Reconfigurando ideas

La revista Slate tuvo una idea muy brillante, cuyas consecuencias para mí no creo pudieran haber sido precalculadas por alguien. Invitaron a Owen Pallett, un músico bastante peculiar, para discutir tres piezas de la música "comercial" contemporánea, de modo que explicase usando la teoría estándar el secreto de su éxito.

No sé específicamente cómo realizó sus elecciones, pero éstas fueron:

1. "Teenage Dream", interpretada por Katy Perry, y escrita por 5 personas según la Wikipedia.
2. "Get Lucky", escrita e interpretada por Daft Punk, Pharrel Williams y Nile Rodgers.
3. "Bad Romance", interpretada por Stefani Germanotta (mejor conocida como Lady Gaga) y escrita por la susodicha y Nadir Khayat.

Lo que hizo Pallett con este material me hizo sentir un nuevo respeto por este tipo de música. Es cierto que no debe ser demasiado complicada, so pena de no gustar lo suficiente entre el público y perder la inversión necesaria para hacerla. Sin embargo, la conclusión a la que llego es que las personas detrás de ella tienen algunas intenciones que, por lo menos yo, desechaba gratuitamente.

El examen de la canción de Katy Perry no me convenció en lo que a armonía refiere, pero fue interesante. Supuestamente, la obra le da al escucha el acorde de la "tónica" al principio, y después sistemáticamente se lo niega para entregárselo in extremis. Pero en tanto se manifieste alguna cadencia (según entiendo, aparecen en algún momento los grados IV y V, que conforman una cadencia en el sentido mazzoliano del término) basta y sobra para saber en qué tonalidad está la pieza. En fin. Aviso que no quiero discutir este asunto con músicos ni musicólogos (pero no puedo prohibirles vociferar todo lo que quieran).

El análisis de "Get Lucky" francamente me fascinó. Sardónicamente Pallett menciona la brillantez de Daft Punk al fotocopiar las muestras de la guitarra de Rodgers a lo largo de todo el sencillo, pero yo tengo el convencimiento de que ellos tratan de comunicar la idea de que la repetición y la regularidad (y entre más exactas mejor) son justa y precisamente lo que caracterizan a la naturaleza humana: buscamos el completo control, la completa periodicidad y seguridad del entorno. Lo mejor viene al final, cuando despliega el contrapunto aproximado que colocó el dueto francés al final de su canción. Como bien observa, es raro que esto suceda en algo digno de un premio Grammy. Todavía tengo pendiente estudiar esto desde el punto de vista matemático.

Inserto aquí un paréntesis para expresar mi gusto por la música de Daft Punk, particularmente el álbum "Random Access Memories", y los sencillos "Harder, better, faster, stronger" (sin importar que hayan muestreado tan descarada y despiadadamente el "Cola bottle baby" de Birdsong) de "Discovery" y "Around the world", de "Homework". En este último repiten el título de la canción 144 veces: el cuadrado de doce y también el doceavo número de Fibonacci. Estoy bastante seguro de que no es una coincidencia. Del "Random Access Memories" también "Within" captó mi atención instantáneamente; refleja casi a la perfección el trabajo de un matemático: "There are so many things that I do not understand. / There is a world within me that I cannot explain. / Many rooms to explore, but the doors look the same.".

Regresando a lo de Pallett y su última entrega, éste menciona el asunto del uso de un tritono por parte de Lady Gaga, y justamente para resaltar la sílaba "bad" de la letra de "Bad Romance", junto con una rearmonización. Se supone que el tritono es el intervalo feo por excelencia, pero a mí me complace en grado sumo. Por otro lado, estoy convencido de que mi oído no me traiciona cuando me dice que ese tipo de perturbación de la línea melódica es común entre los cantantes populares; lo interesante es que se les haya ocurrido generar precisamente esos intervalos "ásperos".

Estos artículos los leí hace algún tiempo, y tenía ganas de escribir mis impresiones, pero el tiempo en estos días se ha empecinado en acabarse antes de que pueda emplearlo con eficiencia. Mientras tanto, he descubierto perspectivas adicionales de la música contemporánea a través de uno de los compositores que organizan el Congreso Internacional de Música y Matemáticas, el Dr. Gabriel Pareyón.

Cuando el Dr. Emilio Lluis y yo nos entrevistamos con él para hablar de la citada reunión académica, nos regaló un compacto de sus "Cantares de autoreferencia". Soy sincero al declarar que no me gustó. Creo que tampoco me desagradó. Lo más seguro es que no entendí lo que hizo. Le pedí me facilitara su "Pi (A Game within the Circle's Constant)" para ver si sacaba algo en limpio; muy amablemente me la proporcionó con grabación incluida, pero no me ayudó. Básicamente realiza lo mismo que ya he criticado anteriormente, aunque no de la manera simplona que pulula por decenas en YouTube, pues usó los guarismos para controlar otros parámetros además de las alturas de las notas. Me pregunto qué tan diferente sería su composición si hubiese decidido usar la constante de Euler-Mascheroni o la de Apéry.

Con todo, sus experimentos me dejan perplejo con su envergadura. En particular, su "ópera" en nahuatl, próxima a estrenarse, "Xochicuicatl cuecuechtli". Su "libreto" es uno de los enigmáticos "Cantares Mexicanos", y su "partitura" no consta de pentagramas, sino de indicaciones específicamente inventadas para ciertos instrumentos prehispánicos. Pienso asistir al estreno para escucharla y ver si puedo descifrarla.

El Dr. Emilio Lluis dice que la música lo es por la búsqueda de la belleza, del placer. Nunca he estado de acuerdo. La obra de Pareyón, por ejemplo, ni me comunica belleza ni me provoca sensaciones placenteras en lo absoluto, y no siento que sea por esto que no me gusta como música. La misma acrimonia me atacó cuando escuché por primera vez la "Hammerklavier" de Beethoven, y la reconocí como música; además, yo soy el primero en declarar que la música no tiene por qué ser "bonita". En contraparte, el canto de las aves es sumamente hermoso y solazante, pero no creo que sea música.

Mi versión del asunto es que "la intención es lo que cuenta": la música es música en tanto quien la escribe, reproduce o improvisa desea realmente eso, hacer música (Daft Punk proporciona una aproximación: "Let the music in your life give life back to music"). Es una definición circular, es cierto, pero ese tipo de definiciones son las que valen la pena. La cosa es que no percibo la intención detrás del trabajo de Pareyón; tal vez, como está guiada por la autoreferencia (de por sí presente en mi definición), tiene la intención de tener la intención de tener la intención... etcétera, etcétera. Quién sabe.

Y vaya: si siempre me he sentido enano en cuestiones musicales y compositivas, tal sensación se ha amplificado varios órdenes de magnitud en presencia de toda esta estimulación. Y no podría, en cierto modo, suceder en peor momento, cuando después de tanto termino mi opus 34, donde por fin me las arreglo para aplicar las teorías mazzolianas de la música en su creación.

Pareyón, en una entrevista, declara que sacó de su catálogo (un eufemismo para "destruir por completo", según entiendo) su obra primigenia, seguramente por la insatisfacción que le provocaba. Me siento tentado a hacer lo mismo con la totalidad de la mía hasta el momento, pero me lo impide, precisamente, el conocer a la perfección las intenciones por las que nacieron cada una de ellas.

Dos cosas de los días recientes

1. Los 100 años del natalicio de Octavio Paz Lozano. De él sólo recuerdo lo que leí de "El laberinto de la soledad" (he visitado también uno de sus opúsculos de narrativa, si no me falla la memoria, y algo de poesía suelta, pero no creo que cuente) cuando tenía 14 o 15 años, y en ese momento me gustó. Pero ahora no. Creo, además, que le hace mal a las generaciones presentes con sus opiniones y teorías faltas de sustento científico, en los puntos que toca en el susodicho ensayo.
2. Que el premio Abel de este año es para Yakov G. Sinai, un dinamista sistémico, probabilista, físico-matemático, en fin, lo que se podría esperar de alguien con un rancio abolengo científico. Francamente desconozco por completo sus aportaciones a la matemática, pero lo de los billares dinámicos me resulta lejanamente familiar; ignoraba que Sinai hubiera hecho trabajos sobre el tema. También leí una interesante pieza suya sobre la relación entre la física y la matemática (y sus adherentes), y me sentí contento de concordar con lo ahí vertido.

Dos pensamientos extraviados

Me quedé pensando en que...

1. ... murió Paco de Lucía. Salió en muchas noticias. En algunas semblanzas, lo ponen tocando el concierto de Aranjuez (no el primer movimiento, sino el segundo como de costumbre). ¿Sabrán los periodistas y presentadores que dicha obra está dedicada a Regino Sainz de la Maza? No recuerdo tampoco que lo pusieran tocando con John McLaughlin y Al Di Meola; la grabación de uno de esos conciertos a trío es lo único que he escuchado del mentado Paco, y está bien, aunque no sé si como para proclamarlo el "mejor guitarrista del mundo". Hubo quien acotó "de flamenco". Aún así. No sé. De verdad: no sé.
2. ... es cierta la conjetura de la discrepancia de Erdös para $C=2$. Es decir, existen sucesiones de 1160 unos ($1$) y menos unos ($-1$) tal que, si sumamos aquellos con índices en alguna sucesión aritmética, suma más que $2$, y esto no puede suceder en sucesiones con 1161 términos o más. Lo demostraron Boris Konev y Alexei Lisitsa transformando el problema primero en un lenguaje aceptado por un autómata, y luego en una fórmula booleana que comprobaron si era satisfactible utilizando unos programas ganadores de concursos en esa área. El certificado de la demostración de la parte no trivial es de unos 13 Gb, y se ha publicitado mucho el hecho de que no lo pueden verificar (en principio) los seres humanos, por ser más grande que la Wikipedia. Para mí vale perfectamente, pues lo han revisado más de tres veces, y prefiero confiar en las computadoras que en los seres humanos para esto del escrutinio de las demostraciones.

Nada más que sonido

No es secreto alguno que no tengo educación formal en música. Cuando salí del bachillerato, tenía la intención de estudiar la Licenciatura en Música Instrumentista en la Escuela Nacional de Música, pero por motivos que no expondré aquí no pude hacerlo.

Muchas cosas las he ido aprendiendo sobre la marcha, pasando por vergüenzas públicas y privadas, pero aún así he podido tocar en foros que no habría imaginado después de mi fallido intento por ser concertista. Sin embargo, eso no es suficiente para granjearme el aprecio de los músicos profesionales. Y no los culpo en lo absoluto. En la matemática, por ejemplo, importa poco si alguien tiene o no educación formal en la materia o un posgrado, lo verdaderamente fundamental es la calidad y veracidad de las ideas que uno aporta. Pese a ello, es muy difícil tomar en serio a alguien que no ha pasado por lo institucional; salvo que sea verdaderamente extraordinario o disciplinado, normalmente terminan por hacerse patentes los hoyos en su formación. En lo que a música refiere, probablemente no soy ni extraordinario ni disciplinado, y de todas maneras es complicado serlo cuando no se dispone del ambiente propicio. No me quejo, sólo explico.

