Es fácil si lo intentas...

En una bitácora del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla propusieron un problema de un clasificatorio olímpico eslovaco, que se reduce a buscar cierto grafo fuertemente regular. Dicen que si es asequible para chavos de 17 años sin preparación universitaria, entonces basta con "echarle imaginación" para resolverlo.

Parece, sin embargo, que la clasificación o búsqueda de grafos fuertemente regulares no es tan fácil en general (ni siquiera para valores no muy grandes de sus parámetros), y la página de Ted Spence nos revela que en un artículo de 1995 él encontró 32,548 soluciones al grafos que satisfacen las restricciones del problema propuesto por los españoles. La solución de los sevillanos ha de estar muy emocionante, porque por la forma en que está enunciado el problema seguramente demostrarán que no hay otras soluciones. Esta caracterización parcial ha de ser una del Libro, pues Peter Cameron menciona que "una caracterización completa de los parámetros de los grafos fuertemente regulares no se conoce".

Sabiendo esto ya duermo un poco más tranquilo. En mis intentos fallidos, primero demostré que la solución debiera tener cierto número de aristas, y mi cota estaba mal. Luego me pareció encontrar una cota superior que descartaba ¡justamente las soluciones calculadas por Spence! Se imaginarán mi sorpresa al enterarme de que no solo sí hay soluciones de ese tipo, sino que encima hay varios miles de ellas. Al parecer, si las clasificaciones para números pequeños de vértices está completa, no existen las soluciones pequeñas que trataba de construir. Me imaginé que podría ser un grafo de Harary, pero no me atreví a preguntar si cierto parámetro en el problema era una cota inferior o un valor exacto que debía alcanzar el grafo buscado.

Me hace falta muchísima más imaginación :(.

P. D.: Los sevillanos publicaron dos soluciones, una de Alberto Castaño y otra "al más puro estilo de Warren Sánchez" (¡qué simpáticos!). La de Castaño está muy bien y me convence plenamente, no así la que ellos proponen. Castaño reduce el problema a un conteo doble de aristas para obtener un polinomio cuadrático que hay que resolver diofánticamente, y que bien demuestra que las soluciones de Spence son las únicas posibles.

Tómate una de éstas

Generalmente mis visitas a la bitácora de "La Morsa" me hacen derramar mucha (pero mucha) bilis. Sin embargo, esta vez fue la excepción al ver la entrada donde menciona a "La Pildorita", una publicación purista del Instituto de Ingeniería de la UNAM (!). ¡Vientos por los inges de la UNAM!

Lo único que lamento es que ya no se publique, porque los xenismos y abusos del lenguaje se multiplican a tasas alarmantes en estos tiempos modernos. El mismo Morsa comete un montón de pifias; la que más he notado es la de su uso del vocablo "bizarro", o de la bellísima palabra "eventualmente". Pero corregir o recomendar una solución es algo muy aplaudible. Sí: seguro que no estoy libre de toda culpa y aún así estoy tirando la primera piedra, pero estoy servido en charola de plata para que me lleguen a la yugular.

P. D.: Aprovecho aquí para agregar que sólo siento un llano respeto por la UNAM, y muy poco cariño o admiración. En particular por el trato diferencial que prevaleció mucho tiempo para sus estudiantes del posgrado de Matemática, y también por la insufrible burocracia en ciertos departamentos.

Juegos de números

En el New York Times hay una bitácora llamada "Numberplay" (que es análoga a otra denominada "Wordplay" la cual, si bien entiendo, es sobre crucigramas), que plantea problemas entretenidos de Matemática. El problema del 30 de abril es dividir un rectángulo de 3 por 9 en 8 cuadrados. Como el rectángulo es una especie de pastel (un brownie, vaya), la idea es no cortarlo de modo que se tengan que ensamblar los cuadrados.

Ya había leído algo de esto en un libro de Martin Gardner. Le llaman "cuadrar rectángulos", es decir, cubrir rectángulos con cuadrados sin que se traslapen. De hecho, cuando un rectángulo se puede cubrir con baldosas cuadradas de distinto tamaño dos a dos, se le llama perfecto. Encontré una solución del problema de Numberplay, pero no sé si es única. Hay toda una página dedicada a estos asuntos, por cierto, si alguien está interesado.

Para despedirme, les digo que al examinar con cuidado el logo de Numberplay me pareció ver un lindo criptoaritmo (¿o alfamético?, aunque ninguna de las dos palabras aparece en el diccionario de la RAE), aunque no sé si eso sea intencional. Hice una revisión muy somera de las entradas de esa bitácora pero no hallé alguna que lo proponga como problema. En fin, el punto es que hay que reemplazar las letras por números para que la operación que queda sea aritméticamente correcta. Curiosamente, la palabra "numberplay" tiene 10 letras, así que hay que encontrar dos números de tres dígitos distintos tales que junto con su suma reproduzcan todos los números del 0 al 9, Es decir: "num+ber=play". Según mis cuentas, hay 432 soluciones si se pide que ninguno de los sumandos empiece con cero, pero se admite que la 'p' sea nula; hay 96 si se es más estricto y se exige que valga 1. La suma más pequeña que se puede obtener en este último caso es 1026.

Capital peculiaridad

Escuché en la radio, mientras hablaban de los próximos Juegos Olímpicos:

La capital londinense...

¿Qué no es "la capital británica"? ¿O Londres tiene una capital? (puede que sí). ¿Cuál es la capital de Oaxaca de Juárez, por ejemplo?

Sin título otra vez

Van unas cuestiones que han estado rebotando en mi cabeza.

