Sobre la historia reciente

Una forma más de contrarrestar las críticas por parte de los defensores del actual régimen es apelar al conocimiento del pasado, al "contexto". "No conoces la historia, por eso no sabes lo que dices". Bien: he aquí una línea del tiempo basada en el libro "Nueva historia mínima de México" redactada por un equipo de especialistas del Colegio de México y la UNAM y publicada durante la administración de Marcelo Ebrard al frente de Ciudad de México; además, consulté la parte de historia de la entrada sobre México en la Enciclopedia Británica. Empieza en 1982 porque en tal año inició el sexenio de Miguel de la Madrid Hurtado, que se supone fue el primero de los "neoliberales".

1982

El precio del petróleo baja (los ingresos descienden) y las tasas interés suben (la deuda aumenta), lo que provoca que en agosto el secretario de Hacienda reconozca la quiebra. Los capitales (incluidos los pequeños ahorradores) sacan su dinero del país. La inflación llega al 100 %. Se expropia la banca. Hay alineación con el Banco Mundial y el Fondo Monetario Internacional. Se reduce el gasto y la inversión pública, se venden empresas paraestatales. Se agudiza la inflación y desempleo, y aumenta la migración.

1983

El PAN gana en Durango, Chihuahua y Ciudad Juárez. En las protestas se manifiestan ahora sectores empresariales y la clase media urbana y agrícola.

1985

Un sismo de magnitud 8.0 sacude a la capital y a la sociedad, matando a más de nueve mil personas y provocando daños por millardos de dólares; resalta la fortaleza de la sociedad civil en contraposición a los titubeos del gobierno.

Décadas de los ochenta y noventa

Crecen el narcotráfico, los secuestros y los asaltos en la carretera.

1986

La firma del Acuerdo General sobre Aranceles Aduaneros y Comercio (GATT) impulsa el auge de la industria maquiladora.

1988

Se cae el sistema en la elección del 2 de julio, lo que es responsabilidad del secretario de gobernación Manuel Bartlett Díaz. Protestan panistas y cardenistas, pero al no ser capaces de unirse finalmente se disipa la inconformidad.

1989

Gana por primera vez la oposición del PAN una gubernatura: la de Baja California. Se conforma el Partido de la Revolución Democrática con expriistas, comunistas y socialistas.

1990

Adelgaza el estado: se venden los bancos y Telmex; este último que queda en manos de Carlos Slim.

1992

Se reforma el artículo 27 constitucional, lo que permite vender suelo ejidal y termina el reparto de tierras. También se reforma el artículo 130, lo que otorga reconocimiento legal a las iglesias y libertad a la población para ser ministros. Sin embargo, los ministros de culto no pueden desempeñar cargos públicos.

1993

Se aprueba el Tratado de Libre Comercio de America del Norte (TLCAN). Conformado por deudores de la banca, principalmente agricultores, surge el Barzón.

1994

Entra en vigor el TLCAN. Se rebela el Ejército Zapatista de Liberación Nacional (EZLN). Asesinan a Luis Donaldo Colosio (candidato del PRI a la presidencia) y a José Francisco Ruiz Massieu (secretario general del PRI). La súbita devaluación del peso dispara el efecto Tequila. La economía mexicana entra en recesión. El gobierno asume los pasivos (préstamos incobrables) de los bancos por medio del Fondo Bancario de Protección al Ahorro (Fobaproa), que justifica en el salvamento de los ahorros de los mexicanos, pero añade una carga de 60 000 millones de dólares más intereses a la deuda pública.

1996

Se reforma la constitución y se da autonomía al Instituto Federal Electoral. El control de las elecciones pasa a la ciudadanía.

1997

Cuauhtémoc Cardenas (PRD) se convierte en el primer jefe de gobierno del Distrito Federal. El PRI pierde la mayoría en la Cámara de Diputados por primera vez.

2000

Termina la hegemonía del PRI al ganar Vicente Fox Quesada la presidencia, pero sin que el PAN obtenga la mayoría en el Congreso de la Unión. Fox llama a una comisión de derechos humanos para revisar los abusos del PRI entre 1960 y 1980 y se reune con el EZLN, con resultados mediocres.

2002

Se crea el Instituto Federal de Acceso a la Información Pública y Protección de Datos Personales (IFAI).

2006

La elección presidencial es muy cerrada y controversial. Tanto Andrés Manuel López Obrador (PRD) como Felipe Calderón Hinojosa (PAN) se declaran ganadores. El Tribunal Federal Electoral declara vencedor al candidato del PAN, y el del PRD se autoproclama "presidente legítimo". Los precios del petróleo suben, pero las reservas van en declive. Se declara la guerra contra el narcotráfico.

2008

Inicia la Gran Recesión. Se aprueban reformas que permiten inversión privada indirecta en Pemex.

2009

Ocurre la epidemia de la influenza H1N1, que es declarada pandemia por la OMS en junio. El gobierno mexicano es reconocido por su respuesta ante la misma.

2012

Regresa el PRI al poder con Enrique Peña Nieto en la presidencia. Se anuncia el "Pacto por México" que, pese al descontento del PAN y el PRD, consigue la aprobación de las llamadas "reformas estructurales" relativas a la educación pública, la política fiscal y los sectores de telecomunicaciones y energético.

2013

Ante el declive en la producción de petróleo, el Congreso aprueba más reformas en relación al control de Pemex sobre la explotación, refinamiento, almacenaje y distribución de petróleo, gas natural y otros petroquímicos. Los desacuerdos dentro del PRD al respecto conducen a la creación del Movimiento de Regeneración Nacional.

2014

Capturan a Joaquín Guzmán Loera, y ocurre el asesinato de 43 estudiantes de la normal "Isidro Burgos" de Ayotzinapa en Iguala, Guerrero. Una reforma electoral reemplaza al IFE por el Instituto Nacional Electoral.

2015

Escapa Joaquín Guzmán Loera de la prisión del Altiplano.

2016

Recapturan a Joaquín Guzmán Loera. Una comisión internacional que investiga sobre los 43 de Ayotzinapa termina su misión alegando obstrucciones por parte del gobierno.

2017

Joaquín Guzmán Loera es extraditado a Estados Unidos. Hay dos sismos, uno de magnitud 8.1 que golpea a Chiapas y Oaxaca, y otro de magnitud 7.1 que remece a la capital y a los estados de Morelos, Puebla, México, Guerrero y Oaxaca. Mueren cientos de personas y quedan dañadas miles de viviendas.

2018

El Movimiento de Regeneración Nacional obtiene la presidencia y mayorías en el Congreso de la Unión en las elecciones federales. Se firma el Tratado entre México, Estados Unidos y Canadá (TMEC), que es sucesor del TLCAN.

2019

Joaquín Guzmán Loera es encontrado culpable de todos los cargos de los que se le acusa y es condenado a prisión de por vida. Inicia la epidemia de la covid-19 en Wuhan, China.

2020

La OMS declara en marzo que la epidemia de covid-19 alcanzó la categoría de pandemia. La mayoría de países llama a un Gran Confinamiento para tratar de frenarla, con un gran costo para la economía. Se desarrollan vacunas a velocidad nunca vista, y se inicia su aplicación de emergencia en diciembre en algunos países, entre ellos México.

Lo que observo de todo esto es que:

• Lo que fue el GATT y el TLCAN subsiste en el TMEC.
• Uno de los artífices de la caída del sistema en la elección de 1988, Manuel Bartlett, está a cargo de la Comisión Federal de Electricidad, y pese a que hay dudas sobre la fortuna inmobiliaria que ha acumulado, no ha sido investigado seriamente.
• La oposición y protesta por parte de la sociedad civil, en todos los estratos sociales, ha estado presente desde hace casi cuarenta años, así que no queda mucho eso de "¿por qué antes decían nada?".
• Carlos Slim es aliado del gobierno. Incluso compró vacunas para combatir la actual pandemia.
• No se ha "revindicado" al ejido (de hecho, me consta que se ha subdividido y vendido); se sabe que la repartición de tierras fragmentó severamente la producción agrícola del país. Tampoco se ha reforzado la separación entre la Iglesia y el Estado.
• No hay avances en la investigación de los supuestos crímenes del Estado, ni tampoco hay avances en relación al asunto indígena planteado por el EZLN; inclusive el mismo presidente ha dicho que sólo tienen "propaganda y carga ideológica".
• Se sigue pagando el Fobaproa. Sin embargo, no parece que un rescate de ese tipo sea un impedimento para el desarrollo: el gobierno de Finlandia también rescató a los bancos en los años noventa y hoy es uno de los países más prósperos del mundo (aunque a México le costó un 14.5 % de su PIB, mientas que a Finlandia un 8 %).
• El IFE, y más tarde el INE, ha fortalecido la democracia en el país, y ha permitido la alternancia política ya en tres ocasiones. El IFAI (después INAI) ha sido fundamental para evidenciar la corrupción.
• Javier Aparicio hizo un análisis de la elección de 2006, y un resultado que llamó mi atención fue que tuvo más errores a favor la coalición "Por el bien de todos", y cuando se abrieron paquetes electorales en pugna perdió más votos López Obrador que Calderón.
• Ante el declive tanto en la producción como en la demanda internacional del petróleo, ya no puede ser una fuente importante de recursos para el país. Sin embargo, se sigue apoyando a Pemex con recursos estatales en detrimento de la inversión privada, con pérdidas millonarias y sin lograr aumentar la producción.
• El "campesino" de Sinaloa ha sido capturado, juzgado y sentenciado. Como sea, el clima de violencia generalizado no ha descendido todavía.

