Errare humanum est, sed perseverare diabolicum

Se dice que que A. Weil afirmaba que "Dios existe porque la Aritmética es consistente, y el Diablo existe porque no podemos demostrarlo". Seguramente esto se puede extrapolar a toda la Matemática, y hasta hace poco no lo había experimentado tan en carne propia.

Precisamente he dejado un poco abandonada la bitácora porque el director de mi tesis doctoral le encontró un error serio a la demostración de un teorema clave. Estoy bastante seguro de haber logrado repararla, y de paso el nuevo argumento es mucho más elegante que el incorrecto.

Pero por si nuevamente soy víctima del genio maligno cartesiano, estoy listo para embatir de nuevo, pues estoy convencido de que el resultado es cierto :-D

Un premio del año y uno atrasado

Este año el Premio Abel se le otorgó a John Torrence Tate, por su "notable y duradera influencia en la Teoría de Números". Quisiera dar alguna idea de lo que ha hecho para merecerlo, pero la verdad la Teoría de Campos Clase está totalmente fuera de mi alcance. Lo más que puedo decir es que su trabajo se concentra en la Teoría Algebraica de Números, donde el Álgebra (con las extensiones de Galois en particular) asiste con gran fecundidad a la Teoría de Números. Vale la pena mencionar que esto tiene mucho que ver con la famosa demostración de A. Wiles del Teorema de Fermat-Wiles.

Y al visitar la página del premio Abel me llevé la grata sorpresa de que al físico-matemático mexicano Ernesto Lupercio Lara (del CINVESTAV) le otorgaron el Premio Ramanujan en el 2009. Este premio se le da a "un investigador de un país en desarrollo que tenga menos de 45 años al 31 de diciembre del año en que se otorga, y que haya realizado una investigación sobresaliente en el país en desarrollo".

Celebración inopinada

Hay quien dice que hoy es el día de pi por que, sin tomar en cuenta el año, la fecha es 3/14.

Celebré sin querer (hasta hace unas horas no era consciente de la fecha) viendo la cinta "Pi" de Darren Aronofsky. Si no me falla la memoria, me la mencionó por primera vez mi maestra de Química de la preparatoria; tuve la oportunidad de verla hasta que entré a la universidad, allá por el 2001. En aquél entonces me gustó mucho, al plantear de una manera muy peculiar que la Matemática permea y trasciende la realidad, y me alentó a perseverar en el estudio.

Ahora que la veo otra vez después de tanto tiempo, sigo pensando que es una buena película, pero estoy menos de acuerdo en cómo retrata a los matemáticos o la Matemática.

Ante la supuesta obsesión del personaje principal respecto a cierta investigación, su mentor le dice que no todo es Matemática. Es cierto, pero nada es todo (y, como dijera Carlos López Puccio: "El pez es todo, porque nada"). ¿Qué pensaría un deportista profesional (o un hincha) si le dijeran que no todo es deporte? ¿Qué opinaría un poeta o un músico si le recrimina que hay más que poesía y música en este mundo?

Regresando a lo de pi, reproduzco un fragmento del "Mathematics for the general reader" de E. C. Titchmarsh:

Pudiera no ser de utilidad alguna saber que pi es irracional, pero si pudiéramos saberlo, sería intolerable ignorarlo.

Es muy bonito pero, ¿cómo vamos a demostrarlo?

Que un combinado de la UNAM con el IPN ganó un concurso de Biología Sintética:

En un comunicado, [Pablo Padilla Longoria] indicó que entre las casas de estudio contra quienes compitieron están Harvard, Cambridge y la Universidad de Tokio, e incluso el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT, por sus siglas en inglés) obtuvo el tercer lugar.
[...]
Luis de Jesús Martínez Lomelí, de octavo semetre de la carreras de Matemáticas, relató que ellos trabajaron en el proyecto Turing meets synthetic biology, que busca corroborar ideas matemáticas o físicas en el mundo real.
[...]
Gilberto Gómez Correa, de 22 años y estudiante de física de décimo semestre, explicó que el trabajo consistió en tomar un teorema matemático y tratar de probarlo en el ámbito de la biología.

“Armamos un circuito genético que reproducirá un comportamiento; al observar esta conducta en las células vivas, comprobamos el teorema. Los patrones de Turing son las manchitas que aparecen en leopardos o serpientes”, acotó. (www.eluniversal.com.mx,12/03/09)

Por un momento pensé "¿Teorema matemático? ¿A poco hay teoremas no matemáticos?". Pudiera ser, aunque creo yo que los teoremas son matemáticos por antonomasia.

