Matemática a la boloñesa

En esta ocasión escribo sobre un matemático boloñés del siglo XVII, del cual descubro fascinado que también escribió cosas muy interesantes sobre la música. Me refiero ni más ni menos que a Pietro Mengoli. Lo que sigue se basa en material de un libro de Giovanni Ferraro y un artículo de Benjamin Wardhaugh.

Mengoli es famoso por haber sumado, en su Novae Quadraturae Arithmeticae de 1650, los recíprocos de los números oblongos y triangulares, observando que corresponden a lo que ahora llamamos una serie telescópica. Más específicamente, en símbolos modernos demostró primero que \[ \frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1}a_{2}}+\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{2}a_{3}}+\cdots+\frac{a_{n}-a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n}} = \frac{a_{n}-a_{1}}{a_{1}a_{n}}, \] y que con la sucesión $a_{n}=n$ nos devuelve las sumas parciales de la serie de los números oblongos $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}$ en el miembro izquierdo. Se sigue de inmediato que \[ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n-1}{n} = 1-\frac{1}{n} \] y, finalmente, se le aplica un razonamiento arquimediano para demostrar que la "extensión" de la serie entonces no es ni mayor a $1$ (lo que es bastante obvio) ni menor a $1$; esto último es menos obvio, pero con cualquier $\epsilon>0$ que esta extensión estuviera por debajo de $1$, habría un $n$ lo bastante grande para que $1-\epsilon < 1-\frac{1}{n}$, lo que es contradictorio.

También, en unas cuantas páginas del prefacio, demuestra que la serie armónica es divergente. Su argumento es maravilloso. Comienza por observar (en la notación moderna) que \[ \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} > \frac{3}{n}, \] lo que básicamente proviene del hecho de que la media aritmética de tres números consecutivos es mayor que su media armónica. Ahora todo es cuestión de agrupar los sumandos apropiadamente para ver que, bajo el supuesto de que $H=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ existe, sucede \[ \begin{multline*} H = 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7}+\ldots \\ =1+(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4})+(\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7})+\ldots \\ >1+\tfrac{3}{3}+\tfrac{3}{6}+\tfrac{3}{9} +\ldots = 1+(1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\ldots) = 1+H, \end{multline*} \] lo cual es contradictorio.

Seguro animado por el éxito con los números oblongos quiso aplicar sus técnicas para obtener la suma de los recíprocos de los números cuadrados, esto es, $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}$, pero fue en vano. Algunas décadas después Jacob Bernoulli demostró en su Positiones arithmeticae de seriebus infinitis de 1689 que el límite existe y es menor a $2$; nadie se cansa, y mucho menos yo, de alabar la hazaña de Euler al sumar esta serie en 1734. Dicho sea de paso, Bernoulli tal vez creyó haber demostrado primero la divergencia de la serie armónica, pues desconocía el trabajo de Mengoli. Aunque tampoco este último podía cantar victoria, ya que Nicolás de Oresme descubrió una demostración en 1350, de la cual hablaremos en otra ocasión.

En lo que toca a la música, su tratado Speculationi di musica publicado una década después de su trabajo sobre series, se me hace muy interesante porque da una solución del problema que plantea una explicación clásica de la consonancia. Según esto, los tonos pueden pensarse como "pulsos" que se repiten con cierta frecuencia. Si dos tonos son tales que coinciden en sus pulsos, entonces los escuchamos como consonantes, y entre más frecuente sea esta coincidencia mayor será la sensación. Por eso, se supone, el unísono es muy grato, y de ahí las octavas, y luego las proporciones superparticulares como la quinta $3/2$ o la cuarta $3/4$, etcétera. El problema con esta teoría es que, si se desfasan los pulsos, nunca coincidirán; pese a ello, seguimos experimentando una sensación agradable. También pasa que, cuando no son perfectamente exactos los cocientes, nos sigue pareciendo placentero el resultado; cotejen la afinación justa contra la equitemperada si no me creen.

Mengoli resuelve el problema considerando que, más que las coincidencias, el oído detecta la alternancia de los pulsos. Así, la quinta que tiene una proporción de $3/2$, se escucha como el patrón $AABAB$ repetido periódicamente, donde con $A$ nos referimos a la sensación del primer tono y con $B$ al del segundo. Así, ya no importa si hay coincidencia perfecta, ni tampoco si la razón es tan exacta. Por ejemplo: la razón $301/201$ se percibe como que hay $301$ veces una $A$ y $201$ veces una $B$ repartidos adecuadamente según la fase, y "localmente" se oye como una quinta.

Más aún, con un complicado argumento fisiológico (inusitado para la época), concluye que estos cocientes son percibidos por el oído como el área (!) bajo la curva $f(x) = 1/x$, y que sabemos que se puede calcular por medio de logaritmos ¡lo cual corresponde bien al conocimiento actual sobre la percepción del sonido! Es por eso que, en música, para sumar intervalos multiplicamos y para restarlos dividimos en lo que frecuencias respecta.

Por el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia

Celebrando el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia, el canal Curiosamente sacó un muy buen video alusivo.

Sin embargo, me parece que en honor a los hechos, y con ánimo de justipreciar las contribuciones de tan excelentes personas, hay que hacer algunas precisiones.

• Hipatia. El afirmar que hizo un "mejoramiento" del astrolabio y atribuirle la "invención de un aparato para medir la densidad de los líquidos" son extrapolaciones de la correspondencia que mantuvo con su estudiante y amigo Sinesio de Cirene (veáse Booth, Charlotte. Hypatia: Mathematician, Philosopher, Myth. Fonthill Media, 2017). Más importante que eso creo yo que es muy probable que ayudara a su padre a editar "Los Elementos" de Euclides y el "Almagesto" de Ptolomeo, y que escribiera un comentario muy atinado de la "Aritmética" de Diofanto para fines pedagógicos. De los estudios historiográficos actuales, tampoco está claro que la turba que asesinó a la filósofa estuviera movida enteramente por motivos religiosos.
• Ada Lovelace. Dada la posición social de la que gozaba, podía darse el lujo (para su época) de dedicarse a la curiosidad científica, y a la matemática en particular. Sin duda era muy inteligente, pues aprendió rápidamente en correspondencia con Augustus de Morgan lo necesario sobre los números de Bernoulli para entender el algoritmo para generarlos, pero no sé si podría catalogarla como una matemática o que esto le hiciera falta para apreciar su genio (aquí debo confesar que mi criterio en cuanto a qué es un matemático enfrenta una dificultad, pues no sabría decir si su comentario al artículo de Menabrea es un artículo con un resultado original o no). Además, Babbage ya había escrito algoritmos para el ingenio analítico antes que Lovelace (véase Hammerman, Robin y Andrew L. Russell. Ada's Legacy: Cultures of Computing from the Victorian to the Digital Age. Morgan & Claypool, 2015).
• Marie Curie. Con todo y lo prodigiosa que fue, creo que también merece crédito Pierre Curie, que hizo investigaciones pioneras en el fénomeno de piezoelectricidad y que le fueron de utilidad a Marie para estudiar la radioactividad del uranio. Murió atropellado por un carro tirado por caballos, y sobre él dijo Marie: "Es imposible para mí expresar la profundidad e importancia de la crisis que ocasionó en mi vida la pérdida de quien fuera mi más íntimo compañero y mejor amigo." (Curie, Marie. Pierre Curie. Dover, 2012, p. 94).
• Mária Telkes. Tal vez habría que señalar que es probable que asegurara su lugar en la lista porque fue inducida al Salón Nacional de la Fama de los Inventores en Estados Unidos en 2012. Esto deja de lado, lamentablemente, el hecho de que la primera mujer en ser admitida ahí fue Gertrude Belle Elion en 1991 por desarrollar medicamentos contra la leucemia, el choque séptico y el rechazo de tejidos en pacientes a los que les han realizado transplante de riñón.
• Cecilia Payne-Gaposchkin. Según la misma Gaposchkin, inicialmente le interesaba la ciencia en general (estudió primero botánica) y no la astronomía en particular; además, sí le otorgaron su título retroactivamente.
• Rosalind Franklin. La forma en la que se explica su contribución a la ciencia hace pensar que ella se le adelantó a Watson y Crick en el descubrimiento de la estructura del ADN. Si bien es cierto que su trabajo experimental (sus fotografías, en particular) fueron cruciales para develear este misterio, lo cierto es que, como buena científica, no avanzó conclusión alguna hasta tener suficientes datos. Fue un tanto cuanto audacia de Watson y Crick el usar la matemática para demostrar que la estructura de hélice era correcta haciendo un uso cuestionable, eso sí, de lo recabado por Franklin y su colaborador Maurice Wilkins (véase Wilkins, Maurice. Autobiography. Oxford University Press, 2005).
• Jane Goodall. Es muy importante mencionar que el arqueólogo y antropólogo Louis Leakey la impulsó a estudiar los chimpancés; esta inquietud fue producto de sus investigaciones, que lo llevaron a preguntarse por el comportamiento de los parientes del ser humano. Lo mismo vale para las célebres Dian Fossey y Birutė Galdikas, las cuales ampliaron nuestros conocimientos sobre los gorilas y los orangutanes, respectivamente.

Sobre un cremonés (y no es Stradivarius)

Antes de que se acabe el mes, previendo que no tendré tiempo de ir agregando material por lo menos mensualmente (como desde hace años me he propuesto), y aun a riesgo de recibir reprimendas por parte de mi gran amigo JHS, quiero escribir un poco sobre algunos matemáticos que, en mi opinión, son relegados a un segundo plano (si acaso) en los cursos de Cálculo.

Quiero comenzar con un italiano que vivió entre los siglos XVII y XVIII llamado Guido Grandi. Se hizo famoso por afirmar en 1703 que la expansión en serie de potencias \[ \frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k}, \] que puede pensarse como la sustitución $\rho = -x$ aplicada a la suma de la serie geométrica $\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}=\frac{1}{1-\rho}$, sigue siendo válida cuando $x=1$. Esto lo condujo a concluir que \[ \frac{1}{2} = 1-1+1-1+\ldots \] Así, Grandi defendía que podía obtenerse algo (es decir, $1/2$), a partir de la nada \[ (1-1)+(1-1)+\ldots = 0+0+\ldots = 0 \] y con ello hacía apología de la omnipotencia de Dios (!), ignorando convenientemente que también podría ponerse \[ 1+(-1+1)+(-1+1)+\ldots = 1 + 0 + 0 + \ldots \] en cuyo caso mágicamente perdemos la mitad a partir del todo. Por estos discurrimientos la serie alternante $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}$ también recibe el nombre de la serie de Grandi, y ejemplifica a una que diverge pero no lo hace creciendo o decreciendo sin cota (además de dejarnos la moraleja de que no podemos confiar en la asociatividad de la suma si se hace con infinitos términos).

A este matemático cremonés se le debe igualmente un especimen muy socorrido de curva paramétrica cuya área debe ser hallada, a saber, las rosas (¿polares?), que introdujera en 1728. Están dadas según la ecuación \[ r(\theta) = \cos(k\theta) \] salvo por rotaciones y escalamientos, cuando $k$ es entero. Lo interesante es que tal área ¡sólo depende de la paridad de $k$! Se le ocurrieron también las clélias, definidas paramétricamente en tres dimensiones según \[ x = \sin(m\theta)\cos(\theta),\quad y = \sin(m\theta)\sin(\theta),\quad z = \cos(\theta) \] y que yacen sobre una esfera. Son menos conocidas que las rosas quizá excepto en el caso $m=1$, cuando resulta la llamada curva de Viviani (la cual al estudiar geometría diferencial nos entretiene muy bien con el cálculo de su longitud de arco y curvatura), y que surge de la intersección de un cilindro de diámetro igual al radio de una esfera de modo que sean tangentes. Estas curvas tridimensionales se llaman así en dedicatoria a Clelia Grillo Borromeo Arese, una mujer de muy notable inteligencia, particularmente para la matemática. Me pregunto por qué no imitan más este ejemplo para elegir nomenclaturas los matemáticos, que es muy del estilo de los músicos y otros artistas.

