Sobre la meritocracia

Vi un video corto en Féisbuc donde dice que cuando se repudia la meritocracia a lo que atacan es a la idea de que si los ricos lo son es porque se lo merecen (por ponerlo en términos de riqueza, se pueden usar otros criterios de éxito personal).

El predicado "Toda persona que es rica tiene mérito", en términos de conjuntos, significa que el conjunto de las personas ricas es subconjunto de las personas que tienen méritos para ello. El predicado recíproco es "Toda persona que tiene mérito es rica" e indica que el conjunto de las personas con méritos es subconjunto de las personas ricas.

Para que se cumpla el primer predicado necesitamos quitar cualquier elemento del conjunto de las personas ricas que esté en el conjunto de las personas que no tienen méritos. Por un lado, ¿sobre de qué base comprobamos que alguien carece de méritos? Por otro, hay dos vías: confiscamos riqueza o hacemos que los ricos demuestren o desarrollen sus méritos. Otro problema es que, aún logrando la contención de conjuntos deseada, podrían existir personas con méritos que no son ricas.

Para que se cumpla el segundo predicado, debemos remover cualquier elemento del conjunto de personas con mérito que no sea rica. Las posibilidades son quitar o invalidar sus méritos o proporcionarles riqueza. Otro problema es que pueden existir personas ricas que no tienen méritos.

De lo que he escuchado la izquierda repudia vehementemente a los ricos sin mérito, por lo cual no podría apoyar que simplemente se satisfaga el segundo predicado. Por otra parte, creo que ciertos sectores de la izquierda están de acuerdo en que los impuestos sean progresivos (es decir, que sean más grandes para los ricos), lo cual generaría algo de mérito a través de su contribución, lo que apoya al primer predicado.

En cuanto a la derecha, entiendo que hay quien repudia la posibilidad de proporcionarle riqueza a quien no ha demostrado mérito (aunque pueda tenerlo). Por lo tanto, también rechazaría el segundo predicado. Además, desde el punto de vista liberal estarían de acuerdo en que no está bien rechazar el mérito auténtico para construir fortuna y, por el contrario, está bien fomentarlo. Es decir, también favorecerían que se cumpliera el primer predicado.

En conclusión, yo creo que sí debería haber consenso en que prevalezca el primer enunciado: que el mérito sea necesario para alcanzar la riqueza, aunque en una primera instancia no sea suficiente. De ser así, habría que evitar por un lado la falacia del consecuente: no se cumpliría siempre que si alguien tiene mérito, entonces es rico. También con la falacia del antecedente: sería falso en general que si alguien no es rico, entonces no tiene mérito.

Por otra parte, ¿sería deseable que los dos conjuntos coincidieran? Hay que considerar que no ser rico no es de suyo sinónimo de ser pobre. Pero, si así fuera, yo creo que lo único que haría tolerable la situación es que no se concibiera la ausencia de mérito, para que todos, en principio, fuesen ricos. Pero, si todos son ricos entonces ¿no ocurre en cierto modo que nadie lo es? ¿O es la clase de igualdad a la que aspira la izquierda, por ejemplo? Es decir: tan pronto como se alcanzara un cierto nivel de subsistencia digno, habrían mecanismos para impedir tanto que cualquiera lo rebase como que caiga por debajo de él.

Al día siguiente de la elección

Casi seis años después seguimos en el camino de la regresión democrática. Dicen que no va a contrapelo de lo que ocurre en el mundo. Puede ser, aunque eso apenas sirve como explicación y para nada como algún tipo de consuelo o guía de cómo actuar. A modo de ejemplo, sirva mirar que Donald Trump ha sido encontrado culpable de conspirar para defraudar a los EE. UU. y eso no parece debilitar en lo más mínimo su candidatura para regresar a la presidencia de su país. La gestión de Claudia Sheinbaum al frente de Ciudad de México cometió faltas muy graves por negligencia (por las que debía responder como mínimo en lo político, ya no digamos en lo penal) que costaron muchas vidas y tampoco hizo mella en la opinión de la población.

Por supuesto que hay quien se ampara en tener una amplia mayoría en las votaciones para decir que tiene la razón. Naturalmente que no es así. Pero, dado el tribalismo que impera en la población mexicana, no tiene sentido argumentar demasiado salvo solamente para eso: para dejar el testimonio de la evidencia y del raciocinio.

Ahora bien: ¿habrá el espacio mínimo para ello? Yo creo que no. Por eso es que tengo miedo, incluso por mi seguridad personal. Y no solamente por temor al poder del Estado, sino porque, por ejemplo, a la caída del muro de Berlín, hubo oficiales que patrullaban esa frontera que dicen que hubieran estado dispuestos a dispararles a aquellos que cruzaron; no porque se los ordenaran, sino porque genuinamente creían que esas personas eran traidoras.

Por el Día de Pi 2024

Se sabe que la serie armónica diverge, así que debe haber una suma parcial de la misma que excede a $\pi$. Según mis cuentas, esto ocurre por primera vez cuando $k=13$ pues \[ \sum_{k=1}^{13}\frac{1}{k} = 3{.}18\ldots \] pero $\sum_{k=1}^{12}\frac{1}{k} = 3{.}10\ldots$. Haciendo unos pocos cómputos más, pareciera ser que \[ \sum_{k=1}^{13}\frac{1}{k}+\sum_{k=14}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} = \pi, \] pero no ha de ser, porque la suma de la serie armónica alternante converge a $\ln(2)$ y la diferencia con esta es un número racional. ¿Cuál será el patrón?

Ante el inicio de campañas (y primera entrada del año)

Me gustaría decir que escribo esto para convencer, pero la verdad no creo que sea posible. Más bien es para ordenar un poco mis ideas.

Por un lado, me han hablado mucho de ceguera; en un caso muy específico, en relación al crecimiento del PIB de México en los últimos años. Por lo menos desde 1989 (aunque en realidad todavía desde más atrás, considerando los datos del Banco Mundial), la tendencia de México ha sido mayormente ascendente en este aspecto. Podría argumentarse que el crecimiento era más rápido hasta 1981, pero incluso en esas épocas posteriores, cuando hubo decrecimiento, el que se acumuló fue de algo así como un 5 % para el año en que nací, y como el 6 % en la tristemente célebre crisis de 1994-1995. Desde entonces no había habído una caída tan grande sino hasta la pandemia, que fue de más de 8.5 %, sin contar la que de 2019 que fue de alrededor de 0.2 %. Fue pequeña, pero caída al fin.