Y bueno, esto de resolver cuestiones matemáticas utilizando organismos biológicos ya se ha investigado, como el caso de las bacterias que encuentran caminos hamiltonianos sencillos. Aún así, las particularidades del proyecto del equipo medallista mexicano son interesantes.

Aunque no le he entendido muy bien, el wiki del equipo indica que trabajaron con un modelo de morfogénesis (es decir, cómo surge la forma de un organismo vivo) de A. Turing. Se trata de hacer que unas bacterias E. coli modificadas genéticamente se comporten del modo que propone Turing, de tal suerte que se formen ciertos patrones (más o menos como las manchas de los jaguares o las rayas de las cebras). Esto aportaría evidencia empírica de que el modelo de Turing funciona.

Por otro lado, según la página oficial del concurso, el gran ganador del mismo fue la Universidad de Cambridge. Resulta además que hubo varias medallas de oro y premios especiales. Por último, vale mencionar que otro equipo mexicano ganó una medalla de plata, con una propuesta de modificación de una bacteria para construir un mecanismo que detenga una infección.

Movimientos telúricos

Mucho se ha mencionado esto de que el terremoto de Chile movió el eje de rotación de la Tierra y acortó los días. Específicamente, que el mencionado eje se movió unos 8 centímetros y que una vuelta de la rotación terrestre dura 1.26 microsegundos menos.

Aunque ciertamente los medios han moderado su sensacionalismo agregando que esto es insignificante, creo que vale la pena plantear algunas comparaciones para tener una mejor impresión de estos hechos.

Primero: a una cámara fotográfica ni siquiera le da tiempo de abrir y cerrar su obturador para capturar una imagen en esos 1.26 microsegundos.

Segundo: San Antonino Castillo Velasco (el pueblo natal de mi esposa) está a unos 30 kilómetros de la ciudad de Oaxaca. Si el diámetro de la Tierra midiera la mitad de esa distancia (noten que el punto medio está cerca de San Bartolo Coyotepec), lo que se desplazó el eje terrestre correspondería más o menos a lo mismo que el grosor de una hoja de papel.


Ver un mapa más grande

La gente no sabía que estaba algoritmizando

Me encontré con la maravilla de SCIgen, un generador de artículos de ciencias de la computación. Fue escrito por tres estudiantes del MIT: J. Stribling, Max Krohn y Dan Aguayo. Dicen en su página que varias personas han logrado que artículos creados con el programa sean aceptados en conferencias que no los revisan, e incluso en una revista de Elsevier (!).

Con este programita generé un artículo escrito por el Dr. Emilio Lluis, el Dr. Guerino Mazzola y yo, ¿qué les parece?


También dí con un generador de música llamado Codeorgan, que filtra los caracteres del cuerpo del archivo HTML para construir la melodía y elegir el ritmo y la instrumentación. Mi bitácora suena interesante, prueben con la dirección que ustedes prefieran.

Papeles, por favor...

Me parece excelente:

El Instituto Nacional de Migración (INM) informó que a partir del próximo primero de marzo los ciudadanos canadienses y estadounidenses que se internen a México, vía aérea, o más allá de la franja fronteriza o población marítima, deberán presentar para identificarse pasaporte vigente o tarjeta pasaporte vigente (en el caso de los estadounidenses). (www.eluniversal.com.mx, 16/02/10)

Pues sí: de todas maneras los gringos lo tenían que presentar para regresar a su país.

Hay que estudiar las grandes escuelas matemáticas contemporáneas

El pasado viernes 15 de enero murió Félix Recillas Juárez, matemático mexiquense nacido en 1918. Imagínense su calibre si hizo sus estudios de doctorado en Princeton bajo la dirección de Claude Chevalley, sobre Geometría Algebraica. Uno de sus resultados está mencionado en la página 151 del Homological Algebra de H. Cartan y S. Eilenberg (!).

Quid autem caelo pulcrius, nempe quod continet pulcra omnia

Ayer festejaron los 37 años del Observatorio Astronómico público municipal “Canuto Muñoz Mares” en la ciudad de Oaxaca. Ubicado en la calle que sube por el centro del Fortín (muy bien llamada "Nicolás Copérnico", por donde está el planetario Nundehui), ahí se celebraron conferencias, una mesa redonda (a cargo de la Asociación Astronómica Oaxaqueña) y un concierto. Muy buena idea, por que es importante impulsar la ciencia (en particular la Astronomía, que tan fructífera relación ha tenido con la Matemática) en nuestro estado.