Primo irregular por primera vez

En medio de la pandemia (parece que cerca de un máximo local promedio de contagios diarios y quizá en el umbral de una intensificación), me estreno como primo irregular en mi número de años. Esta clase de primos es, contrariamente a lo usual en teoría de números, un poco difícil de describir.

Dado un cuerpo de números algebraicos, se puede definir cierto grupo asociado llamado su grupo de clase, que mide qué tanto falla la factorización única en su anillo de enteros. El orden de dicho grupo es el número de clase del cuerpo. Un primo impar $p$ es irregular si el número de clase del anillo ciclotómico $\mathbb{Q}(e^{2\pi i/p})$ es divisible entre $p$. Yo no sé tanto de teoría algebraica de números ni de paquetes de software para verificar la irregularidad de un primo, pero afortunadamente Kummer encontró un criterio algo más sencillo para saberlo.

Comenzamos observando que el numerador del trigésimo segundo número de Bernoulli es $7709321041217$, y es divisible entre $37$. El criterio de Kummer dice que un primo $p$ es irregular si divide al numerador de al menos uno de numeradores de los números de Bernoulli $B_{2},B_{4},\ldots,B_{p-3}$, por lo que resulta que $37$ es un primo irregular; de hecho, es el primo irregular más pequeño. Precisamente este tipo de primos surge en la demostración de Kummer de 1850 de que, por ejemplo, \[ x^{31}+y^{31} = z^{31} \] no tiene soluciones no triviales en los enteros; esto es, la conjetura de Fermat es cierta para este exponente y para todos los primos regulares (o sea, los que no son irregulares). Leonard Carlitz, en 1953, probó que hay infinitos primos irregulares al estilo euclidiano. Supone primero que hay una cantidad finita de ellos, restados en uno los multiplica todos y también por un parámetro adecuado para obtener el número $M$. Divide al $M$-ésimo número de Bernoulli entre $M$ y lo pone en sus mínimos términos. Luego usa el teorema de Stadt-Clausen para demostrar que este número construido tiene como numerador a $1$. Pero, por otra parte, $|B_{2m}/2m|$ diverge a infinito conforme $m$ tiende a infinito, lo que contradice que la magnitud acotada del numerador.

Sobre el periodismo

Como mencionaba en la entrada anterior, otra manera de "neutralizar" las críticas que utilizan los partidarios del oficialismo son los ad hominem o tu quoque aplicados a los periodistas o los medios. "No tienen credibilidad", "Hablan así por los intereses que defienden", "¿Y por qué antes no se quejaban, no denunciaban?".

He escuchado de los mismos periodistas que su labor no puede ser enteramente objetiva. Como mínimo, hay un filtro editorial: tienen que elegir a qué darle prioridad (sin embargo, la aparición de la red de redes disminuye esto como justificación). Pero eso es una cosa y otra distinta el apoyar sesgos cognoscitivos o abrazar las falacias argumentativas: "es que la gente no sabe sobre la utilidad de la Comisión Nacional de los Derechos Humanos", "el presidente no puede ser todólogo pero ¿acaso los medios de comunicación de la oposición sí?".

Uno de los eventos más vívidos en mi mente y que atrajo mi atención hacia el tema es cuando, para todo efecto práctico, se le exilió a Carlos Loret de Mola. Se me ocurrió preguntar por qué su caso era distinto al de Carmen Aristegui, y se me respondió que no había comparación entre los periodistas ("Loret de Mola es un servil, un subperiodista"), en especial en su ética profesional.

Se vuelve, pues, al asunto de la ética. Pero quizá de forma más legítima, pues sí hay lineamientos en las diferentes profesiones cuyo fin es garantizar buenas prácticas. Pero a mí, por lo menos, me costó trabajo encontrar algo académico al respecto (leí algunos libros sobre periodismo, pero los que encontré curiosamente no tienen mucho énfasis en el tema). De lo que he observado y de lo que dice la Wikipedia, tenemos lo siguiente: contrastan fuentes, verifican los datos, publican correcciones cuando ocurren errores, protegen la privacidad hasta donde es posible, en esencia no deben ser amarillistas o "morbosos", etcétera. Si ponderamos la labor de Aristegui o Loret de Mola según estos criterios, entonces no veo que alguno salga claramente por delante del otro. En particular, ambos han reportado información comprometedora para ciertos gobiernos que después se ha visto que es verdadera, y también han reportado falsedades que en su momento corrigieron o por las cuales se disculparon.

Abudando sobre dichos términos y en relación a la política, pienso que lo crucial es en consecuencia que la información que divulgan los periodistas sea verdadera. Mientras sea así, es irrelevante quién los financia o si "callaban como momias" antes (pero ciertamiente, no está de más revisar; tengo la impresión de que no muchos están al tanto de quién está detrás de RT o Al Jazeera, por ejemplo). Por otra parte, indagar sobre las corruptelas de los políticos implica escarbar en su vida a veces bastante profundo. De hecho, muchos de ellos esgrimen precisamente en que se viola su derecho a la privacidad cuando se les sorprende recibiendo sobornos, recolectando fondos de procedencia ilegal o siendo déspotas en su actuar como funcionarios públicos, etcétera.

Por eso es una buena práctica, como audiencia, tratar de leer, escuchar o ver noticias de la mayor cantidad de fuentes posibles, principalmente de aquellas que sean reconocidas como de mayor objetividad y que uno mismo haya comprobado que efectivamente se fundan en la evidencia. Sin embargo, si se ha de tomar en cuenta la opinión de otros, entonces lo más lógico es atender al gremio de los mismos periodistas, especialmente cuando reconoce a lo mejor del mismo. Ahí tanto Aristegui como Loret de Mola han recibido el Premio Nacional de Periodismo más de una vez; curiosamente Julio Hernández López "Astillero" lo ha ganado nunca, por ejemplo (si me equivoco, entonces por favor corríjanme). Repito, sin embargo, que esto puede dar algún norte pero no es un criterio definitivo para evaluar el trabajo periodístico de una persona o agencia. A fin de cuentas, siempre debe primar el apego a los hechos.

Concluyo repitiendo que, aunque uno pueda tomar el desempeño pasado de un medio o periodista como referencia, lo cierto es que el que en el pasado hayan reportado falsedades no implica que una nota en particular del presente sea falsa, de la misma manera que la veracidad del pasado no implica la del presente. Tampoco el si el medio ha "atacado" o quejado de un gobierno, empresa u organización nos dice algo realmente relevante sobre el tema; en todo caso, habla más de sus sesgos, y es por eso que los múltiples puntos de vista sirven para obtener un mejor balance (pero hay que tener extremo cuidado para no incurrir en la falacia del término medio). Irremediablemente, la atención permanente a la verificación es parte fundamental del consumo de noticias, especialmente si nuestra reacción emocional a las mismas es intensa.

Un poco sobre ética y la polarización

El ambiente en México, a causa de la política, está muy polarizado. Los afines (por decirlo de un modo suave) al actual oficialismo piden que uno debe tener en cuenta tres ejes

1. la ética,
2. la profesionalidad del periodismo y
3. la historia.

al realizar cualquier crítica. Siendo francos, no creo que en realidad le hayan dedicado mucha reflexión a esto quienes defienden a capa y espada a la actual administración, pero a mí sí me han puesto mucho a pensar en los tiempos recientes.

En relación a la ética (o moral), en muchos casos pareciera que fuesen personales las afrentas de las administraciones anteriores. En particular, los partidos políticos que las encabezaron o a cualquiera que no les dé una evaluación completamente negativa se les agrupa como "conservadores" o "neoliberales", y se les condena como "inmorales" o "faltos de ética".

Es cierto que, como la mayoría de mexicanos, fui criado como cristiano católico y por ello gran parte de la formación ética que había tenido tiene que ver con la religión. Asistí al catecismo y fui confirmado de acuerdo con la tradición. Sin embargo, en términos de la ciencia moderna, no es posible defender de manera racional la cosmología de la Biblia. En particular, respetar los diez mandamientos (por decir) solamente porque así "lo manda Dios", no es justificable.

Esto no impide tomar con cierta seriedad las enseñanzas del Jesús plasmado en los evangelios o sus seguidores, y por lo menos yo siempre destilé algunos principios de ahí: decir siempre la verdad, amar al prójimo (en particular, jamás tomar ventaja de alguien), poner la otra mejilla, ser humilde, etcétera. Con la formación filosófica que tuve en el bachillerato y la universidad, me pareció que el imperativo categórico de Kant resumía muy bien todo ello.

Repito, pues, que todo el boato político me ha hecho retomar el tema, en especial porque me he vuelto ateo positivo y pienso que la ética no debe fundarse en seres sobrenaturales de los que no tenemos evidencia de que existan. Desde una perspectiva humanista, naturalmente que esto decanta en la noción de empatía: no inflingimos sufrimiento a otros Homo sapiens sapiens porque pensamos y sentimos básicamente igual.

Indagando más al respecto, podríamos decir que, superada la justificación basada en los preceptos religiosos, hay tres grandes aproximaciones a la ética: la consecuencialista, la deontológica y la basada en la noción de virtud. La primera no me convence porque en principio nunca podremos tener suficiente capacidad de procesamiento y recolección de datos como para saber si "a la larga" los efectos de nuestros actos serán los mejores posibles; se puede rescatar, sin duda, en cuanto a que tiene sentido verificar si alguna acción ha sido ensayada en el pasado y así colectar evidencia de que produce efectos positivos o negativos. Me inclino, pues, un poco más por la ética del deber y la virtud, aunque un poco menos por la última; la razón por la que no me parece atractiva es porque se percibe un tanto cuanto circular: la virtud es lo que hace alguien virtuoso.