El punto aquí es que si quieren defender al actual gobierno, sostener que está bien que continuemos sobre la misma senda y quieren usar solamente los datos de un crecimiento muy alto (inmediatamente posteriores al descalabro pandémico), entonces el argumento no es válido, pues durante el sexenio 2012-2018 nunca hubo decrecimiento, por ejemplo. Salvo por el 16.88 % de los votos por el oficialismo en 2018, se entiende que a la mayoría no le pareció ese un buen argumento para la continuidad, si es que aceptáramos un ad populum.

Al manifestar esto se agregan otros argumentos. Pero eso extra tendría que estar desde el principio, porque los datos están a la vista; es decir, la ceguera no es por mi parte hasta ese punto. La cuestión es que no se puede ir agregando "contexto" hasta que salga lo que uno quiere; hay que elegir un buen argumento de inicio. Por eso lo razonable que hago es sujetarme lo más posible al punto en cuestión.

Sería una preocupación entendible el que pudieran decir "Igual tu rebates hasta que sale lo que quieres". No lo sé. Por ejemplo para mí era bastante razonable, en términos de la teoría elemental de la oferta y la demanda en economía, que si se incrementa el salario mínimo entonces van al alza tanto el desempleo como la inflación. Pero este gobierno ha realizado incrementos bastante fuertes (aunque no lo suficiente como para contrarrestar la inflación en lo que toca al poder adquisitivo) en el salario mínimo sin efectos grandes en el desempleo y la inflación (por lo menos hasta ahora). Y buscando evidencia para respaldar mi postura original o explicar cómo no ocurre lo que se espera, me encuentro con que no la hay. En consecuencia, debo reconocer que el actual gobierno hizo bien subiendo el salario mínimo.

• ¿Ha crecido entonces de manera inusitada la economía durante este sexenio? No, según los datos del Banco Mundial o del Inegi.
  • https://data.worldbank.org/indicator/NY.GDP.MKTP.KD?locations=MX
• ¿Ha disminuido sustancialmente la deuda externa de México? No, según datos del mismo gobierno, pues la deuda en el sexenio anterior, por ejemplo, en promedio fue del 7.6 % (con desviación estándar de 1.2 %), mientras que la de cuatro años del actual fue de 8.2 % (con desviación estándar de 0.9 %). Eso sin mencionar que el actual gobierno sí ha contratado deuda.
  • https://www.finanzaspublicas.hacienda.gob.mx/work/models/Finanzas_Publicas/docs/congreso/infotrim/2023/iiit/01inf/itindp_202303.pdf
  • https://apnews.com/article/ap-verifica-712161598210
• ¿Hay más inversión extranjera? Tampoco. Al menos, no ha alcanzado el pico que ocurrió en 2013, según datos de la Conferencia de las Naciones Unidas sobre Comercio y Desarrollo. Lo más que podría decirse es que se ha mantenido estable.
  • https://unctadstat.unctad.org/CountryProfile/GeneralProfile/en-GB/484/index.html
• ¿Está mejor la salud? No, hasta el presidente actual ha reconocido el desabasto.
  • https://www.gob.mx/presidencia/articulos/version-estenografica-conferencia-de-prensa-del-presidente-andres-manuel-lopez-obrador-del-5-de-enero-de-2024
• ¿Se acabó con la corrupción? No, hasta el presidente reconoció que hubo un desfalco en Segalmex. Eso sin mencionar el caso ya juzgado de la retención de fracciones de salarios por parte de Delfina Gómez, por ejemplo.
  • https://www.gob.mx/presidencia/articulos/version-estenografica-conferencia-de-prensa-del-presidente-andres-manuel-lopez-obrador-del-27-de-julio-de-2022
  • https://www.gob.mx/presidencia/articulos/version-estenografica-conferencia-de-prensa-del-presidente-andres-manuel-lopez-obrador-del-29-de-junio-de-2023
  • https://www.te.gob.mx/front3/bulletins/detail/4399/0
• ¿Estamos mejor en la prueba PISA? No, empeoró sustancialmente desde 2018 a 2022. ¿Fue culpa de la pandemía? Sí, en buena parte quizá, porque en promedio los puntajes cayeron 15 puntos en matemática y 10 en lectura (en ciencias en promedio se quedó igual) para la OECD, mientras que en México las caídas fueron de 14, 5 y 9, respectivamente. Sólo en lectura se advierte que no fue tan grave la caída, por lo demás estuvo igual o peor que en el promedio de los países más desarrollados.
  • https://www.oecd.org/publication/pisa-2022-results/
  • https://imco.org.mx/pisa-2022-dos-de-cada-tres-estudiantes-en-mexico-no-alcanzan-el-nivel-basico-de-aprendizajes-en-matematicas/
• ¿Se redujo la tasa de defunciones fetales? No. De acuerdo con el nuevo esquema de captación de datos, subió de 18.9 % a 19.5 % entre 2019 y 2022. Incluso con el esquema anterior de 2022 a 2021 se detuvo la caída, quedándose en 14.4 % entre 2021 y 2022. Se sabe que este índice es un buen resumen del desarrollo de un país (contra el HDI, por decir), pues es bastante claro que algo no está bien si no puede salvar a cada vez más niños de morir apenas han nacido.
  • https://www.inegi.org.mx/contenidos/saladeprensa/boletines/2023/EDF/EDF2022.pdf
  • https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0022347697800704
• ¿Cayó la desigualdad? Sí, por lo menos de 2020 a 2018 bajó de 46.7 a 45.4, medido según el índice Gini. Sin embargo, también había caído de 2014 a 2018 de 48.7 a 46.7. Veremos que pasa para 2024, pero tampoco nadie usó esta tendencia descendente para decir que era bueno que continuara el partido oficialista del sexenio 2012-2018.
• https://data.worldbank.org/indicator/SI.POV.GINI?locations=MX
• ¿Cayó la pobreza? Sí, en general, continuando con una tendencia que ya tenía desde 2016 en cuanto a la pobreza moderada y que se interrumpió con la pandemia. Sin embargo, en cuanto a pobreza extrema subió de 7.0 % en 2018 a 7.1 % en 2022. Y eso sin considerar los demás ejes, como rezago educativo o servicios de salud.
  • https://www.coneval.org.mx/Medicion/Paginas/PobrezaInicio.aspx
• ¿Ha habido menos homicidios? Sí, hubo una reducción del 6.7 % de 2018 a 2021. Debe contrastarse eso con el compromiso de reducirlos en un 50 %, como había prometido el actual presidente. Al mismo paso, tardará unas dos décadas en reducirse a la mitad, que es más o menos donde estaba a principios de siglo, pero ni siquiera eso es lo más bajo que ha estado; el mínimo desde entonces ocurrió en 2007.
  • https://www.youtube.com/watch?v=3GmOSgQsk1I
  • https://data.worldbank.org/indicator/VC.IHR.PSRC.P5?locations=MX
• ¿El desempleó bajó? Sí, pero continuando con una tendencia que había iniciado desde el sexenio 2012-2018, y aún no alcanza el mínimo de 1999-2001.
  • https://data.worldbank.org/indicator/SL.UEM.TOTL.NE.ZS?locations=MX