Diálogo con mi hija

XIAS: ¡Guácala! ¡Un gusano!

OAAA: Más bien es una oruga, hija. Y acuérdate que después se transforman en mariposas o polillas.

XIAS: Esa no, papá. Está muerta.

:D

La última del 2017

Después de casi cuatro años (!), por fin aparece mi cuarto artículo "A note on a sumset in $\mathbb{Z}_{2k}$" en el Online Journal of Analytic of Combinatorics, después de ser rechazado por una revista de Elsevier y por la epi-revista de Timothy Gowers. ¡Sigue el trabajo para el quinto artículo!

Además, en este año que agoniza salieron las memorias del congreso de Puerto Vallarta y las del MCM 2017, en las cuales participé en su contenido y edición, y lo cual fue un honor y un placer.

La parte triste del año es la cantidad de matemáticos notables que nos han dejado. La siguiente lista no es, desde luego, exhaustiva.

• Kenneth Arrow.
• Kenneth Gross.
• William Massey.
• Uta Merzbach.
• Maryam Mirzakhani.
• Cathleen Morawetz.
• Marjorie Rice.
• Thomas Saaty.
• Raymond Smullyan.
• Gaisi Takeuti.
• Miles Tierney.
• Vladimir Voevodsky.
• Lotfi Zadeh.

No tengo por ahora más que agregar, en parte por falta de tiempo y en parte por falta de organización que tiene todo en mi cabeza.

Y pues, ¡feliz 2018!

Sobre la colecta de firmas por los aspirantes independientes

Según datos el Ine, la licenciada Margarita Zavala ha progresado de la siguiente manera en su recolección de firmas.

Días transcurridos	Firmas recabadas
8.00	13033.00
14.00	35738.00
16.00	44537.00
28.00	119841.00
38.00	201497.00
43.00	253168.00

Si ajusta uno a estos datos una función de la forma $f(t) = kt^{m}$, usando Octave nos da $k=340.95$ y $m = 1.76$, redondeado a dos decimales, con errores en la predicción de menos del $1{.}5$%, y cuyos residuos a ojo de buen cubero se ven bien repartidos. Esto significa, en particular, que podemos esperar que Zavala logre recabar las $866593$ firmas que requiere (aunque, infortunadamente, no podemos saber si lo suficientemente bien repartidas como solicita el Ine), pues cuando $t=120$ resulta $f(120) = 1556143.7$.

Escribo esto trayendo a colación que la periodista Azucena Uresti proclamó que, al día de inicio de recolección de firmas, los aspirantes necesitaban un "crecimiento exponencial" en su actividad para alcanzar el objetivo, delatando incredulidad al respecto. Inmediatamente le corregí que no era necesario un crecimiento exponencial, sino simplemente lineal (aunque a una tasa extremadamente veloz). Lean su respuesta.

Porque el que más registró fueron 1600 en un dia. Multiplicacion

— Azucena Uresti (@azucenau) 19 de octubre de 2017

Además, Uresti persistió un par de semanas en señalar que se veían lejos de su meta los aspirantes, lo cual a mi parecer es falto de ética porque en su papel de comunicadora debe fomentar la participación ciudadana, no un escepticismo en la misma que mina a una institución como el Ine. Todo esto sin mencionar que un crecimiento exponencial precisamente se observa muy lento cuando inicia.

Como se puede ver, no necesitan los aspirantes un crecimiento exponencial en la colecta de firmas, pues con un crecimiento superlineal pero subcuadrático basta y sobra, que ojalá sostengan todos los que registrados para el beneficio de nuestra democracia. Aquí estudio el caso de Margarita Zavala porque me inclino por su candidatura, pero un análisis semejante es válido para otros candidatos y nos permite darnos una idea si les será posible o no contender en las elecciones del año que viene.

Fibonacci por novena vez

Siendo matemático, me sorprende que ni cuenta me di cuando fui Fibonacci las ocho veces anteriores. Es probable que esta sea la antepenúltima vez que lo sea.

También me percato de que prácticamente nunca he hablado de los números de Fibonacci en mi bitácora, siendo que es un tópico matemático. Dos cosas me gustaría enumerar para "remediar" esto.

1. Mi identidad favorita relativa a los números de Fibonacci es la de Cassini \[ F_{n-1}F_{n+1} = F_{n}^{2}+(-1)^{n}, \] pues explica una aparente paradoja geométrica semejante a una de las predilectas del buen Gardner.
   
   El cuadrado tiene $34^{2}=1156$ unidades de área, mientras que el "rectángulo" de abajo tiene $55\times 21 = 1155$, ¿a dónde se fue la unidad cuadrada faltante? En realidad los triángulos se traslapan un poquito, pero apenas y se puede distinguir cuando esto representa menos del $0{.}1\%$ del área del cuadrado original.
2. Uno de mis números de Fibonacci favoritos es el $144$, pues además es cuadrado; no tiene mucho que Yann Bugeaud, Maurice Mignotte y Samir Siksek demostraron que es el máximo con esa propiedad en lo que a potencia no trivial respecta (mi hermanazo JHS me dió la punta de madeja para saber que en cuanto a cuadrado el resultado se debe a J. H. E. Cohn y O. Wyler en 1964). Asimismo, una leyenda dice que en los últimos días del matemático Thomas Fantet de Lagny este parecía tan lánguido que sus amigos no sabían si aún estaba consciente. Para averiguarlo, uno de ellos le preguntó: "¿Cuál es el cuadrado de $12$?" y la vida de Lagny sólo le alcanzó para responder "$144$". Por cierto, mientras Lagny estudiaba fracciones continuas se le adelantó a Gabriel Lamé en descubrir que al algoritmo de Euclides le toma el máximo número de iteraciones para determinar el máximo común divisor justamente cuando la entrada son dos números consecutivos de Fibonacci.

P. D. He aquí el pastel. Infortunadamente, otra vez no fui del todo bien interpretado por la repostera: se supone que la sección transversal debiera verse como la clásica espiral de cuadrados cuyos lados son números de Fibonacci consecutivos. Pero todo lo que tuvo de inexacto lo tuvo de delicioso.

Saltos inesperados entre los primos

Esta es la "transcripción" de mi "conferencia-discurso" motivacional para los estudiantes que ingresarán a la Licenciatura en Matemática Aplicada de la Universidad Tecnológica de la Mixteca. Mucho del material sobre Yitang Zhang lo obtuve del artículo de Alec Wilkinson para The New Yorker.

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Soy del todo sincero al declarar que es un honor y un gusto enorme dirigirme a ustedes, matemáticos en ciernes (aplicados, lo sé, pero yo no lo soy de forma propiamente dicha, sin mencionar que aún así son matemáticos a fin de cuentas), para darles algo de motivación.

Y como ya me ha pasado varias veces en que he aceptado encomiendas similares, descubro que me arrojo a una empresa que no tengo la menor idea de cómo realizar. Intenciones, sí, tengo muchas, pero no un plan trazado de antemano.

Pensé entonces en la clásica maña de preguntarse "¿qué clase de plática motivacional me hubiera gustado escuchar a mí?", y me resulta particularmente punzante porque yo estudié aquí en la UTM y de verdad me hubiera gustado recibir algunas palabras de aliento previas a iniciar el semestre. Mi respuesta es que mi idea e intención original no es mala en lo absoluto.

Primero que nada, la convocatoria pedía "un panorama sobre la matemática y el campo laboral de los egresados de matemática". Ambas cosas son desafiantes, pues incluso teniendo una semana para ello sería difícil, e imposible para un individuo, dar una visión de campo decente de nuestra disciplina. Lo del campo laboral, sobra decir, es un asunto espinoso.

Por eso es que quiero hablarles de Yitang Zhang.

El doctor Zhang es muy notable por haber demostrado, en 2013, que la pregunta

¿Existe una distancia tal que existen infinitos primos consecutivos separados por ella?

se contesta afirmativamente. La razón por la que es famosa es porque está ligada a la de los primos gemelos, que dice

¿Existen infinitos primos consecutivos a distancia dos?

y que, tristemente, no sabemos todavía si se puede responder con un "sí".

Regresando al doctor Zhang, nació en los años cincuenta en Shangai, China. Cuando cumplió quince años, como parte de la Gran Revolución Cultural, fue obligado junto con su madre a ir a una granja para labrar el campo; su padre fue enviado a otro lado. A Zhang le gustaba mucho leer (y la matemática en especial), pero no le permitían hacerlo porque no era esencial para la "lucha de clases" del proletariado. De todos modos, prácticamente todas las escuelas y universidades cerraron, y por eso Zhang trabajó diez años como campesino y no estudió el bachillerato. De modo que, a la primera oportunidad, entró directo a la Universidad de Pekín, y eso fue cuando tenía veintitrés años. En ese punto las cosas empezaron a ir como miel sobre hojuelas: obtuvo su grado de licenciatura en cuatro años, el de maestría en dos y obtuvo recomendaciones para hacer su doctorado en Estados Unidos, en la Universidad de Purdue.

El viento en popa dejó de soplar en este continente, sin embargo. A Zhang le apasionaba la teoría de números, pero el presidente de la universidad de Pekín, Ding Shisun, lo obligó a dedicarse a la geometría algebraica en aras del "bien común".

Zhang obedeció, y trabajó en un problema muy difícil denominado la conjetura del jacobiano. No pudo resolverla en los siete años que estudió el doctorado; realizó algún avance al respecto, pero nada verdaderamente notable, y además no quedó en buenos términos con su director de tesis en Estados Unidos. Sobra decir que no recibió cartas de recomendación, y por eso no encontró trabajo como académico.

Tuvo algunos empleos temporales: como contador y repartidor para un restaurante de Nueva York, en un motel (!), y otra vez como contador y cajero en un restaurante especializado en emparedados. Esto último fue porque se unió a un grupo político en pro de las libertades en China, y uno de sus miembros, que también no tenía ingresos, se le ocurrió comprar una franquicia y ocupar a Zhang para los números por evidentes razones. Durante ese periodo, Zhang iba a la biblioteca de la Universidad de Kentucky para leer revistas de geometría algebraica y teoría de números pero, según él mismo declara, "no mantuvo su sueño de hacer matemática".

Hasta 1999 lo contrataron en la Universidad de New Hampshire. Ahí dio clases de cálculo durante mucho tiempo en el campus de Durham, y el mismo jefe del departamento de matemática, Eric Grinberg, "iba de vez en cuando a recordarle que su puesto era temporal". Pero siempre Zhang siempre le respondía que le agradecía el tiempo que le permitían estar ahí.

Para 2001 había publicado solamente dos artículos. En uno, de 1985, no obtuvo nada realmente nuevo según el revisor de Mathematical Reviews; al otro, de 2001, el revisor lo calificó de "notable", aunque, por supuesto, no lo suficiente para obtener una definitividad, y en 2007 subió a arXiv otro sobre una variante de la conjetura de Landau-Siegel (que también es muy importante), pero está incompleto y, obviamente, permanece sin publicar "oficialmente". Muy poca gente sabía seguramente que trabajaba en la cuestión de las cotas sobre los saltos entre primos, y que logró terminar a finales del 2012. Su esposa le preguntaba: "¿qué haces?" y le contestaba "Estoy trabajando, estoy pensando", no entendía y le decía "¿Cómo que estás trabajando?". Y Zhang no hallaba cómo explicarle a su esposa. Revisó pues, su artículo minuciosamente y lo mandó por fin en 2013 a Annals of Mathematics, una de las revistas más prestigiosas de matemática (ahí, por ejemplo, apareció la demostración del teorema de Fermat-Wiles). El editor mandó el artículo para que lo revisaran Henryk Iwaniec y John Friedlander, quienes eran ni más ni menos que los autores de una técnica fundamental para el resultado de Zhang. Lo examinaron hasta el más mínimo detalle y su veredicto final fue positivo: "los resultados son del más alto rango. El autor ha tenido éxito en demostrar un teorema que hará época en lo que respecta a la distribución de los números primos. Aunque hemos estudiado los argumentos concienzudamente, nos ha sido difícil encontrar incluso los deslices más pequeños. Estamos muy contentos de recomendar enfáticamente su publicación en Annals".