Pero en realidad estoy más de acuerdo en que la "bondad" o "maldad" de una acción se tiene que dictaminar paso a paso. Es algo que se aprende sobre la marcha, pues la aplicación ciega de algunos preceptos basados en la buena voluntad no siempre es óptimo (es clásico el ejemplo de si es admisible mentir para proteger una vida), y de alguna manera concede que lo importante es, vaya, la virtud que se va acumulando. Además, es crucial reconocer que no siempre es posible o razonable tener este tipo de pensamiento binario. Es frecuente que algunos actos no sean en sí o bien buenos o bien malos, sin mencionar que esto puede ir alternando con el tiempo. Me vienen a la mente aquí ciertos países asiáticos que ejercen una presión muy grande sobre sus niños y jóvenes para ser excelentes en lo académico, con un gran costo sobre su estabilidad mental y emocional, pero que en promedio les garantiza una mejor calidad de vida (¿o tal vez no?).

Por otra parte, me he ido acercando al estoicismo, y me parece que la actualización de su lema de "vivir de acuerdo con la naturaleza" a "vivir de acuerdo a los hechos" es más que razonable. Pienso que hay dos aspectos importantes derivados de esto: el primero es que hay que estar lo más informado posible con la evidencia sobre un hecho para dictaminar si es "bueno" o "malo" y qué postura hemos de tomar ante ello; el segundo es que justamente se necesita tener una formación mínima en determinados casos para actuar de manera correcta: un médico debe tener pericia en el área correcta o reconocer su ignorancia en su defecto para atender bien a un paciente, por ejemplo.

Así, pues, no es fácil determinar si el privatizar la banca, el rescate bancario, las reformas estructurales u otras políticas son "buenas" o "malas", ni si es válido que se juzgue a los ciudadanos de a pie (que no a los involucrados en las decisiones) en términos de la evaluación que hagan de las mismas o la dirección de su voto.

Debo terminar afirmando que de momento tengo algo más de preguntas que respuestas, pero me parece que hay que tener muy en cuenta que los mexicanos evalúan al gobierno en términos de ciertas expectativas de la conducta de quienes lo integran (en lo moral, en particular) y no por los resultados en sí. En general, a mi parecer es bueno que la pobreza extrema, la desigualdad y la mortalidad infantil desciendan, por ejemplo, pues implica que cada vez más personas sufren menos; análogamente, no puedo concluir que está mal el aumento en la esperanza de vida y escolaridad en promedio. Pero se puede replicar que aún así la violencia se ha recrudecido y el trabajo no recibe una buena remuneración en la media, sin mencionar que para lograrlo se habrían valido, supuestamente, de estrategias de validez cuestionable. Pero ¿alcanza eso a cancelar los beneficios de los avances? Yo digo que no, y que en general no se debe desmantelar lo que permite seguir avanzando al tiempo que se aborda con mayor ahínco la corrección de lo que está mal, pero abundan los que discrepan. Insistiría en que esa discordancia no viene de un análisis serio, sino simplemente de reacciones viscerales... ¿Y es eso algo bueno?

Aprendizaje en el encierro

He aprendido algunas cosas con mis hijas en estos meses de confinamiento.

1. Entre los trópicos no hay cuatro estaciones, sino dos. En Huajuapan, específicamente, podríamos decir que la estación húmeda o lluviosa va de mayo a octubre, mientras que la estación seca va de noviembre a abril. Así que en gran medida eso del inicio de la primavera en marzo no es real. Por otro lado, los semestres en la UTM podrían llamarse semestre seco el que empieza en octubre y semestre lluvioso o húmedo el que empieza en marzo. Las zonas entre los círculos polares y los trópicos se llaman templadas; ahí es donde sí hay cuatro estaciones, como en Europa o Estados Unidos.
2. Las manchas de las jirafas no solamente sirven como camuflaje, sino para regular de forma más eficiente la temperatura del animal; son "ventanas" a través de las cuales escapa el calor, pues ahí tienen más glándulas sudoríparas e irrigación sanguínea.
3. Que en países como México, donde por lo general no hay sistemas de manejo de residuos, la quema de basura (en los patios, por ejemplo) es una fuente significativa de contaminación atmosférica que no se contabiliza apropiadamente. Alrededor del 40% de la basura del mundo arde al aire libre.
4. Los cráneos de Triceratops (entre otros dinosaurios) tienen una esférula llamada cóndilo occipital, a través de la cual se une la cabeza al cuerpo en una articulación que les permitía gran movilidad y hacer "esgrima" con sus cuernos. También les han encontrado marcas de mordidas, lo que significa que los depredadores decapitaban a sus presas para comérselas.
5. Que es más probable que los tiranosaurios produjeran sus sonidos con el hocico cerrado.

Una sobre Posidonio de Rodas

Puesto que he desarrollado un intenso interés en el estoicismo, me puse a leer las "Epístolas morales a Lucilio" de Séneca. Me enteré de este modo de la enorme influencia que ejerció en él Posidonio de Rodas, un polímata nacido en Siria pero griego para cualquier otro efecto práctico.

Séneca dijo que Posidonio "en [su] estimación, se cuenta entre los que han contribuido más a la filosofía", aunque lo que me sorprendió muy gratamente de sus investigaciones es su estimación independiente, y más tardía que la de Eratóstenes, de la circunferencia de la Tierra. De hecho, su idea apunta a un hecho que es muy difícil de rebatir para los terraplanistas y que es consecuencia de la redondez de nuestro planeta: que las sendas estelares se ven diferentes dependiendo del lado del ecuador que uno se encuentre.

Para este fin Posidonio le dió un buen uso a diferencia entre las sendas estelares de Canopo en Rodas y en Alejandría. Un observador en la primera ciudad vería que, en cierto instante del año, la estrella roza el horizonte mientras que en la segunda, en ese mismo momento, tiene una altura de 7° 30', según las mediciones del tiempo de Posidonio. La geometría aquí es semejante, pero no idéntica, a la circunstancia de Eratóstenes. Como la estrella es increíblemente lejana (está a 310 años luz del Sol), sus rayos de luz se pueden pensar que llegan paralelos hasta nosotros, y la recta tangente al globo terráqueo en Rodas y la tangente en Alejandría forman un ángulo precisamente de 7° 30'. Como podemos prolongar el radio que pasa por Rodas hasta la tangente que pasa por Alejandría para formar un triángulo rectángulo, y trazando una paralela a la tangente en Alejandría que pase por el vértice recién construido, vemos que el ángulo ahí es complementario con 7° 30', lo que significa que el ángulo subtendido por los radios que pasan por Rodas y Alejandría, que es complementario con este último, ¡también vale 7° 30'! (que el lector haga el dibujo, yo tengo flojera).

Ya solamente nos falta la distancia entre Rodas y Alejandría, para dividirla entre la fracción que es 7° 30' de 360, que es $0{.}028083$. Aquí ocurre un efecto interesante que da más evidencia anecdótica de que los cálculos de servilleta funcionan. Resulta que la altura medida en Alejandría de Canopo tiene un error por exceso, debiendo ser 5° 15'; Posidonio además usa, para la distancia entre Rodas y Alejandría, la cantidad de $5000$ estadios, que tiene también error por exceso. Pero en el cálculo final los errores mayormente se cancelan, pues le queda que la circunferencia terrestre es $5000/0{.}028083 = 240000$ estadios, que está bastante cerca de los $252000$ estadios obtenidos por Eratóstenes, y ambas de suyo son bastante precisas.

Más tarde Estrabón, en el siglo primero después de Cristo, "corrigió" el resultado de Posidonio usando una distancia más precisa entre Rodas y Alejandría pero sin revisar la altura de Canopo, lo que hace que salga una circunferencia bastante menor de la Tierra. Se dice que este error se propagó hasta el siglo XVI y lo aprovechó Cristóbal Colón para argumentar la factibilidad de su viaje hasta Asia. ¡Vaya viaje desde la ética estoica hasta el contacto entre dos mundos!

Sobre la saga "Lilith's Brood"

En una red social leí sobre mi tocaya Octavia Butler y una de sus obras que me pareció muy interesante. Sin embargo, no pude recuperar el título, y se me hizo fácil concluir que era alguna de sus obras más conocidas, y la primera con la que me topé fue con la saga "Lilith's Brood"; tuve la suerte y alegría de que me la regalaran de cumpleaños.

La primera novela, "Dawn", me gustó bastante y se siente sintonizada para estos tiempos de encierro. Pero, cuando en "Adulthood Rites" se explora la historia de un ser híbrido de humana y extraterrestres (porque se requiere más de un extraterrestre para procrear), hubo dos cosas que no me convencieron y que suspendieron mucho la "credulidad literaria" que es muy necesaria para la ficción científica.

El niño (?) híbrido era casi indistinguible de un humano excepto por su lengua. Con ella, si entendí bien, podía "palpar" hasta niveles muy sutiles a la materia, y con ello se supone que, como sus congéneres, tenía la facultad de modificar a los humanos a nivel molecular para curar o mitigar enfermedades, por ejemplo. Hasta aquí todo muy bien, pero llega el punto en el que degusta el plástico y lo halla repugnante, según porque es tóxico como nada más que hubiese tocado.

Si bien es verdad que los primeros plásticos tuvieron ftalatos, luego BPA, y que estos compuestos perturban el sistema endócrino, sería de imaginarse que un organismo tan "avanzado" como para percibir la materia más allá de lo atómico pudiera comprender estos compuestos y no angustiarse particularmente por sus efectos, de la misma manera que no le preocuparían las sustancias irritantes o venenosas de otros organismos.

