Carta abierta a los legisladores mexicanos

Estimables diputados y senadores:

El 22 de mayo de 2018, la American Mathematical Society y el Mathematical Sciences Research Institute se reunieron con legisladores estadounidenses para contarles cómo la inversión federal en investigación básica produce valiosos resultados. Esto me motivó a emitir este mensaje. Me inspiró especialmente lo expuesto por Eric Demaine, un especialista en papiroflexia matemática, que les mostró cómo su investigación puede desembocar en la fabricación de muebles que se auto-ensamblan, mejores angioplastias, un mejor acomodo de lentes en vehículos espaciales, el estudio de proteínas para desarrollar nuevos medicamentos, etcétera, además de hermosas figuras de papel.

También me mueve el hecho de que se busca aprobar una nueva ley de humanidades, ciencia y tecnología que “orientará” a la investigación científica para “atender problemas prioritarios de la sociedad mexicana”. Sin ser explícita, se entiende que las facultades que tendría el Conahcyt, a través de la definición de “prioridades para la asignación y optimización de los recursos públicos destinados a las humanidades, ciencias y tecnologías”, le permitirían limitar o incluso eliminar ciertas vertientes de la investigación científica.

Como matemático esto me preocupa profundamente, pues los tiempos de la matemática se miden en intervalos enormes. Existen problemas sin resolver de miles de años de antigüedad, técnicas que toman cientos de años en desarrollarse y teoremas que necesitan décadas de esfuerzos colectivos sostenidos para demostrarse. En particular, es muy difícil predecir cuál de la matemática que se desarrolla en este momento podría resultar clave en la solución de un problema importante para la sociedad en el futuro.

Los ejemplos abundan, pero cito dos. Los griegos que estudiaron las curvas provenientes de cortar un cono nunca pudieron imaginar que mil ochocientos años después serían precisamente aquellas que describen los movimientos de los cuerpos celestes bajo el influjo de la gravedad. Cuando Cauchy, Abel o Galois desarrollaron la teoría de grupos para estudiar las simetrías o la resolución de ecuaciones polinomiales, tampoco podían adivinar que un siglo después el matemático polaco Marian Rejewski la aplicaría para elucidar el funcionamiento de la máquina Enigma, lo que a la larga contribuiría a acortar la Segunda Guerra Mundial y a que su curso favoreciera a los Aliados.

La matemática, durante mucho tiempo, pudo regodearse en el hecho de que, al ser sumamente abstracta, no podía utilizarse para fines maléficos. Sin embargo, en el siglo XX las computadoras y métodos numéricos permitieron a los científicos del proyecto Manhattan construir en un tiempo razonable una bomba atómica, y en pleno siglo XXI los algoritmos apoyados en la estadística y la optimización han mecanizado la discriminación en muchos ámbitos cruciales para la población, como lo son los seguros y la contratación de personal, sin mencionar la construcción de burbujas individuales en las redes sociales y que desemboca en la manipulación de la opinión pública para fines nefastos. Sin duda hay aspectos éticos que deben tomarse en cuenta en el estudio de la matemática, y aplaudo el que se piense en reforzar la consideración de estos criterios en la nueva ley. No obstante, creo que no debe ondearse esta bandera para sofocar la creatividad propia de la investigación matemática.

Mi apología, por supuesto, no necesita ser enfática en las aplicaciones manifiestas de la matemática. Muchos investigadores que se especializan en las ecuaciones diferenciales (en especial en la biomatemática) y ciertos aspectos discretos que se requieren en la computación y la modelación de redes sociales seguramente no tendrán problemas para justificar su financiamiento e impulso. Más bien quiero hacer una arenga para no restringir los recursos a la matemática que podría ser llamada "básica".

He de evidenciar aquí mi interés personal en el asunto, pues me dedico a la musicología matemática. Conozco colegas que juzgan que de hecho esta especialidad consiste en una aplicación de la matemática, y yo tendría que estar mayormente de acuerdo con la veracidad de tal enunciado; pero también hay que reconocer que sería fácil descartarla como un uso frívolo del poder de la matemática, pues no es para nada obvio si el estudio científico de la música es un problema prioritario de la sociedad mexicana (o de cualquier país, a fin de cuentas).

Si adoptamos tal rasero, sin embargo, entonces no sería la musicología matemática más vana que la geometría y topología algebraicas, la teoría de categorías, la teoría de números o la teoría de representaciones, por traer a colación unos cuantos casos en los que me consta que hay matemáticos mexicanos que han realizado notabilísimas contribuciones, y que les han valido amplio y merecido reconocimiento internacional. Este hecho, por cierto, no me parece que sea un “resultado magro” de los recursos invertidos en su formación y mucho menos del desarrollo de sus investigaciones. Y es por eso que el destinar presupuesto suficiente e irrestricto al cultivo de estas ramas requiere una ulterior defensa.

En primera, porque normalmente la matemática representa una fracción muy pequeña de lo que de por sí se invierte en la ciencia. Lo primordial para aquellos que se dedican a lo más puro de la matemática es la subsistencia y la de sus estudiantes, dado el caso. Por ejemplo: el monto solicitado en 1990 por Andrew Wiles para lo que después sería la demostración de la última conjetura de Fermat fue menos de la millonésima parte del total destinado a investigación y desarrollo en Estados Unidos en dicho año. La American Mathematical Society, por esas épocas, rondaba los diez mil miembros, y si todos hubieran pedido una cantidad semejante y se les hubiera otorgado, la suma sería inferior al 1% del presupuesto total para ciencia y tecnología del vecino del norte a principios de los años noventa. Estamos, pues, ante una inversión pequeñísima que tiene réditos gigantescos a largo plazo, y que por lo mismo no tiene por qué ser menoscabada.

En segunda, he de insistir que la sed de conocimiento es una cualidad preponderantemente humana. No de balde afirmaba el gran matemático alemán David Hilbert en 1900 que en la matemática (y la ciencia en general) no hay ignorancia permanente, sino que tenemos la capacidad colectiva de desvelar las respuestas a las interrogantes más profundas y que hemos de alcanzar el conocimiento. Aunado a esto está la capacidad humana de crear, y que es justamente la vía que nos conduce al descubrimiento. La creatividad, puedo afirmar, sirve de coligante entre la ciencia, la tecnología, la matemática y las artes, y no sobra en lo absoluto subrayar el enorme gozo que entraña el comprender algún aspecto del universo, los frutos de la creación artística o diversas mezclas que son posibles entre estas actividades. Además, estos son aspectos de la cultura que mayormente se pueden compartir para el beneficio de todos, como lo han demostrado numerosos divulgadores de la ciencia nacionales y extranjeros y, por supuesto, legiones de artistas. Las patentes y derechos de autor, sin duda, imponen algunas justas limitaciones, pero afortunadamente no son sempiternas. Todo esto redunda en un ambiente que impulsa la innovación y la tecnología, como ha demostrado de forma contundente el Valle del Silicio en California. Estoy consciente de que este último “ecosistema intelectual” ya está mostrando signos de agotamiento, pero esto sirve de argumento en contra de que ciertas áreas geográficas y disciplinas específicas deban acaparar los recursos humanos y financieros.

Regresando al cruce de caminos entre la ciencia y el arte y que es donde se ubica mi especialidad, puedo echar a volar mi imaginación respecto al cómo podría desembocar lo que investigo en beneficios concretos y comunes, en refuerzo de lo ya expuesto.

De los varios aspectos de la música que son particularmente susceptibles de ser comprendidos mejor a través de la matemática, yo me enfoco en el contrapunto. El contrapunto es una técnica de composición que permite conjuntar dos o más voces de manera que el resultado es armonioso. Es por eso que la noción de consonancia es central para mi investigación.

Sin entrar en los detalles, puedo decir que el estudio de las simetrías que gobiernan a las consonancias le permitieron al matemático suizo Guerino Mazzola, en colaboración con un equipo liderado por el neurólogo polaco Heinz-Gregor Wieser, obtener los primeros indicios de cómo la música es una “llave” para acceder a los recuerdos y además cómo desencadena emociones. Esto ha sido confirmado de forma indirecta con otras investigaciones, pero aún hay muchas preguntas que responder al respecto. Si bien yo no he podido colaborar todavía con un neurofisiólogo para refinar y extender estos descubrimientos, sí me he dedicado a progresivamente ampliar la potencia del modelo matemático del contrapunto para abarcar música cada vez más compleja, de modo que podríamos comprender mejor los efectos de la misma sobre el cerebro, y quizá estos algún día tengan consecuencias para la salud pública. Hay que tener en cuenta que la pirámide poblacional mexicana se está invirtiendo, lo que implica que podemos esperar el aumento de los padecimientos neurológicos degenerativos; la musicología matemática podría ser clave para encontrar paliativos o incluso curas de estos males. Reitero que esto es principalmente especulación, pero precisamente esta clase de ejercicios son los que caracterizan a la ciencia y la matemática. Vale recalcar aquí que tampoco, suponiendo que se descubre algo que tenga consecuencias positivas para la salud pública, tendrían que restringirse los beneficios a nuestro país, sino que deben tener repercusiones globales. Asimismo, el potencial concreto de crear matemática o música novedosa permanece como justificación suficiente de estos estudios.

Dejo la siguiente reflexión para concluir: el estudio de la matemática de los antiguos egipcios, babilonios y mayas nos indica que, cuando los especialistas se enfocan exclusivamente en resolver problemas con consecuencias sociales inmediatas, la creatividad y el conocimiento se estancan durante muchas generaciones. Debemos reconocer que, frente a las economías posindustriales con las que debemos convivir, no podemos darnos el lujo de frenar el progreso que hemos conseguido. Por el contrario, tenemos que acelerarlo para conservar la viabilidad de nuestro país.

Atentamente,

Octavio Alberto Agustín Aquino

Cuestiones de lógica

En lo que va de la supuesta cuarta transformación, hay dos asuntos que se hacen frecuentes en el día a día.

1. La falacia tu quoque o apelar a la hipocresía. Ante el aluvión de críticas al gobierno del camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik (en especial porque no ha sido fiel a su prédica de honestidad como con las declaraciones patrimoniales de algunos funcionarios), sus fanáticos normalmente responden que "¿y por qué no fiscalizaban de la misma manera a las administraciones anteriores?". De la misma manera, cuando el Pan critica que no se vote a favor de la reducción del IEPS, el líder de la bancada morenista de forma socarrona los llamó "hipócritas". Esta respuesta, con todo lo satisfactoria que pudiera ser emocionalmente, no hace que sean menos valederas las observaciones. La situación es como la de una médica que le recomienda a una paciente bajar de peso y esta le replica "¡pero si usted es una marrana!". Las amenazas al sistema cardiovascular permanecen pese al bálsamo del desfogue.
2. El ex falso sequitur quodlibet o "de la falsedad todo se sigue" o principio de explosión. No es corta la lista de contradicciones en las que ha incurrido el camarada presidente. Dos ejemplos egregios: que había huachicol en las obras del nuevo aeropuerto y que no se habían reducido las importaciones de gasolina desde Estados Unidos a principios de este año. Aquí debo repetir lo dicho por Garry Kasparov: "Cuando un líder te miente constantemente, su objetivo no es hacerte creer en algo concreto, sino hacerte creer en lo que sea". Esto es un corolario al susodicho principio de explosión: si las premisas en un argumento son inconsistentes, entonces cualquier proposición puede deducirse de ellas. Esto disuelve la distinción entre lo verdadero y lo falso, y les es conveniente primordialmente a los fanáticos, que de partida ven todo como blanco o negro, y al final ya no les importa la realidad sino lo que les diga su caudillo. Sabemos que en el mundo real los hechos presentan diversos tonos de gris, y para quienes no caemos en la anulación de la verdad esta práctica del titular del ejecutivo nos resulta desgastante. Hay que resistir, sin embargo, para no dejarnos manipular.

La primera del 2019

Después de leer una columna de Carlos Elizondo Mayer-Serra, me siento francamente muy desconsolado. Es prácticamente imposible negar que tiene razón al evaluar la percepción que tiene la gente del camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik. Siento que, por ahora, todo está perdido.