Lo único que lamento es que Ange y yo no hubiéramos podido asistir. Si alguien fue, ¿qué tal estuvo?

El intento humano de dar sentido al Universo

Que Michael Atiyah dijo esto:

A plena luz del día los matemáticos revisan sus ecuaciones y sus demostraciones, no dejando piedra sin levantar en su búsqueda del rigor. Pero por la noche, bajo la luna llena, ellos sueñan, flotan entre las estrellas y se preguntan sobre el milagro de los cielos. Se inspiran. Sin sueños no hay arte, no hay matemáticas, no hay vida.

Nada más cierto desde mi punto de vista. Esto lo ví en una nota de www.ellibrepensador.com del día de hoy. Hablan también del trabajo de Gary D. Don sobre la Matemática y la Música que apareció en el número de enero del Notices of the AMS. Se maravillan, tardíamente, de las profundas relaciones que existen entre ambas artes. G. Don utiliza transformaciones de Gabor (que son transformaciones de Fourier con una ventana gaussiana) para analizar la música y usando esto hasta compara a L. van Beethoven, Benny Goodman y a Jim Hendrix. Aunque me parece que un análisis con espectrogramas sobra para obras con notación específica (no así para las interpretaciones, que es harina de otro costal), y le viene mejor a obras con arquitecturas no escritas como las de Hendrix.

Regla 2: El balón será esférico...

El clásico diseño del balón de futbol (con 20 hexágonos blancos y 12 pentágonos negros) hizo su debut en el Mundial de México 1970. Su confección estuvo a cargo de la empresa Adidas y se le denominó Telstar (por "Television Star", dado que se parece a los satélites homónimos y por que su diseño responde a la necesidad de que se viera bien en la televisión).


Esta configuración de los paneles del balón es topológicamente equivalente a un icosaedro truncado y se mantuvo invariante hasta el mundial de Alemania 2006, cuando se estrenó el Teamgeist. El Teamgeist tiene 14 paneles y es topológicamente equivalente a un octaedro truncado. Según entiendo, esto lo hicieron para reducir la longitud de las uniones entre las piezas y hacer a la pelota más uniforme.


Hace poco se anunció que el balón oficial para el mundial de Sudáfrica 2010 será el fabuloso Jabulani, que tiene solamente 8 paneles y es topológicamente equivalente a un tetraedro truncado. Es todavía más redondo que el Teamgeist y tiene una longitud de "costuras" aún menor (y es que los paneles ya no se cosen, sino que se pegan), entre muchas otras virtudes.


A mis estimables lectores les dejo de tarea que deformen apropiadamente las caras para que se parezca a los balones en cuestión.

Naranjas y limas, limas y limones

Hoy por la madrugada ví el programa de A. Oppenheimer sobre "los efectos de la globalización en la lengua española". Y bueno...

• "¿Vale decir e-mail sin más?". Por ahí los españoles dicen "emilio", eso me agrada bastante. Yo digo correo electrónico, o simplemente correo cuando el contexto es claro. Podría decirse "electrocorreo" para reducir el conteo de palabras (que parece importarle mucho al Sr. Oppenheimer) e imitar las tendencias anglosajonas. ¿Por qué es "e-mail" en inglés? ¿Por qué? A mi me suena horrible de por sí, pero así lo escriben y así te dicen que lo escribas. ¿Por qué si yo quisiera decir "very fast ASCII file transfer" no es válido? ¿O beefaft? ¿Eh?
• "Hay que quitar acentos, ¡la gente joven en los mensajes no los usa!". "Si tu lo dices es buena idea", "Sí, tú lo dices, es buena idea". En fin.
• "¿No se puede simplificar?". Cuando mandé un artículo para publicación, me dijeron que es "injection" y no "inyection". ¿Por qué? ¿Hay mucha diferencia pronunciativa? En inglés no les veo muchas ganas de quitar la p de "psychology" (mucho menos quitar el horrible "cho" y poner simplemente "ko"). Eso nos facilitaría mucho a los hispanoparlantes escribir en inglés.