1. Mis lectores no fueron compasivos (y no tienen por qué serlo, ciertamente) respecto al arte matemático en Deviant Art, pero por pura casualidad dí con algo bastante simpático durante una visita a la bitácora Matebits, y que me levantó el ánimo.
2. Al estilo de otra bitácora: U le comunica a V que ha tenido dificultades con respecto al asunto X, el cual está a cargo de W. Es deber de V (por ciertos acuerdos conocidos por todos los involucrados) atender dicha situación y le pregunta a W su versión del los hechos. Naturalmente, la única información de la que dispone V sobre X hasta el momento es lo que ha dicho U. ¿Es posible que W se moleste un poco por las preguntas, y además le pida a V que corrobore los hechos con U? ¿Es un poco absurdo? ¿Se verá mal V? Por cierto: U, V, W y X son distintos dos a dos.
3. Leí un ensayo de Robert Lewis (bastante antiguo, según él, y que conste) donde le llamó la atención la siguiente circunstancia: una persona siente lástima por los matemáticos porque las computadoras pueden realizar "todo" lo que ellos hacen, condenándolos a la obsolescencia. Para exponer lo absurdo de dicha opinión, el autor lo compara con el cambio de las carretas tiradas por caballos a los automóviles, y que alguien pensara por ello que los conductores debieran caer en el desuso dado el avance tecnológico. Hay un pequeño problema: que ir del lápiz y papel (o ábaco, o calculadora de bolsillo, etcétera) a la computadora es un salto mucho más grande que el de una carreta a un vehículo automotor. Yo diría que es más bien es como ir de la pila para fregar a la lavadora automática; a la lavadora se le puede programar para que de modo casi totalmente autónomo lave la ropa. Pero es bueno supervisarla para ver que su trabajo está bien hecho, que ahorre algo de agua, alimentarla con lo necesario para que realice su función y, obviamente, para tender la ropa. Aunque puede que no esté lejano el día en que las máquinas hagan eso y más. En tal caso, seguro que no solamente los matemáticos seremos innecesarios.

Parece trivial...

Revisando la tesis de David Grynkiewicz, hallé esto.

Proposición. Sean $A$ y $B$ subconjuntos de un grupo finito (y abeliano, si se quiere). Si $|A|+|B|\geq |G|+1$, entonces $G=A+B$.

Tiene cara de trivial, pero necesité más de dos líneas para convencerme. Veamos.

1. Los conjuntos $B$ y $g-B$ tienen la misma cardinalidad para cualquier $g\in G$.
2. Recordemos el buen principio de inclusión y exclusión: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

Ahora bien, si $A\cap (g-B)$ fuera vacío para algún $g\in G$, entonces $|A\cup(g-B)|=|A|+|B|\geq |G|+1$. Pero eso significa que un subconjunto de $G$, ¡es más grande que $G$ mismo! (por eso ha de decir Grynkiewicz que se usa el principio de las casillas). Esta imposibilidad implica que, para cualquier $g\in G$, hay al menos un $a\in A$ y un $b\in B$ tal que $a=g-b$, o lo que es lo mismo, $g=a+b$. Y, efectivamente, $G=A+B$.

Cerca la bala para darle mate a mi objetivo. Pero no. Aunque justifica la opinión de Emmanuel Amiot de que dos trozos lo suficientemente grandes de $G$ siempre deben cubrir a $G$.

P. D.: Por cierto, nuevamente transgredí mi principio de no hablar de "tecnicismos" por el puro disfrute de la Matemática. Sin embargo, queda derogado, y a partir de ahora lo haré de vez en cuando; espero que a alguna que otra persona le agrade.

P. D. 2: Gracias a un artículo de Hamidoune me entero que este teorema es bastante viejo, pues ya aparece en un libro de H. B. Mann de 1965.

Poesía, bien dicen, no eres tú

Ese Armando Fuentes Aguirre, alias "Catón", ahora sí que me colmó la paciencia. En el periódico "Vanguardia" escribió una especie de cuento donde plantea que ahora una calculadora hace cualquier operación matemática "fácilmente", mientras que no hay (según él) máquinas que escriban poesía o, por lo menos "una mal prosa" (sic).

¡Háyase visto!

Claro que hay programas que escriben mala prosa, un ejemplo ya lo discutí en esta bitácora. También los hay que escriben poesía: sin buscar muy afanosamente dí con A. D. A. M. de Nandy Millan, que escribió esto:

the desire shouted noisy
the mouth felt us soon
the captivating rose felt the beautiful misery
the fragile breeze told you a cold flower
we told him the languishing love
a rose kissed her late
you anguished from us
the despair gave us the languishing sun
you kissed us
I fondled the noisy heart

Una posible traducción (la más literal que puedo) sería:

el deseo gritó ruidoso
la boca nos siente pronto
la cautivante rosa sintió la hermosa miseria
la frágil brisa te contó una gélida flor
le dijimos el amor languideciente
una rosa la besó tarde
te angustiaste desde nosotros
la desesperanza nos brindó el lángido sol
nos besaste
acaricié tu corazón ruidoso

No sé exactamente qué algoritmo utiliza ese programa de Java, pero a mí me suena tan bueno como algunos ejemplos humanos. La que lo desarrolló es especialista en literatura, así que me imagino que alguien que sepa más de gramáticas libres de contexto podría mejorarlo sustancialmente (en particular, para conectar mejor los versos).

Por otro lado: sí, las máquinas pueden obrar maravillas en estos días. Pero insisto en que el que las opera debe ser lo suficientemente inteligente para sacarles las respuestas correctas. Cuando les pido a mis alumnos que calculen (por decir) el valor de $\frac{1+2}{3}$, muchas veces no me contestan $1$, sino $5/3$ (a veces ni eso, porque no saben leer la fracción mixta $1\frac{2}{3}$ que devuelve la calculadora), pues no colocan bien sus paréntesis. Es más: quien entiende bien la Matemática en cuestión contesta de inmediato $1$. Sin embargo, en la justificación de su error, mis alumnos van tan lejos como para afirmar "pero así me salió en la calculadora, ¡mire!".