En resumen, podríamos disculpar en parte al gobierno actual por causa de la pandemia, pero fuera de ello no ha sido un gobierno extraordinario en un sentido positivo y en cambio sí ha agravado situaciones que de suyo ya eran preocupantes, o ha creado algunos problemas nuevos. Por ello, yo creo que el mejor argumento para pedir que haya un sexenio de continuismo es que simplemente nos cae mejor esa candidata que los otros.

El llamado cuarto piso

En mi opinión hacer arte es elegir. Elegir con cierta conciencia, desde luego. Pero, vaya, primero es elegir.

En el caso del contrapunto, si tenemos a nuestra disposición $2k$ tonos igualmente espaciados en la octava, entonces hemos de elegir $k$ de ellos para que sean consonancias ($K$) y el resto disonancias ($D$). Bueno, al menos eso sucedió por allá por el siglo XIV en el Renacimiento cuando $k = 6$, y quedaron $K=\{0,3,4,7,8,9\}$ y $D=\{1,2,5,6,10,11\}$.

Guerino Mazzola descubrió que esta partición tiene la propiedad de que existe un único morfismo afín $p(x) = 5x+2$ que trasmuta consonancias en disonancias y de regreso. Considerando a toda la órbita de una partición $(K/D)$ bajo los morfismos afines $vx+u$ con $v\in \mathbb{Z}/2k\mathbb{Z}^{\times}$ y $u\in \mathbb{Z}/2k\mathbb{Z}$ como formas esencialmente equivalentes de la misma, se ve que hay seis clases de equivalencia: los famosos seis mundos de contrapunto.

Pues cuando $k=9$ (o sea, en una escala equitemperada de $18$ tonos) hay exactamente $40$ mundos de contrapunto. O sea que soy dicotómico de contrapunto por novena vez en mi vida. La vez anterior, cuando tenía $15$, ni me imaginaba que llegaría a doctorarme en matemática (dice el doctor Emilio Lluis Puebla que fui el primero en la Facultad de Ciencias con una tesis sobre musicología matemática) ni que aportaría una sucesión a la OEIS con el número de mundos de contrapunto. ¿Llegaré a ser dicotómico de contrapunto por décima ocasión? Se ve difícil pero no imposible.

Una sobre la amistad

No es un secreto que tengo esta bitácora de hace tiempo, y que igual que con mi cuenta de Féisbuc (por ejemplo) la abrí cuando ya iba un poco de salida la moda de publicar en ellas. De vez en cuando subo cosas de matemática... y José, a quien yo calificaría como mi mejor amigo, me ha hecho observaciones sobre errores, imprecisiones o incompletitudes en más de una ocasión. Recuerdo que muy al principio me molestaba, con una impresión como de que «¿Y en qué le afectan mis publicaciones, o por qué está tan al pendiente de mis errores? ¡Si es mi amigo!». Eso transpiró en mis respuestas, y José me señaló que en realidad era hacer honor a los principios de Donald Knuth, pues los errores repugnan y hay que corregirlos; que no era algo «personal» ¡ni mucho menos!

Y eso fue, yo diría, un obsequio doble. Por un lado entendí que mi amigo, sin duda, simplemente me hacía notar algo... Debería concluir lo hacía justo por el aprecio, porque igual a mí tampoco me gustaría que a mi amigo le restaran seriedad o fuera objeto de burlas por no fijarse o dejar cosas incompletas, pudiendo hacer algo. Pero entendí algo más: ¡hasta cierto punto valdría lo mismo si fuera mi peor enemigo! Si he dicho que $2^{8} - 1$ es un número de Fermat y me dice que no es así, entonces tiene razón en cuanto a que me he equivocado y que así lo puedo corregir, no importa finalmente quién o por qué me lo haya dicho.

Antes yo había tomado algo en serio eso de que «los enunciados se toman de quien vienen». ¡No! Se evalúan en términos de su veracidad o relevancia en relación a lo que nos dicen. Y, si uno está mal, entonces lo reconoce y corrige.

Y es otra (entre muchas) de las razones por las que considero a José mi mejor amigo. Sé que puedo confiar en él en que con frialdad y rigor me señalará errores matemáticos (y también los no matemáticos), y eso no lo hace cualquiera con la paciencia que me tiene. Como dijo J. K. Rowling: «It takes a great deal of bravery to stand up to our enemies, but just as much to stand up to our friends», y ahora lo entiendo.

Gracias por los años de amistad, José. Y que sean muchos, ¡albricias!

Unas palabras en memoria del doctor Modesto Seara Vázquez

En la reciente ceremonia en honor al doctor Seara, hubo quien dijo que al doctor no le gustaban los halagos ni los homenajes, pero que se imponía ahí la voluntad de la mayoría y que pues por eso se hizo.

A mí no me preguntaron, claro, porque si esa era la opinión del doctor Seara (no lo escuché alguna vez enunciarla, pero su vida era muy congruente con ello) entonces yo estaría más que de acuerdo. No hay evidencia de que su persona persista en parte alguna y, precisamente por eso, es vano dirigirle un encomio personal; ya no es tiempo. Pero su obra, su legado, eso sin duda todavía está frente a nosotros, y por eso me gustó mucho el discurso de alguien que elogió tanto sus ideas como las rutas que trazó. Y, vaya, los vivos podemos hacer lo que nos plazca dentro de los confines de la realidad, y en particular necesitamos sentir algo de consuelo y aliento ante la muerte de alguien tan querido y en cuya guía y fortaleza se confió durante tanto tiempo... tanto, que se antojaba eterna. Pero no lo fue, no podía serlo.