El resto es historia, aunque para mí fue emocionante porque lo seguí en vivo. Primero hubo mucho ruido y se filtró una versión preliminar del artículo en la red (pero la versión definitiva no se puede descargar gratuitamente, y el autor no colgó una en arXiv). En todo caso, Zhang demostró que el salto entre primos consecutivos que se repite infinitamente es, cuando mucho, setenta millones. Este número lo escogió para garantizar que todo fluyera bien en su demostración, pero desde luego no es óptimo. Vi en arXiv cómo saltaron las primeras notas que lo iban bajando, y leí cómo Terence Tao empezó a coordinar los esfuerzos en el proyecto Polymath8, y entonces varias personas iban haciendo observaciones teóricas, escribiendo código, etcétera, hasta que lograron hacerlo descender a 246. El grupo sí subió sus resultados a arXiv, en 2014.

Cuando le preguntaron a Zhang en una entrevista cuál es un talento que un matemático debe tener, contestó: "Concentración, y nunca doblegar su personalidad. Quizá lo que tienes enfrente es muy complicado, es largo, pero debes poder sujetar los puntos principales con tu intuición".

Creo que hay varias moralejas de todo esto, pero quisiera señalar las siguientes:

1. Hay que tener determinación y paciencia para la matemática, y para la vida en general.
2. Hay mucha presión por parte del entorno: expectativas de los colegas, de la familia, presiones laborales, económicas, pero si lo que a uno le apasiona es la matemática, hay que buscar cómo lidiar con ello para seguir haciéndolas.
3. Continuando sobre el punto anterior, me gusta esta frase de Einstein de 1954:

   Si fuera joven de nuevo y tuviera que decidir cómo ganarme la vida, no trataría de convertirme en científico, académico o maestro. Preferiría elegir ser plomero o vendedor ambulante, con la esperanza de encontrar ese modesto grado de independencia que aún se puede lograr en las presentes circunstancias.

4. Lo que dice la canción de José Alfredo Jiménez: "No hay que llegar primero, sino hay que saber llegar". A Zhang le dieron su definitividad por fin en 2014 en New Hampshire, a consecuencia de la demostración, pero además le llovían las ofertas de otros lados. Aceptó la de la Universidad de California, en el campus de Santa Barbara. Seguramente ahí esperarán el tiempo que sea necesario para que logre nuevos avances en la teoría de números.

Finalmente, entiendo que no todos los aspirantes piensan en matemática pura, y en principio no todos tienen el trasfondo de Zhang. Pero tampoco tengo mucha experiencia en las empresas o la iniciativa privada como para hablarles de ese entorno con conocimiento de causa. Sin embargo, sigo la bitácora de un matemático muy aplicado y que hace consultoría por su cuenta, John D. Cook. Dice en su perfil:

Completé mi doctorado en matemática aplicada en la Universidad de Texas e hice un posdoctorado en Vanderbilt. El enfoque de mi investigación fue ecuaciones no lineales en derivadas parciales. Después de mi posdoctorado decidí dejar la academia. Trabajé como desarrollador de software y administrador de proyectos durante varios años. En 2000 llegué al centro médico Anderson sobre el cáncer, primero como administrador de desarrollo de software, y después como investigador en estadística. Mi trabajo se centró en la estadística bayesiana, ensayos clínicos y desarrollo de algoritmos numéricos.

Y para no hacer largo un cuento corto, su enumeración de lo que lo que más ocupa en su profesión es la siguiente:

• probabilidad,
• ecuaciones diferenciales,
• grandes redes (teoría de grafos),
• análisis complejo,
• análisis numérico,
• análisis funcional,
• filtrado y procesamiento de señales.

También dice:

Mucha de la llamada 'matemática aplicada' solo es potencialmente aplicada, porque nadie ha realizado el arduo trabajo de aplicarla. Me gusta escarbar en los problemas reales y usar cualquier cosa que me sirva para crear una solución.

De lo que he leído en su bitácora, incluso la zeta de Riemann le ha resultado de utilidad alguna vez. Asimismo, y en sintonía con las lecciones de la vida de Zhang, dice que trabajar por su cuenta al principio fue muy lento y ganaba poco dinero, por lo que le sirvió mucho tener un buen ahorro antes de empezar. El corolario obvio de esto es que, de partida, hay que trabajar en lo que sea que deje suficiente dinero como para acumular un poco, y luego ya usar eso como trampolín para crecer.

Dicho todo esto, no me queda más que darles la bienvenida a la Universidad Tecnológica de la Mixteca, y ojalá sea el vehículo para que alcancen sus aspiraciones en la matemática. Enhorabuena.

Buenos recuerdos del MCM 2017

Se me antojó asentar por escrito que:

1. Mi recital del MCM 2017 reclama el título de ser el mejor que he ofrecido en toda mi vida hasta la fecha (antes había sido el de la UTM del 2001, hace poco menos de 16 años), lo cual me llena de júbilo porque el público era de lo más conocedor. El Dr. Mazzola me proporcionó una reseña como la de Ponce a Segovia en 1923: "[Escucharte es] expe­ri­men­tar una sen­sa­ción de inti­mi­dad". Heinz Geisser (calificado por el Dr. Mazzola como un "auténtico músico"), quien por cierto tiene preparación académica como guitarrista, también me dijo que había estado muy bien. Los aplausos fueron muy generosos e, intuyo, completamente sinceros, y condujeron naturalmente a un encore para el que, con franqueza, no estaba preparado. ¡Albricias!
2. De la misma manera, mi nano-curso fue bastante bien recibido, y en particular el Dr. Mazzola opinó que fue una gran ocasión para discutir en vivo algunos temas, lo cual sería bueno incorporar en futuros congresos; no al estilo de los foros, donde hasta cierto punto las respuestas están precalculadas, sino al estilo de un seminario. He tomado nota para futuras referencias.

En las vísperas del MCM 2017

Faltan pocos días para que inicie el MCM 2017.

Si no me equivoco será la primera ocasión, después del festival de guitarra de San Miguel Allende al que fuí una vez en 2004, en que toco frente a un público de músicos profesionales (y algunos son guitarristas, además). Me aterra, pero al mismo tiempo me emociona. Ojalá salga bien librado.

También está lo de mi nano-curso. Le puse el prefijo "nano" por la proporción que guarda con el material, pues la idea es dar un bosquejo general de la teoría matemática de la música de Guerino Mazzola en sólo tres días. Además, como no creo que asistan a todas las sesiones, cada "clase" debe ser lo más autocontenida posible.

Y celebramos los 65 y 70 años de los doctores Emilio Lluis-Puebla y Guerino Mazzola, mis grandes mentores y amigos, por si no fuera suficiente.

Encuentros personales con el teorema del valor medio

1. Según confirmo en un artículo de "The Economist" (aunque había visto el dato en otra parte investigando sobre cuestiones de lectura relacionadas con el Suneo), cuando uno cumple unos $1500$ días uno ya sabe $5000$ palabras. No es descabellado suponer que la función que asocia a cada instante de tiempo vivido el número de palabras que uno sabe es no decreciente (por lo menos hasta los cuatro años), y que podemos interpolarla con una función diferenciable. Entonces, por el teorema del valor medio, existe un momento antes de nuestro cuarto cumpleaños en que aprendimos ¡a una velocidad de $\frac{5000}{1500} \approx 7$ palabras por día! Recuerdo que en la fuente que me informó sobre la asimilación de vocabulario hace un cálculo semejante y luego lo desacredita, pero yo creo que esto habla de la rapidez con la que aprendemos a hablar y que muchas veces pasa desapercibida para nuestros padres. Para ser más claros (y discretos): si aprendiéramos solamente 5 palabras o menos cada día hasta los cuatro años, nuestro léxico no podría rebasar las ocho mil palabras.
2. En la UTM están ampliando algunos pasillos, y tuve la siguiente conversación con un estudiante de matemática:
   • O: Va a quedar perfecto que añadan este pasillo, va a desahogar mucho el tránsito de estudiantes, especialmente en las mañanas.
   • X: (Gesto de inconformidad).
   • O: ¿No?
   • X: ¡Es que va a quedar muy empinado!
   • O: Pues por el teorema del valor medio, tiene que haber un punto en los tramos adicionales con la inclinación que de por sí trae el cerro.
   • X: No, pues sería irrazonable argumentar contra eso.
   Nota: La parte en cuestión no tiene escalones.

Por qué no soy guitarrista de concierto

Quien me lee sabe que soy aficionado a la música de Daft Punk, especialmente del álbum "Random Access Memories". Ya he dicho también cómo es que me enamoré de la matemática y decidí estudiarla profesionalmente, y por fin cumpliré con dar algunos detalles en cuanto a cómo es que no estudié música. Pues resulta que mucho de lo que dice de viva voz Giorgio Moroder en la pista "Giorgio by Moroder" es aplicable casi a la letra (!) a mi persona:

When I was fifteen, sixteen, when I really started to play the guitar,
I definitely wanted to become a musician.
It was almost impossible because the dream was so big.
I didn't see any chance because I was living in a little town; I was studying.
And when I finally broke away from school and became a musician [Esto es lo que me falló a mí]
I thought, "Well, now I may have a little bit of a chance,"
Because all I really wanted to do is music – and not only play music
But compose music.

Angélica anota jocosamente: "Y no es que Agustín-Aquino se arrepienta y confiese su culpa, sino que su autobiografía es una copia textual de las memorias de Giorgio Moroder. Pero nosotros, que amamos a Agustín-Aquino, creemos que estas conductas que se le atribuyen le son totalmente ajenas. Probablemente sean de Giorgio Moroder".

Recuerdo que desde que tenía unos 8 años quería aprender a leer música, y que incluso en un programa del canal local lo explicaron con una escalera, pero nunca entendí, y eso era motivo de mucha frustración para mí. En particular, porque había desarrollado, a raíz de un desafío, un profundo gusto por la música de concierto (la del barroco europeo, para ser más específico). Cuando tenía unos once años, preinstalado en la computadora que compró mi padre, venía el videojuego "Lenny's MusicToons". En particular, en la sección "Pitch Attack", uno tenía que disparar según la nota que se ponía en el pentagrama para ir subiendo de rango hasta llegar a general de división. Lo jugué prácticamente con adicción y, aunque no llegué hasta el máximo nivel, sí aprendí mucho.

Así, cuando fue obligado comprar una flauta de pico para la clase de apreciación musical en la secundaria, me resultó sumamente fácil y deleitoso aprender a tocar, especialmente teniendo a la mano el diagrama de digitaciones que incluye el instrumento.

Me pasaba las tardes y noches jugando y practicando con la computadora y tocando... para la desdicha de los oídos de mi padre. Fue entonces que me llamó y me dijo: "¿Por qué no mejor aprendes a tocar la guitarra?". Asentí y acto seguido trajo el susodicho instrumento, me enseñó medianamente a templarla y me cedió toda su colección de revistas "Guitarra Fácil", deseándome buena suerte para dominar el material.