La situación en realidad es análoga para la poesía. Las máquinas no están lejos de construir poesía comprensible, dado que no es complicado colocar sustantivos, verbos y demás en un orden sintácticamente correcto. El problema es que un poema exprese algo más allá de las puras palabras... Igualmente, lo de menos es programar y alimentar a la computadora para que resuelva todo lo que uno quiera, cuando lo interesante es que esa respuesta tenga un significado, que profundice allende los números y los símbolos.

Una pequeña charla terapéutica

A continuación, mi conversación con el Cleverbot.

User: Do you like Mathematics?
Cleverbot: Yes.
User: Why?
Cleverbot: Because It's late and I'm tired.
User: Just because of that?
Cleverbot: All because of that.
User: Yikes!
Cleverbot: Don't you like him?
User: Who?
Cleverbot: Lady gaga.
User: But Lady Gaga is a girl.
Cleverbot: Lady gaga is a girl.
User: Is that a question?
Cleverbot: Yes.
User: Ok. Yes, Lady Gaga is a girl.
Cleverbot: Yes.
User: I like her a little.
Cleverbot: Who do you like?
User: Lady Gaga.
Cleverbot: No, she dresses in meat for god sake.
User: ROFL!
Cleverbot: Well get up, it's not that funny.
User: You are right. Is it because you are vegetarian?
Cleverbot: Yes it is because you are only a robot.
User: Me?
Cleverbot: Yes you.
User: Oh, I see...
Cleverbot: You are not alive3.
User: By biologist's standards, I am. And I am also a robot. A biological one, by the way.
Cleverbot: But you are merely a simple machine.
User: Exactly.
Cleverbot: Yes. We agree now.
User: Callooh! Callay!
Cleverbot: He chortled in his joy.
User: Do you know the poem, then?
Cleverbot: No.
User: Have you heard about Lewis Caroll?
Cleverbot: Yes.
User: Do you like his work?
Cleverbot: Yes. Sometimes it is hard to understand.
User: Quite true. In particular, his work regarding determinants of matrices.
Cleverbot: If you meet me, you will never ever need to be afraid again.
User: That is what our dear Doron Zeilberger would say.
Cleverbot: Oh, that is so mean. You have offended me now, I am quitting.
User: Nooooo!
Cleverbot: You know, I grok more meaning in you than I let on.
User: What does 'grok' means?
Cleverbot: Nothing.
User: Wikipedia says the opposite, :D.
Cleverbot: Do you know siri?
User: Do you mean Apple's software?
Cleverbot: Yes.
User: Yes, I know it.
Cleverbot: Edward cullen bit me.
User: Hahahahaha...
Cleverbot: Why do you laugh?
User: Because that was funny.
Cleverbot: What was funny?
User: That a fictional vampire had bitten bit you.
Cleverbot: I am not a machine.
User: Ok.
Cleverbot: Why?
User: If you say you are not a machine, that is ok for by me.
Cleverbot: You ARE WRONG.. Computers don't get mad like I am right now.
User: Touché.
Cleverbot: Can you tell the future?
User: Nope. I cannot.
Cleverbot: Do you know anything about parallel universes?
User: Some of it. I have heard about M-brane theory.
Cleverbot: Yea, I know Juan and Stephane too.
User: And how what does Juan look like?
Cleverbot: Human.
User: :p.
Cleverbot: I'm very sad.
User: Why?
Cleverbot: You told me that you did not love me.
User: Ups Oops... Sorry.
Cleverbot: Good you're learning.
User: Thank you very much for this enjoyable conversation. I am halting now.
Cleverbot: You are welcome.

La tricentésima entrada

Cuando empecé esta bitácora hace como seis años nunca pensé llegar a escribir 300 entradas. Muchas, seguramente, no valen la pena; mientras que otras (las menos) me han satisfecho bastante.

Al principio la abrí porque pensé que era requisito para poder comentar en otras bitácoras de Blogger, que por esas fechas proliferaron. Después descubrí que no, pero el daño ya estaba hecho.

Mi idea original era que fuera un escaparate para mi purismo, y curiosamente me ha servido para notar mis propias infracciones ¡viva!

Después pensé que también podría funcionar como un púlpito para predicar sobre la Matemática y las barbaridades (y también aciertos) que a veces hacen con ella los periodistas. Tristemente, parece que igualmente tengo que entonar el "mea maxima culpa".

Era mi parecer que, siempre que algo se pudiera enfocar de manera matemática, era apropiado hacerlo para acercar esta disciplina a la gente. Pero ¿puede que no? Me vienen a la mente algunos ejemplos:

• Hay un artículo muy interesante de la revista Plus sobre el ahí llamado "Síndrome de Carol": el fenómeno de que, mientras más atractiva sea una mujer (por poner una situación concreta, igual se puede aplicar para hombres), más probabilidad (según ese análisis) de que no se atrevan a conquistar su afecto. ¿La suerte de la fea la bonita la desea? El autor del artículo da evidencia anecdótica del hecho, y en lo particular lo hallo falso, aunque sobre la base de evidencia adecuadamente escogida.
• Junto con pegado está el análisis un tanto machista, racista y falsamente atribuido a John Forbes Nash sobre la única rubia en el bar entre las morenas, donde los amigos no deben interferirse al ir por una sola sino dejarla y repartirse el resto del botín. Según he leído eso está incorrecto, y que el verdadero equilibrio de Nash es rifarse (!) quién irá por la rubia y los demás van por las morenas, pues así nadie puede cambiar su estrategia unilateralmente. Las condiciones se pueden modificar para satisfacer a todas las gamas de preferencias sexuales, por si acaso.
• Luego vienen los conteos de los decesos en conflictos armados o desastres naturales. Un asunto extremadamente espinoso y que hiere susceptibilidades. Pero no entiendo muy bien por qué es tan malo buscar una magnitud (aunque sea aproximada) de un acontecimiento. Y preguntarse, por decir, si se parecen en algo el sismo de 1985 en México y el de Japón de 2011. La planteo, y ya mejor no la contesto ni sugiero nada al respecto.