En una simpática coincidencia, por estos días salieron unos pequeños escarabajos en la sopa, y al revisar la alacena notamos que habían perforado algunas otras bolsas también. No he logrado encontrar la especie exacta, son pequeños de color marrón bastante oscuro, de más o menos 2 milímetros de largo. De lo que averigüé sobre este tipo de escarabajos en general, resulta que no son tóxicos (hasta nutritivos son, si no me equivoco), así que quité los que pude y seguí comiendo. Y pues se sabe que al menos una especie de ese tipo de insectos a los que les gusta la harina, como el Tenebrio molitor, pueden comer plástico sin aparentes efectos secundarios; yo esperaría, por lo tanto, mucha menos susceptibilidad de un extraterrestre biológicamente muy sofisticado.

Otra cuestión es que los extraterrestres modifican a los humanos para que no se puedan reproducir sin su ayuda, pues es parte de su programa de rescate de la especie (porque de cualquier manera nos íbamos a extinguir por algún tipo de guerra global catastrófica). Esto provoca, muy previsiblemente, que existan comunidades de resistencia. Lo que sí no me cuadra del modo en que las describen es que por ningún lado aparecen científicos o matemáticos. Ni siquiera médicos, pues lo más cercano es una psicóloga que hace lo que puede. Vamos: no hay por lo menos el recuerdo de que existieran. Yo pienso que en la civilización humana actual hemos descubierto que lo difícil es imaginar lo posible y enumerar los callejones sin salida; diría que, si se sabe lo posible y se recuerdan los pasos en falso, sería más o menos directo retrazar la ruta para llegar hasta la manipulación genética otra vez y deshacer lo que hubieran hecho los salvadores extraterrestres, posiblemente más velozmente que en los más o menos cien años que tomó hacerlo en la primera pasada.

Pero, bueno, considerando cómo es difícil hacer la divulgación científica y matemática e impulsar su valoración, tal vez no esté tan descabellado escribir que después de una hecatombe mundial, seríamos absolutamente incapaces de renacer intelectualmente, por lo menos al nivel que se ha alcanzado en los últimos doscientos años.

Un granito sobre la pandemia

Desde la epidemia de 2009 quería echarle un ojo a los modelos epidemiológicos basados en ecuaciones diferenciales, pero seguramente por mi ignorancia y prejuicios no lo hice.

Recuerdo que leí que para la pandemia que nos azota, lo mismo que para varias otras, han aplicado mucho el modelo SIR preliminarmente, donde la población se divide en los compartimientos susceptible, infectado y removido: los que no se han infectado, los que se han infectado y pueden transmitir la enfermedad, y los que sea porque superan la enfermedad y quedan inmunes o mueren ya no la transmiten, respectivamente. Tenemos el sistema no lineal \[ \mathbf{x}' = f(\mathbf{x}) \] donde $f(s,i,r)=(-bsi,bsi-ki,ki)$, $b$ es una constante que representa la tasa a la que el contacto entre susceptibles e infectados resulta en nuevas infecciones, y $k$ es la tasa a la que se remueven los infectados.

Se supone que $k$ es el recíproco del tiempo que toma la recuperación, que para la covid 19 es 15 días más o menos. Por otro lado, el número reproductivo básico $R_{0}$ es el cociente $b/k$, y es un indicativo de si una enfermedad puede convertirse en epidemia, pues generalmente esto ocurre si es mayor que la unidad.

Para la covid 19 el valor $R_{0}$ que he visto que tiene más aceptación es de $2.5$, de donde se sigue que $b = 1/6$. Se puede codificar fácilmente esto en Octave (ya sé que lo de hoy es Python, pero la verdad todavía no lo domino) y resolver con el comando lsode y se puede jugar con el valor de $b$, que es lo que podemos disminuir por medio del distanciamiento social.

Recuerdo que en un artículo (de los primeros) no quedan muy felices con este modelo porque mucha gente porta el virus pero no se enferma propiamente, y justamente por eso se propaga más y más rápido la enfermedad y alcanza a más población susceptible de morir, pero me ha servido para ver que si logramos disminuir lo suficiente el contagio, sí se reduce el pico de infectados, y se alcanza menos rápido, lo que sin duda ayuda al personal de salud a salvar más vidas. Igualmente, se aprecia que no saldremos pronto de esto.

Algunos pensamientos sobre un libro de Gardner

Hace poco terminé de leer «Los porqués de un escriba filósofo» de Martin Gardner, en la traducción publicada por Tusquets. Debo mencionar que hay muchos errores en la reproducción de los fragmentos en inglés y eso dificulta la lectura, pues me parece que las traducciones no son las mejores posibles. Esto es importante porque a Gardner le gusta mucho la poesía.

No lo leí de un jalón, y no recuerdo exactamente por qué, pero creo que fue porque llegué a la parte donde justifica su, como dice, fideísmo, y me pareció repulsiva. Es decir, si bien Gardner no se sentía afiliado a ninguna religión organizada, sí declaraba tener fe en que algún tipo de dios existe.

Retomando la lectura (y si no me equivoco esto ocurrió porque buscaba su explicación de por qué no era relativista moral), me pareció muy razonable cuando aclara que, ciertamente, la existencia de dios no se puede sostener desde la razón ni la evidencia, y que se llega a tal entidad por un salto de naturaleza emocional. Se puede quedar ahí mi diferencia con Gardner, pues estoy de acuerdo en que para muchas personas es necesario contar con una deidad personal que les permite hacer conexiones espirituales con ciertos misterios y otras personas.

Algo más que me gustó es que explica que el presente sistema económico mundial está más allá del marxismo y del capitalismo de Smith. Ya no es posible para país alguno alcanzar de modo sensato la autarquía; los mecanismos de producción son ya tan complejos e involucran cadenas tan distribuidas a nivel mundial que nada de la tecnología moderna podría ser ensamblada por medio de algún tipo de planificación centralizada... Y, curiosamente, los conglomerados internacionales de todas maneras no pueden hacerlo mucho mejor, ni tampoco pueden diferenciarse del todo de empresas estatales en varios casos. Por lo demás, coincide con la opinión de H. G. Wells que «Das Kapital» es como la barba de Marx: artificial y, si se reduce a lo esencial, en nada se parece a él. Me uno a tal veredicto, excepto porque me parece que hay problemas matemáticos reales en relación a la ganancia del capitalista que merecen un examen mas minucioso. Por cierto a Gardner ¡tampoco le gusta lo que hoy se llama libertarismo!

En general, es un libro muy interesante, y que me habría gustado leer apenas hubiera terminado con «El mundo de Sofía» para conocer mejor a la filosofía, pero pues no pasó así.

Sobre la corrupción

Hay alrededor de $4.2\times 10^{6}$ funcionarios públicos en el país, según datos del Inegi. Según la OECD, el 95% de las personas asegura que su familia no es corrupta, por lo que podríamos esperar que haya por lo menos \[ 4.2\times 10^{6}\times 5 \times 10^{-2}=2.1\times 10^{5} \] funcionarios corruptos que roban al erario.

El presupuesto federal anual es del orden de $6\times 10^{12}$ pesos, y en el peor de los casos los funcionarios corruptos lo agotan. El valor medio de su robo, en consecuencia, no es superior a los $6\times 10^{12}/(2.1\times 10^{5}) = 2.9\times 10^{7}$ pesos por persona.

Leí en una captura de un trino que Emilio Lozoya tiene $1.5\times 10^{10}$ pesos congelados en sus cuentas, pero no he podido verificar tal información. Lo que sí es que el gasto de $2\times 10^{10}$ pesos durante su administración como director de Pemex no ha podido ser justificado. En fin, la desigualdad de Markov nos dice que, suponiendo que $X$ sea una variable aleatoria del monto que roba un funcionario, se satisface \[ P(X\geq 1.5\times 10^{10}) \leq \frac{2.9\times 10^{7}}{1.5\times 10^{10}} = 1.9\times 10^{-3}, \] es decir, la probabilidad de que haya robado los quince mil millones o más es menos de dos en mil en un año. Disponer de un sexenio no mejoraría mucho que digamos esta probabilidad. Tampoco significa que no haya malversado fondos públicos, solo que no me parece muy convincente que él solo se haya hecho de todo ese dinero. Insisto: si mañana sale más información a la luz y resulta que se hizo de eso o todavía más dinero, solamente remarca lo inusual del evento, y en tal caso habría motivos para pensar que el actual gobierno de México capturó a un pez realmente gordo.

Dada esta circunstancia, yo pienso que hay que ir principalmente por los que andan una desviación estándar alrededor de los 29 millones de pesos, como los muchos que participaron en la llamada "estafa maestra", para realmente rescatar los recursos y eliminar la percepción de que se pueden realizar estas iniquidades impunemente.

La primera del 2020

Yo quería abrir este año escribiendo sobre un teorema de conjuntos súmicos de Bourgain que demuestra Tao y Vu en su libro de combinatoria aditiva, pero que no es precisamente igual a la original... Y que es todo menos clara. Pero considerando que el mismo Tao confiesa su dificultad para entender los argumentos de Bourgain en algunas ocasiones, no me siento tan mal por no haber tenido tiempo de deshilvanarlos satisfactoriamente para deleite mío y de mis alumnos. Espero en febrero disponer del tiempo suficiente.