Por ello entiendo, desde hace mucho tiempo, que mi sueño guajiro de tocar un concierto para guitarra con una orquesta en vivo (pues también es posible tocarlo con una reducción de piano o a otro instrumento polifónico) es, para todo efecto práctico, imposible de realizar. No porque no tenga la capacidad técnica para ello: he examinado el concierto para guitarra de Ponce y puedo tocarlo. Seguro que si dispusiera del tiempo suficiente podría intentar con otros, en especial con el de Villalobos o el Elegíaco de Brouwer. Más aún: podría componer uno hecho a mi medida.

Se me ocurrió entonces que todo se reduce a la voluntad de la orquesta y del director de la misma. Si bien no se va a acabar el mundo por interpretar un concierto con alguien que no sea un virtuoso, sí se dañaría seriamente el prestigio de todos los participantes. Pero, ¿qué tal con robots? Una orquesta de robots, además, no se cansaría de ensayar y estaría todo el tiempo disponible, siempre que haya la energía para ponerlos en movimiento.

Le planteé esta idea a mis compañeros del ensamble de guitarras de la Facultad de Ciencias de la UNAM, pero la recibieron con humorismo. Señalaron que, para el caso, también yo podía ser reemplazado con un robot que, además, tocaría perfecto. Por lo menos en principio.

En realidad esto último ya me había pasado por la cabeza. Por si fuera poco, este argumento no únicamente me despacha a mí, sino a todos los músicos humanos de una buena vez. "¿Y la expresión?", pensarán los muy poquitos a los que no les interesa lo inmaculado de una interpretación. Bueno, pues con la teoría que ha desarrollado el Dr. Guerino Mazzola, por lo menos en teoría es posible lograr interpretaciones que, a diferencia de las humanas, puden hacerse infinitesimalmente precisas (hasta donde lo permite la capacidad de los dispositivos electrónicos actuales, por supuesto).

Recibo, pues, con sorpresa y júbilo la noticia de que hace algún rato que existen bandas robóticas, como Compressorhead. Por medio de "The Verge" me entero también que otra banda, que incluye un guitarrista de 78 dedos y un baterista de 22 brazos, sacará un disco con Warp Records en fechas muy próximas. Por supuesto, no han incorporado la teoría necesaria para darle expresión a las interpretaciones, pero obviamente estos músicos pueden hacer cosas que los humanos no.

Pensaba que los cuartetos de cuerda robóticos estarían a la vuelta de la esquina, pero realmente ya los tenemos enfrente (vale, en realidad es un quinteto, pero la idea es ésa). Lo que es más, ¡este conjunto robótico hasta improvisa en el acto!

Naturalmente, los humanos todavía podemos hacer algo que a los robots les cuesta más trabajo: equivocarnos. No ser perfectos. Y hacer música a pesar de ello. Aunque haya que llevárselo a un robot que le interese, después de todo.

La epi-revista de la "SOMATO"

El pasado lunes 10 de febrero se decidió por fin lanzar la epi-revista de la "Sociedad Matemática Oaxaqueña", algo que ya se percibía en el aire desde hace algún tiempo.

Tengo muchas ideas para compartir al respecto. Podría empezar por aquí.

¡Ya tenemos 3001 me gusta! Ahora todos a hacerse miembros de la SMM... http://t.co/EkzTn4koxN
— Soc. Matemática Mex. (@smm_mx) diciembre 28, 2013

Este clamor y su acotación son muy justificados, pues la escasez de miembros que aporten cuotas no permite cubrir los gastos de la organización científica. En particular por que, aunque la tercera serie del Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana saldrá con Birkhäuser, no creo que las ventas del mismo le beneficien mucho (o en algo, para acabar pronto). Sin embargo, siguen sirviendo de consuelo los miles de "Me gusta" (supongo que de Féisbuc) y los leales seguidores en Tuiter.

¿Qué tal andarán las finanzas de la American Mathematical Society (AMS), por ejemplo? Yo diría que no tan mal, pues ellos sí dan acceso a artículos con antigüedad mayor a cuatro años, e incluso han lanzado versiones de libre acceso de algunas de sus revistas principales. Seguramente los recursos de la Sociedad Matemática Mexicana no son suficientes para poder proporcionar ese servicio.

Mi intención con esta epi-revista es, pues, resolver este problema desde el principio. Se puede argumentar que no se tiene la "calidad moral" o una "solidez institucional" para proponer esto. Posiblemente esta crítica esté llena de razón. Pero también es cierto que el proyecto no es pretencioso, pues por lo que a mí respecta jamás buscaremos un ISSN o que se nos incluya en un índice (ni siquiera en el de Gogl Scholar, vaya), para no impedir a los autores buscar el prestigio de las revistas bien establecidas. También hay que tener en cuenta que no soy nigromante como para saber que jamás podrá legalizarse la SOMATO.

Siguiendo sobre el "pero" de que esto es una locura, me agrada pensar que revistas pesadas como Annals of Mathematics también quisieron ser de libre acceso y desembarazarse por fin de las trabas editoriales, pero que el dinero se los impidió. ¿Por qué? Por que los bibliotecarios no estaban dispuestos a pagar por algo que es gratis, y creo que tienen razón. También es verdad que los costos de subsistencia de los editores alguien los tiene que pagar, pero justa y precisamente es eso lo que hay que sufragar y no el papel con tinta que, por lo menos en la práctica, ya casi no se usa. Si algún día se legitima la SOMATO, ojalá podamos pagarle a los árbitros por el trabajo que muchas veces hacen con esmero más allá del deber. Además, espero que si tenemos buena suerte y nos cae algo para revisar y "publicar", ésto sea correcto, relevante y bien arbitrado, para que hable por sí mismo de las intenciones del proyecto. Yo pondré todas mis energías en ello.

Puedo rematar diciendo que me sorprende que el proyecto Polymath 8 está trabajando sobre el celebérrimo artículo de Zhang, que ni siquiera ha sido publicado oficialmente al momento de escribir estas líneas, ¡y precisamente en el Annals! No puedo evitar pensar lo estúpido que es a veces el proceso. Considerando la relevancia del descubrimiento de Zhang, ¿cómo es posible que no hagan un esfuerzo por anexarlo a los volúmenes de una buena vez? Con lo ya hecho por la comunidad matemática, quedan totalmente sobrados el Annals, sus árbitros y su archivamiento físico en las bibliotecas.

De esto y lo otro

Cosas interesantes que han salido en arXiv últimamente:

1. Que existen los diseños combinatorios, según un artículo de Peter Keevash. Es decir, ciertas construcciones como la solución del problema de las colegialas de Kirkman ("quince muchachas deben salir en ternas sucesivas a pasear durante una semana, de modo que ningún par se repita") existen de modo muy general. La entrada de Van Vu en su bitácora sobre este reciente avance, y que explica la estrategia general de su demostración, es de las que más me ha gustado.
2. El bellísimo artículo explicativo de Yoichi Motohashi sobre este asunto de los brincos acotados entre primos. Me agradó muchísimo que explique lo siguiente: si $[x \text{ es primo}]$ es la función que cuenta los primos (usando el corchete de Iverson), hay dos formas de ver a la función que cuenta a los pares de primos gemelos. Una es \[ \sum_{x>0}[x \text{ es primo}][x+2 \text{ es primo}] \] y otra es \[ \sum_{x>0}[x \text{ es primo}]+[x+2 \text{ es primo}]-1, \] pero resulta que desde el punto de vista estadístico son muy diferentes, y es más fácil quitarle el "ruido" a la segunda. A mí, por lo menos, me aclara muchas cosas con esto.
3. Un día antes que Motohashi (pero no entiendo por qué se me escapó), David Lowry-Duda sacó una breve exposición sobre las cribas de Eratóstenes, Brun, Selberg, Goldston, Pintz y Yıldırım, que tienen que ver con el trabajo de Yitang Zhang y James Maynard y que también agradezco infinito se haya tomado la molestia de redactar.
4. Por último, pero no por ello de forma menos importante, está el panorama pintado por Melvyn Nathanson sobre el trabajo de Erdős (y de él, también, por supuesto) sobre las bases aditivas. Dice Nathanson que no se les presta mucha atención, pero no estoy muy de acuerdo.

¿Hay o no hay?

Las noticias son confusas: por un lado "Milenio" afirma que el 20 del presente mes se abrió el "Centro Internacional de Matemáticas", y por otro "El Imparcial" que solamente un programa de formación docente. ¿Hay ya, pues, Centro de Matemática o no?

Leyendo ambas notas, lo único que saco en limpio es que el objetivo primordial de todo esto es capacitar profesores (¿de matemática? ¿o para que sepan más matemática? ¿o para que sepan enseñarla mejor, si es que existen métodos científicamente comprobados para ello?). Eso no es malo en principio, pero un "Centro Internacional de Matemáticas" está demás para dicho objetivo. Hay una unidad de la UPN en Oaxaca; pienso que es, de entrada, el lugar idóneo para implantar algo así. Por otro lado, que esté operado por la UNAM (¿junto con la UABJO? ¿y según lo que diga la Sección 22?) no augura nada realmente bueno, como no lo ha hecho hasta ahora cierta Facultad de Ciencias y sus carreras de Matemática.

Por supuesto, esto me recuerda mi tentativa de crear la "Sociedad Matemática Oaxaqueña". Puedo mencionar al respecto que pude completar un año de transmisiones del programa mensual de Matemática, pero no he podido subir las grabaciones al wiki, porque no me las han proporcionado o porque simplemente no las grabaron. He pensado en trabajar simplemente en un "podcast", pero algo que no me convence de eso es que la gente de a pie en Teotitlán no podría escucharlas por lo menos accidentalmente. Planeo continuar con las conferencias en el nombre de la no-existente SMO, pero el tiempo es un verdugo implacable. También está lo del festival matemático en Teotitlán... hay que exprimir la agenda...

Como he dicho antes, es grandiosa y encomiable la idea retar a niños y pre-adolescentes a ver cuáles resuelven más rápido problemas de matemática elemental, de modo que junto con sus profesores altamente capacitados por la SMM-UNAM-etcétera estén listos a los 14 o 15 años para ingresar a las universidades; así no tendremos que esperar a más Yitangs Zhangs para elucidar por fin la conjetura de los primos gemelos o la de los ceros de Riemann. Pero yo soy de la idea de que el pueblo en general merece el beneficio de ser informado sobre qué es y por qué es valiosa la Matemática, para inspirar a otras personas (tanto las jóvenes como las más maduras) que sean de menor agudeza y agilidad mental para ocuparse de los innumerables problemas (y que son menos prestigiosos) de la Matemática, y en particular uno muy grande: el del financiamiento y el respeto hacia los que se dedican de tiempo completo a la ciencia de todas las ciencias.

Mi vizka

No tiene mucho que salió lo de la búsqueda de viajeros en el tiempo en la Red, y se me ocurrió que Robert Schumann, en el primer movimento de su Concierto para piano, op. 54, anticipó la Goyesca No. 4 de Enrique Granados, que a su vez anunciaba el "Bésame mucho" de Consuelo Velázquez. Posiblemente no sea consciente por parte de los compositores; si se escucha música vieja se topa uno con cosas interesantes, y muchas veces se pegan sin querer. Regresando a lo de los crononautas, lo único de lo que podemos estar medianamente seguros es de que no compartieron su conocimiento del Papa Francisco en la Red.