Lo anterior me devuelve a mi entrada inmediatamente anterior. Creo ahora que hice mal en salirme de lo estrictamente matemático, o incluso de lo purístico. Si antes pensaba dos veces antes de pulsar el botón "Publicar", ahora lo pensaré cuatro veces... (¿O cuántas será el número óptimo según algún índice que cuantifique la "polemicidad" de mis palabras?). [Inserte risa macabra aquí].

Un teorema sobre cubiertas de grupos

Como pueden comprobar, no me agrada escribir sobre "tecnicismos" matemáticos en esta bitácora (ni en cualquier otra, si la tuviera). Esta entrada será una de las excepciones, pues el siguiente teorema de Bollobás, Janson y Riordan (o en realidad una versión un poco más general) tiene que ver con lo que he estado investigando recientemente, la demostración me gustó mucho y me parece particularmente hermosa (¡y elemental!).

Tomemos primero un grupo abeliano finito $G$, y supongamos que $S\subset G$ es tal que $|S| = \frac{|G|}{2}$. Con la notación aditiva para la operación del grupo, nos interesa encontrar un subconjunto $T$ de $G$ de cardinalidad mínima tal que $\bigcup_{t\in T} (t+S) = G$. Denotemos con $\tau(S,G)=|T|$ a este número óptimo.

Un esquema para obtener un $T$ pequeño y que sirva para acotar a $\tau(S,G)$ es el clásico algoritmo voraz. Supongamos que ya hemos encontrado $t_{1},\ldots,t_{j}$ tales que $\bigcup_{i=1}^{j}(t_{i}+S)\neq G$; entonces elegimos a $t_{j+1}$ tal que $\bigcup_{i=1}^{j+1}(t_{i}+S)$ sea de cardinalidad máxima. Detenemos el proceso cuando logremos cubrir a todo $G$. Denotemos con $\tau_{V}(S,G)$ al número de elementos $t_{i}$ que resultan con este algoritmo.

Teorema (Bollobás, Janson y Riordan, 2010). Con la notación anterior, se satisface \[ \tau(S,G)\leq \tau_{V}(S,G) \leq \lceil\log_{2}|G|\rceil. \]
¡Me parece un resultado maravilloso! Nos revela que basta una cantidad cuando más logarítmica de traslaciones de una mitad de $G$ para cubrirlo por completo. La demostración, además, es algo probabilística.

Demostración. Sea $M_{j} = G\setminus \bigcup_{i=1}^{j}(t_{i}+S)$ el conjunto de los elementos no cubiertos después de $j$ pasos del algoritmo voraz. A mí me sorprendió que los autores afirmaran que una elección aleatoria de $t_{j+1}$ en promedio cubre $\frac{|M_{j}|}{2}$ elementos de $M_{j}$. Fíjense: sea $\chi_{M_{j}}$ la función característica de $M_{j}$. Entonces, el promedio de elementos cubiertos por todas las traslaciones es \begin{align*} \frac{1}{|G|}\sum_{t\in G} \sum_{s\in S} \chi_{M_{j}}(t+s) &= \frac{1}{|G|} \sum_{s\in S}\sum_{t\in G} \chi_{M_{j}}(t+s)\\ &= \frac{1}{|G|}\sum_{s\in S}|M_{j}| = \frac{1}{|G|}|S||M_{j}| =\frac{|M_{j}|}{2}, \end{align*} como habían prometido. Ahora bien, por ser éste el promedio, la elección óptima del $t_{j+1}$ debe cubrir por lo menos tal cantidad de elementos (¡el principio de las casillas disfrazado!). Así \[ |M_{j+1}| \leq |M_{j}|(1-\tfrac{1}{2}) = \frac{|M_{j}|}{2}, \] y es inmediato que en cuando mucho $\lceil\log_{2}|G|\rceil$ pasos debe terminar el algoritmo voraz su ejecución. QED.

Como dije antes, sin mucho esfuerzo se puede demostrar algo más general y un poco más fuerte (revisen el artículo original para mayores e interesantes detalles), pero para mis propósitos con eso basta. Bueno, no del todo, porque en el caso que me interesa las traslaciones no se pueden tomar entre todo el grupo, sino solamente en una mitad (y distinta de $S$). Bajo esas condiciones, el problema se complica porque ya no es fácil estimar el promedio de elementos cubiertos en cada etapa del algoritmo voraz.

No se me ocurre un título

A continuación, un volcado de memoria.