Después de examinar la colección con algo de cuidado concluí que era milagroso poder, al vuelo, mudar de una pisada a otra mientras se cantaba (todavía hoy me resulta difícil acompañar mi propio canto, cuando muy en privado me animo a ensayarlo), y después de intentarlo un par de semanas, desistí y continué con la flauta de pico.

Al poco de eso me inscribí al taller de música de la secundaria, pero resulta que la flauta de pico no es un instrumento bien valorado en las presentaciones públicas. Me percaté que lo opuesto pasa con la guitarra, y observé con cuidado cómo el maestro enseñaba los rudimentos a los guitarristas. Repetí todo ello en mi casa, y en más o menos un mes logré la hazaña de tocar las canciones del repertorio que presentaría el grupo. El maestro consintió en que me integrara a los guitarristas, me tomó algo de aprecio y me enseñó un poco más, de lo que llaman "guitarra clásica", y después por mi cuenta probé hacer algunas transcripciones (tan audaces y descabelladas como de los primeros compases de la Quinta Sinfonía de Beethoven). En mi juvenil candidez e ignorancia, suponía que nadie más hacía eso.

Me sacó de mi error una guitarrista profesional que sucedió al maestro a cargo del taller de música. Además de corregir (y al mismo tiempo echar a perder) mis posturas para lograr un mejor dominio del instrumento, no dejó de recalcarme que mis dedos no servían para tocar la guitarra.

Al proseguir hacia la preparatoria, por casualidad se conjuntaron entre los alumnos dos chelistas, un clarinetista, un violinista, una fagotista y una soprano, y con ellos formaron un ensamble que interpretó un peculiar repertorio para un aniversario de la institución educativa. Las autoridades de la escuela se enteraron de que tocaba algo bien la guitarra y me sumaron al conjunto. Así conocí al violinista y a su profesora, que era miembro del Ensamble Tao. Le pregunté si sabía de alguien que enseñara guitarra de concierto, y me respondió que por casualidad se les uniría un guitarrista que había estudiado en la Escuela Nacional de Música (ENM, hoy Facultad de Música de la Unam), de nombre Julio García, y que accedió a instruirme.

Afirmo, y creo que sin exageración, que todo lo que sé (bien) se lo debo al maestro Julio, y con él consulté mi intención de ser guitarrista de concierto e ingresar también a la ENM. No recuerdo exactamente si me dijo si sí o no; mi padre también le preguntó y en mi memoria su respuesta fue básicamente "Debe intentarlo para saberlo", y que no fue satisfactoria para mi padre.

Sin un bachillerato en artes, supe que tenía que hacer estudios equivalentes en la ENM antes de entrar propiamente a la licenciatura en instrumentista, lo cual no me pareció muy seductor, pero aún así presenté el examen de admisión. Sospecho que mi padre, al mirar lo serio de mis intenciones de estudiar música, me advirtió sutilmente que no las financiaría. No tuve el valor para arrojarme a la empresa sin soporte económico; tal vez cometí un error, tal vez no.

Solamente me falta agregar que, paralelamente a todo ello, en otra computadora había un programa para secuenciación de MIDI, y que fatigué persiguiendo ser compositor, pues la máquina nunca respingaba ante mis desvaríos. He tenido la bendición y maldición de poder seguir haciendo eso (lo digo porque únicamente una vez he podido componer algo sin usar la computadora). Creo que mi crónica puede concluir igual que como lo hace Moroder.

Once you free your mind about a concept of
harmony and music being correct
you can do whatever you want.
So, nobody told me what to do,
and there was no preconception of what to do.

Y la mejor manera de liberarse de las ataduras es, aunque no lo crean, la Matemática.
P. D.: Por un descuido imperdonable olvidé mencionar a mi gran amigo José Alberto Allec Campos quien, mientras trabajó en la constructura de mi padre, me enseñó la teoría musical básica, como lo es el círculo de quintas y cómo construir las armaduras de las distintas tonalidades, entre otras cosas, y por las que le estaré eternamente agradecido.

¿Para ser como Bill Gates?

No están tan atinados los artículos periodísticos que circulan en la red que aseguran que puede uno leer 200 libros al año. Para empezar, esto lo sacaron de una bitácora de alguien que usa la velocidad máxima de lectura (¡400 palabras por minuto!) de sus datos (que, por cierto, no indica la fuente de los mismos). Según calculo a partir de los datos de un artículo (su muestra es de 32 lectores estudiantes de licenciatura), la velocidad de lectura en palabras por minuto anda por ahí de las 250 palabras por minuto en promedio (en inglés). Usando otro artículo con velocidades de lectura de los que aprenden inglés como segunda lengua, sale un promedio más bajo, pero la desviación estándar anda en lo mismo, de unas 30 palabras por minuto. Según la regla de las dos sigmas, y suponiendo que las velocidades se distribuyen de forma aproximadamente normal, más del 95% de las personas lee con una velocidad entre las 190 y 310 palabras por minuto. (Yo leo unas 240 palabras por minuto en inglés y 361 en español).

Por otro lado, el autor de la bitácora pone como 20000 la longitud promedio de un libro, lo cual es demasiado poco. Usando una infografía que encontré y una muestra hecha por mí mismo, es más seguro que ande un orden de magnitud arriba. Debo añadir que la infografía y mi muestra incluyen libros que vale la pena leer (de autores como James Joyce o Jane Austen, por citar dos casos). Así, 200000 palabras es más realista (la mediana fue de algo mayor a 130000). Asimismo debe recalcarse es que la longitud de los libros seguramente tiene una distribución de Pareto, con parámetro de forma menor a 1 (salió 0.288 con los datos de la infografía, pero hay que considerar que son pocos puntos muestrales), lo que significa que no tiene mucho sentido determinar la media ni desviación estándar de la población. Eso quiere decir que es muy difícil hablar de la longitud típica de un libro o incluso de qué tan desviada de alguna media puede estar: para cualquier conjunto de libros que juzguemos típico, es muy probable que encontremos una cantidad significativa de obras atípicas en su longitud. Dicho esto, un libro de doscientas mil palabras a una velocidad promedio de 250 palabras por minuto requiere unos 800 minutos o poco más de 13 horas para ser leído. Usando las 5 horas que supuestamente "desperdiciamos" en la televisión diariamente apenas nos da para unos 140 libros. Insisto: a velocidad promedio. Usando la regla de las dos sigmas podría ser tan poco como 87 libros y tanto como 170. Esto, sin embargo, todavía cae lejos de los 200 proclamados. Tampoco nos metemos en las honduras de cuánto de eso se asimila; según sé de la investigación al respecto, es necesario leer a cierta velocidad y un vocabulario amplio para asegurar una comprensión fluida. Naturalmente, si no se practica leyendo se está todavía más lejos llegar a consumir las centenas de libros que harían felices a muchos escritores y editores.

Apenas algunas palabras

Francamente me siento muy triste por cómo están progresando los asuntos; es una tristeza exacerbada por la relativa impotencia de un individuo.

Actuando en respuesta análoga a llamados hechos por los activistas estadounidenses (como Michael Moore, por ejemplo, o incluso el mismísimo Barack Obama), le escribí a los encargados de ciertas comisiones en el Congreso de la Unión de mi país para actuar frente al despreciable Donald Trump. Sólo uno me contestó: el presidente de la comisión de asuntos migratorios, lo cual tendré muy en cuenta. Apenas tenga un tiempo y pueda reflexionar suficiente, voy a hablarles por teléfono.

A los demócratas en Estados Unidos se les acusa de ser llorones desconectados de la realidad por parte de sus opositores. La utraderecha ha soslayado la masiva manifestación que lograron convocar en contra de las políticas de su malhadado presidente, alegando que deben actuar, no simplemente marchar. Que por qué no votaron. Pero los recuentos dicen que sí votaron, y mayoritariamente, sólo que no donde era crucial hacerlo, y en mi opinión no era tan fácil calcular cómo debieron distribuirse. Puedo acotar aquí que yo he votado por lo que me interesa y que, hasta ahora, no me arrepiento en lo más mínimo de la dirección en la que lo hice; aunque, por otra parte, las diferencia entre las opciones es realmente muy vaga.

Las reacciones en México son muy semejantes: muchos exclaman que quejarse es fácil pero resolver las cosas no, que hay que tener pantalones (¿y falda, que no?) y arremangarse la camisa. Pero no entiendo cómo vamos a enfrentar a un país con un PIB nominal más de diez veces mayor al nuestro y con una milicia por lo menos cinco veces mayor. Creo que la única manera de aprovechar eso es precisamente que nos resulta más fácil movernos que al mamut estadounidense; el problema es que no hay mucho a donde correr, y menos considerando que lo tenemos de vecino. Además, si Betsy DeVos es elegida como ministra de educación de allá, por fin tendremos la oportunidad de vencerlos en el plano intelectual; ellos estarán entretenidos en su guerra contra los osos grizzly, mientras aquí simplemente tendremos que reforzar la lectura en voz alta y de comprensión. Sin embargo, los obstáculos nacionales para generar una sociedad inteligente son formidables. Además, debemos fijarnos muy bien en no cometer los mismos errores que nuestro vecino.

Ya me fluyen algunas ideas, pero sólo para el largo plazo. Con los boicots contra productos estadounidenses hay que tener cuidado: sería obligado que renunciáramos a las tortillas y a otros productos que requieren maíz (pues también alimenta al ganado), porque a Estados Unidos es a quien se lo compramos en gran cantidad (somos su segundo mejor cliente, después de Japón). Y trabajar sin comer nunca ha sido mi fuerte.

La última del 2016

En este año que termina no me dio tiempo de encontrar el video más visto en Yutub, pero supongo que en México el de cierta persona acompañada de sus progenitores ha de estar entre los primeros lugares.

Por otro lado, me siento realizado porque mis tuits le gustaron a la CNRS, a Nalini Joshi, a Evelyn Lamb, a John Allen Paulos y a Keith Devlin. Igualmente, me causa algo de orgullo haberle causado algo de picazón a la insulsa escritora de un programa de televisión por medio de la aludida red social.

Por último, me pareció interesante leer lo que opina Hawking en el Foro Económico Mundial sobre la automatización de muchos empleos ya no tan simples, como podría serlo cierta clase de periodismo. Sin embargo, creo que las máquinas todavía no hacen un trabajo siempre decente en algo tan mundano como lavar la ropa, y como hasta donde tengo noticia todavía no suben escaleras, no me siento tan agobiado.

Y pues, ¡feliz 2017!

Más vale paso que dure... (3)

Prometí anteriormente que hablaría del empeño que mostraron los antiguos pobladores de Mitla en la construcción de lo que ahora está en ruinas, y que es comparable tanto con el de los que erigieron Monte Albán o el de unas hormigas que fascinaron a Evelyn Lamb durante su visita a Oaxaca.

Pues bien: el trabajo primoroso de los frisos realmente requeriría un tesón poco visto en los métodos constructivos modernos. Las piedras que utilizaban en el sitio venían de relativamente lejos (hasta unos $7$ kilómetros de distancia, entre montes y serranías, según un trabajo ya algo antiguo pero excelente de 1992 de Nelly Robles García), de canteras donde eran removidos enormes bloques (¡de $3.1\times 1.38 \times 0.85$ metros cúbicos, por ejemplo!) del que seguramente se separaban fragmentos; estos eran tallados hasta darles las formas de cuadriláteros o relieves curveados que servían de unidades para los frisos.

Todo esto se hacía usando otras piedras como herramientas, que no instrumentos de metal, y hasta donde tengo noticia realmente no se conocen los métodos que usaban para separar los trozos gigantes; se piensa que se hacían perforaciones en la matriz de roca para ser rellenadas con palos y que, al humedecerse, ejercían suficiente presión como para fracturar el material. Ni siquiera me atrevo a imaginar la cantidad de paciencia que se necesitaba para esto, pues restaría todavía trasladar el resultado hasta el sitio de la obra. Según Robles García, no faltaba la ocasión en que la bendita piedra se quebraba en el traslado, y había que comenzar de nuevo.