No sé cómo otro tren de pensamiento me llevó a Robert Heinlein (creo que empezó con Robocop II), y a descubrir que su novela "Double Star" contiene muchas similitudes con la película mexicana "Las delicias del poder", y sospecho que ese tipo de argumento en realidad es bastante viejo. Con su "Moon is a harsh mistress" dí con la maravillosa idea del Loglan y su descendencia, y me recuerda que antes he despotricado contra la "naturalidad del lenguaje". Por supuesto, existen el Esperanto y cosas por el estilo, pero entiendo que Loglan es el primero en proponerse como manifiestamente lógico. Por cierto que el sabor de "Tlön, Uqbar, Orbis Tertius" es muy fuerte en él (y lo del "World as Myth" y su pariente el "Realismo mágico", dicho sea de paso).

De esto y lo otro, empezando el año...

1. Unos seis años atrás mencioné una conexión vaga entre la matemática y comer lodo (que no se me ocurrió a mí, vale aclarar). Sin buscar demasiado el nombre de este hábito alimenticio, acuñé el término "borborófago". Pero resulta que ya existe una palabra para ello: geofagia. Lo peculiar es cómo di finalmente con el vocablo correcto: buscaba sobre las aves de una conocida película, y resulta que algunas de ellas la practican pues, pese a lo que consigna el diccionario de la RAE, no es tan malo como pudiera parecer, dado que en ocasiones tiene por fin desintoxicar la comida. Yo diría que la nixtamalización es una especie de geofagia, finalmente.
2. Ayer abrí el grifo en un sanitario de la universidad, y salieron decenas de hormigas mojadas y vivas. Dos veces.
3. Leí una magnífica exposición de Zeilberger de la inclusión y exclusión.
4. Pensar en teselaciones con el Jenga me condujo a las vacas de Narayana (¿primas hermanas de los conejos de Fibonacci?), la sucesión que engendran y cómo fue usada por Tom Johnson.

La última del 2013

Solo tenía ganas de observar que recién descubrí que Don Cheto repitió el ejercicio homérico del escudo de Aquiles, con hilarantes resultados. Tal vez no parezca el mejor cierre del año, pero ciertamente que lo es. Espero tener algo mejor para el que viene.

Tres calaveritas perdedoras

La UNCA convocó a un concurso de calaveras literarias, cuyos aspectos a calificar serían "respeto, originalidad, estilo y contenido". Decidí, pues, escribir y participar con tres que como máximo podría uno inscribir, dedicadas a un trío de matemáticos que admiro mucho.

El problema es que no sabía que las calaveritas deben tratar sobre personas vivas (al momento de publicarlas, supongo), pero como si estuvieran muertas; seguramente ahí obtuve cero puntos por estilo y por ello no figuré entre los primeros tres lugares (algo ya previsto por Angélica, de cualquier manera). También se podría pensar, al estilo de Erdös, que estas tres personas en realidad no han perecido, y que vivirán siglos más que muchos de nosotros. Por otra parte, en lo que concierne al respeto, la originalidad y el contenido, opino que debí obtener algo, y en mayor cantidad que los ganadores. Lo dejo a la consideración de los lectores, reproduciéndolas aquí junto con su respectivo "retrato". Por cierto: la de Gauss es una ilustración que alguien me pidió.

Arquímedes de Siracusa (ca. 287 AC - ca. 212 AC)

Arquímedes, como el león, seguramente no fue como lo pintan. Este dibujo está basado en el retrato imaginado y hecho por su paisano Giuseppe Patania (1780 - 1852) en 1823. Junto a él, la ilustración de su teorema favorito.

La Muerte en la bañera
quiso prender a Arquímedes.
Salió gritando “¡Eureka!”
librándose de sus redes.
Por todita Siracusa
no podía darle alcance
a quien supo encontrarle
al círculo su cuadratura.
Al fin con todo y palancas,
perdido en la geometría,
le dió chance a la Calaca
tomar la espada y su vida.

Leonhard Euler (1707-1783)

Vemos a Euler con uno de sus temas favoritos: la Luna. Esta imagen la hice sobre la base del retrato de 1756 pintado por su coterráneo Jakob Emanuel Handmann (1718-1781). No me gusta mucho el  pastel del mismo pintor al que muchos acuden, porque siento que es el equivalente a que hoy día a uno le tomen una foto en piyama. 

¡Ay, Parca! La muy canija
tumbóle a Euler su pipa.
La quiso tomar del suelo,
no pudo y gritó: ¡Me muero!
La flaca, sin más demora,
de Leonhard la conjetura
se concentró en demostrar.
Sigue calcula y calcula,
sumando sumas sin fin,
el suizo en el más allá,
como antes en Berlín
y la Rusia imperial.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Como ya dije, este dibujo fue hecho por encargo, y fue explícita la solicitud de que utilizara el retrato hecho en 1840 por el danés Christian Albrecht Jensen (1792 - 1870). En el fondo aparece el heptadecágono que conviertiera a Gauss a la matemática.

A Gauss le dijo la Muerte:
“¡Anda! ¡No seas ojete!
Dime si es cierto Fermat.”
“No se yo si es verdad”,
dijo el alemán vehemente
“Cien asertos como ese,
con los que nadie podrá,
muy fácil te puedo dar”.
Helada y nada sonriente,
se lo llevó la huesuda.
De lados, los diecisiete,
no pudo llevar su tumba.

Dos para Jálogüin

1. El garabato del 31 de octubre de 2013 de Gogl muestra a una bruja combinando cuatro ingredientes en su caldero, y que solamente puede elegir por pares. Hay \[ \binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{4}=6 \] maneras de hacer esto, supongo que una por cada letra de "Google".
2. Hasta hoy me doy cuenta de que llevo nombres de tres doctores de la Iglesia: San Alberto Magno (Doctor universalis), San Agustín de Hipona (Doctor gratiae) y Santo Tomás de Aquino (Doctor angelicus). Eso, y encima un nombre original del primer emperador de Roma. Angélica apunta: "¿Coincidencia o destino?" (lo primero, desde luego). Chale, y yo que soy pastafario de hueso colorado.

A freír churros, los que quieran

Una de las entradas por las que más transitan en esta humilde bitácora es "Me recargo en la pared", porque mucha gente busca el significado de la expresión que le sirve de título. Quiero, antes que nada, expandir la nota explicativa que ahí puse, diciendo que es una forma de evitar decir completo algo como "Me re-carga la tiznada".

Por otro lado, el punto que quiero tratar en esta entrada es continuación del contenido de la antes citada; vale recordar que en ella manifesté mi deseo de no tener que explicar a una audiencia de músicos los temas de la musicología matemática en el mayor tiempo posible (un día más de lo que me restase de vida, de hecho, hubiera sido lo ideal). Pero, ¡oh, destino! Ese lapso tuvo la corta longitud de 3 años 11 meses, pues ayer tuve que repetir la experiencia. Debo aclarar que acepté la invitación debido a las fuentes de la misma, pues les tengo muchísimo respeto; también que, por servir a un objetivo mayor, de todas maneras tendré que pasar por ella nuevamente en poco más de un año. Ya estoy agarrando valor.

Desde cierta perspectiva, creo que el resultado fue mejor que la vez anterior, pues podría decir que salí tablas. Juzgo alentador el hecho de que un especialista en música para vihuela tuviera la mente abierta a los mundos de contrapunto.

Sin embargo, hubo sus oscuros. Lo que me llevaré siempre de todo esto es que supuestamente "no disfruto la música, sino que la analizo, la estudio...". Ja. Creo que a los músicos, cuando les conviene, "estudian" o "analizan" la música, hablan de una "lógica musical", que hay "reglas", que hay "estilos", etcétera, pero a la hora de sacar las consecuencias de todo esto, o abandonar las metáforas para llegar a las obras contantes y sonantes (¡valga la expresión!) entonces todo es pajaritos, estrellitas, "oído", sensación, la la la y la la la.

Pero, aún así, supongo que me salió barato comparado con lo de la Nacional de Música, pues ahí me dieron a entender que lo que expliqué no justificaba un viaje algo largo desde un punto fuera de la ciudad para escucharme; que hubiera sido de mucho mayor interés que dijera cómo aplicar la música para enseñar matemática o a la inversa, y si fuera a niños, mejor; que siendo yo tan inteligente, si de verdad me lo propusiera, podría fácilmente comprender los conceptos de la armonía más básica y que con matemática vanamente examinaba. Cuando quise meter un poco las manos diciendo que deliberadamente me salí de mi área de especialidad dentro de la musicología matemática en aras de abordar algo que tuviera la menor cantidad de abstracciones o símbolos matemáticos posibles, la respuesta fue que podría mejor haber disertado sobre algo de lo que de verdad supiera. Es ciertamente excelente esta última recomendación, y sólo le habría agregado que también se lo expusiera a un público que de verdad le interesase.

En fin. Como gusten. A mi ya me vienen guangas la calificaciones, la verdad. La comprensión, entre más profunda, a mí me proporciona muchísimo placer, sumado al que de por sí provoca la música. Tengo acceso a este disfrute adicional gracias al tiempo que he invertido en asimilar los conceptos y teorías matemáticas, y verdaderamente ya no me hace falta hacer una apología adicional al respecto. He dicho.

Dos por tres por cinco

Llegar al tercer piso, como dice Ange, es una ocasión especial. Tanya Khovanova, además, ha facilitado enormemente generalizar la práctica de Erdős de mencionar alguna propiedad del número de años cumplidos, con su Number Gossip. Atendiendo a esta página, seré primorial por cuarta ocasión, y estoy totalmente seguro de que será la última, pues hasta donde tengo noticia ningún humano cuya existencia esté documentada ha sido primorial cinco veces.

El número 30 también fue mencionado recientemente por John Baez, cuando preguntaba en Gogl Plus por el cómo estaba definida la sucesión 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 30, y pedía no hacer trampa buscando en la Red. No obedecí, pero lo curioso es que no entendí las explicaciones que encontré; afortunadamente, esta búsqueda con motivo de mi cumpleaños ha resuelto ese problema, y se pueden consultar los detalles en el fabuloso libro de Rademacher y Toeplitz, The Enjoyment of Mathematics, capítulo 27.

Será, pues, la última vez que seré muy redondo, y aquí sí no es por que no pueda vivir más que cierto número de años. Por cierto que esto de la finitud (¡y muy pequeña!) de los números muy redondos se me hace un ejemplo muy interesante para contrastarlo con la infinitud de los números primos.

Vale mencionar que por otro lado colectaron otras minucias sobre el número treinta, que no me impresionaron mucho pero que tal vez vale la pena mirarlas si se tiene un poco más de curiosidad.

Y no tengo mucho más que anotar, por ahora. No he tenido tiempo de subir más cosas a la bitácora, pese a que hay una larga lista de espera de temas que aguardan su turno. Pero, tiempo al tiempo, mientras lo haya, y afortunadamente en esta ocasión lo hubo. Vale.

Mol de moles

No puedo determinar con seguridad si me gusta xkcd. Tiene cosas muy interesantes, en particular su sección "¿Qué tal si?" ("What if?", en inglés). Ahí, se contestan preguntas alocadas de los lectores "con física" (según el autor, pero en varios casos acude a humilde y llana matemática).

Quiero hacer aquí un pastiche de la cuarta entrega de dicha serie: ¿qué pasaría si uno reuniera un mol de topos? Hay que tener en cuenta que en inglés tanto mol como topo se dicen mole, de donde seguramente vino la inspiración para preguntar eso.

