (aunque seguramente nada biológico, pues no me agradan los bichos ni las tripas, en especial las mías). Tal vez, con un empujón en la dirección adecuada, habría sido astrónomo (los primeros libros ilustrados de divulgación que compré versan sobre el sistema solar y la exploración espacial), pero las cosas no se dieron así.

Seguramente por la astronomía es que la física me gustó mucho desde que la conocí. Se me facilitaba, vaya, y pensaba que era la puerta al conocimiento universal al que aspiraba conseguir algún día; también que podía tener un chance razonable de contribuir en esa área. Sin embargo, durante el bachillerato, al contrastarme con el que más tarde sería el campeón estatal y nacional de las olimpiadas de física, concluí que yo no tenía la “intuición” para los fenómenos centrales para esta ciencia. Sin embargo, no podía negarme a mí mismo que algo me atraía fuertemente de la materia. ¿Qué era?

Dos hechos me dieron la respuesta, pero infortunadamente no recuerdo en qué orden sucedieron. Referiré primero el que más vivo tengo en la memoria. El libro de texto de Cálculo Infinitesimal que usábamos era el clásico de Stewart, y en él se pedía demostrar que, si se construía una cuerda dentro de una parábola, que pasara por el origen, y se tomaba su mediatriz, el punto donde se intersecta esta última con el eje de las ordenadas tiende a una posición fija conforme la cuerda se colapsa hacia el origen ¡y es el foco de la parábola! Lo mejor de todo es que pude resolverlo con relativa facilidad, y francamente me parecía milagroso que el punto no se escapara a otro lado y que pudiera comprender esto con tanta claridad (a quien le resulte esto obvio por su intuición para la óptica ¡felicidades!). Conversé con el compañero que era el segundo mejor en física (y el de las más altas calificaciones de mi generación) sobre esta maravilla y mostró una indiferencia que francamente me impactó. ¿Solamente yo era capaz de apreciar esta belleza?

Tal vez nunca había sido consciente de que el sustrato matemático de la física era lo que realmente me deleitaba, porque en la educación elemental en México nunca te mencionan que se puede estudiar por derecho propio, ni que existen preguntas matemáticas sin respuesta. Lo más sobresaliente en este sentido fue que, después de un buen rato de pensar en métodos para calcular $\pi$ y platicar de esto con el profesor de Geografía, él amablemente me dió una tarjeta donde compiló varias fórmulas que se han obtenido a lo largo de los siglos, y que incluía la de Leibniz-Madhava, la de Machin y el producto de Wallis (y que encontré bastante sorprendentes). También es aquí donde conviene mencionar el segundo hecho que me encaminó hacia la Reina de las Ciencias: hallé, en mis visitas habituales a una conocida librería de Oaxaca, el “Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas” de Martin Gardner, en la traducción publicada por editorial Labor (que, debo declarar, es de excelente calidad). El autor tiene una magia ampliamente reconocida para encender las más profundas pasiones matemáticas, y después de leerlo dos veces con la misma avidez, comprendí que mi destino era convertirme en matemático (si no era que antes devenía en guitarrista de concierto, pero esa es otra historia).

Otra afortunada coincidencia fue que el personal de la Universidad Tecnológica de la Mixteca acudió a mi preparatoria durante mi último ciclo escolar, para promover las carreras que imparte, y me enteré que podía estudiar matemática profesionalmente sin salir de mi estado. Me pareció simplemente un sueño hecho realidad, y sin pensarlo demasiado me inscribí al curso propedéutico. Así inició uno de las mejores etapas de mi vida.

Es verdad que no se me facilitaron ni las ecuaciones diferenciales ni la teoría de control, pero disfruté inmensa e intensamente todos los temas que estudié a lo largo de mis cursos. Siempre despertaba emocionado pensando en qué aspecto conmovedor o sorprendente de la matemática descubriría ese día. Si he de elegir algunos miliarios de ese recorrido, creo que serían: las demostraciones por vacuidad, la noción de que la derivada es el “coeficiente” de la mejor aproximación lineal a una función, la constante de Euler-Mascheroni, los autovalores y la forma canónica de Jordan, las ideas centrales de la topología algebraica (en particular, el cálculo de grupos de homología y el lema de Barratt-Whitehead), el teorema de Euler relativo a los ciclos que llevan su nombre en la teoría de grafos, la teoría de Fourier que se usa para resolver la ecuación hiperbólica en derivadas parciales, el teorema del límite central, los estimadores de máxima verosimilitud, el teorema de inclusión y exclusión, la dualidad en programas lineales, que todo dominio entero finito es un cuerpo, que un ideal de un anillo es máximo si, y sólo si, el cociente respecto a él es un cuerpo, cómo obtener soluciones de ecuaciones diferenciales usando series de potencias (en particular, cómo esto conduce a las funciones de Bessel), las aplicaciones conformes (en particular, la transformación de Schwarz-Christoffel), la fórmula integral de Cauchy, la desigualdad de Cauchy-Schwarz... la lista podría seguir y seguir, pero creo que con estos botones consigo ejemplificar.

Insisto, pues, en que no fue el ánimo de competir y demostrar a mis congéneres mi superioridad en materias abstractas lo que me condujo a la matemática (tal vez porque no tengo dicha supremacía, ni siquiera localmente, después de todo). De hecho, al día de hoy todavía atribuyo no dedicarme ni a la física ni a otras ciencias a las experiencias que tuve participando en las olimpiadas correspondientes. Tampoco creo que fueran una oportunidad para conocer personas con intereses similares a los míos ni para impulsarme a perseverar en mis estudios (más bien, al contrario). Aunque, como bien dicen, “cada quien habla como le fue en la feria”. A mí me fue mal, es cierto, pero también hay que considerar que no solamente en las ferias puede uno jugar y divertirse.