Tengo la impresión de que a más de una persona de las que me ven y me prejuzgan no saben o se les olvida que yo estudié en la Universidad Tecnológica de la Mixteca, y que viví en carne propia la disciplina que eso implica. Quizá tampoco saben que fui parte del H. Consejo Académico de mi alma mater. Y fue ahí donde pude intercambiar las primeras palabras con el doctor Seara. El motivo fue que, tanto como me fue posible, llevé algunas preocupaciones de los estudiantes ante tal organismo y en particular cuestioné la utilidad de cierto programa de la universidad. Y con mucha autoridad lo defendió el doctor Seara. Algún tiempo después traté de confirmar si había evidencia de que tuviese razón el doctor, pero no la había y más bien la que sí había iba en dirección contraria. Cuando redacté un informe al respecto, y se lo presenté a otro doctor de la vieja guardia y que lo conocía bien, recuerdo que me dijo: "Esto no le va a causar mucha gracia". Quién sabe. Me han dicho otras personas que lo conocen que sí era susceptible a aceptar la evidencia.

Tuve la fortuna de platicar con él en algunas otras ocasiones; y digo fortuna porque coincido con otros en que era una persona de aguda inteligencia y amplísimo conocimiento. La última vez que intercambié algunas palabras con él me sorprendió gratamente que estuviese familiarizado con la obra de Antonio de Cabezón, y me pareció que con ello comprendió la importancia de la musicología matemática; recuerdo que se sintió contento de ver mi libro sobre contrapunto y del cual le obsequié un ejemplar, y me dijo un poco en serio, un poco en broma que "¿Para cuándo la medalla Fields?".

Me siento algo en deuda con el doctor porque ya es seguro que no obtendré la medalla Fields, pero también me viene a la mente un fragmento de uno de sus atinadísimos discursos: "Yo no creo que entre los profesores, los académicos que estamos en el sistema, alguno sea un premio Nobel. Pero trabajan más que los premios Nobel". Y eso es algo que tenía el doctor Seara: que sabía arengar. Por eso me gustaba ir a sus discursos de inauguración o de clausura de cursos: porque siempre decía algo que levantaba el espíritu e impulsaba a ir hacia adelante, para trabajar más que un premio Nobel.

La última comunicación que tuve con el doctor fue por correo electrónico, que él mismo redactó. Debo confesar que me provocó sentimientos encontrados, pues fue una respuesta a algo que venía hablando de manera indirecta con la rectoría. Parece que al final resultó en algo que salió lo suficientemente bien para su gusto, y ojalá que para el de ustedes también: fue un video de divulgación matemática.

En fin, que hoy es lunes y hay que laborar. Me gustan los comienzos de semana porque son una oportunidad de hacer las cosas mejor que la anterior, lo cual creo está en sintonía con el espíritu del doctor. Yo recuerdo que un día le dije a un compañero de la carrera, cuando era estudiante, que yo vislumbraba al Instituto de Física y Matemáticas de la UTM como uno de los mejores del mundo, al nivel del Courant o el IHÉS o incluso mayor, y me miró con incredulidad. Igual no llegamos a eso mientras yo esté vivo, pero hacia allá hay que dirigirnos, y por mí no va a quedar. En mi opinión es la forma más justa de honrar la memoria del doctor Modesto Seara Vázquez.

Hacerle al moscardón

Una vecina que tenía diario ponía la misma canción de reguetón. Infortunadamente no la ponía lo suficientemente alto como para que calificara como contaminación auditiva y así pudiera tener un motivo para pedirle que dejara de hacerlo. Ante un comportamiento tan repetitivo, un día me dió curiosidad de averiguar cuál canción era y, pues, qué tendría de especial. Resultó ser "Madrid", interpretada por Juan Luis Londoño Arias. Fuera de su letra particularmente soez y pérfida, no la encontré notable en algún otro sentido. Pero ahora tengo un dato de al menos una canción de ese individuo. Motu proprio jamás habría hecho mucho por adquirir esa información.

Tal es mi propósito al hablar 20 segundos en la radio sobre matemática, ciencia o tecnología. Soy un pésimo locutor y mi redacción es adrede escueta y directa (sin mencionar que de todos modos no tengo mucho margen en tan exiguo tiempo). Pero yo pienso que habrá quien terminé por sucumbir a la curiosidad de saber por qué hago eso y qué, de lo que logra entender, le sirve para sacar una punta de madeja. Y tiene que ser así, con cuña, porque casi nadie por voluntad propia investigará. Y, si no investiga, como yo al principio con ese reguetón, entonces terminará por acostumbrarse y encontrarlo un poco menos enojoso.

Por el Día de Pi 2023

Preparando mi plática sobre $\pi$ escribía sobre cómo se obtiene «experimentalmente», y pasó que las más de las veces al dividir la circunferencia sobre el diámetro de un círculo, como una tapa o una taza, no sale cercano al consabido $3{.}14$, sino mayor.

Considerando que \[ \pi \approx \frac{C}{D} \] entonces, el error en la estimación de $\pi$ es \[ -\frac{C}{D^{2}}dD = -\pi \frac{dD}{D}. \]

Suponiendo que falla por defecto la medición del diámetro por un milímetro, para un círculo de diámetro $7$ cm tendrías un error por exceso en la estimación de $\pi$ de más o menos $\pi(0{.}1)/7 > 0{.}042$ cm. Y, en efecto, me salía algo así como $3{.}18$.

La primera de 2023

Un divisor $d$ de $n$ es unitario si $\mathrm{gcd}(d,n/d)=1.$ La sucesión $2, 4, 8, 8, 12, 16, 16, 16, 20, \ldots$ es la suma de los divisores unitarios pares de $2n$, y resulta que cuenta el número de cuasipolaridades que están asociadas a dichos divisores. Esto lo encontré en julio de 2022. Busqué las sucesión en la OEIS y no estaba en ese momento, y me emocionaba contribuir al fin personalmente con una sucesión. Pero me la ganaron el 28 de enero de 2023. En fin.