Desde mi punto de vista, cada vez le diremos adiós a más libertades. No sé si alcance un sexenio para que se complete el proceso, pero está en marcha. Leía en Quora respuestas a la pregunta de que si Cuba realmente es tan pobre como la pinta Estados Unidos, y sospecho que aunque hay mucha propaganda, sí es verdad que muchos cubanos están resignados a vivir como lo han hecho bajo la dictadura de Castro y sus remanentes, y que hacia allá nos dirigimos. Debo añadir que me gustó mucho una en particular que afirma que todo aquél que aspira a ser diferente, a vivir en sus propios términos, termina yéndose de la isla; me consta que brillantes matemáticos cubanos que trabajan en México propagan la ideología comunista pero no se les ven ganas de regresarse a vivir al paraíso que engendra.

Me resulta todavía más claro (en particular después de ver lo minúscula que es la minoría que votó por el doctor José Antonio Meade Kuribreña) que hay unas tres o cuatro generaciones a las que les venden enemigos nítidos (sin importar si existen o no) muy fácilmente. Que el aumento en la cantidad de personas con educación media superior o superior sólo ha facilitado la penetración de los mensajes populistas. Que es apabullante el cómo gente con formación en el pensamiento crítico lo aplica brillantemente a su disciplina y falla miserablemente para analizar la realidad del país.

Aquí debo insistir en que México es un país que tiene problemas como muchos otros, pero no está en ruinas ni mucho menos. El artículo de Torreblanca, Muñoz y Merino aparecido en Nexos lo deja bastante claro; un dato que refuerza mi punto sobre la disonancia cognoscitiva es que, según veo, el José Merino coautor del escrito es uno de varios que no se cansó de alabar a los artífices del nuevo régimen como medio para conseguir un huesito. Regresando al punto, el tema de la violencia es particularmente notorio porque a principios del milenio vivimos en un ambiente de inusitada paz. También opino que la gráfica del susodicho artículo en relación a la desigualdad no hace justicia al hecho de que el índice de Gini trae tendencia a la baja desde hace tres décadas, lo mismo que el coeficiente de Palma. Esto es notable debido a que hay múltiples fuerzas e inercias que se oponen a que esto ocurra.

Antes me esperanzaba el pensar que, apenas viera lo mucho que se pierde con decisiones equivocadas y soluciones aparentemente rápidas, la población recapacitaría y obligaría al gobierno a tomar una dirección más moderada. Ha muerto en mí mucho de ese optimismo, al comprobar cómo México es un pueblo sin memoria ni mirada hacia el futuro, y ahora veo lo iluso que he sido al no darme cuenta de la intensidad y magnitud de esa amnesia y ceguera antes. Baste mencionar que entre los mejores especialistas de la historia mesoamericana rara vez hay mexicanos, y que el mismo camarada presidente desprecia a los profesionales proactivos y capaces. Otro ejemplo es que en mi pueblo adoptivo, San Antonino Castillo Velasco, saben que es una villa heroica por eventos relacionados con la Revolución, pero creo que ignoran que la mayor parte del desmadre de 1910 no tocó a Oaxaca ni que entre 1915 y 1920 el estado se declaró soberano, por lo que técnicamente estaba en contra de todos los revolucionarios, empezando por el presidente Venustiano Carranza. No saben, observo, en qué bando militaban, aunque yo podría apostar que del lado soberanista o "contrarrevolucionario" (!).

Bien dicen que el desconocer la historia nos condena a la rima. Una muy consonante y bastante ramplona, subrayo.

Envoltorios matemáticos

En ésta epoca de dar regalos utilicé mucha matemática. En especial, logré sacar una caja cúbica de una caja de pizza y luego aplicarle una envoltura óptima. Por cierto que traté de usar la misma idea en general pero no es clara la explicación de cómo generalizarla para un paralelepípedo arbitrario; sospecho que con el rectángulo obvio no queda uno muy lejos del optimizador.

También usé el cómo doblar un círculo para cubrir un triángulo equilátero. Por cierto, este hecho igual lo aprovechan por lo menos en Acatlima para crear sabrosos triángulos rellenos de frijol.

Por último, fue de mucha utilidad el truco de cómo obtener un tetraedro de un sobre para unos dulces.

En las vísperas de la "cuarta transformación"

Como dije antes, el camarada Andréi Andreyévich López Rabotnik está cumpliendo con sus promesas de campaña, lo que me tiene profundamente preocupado.

En particular, me ha tenido estudiando y reestudiando historia, economía, sociología, psicología, etcétera, para poder defender posturas que muchos profesionales han tomado en nuestro país y que han funcionado bien. Es un hecho que mayormente y a nivel macroeconómico México va mejor o al menos igual de bien durante este sexenio que en los anteriores. Sin duda hay problemas con el crimen, pero el mismo gobierno entrante ha reconocido que sin el apoyo del ejército no será posible manejarlo.

En fin. Los resultados de lo que propone el régimen que en unas horas inicia son sabidos, pues se han ensayado en otros países, en varios momentos de la historia; vaya, los mercados lo reflejan, lo mismo que mi fondo de ahorro para el retiro. Pienso que lo que queda para el futuro sombrío (que, esperemos, se reduzca a seis años) es buscar cómo asegurar el futuro de mis hijas y defender con todas mis fuerzas cada espacio de libertad del que disfruto en mi país, porque estoy seguro de que vendrán por ellos.

No estoy jugando ni exagerando: en mi trabajo nos mandaron las instrucciones de la camarada doctora María Elena Raimondova Álvarez-Buylla Roces de que no tenemos libertad para explorar la frontera del conocimiento. Ya les respondí que no las acataré. A partir de mañana pudiera ser que experimente las consecuencias. Pero si ellos no tienen prisa, yo tampoco.

Un cómputo difícil

Pensaba en este asunto de la consulta por el Nuevo Aeropuerto de la Ciudad de México. Según el Prep, el camarada Andréi Andreyévich López Rabotnik obtuvo prácticamente el $52.960$% de los votos, con una desviación estándar de aproximadamente \[ \sqrt{\frac{0.52960\cdot 0.47040}{57\times 10^{6}}} = 6.6\times 10^{-5}. \]
Según entiendo (pero seguramente lo entiendo mal), sería razonable suponer que el $52.96$% de la población estaría de acuerdo con cancelar la obra, y en la consulta se elevó esto a $70.641$%. Al intentar calcular la sumatoria \[ \sum_{k=747000}^{1057463}\binom{1057463}{k}0.52960^{k}0.47040^{1057463-k} \] para obtener el $p$-valor de que esto ocurra, no pude hacerlo con Maxima. Precisamente en estos casos, se supone, acude en nuestro auxilio la aproximación normal, con lo que podría usarse la función de error para estimar el número. Tendríamos que calcular \[ 1-\mathrm{erf}\left(\frac{0.70641-0.52960}{4.9\times 10^{-4}}\right) = 1-\mathrm{erf}(360.8) \] y tanto Maxima como Wolfram Alpha me dicen que esto da $0$. No es de extrañar: hablamos de un valor que se aleja en más de trescientas desviaciones estándar de la media.

Y bueno, siendo muy inocente diríamos que es virtualmente imposible que haya ganado de forma tan aplastante la opción de cancelar la obra en Texcoco. Si acaso está raro que, siendo que el gobierno entrante goza de tanta legitimidad, ¿para qué tomarse tantas molestias y dinero en ejecutar lo que de por sí quiere "el pueblo"? Insistiría que hay que comprender que el trasfondo no es impulsar la democracia, sino complacer a la base. Pero podría estar equivocado.

Aunque lo que realmente me intriga ahora es ¿cómo se puede calcular de forma cada vez más precisa la función de error para valores grandes? He realizado algunos tientos pero resulta que no es tan fácil...

P. D.: Más razones.

Matemática para ganar elecciones y sepultar un aeropuerto.
Los lugares seleccionados para la consulta ciudadana fueron cuidadosamente seleccionados. Una fórmula matemática lo muestra así en #La4ta con @scherermar . pic.twitter.com/e3fbGJMMPR

— El Financiero TV (@ElFinancieroTv) November 2, 2018

P. S. 2: Todavía más razones. La fuente tiene a su favor que le publicó al Dr. Fernando Córdova Tapia su pieza en contra del aeropuerto en Texcoco.

Tetraédrico por sexta vez

Aunque me causa alegría haber llegado a los 35 años hoy, me da un poco de tristeza hacerlo lejos de mi país y de mi familia. Pero todo sea por darles algo mejor a ambos.

Si uno construye pirámides con base triangular acomodando naranjas, puede uno usar $1$, $4$, $10$, $20$, $35$, etcétera, de ellas. Es la sucesión de los números tetraédricos.

También es posible desmontar la sexta pirámide y armar justamente el sexto de los números pentagonales. Según las soluciones de la curva elíptica $Y^3+Y=X^{3}-X$, los únicos números tetraédricos con los que es posible hacer esto son $0$, $1$ y $35$.

Obviamente esto me sirve de pretexto para mencionar a mi héroe Euler y su teorema de los números pentagonales. Una última propiedad que encontré agradable del $35$ es que también es un coeficiente binomial. Más especificamente, es \[ \binom{7}{4}=\binom{7}{3}=35 \] o sea, todas las formas de elegir (sin importar el orden) cuatro objetos entre siete disponibles. O de descartarlos, si se quiere. También esto significa que hay (sin tomar en cuenta equivalencias debidas a simetrías afines) la misma cantidad de acordes de tres que de cuatro notas en una escala diatónica.

El teorema de Pitágoras y la constante de Arquímedes en acción

Para una actividad escolar de mi hija menor, le pidieron un gorro cónico de fiesta. Ange me dijo que teníamos cartulina rosa e hilo elástico, así que podíamos hacerlo nosotros mismos. Después de dictaminar que un radio en la base de $6$ cm era razonable, busqué cuál era la altura estándar y encontré que podían tomarse $16$ cm. ¿De qué radio debía ser el sector circular a trazar? Es relativamente fácil ver que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $6$ y $16$ cm, o sea \[ \sqrt{6^{2}+16^{2}} \approx 17.1 \] cm. Para averiguar el ángulo que debía subtenderse, se multiplica por $\pi$ al cociente del radio de la base entre el radio del sector, lo que da aproximadamente $0{.}70\pi$ radianes. No tenía transportador, solamente escuadra, así que para trazarlo primero se nota que el ángulo excede un cuarto de vuelta en $0{.}2\pi$. Luego con un triángulo rectángulo con base $17.1\cos(0{.}2\pi)=13.83$ y altura $17.1\sin(0{.}2\pi)=10.05$ obtenemos el ángulo faltante. Vean el resultado una vez aplicado el compás, las tijeras, el pegamento y puesto el elástico.

Pero, ¿a quién podrían servirle estas cosas?

No hay quinto malo

Veo con gran alegría que mi quinto artículo "Enumeration of strong dichotomy patterns" por fin salió en la revista electrónica Algebra and Discrete Mathematics, después de ser rechazado por una revista de Elsevier, no recibir acuse de recibo por parte del Seminaire Lotharingien de Combinatoire y ser rechazado también por el Australasian Journal of Combinatorics. Tardó dos años en ser publicado, y creo que ya me acostumbré a estas dilaciones.

Por cierto que no sé si debe contarse mi contribución del congreso de Puerto Vallarta como artículo; MathSciNet® tiene indizado el libro de memorias y algunos de las contribuciones individuales, pero no la mía. Si llega a aparecer, tal vez podría decir que ya estoy dentro del rango proporcional a mi cociente intelectual en cuanto a publicaciones. Creo que no está tan mal.

¡Venga el sexto!

Discurso a mi patria

Compatriotas mexicanos:

Ayer salí a votar con la convicción de que el futuro de México estaba asegurado, y que el ejercicio democrático lo realizaba un pueblo lo suficientemente educado como para esquivar los errores del pasado.

Pero me equivoqué.