Sin embargo, tengo el pretexto perfecto para alardear de que, después de haber impartido el curso de análisis de Fourier y armónico, tuve la oportunidad de exponer a mis alumnos a la versión discreta del mismo, su relación con la combinatoria aditiva y cómo se usa para demostrar el teorema del hexacordo, que hiciera las delicias de David Lewin y Milton Babbitt, y descubrir con ese pretexto la maravillosa Kinderstück de Anton Webern.

La última del 2019

En mi cumpleaños tuve el gran gusto de recibir algunos de mis regalos favoritos: ¡libros! Uno en particular lo había ansiado tener en mis manos desde que la Royal Society le otorgó el Science Book Prize en 2016: «The Invention of Nature» de Andrea Wulf.

Aparte de ser una obra laureada, lo que más me estimulaba para leerla era que trata sobre Alexander von Humboldt, un científico al que admiro mucho desde que supe que colectó varios datos muy valiosos sobre Mesoamérica, y sobre Mitla en particular.

Grande fue mi decepción, por lo tanto, al descubrir que Wulf le dedica apenas unos párrafos al viaje de Humboldt por mi patria, sin mencionar para nada a mi amada Oaxaca. Pero todavía más lo fue por la mala prensa que le dedica a la matemática. En un pasaje, por ejemplo, afirma que el medio primario de Humboldt para entender a la naturaleza es la comparación y no la «matemática abstracta o los números». En otro va tan lejos como para afirmar que William Herschel tenía la idea de un universo evolucionando que «no estaba basado solo en matemática», sino una entidad «viva que cambia, crece y fluctúa».

Me parece que en general Wulf no se ha acercado mucho a la matemática que digamos, pues el cálculo infinitesimal ¡justamente estudia lo que cambia, crece y fluctúa y es indispensable para los astrónomos desde hace siglos! Quizá por eso acepta el cliché de la «frialdad matemática» sin miramientos, tomando a la reina de las ciencias como una especie de maldición que a todo vuelve un mecanismo sin sentimientos o algo por el estilo. Wulf apenas y menciona la cercanía entre Humboldt y Gauss, y solamente en la bibliografía se entera uno de la mucha correspondencia entre el prusiano y Gustav Lejeune Dirichlet. Muy de pasada informa Wulf que Humboldt patrocinó a un «joven matemático» con 100 táleros... Si infiero correctamente, entonces estamos hablando de ni más ni menos que Gotthold Einsenstein, que correspondió a este gesto con creces, haciendo contribuciones notables a la teoría de números y el análisis.

Aprovecho para mencionar que, si no recuerdo mal, la idea de tener miradas más globales y conectoras de la matemática que tanto distinguió a Berhard Riemann venía precisamente de Lejeune Dirichlet, y cuesta poco trabajo suponer que ese espíritu provenía de Humboldt en alguna medida.

Otro aspecto que no me gustó del libro de Wulf es que al final parece más un panfleto de ambientalismo recalcitrante que otra cosa. Si bien es difícil diferir con Humboldt en que la cultura humana en general es perjudicial para los ecosistemas en cuanto al funcionamiento que han tenido durante millones de años, también es cierto que la cultura y la vida humana tienen valor. Sin duda hay que moderar la ambición (en especial de la comodidad) que muchas veces ofrece el capitalismo o el libre mercado, pero también es complicado construir un barco, instrumentos científicos o imprentas sin afectar al medio ambiente. Creo que justamente lo que observó George Perkins Marsh sobre el Egipto antiguo, una civilización que duró miles de años y que consumía unas diez mil veces menos energía per cápita que la contemporánea, basta para convencerse de que a lo más que podemos aspirar es a maximizar nuestro paso por el planeta minimizando los estragos para el resto de los seres vivientes, justamente aprovechando la tecnología y conocimiento que tanto hemos luchado para obtener.

Hay que recalcar que todo ese saber se ha logrado no solo con visiones panorámicas, sino también en la vuelta del péndulo que se concentra en fenomenos puntuales, como lo son el origen de la gravedad, la radiación de cuerpo negro o el mecanismo concreto para la transmisión de la información genética, por mencionar unos cuantos casos.

En fin, quien desee recordar que la contemplación artística de la naturaleza y el maravillarse de que podemos comprender y predecir su comportamiento no están peleados, seguro disfrutará este libro. Yo no, porque ya pasé por ese romanticismo un tanto ramplón cuando estudié el bachillerato y creo que el universo es más complicado que unos pocos eslóganes fáciles de memorizar. Esto lo refrendó Humboldt mientras componía su última obra maestra, «Kosmos», y vale citarlo como cierre.

«Es casi con renuencia que estoy a punto de hablar de un sentimiento, que parece surgir de puntos de vista de mentes estrechas, o de un cierto sentimentalismo débil y mórbido –aludo al "temor" que tienen algunas personas de que la naturaleza pierda gradualmente una porción del encanto y la magia de su poder a medida que aprendemos más y más cómo desvelar sus secretos, que comprendemos el mecanismo de los movimientos de los cuerpos celestes y que estimamos numéricamente la intensidad de las fuerzas naturales.»

Un discurso que nadie me pidió

Hace no mucho participé en una feria matemática, y escuché un discurso durante la inauguración de la misma.

Se dijo que la idea era presentar a la matemática como «algo lúdico», «diferente a lo que se aprende en la escuela».

No me parece que sea óptimo este mensaje. Yo habría dicho algo como lo que sigue.

Traemos esta feria para que conozcan de primera mano (pues somos profesores y estudiantes de la licenciatura en matemática) lo que se siente estudiar matemática. Cómo es una ciencia que te engancha y que puedes pasar las horas pensando cómo embona un trocito de pensamiento con otro para lograr un todo lo más armónico posible. Cómo paso a paso el razonamiento te lleva a una respuesta (porque no es poco frecuente que haya más de una), a veces a través de un camino inesperado. No es algo que sea manifiesto durante sus clases en la escuela, pero de la misma manera que una música tiene que practicar durante años escalas y demás ejercicios para mejorar su coordinación y fortalecer sus manos para conseguir una ejecución virtuosa y expresiva, así también hay que practicar con ahínco la aritmética básica para entender la manipulación simbólica elemental, y así ir subiendo la complejidad de los ejercicios para por fin desentrañar la belleza abstracta de la reina de las ciencias.

Buscamos, pues, que con esta feria puedan ver algunos «grandes éxitos» de la matemática que han encantado a muchas generaciones, como la papiroflexia, los hexaflexágonos, trucos con naipes, las torres de Hanoi, los tangramas, los cubos de Rubik, Soma y Bedlam, y varios acertijos tradicionales. Gracias por venir, y esperamos poderles compartir el gozo que nos proporciona la disciplina que cultivamos.

Motivación para los matemáticos en ciernes

Una vez más me he colocado sin ayuda en la complicada situación de hablarle a los estudiantes de nuevo ingreso con el fin de, como mínimo, motivarlos a perseverar en este proyecto tan demandante como lo es estudiar una licenciatura en matemática aplicada.

¿Debo hablar desde mi experiencia? No lo sé, no pienso que sea representativa de un estudiante de matemática. Aún así, tengo la inquietud de dirigirme a ustedes y juzgo que no tengo alternativa [risas]: el hablar sobre mi experiencia, no el hablar con ustedes, desde luego; las razones las insinuaré después. Así que puedo comenzar con mi ya vieja historia de que originalmente quería ser licenciado instrumentista (en guitarra, específicamente) y estudiar en la Escuela Nacional de Música, y que no terminaba de decidirme entre eso y la matemática.

Yo descubrí la matemática como profesión por medio de los libros de Martin Gardner en el bachillerato, y mientras esperaba presentar el examen de admisión en la Nacional, decidí que era pertinente matricularme en matemática aplicada en la UTM y estudiar el propedéutico. De hecho, de principio a mí no me llamaban la atención las aplicaciones de la matemática. En realidad, soñaba con demostrar la hipótesis de Riemann y así ganar la fama duradera de manera totalmente legítima y respetable.

¿Han oído hablar de la hipótesis de Riemann? ¿No? Así de a rápido les diría que por ahí del siglo XVII Pietro Mengoli demostró que la suma de los recíprocos de los naturales mayores a $0$ \[ 1/1+1/2+1/3+1/4+\cdots \] diverge, usando sumas telescópicas. Se preguntó si podría con tales técnicas sumar los recíprocos de los cuadrados, pero no pudo hacerlo. Este es el famoso problema de Basilea. Uno de los Bernoulli (no recuerdo cuál, alguno de ellos) demostró con sumas telescópicas que la suma en cuestión está acotada \[ 1+ \frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots < 2 \] así que forzosamente converge. En el siglo XVII Euler consideró la suma de los recíprocos elevados a la $s$ y que es la famosa zeta \[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} \] y logró demostrar que $\zeta(2) = \pi^{2}/6$, y de hecho encontró el valor de la zeta para los naturales pares, lo que lo catapultó a la fama. Bernhard Riemann, en el siglo XIX, vio a la función como una de variable compleja, estudió sus propiedades y descubrió que, aparte de en los números enteros negativos pares (los llamados ceros triviales), se anulaba en otros (los no triviales) sobre la recta de los complejos con parte real igual a $1/2$, y conjeturó que no había otros ceros. Ésta es la famosa hipótesis de Riemann.

Debo decir que justamente aprender bien los fundamentos de mi disciplina me sacó del error de pensar que sobre la base de la pura fuerza de voluntad se puede triunfar sobre un problema tan abstruso como ese.

