Práctico cuadrado triangular (!)

Pues sí llegué a práctico por catorceava vez. A triangular, por novena vez. Y a cuadrado, por séptima vez (el cero, para mí, sí es natural). Me parece que no es tan común tener las tres propiedades al mismo tiempo. Con las listas de la OEIS calculo que los primeros números triangulares y prácticos son \[ 1,6,28,36,66,78,120,210,\ldots. \] Ahora bien: por un teorema de Euler, todos los números perfectos pares son de la forma \[ \frac{2^{n}(2^{n}-1)}{2}, \] así que también son triangulares, lo mismo que prácticos. La lista de los triangulares prácticos no aparece en la OEIS pero no sé si sea de suficiente interés. Resulta que Euler también (¡quién más!) determinó una fórmula para los números triangulares cuadrados \[ N_{k} = \left(\frac{(3+2\sqrt{2})^{k}-(3-2\sqrt{2})^{k}}{4\sqrt{2}}\right)^{2} \] y por ella sospecho que es difícil que haya otro cuadrado triangular práctico, pero no lo sé. He hecho una búsqueda rápida en la literatura pero he encontrado nada hasta ahora. Seguro JHS me sacará de mi ignorancia en cualquier momento... [En efecto, resulta que hay algunos más; echen un ojo a los comentarios].

Para el pastel pedí una decoración de una trenza lemniscática. De hecho, para el monoide generado por $\Sigma = \{\sigma_{1},\ldots,\sigma_{7}\}$ con las relaciones \[ \sigma_{i}\sigma_{j} = \sigma_{j}\sigma_{i},\quad \text{para } |i-j|\geq 2 \] y \[ \sigma_{i}\sigma_{i+1}\sigma_{i} = \sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1}\quad\text{para }1\leq i\leq n-1, \] que es el llamado monoide positivo de trenza de $8$ hebras, resulta (según a OEIS) que hay exactamente $36$ palabras de longitud $3$.

Seis artículos seis

Como regalo de cumpleaños adelantado recibo la noticia de que mi artículo "Modulation in tetradic harmony and its role in jazz", escrito conjuntamente con mi mentor y colega el doctor Guerino Mazzola, por fin fue publicado en el Journal of Mathematics and Music. Resultó también muy adecuado para el dichoso "reto de los diez años", pues dista casi exactamente una década de la publicación de mi primer artículo, en la misma revista.

Este es el primer trabajo que desarrollo completamente trabajando en la Universidad Tecnológica de la Mixteca, lo cual añade alegría a su salida a la luz. Sin embargo, otra vez tuvo sus complicaciones, pues es la primera vez que tengo que superar cuatro rondas de revisión. También aprovecho para agradecer nuevamente a la Unión Matemática Internacional por su apoyo por medio de su Abel Visiting Scholar Program para realizar la estancia en Estados Unidos, hace un año, para completar este trabajo.

Enhorabuena y ¡venga el séptimo! :-D

Bajarte la Luna

Desde hace más de un mes que quiero escribir esta entrada, porque debiera haberla publicado como celebración de la llegada de la humanidad a la Luna.

La cuestión es que las teorías de conspiración sobre el tema gozan de notable buena salud en pleno siglo XXI. Si bien hay una lista bastante grande de confirmaciones independientes de que el viaje de Armstrong, Collins y Aldrin ocurrió como está documentado en audio, fotografías, video y mediciones científicas, esto no es impedimiento para que gente inteligente que conozco manifieste dudas de su veracidad.

En México es particularmente punzante este tema pues en el museo Universum de la UNAM hay muestras de rocas lunares traídas por los astronautas de las misiones Apollo, lo que debiera despejar cualquier sombra de duda. No es tan fácil, sin embargo, porque a fin de cuentas se puede argumentar que tales muestras podrían haber sido colectadas de forma robótica o simplemente halladas en la Tierra, sin mencionar que en sí podrían ser falsas.

Esto nos coloca en una complicada situación epistemológica que tal vez solo podría resolverse viajando hasta el Mar de la Tranquilidad en la Luna, mirar en persona el módulo lunar y recuperar evidencias de que alguna tripulación lo alunizó ahí en 1969. Puede que no sea una actitud del todo ridícula. Yo jamás he mirado un electrón, un neutrón ni un protón, y ejecutar los experimentos de Thomson, o los de Rutherford-Geiger-Marsden, o los de Chadwick, está fuera de mi alcance. Sin embargo, puedo observar otros fenómenos macroscópicos que se explican bastante bien si se acepta que tales partículas existen, como la sensación al jugar con una caja de toques, la acidez estomacal o el funcionamiento de los detectores de humo. Y por supuesto que este tipo de dudas son sanas para la ciencia, pero que no pueden rayar en la locura de un escepticismo absoluto ni desechar gratuitamente a la deducción lógica, la argumentación matemática y la evidencia indirecta.

El que haya dos piedras lunares en México es responsabilidad directa de Gerardo Suárez Reynoso y Jorge Flores Valdés, que lograron que la NASA se las prestara a la UNAM en 1994. Una fue obtenida por el mismísimo Neil Armstrong en la misión del Apollo 11 y pesa 185 gramos. La otra, por Harrison Schmitt en la misión del Apollo 17 de 1972; es de 24 gramos y se puede tocar.