En la siguiente figura pueden ver cómo, desde mi punto de vista, podría ensamblarse el friso de la fotografía, donde los números indican el orden de "inserción" en marco del friso.

Por la prisa no pude reproducirlo exacto, pero se entiende que la parte azul de los rectángulos grandes tiene el zigzag grabado en relieve, pero que forman una sola unidad. El módulo que se repite consta de $8$ piezas, y según vemos en la fotografía se requerían unas $48$ repeticiones para completarlo.

Suponiendo que tomara unos diez minutos hacer una unidad, resulta un jornal de $8$ horas para completar un cuadro con frisos. Según estimo por el número de edificios de cada grupo de Mitla y el número de frisos por pared, hay del orden $1\times 10^{2}$ cuadros (sin contar los que posiblemente no han sobrevivido hasta nuestros días), por lo que tomaría no menos de unos tres meses de trabajo diario de una sola persona llevarlos a cabo. Y esto cuando ya se han colocado todos los cimientos y se tienen talladas todas las piezas, lo que con seguridad añadiría varios años más a la duración de la obra.

Decorando el árbol navideño

No soy particularmente afecto a los adornos decembrinos, pero Ange y mi hija sí. Conseguir el árbol se hizo imperioso, que afortunadamente consintieron en que fuera de plástico.

¿Y qué tan larga se necesita la serie para que se vea bien?

Si se aproxima con una espiral cónica, con ecuaciones paramétricas \[ x = \frac{tr}{h}\cos(ah), y = \frac{tr}{h}\sin(ah), z = t/h \] donde $a$ es la frecuencia angular, $h$ es la altura del árbol y $r$ es el radio en la base, de modo que conforme $t$ va de $0$ a $h$ se recorre todo el cono, la longitud de la curva es \[ s(t) = \frac{h((\tfrac{r}{h})^{2}+1)}{2ar}\mathrm{arcsinh}\left(\frac{art}{h\sqrt{(\tfrac{r}{h})^{2}+1}}\right)+\frac{t}{2}\sqrt{(\tfrac{r}{h})^{2}(a^{2}t^{2}+1)+1}. \]

Para nuestro caso, la altura es $h=1{.}6$ y el radio en la base es aproximadamente $r=0{.}5$. Yo quería que diera $6$ vueltas, así que deberíamos tener $a=6\cdot 2\pi = 12\pi$, lo que requeriría unos $15{.}27$ metros.

Pero no resultaría muy práctico, pues si he observado bien el espaciamiento promedio entre los focos, tendríamos que conseguir una serie de unas $600$ o $700$ luces, que no hemos visto por acá en Huajuapan.

Ange consiguió una de $300$ luces, que equivale a unos $7{.}5$ metros, ¿cuántas vueltas le daría? Usando la gráfica de la función de longitud en términos de $a$, resulta un valor algo así como $ a \approx 18 \approx 2.86(2\pi)$, o sea un poco menos de tres vueltas (y es que la gráfica se ve muy lineal después de que la espiral da una vuelta). Dado que el árbol se ensambla de tres módulos, pues no se ve tan mal; al menos, Ximenita quedó complacida.

Mi encuentro personal con el teorema del valor intermedio

Una temporada Ange y mis hijas estuvieron en San Antonino mientras yo seguía trabajando en la Universidad de la Cañada. Varios fines de semana hice el viaje entre Oaxaca de Juárez y Teotitlán, y en un promedio con una desviación estándar muy pequeña (menor a los diez minutos), me tomaba tres horas completarlo.

Para no dormirme mientras manejaba, hice una lista de reproducción musical en mi celular, con la duración apropiada. Inevitablemente, tuve un déjà vu: pasaba por el mismo punto de la carretera (cerca de Nacaltepec) escuchando exactamente la misma canción. Y cuando digo canción, es porque lo es: "Right here, right now", interpretada por Giorgio Moroder y Kylie Minogue, del álbum "Déjà vu" del compositor (!).

¡Por supuesto! Si $t_{1}:[0,1]\to [0:3]$ es el instante $t_{1}$ de mi lista de reproducción que iba escuchando al pasar por el punto $x$ (donde el $0$ está en Oaxaca y el $1$ está en Teotitlán) sobre la carretera durante la ida, y $t_{2}(x)$ es lo análogo pero de regreso, podemos definir \[ f(x) = t_{1}(x)-t_{2}(x) \] y entonces \[ f(0) = t_{1}(0)-t_{2}(0) = 0-3 = -3, f(1) = t_{1}(1)-t_{2}(1) = 3-0 = 3 \] pues con $t_{2}$, cuando llego a Oaxaca desde Teotitlán, ya he escuchado toda la lista, lo mismo que con $t_{1}$ al llegar a Teotitlán. Puesto que no me teletransporto ni salto elementos de la lista de reproducción, tanto $t_{1}$ como $t_{2}$ son continuas y por lo tanto $f$ también. Por el teorema del valor intermedio, se sigue que existe un punto $\xi$ sobre la carretera tal que $f(\xi) =0$, esto es \[ 0 = t_{1}(\xi)-t_{2}(\xi) \] o sea $t_{1}(\xi) = t_{2}(\xi)$.

Vale señalar que no importa entonces si hago algunas paradas en el viaje, o si realizo diferentes patrones de aceleración y frenado, siempre que idas y vueltas tomen el mismo tiempo. Aunque eso sí va a afectar a cuál momento de mi lista le toca la coincidencia.

Naturalmente, esto es una variación del tema del monje que sube y baja la montaña y pasa por el mismo lugar a la misma hora, pero midiendo el tiempo con música en lugar de con un puro pulso de reloj, lo que probablemente aumenta el dramatismo de la situación. Además, aquí pusimos al tiempo en función de la posición, y no al revés, como tal vez sea más intuitivo para el monje; pero no para mí, porque el viaje podía ser oportuno a diferentes horas del día. Algo me dice que de manera semejante se le ocurrió a alguien ese ejemplo.

Del anecdotario (III)

La primera "estancia profesional" cuando estudiaba Matemática en la UTM la hice en el Cimat, bajo la tutela de la maestra Helga Fetter Nathansky, en 2004. En una ocasión, no podía yo con algo elemental del álgebra lineal.

— ¿Cómo es que no te sale? Es trivial. —Sentenció ella en su tono severo.
— Para mí no lo es.
— Está bien. Ponle una letra al escalar, la que tú quieras.
— $\zeta$ —escribí, mientras se acercaba al pizarrón la maestra.
— ¿Por qué una letra tan difícil? ¡No la puedo dibujar!

:-D

¡¿Algunos temas?!

Recientemente apareció una reseña en la página de la UTM sobre el desarrollo del Segundo Congreso Internacional sobre Modelación Matemática. Escribo esto para declarar que no me gustó lo que escribieron sobre mi plática plenaria:

Finalmente se tuvo la última sesión plenaria la cual fue dictada por el Dr. Octavio Alberto Agustín Aquino, en la que habló acerca de la matemática y su papel en la creación de la música. Su plática fue acompañada por la interpretación de algunos temas con el uso de la guitarra.

Primeramente, no hablé de la matemática en general y después de cómo se usa para hacer música ¡en lo absoluto! Si por lo menos hubieran leído el resumen de mi ponencia, sabrían que me ocupé específicamente del contrapunto y el modelo de Guerino Mazzola para hacer análisis del de la primera especie, y cómo eso se puede extender al contrapunto doble. Además, no "acompañé" mi plática con interpretaciones de "algunos temas", sino que específicamente ilustré aspectos con los que, por experiencia, se que muchas personas no están familiarizados. Más concretamente: toqué íntegro un pequeño estudio de Fernando Sor (por que tiene partes en contrapunto de la primera especie), y un fragmento del "Hortus Musicus" de Johann Adam Reincken (porque la fuga tiene contrapunto doble), lo cual, con todo respeto, son mucho más que unos simples "temas".

Es verdad que dije que algunos mundos de contrapunto se han encontrado en la música hindú, de la pianista Joomi Park y del compositor Alexander Scriabin, y que me gustaría componer una fuga usando lo que salga para contrapunto doble, pero eso estuvo muy lejos de ser el tema central de mi plática.

Del anecdotario (II)

En 2005 hice mi estancia profesional en la sucursal de Morelia del Instituto de Matemáticas de la Unam. Ange y yo solicitamos trabajar con el Dr. Moubariz Garaev, y resultó toda una experiencia; principalmente para Angélica, que aprendió sobre sumas trigonométricas. Yo estuve estudiando la demostración del teorema de los números primos, lo cual fue edificante, pero no tanto como los intrigantes métodos de Vinogradov.

Hubo un momento en que no podía encontrar el orden asintótico de cierta suma, y se lo expuse dos veces a Garaev para que lo verificara. A la tercera e infructuosa vez, me dijo algo así como:

— Si lo puedes hacer, házlo, y no estés dando vueltas.

A lo que contesté:

— Creo que sí puedo, pero yo siento que...
— Tú eres estudiante de matemática, no de literatura, los sentimientos no tienen nada que ver. Si lo puedes demostrar demuéstralo, y si no vuelve hasta que puedas.

Lo bueno es que la cuarta fue la vencida.

:(

Der Teufel ist ein Optimist

En Acatlima, Huajuapan de León, Oaxaca, ahora hay una panadería (que se hubiera apreciado mucho existiera en mis tiempos de estudiante). Puesto que cumplió aniversario de existencia, hubo música, atole, pastel y baile. Más específicamente, el baile de los diablos de Juxtlahuaca.

En eso estaban cuando llegamos mi hija y yo a comprar pan, y ella exclama: "¡Mira papá, el Diablo de los Números y Robert!". Le estoy leyendo el maravilloso libro de Hans Magnus Enzensberger, y la verdad me hizo mi día al reconocerlos en su disfraz oaxaqueño. Agregó: "Aunque esa máscara de Robert no me habías dicho que la tenía".

:D

Suertudo por décima vez

Cumplo un tanto ajetreado los 33 años, que es el décimo número suertudo. Un número se dice suertudo si sobrevive a un proceso de cribaje análogo al de los primos, pero simplemente por orden y no por divisibilidad. Es decir: primero elimino a cada segundo número, y me quedan $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,\ldots$; luego remuevo cada tercer número, y permanecen $1, 3, 7, 9, 13, 15, 19,\ldots$, y así sucesivamente. Este tipo de números comparten muchas propiedades de los primos; por ejemplo, se cumple que si $l_{n}$ es el $n$-ésimo número suertudo, entonces $l_{n}\sim n\log(n)$. Con suerte seré suertudo por undécima vez.