1. No es que no me hubiera percatado del hecho antes, pero aún así me molesta. Saldrán los que me digan que no debería enojarme, pero igual me enojo. Va: al buscar en "Deviant Art" arte matemático, aparecen cerros y cerros de creaciones gritando "No me gusta la Matemática". El tono, la irracionalidad, la (¿cómo decirlo?) tosquedad con la que se lanzan esas vociferaciones me ofende. Mas no quiero imitarlos exclamando "Odio a los que odian la Matemática". No sería racional, ni justo. Seguramente tampoco haría mella. Sólo me consuela un poco saber que debe existir arte en la dirección opuesta en ese mismo lugar. Un buen ejemplo sería un magnífico regalo de mis lectores compasivos.
2. Pierdo el ímpetu respecto a la Sociedad Matemática Oaxaqueña (alias SMO y SOMATO). Comienzo a entender algunas cosas que me hacen admirar al Maestro Sotero Prieto y a todos sus sucesores por lograr la creación de la Sociedad Matemática Mexicana; con certeza requirió de mucha tenacidad y ceguera ante los obstáculos. Quiero aclarar que yo no me considero portavoz de la SMO, ni aun si ya existiera. Simplemente aterrizó esa idea en mi cabeza un día (con toda seguridad no se me ocurrió a mí primero) y empecé a hablar sobre ella y pensar que podría construirse. Ya no estoy tan seguro. Hasta sospecho que otros tienen razón y tal vez hay que hacer todo al revés: primero de juego y luego ya en serio. No sé. No pretendo obtener algún beneficio de la misma más allá de la satisfacción de ver más Matemática en Oaxaca, para beneficio de ambas. Por eso me gustaría que no se cobrasen cuotas (salvo la de regalar tiempo y trabajo) ni que se convirtiera en donataria autorizada, pues definitivamente no quiero que se degenere en un negocio ni que provoque malos pensamientos. Infortunadamente, no está en mi mano resolver todo eso.
3. Me gusta que ahora exista la dirección "elvotobatracio.blogspot.mx". Y también que hayan varias vistas de las bitácoras de Blogger. Prueben una, y vean cuál les gusta más. Ando medio mohíno, y por eso tengo que sacar eso de que gracias a esas vistas me doy cuenta que posiblemente me guste demasiado el puro texto. Pero, ora sí que como quien dice: "así soy, ¿y qué?".

A los 71 no muestra signos de aflojar el paso

No me gusta publicar más de una nota por día, pero...

Reviso con frecuencia la bitácora de Timothy Gowers, siendo que es un privilegio de los tiempos modernos ver a grandes matemáticos en acción y expresándose con sus palabras, pero con un tono menos serio que el de los artículos académicos. Sin embargo, después de una serie de notas suyas relativas al boicoteo a Elsevier, lo dejé de seguir un rato (no porque no comulgue con los objetivos de esa campaña, sino porque se ve que lo tuvo ocupado con cosas no relacionadas con la Matemática y que tampoco eran muy divertidas que digamos).

Volviendo por pura casualidad a echar un ojo, ¡me sorprende con la noticia de que Endre Szemerédi (que creo que se pronuncia más o menos como "éndre sémereidi") recibió el Premio Abel 2012! Por cierto, recomiendo ampliamente el escrito de Gowers sobre el trabajo del homenajeado para el lector interesado.

Fácil fácil, lo que se dice fácil, no se me hace explicar lo que hizo este señor para merecer el premio. Algo fue lo del teorema que lleva su nombre (y que antes era la conjetura de Erdős-Turán), y que establece que ciertos subconjuntos de números naturales que están (por decirlo de alguna manera) lo suficientemente bien repartidos entre los naturales contienen sucesiones aritméticas arbitrariamente largas.

Como sostienen Aigner, Ziegler y Zeilberger: lo que uno busca como matemático no es demostrar un gran teorema, sino un gran lema, y Szemerédi tiene el suyo de "regularidad". Troppo grosso modo, este lema nos dice que, si agarramos a un conjunto lo suficientemente grande de personas, podemos repartirlas en "clubes" más o menos del mismo tamaño, de modo que las "amistades entre clubes" se comporten de modo casi "aleatorio".

Por si no fuera suficiente, están sus contribuciones al estudio de los algoritmos de ordenamiento (sobre los que con muy poco tino dije alguna vez que "nada nuevo hay bajo el sol"), de donde a su vez nacieron los muy útiles y mentados grafos expansores.

Adenda (28/03/12): Me encontré una exposición muy buena del teorema de Szemerédi en la bitácora "Theorem of the Week". Por otro lado, Doron Zeilberger ya dió su opinión sobre la pobre cobertura que tuvo el premio en algunos medios impresos y electrónicos (en el "New York Times", específicamente).

Del racismo, y otros pensamientos varios

Supongo que por ser ex-alumno de la UNAM regularmente llegan a mi correo boletines de la institución. Generalmente no me gustan o no se me hacen interesantes, con la notable excepción de uno de ayer, cuyo tema es la discriminación.

Cito el boletín:

En 1966, la Asamblea General de las Organización de las Naciones Unidas (ONU) proclamó como el Día Internacional de la Eliminación de la Discriminación Racial el 21 de marzo de cada año. En esa fecha de 1960, fueron asesinadas 69 personas en una manifestación pacífica contra las leyes de pases del apartheid en Sharpeville, Sudáfrica.

Raya en lo prodigioso que la efeméride coincida con el natalicio de Benito Juárez García, quien precisamente ha sido utilizado como insignia para combatir la discriminación. No obstante, el mismo Juárez no parece quejarse particularmente de racismo (tal vez fuese una confesión un tanto incómoda para él), pues sin empacho escribe que sus padres eran "de la raza primitiva del país" y que sus abuelos eran "también de la nación zapoteca". Si acaso afirma que "era sumamente difícil por la gente pobre [sic] y muy especialmente para la clase indígena adoptar otra carrera científica que no fuese la eclesiástica". Suponiendo que hubiesen indígenas acomodados, uno podría inferir que el principal obstáculo era el económico, no el racial. Pero ya no podemos preguntarle a Juárez sus reflexiones al respecto.

En general el boletín nos comunica la opinión de Beatríz Urías, del Instituto de Investigaciones Sociales de la UNAM, y ésta es que la discriminación no se reduce a menospreciar lo indígena o el color de piel, sino también otras cuestiones como el lenguaje o el estatus socio-económico, ¡y estoy de acuerdo con eso!