Recuerdo que algo parecido me pasó con las sucesiones de árboles etiquetados según su número de hojas, aunque ahí sí me antecedieron por 2 o 3 años en la formulita (aunque no sé cómo son equivalentes de manera combinatoria), y no me acuerdo por qué no la encontré en la OEIS sino hasta que empecé a escribir el artículo.

La última del 2022

Estando a punto de despedir el año no tengo un recuento en particular. Salieron dos artículos; uno cierra por fin el ciclo de mi tesis doctoral, lo que implica que el sendero que sigo es cada vez más personal y, espero, más fecundo. Además, no pude ir a presentarlo en el MCM 2022 de Atlanta, lo cual me contraria mucho.

Tampoco pude estrenar presencialmente la obra que escribió el maestro Giovanni Albini para mí, lo que es una pena pues es magnífica la fuga; y también fue un honor muy grande tocar obra de Jack Douthett como un homenaje póstumo.

En eso, y otros aspectos, ha sido un año de claroscuros. En especial por secuelas de la pandemia. Ah, porque me tocó asimismo pescar la covid-19 (leve y con una recuperación completa, según parece). Esperemos que ya se disipe lo peor; en lo personal al menos, porque al país se lo está cargando el payaso y son numerosos los que lo justifican o minimizan los daños.

En fin. Veremos.

El noveno

Apenas tengo tiempo de hablar de que se publicó el noveno artículo en la cuenta de esta bitácora, que es «Musicological, computational, and conceptual aspects of first-species counterpoint theory», en coautoría con J. S. Arias-Valero y E. Lluis-Puebla.

Subsana una gran deficiencia en la literatura debida a que a Mazzola y Muzzulini no les publicaron su artículo sobre el estilo estricto restringido contra el modelo por simetrías. Aquí se confirma que las simetrías obtenidas con números duales son óptimas, aunque se refina lo que significa una transición «buena» o «mala». Si se hace un refinamiento distinto y se afina el modelo entonces se puede obtener algo marginalmente mejor.

Sin embargo, con la última perspectiva se pierde el contacto con la noción de tangente en geometría algebraica; sin duda hay que revisar esta conexión, pues es justo lo que motivó a Arias-Valero a someter a examen todo el modelo.

En MathSciNet® ya tengo diez entradas, por cierto. Como sea ¡venga el décimo! El que, por cierto, está en arbitraje.

Semiprimo por decimoquinta ocasión

Hoy llego a los $39$. Semiprimo por decimoquinta ocasión. El Number Gossip de Khovanova no me proporciona algo interesante respecto a este número salvo que tiene persistencia multiplicativa $3$ y es el número más pequeño con tal propiedad. Esto quiere decir que, si multiplicamos los guarismos de $39$, entonces obtenemos $27$, y si repetimos esto con $27$, obtenemos $14$; una vez más: $4$, y ya se termina el ciclo; no hay un natural más pequeño que $39$ que en tres iteraciones se reduzca a un dígito.

Acudí a la OEIS en busca de más emoción y me encontré que la suma de los divisores del $18$ es $39$. Quien me conoce sabe que los divisores más cercanos a mi corazón son los unitarios, pero al buscar en la sucesión de sumas de divisores unitarios ¡no aparecía el $39$! Según yo nunca aparece, porque si $\sigma_{u}(n)$ representa a la función que suma los divisores unitarios de $n$, entonces \[ \sigma_{u}(n) = \prod_{k=1}^{\omega(n)}(p^{\alpha_{k}}+1) \] donde \[ n = \prod_{k=1}^{\omega(n)} p^{\alpha_{k}} \] es la factorización en números primos de $n$, y para que esto produzca al $39 = 3\times 13$ sólo puede haber dos factores en el producto. Uno sí podría ser $3$ tomando $p_{1} = 2$. Pero si $p_{2}^{\alpha_{2}}+1=13$ entonces $p_{2}^{\alpha_{2}} = 12$, lo que no puede ser porque $12 = 2^{2}3$.

Por cierto: ¿les había contado que en junio de este año salió mi octavo artículo en la cuenta de esta bitácora? A Projection-Oriented Mathematical Model for Second Species Counterpoint fue escrito en coautoría con el doctor Guerino Mazzola, durante mi estancia en Minneápolis de 2018 patrocinada por la Unión Matemática Internacional. Tiene un valor sentimental adicional para mí porque es lo último de mi tesis doctoral que por fin es publicado después de arbitraje. ¡Vamos por el noveno! Que de hecho ya envié y tiene que ver con divisores unitarios, a ver cuándo rebota.

Reseña de «Matemáticas de colores»

«Matemáticas de colores», por Amanda Montejano. La ciencia para todos, 255, Fondo de Cultura Económica, México, 2022, 191 pp. ISBN-13: 978-607-16-7278-0.

Este libro tiene un estilo que me parece muy influido por «Discrete Mathematics: Elementary and Beyond» de Lóvasz, Pelikán y Vesztergombi, donde por medio de cuentos se trata de introducir al lector a algún concepto de matemática. La llamada «matemática discreta», además, se presta bien a este tratamiento porque los acertijos que han dado origen a sus temas de estudio en gran medida justamente tienen algún relato asociado; seguramente los puentes de Köningsberg y el nacimiento de la teoría de grafos es un caso paradigmático muy conocido y para nada es sorpresa que aparece mencionado en esta obra.

Sin embargo, como libro de divulgación me parece que invierte demasiado esfuerzo la autora en definir qué es una función, cuando es inyectiva, qué es un teorema, qué es una cota, etcétera; es decir, tiene mucho de libro de texto. En contraparte, también me parece difícil imaginar cómo exponer el teorema de Schur o el de van der Waerden sin una excursión técnica adecuada. En mi humilde opinión, en el balance no consigue ser un buen libro de texto ni tampoco una divulgación solvente. Por ejemplo: la historia de la condesa para ilustrar el problema de hallar el número cromático de un grafo me parece innecesariamente enredada, y en realidad es el pretexto para construir un grafo algo grande, para el que finalmente no es posible dar un argumento elemental que explique por qué su número cromático no es 3.