Bueno: en español creo que se puede jugar igual pero con el mole, y plantearnos la posibilidad de juntar el contenido de un mol de bolsitas de mole, que es una presentación con la que comercializa cierta marca algo famosa (a niveles binacionales por lo menos, si no es que internacionales).

Tales bolsitas de medio kilogramo, debido al retacamiento del mole, se vuelven casi esferas con un radio de unos $4.5$ centímetros, según aproximo a partir de fotografía una mano sosteniendo una de ellas. Podemos estimar que su volumen es de

\[ \frac{4}{3}\pi (0.045)^{3} = 3.8\times 10^{-4} \] metros cúbicos. Por lo tanto, la densidad del mole es, más o menos, \[ \frac{0.5}{3.8\times 10^{-4}} = 1315.8 \] kilogramos sobre metro cúbico. Es significativamente más que la del agua, seguramente por todas las especias, el chocolate y el pan que hay que echarle. Además, me parece que esta es la versión "condensada", que después se diluye para su consumo.

Ahora bien: un mol es el número de átomos de carbono 12 presentes en 12 gramos de ese elemento, y son muchísimos: $6.022\times 10^{23}$. Vale: pues la masa del mol de bolsitas de mole (ya sin el plástico) es, sin mucho cálculo, $3.011\times 10^{23}$ kilogramos, mientras que su volumen es $(3.8\times 10^{-4})(6.022\times 10^{23})=2.3\times 10^{20}$ metros cúbicos. En xkcd se estima el grosor de la capa de topos que se acumularía sobre la Tierra, y le salen unos $80$ kilómetros. Si nosotros hacemos lo mismo con el mole, el mar de mole tendría una profundidad aproximada de \[ \frac{2.3\times 10^{20}}{4\pi r_{\text{Tierra}}^{2}} = \frac{2.3\times 10^{20}}{4\pi (6.371\times 10^{6})^{2}} = 4.5\times 10^{5} \] o algo más de $450$ kilómetros. ¡Vaya! Más bien sería una corteza de mole. En xkcd se dibuja, junto con la capa de topos, a la Estación Espacial Internacional. La EEI le da vueltas al planeta en órbita baja, lo que quiere decir que anda máximo a unos $400$ kilómetros de la superficie, por lo que quedaría bien sumergida en el sabroso guiso.

Naturalmente, e igual que con los topos, no sería deseable que esto sucediera. De modo que abrimos las bolsitas en el espacio y dejamos que se forme un planeta de mole, que tendría un radio de \[ \sqrt[3]{\frac{2.9\times 10^{20}}{\frac{4}{3}\pi}} = 3.8\times 10^{6} \] metros, o unos $3800$ kilómetros, suponiendo que es despreciable la compresión del mole respecto a la presión ejercida por la gravedad. Este planeta de mole es un poco más grande que Marte; estaría bueno que el mole fuera rojo, ¿no? Aunque no se si ese también lo venden en esa presentación.

Si el planeta de mole tuviera estas características, su gravedad superficial sería de unos \[ G\frac{3.011\times 10^{23}}{(3.8\times 10^{6})^{2}} = 1.39 \] (donde $G$ es la constante de gravitación universal) metros sobre segundo al cuadrado, que es sólo un poco menor a la de la Luna ($1.62$ metros sobre segundo al cuadrado). Muy agradable para jugar (si es que no se hunde uno), guiándonos por lo hecho por los astronautas estadounidenses, aunque lo interesante en este caso sería remover las manchas de los trajes.

En xkcd se especula sobre el calor que generaría la formación del planeta de topos, y que provocaría que surgieran géiseres de creaturas peludas. En el caso que nos ocupa, probablemente también surjan chorros de mole caliente, lo que no me suena en principio tan aterrador (más bien me despierta el apetito). Yo prefiero cerrar esta fantasía imaginando de qué tamaño tendría que ser una tortilla o una tostada para embarrarle ese mole, una vez que esté a buena temperatura y suponiendo que no se haya descompuesto. Le pregunté a Angélica qué grosor de la capa se le haría aceptable, y me dijo que como dos milímetros. La cara circular de un cilindro de ese alto tendría un radio de \[ \sqrt{\frac{2.9\times 10^{20}}{\pi}} = 2.1\times 10^{11} \] metros, o 2.1 millones de kilómetros. La embarrada de mole, centrada en el Sol, se extendería más allá de la órbita terrestre, quedando casi a medio camino hacia Marte. Buen provecho.

Pérdida de tiempo deliberada (II)

Cuando las cosas se juntan...

1. Lo gacho que puede ser el comportamiento humano. Se, desde hace algún tiempo, que la amabilidad y sinceridad para con otras personas no necesariamente (y, tal vez, casi nunca) es retribuída, pero aún así me sorprende qué tan canija puede ser la gente. Por supuesto, el mundo es leibniziano, y así como se manifiesta la iniquidad también se descubre dónde hay verdadera amistad. De todos modos, no deja de entristecerme.
2. Tener un CI de 112 en la prueba WAIS III, un valor que si bien se puede argumentar está por encima de la media, está dentro de una desviación estándar de la misma. Por un lado, me reconforta que con eso me bastó para obtener un grado de doctor; pero, por otro, me hubiera gustado que el proceso para obtener el doctorado hubiera sido el doble de riguroso (y no digo que nadie se haya brincado nada, pero aún así :D).
3. Siento un embotamiento mental, que no me deja trabajar.
4. Apenas volví a ser consciente de la productividad de los matemáticos, analizada en un artículo de Jerrold Grossman aparecido en el Notices de la AMS de enero de 2005. Si mi producción debe ser proporcional a mi CI, entonces debo escribir entre 6 y 10 artículos antes de morir. Puesto que ya llevo 2, y si he de llegar a 10, y si vivo los 70 y pico años que anhelo por los datos del INEGI, entonces la inspiración me debe alcanzar para por lo menos un artículo cada 5 años. Si, como es mi deseo, deseo pertenecer al selecto grupo de los que escriben entre 21 y 50 artículos, debo ponerme a chambear duro para que sea un poquito más de uno por año. Ojalá...
5. Hace como unos tres años inicié la composición de una mini-suite como música incidental para una obra de teatro que escribí uno o dos años antes. En el primer movimiento, apliqué la teoría de contrapunto para seis tonos, de mi tesis doctoral, para componer el acompañamiento armónico y parte de la melodía. Se la mostré al Dr. Guerino Mazzola, y me dijo que sonaba "como algo medieval y borracho", cuando mi intención era que tuviera un levísimo sabor africano.
6. Después, transformé al contrapunto de la dicotomía jonia la "Pavana muy llana para tañer", de Diego Pisador. Al hacer el análisis de esta obra, encontré que es sumamente hermosa (pues su contrapunto es mucho muy riguroso), a pesar de que en algunos libros califican a Pisador como un músico mediocre. Le dí a escuchar el resultado al Dr. Mazzola, y calificó: "Muy bello. Menos trivial que el original. ¡Pero podría ser mucho más largo!". Chales. También un diamante, pero no por eso deja de ser bello, valioso y no trivial uno diminuto.

Si un cuervo y un escritorio tienen algo en común...

Sobre esta historia del Luis Roberto Ramírez Álvarez... Un niño de 11 años de Zamora, Michoacán, que según va a estudiar a Harvard porque ya terminó la preparatoria y es un genio. Ya ha proliferado mucho en diversos medios, y me gustaría acotar algunas cosas.

1. Según el Huffington Post, no hay registros en Harvard sobre el niño.
2. Tal vez es pedir peras al olmo, pero en algunos programas de noticias dicen que va a estudiar "ingeniería física", otros que "ingeniería en física cuántica". No sé si tales programas de estudios existen ahí. He revisado la página de Harvard, en particular la del Departamento de Física, y creo (digo "creo" porque la página no es muy clara que digamos) que ahí simplemente vas a estudiar Física, o tal vez Física Aplicada. En fin. Sospecho que en México no se concibe estudiar una rama de la ciencia si no es en el contexto de una ingeniería.
3. Dicen que Ramírez Álvarez tiene un cociente intelectual (CI) de entre 152 y 160, supuestamente comparable al de Einstein. Pero, por otro lado, no he podido localizar una referencia donde diga se haya medido confiablemente el CI de Einstein, así que tales afirmaciones resultan un poco absurdas.
4. Ahora bien: según he visto, el CI se estandariza de modo que la media es 100, y más o menos se distribuye normalmente con desviación estándar de 15 o 16, por lo que un poquito más del 95% de los mortales tenemos un CI de entre 70 y 130. Si Ramírez Álvarez tiene aproximadamente un 155 de CI, él es más inteligente que algo más que el 99.9% de la población. Los de las noticias podrían presentar esto como una referencia más elocuente sobre las capacidades de Ramírez Álvarez.
5. Por otro lado, una persona que sí ha sido medida y que incluso tuvo el récord Guinness con el CI más alto es Marilyn vos Savant, con 190. Haciendo cuentas no muy rigurosas con los supuestos antes establecidos, esto se traduce a que sólo unos pocos miles de personas en todo el mundo igualan o superan a vos Savant en inteligencia, y ni Ramírez Álvarez ni Einstein, (si su supuesto CI es correcto) están entre ellas. Cabe mencionar que los récords Guinness dejaron de registrar la categoría de CI, por considerarlo algo que no se puede medir fiablemente.

Otras dos de la Gaceta de la UNAM

Y son:

1. Con el número del 23 de mayo me enteré que un libro de Naboru Takeuchi que lleva por título "Nanotecnología" ha sido traducido al mixteco por Felícitas Julita López y Eleuterio Suárez. En mixteco no existe un término directo para este concepto, y se usa la construcción "Tatanunio Kixiva’a Ndachuun" para transmitir la idea. Si se sigue de este modo, pronto surgirán los neologismos necesarios para decirlo todo de manera natural, todo es cuestión de paciencia. ¡Maravilloso! Espero pronto la "SOMATO" pueda publicar algo en mixteco sobre Matemática.
2. En el ejemplar del día de hoy, se lee el interesante punto de vista de Eloy Vázquez Hipólito (hermano de mi buen amigo y colega Virgilio) sobre la tradición en Yukukimi de Ocampo de ir al Ve'e Djau ("Casa de la Lluvia" en el mixteco de por allá) para comunicarse con el Dios de la Lluvia, o Djau. No he estado físicamente Yukukimi, pero siento que lo conozco por lo mucho que platicamos sobre el pueblo Virgilio y yo; por eso me quedo con este elocuente discurso de Eloy:

   El mundo avanza a un ritmo acelerado y cada día perdemos más legados ancestrales como éste; pero quizá, si tomamos las acciones adecuadas y si todos nos unimos para ello, dentro de no mucho el dios de la lluvia regresará a Yucuquimi, y querrá hablar con nosotros.

Dos de la Gaceta de la UNAM

Helas aquí:

1. Tiene rato (salió en el ejemplar del 29 de abril de este año), pero es harto iluminador, contundente y hasta redundante el apunte que da de la Conquista el historiador Federico Navarrete Linares:

   El ejército que destruyó Tenochtitlan y tomó preso a Cuauhtémoc era minoritariamente español –apenas contaba con mil guerreros europeos y africanos–; la mayoría estaba formado por decenas de miles de indígenas de Tlaxcala, Chalco, Texcoco, Matlatzinco y otros pueblos[,] [...] el 13 de agosto de 1521 los únicos indígenas derrotados fueron los mexicas huastecos, no sus vecinos, que arrasaron la ciudad a lado de los españoles. Este suceso tampoco significó perder para los pueblos de otras regiones de México, tanto del sur como del norte, que no fueron sometidos sino hasta siglos después, y algunos nunca lo han sido realmente.