Y básicamente eso sería todo lo que tengo que decirles. Sin embargo, voy a abundar un poco, por entrenenimiento mío y de ustedes, y para hacer una promesa.

Recién atestiguamos el ejemplo del vecino al elegir al peor candidato y aprendimos cero, nada, naranjas dulces. Ahí hemos visto cómo rezuma la pus del resentimiento y la estupidez de ciertos colectivos contra la cándida pero variopinta mayoría ante la complacencia de la élite gobernante. En palabras llanas: nos toca chingarnos todos.

En el corto plazo, aseguran los que saben, tratará el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik de cumplir sus promesas, al costo que sea. Cuando esto sea insostenible o algo falle seriamente, la culpa será de la mafia del poder, lo que requerirá algún tipo de purga de la sociedad y por medio de esta maniobra se hará de más recursos para nuevas iteraciones de dilapidación, o vayan ustedes a saber qué otro tipo de atropellos se le ocurrirán en el camino.

Si se le da dinero a la gente nada más por que sí entonces aumenta el consumo, pero si no hay más producción (y recordemos que intentaremos producir todo lo que consumamos), entonces la única salida es que aumenten los precios, y con ello la inflación. Yo cometí la imprudencia de acostumbrarme a una inflación baja durante mi vida adulta (normalmente de menos del 10% y casi siempre rondando el 5%), pero pues ya ven... Todo por servir se acaba. O tal vez el Banco de México, en su independencia prometida, pueda obrar milagros. Sabrá Dios.

Estas exquisiteces serían las menos graves, por lo menos desde mi perspectiva. El camarada Andréi Andreyévich López Rabotnik estableció muy claramente que la reforma educativa tiene mal el nombre (y todo, de hecho) por lo que, después de una supuesta consulta, la derogará. Lo más lógico que puedo suponer es que, una vez que tal despropósito se consume, la criminal y pérfida Sección XXII tendrá nuevamente carta blanca para la compra-venta de plazas y así poder seguir disfrutando de sus prebendas malhabidas, con las consecuencias obvias para la educación de la niñez y juventud oaxaqueña y las flagrantes en cuanto a la violación de los demás derechos humanos de la población en general. Ahora sí podré creer que el régimen tendría por objetivo mantenernos en la oscuridad de la ignorancia para hacer con nosotros lo que le plazca.

Lo menos que puedo prometer hacer es continuar sacando a las mentes de los jóvenes de las tinieblas mientras el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik y su séquito no estén mirando, pero debo ir por más. El enseñar más y con mayor ahínco sobre el pensamiento crítico y la matemática (con algunos toques de ateísmo por aquí y por allá) al público en general es mi obvia primera respuesta, y se que no es suficiente, pero debo admitir que no estaba preparado para este escenario. Toda sugerencia que no pase por la violencia es bienvenida.

En fin: que no quede de nosotros, los que entendemos las consecuencias de nuestros actos y de los demás. No me extrañaría que tengan miedo igual que yo. Y si, por el contrario, son muy sacalepunta, les pido de favor me echen porras y me unten un poco de su audacia.

He dicho.

Octavio Alberto Agustín Aquino.

Adversus scholastica certamina

Este asunto de las competiciones académicas ya lo he tratado antes, pero creo que es buen momento de agregar nuevas reflexiones.

Primero que nada, debo decir que este tipo de justas son excelentes para resolver problemas relacionados con tecnología con el fin de conseguir avances sustanciales. En principio, si deseamos obtener un robot capaz de tocar convincentemente el violín, un proceso para extraer dióxido de carbono de la atmósfera o la demostración más corta posible del teorema de Perelman-Poincaré y tenemos prisa, un concurso tiene una alta probabilidad de entregárnoslos.

Sin embargo, si se supone que la primordial razón para hacer matemática es para entender y ampliar nuestro conocimiento sobre ciertas entidades abstractas, ¿por qué importa quién ha de lograrlo primero o que esto suceda lo más pronto posible? Además, el pionero o campeón rara vez hace el esfuerzo por explicar sus métodos de manera que todos los demás puedan verificar sus resultados o extender sus métodos, y son legiones de otros matemáticos (que no alcanzan amplio reconocimiento por lo general) quienes se encargan de sistematizar y exponer. Esto ya lo ha señalado con gran maestría Jordan Ellenberg (quien, además, tiene autoridad moral para manifestarse pues es medallista olímpico y campeón del Putnam), y no está por demás leer los argumentos de Izabella Łaba, con su característico estilo contundente, cuando afirma que la actitud de los matemáticos a lo largo de los siglos ha sido más competitiva que cooperativa.

A modo de ejemplo, y para redondear lo que digo, hay que señalar que, en mi humilde opinión, Leonhard Euler mismo ha sido víctima de esto. Sus obras sobre mecánica hicieron mucho para poder aprovechar los métodos de Newton y Leibniz en la ingeniería práctica y su notación está ampliamente difundida por ser, efectivamente, clarificadora, y sin embargo es muy raro que un ingeniero o el público en general lo coloquen en el panteón de los matemáticos ilustres. Hay que reconocer que ni Arquímedes (a quien admiro) ni Gauss (a quien no tanto), entre otras luminarias, nunca hicieron mucho por desgranar sus prodigiosos artilugios que les permitían sondear las maravillas de la matemática.

Es por esto que yo me opongo a que se realicen concursos de matemática a diestra y siniestra. Me parece que es tóxico el fomentar la imagen del matemático como un genio que acaba con los "dragones" de los problemas con apenas algunas estocadas impulsadas por la fuerza arrolladora de su capacidad intelectual. No sobra remarcar el problema del efecto Mateo: cuando se realizan las pruebas preliminares, normalmente los competidores distan poco unos de otros, pero hay un ganador. A este ganador se le entrena y, obviamente, amplifica su ventaja sobre sus compañeros, y en futuras iteraciones de las competencias refuerza su dominio y se le entrena aún más. Pero sólo podemos, por definición, obtener una cantidad limitada de matemáticos por esta vía, ¿no es mejor destinar esos recursos de entrenamiento a todos los que sientan vocación por la matemática? Hay simulaciones que demuestran que dar un poco (aunque sea ínfimo) a todos es mejor que dar a manos llenas a los más "talentosos" para conseguir avances.

Por su visionario programa...

Lo importante que ha sucedido recientemente, y que no quiero dejar sin algún tipo de glosa, es que Robert Langlands fue galardonado con el premio Abel este año; no será muy sustanciosa puesto que es un asunto muy técnico y que, a decir verdad, no alcanzo a apreciar del todo. El libro de Bernstein y Gelbart "An Introduction to the Langlands Program" parece que es un buen punto de partida para quien quiera profundizar en el famoso programa iniciado por Langlands.

Según entiendo, todo tiene su origen en la ley de reciprocidad cuadrática tan apreciada por Gauss. Hay que decir primero que un entero $q$ un residuo cuadrático módulo $n$ si es congruente con un cuadrado perfecto, esto es, $q\equiv x^{2}\pmod{n}$ para algún $x$ entero. El símbolo de Legendre $(\frac{q}{p})$ es una indicatriz de la residuosidad cuadrática, pues se define como $0$ si $q$ es nulo, $1$ si $q$ es no nulo y es un residuo cuadrático, y $-1$ si no es un residuo cuadrático. Así, $5$ es un residuo cuadrático módulo $11$ porque $5\equiv 7^{2} \pmod{11}$, mientras que $2$ no es residuo cuadrático módulo $11$, luego $(\frac{5}{11})=1$ y $(\frac{2}{11})=-1$.

Dicho esto, la ley de reciprocidad cuadrática nos dice que, si $p$ y $q$ son números primos impares, entonces \[ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}. \] En otras palabras: hay una relación (¿recíproca?) entre la residuosidad cuadrática de $p$ módulo $q$ y la de $q$ módulo $p$. Juntando esto con las propiedades del símbolo de Legendre, es posible saber si la ecuación cuadrática más simple $x^{2}\equiv a \pmod{p}$ para un primo impar $p$ tiene solución o no.

Con un poco de razonamiento algebraico muy elegante, es posible ver que el símbolo de Legendre en realidad es un homomorfismo del grupo de unidades de $\mathbb{Z}_{p}$ hacia el grupo $\{1,-1\}$ con la multiplicación. La mejor forma de hacerlo es estudiar el cuerpo $K$ de descomposición del polinomio $x^{q}-1$ sobre $\mathbb{Z}_{p}$, y luego estudiar las propiedades del grupo de Galois $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Z}_{p})$.

De aquí hay que ir a la ley de reciprocidad de Artin, que relaciona a la abelianización del grupo de Galois de una extensión de campos globales con el grupo clase de ideles del campo extensor, y cómo esto puede mirarse como una conexión entre las $L$-series de Artin (que son un tipo de series de Dirichlet) y los caracteres de Hecke (que son generalizaciones de los caracteres de Dirichlet). Todo esto es una ensalada de teoría de campos clase, y que fue llevada a sus mayores consecuencias hasta ahora por Langlands y los continuadores de su obra, y que relaciona a la teoría de números con el álgebra y el análisis (armónico). Es por eso que se considera una de las grandes unificaciones de la matemática.

Sobre un virtuoso normando (y no es Erik Satie)

Resulta que es un excelente momento para escribir sobre Nicolás de Oresme, un gran pensador del siglo XIV oriundo de Normandía, Francia.

Es muy interesante que Oresme fuera de los primeros en afirmar que la proporción entre las duraciones de las órbitas de distintos cuerpos celestes es probablemente irracional, lo que da al traste con la astrología; en tal caso no es posible predecir conjunciones, oposiciones y otras efemérides de modo preciso como para "vaticinar" el futuro.

Todavía más genial fue la idea de Oresme de graficar en la longitud al tiempo y en la latitud a la velocidad, con el fin de clasificar la naturaleza de un movimiento. De este modo, por ejemplo, un movimiento uniformemente acelerado se ve como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y se revela claramente, por medio de un simple cálculo de área, el llamado teorema de Merton: un cuerpo uniformemente acelerado que parte del reposo recorre la misma distancia que uno que se mueve a velocidad uniforme igual a la mitad de la velocidad final del primero. Tampoco ya es difícil ver cómo se generaliza esto a un cuerpo que no parte del reposo, y el teorema del valor medio está a un tiro de piedra. Es, pues, grande la deuda que tiene Descartes (cuyo natalicio es hoy) con su compatriota, en mi opinión.

En lo que a series respecta, la forma en que Oresme suma la geométrica \[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a}{m^{k}} \] es peculiar, pues dice que hay que tomar la diferencia entre dos términos sucesivos \[ \frac{a}{m^{k}}-\frac{a}{m^{k+1}} = \frac{a}{m^{k}}(1-\tfrac{1}{m})=\frac{a}{m^{k}}\frac{m-1}{m} \] y dividir entre el primero, de modo que queda $\frac{m-1}{m}$. El recíproco de esta fracción es la proporción de la suma al primer término (que es $a/m^{0}=a$), lo cual tiene mucho sentido si Oresme reparó en la autosemejanza de la suma si se dibujan sus términos como barras.

Esto lo explica Oresme en su Questiones super geometriam Euclidis, y en esta misma obra expone su maravillosa demostración de que la serie armónica es divergente. Antes de presentarla, vale apuntar que él estudia esta cuestión ante la situación de que a una cantidad, a la que se le agrega algo cada vez más pequeño, pueda crecer sin cota. Para ver que esto puede suceder, hay que considerar la agrupación de términos
\[
 H = 1+ \left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
\]
esto es, según potencias de dos (primero 0, luego 1, luego 2, luego 4, etcétera). Dentro de cada paréntesis, la última fracción es la más pequeña, por lo que lo que hay entre el $k$-ésimo paréntesis (con $k>0$) es por lo menos
\[
 2^{k-1}\frac{1}{2^{k}} = \frac{1}{2}
\]
y en consecuencia, si $H_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ es $n$-ésima suma parcial, se satisface
\[
H_{2^{k}} \geq 1+\frac{k}{2}
\]
y se deduce que la serie diverge. Esto, por cierto, también da un estimado de cuánto hay que esperar para que la serie alcance un valor dado de antemano.