Por el semanario aquel

Se ha enfriado un poco el asunto, así que creo que puedo escribir algo sobre el tema sin herir susceptibilidades de ningún tipo.

En la prensa internacional ha causado mucho revuelo una revista satírica francesa, de nombre "Charlie Hebdo". Al principio supuse que se trataba del apellido del un tal Charlie que quizá fue homenajeado por la publicación (y más bien parece que fue un tanto por Charlie Brown y otro tanto por burlarse de Charles de Gaulle), pero algo dentro de mí me decía que era más bien una parte de otra palabra, y que la había visto en otra parte.

Y sí: por alguna razón, durante alguna pesquisa, por el rabillo del ojo leí el nombre de la revista creada en 1835 por François Arago: "Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences", que en español se podría traducir como "Cuentas rendidas semanalmente de las sesiones de la Academia de Ciencias". En efecto: el "hebdo" es un apócope de "hebdomadaire", y que según el Wikcionario francés designa a una publicación semanal. No me había pasado por la cabeza que el famoso "Comptes Rendus" haya sido semanal. Y menos que existiesen estas palabras en español.

hebdomadario, ria.
(De hebdómada).

1. adj. semanal.
2. m. y f. En los cabildos eclesiásticos y comunidades regulares, semanero, persona que se destina cada semana para oficiar en el coro o en el altar.
3. m. semanario.


hebdómada.
(Del lat. hebdomăda, y este del gr. ἑβδομάς).

1. f. Espacio de siete años. Las setenta hebdómadas de Daniel.
2. f. p. us. semana.

La última del 2014

Por cuestiones de grandes números adquirí cierta afición por conocer los niveles de audiencia de YouTube.

En 2014, el video más visto es el correspondiente a la canción "Dark Horse", de Katy Perry. Me regocijaba de ello por sus alusiones a la cultura egipcia, especialmente por el Ojo de Horus. Yo sabía que este símbolo se puede descomponer en partes que representan fracciones egipcias... pero redactando esta entrada me entero que ¡esta interpretación es falaz! Jim Ritter, en un artículo de 2002, demostró que este error fue introducido por Georg Möller en 1911.

En segundo lugar viene el "Bailando", de Enrique Iglesias, y me agrada que les sorprende a los que creen que si algo no está en inglés, no existe. Por cierto que en una parte de la letra preferiría que dijera "con tu Física y tu Química, y también tu Geometría".

Es todo por ahora, esperemos al nuevo año.

Reporte del ICMM

He aquí el reporte de lo sucedido, desde la perspectiva de un humilde servidor, durante el Congreso Internacional de Música y Matemática, que se celebró en Puerto Vallarta, Jalisco, del 26 al 29 de noviembre del año en curso.

Este documento es un requisito académico de la Universidad de la Cañada, pero aún así me agrada darlo a conocer al público, pues hay amistades que están interesadas en él y, probablemente, entusiastas de la intersección entre ambas áreas que también tienen curiosidad por saber el chisme.

Espero mis lectores queden medianamente satisfechos con mi selección y redacción de lo que recuerdo.

La cantata que nadie me pidió (II)

Pues, pasado el Congreso Internacional de Música y Matemática, ha sido un poco difícil regresar a la vida "ordinaria", por decirlo de algún modo. Estoy escribiendo un reporte detallado sobre el tema que anunciaré y publicaré por acá; aunque ya está terminado en lo general, le estoy quitando las rebabas y haciendo algunos resanes necesarios.

Algo importante que sucedió en el Congreso es que se estrenaron dos obras mías: "Un canon cangrejo y otro por tonos", op. 37, y "Acción de cuatro", op. 29. La acogida que le dio el público fue buena, me gustó en particular el comentario del Dr. Emmanuel Amiot: "haces lo que predicas: contrapunto". Esto me proporcionó la motivación que necesitaba para continuar con mi Cantata "Mixteca", que terminaré pase lo que pase, se estrene o no, le guste a quien le guste.

Traigo, en consecuencia, la segunda parte, "Aparecieron y se hicieron visibles". He aquí la letra.

En aquel tiempo aparecieron y se hicieron visibles
Ñuhu Señor 1 Venado Culebra-Puma
y Ñuhu Señora 1 Venado Culebra-Jaguar,
muy linda y hermosa.
Estos dos fueron el principio de los demás Ñuhu.

Por supuesto, sigue en pie la oferta de ensayarla con cualquier cantante que se considere capaz de interpretarla.

¡Nos dejó! :'(

Me quedo profundamente impactado por la noticia de que Alexandre Grothendieck nos dejó ayer por la mañana, en un hospital de Saint-Girons, a los 86 años de edad. No tengo mucho más que decir, excepto porque aún conservo en la mente la idea de que él quería quebrar los cocos de manera suave, remojándolos, y no con un cincel. Y no tienes que ser rápido para lograrlo; por el contrario, la paciencia prima en dicha tarea.

Que en paz descanse el gigante Grothendieck: lejano queda el horizonte que alcanzaremos gracias a su monumental obra. ¡Larga vida a sus teoremas y definiciones!