Al final ya no estudié música, pero nunca abandoné la ilusión de matematizarla para comprenderla mejor y, finalmente, extender su capacidad expresiva. Compré el libro de armonía de Schönberg cuando fui a la Nacional para mi examen de admisión y recuerdo que encontraba fascinante la explicación matemática de la armonía en términos de los sobretonos, lo mismo que la tabla de acordes con notas en común que, según entendí después, tiene consecuencias para la teoría armónica formulada por Hugo Riemann (uno diferente al de la hipótesis, por cierto). Sea como fuere intuía que había un trasfondo matemático en el por qué algunas combinaciones de acordes en sucesión suenan mejor unas que otras.

Para mí, pues, la musicología matemática es una pasión de larga data. No es un simple pasatiempo para hacer divulgación ni una elección cómoda para eludir temas arcanos, como creo que muchos piensan. De haber sido posible, habría hecho mi tesis de licenciatura sobre este tema, pero no es una rama particularmente popular de la matemática (por lo menos en aquel entonces y por estas exactas latitudes). Sin embargo, sí pude trabajarlas durante la maestría y el doctorado. El doctor Emilio Lluis Puebla, mi director o codirector de tesis en ambos casos y ahora un gran amigo y colega, afirma que soy el primero en doctorarse en la UNAM con un trabajo sobre musicología matemática. Dada su antigüedad en la Facultad de Ciencias, confío en su palabra.

Ser matemático, desde mi punto de vista, es una búsqueda de la verdad, de una certeza que trasciende el tiempo y el espacio, y que típicamente es señalada como el que un teorema es verdadero en cualquier parte del Universo. En palabras de Martin Gardner:

La matemática no solo es real, sino que es la única realidad. Que el universo entero está hecho de materia, es obvio. Y la materia está hecha de partículas. Está hecha de electrones y neutrones y protones. Así que el universo entero está hecho de partículas. ¿Y de qué están hechas esas partículas? No salieron de la nada. La única cosa que podemos decir sobre la realidad del electrón es citar sus propiedades matemáticas. Así que en cierto sentido la materia se disuelve por completo y lo que nos queda es puramente una estructura matemática.

También dice Godfrey Harold Hardy, en su libro "A Mathematician's Apology", cuya lectura recomiendo ampliamente:

El cuarto en el que me encuentro dando clase es parte del mundo físico, que tiene en sí mismo cierto patrón. El estudio de ese patrón, y en general el patrón de la realidad física, es una ciencia en sí misma, que llamamos geometría física. Supóngase ahora que un dínamo violento, o un cuerpo gravitatorio masivo, es traído al salón. Entonces los físicos nos dirían que la geometría del cuarto ha cambiado, que su patrón físico ha sido distorsionado de forma leve pero auténtica. ¿Los teoremas [de la geometría euclidiana] que haya probado [en el salón] sea han vuelto falsos? Sin duda es absurdo suponer que las demostraciones que he dado son afectadas de alguna manera. Es como suponer que una obra de Shakespeare cambia porque alguien derrama su té sobre una de sus páginas.

De la misma manera, contrariamente a lo que muchos suponen, hay una libertad connatural a la matemática que ni los regímenes más opresivos o la guerra pueden eliminar. Dice la periodista Masha Gessen en su libro sobre Grigori Perelman, el matemático que demostró la conjetura de Poincaré:

“En la Unión Soviética posestalinista [la matemática] era una de las maneras más naturales para un intelectual librepensador de buscar la realización personal,” dice Grigory Shabat, un conocido matemático moscovita. […] La matemática prometía que uno podía hacer no solo trabajo intelectual sin la intervención del Estado (aunque también sin su apoyo) sino también encontrar algo que no estaba disponible en la sociedad soviética tardía: una simple verdad cognoscible. “Los matemáticos son personas que poseen una especial honestidad intelectual”, prosigue Shabat. “Si dos matemáticos enuncian afirmaciones contradictorias, uno de ellos tiene razón y el otro no. Y definitivamente lo averiguarán, y el que está equivocado definitivamente lo admitirá”.

Pero al bajar, como debemos, de ese topos uranos, tengo la impresión de que los jóvenes de hoy día que estudian matemática les preocupa principalmente el empleo y el dinero; espero por lo menos que en ese orden de prelación, pero no lo sé. Según una encuesta citada en un artículo aparecido en la revista Expansión hecha a principios de 2019, al 80% de los mexicanos les preocupa el empleo, al 68% la economía y al 56% la seguridad. Es verosímil que estos porcentajes también sean representativos de mi audiencia.

He escuchado a alumnos decir que la situación en cuanto al empleo no es halagüeña en México. Sin embargo, desde la Gran Recesión de 2008 a 2009, en la que se perdieron cientos de miles de empleos formales y coincidió con mi egreso de la maestría, la generación de los mismos ha sido relativamente aceptable y, en particular, en noviembre de 2017 se generó un máximo histórico de más de un millón cien mil empleos formales según datos del colectivo “México, ¿cómo vamos?”. Desde 2010 las tasas de generación de empleo han rondado el 3.5% de crecimiento mensual aunque, infortunadamente, han venido a la baja desde mediados de 2018. Esperemos que se mantengan positivas, pese a todo. Y pues ya que han decidido estudiar matemática, según datos de 2018 del Instituto Mexicano para la Competitividad, no deberían estar particularmente preocupados. Solo el 17.3% de los que estudian matemática están desempleados o subempleados, cuando esto puede ser tan bajo como 8% y tan alto como 42.1%. El retorno de la inversión para esta carrera es del 10.5%, cuando va desde el 0% hasta el 12.2%, todo esto al estudiar en una universidad pública. Es la séptima carrera mejor pagada, con un ingreso promedio de $13 232. No obstante, el 61.1% se dedican a servicios educativos y el 84% son subordinados, así que si su sueño es amasar una gran fortuna y ser jefes, entonces seguramente esta no es la mejor opción. Quiero pensar que, al igual que yo, efectivamente estas no son las prioridades de su vida, pero puedo equivocarme.

Regresando a mi experiencia personal, les puedo decir que no fue difícil conseguir becas para la maestría y el doctorado, y que junto con los trabajos que tuve me permitieron sobrevivir sin presiones financieras. Mi primer trabajo fue como maestro de bachillerato en Puebla de Zaragoza, donde aprendí a tratar con los alumnos y recibí capacitaciones pedagógicas, lo que a la larga me serviría para empezar a salir de lo que se denomina "la maldición del conocimiento"; este sesgo cognitivo consiste en considerar que si algo nos es sencillo de entender entonces ocurrirá lo mismo para los demás. El salario del semestre en que estuve ahí no me alcanzó para pagar el alquiler de un mes, pero aprendí mucho. En particular, me motivó para buscar un mejor trabajo y que conseguí como ayudante de profesor en la UNAM; durante un año me permitió ganar lo suficiente como para ahorrar, dejar ciudad de México y regresar a Oaxaca para buscar otra vez empleo. Por medio de la bolsa de trabajo del Conacyt di con una oferta de la Universidad de la Cañada, donde me fue bastante bien y conseguí mi definitividad. El único problema, desde el punto de vista profesional, era que consideraba que no podía ahí desenvolverme plenamente como matemático.

Por eso quise cambiar de aires y tuve la buena fortuna de regresar a la UTM (mi alma mater) durante mi sabático en la UNCA. Y heme aquí, pues también logré mi definitividad e ir caminando con paso lento, pero seguro.

Haciendo un corte de caja a la fecha, me parece que no lo he hecho tan mal: he publicado un libro monográfico que incorpora los resultados de mi tesis doctoral con una buena editorial, he logrado sacar seis artículos en revistas arbitradas internacionales, he dado dos conferencias plenarias en congresos internacionales, uno en México y otro en España, con sus correspondientes contribuciones arbitradas en las memorias. Vale mencionar que, según mis extrapolaciones con datos de Jerrold Grosmann, el promedio de trabajos registrados en MathSciNet® por matemático es de unos 9 ítems. Creo que todavía hay bastante camino por delante. Pál Erdös decía: “Hay un viejo dicho: Non numerantur, sed ponderatur (no se cuentan, se pesan). En el viejo parlamento húngaro de nobles, no contaban los votos, los pesaban. Esto es cierto para los artículos. Ustedes saben, Riemann tuvo una lista muy corta de artículos, lo mismo que Gödel. Gauss fue muy prolífico, lo mismo que Euler, por supuesto”. Por mi área he podido ofrecer recitales en la sala Ollin Yoliztli y el Real Conservatorio Superior de Música de Madrid, lo cual me llena de orgullo. Como docente he salido bien en las evaluaciones cuando se han realizado. Pero en la más alta estima tengo el reconocimiento de algunos alumnos en cuanto a que les ayudé a aprender, y algunas veces han solicitado que sea el titular de algunos de sus cursos.

Para terminar, les dejo esta frase de Hermann von Helmholtz, sin duda uno de los matemáticos a los que más les interesaban las aplicaciones y que además también se ocupó de la fisiología de la percepción musical:

Quien sea que al dedicarse a la ciencia busque una utilidad práctica inmediata, puede estar seguro de que busca en vano.

Asimismo, les dejo al costo el mismo consejo que me obsequió mi suegro cuando me casé: cualquier trabajo que consigas, agárralo, no importa lo que te paguen. Aunque sea experiencia te dejará.

Práctico cuadrado triangular (!)