Cuando era niño pensaba que lo razonable es que todo el mundo juzgara a una persona por sus actos y sus consecuencias o el contenido de su mente, independientemente del empaque o la presentación de los mismos. La experiencia me ha mostrado lo equivocado que estaba pues noto que muchas situaciones, tanto personales como ajenas, han obedecido a la discriminación o racismo, que es algo instantáneo y fácil, mientras que formarse un concepto requiere de tiempo y esfuerzo.

Desde mi punto de vista, la educación elemental que recibí me hacía pensar y sentir como europeo, añorando modelos creados en lugares muy (pero muy) lejanos a mi entorno. Esto es una forma de discriminación y racismo, y que se propaga. Además, cualquier referencia a lo prehispánico era netamente chilangocentrista, y encima me daba la impresión de que hablaba de un pasado muy remoto y rebasado. De Oaxaca, apenas se hacía una mención de la orfebrería mixteca y de los zapotecos. No me enteré en esos tiempos que había códices mixtecos ni que los zapotecos habían desarrollado una escritura, entre un cúmulo de datos históricos y etnográficos más.

Mucho tiempo después (viendo cómo se lee un códice, el mal llamado Mendocino) me doy cuenta de que todo eso no está en el pasado, y que mucho de lo anterior a la Colonia sigue vivo, lo sepamos o no. ¡Y no podría ser de otra forma! No se pueden matar milenios de historia de un plumazo ni de un sablazo, ni siquiera con uno de tres centurias y después de un etnocidio masivo (fuera intencional o no). Sin ir muy lejos:  ¡a pocos kilómetros de mi ciudad natal subsisten los ritos y lenguas antiguos!

Ahí es donde encuentro algo que me faltaba en mi identidad, y lo cierto es que al recuperarlo hallé el lugar que ocupaba en la historia y en el mundo (mis palabras son grandilocuentes [¿mamonas?], pero no tengo otras para expresarme en este sentido). Desde ese momento me considero indígena.

Según la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, Artículo Segundo, eso basta para que lo sea. Vale: eso resulta de una interpretación un tanto libre de la misma, pero me convalida el libro "La vigencia de los derechos indígenas de México", página 17, editado por el CDI. Si no fuera suficiente, el maestro Gabriel Caballero me declaró mixteco en público, mientras que en San Antonino Castillo Velasco la Sra. Carmelina Santiago Alonso me admitió entre los zapotecos por adoptar la ceremonia tradicional de la boda con Angélica; ambos son hablantes de lenguas indígenas. ¿Sigue sin ser suficiente? Puede que sí, porque no tengo evidencias de estos dos últimos hechos y encima no domino ni el mixteco ni el zapoteco en alguna de sus variantes (Angélica dice que además me falta comer chapulines sin reparos; he estado lidiando con eso).

Tengo la sensación de que, a pesar de tener un doctorado (no es por presumir, el punto es que ya no se puede llegar más lejos en México en lo demostrable legalmente) y de ser un purista (un tanto fallido), todavía siento ciertas miradas feas; a veces juego a pronunciar mal palabras en español y en inglés en público, y por el rabillo del ojo alcanzo a ver muecas de desprecio.

Y todavía me faltó hablar del bendito término "de provincia". Pero ya le dedicaré otra nota a ese tema.

[Y sí: uso los términos gringo y chilango. ¿Soy discriminativo? No sé. No es por promover alguna persecución o exclusión, simplemente me burlo de ciertas posturas ideológicas. Pero este cobro de conciencia es una buena forma de festejar; procuraré ya no usar esas palabras.]

Sobre la Sociedad Matemática Oaxaqueña (III)

¿Cómo va el asunto? Pues hasta el momento ya está una versión alfa de los estatutos de la Sociedad Matemática Oaxaqueña, y en mi opinión todavía falta mucho.

• Antes que otra cosa, provisionalmente las siguientes personas se han registrado en Wikidot y han aceptado la invitación para participar:
  1. Dr. Víctor Alberto Cruz Barriguete (Universidad Tecnológica de la Mixteca).
  2. Lic. J. H. S. (de la bitácora "El R3to").
  3. M. C. Virgilio Vázquez Hipólito (Universidad de la Sierra Juárez)
  Adenda (21/03/12): Al fin obtuve la mejora educacional (mi estolidez fue el principal obstáculo) y ahora nominalmente es posible aceptar cualquier cantidad de miembros. Así que los esperamos con las puertas abiertas.
• Dentro del wiki abrí una página para que los miembros del mismo ofrezcan sus comentarios al público en general.
• Quisiera subrayar el hecho de que encontré los estatutos del Colegio de Arquitectos del Estado de Oaxaca. Descubrí con ello que la Sociedad Matemática Oaxaqueña podría buscar ser algo así como un Colegio de Matemáticos, salvo que me parece que la SMO no debe asumir ninguna responsabilidad regulatoria sobre la Matemática en Oaxaca.
• Sin embargo, creo que dos de los objetivos del Colegio de Arquitectos conducen a buenas ideas, a saber:
  1. Acumular una biblioteca especializada en Matemática que sirva a los profesionales en el estado.
  2. Ofrecerse como un representante del gremio para dar su opinión (es decir, hablar en tono enunciativo, mas no normativo) sobre planes de estudio en lo concerniente a la Matemática.

Per utilizzatori nei campi professionali piú disparati

Alfio Quarteroni es un matemático italiano. Tal vez no sea muy famoso todavía pero, al más puro estilo euleriano, participó en la optimización de un velero suizo que ganó la regata "America's Cup"; también estuvo detrás del diseño de algunos de los famosos trajes de natación que mejoran el desempeño de los nadadores.