Voy gritando cosas que me dicta la guitarra

Un australiano de nombre Michael inventó una guitarra digital llamada Misa. Tanto en el diapasón como donde debiera estar la boca, tiene paneles táctiles. El del diapasón, naturalmente, determina la frecuencia de los sonidos, aunque no entendí bien cómo funciona el de la boca: dice que la posición (x,y) donde golpean los dedos de la mano derecha determina ciertos parámetros MIDI. En el caso del video con la demostración de su funcionamiento, Michael indica que en el eje de las abcisas controla un "filtro digitalizador" que hace que hace que suene más o menos como rugido, mientras que el eje de las ordenadas determina el volumen del sonido.

Me gusta su aclaración de que este invento no sustituye a las guitarras tradicionales (tanto la acústica como la eléctrica); que la creó para ciertos propósitos de la música electrónica. Todavía no está a la venta, pero dice el inventor que ya mero.

Nuevas marcas

El computólogo francés Fabrice Bellard estableció una nueva marca en el cálculo de dígitos de pi el pasado 31 de diciembre: casi casi 2.7 billones de guarismos. Son unos 0.123 billones más que el previo de D. Takahashi que mencioné en su momento.

Para lograr este resultado, Bellard recurrió a la impresionante fórmula de los hermanos Chudnovsky \[ \frac{1}{\pi} = 12\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}. \]
Cada término de esta fórmula aporta 14 dígitos correctos (!). Como bien dice Bellard en su página, aunque le tomó 96 veces más tiempo de cálculo que a Takahashi, lo hizo con una computadora unas 2000 veces más lenta. También agrega (y esto me parece importante): "No estoy interesado en los dígitos de pi, sino en algunos de los algoritmos involucrados para realizar aritmética de precisión arbitraria. Optimizar estos algoritmos para obtener un buen desempeño es un difícil reto de programación".

Por otro lado, en la Universidad de Bonn (Alemania) lograron factorizar un entero de 768 dígitos binarios (más o menos unos 232 dígitos decimales). Dicen que esto amenaza la seguridad basada en semiprimos de 1024 bits, y como dice en www.lavanguardia.es:

Para descomponer la cifra de 232 dígitos se utilizó una red de varios ordenadores, ya que según la universidad un solo ordenador normal hubiese necesitado cerca de 2.000 años para conseguirlo. (08/01/2010)

La última del 2009

Una pequeña lista para cerrar el año:

• Ange y yo vimos "Nikté" y "La princesa y el sapo". La primera, muy criticada por su falta de apego a la realidad histórica; la segunda, alabada por su desapego a la tradición impuesta por los hermanos Grimm. De todos modos nos gustaron ambas. A mi me parece que "Nikté" mezcló con algo de gracia lo maya con lo "olmeca". A fin de cuentas, la tradición mesoamericana tiene una gran unidad. Respecto a la producción de Disney me agradó el énfasis que hace en el trabajo duro como medio para salir adelante.
• La UAM va a abrir un museo de la Matemática, reaccionando al mal desempeño de los estudiantes en la materia en las prubas ENLACE. ¿Funcionará? Esperemos que sí.
• Erez Lieberman y Jean-Baptiste Michel aplicaron la Matemática al estudio de la evolución del lenguaje con interesantes resultados:
  

  Antes, los idiomas se consideraban sistemas demasiado confusos y difíciles para ser estudiados matemáticamente, pero ahora estos investigadores han sido capaces de cuantificar con éxito un aspecto del cambio y desarrollo del idioma. (www.lne.es, 30/12/2009)

  Hay que recordar que ya Morris Swadesh a mediados del siglo pasado desarrolló un modelo (la glotocronología) para estimar cuándo se separan dos idiomas que provienen de una misma "lengua madre", y que asemeja a aquél del decaimiento exponencial de la radioactividad.
• Una opinión de Pascal Picq me molestó bastante, pues da a entender que no debe estudiarse más Matemática sino más ciencia para fomentar la creatividad; además, que la Matemática provocó la crisis económica mundial. ¡Ahora resulta!

Y pues ¡feliz año nuevo!