   ¡Bravo! Eso no quita que la invasión española subsecuente hubiese sido un cataclismo de abominables dimensiones, pero nos acerca un poco más a la verdad, si es que hay una verdad y si es que uno puede acercarse a ella. Recomiendo la nota completa a quien le interesen las brillantes opiniones del Dr. Navarrete Linares.
2. Con el número de hoy, me entero que la "Beca L'Oréal-Unesco-Academia Mexicana de Ciencias, en el área de las Ciencias Exactas" del 2012 fue para la doctora Isabel Hubard Escalera, cuya especialidad es la matemática. La nota por lo menos dice que su directora de tesis fue Asia Ivić Weiss (y afortunadamente esto también se corrobora en el Mathematics Genealogy Project) y detalla que la distinción fue por causa de su trabajo en "Álgebra, combinatoria y geometría de los politopos abstractos de dos órbitas". La página de la Dra. Hubard Escalera en el el Instituto de Matemática(s) de la UNAM da información concisa sobre su obra. Reproduce la Gaceta algunas de sus palabras también:

   [...] [C]onsideró que por tratarse de un proyecto de investigación básica quizá a la larga, como sucedió con los grupos de los sólidos platónicos, los resultados podrían tener algunas aplicaciones. "Sin embargo, las matemáticas, como la ciencia en general, no necesariamente tienen aplicaciones inmediatas; las indagaciones de gran parte de los profesionales en este ámbito no se basan en ellas, sino en su belleza, es por el gusto de hacerlo, por colaborar en la construcción del conocimiento", reconoció.

   ¡Vientos! Sólo me queda una duda: ¿qué aplicaciones tienen los sólidos platónicos? Con aplicaciones me refiero, específicamente, a aquéllas que puedan ser apreciadas por el público en general. Hasta donde sé, las únicas son como juguetes (lo cual me parece deleitoso). ¿Conoce el lector alguna otra? Sería magnífico que la compartiera en los comentarios.

Kenneth Appel (1932-2013)

Murió Kenneth Appel, a los 80 años de edad, el pasado 19 de abril. La verdad no pensé que ya hubiera acumulado 8 décadas el señor.

Realmente tampoco era consciente de que la demostración del teorema de los cuatro colores de él y Wolfgang Haken ya tuviese más de 30 años de antigüedad. Considerando que todavía la mayor parte de las demostraciones usuales de la matemática no son computarizadas, suponía que era mucho más reciente.

Zeilberger tiene mucha razón al considerar que debemos utilizar a la computadora como una extensión del cerebro, para buscar relaciones verdaderamente no triviales entre las estructuras. Si se puede, dejarlas probar rigurosamente todo... Eso me hace desear abandonar la Matemática, por la misma razón por la que no me interesa el ajedrez. Pero guardo la esperanza de que incluso si el silicio domina lo trivial, todavía quedará suficiente para que las células vean aun más allá. Quién sabe.

Yendo un poco más profundo (tanto como me lo permiten mis magros conocimientos), consideremos lo siguiente: ¿realmente es deseable que una computadora determine los grupos de homotopía de las esferas de dimensión arbitraria (por citar un ejemplo, tal vez muy malo)? Si entiendo bien la filosofía de todas esas chucherías algebro-topológicas, lo que subyace es distinguir entre un espacio y el otro de modos progresivamente más sutiles. Pero, si las computadoras pudieran dominar la topología, ¿llegarían también a los grupos de homotopía? ¿Qué tal si hay algo más simple y eficiente para distinguir espacios? Y, más aún, ¿qué tal si es algo que solamente es asequible para las computadoras? En el caso de la demostración de Appel y Haken, por ejemplo, no parece que el examen completo de los cientos de configuraciones que confirman el teorema esté verdaderamente al alcance de un ser humano ordinario.

Por poner otro ejemplo más cercano a mí, en mi tesis doctoral usé la computadora para buscar estructuras que satisficieran ciertas conjeturas de mi director de tesis. Resultó que tales estructuras existieron siempre y son razonablemente simples, lo que permitió demostrar lo que se necesitaba. ¿Podría, con la suficiente sagacidad el día de hoy o con el suficiente poder en el futuro, desarrollar toda la teoría la computadora sola? Zeilberger dice que sí, y me asusta la perspectiva; pero por otro lado me emociona, pues podría preguntarle muchas otras cosas que se me ocurren y que hasta hoy no he podido demostrar.

Mal de muchos...

Leí algo en Slate que de verdad me encabronó lo suficiente como para vociferar al respecto.

Dice el título "¿Cómo se siente ser malo en Matemática?". Y empieza prometedor el artículo con las tonteras que de por sí hacen los estudiantes en las clases de Matemática, para luego chingarla y enunciar: "Ah, pero ¿saben por qué son así? Por que se sienten tontos, y a nadie le gusta eso. Yo también, cuando llevé topología, por ejemplo...".

¡Pero no es ni de cerca un buen pretexto! ¡En el nivel que sea! Una explicación, quizás, lo es. Pero no es una justificación para llorar y ser un holgazán. Yo también no le entendía a la resta cuando estaba en segundo de primaria, me quedé afuera del salón porque me tardé mucho en hacer operaciones en sexto grado... De secundaria no recuerdo si hubo alguna cuestión difícil, pero en bachillerato no pescaba las definiciones por cuadrantes de las funciones trigonométricas, me costó mucho trabajo entender todo lo de las cónicas, en fin.

¡Desde luego que en la licenciatura se pone peor! No me hablen de Ecuaciones Diferenciales o en Derivadas Parciales, ni de Teoría de Control, ni de Optimización Combinatoria. En la maestría, el curso de Categorías me hizo sentir tremendamente idiota, seguido muy de cerca por el de Geometría Algebraica.

Aún así, nunca me amilané. Me ponía a hacer mi tarea, ponía atención en clase, tomaba notas, hacía mis propios apuntes cuando entendí que era necesario, y preguntaba cuando asimilaba lo suficiente. De modo que, si es por evidencia anecdótica de la quesque ansiedad matemática, mejor llévenle ese hueso a otro perro. He dicho.

Y ojalá que más allá, todavía...

Me parece excelente que ayer se hayan reunido 117 telescopios en la Plaza de la Danza, en mi amada Oaxaca de Juárez, con el fin de observar la Luna. Y, mejor todavía, que se hubiera cobertura por parte de la prensa al respecto.

Lo de la ruptura de una cierta marca es irrelevante, lo importante es que Oaxaca sea conocida por actividades científicas o tecnológicas, y no solamente manifestaciones artísticas o folclóricas.

¡Enhorabuena!

El maestro de todos en todo

¡Gracias, Google, por recordar a Leonhard Euler, en el 360 306 aniversario de su natalicio!

No es de extrañar que la compañía cite los lugares comunes sobre este insigne matemático. En lo personal, a mí me gusta lo siguiente de su fecunda obra:

1. Tentamen novae theoria musicae ex certimissimis harmoniae principiis dilucide expositae.
2. Que haya examinado la serie de los recíprocos de los primos, y observado que diverge.
3. Su solución al problema de Basilea.
4. Su generalización del resultado de Fermat: $a^{\varphi(n)}\equiv 1 \bmod{n}$.
5. Su observación sobre los ciclos en los grafos cuyos vértices tienen grado par, cuya demostración fue completada por Carl Hierholzer. ¡Éste lo use en mi tesis doctoral!

¡No me hablen de la "vida"!

"La lengua es una entidad viva."

Q: Why it is not possible to talk uttering the whole construct "I do not" or "I cannot"?
A: Because you'd sound unnatural or transmitting a misleading emphasis.

Para todas esas p...osturas por el estilo yo digo: no. Definitivamente no. No creo que la lengua sea ni deba ser algo "vivo" ni natural. Los vivos (que quizá lo son demasiado) son los hablantes, y nada más.

Un idioma es un proceso abstracto para comunicarse. Si no es estable, no sirve. Eso no implica que no sea extensible. Es más: debe ser canónicamente (en el sentido matemático del término) extensible.

Juan Manuel Fernández Pacheco tuvo esa admirable visión de estabilizar y fijar el español para el uso de las generaciones venideras; que fuera posible leer el Quijote a medio milenio o más de distancia, y tener un atisbo del pensamiento de otras épocas. Esta empresa es quijotesca en sí misma, porque los vivos no dejan que algo tan racional y magnífico prospere. Lástima.

Desvaríos varios (2)

Pues...

1. Que el premio Abel este año es para Pierre Deligne. Parafraseando a Cody Roux, no se podía esperar menos para alguien que demostró una versión "fácil" de la hipótesis de Riemann. Pero, ¿no hay ya mucho traslape entre la medalla Fields y el premio Abel? ¿No sería bueno que les toque, primero que a nadie, a quienes han sido dejados de lado, sea por decisión o por reglas, por el comité del primer premio? Por ejemplo: daba tiempo de darle uno a Saunders Maclane, o a Hirzebruch, y se puede todavía con K. Uhlenbeck, o F. Chung, o C. Pomerance, o alguno de los Lenstra, o a L. Lóvasz, o W. Lawvere, etcétera, etcétera. Ustedes digan.
2. Que ya tiene rato, pero me sorprendió el ejercicio de Inder Taneja donde escribe los números naturales del 44 al 1000 intercalando operaciones aritméticas o juxtaposiciones entre los números del 1 al 9 escritos consecutivamente (la bibliografía está para morirse). Y para colmo, no mucho después sale un artículo de Edinah K. Gnang y Doron Zeilberger donde hacen básicamente lo mismo pero con puros unos (aunque, también, éste último es más interesante, por que además buscan el modo más eficiente de hacerlo).
3. Junto con pegado: que Doron Zeilberger vaya que todavía puede escribir artículos no tan estrafalarios como acostumbra. Y es casi un placer de leer.

Pérdida de tiempo deliberada (I)

Ya he dado mi opinión sobre el número de Erdős. Desde entonces, afortunadamente, ya he escrito algunos artículos en colaboración.

Sin embargo, no cuentan, por lo menos en lo que a MathSciNet® o Zentralblatt respecta. El primero, de divulgación y arbitrado, fue escrito con el Dr. Emilio Lluis Puebla. El segundo, con el Dr. Guerino Mazzola, no fue arbitrado y consistió en una defensa de la teoría del contrapunto de éste último contra las críticas del Dr. Dmitri Tymoczko. Fueron muy agradables de realizar ambos, sin duda, y estoy muy orgulloso y satisfecho de lo que resultó.

Pero, vaya, haciendo de cuenta como que valen para esta distancia, mi número de Erdős por parte del Dr. Emilio Lluis posiblemente es 5, usando el camino

Pál Erdős - Melvin Henriksen - Ted Chinburg - Victor Snaith - Emilio Lluis-Puebla

El gran MathSciNet® reporta otro cosa, claro, usando como enlace a Jean-Louis Loday; pero yo digo que no es válido, porque el Dr. Lluis y el Dr. Loday escribieron sus contribuciones por separado en las notas de curso a las que alude. Según sé, así se logran números de Erdős muy bajos y engañosos.