Pues sí llegué a práctico por catorceava vez. A triangular, por novena vez. Y a cuadrado, por séptima vez (el cero, para mí, sí es natural). Me parece que no es tan común tener las tres propiedades al mismo tiempo. Con las listas de la OEIS calculo que los primeros números triangulares y prácticos son \[ 1,6,28,36,66,78,120,210,\ldots. \] Ahora bien: por un teorema de Euler, todos los números perfectos pares son de la forma \[ \frac{2^{n}(2^{n}-1)}{2}, \] así que también son triangulares, lo mismo que prácticos. La lista de los triangulares prácticos no aparece en la OEIS pero no sé si sea de suficiente interés. Resulta que Euler también (¡quién más!) determinó una fórmula para los números triangulares cuadrados \[ N_{k} = \left(\frac{(3+2\sqrt{2})^{k}-(3-2\sqrt{2})^{k}}{4\sqrt{2}}\right)^{2} \] y por ella sospecho que es difícil que haya otro cuadrado triangular práctico, pero no lo sé. He hecho una búsqueda rápida en la literatura pero he encontrado nada hasta ahora. Seguro JHS me sacará de mi ignorancia en cualquier momento... [En efecto, resulta que hay algunos más; echen un ojo a los comentarios].

Para el pastel pedí una decoración de una trenza lemniscática. De hecho, para el monoide generado por $\Sigma = \{\sigma_{1},\ldots,\sigma_{7}\}$ con las relaciones \[ \sigma_{i}\sigma_{j} = \sigma_{j}\sigma_{i},\quad \text{para } |i-j|\geq 2 \] y \[ \sigma_{i}\sigma_{i+1}\sigma_{i} = \sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1}\quad\text{para }1\leq i\leq n-1, \] que es el llamado monoide positivo de trenza de $8$ hebras, resulta (según a OEIS) que hay exactamente $36$ palabras de longitud $3$.

Seis artículos seis

Como regalo de cumpleaños adelantado recibo la noticia de que mi artículo "Modulation in tetradic harmony and its role in jazz", escrito conjuntamente con mi mentor y colega el doctor Guerino Mazzola, por fin fue publicado en el Journal of Mathematics and Music. Resultó también muy adecuado para el dichoso "reto de los diez años", pues dista casi exactamente una década de la publicación de mi primer artículo, en la misma revista.

Este es el primer trabajo que desarrollo completamente trabajando en la Universidad Tecnológica de la Mixteca, lo cual añade alegría a su salida a la luz. Sin embargo, otra vez tuvo sus complicaciones, pues es la primera vez que tengo que superar cuatro rondas de revisión. También aprovecho para agradecer nuevamente a la Unión Matemática Internacional por su apoyo por medio de su Abel Visiting Scholar Program para realizar la estancia en Estados Unidos, hace un año, para completar este trabajo.

Enhorabuena y ¡venga el séptimo! :-D

Bajarte la Luna

Desde hace más de un mes que quiero escribir esta entrada, porque debiera haberla publicado como celebración de la llegada de la humanidad a la Luna.

La cuestión es que las teorías de conspiración sobre el tema gozan de notable buena salud en pleno siglo XXI. Si bien hay una lista bastante grande de confirmaciones independientes de que el viaje de Armstrong, Collins y Aldrin ocurrió como está documentado en audio, fotografías, video y mediciones científicas, esto no es impedimiento para que gente inteligente que conozco manifieste dudas de su veracidad.

En México es particularmente punzante este tema pues en el museo Universum de la UNAM hay muestras de rocas lunares traídas por los astronautas de las misiones Apollo, lo que debiera despejar cualquier sombra de duda. No es tan fácil, sin embargo, porque a fin de cuentas se puede argumentar que tales muestras podrían haber sido colectadas de forma robótica o simplemente halladas en la Tierra, sin mencionar que en sí podrían ser falsas.

Esto nos coloca en una complicada situación epistemológica que tal vez solo podría resolverse viajando hasta el Mar de la Tranquilidad en la Luna, mirar en persona el módulo lunar y recuperar evidencias de que alguna tripulación lo alunizó ahí en 1969. Puede que no sea una actitud del todo ridícula. Yo jamás he mirado un electrón, un neutrón ni un protón, y ejecutar los experimentos de Thomson, o los de Rutherford-Geiger-Marsden, o los de Chadwick, está fuera de mi alcance. Sin embargo, puedo observar otros fenómenos macroscópicos que se explican bastante bien si se acepta que tales partículas existen, como la sensación al jugar con una caja de toques, la acidez estomacal o el funcionamiento de los detectores de humo. Y por supuesto que este tipo de dudas son sanas para la ciencia, pero que no pueden rayar en la locura de un escepticismo absoluto ni desechar gratuitamente a la deducción lógica, la argumentación matemática y la evidencia indirecta.

El que haya dos piedras lunares en México es responsabilidad directa de Gerardo Suárez Reynoso y Jorge Flores Valdés, que lograron que la NASA se las prestara a la UNAM en 1994. Una fue obtenida por el mismísimo Neil Armstrong en la misión del Apollo 11 y pesa 185 gramos. La otra, por Harrison Schmitt en la misión del Apollo 17 de 1972; es de 24 gramos y se puede tocar.

Ahora bien: hay tres maneras independientes de validar las muestras lunares. Por un lado, está el material recolectado por las misiones tripuladas estadounidenses; por otro, los meteoritos que se han encontrado en la Antártica y, finalmente, las muestras de las misiones robóticas soviéticas. En los tres casos se han examinado y coincidido en sus características en generales, y en particular delatan composiciones y edades semejantes.

La cuestión enseguida es que hay que ser especialista en mineralogía para verificar todo hasta el último detalle, y aquí sigo a un excelente artículo de Paul D. Lowman para lo más general. Lo primero es que la composición de las rocas lunares es consistente con una ausencia de agua, pues ésta altera significativamente a los minerales en la Tierra casi de inmediato. En segundo lugar, una ausencia de oxidación, y que es básicamente por lo cual la Luna se mira tan gris en comparación con los cafés, amarillos y rojos presentes en la Tierra. De hecho, Harrison Schmitt recogió una muestra de suelo naranja en la Luna porque es geólogo y le llamó la atención un color tan peculiar en medio de la grisura lunar (y que resultó que no era por oxidación, por cierto). En tercer lugar, la mayor parte de las rocas traídas por los astronautas son brechas, esto es, una especie de roca que parece como un panqué con pasas. Estas se forman fácilmente durante los impactos como los que han ocurrido en la Luna, donde se forma magma y quedan “atrapadas” en él otras piedras al irse solidificando, y que son algo más raras en la Tierra. En cuarto lugar, y como dice un sitio muy detallado pero muy técnico sobre el tema, las rocas lunares contienen gases conformados de proporciones de isótopos que no hay en la Tierra, sin mencionar que tienen edades de cristalización que son más antiguas que cualesquiera de las conocidas en nuestro planeta.

En fin, esto es lo que puedo explicar someramente, y que son argumentos totalmente convincentes desde mi punto de vista. Además, he estado en el Universum y visto con mis propios ojos las rocas lunares; les recomiendo hacer lo mismo. Para mí, pues, este asunto está zanjado, aunque creo que difícilmente rechazaría la oferta de visitar la Luna para cerrar cualquier resquicio escéptico que persistiera en mi cabeza.

Miliarios de la escuela

Platicaba recientemente con un alumno y le comentaba que ya había hecho recuentos de lo que más huella había dejado en mi memoria mi instrucción primaria y de licenciatura, y me surgió la inquietud de extender este ejercicio a los demás grados. He aquí la lista.

• Preescolar
  • A recortar.
  • A pegar bolitas de papel en un dibujo de un borrego, usando el pegamento que vertían en una corcholata.
  • A convertir un fruto de jacaranda en una rana.
  • Que hay niños que te agarran a golpes en bola, los muy cobardes.
• Secundaria
  • Los rudimentos del álgebra explicados con una balanza.
  • La clasificación de las nubes.
  • El principio de la palanca de Arquímedes.
  • El mechero de Bunsen y su uso.
  • La deducción de la fórmula cuadrática (si $ax^{2}+bx+c=0$, entonces $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$).
  • El teorema de Tales (el de la canción de Les Luthiers, aunque sobre ellos supe mucho más tarde).
  • Parénquima, colénquima y esclerénquima.
  • La nefasta existencia de las Hitlerjugend.
  • La música de Django Reinhart.
  • Los detalles de la Guerra de Secesión estadounidense.
  • Leí El laberinto de la soledad.
  • Leí El mundo de Sofía y me empecé a interesar seriamente en la filosofía. Me llamaron especialmente la atención la mayéutica socrática y el principio de "más vale padecer una injusticia que cometerla", las ideas de Heráclito y Parménides, y el cogito cartesiano. La "revolución copernicana" de Kant. La náusea sartreana.
  • Que el maestro de educación física me odiaba. Pero también lo básico para jugar futbol, volleyball y básquetbol, aunque nunca pude jugarlos bien. También darle muchas vueltas a la cancha de futbol hasta que se me saliera el cuajo.
• Bachillerato
  • Las identidades trigonométricas. Especialmente, la pitagórica ($\sin(x)^{2}+\cos(x)^{2} = 1$).
  • El teorema fundamental del álgebra.
  • La división sintética.
  • La física básica: desde las leyes de Newton (aunque nunca me he aprendido el orden) hasta la difracción de la luz en películas delgadas, pasando por las leyes de los circuitos eléctricos y el principio de flotación de Arquímedes.
  • La pirámide de aufbau y por qué se llama así.
  • El romance de Abenámar.
  • Las teorías de Émile Durkheim y Max Weber.
  • La silogística aristotélica.
  • Qué significa "c. b. p." en los medicamentos.
  • Las soluciones amortiguadoras y su relación con la fórmula cuadrática.
  • Los orbitales atómicos y su relación con la formación de enlaces químicos.
  • Alcanos, alquenos y alquinos.
  • Qué es la titulación (en química) y a usar una bureta para realizarla.
  • La importancia de los terpenos.
  • El cálculo infinitesimal básico. O, al menos, eso creí hasta empezar la licenciatura.
  • La geometría analítica. Especialmente, qué cosa es el latus rectum (mi profesora se enojaba que lo dijera en latín).
  • Los grabados de M. C. Escher.
  • La literatura de Jorge Luis Borges.
  • ¡Que es posible estudiar solamente matemática!
• Maestría
  • La Hauptvermutung de Steinitz y Tietze.
  • El nervio de una cubierta abierta.
  • Los complejos CW.
  • Los espacios de Eilenberg-Maclane.
  • Las suspensiones y su adjunción con el espacio de lazos.
  • El teorema de Hurewicz.
  • El bordismo y el cobordismo.
  • A resolver el problema de Basilea usando integración compleja.
  • La topología de Zariski.
  • La conjetura del jacobiano.
  • El Nullstellensatz de Hilbert. El truco de Rabinowtisch, en particular.
  • Las propiedades de los anillos noetherianos.
  • La dimensión de Krull.
  • El lema de Hensel.
  • Que es posible peinar una esfera de modo que tenga exactamente un remolino.
  • El teorema de Sard.
  • Los grafos de Cayley.
  • Los conos y los límites en teoría de categorías.
  • El lema de Yoneda.
  • La importancia de las pregavillas (o sea, de los funtores contravariantes hacia la categoría de conjuntos).
• Doctorado. Durante el doctorado no llevé curso alguno, pues me enfoqué en mi tesis. Pero aprendí lo siguiente.
  • El poder de la heurística de imponer un orden parcial en una estructura y buscar los elementos mínimos.
  • Entendí mejor el teorema de Seifert-van Kampen y la teoría de espacios cubrientes.
  • A mejorar la intuición de cuándo un enunciado matemático es verdadero y perseverar para encontrar su demostración.
  • Que hay que tener mucha paciencia con los editores y árbitros de una revista.