Matemática a la boloñesa

En esta ocasión escribo sobre un matemático boloñés del siglo XVII, del cual descubro fascinado que también escribió cosas muy interesantes sobre la música. Me refiero ni más ni menos que a Pietro Mengoli. Lo que sigue se basa en material de un libro de Giovanni Ferraro y un artículo de Benjamin Wardhaugh.

Mengoli es famoso por haber sumado, en su Novae Quadraturae Arithmeticae de 1650, los recíprocos de los números oblongos y triangulares, observando que corresponden a lo que ahora llamamos una serie telescópica. Más específicamente, en símbolos modernos demostró primero que \[ \frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1}a_{2}}+\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{2}a_{3}}+\cdots+\frac{a_{n}-a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n}} = \frac{a_{n}-a_{1}}{a_{1}a_{n}}, \] y que con la sucesión $a_{n}=n$ nos devuelve las sumas parciales de la serie de los números oblongos $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}$ en el miembro izquierdo. Se sigue de inmediato que \[ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n-1}{n} = 1-\frac{1}{n} \] y, finalmente, se le aplica un razonamiento arquimediano para demostrar que la "extensión" de la serie entonces no es ni mayor a $1$ (lo que es bastante obvio) ni menor a $1$; esto último es menos obvio, pero con cualquier $\epsilon>0$ que esta extensión estuviera por debajo de $1$, habría un $n$ lo bastante grande para que $1-\epsilon < 1-\frac{1}{n}$, lo que es contradictorio.

También, en unas cuantas páginas del prefacio, demuestra que la serie armónica es divergente. Su argumento es maravilloso. Comienza por observar (en la notación moderna) que \[ \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} > \frac{3}{n}, \] lo que básicamente proviene del hecho de que la media aritmética de tres números consecutivos es mayor que su media armónica. Ahora todo es cuestión de agrupar los sumandos apropiadamente para ver que, bajo el supuesto de que $H=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ existe, sucede \[ \begin{multline*} H = 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7}+\ldots \\ =1+(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4})+(\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7})+\ldots \\ >1+\tfrac{3}{3}+\tfrac{3}{6}+\tfrac{3}{9} +\ldots = 1+(1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\ldots) = 1+H, \end{multline*} \] lo cual es contradictorio.

Seguro animado por el éxito con los números oblongos quiso aplicar sus técnicas para obtener la suma de los recíprocos de los números cuadrados, esto es, $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}$, pero fue en vano. Algunas décadas después Jacob Bernoulli demostró en su Positiones arithmeticae de seriebus infinitis de 1689 que el límite existe y es menor a $2$; nadie se cansa, y mucho menos yo, de alabar la hazaña de Euler al sumar esta serie en 1734. Dicho sea de paso, Bernoulli tal vez creyó haber demostrado primero la divergencia de la serie armónica, pues desconocía el trabajo de Mengoli. Aunque tampoco este último podía cantar victoria, ya que Nicolás de Oresme descubrió una demostración en 1350, de la cual hablaremos en otra ocasión.

En lo que toca a la música, su tratado Speculationi di musica publicado una década después de su trabajo sobre series, se me hace muy interesante porque da una solución del problema que plantea una explicación clásica de la consonancia. Según esto, los tonos pueden pensarse como "pulsos" que se repiten con cierta frecuencia. Si dos tonos son tales que coinciden en sus pulsos, entonces los escuchamos como consonantes, y entre más frecuente sea esta coincidencia mayor será la sensación. Por eso, se supone, el unísono es muy grato, y de ahí las octavas, y luego las proporciones superparticulares como la quinta $3/2$ o la cuarta $3/4$, etcétera. El problema con esta teoría es que, si se desfasan los pulsos, nunca coincidirán; pese a ello, seguimos experimentando una sensación agradable. También pasa que, cuando no son perfectamente exactos los cocientes, nos sigue pareciendo placentero el resultado; cotejen la afinación justa contra la equitemperada si no me creen.

Mengoli resuelve el problema considerando que, más que las coincidencias, el oído detecta la alternancia de los pulsos. Así, la quinta que tiene una proporción de $3/2$, se escucha como el patrón $AABAB$ repetido periódicamente, donde con $A$ nos referimos a la sensación del primer tono y con $B$ al del segundo. Así, ya no importa si hay coincidencia perfecta, ni tampoco si la razón es tan exacta. Por ejemplo: la razón $301/201$ se percibe como que hay $301$ veces una $A$ y $201$ veces una $B$ repartidos adecuadamente según la fase, y "localmente" se oye como una quinta.

Más aún, con un complicado argumento fisiológico (inusitado para la época), concluye que estos cocientes son percibidos por el oído como el área (!) bajo la curva $f(x) = 1/x$, y que sabemos que se puede calcular por medio de logaritmos ¡lo cual corresponde bien al conocimiento actual sobre la percepción del sonido! Es por eso que, en música, para sumar intervalos multiplicamos y para restarlos dividimos en lo que frecuencias respecta.

Por el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia

Celebrando el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia, el canal Curiosamente sacó un muy buen video alusivo.

Sin embargo, me parece que en honor a los hechos, y con ánimo de justipreciar las contribuciones de tan excelentes personas, hay que hacer algunas precisiones.

• Hipatia. El afirmar que hizo un "mejoramiento" del astrolabio y atribuirle la "invención de un aparato para medir la densidad de los líquidos" son extrapolaciones de la correspondencia que mantuvo con su estudiante y amigo Sinesio de Cirene (veáse Booth, Charlotte. Hypatia: Mathematician, Philosopher, Myth. Fonthill Media, 2017). Más importante que eso creo yo que es muy probable que ayudara a su padre a editar "Los Elementos" de Euclides y el "Almagesto" de Ptolomeo, y que escribiera un comentario muy atinado de la "Aritmética" de Diofanto para fines pedagógicos. De los estudios historiográficos actuales, tampoco está claro que la turba que asesinó a la filósofa estuviera movida enteramente por motivos religiosos.
• Ada Lovelace. Dada la posición social de la que gozaba, podía darse el lujo (para su época) de dedicarse a la curiosidad científica, y a la matemática en particular. Sin duda era muy inteligente, pues aprendió rápidamente en correspondencia con Augustus de Morgan lo necesario sobre los números de Bernoulli para entender el algoritmo para generarlos, pero no sé si podría catalogarla como una matemática o que esto le hiciera falta para apreciar su genio (aquí debo confesar que mi criterio en cuanto a qué es un matemático enfrenta una dificultad, pues no sabría decir si su comentario al artículo de Menabrea es un artículo con un resultado original o no). Además, Babbage ya había escrito algoritmos para el ingenio analítico antes que Lovelace (véase Hammerman, Robin y Andrew L. Russell. Ada's Legacy: Cultures of Computing from the Victorian to the Digital Age. Morgan & Claypool, 2015).
• Marie Curie. Con todo y lo prodigiosa que fue, creo que también merece crédito Pierre Curie, que hizo investigaciones pioneras en el fénomeno de piezoelectricidad y que le fueron de utilidad a Marie para estudiar la radioactividad del uranio. Murió atropellado por un carro tirado por caballos, y sobre él dijo Marie: "Es imposible para mí expresar la profundidad e importancia de la crisis que ocasionó en mi vida la pérdida de quien fuera mi más íntimo compañero y mejor amigo." (Curie, Marie. Pierre Curie. Dover, 2012, p. 94).
• Mária Telkes. Tal vez habría que señalar que es probable que asegurara su lugar en la lista porque fue inducida al Salón Nacional de la Fama de los Inventores en Estados Unidos en 2012. Esto deja de lado, lamentablemente, el hecho de que la primera mujer en ser admitida ahí fue Gertrude Belle Elion en 1991 por desarrollar medicamentos contra la leucemia, el choque séptico y el rechazo de tejidos en pacientes a los que les han realizado transplante de riñón.
• Cecilia Payne-Gaposchkin. Según la misma Gaposchkin, inicialmente le interesaba la ciencia en general (estudió primero botánica) y no la astronomía en particular; además, sí le otorgaron su título retroactivamente.
• Rosalind Franklin. La forma en la que se explica su contribución a la ciencia hace pensar que ella se le adelantó a Watson y Crick en el descubrimiento de la estructura del ADN. Si bien es cierto que su trabajo experimental (sus fotografías, en particular) fueron cruciales para develear este misterio, lo cierto es que, como buena científica, no avanzó conclusión alguna hasta tener suficientes datos. Fue un tanto cuanto audacia de Watson y Crick el usar la matemática para demostrar que la estructura de hélice era correcta haciendo un uso cuestionable, eso sí, de lo recabado por Franklin y su colaborador Maurice Wilkins (véase Wilkins, Maurice. Autobiography. Oxford University Press, 2005).
• Jane Goodall. Es muy importante mencionar que el arqueólogo y antropólogo Louis Leakey la impulsó a estudiar los chimpancés; esta inquietud fue producto de sus investigaciones, que lo llevaron a preguntarse por el comportamiento de los parientes del ser humano. Lo mismo vale para las célebres Dian Fossey y Birutė Galdikas, las cuales ampliaron nuestros conocimientos sobre los gorilas y los orangutanes, respectivamente.

Sobre un cremonés (y no es Stradivarius)

Antes de que se acabe el mes, previendo que no tendré tiempo de ir agregando material por lo menos mensualmente (como desde hace años me he propuesto), y aun a riesgo de recibir reprimendas por parte de mi gran amigo JHS, quiero escribir un poco sobre algunos matemáticos que, en mi opinión, son relegados a un segundo plano (si acaso) en los cursos de Cálculo.

Quiero comenzar con un italiano que vivió entre los siglos XVII y XVIII llamado Guido Grandi. Se hizo famoso por afirmar en 1703 que la expansión en serie de potencias \[ \frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}x^{k}, \] que puede pensarse como la sustitución $\rho = -x$ aplicada a la suma de la serie geométrica $\sum_{k=0}^{\infty}\rho^{k}=\frac{1}{1-\rho}$, sigue siendo válida cuando $x=1$. Esto lo condujo a concluir que \[ \frac{1}{2} = 1-1+1-1+\ldots \] Así, Grandi defendía que podía obtenerse algo (es decir, $1/2$), a partir de la nada \[ (1-1)+(1-1)+\ldots = 0+0+\ldots = 0 \] y con ello hacía apología de la omnipotencia de Dios (!), ignorando convenientemente que también podría ponerse \[ 1+(-1+1)+(-1+1)+\ldots = 1 + 0 + 0 + \ldots \] en cuyo caso mágicamente perdemos la mitad a partir del todo. Por estos discurrimientos la serie alternante $\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}$ también recibe el nombre de la serie de Grandi, y ejemplifica a una que diverge pero no lo hace creciendo o decreciendo sin cota (además de dejarnos la moraleja de que no podemos confiar en la asociatividad de la suma si se hace con infinitos términos).

A este matemático cremonés se le debe igualmente un especimen muy socorrido de curva paramétrica cuya área debe ser hallada, a saber, las rosas (¿polares?), que introdujera en 1728. Están dadas según la ecuación \[ r(\theta) = \cos(k\theta) \] salvo por rotaciones y escalamientos, cuando $k$ es entero. Lo interesante es que tal área ¡sólo depende de la paridad de $k$! Se le ocurrieron también las clélias, definidas paramétricamente en tres dimensiones según \[ x = \sin(m\theta)\cos(\theta),\quad y = \sin(m\theta)\sin(\theta),\quad z = \cos(\theta) \] y que yacen sobre una esfera. Son menos conocidas que las rosas quizá excepto en el caso $m=1$, cuando resulta la llamada curva de Viviani (la cual al estudiar geometría diferencial nos entretiene muy bien con el cálculo de su longitud de arco y curvatura), y que surge de la intersección de un cilindro de diámetro igual al radio de una esfera de modo que sean tangentes. Estas curvas tridimensionales se llaman así en dedicatoria a Clelia Grillo Borromeo Arese, una mujer de muy notable inteligencia, particularmente para la matemática. Me pregunto por qué no imitan más este ejemplo para elegir nomenclaturas los matemáticos, que es muy del estilo de los músicos y otros artistas.