Un aspecto positivo es que se dan algunas reseñas biográficas de los matemáticos que aparecen, como Erdös, Schur o van der Waerden. No me parece muy atinado hacer eco de ciertas biografías clásicas de Erdös, por ejemplo, que lo llaman genio precoz, siendo que tenía padres muy dedicados; especialmente su madre, que justamente le construyó esa forma de ser en la que no podía siquiera untar mantequilla al pan durante la hora del té. Se elogia su estilo de escritura, pero en lo personal he leído algunos de los artículos de Erdös y no son particularmente claros, sin mencionar que muchos son progresiones que van afinando y extendiendo resultados anteriores, lo que hace que a veces les falte bastante contexto y que por cierto mucho contribuyeron a facilitar el volumen de su producción. No por nada el mismo Erdös decía que los resultados se pesan, no se cuentan. En descargo de Erdös, puedo decir que él mismo estaba muy consciente de sus muchas limitaciones humanas y matemáticas, y era mayormente ajeno a los alardes y despliegues de los que se han encargado otros de construir alrededor de su persona.

Vale la pena insertar aquí mi pregunta del por qué no se mencionó el pasado delicado de van der Waerden como profesor en la Alemania nazi. El matemático judío Alexander Soifer es muy crítico de van der Waerden en este periodo y ha desatado una controversia nada pequeña al respecto, y si mencionar las tribulaciones de Schur durante la época vale la pena, sin duda esto también. Sin embargo, van der Waerden es mi abuelo académico y por eso había profundizado en algo en su biografía; es por su negativa a regresar a Países Bajos o de emigrar a Estados Unidos que lo tildan de mala persona, y hacen extensivo esto a mi director de tesis doctoral, Guerino Mazzola, que ya tiene poco o nada que ver... Sin duda es complicado abordar estos temas.

Finalmente, mi parte favorita es donde describe cómo disfrutan los matemáticos el proceso de plantear conjeturas y la ida y vuelta entre buscar una demostración y un contraejemplo. También la parte de colorear el mapa de la República Mexicana se siente muy natural y culmina muy bien con el argumento de por qué no es tricoloreable. Por esto, en general, yo pienso que una «automatografía» más explícita, como la define Halmos, habría sido un libro de divulgación más efectivo. Con todo, si se tiene la paciencia para ir siguiendo la clase extracurricular que plantea la autora, entonces se obtiene como recompensa un gran disfrute de la teoría de grafos, la teoría de Ramsey y la combinatoria aditiva; yo aprendí algunas cosas nuevas, como el teorema de Schur y detalles sobre la historia del problema de los cuatro colores.

Por el Día de Pi 2022

No me resigno a abandonar mi bitácora, sin mencionar que sí tengo qué decir de los meses anteriores pero no el tiempo para verterlo.

Aprovecharé aquí para quejarme de que la Unesco no haya preservado el nombre de Día de Pi y haya elegido el pomposo «Día Internacional de la Matemática». Se supone que es para festejar la alegría de la reina de las ciencias y promover las vocaciones matemáticas. Por eso, debe primar la divulgación y especialmente con un toque menos serio que de costumbre. Pero con esta jugada incluso de los comentarios de los locutores de la radio me quedó claro que les parece una ceremonia académica más.

Y también en términos del objetivo original del Día de Pi me molesta que me hayan invitado a un evento alusivo para dar una plática de divulgación, y que resulte que es de toda la semana y que además el resto hable de temas de investigación.

En fin, la verdad ya no es novedad para mí que menosprecien mi área. La única buena noticia es que el público objetivo (porque para los académicos de buena fe es natural que sientan algo de curiosidad y deseo de polemizar) no reaccionó y, de haber hablado de algo más profundo, habría tenido todavía menos efecto.

La última del 2021

Ha continuado mi descuido de mi bitácora; lo cual, por cierto, he querido evitar, pero ha sido difícil. Parece que en general las bitácoras van en declive: la AMS ya les dijo adiós (quizá para bien, debido a algunos contenidos que en lo personal encuentro cuestionables). Sin embargo, a mí me gustan mucho porque la idea es explayarse, y tampoco hay fijón si son apenas un par de párrafos explicatorios.

Entre lo positivo de este año es que pude publicar cuatro videos de divulgación de la matemática, con variado éxito en cuanto a su llegada a la audiencia. Todos han sido por solicitud de la UTM, pero solamente uno fue admitido oficialmente; es el más personal de todos, pero también el que más desencuentros me trajo con muchas personas. Los otros tres son sobre mi especialidad, la musicología matemática, y el último de ellos me causa particular satisfacción porque lo logré animar con Manim, y eso hace que se vea bastante bien. 

Entre lo negativo cuento el que algunas personas que tengo en mucha estima, familiares bastante cercanos en particular, han fallecido. La pérdida, el encierro, la amenaza que representa el SARS-CoV-2, han hecho mucha mella en la estabilidad de mi entorno. No tenemos garantías sobre el curso que tomará la pandemia: la variante ómicron se cierne amenazante pese a su aparente mansedumbre, pues está más que compensada con su enorme contagiosidad, lo que refuerza su naturaleza de asesino furtivo.

Tengo ánimo para este año que inicia, pero por muchas razones me requerirá lo mejor de mis capacidades para que sea mejor que el anterior. Ojalá.

El séptimo artículo

He perdido un poco la cuenta sobre mis artículos; por ejemplo, el que salió en las memorias del MCM 2019 no lo conté aquí. Pero bueno, «On First-Species Counterpoint Theory», escrito en coautoría con Juan Sebastián Arias Valero y Emilio Lluis Puebla (lo que me da mucho gusto y orgullo) es el séptimo que reseño en mi bitácora.

Mucho tiene de crítica a la teoría original del contrapunto de la primera especie de Mazzola, en el sentido de que trata de tomar sentido de los cómputos combinatorios, extiende al caso no conmutativo y plantea otros anillos para modelar a los intervalos de contrapunto.

El octavo artículo está en revisión todavía, y espero terminar el código del noveno en estos días.

Por el día de mi cumpleaños

En esta ocasión, en lugar de hablar del 38 (aunque me sorprendí al enterarme que, para la noción de hexágono mágico, solamente hay dos posibilidades: uno con solamente una celda y otro con 19; la constante de este último es justamente 38), quiero escribir sobre este asunto de la utilidad de lo que uno estudia.