El pastel para esta ocasión es un toro (debía ser redondo y reticulado, pero algo diferente entendió la pastelera), y si se divide en $16$ cuadros, resulta que hay $33$ formas de colorear de negro cuatro cuadritos (y el resto de blanco) descontando simetrías. Para ver por qué, usando GAP se puede calcular que el grupo de simetrías de simetrías del toro cuadriculado es de orden $128$, los índices de ciclos de cada una de las simetrías, y finalmente determinar que el polinomio de índices de ciclos es \[ p(x) = \frac{1}{128}(16x_{8}^{2}+52x_{4}^{4}+16x_{1}^{2}x_{2}x_{4}^{3}+27x_{2}^{8}+12x_{1}^{4}x_{2}^{6}+4x_{1}^{8}x_{2}^{4}+x_{1}^{16}). \] Sustituyendo $x_{1}=1+y$, $x_{2}=1+y^{2}$, $x_{4}=1+y^{4}$, $x_{8}=1+y^{8}$ y simplificando con la ayuda de Maxima, nos da \[ q(y) = y^{16}+y^{15}+5y^{14}+10y^{13}+33y^{12}+53y^{11}+101y^{10}+122y^{9}+153y^{8} \] \[ +122y^{7}+101y^{6}+53y^{5}+33y^{4}+10y^{3}+5y^{2}+y+1. \] Como ven, el coeficiente de $y^{4}$ (y el de $y^{12}$, por supuesto, pues los colores se pueden intercambiar), es $33$. Esto lo supe examinando la sucesión A093466 de la OEIS. :D

Esas coloraciones en general les llaman cuasicuatrominós, e incluyen a los cinco tetrominós, que son posiblemente el caso particular más famoso de los poliominós tan favoritos de Golomb. No sabía que no pueden embaldosar un rectángulo de $5\times 4 = 20$ cuadros, pero sí uno de $5\times 8$ o $4\times 10$ si se usan dos juegos. :D

P. D. 1: ¿Por qué chingados Corea del Norte realiza ensayos nucleares en mi cumpleaños, pues? >:[

Tres necrologías del año

Muchos matemáticos, y buenos, han muerto en lo que va del año.

1. Mi hermanazo JHS me informó sobre el fallecimiento el 8 de mayo pasado de Tom M. Apostol, a la avanzada edad de 92 años. De él me gusta particularmente su libro sobre teoría analítica de números, del cual recuerdo el infame ejercicio que resistió mis intentos de solución durante unos 10 años "Demuestre que si $a\perp b$, entonces $\mathrm{mcd}(a+b,a^{2}-ab+b^{2})$ es $1$ o $3$". También que llevaba un ejemplar cuando me asaltaron en Oaxaca de Juárez, en un camión, y cuyo precio de segunda mano era muy superior al del celular que me quitaron. Recomiendo que vean el único video de su Project MATHEMATICS! que encontré en Yutub, y que queda excelentemente bien parado contra lo que se produce en tiempos modernos. Me gusta en especial la ampliación de la recta numérica para ilustrar la irracionalidad de $\pi$. Por último, pero no por ello menos importante, me sorprendió muy gratamente encontrar que examinó el asunto del cerro que fue perforado por ambos lados para construir el famoso túnel de Eupalino, colocando una piedra de toque en la investigación de la historia y etnohistoria de la matemática.
2. Jonathan Borwein, a los 65 años, nos dejó el 2 de agosto. Aquí mencioné alguna vez la serie que extrae dígitos hexadecimales de $\pi$ de su hermano Peter, et álii; de hecho ellos dos encontraron otra serie muy complicada pero interesante para $\frac{1}{\pi}$. La entrada referente a Borwein en una bitácora de la AMS es concisa pero muy buena respecto a su rastro matemático, y me agrada ver que un artículo panorámico es el que le ha valido más citas.
3. El día 3 del presente murió Jean-Christophe Yoccoz, medallista Fields en 1994. Les mentiría si dijera que puedo ignorar el hecho de que fue también medallista olímpico (plata y oro) en matemática, lo mismo que si añadiera que me da gusto este hecho, pero ahí lo tienen. Parece que no es fácil explicar por qué alcanzó la fama y reconocimiento, pero sí que su área era la de los sistemas dinámicos. En particular, que creó el concepto de los "rompecabezas" que llevan su nombre y que sirven, por ejemplo, para estudiar la conexidad local de los conjuntos de Julia o demostrar el teorema de Jakobson.
QEPD estos tres grandes. Que sus enseñanzas y métodos vivan para siempre.

Sobre "El hombre que conoció el infinito"

Hace unos meses se estrenó en Estados Unidos la película “El hombre que conoció el infinito”, que es una película biográfica sobre Srinivasa Ramanujan. Sin embargo, le dieron espacio promocional a Godfrey H. Hardy, John E. Littlewood y Percy A. MacMahon, cuyas vidas, opino, merecen ser llevadas también a la pantalla grande, aunque no cautiven al público con la narrativa de “el genio donde nadie lo espera”.

Esto me trajo de nuevo a mi atención la maravillosa “Apología de un matemático” de Hardy, que es considerada como una de las obras maestras de divulgación en cuanto a que transmite al público en general cómo se siente ser un matemático (puro), y que también ha sido catalogada como el testimonio de un artista.

Se supone que Hardy escribió tal libro porque, pasados los sesenta años, sentía que ya no era un matemático creativo. El ensayo es, en cierto modo, un testamento.

Yo, a mis 32 años, soy tautológico al afirmar que no soy de la estatura de G. H. Hardy. Es interesante que según MathSciNet®, Hardy sólo tiene un artículo en la base de datos de cuando tenía mi edad, mientras que yo llevo 3; mas por otro lado, en una edición de la integral de su obra, se cuentan 122 ítems, que incluyen preguntas publicadas en revistas educativas y artículos que, sospecho, son de divulgación; es así que incluso en “matemática ligera” me quedo muy corto (a menos que se cuente todo lo que he publicado en mi página personal, y no sé si aún así pueda siquiera decir que estoy a un orden de magnitud de Hardy).

Sea como fuere, llego un punto de mi vida donde, como mínimo, puedo esperar un hiato en mi actividad como matemático. Pese a ello, cuento con algunas pequeñas victorias, como el corregir un cálculo combinatorio a un reputado experto austriaco en el tema y aparecer listado en la Oeis por encontrar una relación entre la integración arquimediana, ciertas cubiertas minimales, y los q-coeficientes binomiales. Sobrevivir a tres arbitrajes de artículos igualmente solaza mi alma intranquila e insatisfecha, aunque sea por temporadas, y me conduce a una reflexión de Tsunetomo Yamamoto, que indirectamente aprendí de mi maestro de guitarra: “Si al disponer el espíritu correctamente cada mañana y tarde, es posible vivir como si el cuerpo ya estuviera muerto, uno gana la libertad en el camino. La vida entera estará libre de culpas, y tendrá éxito en su llamado”. Mi maestro lo aplicaba a los errores en la ejecución de una obra, pero creo que puede practicarse en todo: contra los grandes maestros, uno está matemáticamente muerto; aceptada esta realidad, se adquiere la libertad de pensar lo que se le hinche a uno la gana.

Es por eso que siento que puedo escribir una serie de apostillas a la apología de Hardy, con la perspectiva de un matemático que está muy lejos de la clase de Bradman y más bien cerca de la de Saunders (éste último es uno de los bateadores profesionales de cricket con promedio más bajo, y del cual con algo de suerte habrá oído hablar alguna vez Hardy, aunque sin mucho entusiasmo), y que por ello también podría resultarle un poquito más cercana al lector de a pie. Venga.

1. Lo primero que hace Hardy es desdeñar a los expositores y críticos. Sin embargo, la labor de dar a conocer lo que un matemático hace es de primerísima importancia, porque toma una cantidad colosal de trabajo reunir el conocimiento que posee la humanidad en su conjunto, y es extremadamente fácil perderlo, con algo tan simple como el no financiarlo, ni siquiera en lo que a su preservación refiere (esto es, el archivamiento y la enseñanza). Pienso que, como Hardy nunca tuvo que dar clases, no pudo estar en contacto con la perspectiva del que es neófito verdadero, pues incluso aquellos dentro de su círculo de amigos cercanos que no eran matemáticos, se encontraban personas de capacidad intelectual muy grande (digamos, por ejemplo, John Maynard Keynes, George Edwards Moore o Charles Percy Snow). Asimismo es probable que, como trabajaba en un área sumamente reputada de la matemática (el análisis y la teoría de números), tampoco se enfrentó al tener que “explicar” o “exponer” sus resultados y el valor potencial que tienen, como sí me ha tocado en más de una ocasión; tal acometida, insisto, tiene mucho mérito intelectual y humano, por la elemental razón de que es un problema difícil.
2. En lo que a la crítica refiere, tengo que conceder que hay algo de cierto, en especial porque el arbitraje de artículos en revistas es una forma de crítica. Ginsburg y Weyers, al analizar cómo se comportan los críticos de cine, encontraron que realmente no saben discriminar entre buenas y malas películas en el corto plazo, que siguen a las modas y que hay mucha diferencia entre lo que ellos y el vulgo encuentran meritorio. Mi impresión es que lo mismo aplica para los árbitros de las revistas de matemática, y al comité que elige a los medallistas Fields. Esto también rehabilita parcialmente a Lancelot Hogben, en el sentido de que él enfatiza como valiosa la matemática “popular” por encima de la de “buen gusto”; es evidente que la gente en general no llegará a apreciar la alta matemática sin un esfuerzo intelectual considerable. En otras palabras: entre más refinado es un arte, menos personas lo disfrutan o valoran. Aunque me moleste un poco admitirlo, debo conceder este punto al Dr. Emilio Lluis Puebla, quien también lo sostiene, tanto para la matemática como para la música. Sin embargo, estudios realizados precisamente en Inglaterra sobre preferencias musicales indican que, entre más tipos de música conoce una persona, más diversificado es su consumo musical, y es otro motivo por la cual toda la divulgación matemática que pueda hacerse es valiosa. Quiero pensar que, entre más esté en contacto el público con la matemática, más matemática asimilará.
3. Como profesor en la Universidad de la Cañada, en numerosas ocasiones he tomado la postura de Hardy al tratar de mostrar a mis estudiantes que hago matemática no porque piense que tiene muchas aplicaciones, sino porque es interesante en sí misma. Es una confesión obligada, pues no doy clase a matemáticos, sino a informáticos, químicos e ingenieros, y necesito hacerles entender que, pese a que hago un esfuerzo porque mis enseñanzas incidan en su práctica profesional, lo cierto es que me emocionan profundamente algunos de los temas que tocamos y no tengo recato en afirmar que tal o cual teorema o noción es “hermoso” o “profundo” y que además es mi verdadera motivación para enseñar. No es infrecuente escuchar incredulidad o toparse con la pregunta “¿Y para qué tomarse tantas molestias?”. A veces respondo que de la misma manera es superfluo el patear una pelota, escuchar música, ver películas, bailar o tomarse autofotos, y sin embargo lo hacen y con cierto esmero. Aún si parece un lugar común, me asombra un poco que la mayoría nunca se pone a reflexionar sobre ello.
4. Ese asunto de “Hago lo que hago porque es la única cosa que hago bien” me resulta algo chocante. Si bien mi muestra es pequeña, me dejó desconcertado que a todos mis profesores de la universidad a los que les preguntaba la razón por la cual eran matemáticos contestaban “Es que era bueno para eso” y ya. Desde que quise estudiar matemática, siempre he sentido una pasión peculiar por ella, al grado de enfocarlo todo desde ese punto de vista, y desde entonces he querido hacer algo de valía. En especial, quiero acercar todo lo posible a la matemática y la música en lo que a contrapunto refiere. Así se lo plantee al Dr. Lluis Puebla: “Deseo llevar al contrapunto a sus últimas consecuencias”. No me parece elogiable la simple actitud de decir “¡Miren! Soy bueno para resolver problemas de matemática y eso me hace algo especial, así que puedo consagrarme a ello y punto”, sobre todo si se compara con una actitud semejante en la música y la pintura.
5. En cuanto a la cuestión de la edad, no me convence el argumento de Hardy de las elecciones para la Royal Society. Es una muestra sumamente pequeña y sesgada. La han ensayado con premios Nobel y ¡maravilla de maravillas! el patrón se repite. No obstante, los mismos datos revelan que grandes contribuciones se pueden dar a cualquier edad sin importar que sea progresivamente más raro, y lo que parece ser el verdadero obstáculo es el vigor. Mi experiencia es que la gente anciana, matemática o no, tiende a disminuir su tolerancia al fracaso, a la contradicción y a la frustración, lo que constituye un muro infranqueable para atacar preguntas abiertas. Lo que es verdaderamente demoledor para mí es que un matemático creativo y productivo tiende a permanecer así toda su vida y, si tiene una buena fortuna como la de Hardy de que lo reconozcan temprano, esa misma buena publicidad se traduce en colaboraciones y direcciones de tesis que acrecientan su caudal. Eso me preocupa, porque no me considero particularmente prolífico, seguramente porque nadie me ha insistido en que “echando a perder se aprende”; esta es una máxima que se olvida con la edad, pues progresivamente trata uno de ser más cauteloso. Los 122 opúsculos de Hardy a los 33 años realmente son una preparación para todo lo futuro; es peculiar que incluyen la famosa ley de genética poblacional de la que tanto se avergonzó. Hay que tener muchas ideas, escribir copiosamente, porque sólo así podemos toparnos con ideas originales y valiosas. Esa es otra razón por la cual necesitaba sacar todo esto.
6. Mi padre es testigo de que, cuando era más joven, yo declaraba ser un absoluto inútil (o, peor aún, mediocre) en todo. Nunca pude practicar un deporte con soltura (vamos, ni las canicas aprendí a jugar) y me costó una enormidad dominar el balero o el yo-yo. Nunca fui bueno para hacer operaciones aritméticas, en especial la resta; sufro al resumir textos, mi caligrafía es horrible según denuncian mis propios alumnos, me cuesta uno y la mitad del otro hablar con buena dicción, más una larga cadena de etcéteras a la que únicamente no puedo agregar que tenía una memoria peor que la de mis coetáneos. Pero es precisamente por esto, porque me gustaba leer y memorizar, que aprendí que podía contribuir con algo más que recitar datos como perico a la humanidad, y llegó el punto en que en la matemática y la música encontré la suficiente motivación para sobreponerme a mi crónica inutilidad.