Diálogo con mi hija

XIAS: ¡Guácala! ¡Un gusano!

OAAA: Más bien es una oruga, hija. Y acuérdate que después se transforman en mariposas o polillas.

XIAS: Esa no, papá. Está muerta.

:D

La última del 2017

Después de casi cuatro años (!), por fin aparece mi cuarto artículo "A note on a sumset in $\mathbb{Z}_{2k}$" en el Online Journal of Analytic of Combinatorics, después de ser rechazado por una revista de Elsevier y por la epi-revista de Timothy Gowers. ¡Sigue el trabajo para el quinto artículo!

Además, en este año que agoniza salieron las memorias del congreso de Puerto Vallarta y las del MCM 2017, en las cuales participé en su contenido y edición, y lo cual fue un honor y un placer.

La parte triste del año es la cantidad de matemáticos notables que nos han dejado. La siguiente lista no es, desde luego, exhaustiva.

• Kenneth Arrow.
• Kenneth Gross.
• William Massey.
• Uta Merzbach.
• Maryam Mirzakhani.
• Cathleen Morawetz.
• Marjorie Rice.
• Thomas Saaty.
• Raymond Smullyan.
• Gaisi Takeuti.
• Miles Tierney.
• Vladimir Voevodsky.
• Lotfi Zadeh.

No tengo por ahora más que agregar, en parte por falta de tiempo y en parte por falta de organización que tiene todo en mi cabeza.

Y pues, ¡feliz 2018!

Sobre la colecta de firmas por los aspirantes independientes

Según datos el Ine, la licenciada Margarita Zavala ha progresado de la siguiente manera en su recolección de firmas.

Días transcurridos	Firmas recabadas
8.00	13033.00
14.00	35738.00
16.00	44537.00
28.00	119841.00
38.00	201497.00
43.00	253168.00

Si ajusta uno a estos datos una función de la forma $f(t) = kt^{m}$, usando Octave nos da $k=340.95$ y $m = 1.76$, redondeado a dos decimales, con errores en la predicción de menos del $1{.}5$%, y cuyos residuos a ojo de buen cubero se ven bien repartidos. Esto significa, en particular, que podemos esperar que Zavala logre recabar las $866593$ firmas que requiere (aunque, infortunadamente, no podemos saber si lo suficientemente bien repartidas como solicita el Ine), pues cuando $t=120$ resulta $f(120) = 1556143.7$.

Escribo esto trayendo a colación que la periodista Azucena Uresti proclamó que, al día de inicio de recolección de firmas, los aspirantes necesitaban un "crecimiento exponencial" en su actividad para alcanzar el objetivo, delatando incredulidad al respecto. Inmediatamente le corregí que no era necesario un crecimiento exponencial, sino simplemente lineal (aunque a una tasa extremadamente veloz). Lean su respuesta.

Porque el que más registró fueron 1600 en un dia. Multiplicacion

— Azucena Uresti (@azucenau) 19 de octubre de 2017

Además, Uresti persistió un par de semanas en señalar que se veían lejos de su meta los aspirantes, lo cual a mi parecer es falto de ética porque en su papel de comunicadora debe fomentar la participación ciudadana, no un escepticismo en la misma que mina a una institución como el Ine. Todo esto sin mencionar que un crecimiento exponencial precisamente se observa muy lento cuando inicia.

Como se puede ver, no necesitan los aspirantes un crecimiento exponencial en la colecta de firmas, pues con un crecimiento superlineal pero subcuadrático basta y sobra, que ojalá sostengan todos los que registrados para el beneficio de nuestra democracia. Aquí estudio el caso de Margarita Zavala porque me inclino por su candidatura, pero un análisis semejante es válido para otros candidatos y nos permite darnos una idea si les será posible o no contender en las elecciones del año que viene.

Fibonacci por novena vez

Siendo matemático, me sorprende que ni cuenta me di cuando fui Fibonacci las ocho veces anteriores. Es probable que esta sea la antepenúltima vez que lo sea.

También me percato de que prácticamente nunca he hablado de los números de Fibonacci en mi bitácora, siendo que es un tópico matemático. Dos cosas me gustaría enumerar para "remediar" esto.

1. Mi identidad favorita relativa a los números de Fibonacci es la de Cassini \[ F_{n-1}F_{n+1} = F_{n}^{2}+(-1)^{n}, \] pues explica una aparente paradoja geométrica semejante a una de las predilectas del buen Gardner.
   
   El cuadrado tiene $34^{2}=1156$ unidades de área, mientras que el "rectángulo" de abajo tiene $55\times 21 = 1155$, ¿a dónde se fue la unidad cuadrada faltante? En realidad los triángulos se traslapan un poquito, pero apenas y se puede distinguir cuando esto representa menos del $0{.}1\%$ del área del cuadrado original.
2. Uno de mis números de Fibonacci favoritos es el $144$, pues además es cuadrado; no tiene mucho que Yann Bugeaud, Maurice Mignotte y Samir Siksek demostraron que es el máximo con esa propiedad en lo que a potencia no trivial respecta (mi hermanazo JHS me dió la punta de madeja para saber que en cuanto a cuadrado el resultado se debe a J. H. E. Cohn y O. Wyler en 1964). Asimismo, una leyenda dice que en los últimos días del matemático Thomas Fantet de Lagny este parecía tan lánguido que sus amigos no sabían si aún estaba consciente. Para averiguarlo, uno de ellos le preguntó: "¿Cuál es el cuadrado de $12$?" y la vida de Lagny sólo le alcanzó para responder "$144$". Por cierto, mientras Lagny estudiaba fracciones continuas se le adelantó a Gabriel Lamé en descubrir que al algoritmo de Euclides le toma el máximo número de iteraciones para determinar el máximo común divisor justamente cuando la entrada son dos números consecutivos de Fibonacci.

P. D. He aquí el pastel. Infortunadamente, otra vez no fui del todo bien interpretado por la repostera: se supone que la sección transversal debiera verse como la clásica espiral de cuadrados cuyos lados son números de Fibonacci consecutivos. Pero todo lo que tuvo de inexacto lo tuvo de delicioso.

Saltos inesperados entre los primos

Esta es la "transcripción" de mi "conferencia-discurso" motivacional para los estudiantes que ingresarán a la Licenciatura en Matemática Aplicada de la Universidad Tecnológica de la Mixteca. Mucho del material sobre Yitang Zhang lo obtuve del artículo de Alec Wilkinson para The New Yorker.

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Soy del todo sincero al declarar que es un honor y un gusto enorme dirigirme a ustedes, matemáticos en ciernes (aplicados, lo sé, pero yo no lo soy de forma propiamente dicha, sin mencionar que aún así son matemáticos a fin de cuentas), para darles algo de motivación.

Y como ya me ha pasado varias veces en que he aceptado encomiendas similares, descubro que me arrojo a una empresa que no tengo la menor idea de cómo realizar. Intenciones, sí, tengo muchas, pero no un plan trazado de antemano.

Pensé entonces en la clásica maña de preguntarse "¿qué clase de plática motivacional me hubiera gustado escuchar a mí?", y me resulta particularmente punzante porque yo estudié aquí en la UTM y de verdad me hubiera gustado recibir algunas palabras de aliento previas a iniciar el semestre. Mi respuesta es que mi idea e intención original no es mala en lo absoluto.

Primero que nada, la convocatoria pedía "un panorama sobre la matemática y el campo laboral de los egresados de matemática". Ambas cosas son desafiantes, pues incluso teniendo una semana para ello sería difícil, e imposible para un individuo, dar una visión de campo decente de nuestra disciplina. Lo del campo laboral, sobra decir, es un asunto espinoso.

Por eso es que quiero hablarles de Yitang Zhang.

El doctor Zhang es muy notable por haber demostrado, en 2013, que la pregunta

¿Existe una distancia tal que existen infinitos primos consecutivos separados por ella?

se contesta afirmativamente. La razón por la que es famosa es porque está ligada a la de los primos gemelos, que dice

¿Existen infinitos primos consecutivos a distancia dos?

y que, tristemente, no sabemos todavía si se puede responder con un "sí".

Regresando al doctor Zhang, nació en los años cincuenta en Shangai, China. Cuando cumplió quince años, como parte de la Gran Revolución Cultural, fue obligado junto con su madre a ir a una granja para labrar el campo; su padre fue enviado a otro lado. A Zhang le gustaba mucho leer (y la matemática en especial), pero no le permitían hacerlo porque no era esencial para la "lucha de clases" del proletariado. De todos modos, prácticamente todas las escuelas y universidades cerraron, y por eso Zhang trabajó diez años como campesino y no estudió el bachillerato. De modo que, a la primera oportunidad, entró directo a la Universidad de Pekín, y eso fue cuando tenía veintitrés años. En ese punto las cosas empezaron a ir como miel sobre hojuelas: obtuvo su grado de licenciatura en cuatro años, el de maestría en dos y obtuvo recomendaciones para hacer su doctorado en Estados Unidos, en la Universidad de Purdue.

El viento en popa dejó de soplar en este continente, sin embargo. A Zhang le apasionaba la teoría de números, pero el presidente de la universidad de Pekín, Ding Shisun, lo obligó a dedicarse a la geometría algebraica en aras del "bien común".

Zhang obedeció, y trabajó en un problema muy difícil denominado la conjetura del jacobiano. No pudo resolverla en los siete años que estudió el doctorado; realizó algún avance al respecto, pero nada verdaderamente notable, y además no quedó en buenos términos con su director de tesis en Estados Unidos. Sobra decir que no recibió cartas de recomendación, y por eso no encontró trabajo como académico.

Tuvo algunos empleos temporales: como contador y repartidor para un restaurante de Nueva York, en un motel (!), y otra vez como contador y cajero en un restaurante especializado en emparedados. Esto último fue porque se unió a un grupo político en pro de las libertades en China, y uno de sus miembros, que también no tenía ingresos, se le ocurrió comprar una franquicia y ocupar a Zhang para los números por evidentes razones. Durante ese periodo, Zhang iba a la biblioteca de la Universidad de Kentucky para leer revistas de geometría algebraica y teoría de números pero, según él mismo declara, "no mantuvo su sueño de hacer matemática".

Hasta 1999 lo contrataron en la Universidad de New Hampshire. Ahí dio clases de cálculo durante mucho tiempo en el campus de Durham, y el mismo jefe del departamento de matemática, Eric Grinberg, "iba de vez en cuando a recordarle que su puesto era temporal". Pero siempre Zhang siempre le respondía que le agradecía el tiempo que le permitían estar ahí.

Para 2001 había publicado solamente dos artículos. En uno, de 1985, no obtuvo nada realmente nuevo según el revisor de Mathematical Reviews; al otro, de 2001, el revisor lo calificó de "notable", aunque, por supuesto, no lo suficiente para obtener una definitividad, y en 2007 subió a arXiv otro sobre una variante de la conjetura de Landau-Siegel (que también es muy importante), pero está incompleto y, obviamente, permanece sin publicar "oficialmente". Muy poca gente sabía seguramente que trabajaba en la cuestión de las cotas sobre los saltos entre primos, y que logró terminar a finales del 2012. Su esposa le preguntaba: "¿qué haces?" y le contestaba "Estoy trabajando, estoy pensando", no entendía y le decía "¿Cómo que estás trabajando?". Y Zhang no hallaba cómo explicarle a su esposa. Revisó pues, su artículo minuciosamente y lo mandó por fin en 2013 a Annals of Mathematics, una de las revistas más prestigiosas de matemática (ahí, por ejemplo, apareció la demostración del teorema de Fermat-Wiles). El editor mandó el artículo para que lo revisaran Henryk Iwaniec y John Friedlander, quienes eran ni más ni menos que los autores de una técnica fundamental para el resultado de Zhang. Lo examinaron hasta el más mínimo detalle y su veredicto final fue positivo: "los resultados son del más alto rango. El autor ha tenido éxito en demostrar un teorema que hará época en lo que respecta a la distribución de los números primos. Aunque hemos estudiado los argumentos concienzudamente, nos ha sido difícil encontrar incluso los deslices más pequeños. Estamos muy contentos de recomendar enfáticamente su publicación en Annals".