Todo esto viene a colación de que se han estado revisando planes de estudio para matemática aplicada. Mi opinión es que la carrera es justamente eso y en ese orden: primero es matemática, y después es aplicada. Se espera que los alumnos tengan una formación matemática razonable (quisiera decir sólida, pero de repente pienso que eso es algo a lo que se aspira pero nunca se puede conseguir bajo ningún criterio sensato) para aplicar ese conocimiento, en principio no en la matemática misma precisamente porque no es pura. Pero aplicaciones hay de todo tipo, y percibo que muchos colegas del trabajo entienden por aplicación exclusivamente la modelación matemática; ya sea con ecuaciones de alguna naturaleza o con estadística.

Pero cada quien tiene sus inclinaciones. A regañadientes pero he de reconocer que mi área, la musicología matemática, consiste en aplicar la matemática para entender la música. Al respecto, una lista no muy exhaustiva pero creo que muy representativa de lo que más me ha servido es:

• La teoría de números, desde la elemental hasta la analítica.
• El álgebra (especialmente acciones de grupos).
• La combinatoria, particularmente la enumerativa y la aditiva.
• La teoría de grafos.
• La teoría de categorías.
• La topología algebraica.
• La estadística.

¿Qué tanto aprendí de esto durante la licenciatura? Bastante poco. Habría que considerar que la topología algebraica, por ejemplo, en principio no debería haber sido parte de los cursos regulares, si no fuera por el profesor de la materia que lo consideró importante. Análogamente, en estadística aprendí muchas cosas pero prácticamente nunca cómo aplicarla; tal vez por ello todavía tengo algunos huecos serios en mi preparación en el cómo se hace esto último. Pero lo anterior no es en sí una queja. Como señala Hardy, esa educación me dió, justa y precisamente, los medios para asimilar y asir los conocimientos indispensables para hacer musicología matemática.

Otra cosa que llama mi atención es que varias de las personas que dicen que no debe ser uno un simple empleado ni perseguir el dinero son las primeras en defender que lo importante es saber lo indispensable para conseguir un empleo bien remunerado (!). Y no es que vaya yo a refutar el aserto de que es crucial trabajar con un ingreso por lo menos digno; cuando mucho, aclararía que eso normalmente requiere un proceso gradual. Pero por lo mismo no deja de provocarme algo de náusea que, al defender el valor de una educación redonda en el ámbito de la matemática con el objetivo de tener una mente abierta y más cooperativa, esas mismas personas se hacen oídos sordos.

Quiero cerrar insistiendo: entre más sabe uno, potencialmente más es lo que puede uno aplicar. Pero saber no te da la pericia para aplicar, tristemente. Eso viene con la experiencia, y que no se puede enseñar en la universidad en tanto universidad. En lo personal, es cierto que mi tirada siempre fue la academia; mi objetivo era convertirme en un matemático. Pero eso no ha impedido que haya podido aplicar mis conocimientos en unas que otras consultorías, y en ellas he tenido que aprender teoría de la medida, desigualdades diferenciales e ingeniería estructural o aplicar con tino la teoría de grafos, los números complejos, los métodos numéricos o la programación dinámica. Hay muchas maneras en que podría haber fracasado en ello, pero mi educación universitaria me ayudó a que no fuera así.

Algunos de tantos via crucis

- Mete tus papeles al programa, te van a dar dinero...
- No necesito dinero, necesito tiempo para investigar los problemas que me interesan.
- La universidad está muy interesada en que participes en el programa. Sería muy favorecedor para alguien que busca su definitividad.
- ¿Puedo pedir libros?
- ¡Sí, claro!

Mete los papeles. Trámite engorroso de semanas. Calcula con programación dinámica la bibliografía de costo óptimo para el presupuesto.

- Doctor, ¿puede venir un momento? Hay un problema con su solicitud.
- ¿No me puede decir de que se trata de una vez?
- No. Venga usted.

Va.

- Esdeque fíjese que no puede pedir tantos libros de un solo proveedor, sinosí.
- Pero pues prácticamente es el único que los surte.
- Pues a ver cómo le hace, porque si no no liberan el presupuesto.

Recalcula con otros proveedores, que esencialmente se surten también de la misma fuente.

- Doctor, ¿puede venir un momento? Hay un problema con su solicitud.
- ¿No me puede decir de que se trata de una vez?
- No. Venga usted.

Va.

- Esdeque dice un proveedor que no consigue sus libros y que se va a tardar mucho o que si puede cambiarlos por otros, sinosí.
- ¡Me costó mucho trabajo recalcular el pedido! ¡Y escogí cuidadosamente esos títulos!
- No me alce la voz.
- Disculpe. Pues esperaré si no hay inconveniente.
- Claro que no doctor. Ya le digo al proveedor.

Espera. Llega un ejemplar por duplicado.

- Doctor, ¿por qué tiene dos ejemplares de este libro?
- Así lo mandó el proveedor.
- Qué interesante. Vamos a revisar toda su solicitud.

La revisan, verifican que todo está completo salvo porque ese libro viene duplicado.

- ¿Me puedo quedar con el segundo ejemplar?
- Sí, nada más sería un pequeño trámite.

Largo trámite. Conserva por fin el segundo ejemplar. No vuelve a entrar al programa, y como ingresa definitivo a la institución ya no le insisten. Hasta que cambia de institución...

- Para reactivar su cuenta necesita solicitarlo por escrito al representante institucional del programa.
- Entiendo. ¿Puedo copiar este ejemplo que me trajo?
- No, es información personal y confidencial. Pero es simple, mire: debe llevar A, B, C, ..., Z.
- Ahhh... A ver, me dijo a, b, c...
- No. Dije A, B, C, ....
- Ya. Entiendo. Lo hago y se lo mando.

Lo manda con la secretaria del instituto. Regresan el documento.

- Esdeque dice que debe poner A1, B2, ... sinosí.
- Voy a verla.
- Si quiere le marco...
- No, yo voy.

Va.

- ¿Me podría explicar con calma qué es lo que le falta a mi documento?
- A ver, dice A, B, C... No, doctor, ya está correcto.

Pasan un par de días.

- Doctor, lo intentamos dar de alta aquí en la institución pero dice que está todavía dado de alta en la anterior.

Escribe un correo electrónico a la anterior.

«Doctor, ¡qué gusto! Llevo unos meses en el cargo pero hasta donde puedo ver en el sistema usted ya no está con la adscripción de aquí desde hace años».

Pasan un par de días.

- Doctor, quién sabe que pasó pero ya se pudo dar de alta. Su usuario es X y su contraseña es x.