Por el lado del Dr. Mazzola, el número resultante tal vez es 4, con la ruta

Pál Erdős - Frank Harary - Paul Hafner - Guerino Mazzola.

Sea como fuere, me complace mucho más saber que mis ficticios números de Siegel, Hamidoune, Grynkiewicz y Zeilberger son, respectivamente y cuando mucho, 7, 8, 5 y 5. Y ninguno resulta de un camino que pase por Erdős, además. Debo aclarar que no tengo nada contra el insigne húngaro (todo lo contrario), pero creo que sus auto-designados publicistas han exagerado un poquito su papel en la disciplina.

¿Una extinción como cualquier otra?

En una bitácora, se exhibe una foto de un grafito que reza: "LA TIERRA NO SE ESTÁ MURIENDO, LA ESTÁN MATANDO". Del mensaje, no se sabe si se refiere a la tierra o a la Tierra, pero sospecho que la diferencia no es importante.

El hecho es que comenté respecto a dicha entrada que no es la Tierra (y probablemente la tierra tampoco) la que se está muriendo, sino la humanidad. Y borraron mi comentario. Creo que esa actitud es un gran problema respecto a quienes les interesa el medio ambiente.

Mi punto de vista es que, en lo que concierne al resto de las especies del planeta, somos una calamidad como podría serlo cualquier otra, llámese un meteorito, explosión de rayos gamma o tsunami gigantesco. La verdadera cuestión moral respecto a nuestras acciones como conjunto no tiene que ver con los otros seres vivos o el planeta en sí, sino respecto a nuestro futuro. Al plantearlo así, se siente mucho más inmediata y punzante la necesidad de actuar y reflexionar sobre el tema.

Mucha ficción y poca ciencia

Echándole un ojo a una estimulante reseña de la película "Prometeo" en Naukas, me encuentro otra vez con los típicos comentarios de "¡Es ciencia-ficción! ¡FICCIÓN!", y que me tienen hasta la coronilla.

Vaya, que de por sí el término es un pegote directo del inglés, y que debió haber quedado como "ficción científica". Eso haría mucha diferencia en las mentes de algunas personas, pienso, pues así podría uno replicar con mayor aplomo: "sí, ficción, pero nada de científica". Porque, estoy de acuerdo, no podemos juzgar las inconsistencias físicas, químicas o biológicas de la saga de un cierto mago, dado que de entrada las situaciones ocurren en un entorno donde la fantasía nos pide que no consideremos su validez. Es cierto que tal vez podamos señalar sus contradicciones internas (como afirmaciones genéricas del tipo "este hechizo no tiene defensa", cuando la razón de ser de la trama es que hay por lo menos una forma de eludir los efectos del mismo, y que no se resuelva al final el misterio), aunque esa es harina de otro costal. Pero si la narración se basa en algo que es posible mediante la ciencia, opino que está más que justificado pedir que tenga un mínimo de credibilidad, de la misma forma que no nos gustaría que un culebrón repartido en varios tomos terminase en un encantamiento mágico que resolviera todos los problemas planteados al principio.

Creo que el punto es que se pueden hacer excelentes películas con mucha más y mejor ciencia real. Hace poco ví una emisión del excelente programa "Bad Universe" de Phil Plait, en la cual examina lo que sucedería si una tormenta solar tuviera los peores efectos posibles. ¿Qué tal quedarse sin satélites, sin GPS, sin electricidad? Se hacen películas sobre eventos catastróficos con erupciones volcánicas, eras del hielo o inundaciones monstruosas, y no se juega con algo tan simple como no tener comida refrigerada, ni televisión, ni radio, ni Red.

Y por eso deploro también muchísimo que Plait haya decidido dejar de hacer reseñas con críticas constructivas sobre las películas. Ojalá cambie de parecer en el futuro.

Para el buzón de quejas y sugerencias (4)

Hace poco abrí una cuenta en Mathoverflow. Quería averiguar algo. Pero hasta ahora sólo he salido decepcionado.

Cuando he buscado una que otra cosa interesante, resulta que las respuestas ahí vertidas a veces son atinadas. Pero muchas veces "la policía matemática" es demasiado restrictiva y manda por un tubo cosas cuya participación por parte de la comunidad las legitiman como relevantes.

Respecto a lo mío, me dicen: "Haz tu pregunta más específica". ¡Caramba! Para ciertos anillos y ciertos subconjuntos, me gustaría me informaran qué se sabe sobre cómo cubren al anillo completo. Y lo que saben quienes abundan al respecto me lo ponen como comentarios, donde ni siquiera puedo aceptarlos como una respuesta. En otro caso (que también habría sido una respuesta magnífica si así la hubieran presentado), parece muy evidente que el autor del mismo conoce referencias que han estudiado el problema, y no tiene la delicadeza de señalarlas.

No puedo creer que no pueda ofrecer ni mis 11 puntos de loquesea como botín para que respondan mi pregunta. Estoy seguro que a varios usuarios les interesarían ese poquito (a mí, por ejemplo, si supiera de una pregunta parecida). Tampoco me gusta que editen de cierta forma mis preguntas (y sí, ya sé que lo advierten por adelantado, pero aún así), sobre todo para quitarme símbolos que fueron diseñados para ciertas funciones.

Con 11 puntos tampoco alcanza para votar por una respuesta que me gustó. ¿Por qué? Me parece que todo esto favorece que haya demasiado elitismo respecto a quién y cómo puede interactuar con el sitio.

Quería despotricar al respecto. Les agradezco su atención a quienes les interesó leerme hacerlo.

Cayó uno de los antiguos de Erdős

Leyendo el "Additive Combinatorics" de Tao y Vu, batallé algo para entender el argumento por el cual un conjunto finito de enteros no nulos $S$ debe contener al menos un subconjunto $T$ con más de la tercera parte de sus elementos y que sea asúmico; es decir, que no existan $x,y,z\in T$ tales que $x+y=z$. (Esto de asúmico es un neologismo que estoy introduciendo; no me extrañaría que lo llamaran "sum-free" tal cual en español).

Si $f(n)$ es el $k$ más grande tal que cada subconjunto de $n$ enteros no nulos contiene un conjunto asúmico de tamaño $k$, lo anterior equivale a que $f(n)\geq n/3$. Erdős preguntó hace mucho tiempo hasta dónde se podía mejorar esto. Bourgain conserva desde hace más de 20 años el récord de la cota inferior $(n+2)/3$ para $f(n)$. Por arriba, construcciones ingeniosas han servido para mostrar sucesivamente que, definiendo $\sigma = \lim_{n\to \infty}f(n)/n$, resulta que $\sigma\leq 7/15,3/7,12/29,2/5,11/28$, donde la última cota había sido obtenida apenas hace 3 años por Mark Lewko después de una extensa búsqueda computacional. Me ilusionaba que, en cuanto pudiera dejar algunas cosas que estoy investigando en claro, podría lanzarme a construir conjuntos para tratar de romper la actual marca.

Pero eso, en rigor, sería superfluo, porque descubrí en arXiv que Eberhard, Green (el Green del teorema de Green-Tao) y Manners acaban de demostrar que se pueden construir conjuntos que acercan a $\sigma$ tanto como se quiera a $1/3$. Creo que todavía sería interesante ver si se puede convertir su argumento en un algoritmo efectivo. Como sea, es emocionante ver que se ha resuelto un problema llevaba más de 40 años abierto y que se podía plantear de manera elemental.

Para el buzón de quejas y sugerencias (3)

Interesantes palabras de Timothy Gowers en su bitácora:

Imagine, for example, that somebody sets up an editorial board that does nothing except ask referees to report on papers on the arXiv, “accept” the papers it regards as good enough, and list those papers, with links, on a website. It seems to many people, including me, that such a board is doing pretty well all that we need of a mathematics journal.

Imagine, por ejemplo, que alguien organiza un comité editorial que no hace otra cosa que pedirle a los árbitros que hagan reportes sobre artículos en arXiv, "aceptar" a los que consideren suficientemente buenos y listar tales artículos, con hipervínculos, en una página en la Red. A muchas personas les parece, incluído yo, que tal comité está haciendo bastante bien todo lo que necesitamos de una revista de matemática.

¡Justamente lo que propongo sea la revista de la "Sociedad Matemática Oaxaqueña"! Pero (siempre hay un pero), continúa:

But suppose that there a board of that kind were to be established, with the stated aim of competing directly with Journal of Functional Analysis, and that you were a postdoc trying to improve your publication list with a view to getting a good job somewhere.

Pero suponga que se estableciera tal tipo de comité, con la meta manifiesta de competir directamente con el "Journal of Functional Analysis", y que usted fuese un posdoctorante tratando de mejorar su lista de publicaciones con miras a conseguir un mejor trabajo en algún lugar.

He ahí el meollo del asunto: ¿para qué queremos tal revista? Mi punto de vista es que no se busca competir con con el "Annals" ni con nada por el estilo. Vaya: ni siquiera con boletines de sociedades matemáticas ya establecidas. El objetivo es, como debe ser, verificar que lo que se está haciendo en Matemática va bien. Específicamente, porque una revista como la que se describe tendría un atractivo especial para los matemáticos oaxaqueños, y serviría como un trampolín para otras publicaciones más prestigiosas. Por eso, inclusive, se evitaría tener ISSN y estar indexado en el Mathematical Reviews o el Zentralblatt, pues así un autor podría envíar su artículo a otra revista (también, si quiere, que su obra se re-publique en esta hipotética revista, ¿por qué no?).

¿Que es mucha redundancia? Tal vez, pero la juzgo necesaria respecto a los colegas oaxaqueños. No por falta de calidad, sino justamente de "prestigio".

Desvaríos varios (1)

Apenas veo.

No hubo entradas de esta bitácora durante diciembre del año pasado.

Ni modo.

Y el 2013 no empieza para mí con muchas ganas de escribir.

Pero he estado pensando bastante. En mi familia, sobre la vida, sobre la Matemática...

Es buen momento para decir algo que traigo en mi cabeza sobre esto último, porque de los dos primeros no me gusta mucho hablar en público. De la vida sí, pues, pero no ahora, o al menos no de modo exclusivo.

¿Será que está mal pensar mucho en Matemática? Lo digo en este sentido: en diversos medios (aunque, debo admitir, sobre todo en la televisión estadounidense) se enfatiza que eso no corresponde a "una vida auténtica". ¿Por qué no? ¿Por qué son menos "raros" los seguidores de Justino Castor o Dolores Rivera que los que están pendientes de los avances de los científicos que trabajan en el LHC o que admiran a Stephen Hawking? [Deliberadamente no he escogido los mejores ejemplos].

Posiblemente sea una cuestión de la popularidad del sujeto de admiración en sí. También que no se considera sano que una persona necesite poca adrenalina en su vida para ser feliz, o que al menos no requiera compartir sus gustos como pretexto para socializar.

Luego está esto de las competencias matemáticas (y científicas, en general). En principio, fomentan el agudizaje de las facultades que ya traen los que se involucran en ellas, y son un mecanismo para que se junten personas con intereses similares. Pero, como bien señala una profesora a la que admiro mucho, no parecen ser una buena estrategia para lograr que más personas, quienes posiblemente podrían hacer contribuciones en estos campos, se interesen en ellos.