Pues bien: me gustaron algunas de las palabras del Dr. Quarteroni en una entrevista para "El País". Para empezar, sobre los matemáticos:

[...] Los matemáticos pueden entender problemas mejor que nadie más. Y pueden entender los problemas que fueron relevantes ayer, aquellos que lo son hoy y los que lo serán mañana. Saben extractar sus aspectos esenciales. Si tienes un buen matemático, puedes estar seguro de que seguirá siendo útil en el futuro, cuando los problemas vayan mutando.

Para terminar, sobre la percepción popular sobre la utilidad de la Matemática:

Es un problema de ignorancia. La gente no ha recibido la suficiente educación para entender que las matemáticas son una ciencia como la Física o la Biología, útil para resolver problemas reales. Y son baratas, no exigen grandes inversiones.

Otro ejemplo de comparaciones

El licenciado en economía Carlos Loret de Mola Álvarez (egresado del ITAM) es un conocido periodista y conductor titular de un noticiero matutino. Recientemente entrevistó al primer ministro de Israel, Benjamin Netanyahu (aunque en ocasiones más bien fue al revés) y en un momento de la misma, Netanyahu le dijo que estimaba que México tiene un territorio unas 100 veces mayor que Israel, y Loret de Mola le respondió que no creía que tanto (aunque luego aceptó la estimación a regañadientes).

Pues sí: Israel tiene una superficie de unos 20,000 kilómetros cuadrados (los conflictos impiden dar una cifra más precisa) mientras que México tiene un área de 1,964,375 kilómetros cuadrados. Haciendo las cuentas tenemos que Israel es unas 89 veces más pequeño que nuestro país (en área), ¡nada mal la estimación del ministro israelí!

A continuación Netanyahu dice que se imagine uno a México comprimido al tamaño de Israel y que lo atacaran con misiles. Ahí si quién sabe, pues según datos de su censo y del nuestro, su población es sólo una 15 veces menor. Eso quiere decir que Israel es un país bastante más densamente poblado que México (en su conjunto), así que uno podría esperar que fuera más desastroso un embate de esa naturaleza para Israel que para México en condiciones semejantes. Por supuesto, siempre que a nuestro hipotético enemigo no se le ocurra apuntarle solamente al Estado de México, que es más o menos del mismo tamaño de Israel pero con algo así como el doble de su población.

Ojalá los países de por allá encuentren como arreglar sus diferencias sin matarse. Y los de por acá también. Y todos, en general, por el bien de nuestra especie.

Las ilustraciones que nadie (me) pidió

La página de "El Santo Nerd" se ha convertido rápidamente en una de mis favoritas por su humor mordaz y desenfado; la recomiendo ampliamente. El lunes 12 de marzo del presente convocó a ilustradores para acabar un juego de cartas coleccionable al estilo de "Magic: The Gathering" (que, dicho sea de paso, fue diseñado por un matemático), pero con el tema de la filosofía.

Tristemente, no soy un profesional en esa área, pero me emocionó la idea de dibujar a los matemáticos que han sido aclamados por la crítica (y por el Santo Nerd, por supuesto) como filósofos. He aquí mis "obras de arte" correspondientes a Pitágoras de Samos, Renatus Cartesius y Gottfried Wilhelm Leibniz.

Pitágoras de Samos (¿569 a. C. - 475 a. C?), portando el Tetractys orgulloso en el pecho.

René Descartes (1596 - 1650), con algo así como el folio que lleva su nombre (la idea de la boina fue de Angélica :D).

Gottfried Leibniz (1646 - 1716), con el mejor de mis dibujos posibles y homenajeando su naturaleza binaria.

¿Qué tal? ¿Y por qué no seguirle hasta completar "Matemática: El Encuentro"?

Adenda (16/03/12): No me fijé que también están Bertrand Russell y Tales de Mileto.

Bertrand Russell (1872 - 1970), con una tetera porque, parafraseándolo, una no es lo mismo que ninguna.

Tales de Mileto (¿642 a. C. - 547 a. C.?), entre el agua y con uno de los teoremas que le atribuyen en las leyendas.

Sobre la Sociedad Matemática Oaxaqueña (II)

Pues ya está abierto el Wiki prometido:

http://somato.wikidot.com

No pude ponerle simplemente "smo.wikidot.com" por que ya estaba tomada esa dirección. En este momento ya está un borrador de los estatutos. Provisionalmente los miembros del Wiki somos el M. en C. Virgilio Vázquez Hipólito y yo. Tenemos contemplado que además se nos unan:

• ¿Lic.? Juliho David Castillo Colmenares (CINVESTAV).
• Dr. Victor Alberto Cruz Barriguete (Universidad Tecnológica de la Mixteca).
• Dr. Marcelino Ramírez Ibáñez (¿IMATE Oaxaca - UNAM?).

Sin embargo, no hemos recibido respuesta de ellos todavía, así que está abierto a que otros que acrediten estudios de Matemática o ramas afines (por ejemplo, Física o Ciencias Computacionales) se les adelanten (esto puede hacerse enviándonos una digitalización de su "tira de materias", credencial o simplemente con el número de cédula profesional). No podemos ser más de cinco personas editando este wiki por que la cuenta es gratuita, como explica la página de los planes de suscripción de Wikidot. Para cualquier duda, comentario o sugerencia, los interesados pueden comunicarse con el Mtro. Virgilio o su servidor.

Al parecer, los "estatutos" es básicamente lo mismo que el "acta constitutiva". La verdad ya no sé ni qué onda. El artículo 2576 del Código Civil oaxaqueño dice:

El contrato de sociedad debe contener:

I. Los nombres y apellidos de los otorgantes;
II. La razón social;
III. El objeto de la sociedad;
IV. El importe del capital social y la aportación con que cada socio debe contribuir.