Adenda (12/07/19). Para fines de completitud, aquí están las listas (con algunas adiciones menores) de lo de primaria y licenciatura.

• Primaria
  • A escribir. Con letra muy fea, pero no es culpa de la maestra.
  • A leer y a comprender.
  • La aritmética básica pese a mi dificultad con ella, incluyendo la de los números racionales.
  • La geometría elemental de las construcciones de Euclides.
  • Las fórmulas para las áreas y perímetros básicos, lo mismo que de cuerpos tridimensionales sencillos.
  • Las capitales de todos los países (aún si con fronteras de algunas décadas de edad) y otros datos geográficos básicos.
  • Los axiomas de los campos ordenados (aunque no los llamaba así mi maestra de sexto).
  • Relaciones de proporcionalidad directa e inversa.
• Licenciatura
  • Las demostraciones por vacuidad.
  • La noción de que la derivada es el “coeficiente” de la mejor aproximación lineal a una función en un punto.
  • La constante de Euler-Mascheroni.
  • Los autovalores y la forma canónica de Jordan.
  • Las ideas centrales de la topología algebraica (en particular, el cálculo de grupos de homología y el lema de Barratt-Whitehead).
  • El teorema de Euler relativo a los ciclos que llevan su nombre en la teoría de grafos.
  • La teoría de Fourier que se usa para resolver la ecuación hiperbólica en derivadas parciales.
  • El teorema del límite central.
  • Los estimadores de máxima verosimilitud.
  • El teorema de inclusión y exclusión.
  • La dualidad en programas lineales.
  • Que todo dominio entero finito es un cuerpo.
  • Que un ideal de un anillo es máximo si, y sólo si, el cociente respecto a él es un cuerpo.
  • Cómo obtener soluciones de ecuaciones diferenciales usando series de potencias (en particular, cómo esto conduce a las funciones de Bessel).
  • Las aplicaciones conformes (en particular, la transformación de Schwarz-Christoffel).
  • La fórmula integral de Cauchy.
  • La desigualdad de Cauchy-Schwarz.
  • El algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor.
  • A escribir demostraciones con un discurso y no solamente acumulando revolturas de frases con símbolos taquigráficos.

Demostración de la fórmula de Fàa di Bruno

Vale, pues voy a seguir muy de cerca a (Johnson, 2002) aquí. Cada partición de $\{0,\ldots, m\}$ se puede obtener de forma única al pegar a $m$ a alguna partición de $\{0,\ldots, m-1\}$, y hay de dos sopas:

1. Se agrega como un nuevo bloque $\{m\}$, y así se incrementa el número de bloques en una unidad respecto a la partición inicial. Esto corresponde a derivar a $g^{(k)}(f(t))$ con respecto a $t$ para obtener $g^{(k+1)}(f(t))f'(t)$.
2. Se elige uno de los bloques de la partición y se le agrega $m$. Digamos que la cardinalidad del bloque es $i$; entonces el número de bloques de cardinalidad $i$ se reduce en una unidad, y el número de bloques de cardinalidad $i+1$ aumenta en $1$. Aún así, el número total de bloques permanece igual. Esto corresponde a derivar a $(f^{(i)}(t))^{b_{i}}$ respecto a $t$ para obtener $b_{i}(f^{(i)}(t))^{b_{i}-1}f^{(i+1)}(t)$, donde $b_{i}$ es el número de bloques de tamaño $i$.

Por ejemplo, recordemos que $g'(f(t))f''(t)$ está asociado al bloque $\{0,1\}$, y al derivar respecto a $t$ obtenemos \[ g''(f(t))f'(t)f''(t)+g'(f(t))f'''(t), \] cuyos sumandos están asociados, respectivamente, a $\{\{2\},\{0,1\}\}$ (un bloque de cardinalidad $1$ y un bloque de cardinalidad $2$) y $\{0,1,2\}$ (un solo bloque de cardinalidad $3$). Naturalmente, van saliendo más sumandos que toman en cuenta todas las particiones posibles cuando se realizan todos los detalles de la derivación.

Y no se da una vanidad en vano...

Escribí esto para la ceremonia de entrega de unos reconocimientos de mejores promedios y campeones de una olimpiada de lógica, y que les dejo por si les interesa. Al final me decidí por otras palabras que no hacen justicia a mi sentir pero que, espero sinceramente, me hicieron ver menos odioso ante los demás.

La matemática es tan vasta que, para avanzar nuestro conocimiento, se necesitan a muchas personas para lograrlo. No solamente porque cada vez es más titánica esta tarea, sino porque para abrir brecha se necesitan enfoques creativos que, muy difícilmente, pueden salir de un solo grupo reducido de personas. Todos aquellos que tienen interés en la matemática son necesarios.

Para ejemplo, me viene primero a la mente el reverendo Thomas Bayes, que publicó nada en vida bajo su nombre, pero que su descubrimiento en probabilidad es vital para varios campos y en particular para algo tan contemporáneo como la inteligencia artificial. Mucho menos hay que olvidar a Richard Price, que fue quien reconoció la importancia de los escritos de Bayes y los preparó para su publicación.

Uno más que creo que vale la pena nombrar es a Christian Goldbach, que fue amigo de Euler y que es famoso por la conjetura que lleva su nombre, la cual ha sido campo fértil para nueva y fascinante matemática. Tal conjetura fue planteada de forma epistolar (como una conversación, pues) y se dice que fuera de ello Goldbach contribuyó con muy poco original a la matemática. Estoy en total desacuerdo, y creo que es evidente la razón.

Tanto Bayes como Goldbach probablemente no figurarían en "el cuadro de honor", pues distarían grandemente y por volumen de gigantes como Karl Pearson o Leonhard Euler. Pero es gracias a las contribuciones colectivas que la matemática es la ciencia viva de hoy día. Es por ello que conmino principalmente a aquellos que en el día a día luchan por comprender los arcanos de nuestra ciencia y apenas consiguen aprobar sus exámenes a no cejar y, muy por el contrario, redoblar esfuerzos, para que en un futuro cercano logremos comprender lo que hoy es inaccesible.

Cierro con un último ejemplo. Reconocemos, sin duda, el tesón y brillantez de Andrew Wiles para conseguir demostrar la última conjetura de Fermat, pero no debemos olvidar que su obra se levantó sobre los cimientos que colocaron Frey, Hensel, Kummer, Langlands, Ribet, Shimura, Taniyama, Tunnell, Weil y tantos otros, y de los cuales no me habría enterado con justicia si no fuera por el primoroso y diáfano detalle con el que escribió un artículo de divulgación Fernando Q. Gouvêa. A todos ellos, por lo menos yo, les agradezco de todo corazón su esfuerzo, lo mismo que a ustedes, alumnos que diariamente luchan contra sus demonios cartesianos. Enhorabuena.

P. D. (09/05/19): Recordé haber leído que los grupos grandes de investigación tienen precisamente el problema de que no son muy creativos. Y tiene sentido, precisamente por los problemas de comunicación que ello entraña. Sin embargo, creo que se mantiene mi punto porque yo observo que la "crema y nata" jala a más "crema y nata" aunque sea en grupos pequeños de investigación, y en esa retroalimentación simplemente se perpetúan ciertos temas favoritos. Comprendo ahora un poco mejor a Grothendieck cuando hablaba sobre el valor "de estar solo": no es en sí en la cuestión de estar aislado, sino en tratar de no prolongar líneas de pensamiento simplemente por congraciarse con los demás.