Habrá quien diga que tales individuos no hacen falta en estas empresas realmente, porque únicamente los "elegidos entre los dioses" son los que tiene chance de "lograr algo". Pudiera ser. La ventaja de las competencias es que permiten tamizar a los verdaderos elegidos, y destinarles recursos. Y aquí también hallo una conexión con mi punto anterior, cuando examinamos qué es lo que se quiere "lograr". Si el chiste es hacerse famoso por "conseguir" algo "grande" (demostrar una conjetura importante, o contestar una pregunta científica fundamental), entonces eso provoca que varios se apelotonen alrededor de temas populares porque así las hazañas son más visibles.

Otra consecuencia, sin embargo, es que se opaque algo que juzgo importante y que escuché decir a Alberto Verjovsky en un video, que en mi paráfrasis es "un progreso, por pequeño que sea, es fuente de mucha felicidad". Yo añadiría, todavía, "un progreso personal". Es decir: vale la pena simplemente entender, simplemente disfrutar, no importa que con ello no se confirme la sacrosanta Hipótesis de Riemann.

Me viene a la mente uno de los primeros artículos de Erdős (cuyos problemas son olímpicos por excelencia, si bien estoy convencido de que él realmente no tenía la mentalidad clásica de olímpico), que versa sobre una demostración nueva de un teorema. Comparado con medallistas Fields y otros gigantes, parece una cosa pequeña. Especialmente, quizá, por ser elemental en su naturaleza. Me imagino que hay quienes sinceramente concuerdan, pero que no lo manifiestan por la conspicuidad de Erdős. Por supuesto (y no recuerdo los detalles), se saca nueva información de la demostración de Erdős respecto al teorema, pero sospecho que las intenciones de Erdős iban más por el lado de entender él el resultado, de tener una victoria personal, más que el de la ostensión o la superación de los medios de un matemático previo.

Veo por ahí quienes posiblemente se les venga la palabra "mediocridad" a la mente. Y no en Erdős, sino en quien esto escribe o los que concuerden con mi punto de vista. Mas, ¿qué no hay espacio suficiente para ellos en la olimpiadas, pues?

Y eso que no traigo ganas de escribir.

Una sobre inducción

Pensaba en la demostración por inducción de la fórmula cerrada para calcular \[ \sum_{k=1}^{n}k. \] Supongamos que se nos presenta la sospecha de que debe ser un polinomio cuadrático $a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}$.

¿Qué tal si lo tomamos por cierto para $n-1$, y vemos cómo deben acomodarse las cosas para que sea cierto para $n$? Vale: debe satisfacerse \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}k &= \sum_{k=1}^{n-1}k+n \\ &= a_{2}(n-1)^{2}+a_{1}(n-1)+a_{0}+n\\ &= a_{2}n^{2}+a_{1}n+a_{0}, \end{align*} de donde se infiere que \begin{align*} -2a_{2}+a_{1}+1&=a_{1},\\ a_{2}-a_{1}+a_{0}&=a_{0}, \end{align*} y por ello que $a_{2}=\frac{1}{2}$ y que $a_{1}=\frac{1}{2}$. ¿Qué pasa con la $a_{0}$? No queda determinada, excepto porque tiene que cumplirse el caso base, lo que obliga a que $a_{0}=0$.

Listo, la fórmula y la demostración de un solo golpe. Creo que algo así es lo que propone Zeilberger como el "polynomische Ansätze", y que es un poco mejor que solamente ajustar algunos resultados de la suma con un polinomio.

Va el segundo...

Veo con deleite que en el volumen 7, número 2 del 2012 de la revista "Contributions to Discrete Mathematics", aparece por fin mi artículo "Antichains and counterpoint dichotomies". Ya tenía un rato en arXiv, de cualquier manera, y pueden comprobar con las versiones de preimpreso mi genialidad para cometer errores y desatinos.

Como bien agregaron los editores, recibieron mi artículo en el 8 de junio de 2010 y lo terminaron de procesar básicamente para el 26 de septiembre de este año. Un intervalo de tiempo muy normal para un autor de mi calibre, según tengo entendido.

¡Vamos ahora por el tercero!

Una pregunta tonta

Pensando en un viejo problema, me pregunté: "¿Cuál es la probabilidad de que una permutación aleatoria de $2k$ objetos mande por lo menos a uno de un subconjunto $A$ de ellos a $\complement A$, donde $|A|=k$?".

Digamos que $U_{i}$ es el evento "el $i$-ésimo elemento de $A$ es enviado a $\complement A$". Lo que deseaba calcular es $P(\cup_{i=1}^{k} U_{i})$. Se puede aplicar el principio de inclusión y exclusión sumando las probabilidades de $U_{i}$, luego restando las de todos los pares $U_{i}\cap U_{j}$ (que es la probabilidad de que un par de elementos de $A$ caiga afuera de $A$ bajo la permutación), después sumando las de todas las triplas, y así sucesivamente.

Para este fin, primero observamos que la suma de las probabilidades de que "se salgan" las $j$-tuplas es \[ \sum_{a\in\binom{A}{j}}\frac{\binom{k}{j}}{\binom{2k}{j}}=\frac{\binom{k}{j}^{2}}{\binom{2k}{j}}, \] pues la probabilidad de que una $j$-tupla $a$ vaya a $\complement A$ es el cociente de las $j$-tuplas de $\complement A$ sobre el total de $j$-tuplas disponibles.

Ahora sí: \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{k} U_{i}\right) = \sum_{j=1}^{k}(-1)^{j-1}\frac{\binom{k}{j}^{2}}{\binom{2k}{j}}, \] lo cual se ve un poco intimidante. Pero, vaya, se supone que ya existen métodos automáticos para calcular estas cosas. Le pregunté a Wolfram Alpha primero, sin obtener un resultado del todo satisfactorio (¿es así de "complicado"?). Después decidí ir con el buen Maxima, para que me calculara algunos de los términos de la sucesión de probabilidades, y obtuve:

$k$	$P$
$3$	$\frac{19}{20}$
$4$	$\frac{69}{70}$
$5$	$\frac{251}{252}$
$6$	$\frac{923}{924}$
$7$	$\frac{3431}{3432}$

Satisfactoriamente regular, ¿cierto? Los hay que ya habrán visto que es esto (y desde hace rato, quizá), pero aguántenme un segundito. De aquí fuí con la OEIS y encontré que los denominadores de estas fracciones son los coeficientes binomiales centrales.

¡Claro! (y va la palmada en la frente): la probabilidad de que una elección de $k$ elementos entre $2k$ no vaya a sí misma bajo la permutación es obviamente la de que su imagen sea cualquiera de los otros $k$-subconjuntos disponibles: \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{k} U_{i}\right) = \sum_{j=1}^{k}(-1)^{j-1}\frac{\binom{k}{j}^{2}}{\binom{2k}{j}} = \frac{\binom{2k}{k}-1}{\binom{2k}{k}}. \] Y eso es lo que significa el resultado de Wolfram Alpha. Es por cosas como ésta que me gusta tanto la Matemática.

¿Cómo dicen los pollitos?

Es tristemente común tomar los dígitos que integran una constante o sucesión matemática famosa para producir "música" (la Online Encyclopedia of Integer Sequences inclusive lo hace de manera automática). De este modo se exhibe, supuestamente, la conexión que existe entre ambas áreas, siendo que la relación es mucho más profunda de lo que se pudiera imaginar de manera simplista.

Más específicamente, mi opinión al respecto es que lo que se haga de música usando a $\pi$, por nombrar un ejemplo concreto, debe expresar de algún modo la naturaleza del número en cuestion. En este sentido, simplemente escribirla en binario y tocar si el dígito es 1 y no tocar si es 0 no es realmente interesante, y menos si se eligen las armonías para disfrazar el hecho de que la configuración rítmica de lo que resulta es bastante caprichosa. Así es bastante fácil obtener algo bonito, pero que pudo venir de las codificaciones binarias de la poesía de Sor Juana Inés de la Cruz o el número de flatulencias diarias de una persona a lo largo de un mes sin que se distinga una gran diferencia. Una canción sobre las ideas de Arquímedes, Ramanujan u otros me gustaría infinitamente más.

Tomando cartas en el asunto, decidí componer algo a dos voces con un cierto patrón rítmico de fondo usando a $\pi$. La primera voz emitiría un tono fijo, mientras que la otra distaría de ésta los sucesivos intervalos \[ 3, \frac{13}{4}, \frac{16}{5}, \frac{19}{6} \quad\text{y}\quad \frac{22}{7} \] de ida y de regreso. Éstas son sucesivas aproximaciones cada vez mejores de $\pi$.

Usando Audacity, es fácil generar una onda sinusoidal (quise usar una cuadrada o triangular, pero eso hubiera vuelto redundantemente desagradable (¡o agradable!) el resultado). Un pequeño problema que encontré es que, si no se elige apropiadamente la frecuencia del "cantus firmus", entonces al multiplicarla por estos racionales no da siempre un número con una expansión decimal finita, y entonces al concatenar los tonos del "discanto" se oían pequeños chasquidos que no me gustaron.

Una solución, por supuesto, es tomar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones como frecuencia base, que es simplemente el producto $4\times 5\times 6\times 7 = 840$, pero en hercios es demasiado agudo. De todos modos construí el "contrapunto" simple con estas frecuencias y luego lo transporté a un tono menos agrio para el oído humano.

Haciendo más experimentos con aproximaciones racionales, noté que después de $\frac{22}{7}$ ya era muy difícil distinguir la diferencia entre los intervalos, y por eso hasta ahí llegue. Sin embargo, quería plasmar la notable aproximación $\frac{355}{113}$, que no se puede mejorar con un denominador de menos de cinco dígitos decimales. Si no se podía en el dominio de la frecuencia, se podía en el del tiempo. Por ello, introduje dos pulsos "rítmicos" de modo que los cocientes entre sus frecuencias fueran justamente $\frac{355}{113}$. En lo particular, me gusta mucho lo que se obtiene, pues al ser números coprimos tardan mucho en coincidir y generan muchas síncopas interesantes en el proceso. Esta idea no es original, desde luego, y pueden revisar una página titulada Euclidean Rythms para ensayar interesantes combinaciones rítmicas de coprimos.

Respecto a la obra que salió de todo esto, vale apuntar que introduje varios crescendi y decrescendi para hacer tolerable la adición de los ingredientes de la mezcla, y que la proporción inicial de tonos $3:1$ es una quinta sobre una octava en la afinación pitágorica, que es muy placentera y que genera un excelente contraste con lo inquieto que se oye el $22:7$ de en medio.

Para finalizar, en una entrada previa dije que una composición fea debe ser aburrida o incomprensible. Creo que mi opus 33 no es fea en este sentido, pues el ritmo y los intervalos extraños la hacen de todo menos sosa. Por otro lado, podría resultar difícil de interpretar (de hecho, no creo que pueda ser tocada por seres humanos, si alguien lo intenta le suplico me comunique cómo le fue), pero la explicación que acabo de dar elimina este obstáculo al menos un poco. Como quiera que fuese, mi objetivo no era conseguir una belleza fácil, sino expresar algo un poco más profundo, y que curiosamente se acomodó todo bien al final. En lo personal, el resultado me fascinó, y las pocas impresiones que he recogido hasta el momento me han convencido de que no quedé muy lejos de conseguir mi cometido.

¿Qué opinan ustedes?

P. D.: Hay otra versión con tonos más agudos, por si las quieren comparar.

P. D. 2: No son flatulencias, pero me refería algo como lo que hicieron con electroencefalografía ciertos investigadores cuando digo que se puede utilizar cualquier cosa.