Variaciones de color y luz

La página informador.com.mx nos informa que un estudiante del CETI Tonalá, Ismael Alejandro Serrato Chávez, ganó el primer lugar en la Olimpiada Nacional de Aparatos y Experimentos. Sobre su proyecto (un arpa láser), dice Serrato Chávez:

No hace ampollas, es un arpa inteligente. No necesitas saber tocar para generar música agradable, porque el algoritmo, o la parte central del programa, aprende. Quiere decir que si yo estoy tocando y detecta que yo no sé tocar, o que estoy tocando de una manera muy desordenada, después de cierto número de repeticiones genera armónicos, entonces puedo estar metiendo las manos y se escucha bien. No necesito saber tocar para que suene una buena melodía. (16/12/09)

Me gustaría agregar que la primera arpa láser fue inventada por Bernard Szajner en 1981. Eso sin mencionar el interesante instrumento inventado por Leon Theremin en 1928 que también permite tocar melodías sin contacto directo, y que transforma gestos directamente en música.

Serrato Chávez, respecto al funcionamiento de su aparato, agrega:

El microcontrolador se encarga de resolver una fórmula física que se llama Teorema de Fourier. Este teorema se encarga de sintetizar o de tomar en cuenta las variables, que vienen a ser la luz, la velocidad con la que yo interrumpa la cuerda y la altura. Esto me va a dar un resultado numérico. Ese resultado numérico mediante un proceso matemático, la Teoría de Cuerda Vibrante, genera en una frecuencia de sonido audible.

¿Por qué el Teorema de Fourier es una fórmula física? Tal vez haya sido el entrevistador, el hecho es que lo que seguramente busca el microcontrolador son los coeficientes de alguna serie de Fourier. ¿Teoría de la Cuerda Vibrante? ¿No será una simple ecuación de onda?

De cualquier manera, me agrada esta declaración:

No se necesita ser un genio para que te gusten la Física y las Matemáticas. La idea original de este proyecto fue precisamente para eso: para acercar sobre todo a los niños, chavos de secundaria que detestan la Física.

Y la Matemática, también. Qué fría es la Matemática. Tanto que sirve para crear y entender la Música, ¿verdad?

Los serpenteantes caminos del cosmos

Desde que supe sobre este fenómeno en la atmósfera de Saturno, me fascinó:

Ondulaciones e imágenes geométricas fueron captadas por la sonda espacial Cassini en el hexágono del polo norte del planeta Saturno, divulgó el Laboratorio de Propulsión a Chorro (JPL) de la Administración Nacional de Aeronáutica y el Espacio (NASA).

Esta es la primera vez que se capturan imágenes detalladas de esas caprichosas figuras en el hexágono de Saturno, fenómeno que el especialista en temas atmosféricos del JPL, Kevin Baines, describió como uno de los más extraños del sistema solar. (www.prensa-latina.cu, 10/12/09)

La fotografía que aparece aquí fue tomada por la sonda Cassini en 2006, y no reproduzco las más recientes porque ignoro si tienen derechos de autor o no. Pueden verla en una página de la NASA.

No se sabe todavía que provoca este patrón tan magnífico y longevo (¡ha durado por lo menos 30 años!): hay quienes piensan que es una especie de onda de Rossby, es decir, meandros en los flujos atmosféricos. Jansson, Haspang, Jensen, Hersen y Bohr reprodujeron polígonos similares en fluidos rotantes en 2005, haciendo girar agua y etilenglicol con una lámina circular adentro de un cilindro, y es bastante impresionante. Desafortunadamente, no piensan que esto ayude significativamente a explicar lo que sucede en Saturno, porque atribuyen el surgimiento de los patrones a las paredes estacionarias y al bamboleo de la placa rotatoria.

Así de lejos, inesperada e intrigante, puede llegar la Matemática. Asombroso.

La vida es demasiado corta para el ajedrez

Qué bueno que no me tocó esto:

El ajedrez está ingresando al sistema educacional en todo el mundo. Hamburgo (Alemania) quitó horas de matemática y puso más de ajedrez. Venezuela lo masificó en establecimientos municipalizados y en Buenos Aires hay un decreto de ley que dice que todos los colegios van a tener ajedrez en 2010. (Prensa Austral, 09/12/09)

¿Por qué usar el ajedrez? Según que por esto:

"Realmente aprenden matemática jugando ajedrez, porque tienen que saber los valores y conocer las piezas. El ajedrez te da la posibilidad de que los niños puedan obtener resultados de diferentes maneras. No existe un correcto o incorrecto", aseguró Dobson.

La existencia de múltiples métodos de solución ya está presente en la Matemática sin necesidad de tableros ni de trebejos. Que los profesores no lo hagan evidente es harina de otro costal. ¿Y se puede enseñar a hacer estimaciones con esto mismo, por ejemplo?