Hay varias cosas que agregar, pero la arena se acabó. En otra ocasión le daré vuelta al reloj.

Carta abierta al pueblo oaxaqueño

Cuando escribí la carta previa, dirigida a los representantes del gobierno, nunca habría imaginado lo fallido de la incursión de las fuerzas federales al retirar un bloqueo en Asunción Nochixtlán, que ocurriría al día siguiente. Si bien son inaceptables las muertes de ciudadanos, ajenos o no a las organizaciones magisteriales, tampoco son entendibles ni justificables las heridas de los policías o los impactos de bala en sus helicópteros. He solicitado ante el Inai el acta notarial donde consta que al principio la policía no portaba armas ni toletes, pues el comisionado general de la Policía Federal, Enrique Galindo, afirmó que existe. No veo cómo podrían demostrar fehacientemente los otros involucrados que nadie portaba armas de fuego, pero espero hagan lo posible para lograrlo. Además, aún si son elementales, las piedras, palos, cohetones y bombas molotov son armas que pueden inflingir graves heridas y, en ciertos casos, la muerte; en especial si son esgrimidas por multitudes enardecidas.

Dado el giro que han tomado los acontecimientos, intuyo que intereses extremadamente turbios manipulan al pueblo oaxaqueño y sus circunstancias. Por ejemplo: aún cuando el gobierno debe mantener la postura de buscar que la ley prevalezca, no es válido que quiera usarla con fines políticos y electorales; tampoco debe mitigar disturbios usando armas de fuego y debe esforzarse en divulgar la información que la gente necesita en cuanto a su actuación. Por otro lado, de primera mano sé que los profesores llaman a padres de familia a escoltarlos y proveerlos de comida, lo cual no tiene sentido si se supone trabajan en el interés de la gente; los expone, como ya es evidente, a un peligro mortal e innecesario, sin mencionar las presiones económicas adicionales a las que los someten. Finalmente, hay grupos que llaman a un nocivo levantamiento en armas, que la historia ha demostrado contundentemente no conduce a una mejora real de las condiciones de vida de las naciones, sino a una simple rotación en el poder.

Los maestros en paro admiten, en discursos, pintas y consignas, que la educación es el modo verdadero de luchar contra los malos gobiernos. En esto tienen razón en grado sumo, y es por ello que no comprendo por qué suspenden su labor educativa antes del periodo vacacional. Por medio del ejemplo y enseñanza, tienen la capacidad de entregar a sus alumnos el gran poder del razonamiento crítico, indispensable para no ser presa de los engaños y la mansedumbre que tanto desprecian. Insisto aquí en el valor de la lógica y la evidencia más allá de la duda razonable para guiar los actos en lo individual y lo colectivo, y que deben aplicarse tanto a las fuentes gubernamentales como al testimonio de quienes contienden contra ellas. El compromiso de los maestros con estos principios y su puesta en práctica en las aulas es crucial e irrenunciable para el progreso de nuestra nación.

Adyacente a este tema se ubica el de la privatización de la educación. Con esto se refieren, confiando en mi comprensión del asunto, a que empresas particulares se convertirían en las únicas encargadas de proporcionar servicios educativos. Pero, en contraparte, los frecuentes paros y su deficiente calidad (por los motivos que sean; de cualquier manera no se puede corregir o aprovechar lo que no se hace o se practica) han orillado a muchas familias a satisfacer esta demanda con la iniciativa privada. Baste decir que, según datos de la Sep, se multiplicó por 1.53 en educación preescolar, por 1.29 en primaria y por 1.28 en secundaria la matrícula de escuelas privadas entre el ciclo escolar 2006-2007 y el 2007-2008, cuando ocurrió el más prolongado y ríspido plantón magisterial previo al actual. De continuar con esta tendencia, en pocas décadas la educación quedará paradójicamente privatizada para efectos prácticos.

Es un hecho documentado por John Hattie y otros investigadores, a través de metaestudios que combinan miles de artículos científicos, que es necesario fijar mínimos de desempeño para mejorar la educación, y que los actores que más influyen en el resultado del proceso educativo son los maestros, los temarios, los métodos de enseñanza y los estudiantes, en ese orden, y primordialmente a través de una retroalimentación mutua. Los maestros piden no colocar la responsabilidad entera sobre ellos en cuanto a los resultados deficientes, y como tampoco suena justo adjudicársela enteramente a los alumnos, ¿dónde ha de recaer entonces, de modo que haya una transformación real e inmediata de la situación? ¿En los temarios? Apenas he oído quejas al respecto, y además es una cuestión separada en sí de la reforma educativa. Además, ¿qué retroalimentación puede haber entre maestros y alumnos si no tienen clases? Si la educación y la enseñanza no es evaluada de alguna forma, ¿cómo conocerán el efecto que tiene su labor en los estudiantes?

Es verdad que las condiciones escolares muchas veces no son las mejores. Hay que llegar a comunidades que se ubican a varias horas a pie, y que hay alumnos que no tienen la misma lengua materna que el maestro. Igualmente es común que los niños tengan que caminar horas y sin desayunar para ir a los planteles, y eso retrasa en inicio de la jornada escolar. Sin embargo, ni siquiera en el más adverso de los escenarios esta circunstancia rebasa al 40% de los casos, que es la proporción de poblaciones con menos de 1000 habitantes, según mis cálculos con datos del Inegi.

Se ha dicho que los estragos de las movilizaciones son el precio justo a pagar por la búsqueda de una sociedad mejor. No obstante, para prácticamente la mitad de la población oaxaqueña (la que está en los ramos de la construcción, comercio y servicios, que según datos del Inegi es poco más del 49%), y que en su mayoría no pertenecen al decil de los ingresos más altos, significa privarse de una parte de su ingreso y encima pasar por carestías tanto de insumos para sus trabajos como de alimentos de la canasta básica. En un movimiento que aspira a llamarse democrático o incluyente, no se ha pedido la opinión de este significativo sector de la población.

Temo que esta argumentación es, de cualquier manera, inútil, pues cae principalmente en oídos sordos o ideológicamente blindados. Pero tengo esperanza en aquellos que, leyéndome, puedan adherirse a una causa moderada, que no pasa por las tácticas de una guerrilla urbana. Según la Coneval, la población moderadamente pobre en nuestro estado ha aumentado entre 2012 y 2014 del 61.9% al 66.8%, y en cuanto a pobreza extrema se ha pasado de 23.3% al 28.3%. Es verdad, sin duda, que la mayoría de los oaxaqueños tiene algún grado de pobreza y la perspectiva no es alentadora, pero acciones tan desmesuradas como las de los días recientes no ayudan en lo más mínimo a mejorarla; en especial, si los padres de familia oaxaqueños, preocupados por la educación de sus hijos, llegan a la previsible conclusión que deben jugarse el todo por el todo para pagarla a pesar de lo que diga la Constitución y las leyes secundarias.

Con mucho respeto y fraternidad,

Octavio Alberto Agustín Aquino

Algunas precisiones

Esta fotografía (tomada de la Agencia AP, lo mismo que la siguiente)

fue tomada aquí:

Y esta otra

acá:

La primera (donde los policías se repliegan pasando el puente Nochixtlán II) fue tomada a las 10:43 del domingo 20 de junio de 2016, mientras que la segunda (la muy difundida donde se ve un policía con un arma resguardándose en la Vulcanizadora "Reyes") a las 13:28 del mismo día. El policía apunta hacia un lugar fuera del camino que lleva de la gasolinera a la esquina de Cristóbal Colón, por donde pasaron al replegarse, como pueden verificar usando Google Street View. Un camión tapa la vulcanizadora, pero si se mueven un poco hacia adelante verán que esa cara del edificio mira hacia el este.

Carta abierta dirigida a presidentes municipales y gobernador de Oaxaca, y al Presidente de la República de los Estados Unidos Mexicanos

Creo que, si bien no tienen ni pueden tener un control directo sobre los detalles del día a día en nuestra nación, que por momentos se torna tumultuosa, su papel como símbolos o representantes del gobierno es fundamental para que los eventos tomen el mejor cauce. Es por ello que les dirijo este mensaje, en el que prima mi punto de vista. Sé que no me faltarán detractores que argumentarán que no conozco todos los hechos. ¿Y quién sí? Con probabilidad muy cercana a uno no saben todos los míos. Por ello insisto en que hablaré desde lo que he visto y escuchado directamente. Es decir, de lo que tengo alguna evidencia.

Desde mi nacimiento el gobierno de mi país normalmente ha facilitado mi existencia, y se lo agradezco profundamente. En particular, cuando pienso en los testimonios de Marcos Moshinsky, un reputado físico que adoptó con vehemencia la nacionalidad mexicana, pese a que otros países le ofrecieron quedarse con ellos para acrecentar su muy madura ciencia y tecnología. Él, sin embargo, siempre se ufanó de que nuestro país lo cobijó, haciendo algo tan trascendental como consignarle un nombre y una nacionalidad, cosa que no hizo su tierra natal. Correspondió este gesto ampliamente ayudando a consolidar el estudio de la física y la ciencia en general en nuestro país.

Yo nací en el Hospital General de Zona No. 1, en la ciudad de Oaxaca, acorde con las prestaciones con las que contaba mi madre como trabajadora del gobierno del estado. Recibí una educación básicamente gratuita (salvo por cuotas de padres de familia, que probablemente nunca desaparezcan pese a lo que marca la ley) en la Escuela Primaria Urbana Federal “Francisco J. Múgica”, y no me tocó que mis maestras faltaran a clases, por lo que la califico como buena y suficiente. Defiendo esta perspectiva porque aprendí a leer y a comprender, la aritmética básica pese a mi dificultad con ella, la geometría elemental de las construcciones de Euclides, las fórmulas para las áreas y perímetros básicos, lo mismo que de cuerpos tridimensionales sencillos, las capitales de todos los países (aún si con fronteras de algunas décadas de edad) y otros datos geográficos básicos, los axiomas de los campos ordenados (aunque no los llamaba así mi maestra de sexto), relaciones de proporcionalidad directa e inversa, entre otras muchas cosas, y de las que he escogido las que más me han marcado. De la historia no me quedan buenos recuerdos, en particular por su predilección por la de la Ciudad de México, pero probablemente no tienen la culpa las escuelas: por ahora son extranjeros los que mejor la conocen en lo que a nuestros pueblos concierne, y ni siquiera los supuestos defensores de la educación tienen mucho interés en diseminarla desde un punto de vista basado en evidencias y el método científico.