Ingresa al sistema desde Linux tecleando X como usuario y x como contraseña. No entra.

- Disculpe, no me da acceso.
- No puede ser. Ah, esdeque debe ser desde Güindos con Chrome, sinosí.

Ingresa al sistema desde Güindos con Chrome tecleando X como usuario y x como contraseña. No entra.

- ¡No puede ser! ¿Ya borró las cuquis?

Ingresa al sistema desde Güindos con Chrome, previa eliminación de cuquis, tecleando X como usuario y x como contraseña. No entra.

- Mándeme una captura de pantalla, por favor.

La manda.

- Está muy raro, doctor. Vaya con mi secretaria para que vea que sucede.

Va.

- Mire doctor, en la mañana reinicié otra vez su contraseña, y aquí mismo vea usted que le reinicio su contraseña otra vez.

Se ve como le reinicia la contraseña a otro profesor.

- Mire, ingrese desde aquí para que vea que ya funciona.

Ingresa al sistema desde Güindos XP con Explorer, tecleando X como usuario y x como contraseña. Por fin entra. En su oficina el doctor ingresa al sistema desde Linux tecleando X como usuario y x como contraseña. Entra perfectamente: evidencia de que la contraseña no había sido reiniciada correctamente desde antes. Ingresa toda su información de los últimos tres años al sistema. Se hace ítem por ítem, pulsando "Agregar", alimentando los datos, "Guardar", "Regresar" y se repite.

- Deben elegir un apoyo del programa entre estas tres opciones disponibles.

Hay cuatro disponibles opciones en el sistema. En todas dice que el doctor no cumple los requisitos.

- Qué raro, doctor. Deje pregunto y le digo lo más pronto posible.

Pasan 3 días, cuando ya sólo faltan 10 para la fecha límite.

- Esdeque debe poner los documentos que avalen todo pero de tres años a la fecha, sinosí.

Corrige todo durante varias horas. El sistema acepta la solicitud en solamente una opción.

«Marque por teléfono dentro de los próximos 4 días hábiles con mi secretaria para sacar cita de entrega de documentos. Todo es por triplicado».

No lo sabe todavía, pero al doctor lo agendan el último día disponible. El servicio de copias de la universidad no está proporcionando el servicio.

- En este no coincide el ISBN...
El sistema no especifica si del libro o del capítulo.
- Este no trae ISSN...
Algunas revistas no lo ponen en cada página, pero ésta es de libre acceso.
- Sus materias... Ajá. Por esta asignación dice que le sobran 2 y le falta una.
Cuando lo revisa más tarde el doctor se ve que no es así.
- Su gestión académica... Falta uno de un seminario.
No es así, falta otro documento diferente, pero hasta que el doctor ve cómo lo coteja entiende la estructura de la lista de verificación.
- ¿Y estas revisiones del plan de estudios?
- La convocatoria dice que es lo relativo a tres años antes, y no menciona que eso cuente. Una de esas revisiones es de la institución anterior y lo más probable es que ya haya destruido ese documento.
- Mire, no se enoje, todo se puede resolver...
- Lo que me gustaría es ya terminar con este trámite, disculpe.
- Pero pues ni modo que vaya yo a la otra institución a pedir el documento, yo tengo mucho que hacer aquí.
- Qué bueno que lo entiende, estamos en la misma situación. ¿Qué procede entonces?
- Pues por mi parte es todo. Ah, nada más que tenga este papelito.

El papelito dice que tiene a más tardar hasta mañana para digitalizar todo el expediente y mandarlo. Le pregunta al representante. Le dice que es importante que se cumpla con toda la documentación porque la revisión es al azar y, si falla la de uno, se regresan todos los expedientes. Con esa motivación, revisa su expediente y encuentra los errores. Le explica esto al representante y le pregunta si es suficiente.

- Esdeque mire, tenga paciencia, la secretaria es muy buena gente y tiene mucho trabajo, sinosí.

Le entrega a la secretaria los documentos faltantes y le explica el cotejo. La secretaria lo escucha indiferente.

- Ya le entregué los documentos que completan el expediente a la secretaria. ¿Espero a que me confirme que está completo ahora sí para enviarle el digitalizado, y que se cumpla con la fecha límite?
- Mándelo en cuanto pueda, gracias.

Por el Día de Pi 2021

Hace algunos años, cuando estudiaba el bachillerato, usando la estrategia de Arquímedes y Vietè de los polígonos y la duplicación de sus lados, más algunas propiedades de los límites, llegué a la siguiente sucesión \[ a_{k} = \frac{\sqrt{a_{k-1}^{2}+1}-1}{a_{k-1}} \] con $a_{1}=1$; esta sucesión es tal que la sucesión \[ b_{k} = 2^{k+1}a_{k} \] converge a $\pi$. Es bastante lenta, pues tarda $6$ términos en llegar a los dos decimales clásicos y, aunque no lo he verificado rigurosamente, me parece que su convergencia es lineal porque así es la de Vietè, en la que finalmente se basa.

Hasta hoy, dando el curso de Análisis Numérico, se me ocurrió aplicarle la extrapolación de Aitken (y que, según la Wikipedia, ya era conocida por el infravalorado Seki Kowa ¡precisamente para el cálculo de $\pi$!). Tomando los primeros $11$ términos de la sucesión $b_{k}$ y acelerándola definiendo \[ c_{k} = b_{k}-\frac{(b_{k+1}-b_{k})^{2}}{b_{k+2}-2b_{k+1}+b_{k}}, \] tenemos lo siguiente.

$k$	$b_{k}$	$c_{k}$
$1$	$4$	$3.151635005375788$
$2$	$3.313708498984761$	$3.142216101965998$
$3$	$3.182597878074529$	$3.141631577694588$
$4$	$3.151724907429258$	$3.141595085792044$
$5$	$3.144118385245867$	$3.141592805595554$
$6$	$3.142223629942345$	$3.141592663087611$
$7$	$3.141750369169704$	$3.141592654158086$
$8$	$3.141632080702249$	$3.141592653584479$
$9$	$3.141602510241972$	$3.141592653622552$
$10$	$3.141595117718365$	-
$11$	$3.141593269631745$	-

No está tan mal, por lo menos ya se obtienen $11$ decimales correctos antes de ser vencidos por los errores de truncamiento.