P. D. 3: Intenté torturar a alumnos míos con estas obras, y lejos de resultar aturdidos o asqueados, me indicaron que esta música tiene un aire trance, y que recuerda a la obra de Armin van Buuren. ¡Vaya!

Necrologías de sorpresa (1)

Impactado me entero, por medio del discurso del actual presidente de la Sociedad Matemática Mexicana durante la inauguración de la más reciente edición del Congreso Nacional de dicha asociación, que han fallecido este año:

• Francisco Raggi Cárdenas (12 de junio),
• Ernesto Alejandro Lacomba Zamora (26 de junio),
• Jorge Ize Lamache (16 de agosto).

Respecto al Dr. Raggi, puedo comentar que lo llegué a conocer en persona, aunque fuera solamente para preguntarle por el paradero de otro profesor que debía impartir un curso de maestría. No fue particularmente atento ni descortés, seguramente por que estaba muy ocupado. Hizo su doctorado en la UNAM bajo la dirección de Humberto Cárdenas Trigos, y su tesis doctoral trató sobre las unidades en álgebras de grupos. De una lectura de la primera y segunda parte de un artículo que publicó en los Anales del Instituto de Matemáticas de la UNAM al respecto, se infiere que encontró una demostración alternativa de un teorema de Graham Higman. También es muy notable su libro de texto "Álgebra Superior", que fue mi libro de texto para por lo menos parte de esa materia, en la licenciatura.

Del Dr. Lacomba hay poco que agregar después de comprobar que fue alumno de Stephen Smale. Un artículo de 1973 publicado por él en "Transactions of the American Mathematical Society", según parece, resume los resultados de su disertación doctoral. Grosso modo, y hasta donde llega mi entendimiento, estudió las geodésicas (o caminos más cortos) en ciertos espacios usando ideas de su director de tesis.

Del Dr. Ize resalto que aparentemente está listado como "George Ize" en el Mathematics Genealogy Project, y que algo de su calibre se manifiesta al ver que su director de tesis fue Louis Nirenberg (éste último fue el primer premiado con la Medalla Chern). Su área de estudio fueron los sistemas dinámicos, y adivino que su disertación doctoral clasificaba algunos de los entresijos de los operadores de Fredholm, que aparecen en las ecuaciones integrales.

Resulta muy curioso también que, salvo que me equivoque con el Dr. Humberto Cárdenas, todos los directores de tesis de estos tres matemáticos mexicanos viven todavía. QEPD, grandes pioneros de la Matemática en México.

Para el buzón de quejas y sugerencias (2)

This is the first post (and, I hope, the last one) I will write in English. Why? Because I am very upset about something I heard recently, and I would like some people to be aware of this.

Of course, most of them would not give a damn about my anger, but still...

The cause of my wrath is a podcast by Samuel Hansen, namely the episode "The Score" of his Kickstarter-funded "Relatively Prime" show. This episode features Scott Rickard (of the "Costas-arrays-turned-to-music" fame) and Robert Schneider.

Hansen says that Rickard applied mathematics to music "in a way that [he] sincerely doubt[s] any musician would have thought about". Perhaps the notion of playing only once the 88 notes of a piano such that no repetition of intervals occurs is novel for musicians, but Rickard's idea concerning the so-called "lack of symmetries" in order to produce an "ugly" musical piece is rather silly. I am convinced that "ugliness" in music is more about being boring or incomprehensible, and that is precisely the point that Mozart tried to make (and successfully, in my opinion) with his "Ein musikalischer Spaß". Thus, musicians are rather aware of how to produce ugly results, and the quest for beauty is precisely the interesting (and mathematical!) problem of this (and every) art.

The redeeming aspect of this contribution is that Costas arrays are rather interesting mathematical objects, and I learned about them because of this lame attempt to produce unpleasant music (as I already mentioned in an earlier post). At this point I was just angry.

But then I hear Schneider with his almost unintelligible speech about issues that learned musicians (and certainly I do not count as one) have been aware for centuries: the harmony of small ratios and the many problems the scales derived from them have. Of course these "pure" ratios have very exciting properties! And certainly they have been explored extensively! And it is rather easy to waste them in a rather boring song. The compromise of equal temperament (which is not due to Bach, by the way) and the wonderful contributions by other geniuses of mathematics and music such as Vincenzo Galilei, Simon Stevin and Marin Mersenne are not mentioned and, in my opinion, they are also miserably looked down on in this kind of discussions. If you accept equal temperament (or tunings that behave similarly), then you can concentrate less in "sounding good" and more in abstract structure, which I deem as a superior discovery within music.

After all this I had no remaining patience to hear about "algorithmic" music, so I stop here.

Del anecdotario (I)

Mi participación anterior en el "Carnaval de Matemática(s)", después de ver cómo estuvo, se supone debió ser la primera y la última. Lo más positivo que coseché de la experiencia fue un comentario de Mago Moebius (que para mí valió como el premio a la mejor entrada) y un temporal incremento en las visitas a mi bitácora (a pesar de que se haya opinado por ahí que estoy "pirao").

Sin embargo, hubo un pequeño detalle que me hizo reconsiderar el asunto (y que, además, preferiría no mencionar hasta que termine la presente edición del Carnaval, si acaso).

Lo malo es que no se me ocurrió sobre qué escribir a la mera hora. Además, no estoy muy de ánimo para refritear a Gardner, Pickover, Allen Paulos u otras grandes figuras de la divulgación matemática.

¿Y entonces? Mmm...

¿Valdrá contar algunas viejas anécdotas? Si no, pues ni modo. Ahí va.

La primera vez que fuí a un congreso de Matemática, específicamente al "Cuarto Congreso Internacional de Álgebras Topológicas y sus Aplicaciones", fue como estudiante del segundo semestre de licenciatura. ¿Por qué? Porque se celebró en Oaxaca, y no quise desaprovechar la oportunidad.

La persona que me apoyó con la cuota de inscripción fue la Dra. María de Lourdes Palacios Fabila (y que posteriormente sería sinodal en mis exámenes de maestría y doctorado), quien desde entonces ha sido sumamente amable conmigo.

Recuerdo que un momento muy vergonzoso ocurrió cuando, mientras tomaba un sorbo de agua durante una de las charlas, se me subió y tuve que hacer un gran e inútil esfuerzo para no llamar la atención. También que, durante una plática del Dr. Wiesław Żelasko, éste bosquejó unos pasos de una desigualdad o algo así, y hubo por ahí un exponente o símbolo que se comió (y no sabía yo si era un paso legítimo o no de su razonamiento), le pregunté y resultó que efectivamente era un pequeño desliz. La Dra. Palacios consideró que yo había "corregido" al Dr. Żelasko.

Ahí conocí a la Mtra. Helga Fetter Nathansky, quien extrañada se me acercó y me preguntó si yo entendía algo de todo lo que se hablaba en esas conferencias especializadísimas. Obviamente, no comprendía más que hablaban de espacios vectoriales con topologías integradas, de convergencias, etcétera, pero no cómo se encajaba todo eso (y el acento del inglés no ayudaba mucho). Después tuve el privilegio de trabajar con ella en el CIMAT durante mi "estancia profesional", lo que considero una de las experiencias más gratificantes de mi vida en lo que a Matemática respecta. De todo ello salió mi tesis de licenciatura.

También conocí al Dr. Carlos Bosch, quien con mucha amabilidad me explicó qué es un espacio barrelado barrilado.

No pude quedarme toda la semana que duró el congreso porque hubiera acumulado demasiadas faltas en mis cursos, pero sin duda la experiencia me gustó mucho, me puso los pies sobre la tierra y me animó a continuar con los estudios. Me pregunté si algún día llegaría a tener el calibre de algunas de esas luminarias de las álgebras topológicas, aunque fuera en otra rama. Hasta hoy, obviamente, no es así. Pero mientras haya vida...

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Esta entrada participa en la edición 3.1415926 del Carnaval de Matemática(s), alojado en la bitácora "Series Divergentes".

Sobre la Sociedad Matemática Oaxaqueña (V)

Revisando el asunto de la Sociedad Matemática Oaxaqueña...

Que no es por el momento, pero que aún quiero que sea...

Y considerando que no ha habido un catalizador para que se haga realidad...

Me he dado cuenta de que, aunque he expresado oralmente las necesidades a las que debe atender tal organización, no lo he hecho del todo explícito por escrito. Va:

1. Organizar en la mayor cantidad de pueblos posible, en periodicidad y si se puede en simultaneidad, algo análogo (¡o mejor!) al Festival Matemático que ha organizado la UNAM en Coyoacán, y que ya lleva dos ediciones. No es la única opción. También se puede hacer algo como lo que orquesta Marcus du Sautoy en Inglaterra llamado "Maths in the City" (¡lo que hicieron del Teatro Sheldoniano no tiene madre!). En el mismo país se desarrolla el bello proyecto "Think Maths", y según dice ahí consiste en "un grupo de oradores matemáticos que visitan escuelas y organizan talleres y sesiones para todas las edades y habilidades". Una bella pieza del New Yorker sobre Glen Whitney y su cruzada para abrir el Museo de la Matemática en Nueva York también es sumamente inspirador y aporta ideas.
2. Junto con pegado: ¡crear un Museo de la Matemática para Oaxaca! ¡Aunque sea virtual!
3. Hacer una revista de la Sociedad que sea básicamente una "superposición" (overlay) a través del repositorio ArXiv. ¿Para qué hacer tal cosa, si podemos remitirnos a las prestigiosísimas revistas de celebérrimas y nobilísimas instituciones? Bueno: en realidad el único servicio que aportaría la Sociedad Matemática Oaxaqueña es el de arbitraje (no anónimo y público, si así lo disponen los árbitros) y la uniformación de la presentación del contenido. También serviría como un índice de la actividad matemática oaxaqueña (lo cual creo que es muy útil y todavía es difícil determinarla con certeza). De hecho, pienso que tal es el futuro de las publicaciones científicas (así lo ha manifestado Doron Zeilberger, por ejemplo); en cierto modo ya es el presente de muchas revistas. La Sociedad Matemática Oaxaqueña estaría a la vanguardia en ese sentido. [Se reciben mentadas, por cierto (risa macabra).]
4. Escribir libros de fuente abierta para muchos niveles, como un projecto en California, Estados Unidos, o como el proyecto "Stacks", al que admiro particularmente. Y traducirlos a las lenguas originarias del estado, para la mayor cantidad de variantes posibles. Esto, por supuesto, es obligadamente un esfuerzo colectivo, y sería el pie de biblioteca de la Sociedad.
5. Sí: cuando ya sea una entidad legal, abrir su perfil de Féisbuc y su cuenta de Tuiter para hacer promoción desvergonzada y despiadada de la Matemática en todas sus facetas, como ya lo hacen las sociedades norteamericanas (y aplaudo especialmente a la MAA) e incluso la mexicana.
6. Por supuesto: apoyar en lo logístico o humano a la organización y promoción de las Olimpiadas y de las Escuelas de Verano especializadas (aunque, creo yo, esto ya lo toqué en el primer punto).

¿Suena todavía muy descabellado? Los habrá que aún exclamen un rotundo y furibundo "¡Sí!". En fin. Ahí están las ideas. Por lo pronto, trataré de seguir dando pláticas en las bibliotecas e ir a la radio, que ya es algo.