Mi padre es ingeniero civil (y, por cierto, es egresado del ahora Instituto Tecnológico de Oaxaca, que también es público), y durante muchos años concursó y ganó la construcción de muchas escuelas, que ahora se pretenden manejar como si pertenecieran a unos cuantos, cuando son propiedad de la nación. Digo esto porque tengo noticia de que, cuando los padres de familia de alguna de ellas deciden reemplazar a maestros que no dan clase por otros que sí lo hacen, los amagan y ocupan las instalaciones por la fuerza.

Jamás el gobierno, en su forma policial, me ha restringido el paso o me ha detenido arbitrariamente. En algunas ocasiones he pasado por retenes militares, pero me han tratado con respeto y profesionalidad (aún si no con cordialidad) y no me han privado el paso. Durante la ocupación del Centro Histórico de la Ciudad de Oaxaca en 2006, crucé un punto de control de la polícia, pero también sin incidentes. Tampoco me han levantado infracciones automovilísticas injustificadas.

Mi educación secundaria y de bachillerato la tomé en escuelas privadas, debido a que el arduo trabajo de mis padres les permitió asegurármela, y nadie les restringió hacerlo. Hice exámenes de admisión en una secundaria pública, pero no pude superar la parte de educación física y me hicieron saber que por ello estaba comprometida mi inscripción, y en consecuencia no insistí en ella. En otras palabras: tanto mis padres como yo tuvimos la libertad de elegir lo que juzgamos mejor y conveniente para nosotros, sin afectar a terceros ni que se nos fuera impedido.

Un gobernador del estado de Oaxaca tuvo el acierto de fundar dos universidades públicas, gratuitas para quien no puede pagarlas, y para mi formación profesional acudí a una de ellas. Nuevamente: nadie se interpuso en mi paso por ellas, e insistí en cubrir la colegiatura mensual porque mi familia estaba en condiciones para ello. Sí hubo, sin embargo, en algunas ocasiones bloqueos en las carreteras por las que pasaba cuando me dirigía en camioneta para ir a estudiar, que cobraban derecho de paso pese a que no tienen funciones de gobierno. Quiero añadir y remarcar aquí que esta universidad pública hizo posible realizar mi sueño de estudiar matemática y sin salir de mi estado, algo que quizá nadie hubiera imaginado a finales del siglo pasado en mi amada tierra natal.

Tal vez es a partir de este momento donde empecé a sentir la ineficacia burocrática del gobierno, cuando fue difícil que me repusieran mi cartilla militar, documento indispensable para la emisión del título profesional. También el trámite de mis cédulas profesionales fue engorroso, particularmente porque hubo cambios veleidosos en el formato de servicio social. No obstante, no constituyeron barreras insuperables.

Hablo de cédulas porque hice estudios de posgrado en la Universidad Nacional Autónoma de México, que también es una universidad pública. Cuento a su burocracia entre la más lerda con la que me he topado, lo que comprueba que no necesariamente todo lo que es ajeno al gobierno nacional es bueno. Pero, insisto, tampoco constituyó precisamente un via crucis insalvable.

Cuando busqué trabajo lo encontré. Cuando necesité darme de alta ante Hacienda lo hice y fue relativamente rápido, y con gusto pago mis impuestos porque me consta que se traducen en servicios: alumbrado público, drenaje, escuelas, hospitales, canchas deportivas, etcétera. Con mucha seguridad no hay una eficiencia perfecta, hay corrupción, robos, desvíos, pero hay servicios. El único lugar que he visitado donde posiblemente no los hubiera todos es Magdalena Jaltepec, pero mi principal indicio es que no encontré un teléfono público de monedas o tarjeta.

Una universidad pública me dió un trabajo estable y con paga decente, con la que he podido mantener a mi familia. Mi relación laboral con mi patrón está amparada con un contrato, que hasta escribir estas líneas no lo ha incumplido (salvo, posiblemente, en una ocasión en que pagó con retraso de un par de días la quincena, pero hasta donde entiendo y me consta fue una circunstancia fuera de su alcance). También me da seguro social y acceso al crédito gubernamental para vivienda.

Tal vez goce de una situación privilegiada, donde nada me ha impedido seriamente desarrollarme como persona y, más bien, mi camino ha sido facilitado a través de becas y apoyos de organismos como el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología. Sin embargo, esto no ha sido consecuencia directa de mi extracción social: dos de mis abuelos fueron huérfanos de ambos padres desde muy niños. Notables excepciones a la libertad de la que hablo han sido aquéllas en las que los objetivos de algunos pocos impide el libre paso de personas y mercancías, les niega el derecho a la educación a los niños o cobra cuotas de paso, como si no existiera ya quien regule la convivencia entre los ciudadanos. Por cierto que me consta el estado ruinoso de la educación básica de la población joven, porque los recibo como alumnos. Les pregunto directamente por los conocimientos que adquierieron en la primaria y secundaria, y es común que no puedan recordar haberlos obtenido o afirman categóricamente no haberlos recibido. Si sus profesores son tan excelentes, ¿cómo es posible que no logren un aprendizaje efectivo y duradero en promedio? Ese hueco es la causa de que mi enseñanza tampoco pueda ser de la calidad esperada. Es bueno, creo, que me agraden los retos y que tenga una fe perenne en la juventud que encuentro en las aulas para sobreponerme a ello.

Deposito una buena parte de mi confianza en el gobierno, pues no tengo por qué decir que no se la ha ganado. Por eso, en 2006, pedí ante la Presidencia de la República resolvieran el intolerable sitio de la capital de mi estado, y en el papel me respondieron; tal vez también lo trataron de hacer en los hechos. He intentado lo mismo hace unos años con problemas semejantes en la carretera que conecta a la universidad en la que trabajo con el pueblo que le queda más cercano con el gobierno estatal, pero sin respuesta. En esta ocasión también me comuniqué con la presidencia de la República. Redirigieron mi petición a la Sep, y ésta última la remitió al Ieepo. No me puedo quejar de no ser escuchado, pero sí de ser malinterpretado: no me inconformaba por la calidad de la enseñanza de los maestros, el estado de las escuelas o cobros indebidos de cuotas, sino por presuntos maestros y ciudadanos que bloquean arbitrariamente las vías de comunicación, entorpeciendo la vida universitaria de la institución en la que trabajo.

Hablé también con uno de los que participaba en el bloqueo, que en ese momento le dirigía un mensaje al resto, y le pregunté tan amablemente como pude si era posible negociar un retiro del bloqueo. Después de su hiperbólica respuesta (lo que entendí de ella es que en parte alegaba que el gobierno no deseaba dialogar), insistí en preguntar si se retirarían, y hasta entonces recibí un “no” por respuesta.

No quiero extenderme más. Solamente quiero que el gobierno, por instrucción de quienes lo encabezan, resuelva el problema particular de que una fracción de la población estatal cuya magnitud no es mayor al 1% decida y controle el destino del resto, en lo presente por medio de pérdidas económicas directas, y en el futuro, a consecuencia de una juventud incapaz de comprender y transformar la realidad que le rodea. Si por razones desconocidas e inexplicables para mí no pueden hacerlo por medio del legítimo uso de la fuerza, entonces por lo menos apéguense al Satyagraha predicado por Gandhi. Divulguen con mayor energía los puntos debatidos de las llamadas reformas estructurales, para asegurar que por lo menos no hay ambigüedades en las intenciones de los unos y los otros, y la población en general no pueda quejarse de no conocer las dos versiones de la historia. Insistan en la máxima “El respeto al derecho ajeno es la paz”. Los que ven conflicto, dicen desear la paz. Pídanles que hagan honor a dicho concepto.

Quiero, pues, seguir confiando en las autoridades.

Atentamente,

Octavio Alberto Agustín Aquino

Más vale paso que dure... (2)

En un tuit reciente, una de mis heroínas dijo:

Recommended entertainment in Oaxaca: museums, galleries, archaeological sites, mezcal, watching ants carry huge petals around a plaza.

— Evelyn Lamb (@evelynjlamb) May 18, 2016

Luego, agregó:

The pyramids aren't so impressive once you've seen these ants!

— Evelyn Lamb (@evelynjlamb) May 18, 2016

Esto no dejó de decepcionarme un poco. Sé que se trata de añadir algo de humor a su recorrido, pero la broma no me causa suficiente gracia. Es por eso que le respondí que Monte Albán y Mitla literalmente te vuelan los sesos con el cómo fueron construidas. Daré en esta ocasión los detalles respecto a la primera zona, y en otra respecto a la segunda.

Es bien sabido que el cerro donde se ubica Monte Albán fue tajado para construir el centro ceremonial, empezando alrededor de 500 a. C. Según mis tanteos con Gogl Maps, el área final de la planicie artificial es $A_{1} = 1.4\times 10^{5}$ metros cuadrados, quedando a una altura de $300$ metros sobre el nivel que están los pueblos adyacentes de Ixtlahuaca y Arrazola. Si tomamos como referencia los $h=41$ metros de la estructura más alta de la zona arqueológica como la probable altura del pico excavado, y a la misma plataforma norte con sus $A_{2}=1.4\times 10^{4}$ metros cuadrados de área como la parte superior de un cono truncado que posiblemente era el monte original, el volumen de tierra a extraer es de \[ V = \frac{1}{3}h\left(A_{1}+A_{2}+\sqrt{A_{1}A_{2}}\right) = 2.696\times 10^{6} \] metros cúbicos. Considerando que la densidad media de la tierra es $1.35$ toneladas sobre metro cúbico, estamos hablando de mover unos $M=3.6$ millones de toneladas de material. Si se observa la fotografía satelital, se alcanza a distinguir que la mayor parte fue arrojada por la ladera oeste del cerro.

La energía necesaria para realizar esta tarea es equivalente a la requerida para hacer descender toda esa masa concentrada en el centroide del cono truncado hasta el nivel del piso. Para facilitar el cálculo, vamos a suponer que las tapas son circulares con radios $R_{1} = 211.1$ y $R_{2} = 66.8$, de modo que el centroide está a una altura de \[ \overline{z}=\frac{h}{4}\frac{R_{1}^{2}+2R_{1}R_{2}+3R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}+R_{1}R_{2}+R_{2}^{2}} = 12.5 \] metros. Por lo tanto, la energía necesaria es $Mg\overline{z} = 4.4\times 10^{14}$ joules, o algo así como $1\times 10^{11}$ kilocalorias. Según WebMD, una persona que realiza un trabajo pesado necesita unas $6000$ kilocalorias adicionales al del metabolismo basal en un jornal de diez horas. En consecuencia, para lograr rebajar el cerro en un día se necesitaría una muchedumbre de unos 17 millones de personas. Sin embargo, la población sólo llegó al orden de unas quince mil hacia el final del Preclásico, por lo que lo más probable es que fuera un esfuerzo sostenido durante siglos para lograr la obra. Si se hubiera realizado durante unos tres siglos, se requeriría una cuadrilla de unas ciento cincuenta personas laborando diario; esto sin tomar en cuenta la construcción propiamente dicha de los templos, plazas, juego de pelota y la propia subida del monte. ¿No es esto comparable con el afán de las hormigas?