El resto es historia, aunque para mí fue emocionante porque lo seguí en vivo. Primero hubo mucho ruido y se filtró una versión preliminar del artículo en la red (pero la versión definitiva no se puede descargar gratuitamente, y el autor no colgó una en arXiv). En todo caso, Zhang demostró que el salto entre primos consecutivos que se repite infinitamente es, cuando mucho, setenta millones. Este número lo escogió para garantizar que todo fluyera bien en su demostración, pero desde luego no es óptimo. Vi en arXiv cómo saltaron las primeras notas que lo iban bajando, y leí cómo Terence Tao empezó a coordinar los esfuerzos en el proyecto Polymath8, y entonces varias personas iban haciendo observaciones teóricas, escribiendo código, etcétera, hasta que lograron hacerlo descender a 246. El grupo sí subió sus resultados a arXiv, en 2014.

Cuando le preguntaron a Zhang en una entrevista cuál es un talento que un matemático debe tener, contestó: "Concentración, y nunca doblegar su personalidad. Quizá lo que tienes enfrente es muy complicado, es largo, pero debes poder sujetar los puntos principales con tu intuición".

Creo que hay varias moralejas de todo esto, pero quisiera señalar las siguientes:

1. Hay que tener determinación y paciencia para la matemática, y para la vida en general.
2. Hay mucha presión por parte del entorno: expectativas de los colegas, de la familia, presiones laborales, económicas, pero si lo que a uno le apasiona es la matemática, hay que buscar cómo lidiar con ello para seguir haciéndolas.
3. Continuando sobre el punto anterior, me gusta esta frase de Einstein de 1954:

   Si fuera joven de nuevo y tuviera que decidir cómo ganarme la vida, no trataría de convertirme en científico, académico o maestro. Preferiría elegir ser plomero o vendedor ambulante, con la esperanza de encontrar ese modesto grado de independencia que aún se puede lograr en las presentes circunstancias.

4. Lo que dice la canción de José Alfredo Jiménez: "No hay que llegar primero, sino hay que saber llegar". A Zhang le dieron su definitividad por fin en 2014 en New Hampshire, a consecuencia de la demostración, pero además le llovían las ofertas de otros lados. Aceptó la de la Universidad de California, en el campus de Santa Barbara. Seguramente ahí esperarán el tiempo que sea necesario para que logre nuevos avances en la teoría de números.

Finalmente, entiendo que no todos los aspirantes piensan en matemática pura, y en principio no todos tienen el trasfondo de Zhang. Pero tampoco tengo mucha experiencia en las empresas o la iniciativa privada como para hablarles de ese entorno con conocimiento de causa. Sin embargo, sigo la bitácora de un matemático muy aplicado y que hace consultoría por su cuenta, John D. Cook. Dice en su perfil:

Completé mi doctorado en matemática aplicada en la Universidad de Texas e hice un posdoctorado en Vanderbilt. El enfoque de mi investigación fue ecuaciones no lineales en derivadas parciales. Después de mi posdoctorado decidí dejar la academia. Trabajé como desarrollador de software y administrador de proyectos durante varios años. En 2000 llegué al centro médico Anderson sobre el cáncer, primero como administrador de desarrollo de software, y después como investigador en estadística. Mi trabajo se centró en la estadística bayesiana, ensayos clínicos y desarrollo de algoritmos numéricos.

Y para no hacer largo un cuento corto, su enumeración de lo que lo que más ocupa en su profesión es la siguiente:

• probabilidad,
• ecuaciones diferenciales,
• grandes redes (teoría de grafos),
• análisis complejo,
• análisis numérico,
• análisis funcional,
• filtrado y procesamiento de señales.

También dice:

Mucha de la llamada 'matemática aplicada' solo es potencialmente aplicada, porque nadie ha realizado el arduo trabajo de aplicarla. Me gusta escarbar en los problemas reales y usar cualquier cosa que me sirva para crear una solución.

De lo que he leído en su bitácora, incluso la zeta de Riemann le ha resultado de utilidad alguna vez. Asimismo, y en sintonía con las lecciones de la vida de Zhang, dice que trabajar por su cuenta al principio fue muy lento y ganaba poco dinero, por lo que le sirvió mucho tener un buen ahorro antes de empezar. El corolario obvio de esto es que, de partida, hay que trabajar en lo que sea que deje suficiente dinero como para acumular un poco, y luego ya usar eso como trampolín para crecer.

Dicho todo esto, no me queda más que darles la bienvenida a la Universidad Tecnológica de la Mixteca, y ojalá sea el vehículo para que alcancen sus aspiraciones en la matemática. Enhorabuena.

Buenos recuerdos del MCM 2017

Se me antojó asentar por escrito que:

1. Mi recital del MCM 2017 reclama el título de ser el mejor que he ofrecido en toda mi vida hasta la fecha (antes había sido el de la UTM del 2001, hace poco menos de 16 años), lo cual me llena de júbilo porque el público era de lo más conocedor. El Dr. Mazzola me proporcionó una reseña como la de Ponce a Segovia en 1923: "[Escucharte es] expe­ri­men­tar una sen­sa­ción de inti­mi­dad". Heinz Geisser (calificado por el Dr. Mazzola como un "auténtico músico"), quien por cierto tiene preparación académica como guitarrista, también me dijo que había estado muy bien. Los aplausos fueron muy generosos e, intuyo, completamente sinceros, y condujeron naturalmente a un encore para el que, con franqueza, no estaba preparado. ¡Albricias!
2. De la misma manera, mi nano-curso fue bastante bien recibido, y en particular el Dr. Mazzola opinó que fue una gran ocasión para discutir en vivo algunos temas, lo cual sería bueno incorporar en futuros congresos; no al estilo de los foros, donde hasta cierto punto las respuestas están precalculadas, sino al estilo de un seminario. He tomado nota para futuras referencias.

En las vísperas del MCM 2017

Faltan pocos días para que inicie el MCM 2017.

Si no me equivoco será la primera ocasión, después del festival de guitarra de San Miguel Allende al que fuí una vez en 2004, en que toco frente a un público de músicos profesionales (y algunos son guitarristas, además). Me aterra, pero al mismo tiempo me emociona. Ojalá salga bien librado.

También está lo de mi nano-curso. Le puse el prefijo "nano" por la proporción que guarda con el material, pues la idea es dar un bosquejo general de la teoría matemática de la música de Guerino Mazzola en sólo tres días. Además, como no creo que asistan a todas las sesiones, cada "clase" debe ser lo más autocontenida posible.

Y celebramos los 65 y 70 años de los doctores Emilio Lluis-Puebla y Guerino Mazzola, mis grandes mentores y amigos, por si no fuera suficiente.

Encuentros personales con el teorema del valor medio

1. Según confirmo en un artículo de "The Economist" (aunque había visto el dato en otra parte investigando sobre cuestiones de lectura relacionadas con el Suneo), cuando uno cumple unos $1500$ días uno ya sabe $5000$ palabras. No es descabellado suponer que la función que asocia a cada instante de tiempo vivido el número de palabras que uno sabe es no decreciente (por lo menos hasta los cuatro años), y que podemos interpolarla con una función diferenciable. Entonces, por el teorema del valor medio, existe un momento antes de nuestro cuarto cumpleaños en que aprendimos ¡a una velocidad de $\frac{5000}{1500} \approx 7$ palabras por día! Recuerdo que en la fuente que me informó sobre la asimilación de vocabulario hace un cálculo semejante y luego lo desacredita, pero yo creo que esto habla de la rapidez con la que aprendemos a hablar y que muchas veces pasa desapercibida para nuestros padres. Para ser más claros (y discretos): si aprendiéramos solamente 5 palabras o menos cada día hasta los cuatro años, nuestro léxico no podría rebasar las ocho mil palabras.
2. En la UTM están ampliando algunos pasillos, y tuve la siguiente conversación con un estudiante de matemática:
   • O: Va a quedar perfecto que añadan este pasillo, va a desahogar mucho el tránsito de estudiantes, especialmente en las mañanas.
   • X: (Gesto de inconformidad).
   • O: ¿No?
   • X: ¡Es que va a quedar muy empinado!
   • O: Pues por el teorema del valor medio, tiene que haber un punto en los tramos adicionales con la inclinación que de por sí trae el cerro.
   • X: No, pues sería irrazonable argumentar contra eso.
   Nota: La parte en cuestión no tiene escalones.

Por qué no soy guitarrista de concierto

Quien me lee sabe que soy aficionado a la música de Daft Punk, especialmente del álbum "Random Access Memories". Ya he dicho también cómo es que me enamoré de la matemática y decidí estudiarla profesionalmente, y por fin cumpliré con dar algunos detalles en cuanto a cómo es que no estudié música. Pues resulta que mucho de lo que dice de viva voz Giorgio Moroder en la pista "Giorgio by Moroder" es aplicable casi a la letra (!) a mi persona:

When I was fifteen, sixteen, when I really started to play the guitar,
I definitely wanted to become a musician.
It was almost impossible because the dream was so big.
I didn't see any chance because I was living in a little town; I was studying.
And when I finally broke away from school and became a musician [Esto es lo que me falló a mí]
I thought, "Well, now I may have a little bit of a chance,"
Because all I really wanted to do is music – and not only play music
But compose music.

Angélica anota jocosamente: "Y no es que Agustín-Aquino se arrepienta y confiese su culpa, sino que su autobiografía es una copia textual de las memorias de Giorgio Moroder. Pero nosotros, que amamos a Agustín-Aquino, creemos que estas conductas que se le atribuyen le son totalmente ajenas. Probablemente sean de Giorgio Moroder".

Recuerdo que desde que tenía unos 8 años quería aprender a leer música, y que incluso en un programa del canal local lo explicaron con una escalera, pero nunca entendí, y eso era motivo de mucha frustración para mí. En particular, porque había desarrollado, a raíz de un desafío, un profundo gusto por la música de concierto (la del barroco europeo, para ser más específico). Cuando tenía unos once años, preinstalado en la computadora que compró mi padre, venía el videojuego "Lenny's MusicToons". En particular, en la sección "Pitch Attack", uno tenía que disparar según la nota que se ponía en el pentagrama para ir subiendo de rango hasta llegar a general de división. Lo jugué prácticamente con adicción y, aunque no llegué hasta el máximo nivel, sí aprendí mucho.

Así, cuando fue obligado comprar una flauta de pico para la clase de apreciación musical en la secundaria, me resultó sumamente fácil y deleitoso aprender a tocar, especialmente teniendo a la mano el diagrama de digitaciones que incluye el instrumento.

Me pasaba las tardes y noches jugando y practicando con la computadora y tocando... para la desdicha de los oídos de mi padre. Fue entonces que me llamó y me dijo: "¿Por qué no mejor aprendes a tocar la guitarra?". Asentí y acto seguido trajo el susodicho instrumento, me enseñó medianamente a templarla y me cedió toda su colección de revistas "Guitarra Fácil", deseándome buena suerte para dominar el material.

Después de examinar la colección con algo de cuidado concluí que era milagroso poder, al vuelo, mudar de una pisada a otra mientras se cantaba (todavía hoy me resulta difícil acompañar mi propio canto, cuando muy en privado me animo a ensayarlo), y después de intentarlo un par de semanas, desistí y continué con la flauta de pico.