En fin, todo sea por la Matemática. Si a mí me hubieran enseñado con ajedrez, no sé si habría llegado a ser matemático, pues detesto el "juego-ciencia" profundamente. Ultimadamente, seguro también se pueden desarrollar estrategias pedagógicas con el juego del turista, las matatenas o el avión, ¿por qué ajedrez, específicamente?

La demostración es correcta y no se necesita otro reconocimiento

Me inquietaron estos comentarios de Judith de Jorge en www.abc.es:

[La conjetura de Poincaré]... era el problema matemático más complejo del siglo y una de las diez cuestiones sin resolver del milenio hasta que en 2003 el ruso Grigory Perelman, considerada la persona más inteligente del mundo, publicó en internet la solución. En 2006 recibió el premio Fields, algo así como el Nobel de las matemáticas, por su hallazgo, pero él ni se pasó a recogerlo. Y eso que la revista Science lo consideró el hallazgo más importante del año. (03/12/09)

¿Quién considera a Perelman la persona más inteligente del mundo, eh? Me quedé en que decían que es Marilyn vos Savant. Seguramente es cierto que vos Savant es muy brillante, pero no se dedica a la Matemática ni a la ciencia. De hecho criticó sin mucho tino la demostración de Andrew Wiles de la conjetura de Fermat.

¿El problema matemático más complejo del siglo? Vaya. Podríamos decir que la conjetura de Fermat no se planteó en el siglo, ni tampoco la de Riemann. Pero no cabe duda que muchas otras conjeturas (por ejemplo, las "estándares" de ciclos algebraicos) se formularon durante tal siglo (supongo que el último del milenio pasado, ¿verdad?); su importancia (¿o dificultad?) se apreciará en tiempos venideros. En fin.

"Él ni se pasó a recogerlo". ¿Pensará de Jorge que se le olvidó? Posiblemente no entendí el sarcasmo apropiadamente. Como bien menciona, de todos modos, el hecho que Science lo considerase un hallazgo importante es un gran "premio". Pero que ahora un teorema inmortalice al Dr. Perelman es un reconocimiento que sobrepasa por mucho cualquier cantidad en dólares.

Judith de Jorge escribió esto al comentar una lista del Museo Smithsoniano sobre grandes momentos de la ciencia. Me alegra que por lo menos un descubrimiento matemático sea catalogado como una hazaña científica.

Una cosa que representa varias cosas reales igualmente bien

Gonzalo Navarro, en el sitio chileno de Terra, nos dice con mucho tino:

Cada vez más, tanto en Matemáticas como en Computación, la sociedad y especialmente los órganos de financiamiento exigen “aplicaciones" a “problemas reales” en la investigación y ven con malos ojos el trabajo en “teoría” (llamada también “investigación básica”). El ejemplo de [G. H.] Hardy ilustra lo vano de esta distinción: no hay forma de saber qué será útil finalmente en la investigación científica o tecnológica.

En mi experiencia particular, en el área de algoritmos, se da la curiosa situación de que cuanto más fácil es señalar las aplicaciones de una investigación, menos aplicaciones tiene ésta.

[...]

Los investigadores más teóricos o básicos suelen tener mayores problemas para explicar la utilidad de su trabajo que los más aplicados, a pesar de tener más que decir. (02/12/09)

Otro buen ejemplo es el de la Teoría de Categorías, a veces apodada "sinsentido abstracto". A muy grandes rasgos, se puede decir que la Teoría de Categorías estudia las estructuras generales de la Matemática y sus interrelaciones. Cuando S. Eilenberg y S. Mac Lane escribieron el artículo "General theory of natural equivalences" que la fundó como rama de la Matemática, no creo que se hallan imaginado jamás que tales abstracciones se aplicarían a la Computación, la Física o la Música (sin mencionar al resto de la Matemática, por supuesto).

Si me preguntaran para qué sirve mi investigación, ¿qué contestaría? Podría decir muchas cosas respecto a la composición (musical), pero no sé para qué más se podría utilizar. He obtenido algunos teoremas que indican como relacionar ciertas "teorías de contrapunto" microtonal, pero se pueden ver como resultados puramente matemáticos. ¿Qué tal que un día se apliquen para algo completamente diferente que aquello que los inspiró? Me emociona pensar en ello, aunque seguramente no me tocará ver que suceda.