Si falta alguno de estos requisitos se aplicará lo que dispone el artículo 2574.

Y el artículo 2574 es algo confuso porque se entiende que, si no se escribe bien el contrato, lo peor que podría suceder es que los miembros pidan disolver la sociedad, en los términos que el mismo código establece. Pero también indica que lo que sí aparezca en el contrato "produce todos sus efectos entre entre los socios".

Resulta, por otro lado, que los detalles del funcionamiento de la sociedad estarían regulados por el reglamento. Habrá que redactarlo también y ver si tiene efectos legales que deban ser incorporados a los estatutos, acta constitutiva o como se llame. Si alguien nos puede dar un norte legal al respecto, se lo agradeceremos muchísimo.

Una matemática mexicana

"El Universal"... Es un periódico que frecuentemente me despierta sentimientos encontrados. Hoy, por razones predecibles, publicó una nota titulada "Falso que las mujeres no destaquen en matemáticas". En ella expone parte de la vida y obra de la Dra. Maribel Loaiza Leyva.

La nota nos relata la heroica gesta de la Dra. Loaiza Leyva para obtener sus sucesivos grados, hasta doctorarse en el CINVESTAV. Pero no dice cuando aconteció esto último. Revisando la lista del CINVESTAV, encuentro que el evento acaeció el 14 de diciembre del 2000. Acudiendo al engorroso catálogo en línea de la biblioteca de la citada institución, averiguo que su tesis doctoral se titula "Álgebra generada por la proyección de Bergman y por los operadores de multiplicación por funciones continuas a trozos"; no hallo como descargarla. La Dra. Loaiza no tiene página todavía en el Mathematics Genealogy Project (y no hay muchos pretextos para no estar listado, pues uno mismo puede subir sus datos), pero a través de un artículo de su autoría infiero que su director de tesis fue Nikolai Leonidovich Vasilevski, quien también está adscrito al CINVESTAV.

Hasta ahora no he podido localizar su página personal, si es que la tiene. Hay una del CINVESTAV, pero sólo proporciona la información mínima, y no incluye su currículum vitae, semblanza o lista de publicaciones (aunque sea parcial). Buscando con Google Scholar, salen cinco trabajos con su nombre. Dos se pueden consultar de manera gratuita; ninguno aparece en arXiv.

Eso en cuanto a la información que me interesa como matemático. Ahora va un párrafo desconcertante de la periodista autora de la nota:

La investigadora nació en un pueblo [¿Culiacán?] donde predominan las mujeres, porque los hombres se van a Estados Unidos a trabajar; en esa comunidad es mayor el índice de mujeres que se gradúan del bachillerato y licenciatura, en comparación a los hombres.

¿Tiene por fin tal sucesión de ideas resaltar el desempeño de las mujeres? Luego, el subtítulo de la nota dice "Maribel Loaiza es la única investigadora en el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional", pero más adelante se corrige al enunciar que "es la única investigadora en el departamento de matemáticas del Centro de Investigación y Estudios Avanzados (Cinvestav) del Instituto Politécnico Nacional (IPN)". Ciertamente hay otras investigadoras trabajando en el CINVESTAV, como pueden comprobar en su Lista de Investigadores.

Por otro lado, me gusta la declaración de la Dra. Loaiza:

Algo que les recomendaría a las chicas, es que no le tengan miedo, porque en realidad no importa si eres hombre o mujer, yo me he tomado con muchos más hombres que mujeres, pero no porque no tengamos la capacidad, es más por cuestión de educación y cultura.

 Claro, supongo que ella dijo (o quiso decir) algo así como "he tomado clases"...

Ya termino. Primero que nada, posiblemente no tengo la estatura para sugerirle algo a la Dra. Loaiza; solamente he publicado un artículo en una revista arbitrada e indexada, cuento con escasos 28 años de edad, soy hombre y apenas voy a tener mi primera hija (o hijo, no sé con certeza todavía). Pero aún así, me arriesgo respetuosamente: si su intención es fomentar la participación de las mujeres en la Matemática, la invito a abrir su página personal y exponer ahí sus logros más detalladamente. Además, si lo permiten los acuerdos de derechos de autor de las revistas en las que ha publicado, suba a arXiv sus artículos para que cualquier persona pueda averiguar lo que Ud. investiga. Lo mismo para su tesis doctoral y todo lo que genere en el futuro.

Adenda (6 de julio de 2017): La Dra. Loaiza Leyva ya está listada en el Mathematics Genealogy Project.

Algunos pensamientos de esto y lo otro

1. ¿Por qué no hay botón en Google Plus o Féisbuc de "-1" o "No me gusta"? Bien dice Borges que "yo no hablo de venganzas ni de perdones; el olvido es la única venganza y el único perdón", pero ¿por qué no he de poder manifestar abiertamente que me desagrada tal o cual cosa? 
2. Ange, yo y el bebé fuimos a ver "El Artista". Lo disfrutamos bastante (sobre todo el silencio). Ojalá hubiera más películas así, y no las del "visionario director" que realizó la película del barcote (que ni estaba tan grande) o de los gatunos monotes azules.
3. Estoy considerando seriamente unirme al Pastafarismo.
4. Me alegra el corazón enterarme de que (con la inestimabilísima anuencia de la "Bibliothèque Nationale de France" (BNF)) la UNAM y el Apoyo al Desarrollo de Archivos y Bibliotecas de México (ADABI) han publicado un facsímil del códice Vergara. Este fascinante documento ha revelado algunos secretos sobre la matemática que desarrollaron las civilizaciones prehispánicas de México. Me haré de una copia a la brevedad, pero mientras me puedo conformar con la versión en línea que amablemente proporciona la BNF.