Al poco de eso me inscribí al taller de música de la secundaria, pero resulta que la flauta de pico no es un instrumento bien valorado en las presentaciones públicas. Me percaté que lo opuesto pasa con la guitarra, y observé con cuidado cómo el maestro enseñaba los rudimentos a los guitarristas. Repetí todo ello en mi casa, y en más o menos un mes logré la hazaña de tocar las canciones del repertorio que presentaría el grupo. El maestro consintió en que me integrara a los guitarristas, me tomó algo de aprecio y me enseñó un poco más, de lo que llaman "guitarra clásica", y después por mi cuenta probé hacer algunas transcripciones (tan audaces y descabelladas como de los primeros compases de la Quinta Sinfonía de Beethoven). En mi juvenil candidez e ignorancia, suponía que nadie más hacía eso.

Me sacó de mi error una guitarrista profesional que sucedió al maestro a cargo del taller de música. Además de corregir (y al mismo tiempo echar a perder) mis posturas para lograr un mejor dominio del instrumento, no dejó de recalcarme que mis dedos no servían para tocar la guitarra.

Al proseguir hacia la preparatoria, por casualidad se conjuntaron entre los alumnos dos chelistas, un clarinetista, un violinista, una fagotista y una soprano, y con ellos formaron un ensamble que interpretó un peculiar repertorio para un aniversario de la institución educativa. Las autoridades de la escuela se enteraron de que tocaba algo bien la guitarra y me sumaron al conjunto. Así conocí al violinista y a su profesora, que era miembro del Ensamble Tao. Le pregunté si sabía de alguien que enseñara guitarra de concierto, y me respondió que por casualidad se les uniría un guitarrista que había estudiado en la Escuela Nacional de Música (ENM, hoy Facultad de Música de la Unam), de nombre Julio García, y que accedió a instruirme.

Afirmo, y creo que sin exageración, que todo lo que sé (bien) se lo debo al maestro Julio, y con él consulté mi intención de ser guitarrista de concierto e ingresar también a la ENM. No recuerdo exactamente si me dijo si sí o no; mi padre también le preguntó y en mi memoria su respuesta fue básicamente "Debe intentarlo para saberlo", y que no fue satisfactoria para mi padre.

Sin un bachillerato en artes, supe que tenía que hacer estudios equivalentes en la ENM antes de entrar propiamente a la licenciatura en instrumentista, lo cual no me pareció muy seductor, pero aún así presenté el examen de admisión. Sospecho que mi padre, al mirar lo serio de mis intenciones de estudiar música, me advirtió sutilmente que no las financiaría. No tuve el valor para arrojarme a la empresa sin soporte económico; tal vez cometí un error, tal vez no.

Solamente me falta agregar que, paralelamente a todo ello, en otra computadora había un programa para secuenciación de MIDI, y que fatigué persiguiendo ser compositor, pues la máquina nunca respingaba ante mis desvaríos. He tenido la bendición y maldición de poder seguir haciendo eso (lo digo porque únicamente una vez he podido componer algo sin usar la computadora). Creo que mi crónica puede concluir igual que como lo hace Moroder.

Once you free your mind about a concept of
harmony and music being correct
you can do whatever you want.
So, nobody told me what to do,
and there was no preconception of what to do.

Y la mejor manera de liberarse de las ataduras es, aunque no lo crean, la Matemática.
P. D.: Por un descuido imperdonable olvidé mencionar a mi gran amigo José Alberto Allec Campos quien, mientras trabajó en la constructura de mi padre, me enseñó la teoría musical básica, como lo es el círculo de quintas y cómo construir las armaduras de las distintas tonalidades, entre otras cosas, y por las que le estaré eternamente agradecido.

¿Para ser como Bill Gates?

No están tan atinados los artículos periodísticos que circulan en la red que aseguran que puede uno leer 200 libros al año. Para empezar, esto lo sacaron de una bitácora de alguien que usa la velocidad máxima de lectura (¡400 palabras por minuto!) de sus datos (que, por cierto, no indica la fuente de los mismos). Según calculo a partir de los datos de un artículo (su muestra es de 32 lectores estudiantes de licenciatura), la velocidad de lectura en palabras por minuto anda por ahí de las 250 palabras por minuto en promedio (en inglés). Usando otro artículo con velocidades de lectura de los que aprenden inglés como segunda lengua, sale un promedio más bajo, pero la desviación estándar anda en lo mismo, de unas 30 palabras por minuto. Según la regla de las dos sigmas, y suponiendo que las velocidades se distribuyen de forma aproximadamente normal, más del 95% de las personas lee con una velocidad entre las 190 y 310 palabras por minuto. (Yo leo unas 240 palabras por minuto en inglés y 361 en español).

Por otro lado, el autor de la bitácora pone como 20000 la longitud promedio de un libro, lo cual es demasiado poco. Usando una infografía que encontré y una muestra hecha por mí mismo, es más seguro que ande un orden de magnitud arriba. Debo añadir que la infografía y mi muestra incluyen libros que vale la pena leer (de autores como James Joyce o Jane Austen, por citar dos casos). Así, 200000 palabras es más realista (la mediana fue de algo mayor a 130000). Asimismo debe recalcarse es que la longitud de los libros seguramente tiene una distribución de Pareto, con parámetro de forma menor a 1 (salió 0.288 con los datos de la infografía, pero hay que considerar que son pocos puntos muestrales), lo que significa que no tiene mucho sentido determinar la media ni desviación estándar de la población. Eso quiere decir que es muy difícil hablar de la longitud típica de un libro o incluso de qué tan desviada de alguna media puede estar: para cualquier conjunto de libros que juzguemos típico, es muy probable que encontremos una cantidad significativa de obras atípicas en su longitud. Dicho esto, un libro de doscientas mil palabras a una velocidad promedio de 250 palabras por minuto requiere unos 800 minutos o poco más de 13 horas para ser leído. Usando las 5 horas que supuestamente "desperdiciamos" en la televisión diariamente apenas nos da para unos 140 libros. Insisto: a velocidad promedio. Usando la regla de las dos sigmas podría ser tan poco como 87 libros y tanto como 170. Esto, sin embargo, todavía cae lejos de los 200 proclamados. Tampoco nos metemos en las honduras de cuánto de eso se asimila; según sé de la investigación al respecto, es necesario leer a cierta velocidad y un vocabulario amplio para asegurar una comprensión fluida. Naturalmente, si no se practica leyendo se está todavía más lejos llegar a consumir las centenas de libros que harían felices a muchos escritores y editores.

Apenas algunas palabras

Francamente me siento muy triste por cómo están progresando los asuntos; es una tristeza exacerbada por la relativa impotencia de un individuo.

Actuando en respuesta análoga a llamados hechos por los activistas estadounidenses (como Michael Moore, por ejemplo, o incluso el mismísimo Barack Obama), le escribí a los encargados de ciertas comisiones en el Congreso de la Unión de mi país para actuar frente al despreciable Donald Trump. Sólo uno me contestó: el presidente de la comisión de asuntos migratorios, lo cual tendré muy en cuenta. Apenas tenga un tiempo y pueda reflexionar suficiente, voy a hablarles por teléfono.

A los demócratas en Estados Unidos se les acusa de ser llorones desconectados de la realidad por parte de sus opositores. La utraderecha ha soslayado la masiva manifestación que lograron convocar en contra de las políticas de su malhadado presidente, alegando que deben actuar, no simplemente marchar. Que por qué no votaron. Pero los recuentos dicen que sí votaron, y mayoritariamente, sólo que no donde era crucial hacerlo, y en mi opinión no era tan fácil calcular cómo debieron distribuirse. Puedo acotar aquí que yo he votado por lo que me interesa y que, hasta ahora, no me arrepiento en lo más mínimo de la dirección en la que lo hice; aunque, por otra parte, las diferencia entre las opciones es realmente muy vaga.

Las reacciones en México son muy semejantes: muchos exclaman que quejarse es fácil pero resolver las cosas no, que hay que tener pantalones (¿y falda, que no?) y arremangarse la camisa. Pero no entiendo cómo vamos a enfrentar a un país con un PIB nominal más de diez veces mayor al nuestro y con una milicia por lo menos cinco veces mayor. Creo que la única manera de aprovechar eso es precisamente que nos resulta más fácil movernos que al mamut estadounidense; el problema es que no hay mucho a donde correr, y menos considerando que lo tenemos de vecino. Además, si Betsy DeVos es elegida como ministra de educación de allá, por fin tendremos la oportunidad de vencerlos en el plano intelectual; ellos estarán entretenidos en su guerra contra los osos grizzly, mientras aquí simplemente tendremos que reforzar la lectura en voz alta y de comprensión. Sin embargo, los obstáculos nacionales para generar una sociedad inteligente son formidables. Además, debemos fijarnos muy bien en no cometer los mismos errores que nuestro vecino.

Ya me fluyen algunas ideas, pero sólo para el largo plazo. Con los boicots contra productos estadounidenses hay que tener cuidado: sería obligado que renunciáramos a las tortillas y a otros productos que requieren maíz (pues también alimenta al ganado), porque a Estados Unidos es a quien se lo compramos en gran cantidad (somos su segundo mejor cliente, después de Japón). Y trabajar sin comer nunca ha sido mi fuerte.

La última del 2016

En este año que termina no me dio tiempo de encontrar el video más visto en Yutub, pero supongo que en México el de cierta persona acompañada de sus progenitores ha de estar entre los primeros lugares.

Por otro lado, me siento realizado porque mis tuits le gustaron a la CNRS, a Nalini Joshi, a Evelyn Lamb, a John Allen Paulos y a Keith Devlin. Igualmente, me causa algo de orgullo haberle causado algo de picazón a la insulsa escritora de un programa de televisión por medio de la aludida red social.

Por último, me pareció interesante leer lo que opina Hawking en el Foro Económico Mundial sobre la automatización de muchos empleos ya no tan simples, como podría serlo cierta clase de periodismo. Sin embargo, creo que las máquinas todavía no hacen un trabajo siempre decente en algo tan mundano como lavar la ropa, y como hasta donde tengo noticia todavía no suben escaleras, no me siento tan agobiado.

Y pues, ¡feliz 2017!

Más vale paso que dure... (3)

Prometí anteriormente que hablaría del empeño que mostraron los antiguos pobladores de Mitla en la construcción de lo que ahora está en ruinas, y que es comparable tanto con el de los que erigieron Monte Albán o el de unas hormigas que fascinaron a Evelyn Lamb durante su visita a Oaxaca.

Pues bien: el trabajo primoroso de los frisos realmente requeriría un tesón poco visto en los métodos constructivos modernos. Las piedras que utilizaban en el sitio venían de relativamente lejos (hasta unos $7$ kilómetros de distancia, entre montes y serranías, según un trabajo ya algo antiguo pero excelente de 1992 de Nelly Robles García), de canteras donde eran removidos enormes bloques (¡de $3.1\times 1.38 \times 0.85$ metros cúbicos, por ejemplo!) del que seguramente se separaban fragmentos; estos eran tallados hasta darles las formas de cuadriláteros o relieves curveados que servían de unidades para los frisos.

Todo esto se hacía usando otras piedras como herramientas, que no instrumentos de metal, y hasta donde tengo noticia realmente no se conocen los métodos que usaban para separar los trozos gigantes; se piensa que se hacían perforaciones en la matriz de roca para ser rellenadas con palos y que, al humedecerse, ejercían suficiente presión como para fracturar el material. Ni siquiera me atrevo a imaginar la cantidad de paciencia que se necesitaba para esto, pues restaría todavía trasladar el resultado hasta el sitio de la obra. Según Robles García, no faltaba la ocasión en que la bendita piedra se quebraba en el traslado, y había que comenzar de nuevo.

En la siguiente figura pueden ver cómo, desde mi punto de vista, podría ensamblarse el friso de la fotografía, donde los números indican el orden de "inserción" en marco del friso.

Por la prisa no pude reproducirlo exacto, pero se entiende que la parte azul de los rectángulos grandes tiene el zigzag grabado en relieve, pero que forman una sola unidad. El módulo que se repite consta de $8$ piezas, y según vemos en la fotografía se requerían unas $48$ repeticiones para completarlo.

Suponiendo que tomara unos diez minutos hacer una unidad, resulta un jornal de $8$ horas para completar un cuadro con frisos. Según estimo por el número de edificios de cada grupo de Mitla y el número de frisos por pared, hay del orden $1\times 10^{2}$ cuadros (sin contar los que posiblemente no han sobrevivido hasta nuestros días), por lo que tomaría no menos de unos tres meses de trabajo diario de una sola persona llevarlos a cabo. Y esto cuando ya se han colocado todos los cimientos y se tienen talladas todas las piezas, lo que con seguridad añadiría varios años más a la duración de la obra.

Decorando el árbol navideño

No soy particularmente afecto a los adornos decembrinos, pero Ange y mi hija sí. Conseguir el árbol se hizo imperioso, que afortunadamente consintieron en que fuera de plástico.

¿Y qué tan larga se necesita la serie para que se vea bien?

Si se aproxima con una espiral cónica, con ecuaciones paramétricas \[ x = \frac{tr}{h}\cos(ah), y = \frac{tr}{h}\sin(ah), z = t/h \] donde $a$ es la frecuencia angular, $h$ es la altura del árbol y $r$ es el radio en la base, de modo que conforme $t$ va de $0$ a $h$ se recorre todo el cono, la longitud de la curva es \[ s(t) = \frac{h((\tfrac{r}{h})^{2}+1)}{2ar}\mathrm{arcsinh}\left(\frac{art}{h\sqrt{(\tfrac{r}{h})^{2}+1}}\right)+\frac{t}{2}\sqrt{(\tfrac{r}{h})^{2}(a^{2}t^{2}+1)+1}. \]

Para nuestro caso, la altura es $h=1{.}6$ y el radio en la base es aproximadamente $r=0{.}5$. Yo quería que diera $6$ vueltas, así que deberíamos tener $a=6\cdot 2\pi = 12\pi$, lo que requeriría unos $15{.}27$ metros.

Pero no resultaría muy práctico, pues si he observado bien el espaciamiento promedio entre los focos, tendríamos que conseguir una serie de unas $600$ o $700$ luces, que no hemos visto por acá en Huajuapan.

Ange consiguió una de $300$ luces, que equivale a unos $7{.}5$ metros, ¿cuántas vueltas le daría? Usando la gráfica de la función de longitud en términos de $a$, resulta un valor algo así como $ a \approx 18 \approx 2.86(2\pi)$, o sea un poco menos de tres vueltas (y es que la gráfica se ve muy lineal después de que la espiral da una vuelta). Dado que el árbol se ensambla de tres módulos, pues no se ve tan mal; al menos, Ximenita quedó complacida.

Mi encuentro personal con el teorema del valor intermedio

Una temporada Ange y mis hijas estuvieron en San Antonino mientras yo seguía trabajando en la Universidad de la Cañada. Varios fines de semana hice el viaje entre Oaxaca de Juárez y Teotitlán, y en un promedio con una desviación estándar muy pequeña (menor a los diez minutos), me tomaba tres horas completarlo.

Para no dormirme mientras manejaba, hice una lista de reproducción musical en mi celular, con la duración apropiada. Inevitablemente, tuve un déjà vu: pasaba por el mismo punto de la carretera (cerca de Nacaltepec) escuchando exactamente la misma canción. Y cuando digo canción, es porque lo es: "Right here, right now", interpretada por Giorgio Moroder y Kylie Minogue, del álbum "Déjà vu" del compositor (!).

¡Por supuesto! Si $t_{1}:[0,1]\to [0:3]$ es el instante $t_{1}$ de mi lista de reproducción que iba escuchando al pasar por el punto $x$ (donde el $0$ está en Oaxaca y el $1$ está en Teotitlán) sobre la carretera durante la ida, y $t_{2}(x)$ es lo análogo pero de regreso, podemos definir \[ f(x) = t_{1}(x)-t_{2}(x) \] y entonces \[ f(0) = t_{1}(0)-t_{2}(0) = 0-3 = -3, f(1) = t_{1}(1)-t_{2}(1) = 3-0 = 3 \] pues con $t_{2}$, cuando llego a Oaxaca desde Teotitlán, ya he escuchado toda la lista, lo mismo que con $t_{1}$ al llegar a Teotitlán. Puesto que no me teletransporto ni salto elementos de la lista de reproducción, tanto $t_{1}$ como $t_{2}$ son continuas y por lo tanto $f$ también. Por el teorema del valor intermedio, se sigue que existe un punto $\xi$ sobre la carretera tal que $f(\xi) =0$, esto es \[ 0 = t_{1}(\xi)-t_{2}(\xi) \] o sea $t_{1}(\xi) = t_{2}(\xi)$.

Vale señalar que no importa entonces si hago algunas paradas en el viaje, o si realizo diferentes patrones de aceleración y frenado, siempre que idas y vueltas tomen el mismo tiempo. Aunque eso sí va a afectar a cuál momento de mi lista le toca la coincidencia.

Naturalmente, esto es una variación del tema del monje que sube y baja la montaña y pasa por el mismo lugar a la misma hora, pero midiendo el tiempo con música en lugar de con un puro pulso de reloj, lo que probablemente aumenta el dramatismo de la situación. Además, aquí pusimos al tiempo en función de la posición, y no al revés, como tal vez sea más intuitivo para el monje; pero no para mí, porque el viaje podía ser oportuno a diferentes horas del día. Algo me dice que de manera semejante se le ocurrió a alguien ese ejemplo.

Del anecdotario (III)

La primera "estancia profesional" cuando estudiaba Matemática en la UTM la hice en el Cimat, bajo la tutela de la maestra Helga Fetter Nathansky, en 2004. En una ocasión, no podía yo con algo elemental del álgebra lineal.

— ¿Cómo es que no te sale? Es trivial. —Sentenció ella en su tono severo.
— Para mí no lo es.
— Está bien. Ponle una letra al escalar, la que tú quieras.
— $\zeta$ —escribí, mientras se acercaba al pizarrón la maestra.
— ¿Por qué una letra tan difícil? ¡No la puedo dibujar!

:-D

¡¿Algunos temas?!

Recientemente apareció una reseña en la página de la UTM sobre el desarrollo del Segundo Congreso Internacional sobre Modelación Matemática. Escribo esto para declarar que no me gustó lo que escribieron sobre mi plática plenaria:

Finalmente se tuvo la última sesión plenaria la cual fue dictada por el Dr. Octavio Alberto Agustín Aquino, en la que habló acerca de la matemática y su papel en la creación de la música. Su plática fue acompañada por la interpretación de algunos temas con el uso de la guitarra.

Primeramente, no hablé de la matemática en general y después de cómo se usa para hacer música ¡en lo absoluto! Si por lo menos hubieran leído el resumen de mi ponencia, sabrían que me ocupé específicamente del contrapunto y el modelo de Guerino Mazzola para hacer análisis del de la primera especie, y cómo eso se puede extender al contrapunto doble. Además, no "acompañé" mi plática con interpretaciones de "algunos temas", sino que específicamente ilustré aspectos con los que, por experiencia, se que muchas personas no están familiarizados. Más concretamente: toqué íntegro un pequeño estudio de Fernando Sor (por que tiene partes en contrapunto de la primera especie), y un fragmento del "Hortus Musicus" de Johann Adam Reincken (porque la fuga tiene contrapunto doble), lo cual, con todo respeto, son mucho más que unos simples "temas".

Es verdad que dije que algunos mundos de contrapunto se han encontrado en la música hindú, de la pianista Joomi Park y del compositor Alexander Scriabin, y que me gustaría componer una fuga usando lo que salga para contrapunto doble, pero eso estuvo muy lejos de ser el tema central de mi plática.

Del anecdotario (II)

En 2005 hice mi estancia profesional en la sucursal de Morelia del Instituto de Matemáticas de la Unam. Ange y yo solicitamos trabajar con el Dr. Moubariz Garaev, y resultó toda una experiencia; principalmente para Angélica, que aprendió sobre sumas trigonométricas. Yo estuve estudiando la demostración del teorema de los números primos, lo cual fue edificante, pero no tanto como los intrigantes métodos de Vinogradov.

Hubo un momento en que no podía encontrar el orden asintótico de cierta suma, y se lo expuse dos veces a Garaev para que lo verificara. A la tercera e infructuosa vez, me dijo algo así como:

— Si lo puedes hacer, házlo, y no estés dando vueltas.

A lo que contesté:

— Creo que sí puedo, pero yo siento que...
— Tú eres estudiante de matemática, no de literatura, los sentimientos no tienen nada que ver. Si lo puedes demostrar demuéstralo, y si no vuelve hasta que puedas.

Lo bueno es que la cuarta fue la vencida.

:(

Der Teufel ist ein Optimist

En Acatlima, Huajuapan de León, Oaxaca, ahora hay una panadería (que se hubiera apreciado mucho existiera en mis tiempos de estudiante). Puesto que cumplió aniversario de existencia, hubo música, atole, pastel y baile. Más específicamente, el baile de los diablos de Juxtlahuaca.

En eso estaban cuando llegamos mi hija y yo a comprar pan, y ella exclama: "¡Mira papá, el Diablo de los Números y Robert!". Le estoy leyendo el maravilloso libro de Hans Magnus Enzensberger, y la verdad me hizo mi día al reconocerlos en su disfraz oaxaqueño. Agregó: "Aunque esa máscara de Robert no me habías dicho que la tenía".

:D

Suertudo por décima vez

Cumplo un tanto ajetreado los 33 años, que es el décimo número suertudo. Un número se dice suertudo si sobrevive a un proceso de cribaje análogo al de los primos, pero simplemente por orden y no por divisibilidad. Es decir: primero elimino a cada segundo número, y me quedan $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,\ldots$; luego remuevo cada tercer número, y permanecen $1, 3, 7, 9, 13, 15, 19,\ldots$, y así sucesivamente. Este tipo de números comparten muchas propiedades de los primos; por ejemplo, se cumple que si $l_{n}$ es el $n$-ésimo número suertudo, entonces $l_{n}\sim n\log(n)$. Con suerte seré suertudo por undécima vez.

El pastel para esta ocasión es un toro (debía ser redondo y reticulado, pero algo diferente entendió la pastelera), y si se divide en $16$ cuadros, resulta que hay $33$ formas de colorear de negro cuatro cuadritos (y el resto de blanco) descontando simetrías. Para ver por qué, usando GAP se puede calcular que el grupo de simetrías de simetrías del toro cuadriculado es de orden $128$, los índices de ciclos de cada una de las simetrías, y finalmente determinar que el polinomio de índices de ciclos es \[ p(x) = \frac{1}{128}(16x_{8}^{2}+52x_{4}^{4}+16x_{1}^{2}x_{2}x_{4}^{3}+27x_{2}^{8}+12x_{1}^{4}x_{2}^{6}+4x_{1}^{8}x_{2}^{4}+x_{1}^{16}). \] Sustituyendo $x_{1}=1+y$, $x_{2}=1+y^{2}$, $x_{4}=1+y^{4}$, $x_{8}=1+y^{8}$ y simplificando con la ayuda de Maxima, nos da \[ q(y) = y^{16}+y^{15}+5y^{14}+10y^{13}+33y^{12}+53y^{11}+101y^{10}+122y^{9}+153y^{8} \] \[ +122y^{7}+101y^{6}+53y^{5}+33y^{4}+10y^{3}+5y^{2}+y+1. \] Como ven, el coeficiente de $y^{4}$ (y el de $y^{12}$, por supuesto, pues los colores se pueden intercambiar), es $33$. Esto lo supe examinando la sucesión A093466 de la OEIS. :D

Esas coloraciones en general les llaman cuasicuatrominós, e incluyen a los cinco tetrominós, que son posiblemente el caso particular más famoso de los poliominós tan favoritos de Golomb. No sabía que no pueden embaldosar un rectángulo de $5\times 4 = 20$ cuadros, pero sí uno de $5\times 8$ o $4\times 10$ si se usan dos juegos. :D

P. D. 1: ¿Por qué chingados Corea del Norte realiza ensayos nucleares en mi cumpleaños, pues? >:[