Ahora bien: hay tres maneras independientes de validar las muestras lunares. Por un lado, está el material recolectado por las misiones tripuladas estadounidenses; por otro, los meteoritos que se han encontrado en la Antártica y, finalmente, las muestras de las misiones robóticas soviéticas. En los tres casos se han examinado y coincidido en sus características en generales, y en particular delatan composiciones y edades semejantes.

La cuestión enseguida es que hay que ser especialista en mineralogía para verificar todo hasta el último detalle, y aquí sigo a un excelente artículo de Paul D. Lowman para lo más general. Lo primero es que la composición de las rocas lunares es consistente con una ausencia de agua, pues ésta altera significativamente a los minerales en la Tierra casi de inmediato. En segundo lugar, una ausencia de oxidación, y que es básicamente por lo cual la Luna se mira tan gris en comparación con los cafés, amarillos y rojos presentes en la Tierra. De hecho, Harrison Schmitt recogió una muestra de suelo naranja en la Luna porque es geólogo y le llamó la atención un color tan peculiar en medio de la grisura lunar (y que resultó que no era por oxidación, por cierto). En tercer lugar, la mayor parte de las rocas traídas por los astronautas son brechas, esto es, una especie de roca que parece como un panqué con pasas. Estas se forman fácilmente durante los impactos como los que han ocurrido en la Luna, donde se forma magma y quedan “atrapadas” en él otras piedras al irse solidificando, y que son algo más raras en la Tierra. En cuarto lugar, y como dice un sitio muy detallado pero muy técnico sobre el tema, las rocas lunares contienen gases conformados de proporciones de isótopos que no hay en la Tierra, sin mencionar que tienen edades de cristalización que son más antiguas que cualesquiera de las conocidas en nuestro planeta.

En fin, esto es lo que puedo explicar someramente, y que son argumentos totalmente convincentes desde mi punto de vista. Además, he estado en el Universum y visto con mis propios ojos las rocas lunares; les recomiendo hacer lo mismo. Para mí, pues, este asunto está zanjado, aunque creo que difícilmente rechazaría la oferta de visitar la Luna para cerrar cualquier resquicio escéptico que persistiera en mi cabeza.

Miliarios de la escuela

Platicaba recientemente con un alumno y le comentaba que ya había hecho recuentos de lo que más huella había dejado en mi memoria mi instrucción primaria y de licenciatura, y me surgió la inquietud de extender este ejercicio a los demás grados. He aquí la lista.

• Preescolar
  • A recortar.
  • A pegar bolitas de papel en un dibujo de un borrego, usando el pegamento que vertían en una corcholata.
  • A convertir un fruto de jacaranda en una rana.
  • Que hay niños que te agarran a golpes en bola, los muy cobardes.
• Secundaria
  • Los rudimentos del álgebra explicados con una balanza.
  • La clasificación de las nubes.
  • El principio de la palanca de Arquímedes.
  • El mechero de Bunsen y su uso.
  • La deducción de la fórmula cuadrática (si $ax^{2}+bx+c=0$, entonces $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$).
  • El teorema de Tales (el de la canción de Les Luthiers, aunque sobre ellos supe mucho más tarde).
  • Parénquima, colénquima y esclerénquima.
  • La nefasta existencia de las Hitlerjugend.
  • La música de Django Reinhart.
  • Los detalles de la Guerra de Secesión estadounidense.
  • Leí El laberinto de la soledad.
  • Leí El mundo de Sofía y me empecé a interesar seriamente en la filosofía. Me llamaron especialmente la atención la mayéutica socrática y el principio de "más vale padecer una injusticia que cometerla", las ideas de Heráclito y Parménides, y el cogito cartesiano. La "revolución copernicana" de Kant. La náusea sartreana.
  • Que el maestro de educación física me odiaba. Pero también lo básico para jugar futbol, volleyball y básquetbol, aunque nunca pude jugarlos bien. También darle muchas vueltas a la cancha de futbol hasta que se me saliera el cuajo.
• Bachillerato
  • Las identidades trigonométricas. Especialmente, la pitagórica ($\sin(x)^{2}+\cos(x)^{2} = 1$).
  • El teorema fundamental del álgebra.
  • La división sintética.
  • La física básica: desde las leyes de Newton (aunque nunca me he aprendido el orden) hasta la difracción de la luz en películas delgadas, pasando por las leyes de los circuitos eléctricos y el principio de flotación de Arquímedes.
  • La pirámide de aufbau y por qué se llama así.
  • El romance de Abenámar.
  • Las teorías de Émile Durkheim y Max Weber.
  • La silogística aristotélica.
  • Qué significa "c. b. p." en los medicamentos.
  • Las soluciones amortiguadoras y su relación con la fórmula cuadrática.
  • Los orbitales atómicos y su relación con la formación de enlaces químicos.
  • Alcanos, alquenos y alquinos.
  • Qué es la titulación (en química) y a usar una bureta para realizarla.
  • La importancia de los terpenos.
  • El cálculo infinitesimal básico. O, al menos, eso creí hasta empezar la licenciatura.
  • La geometría analítica. Especialmente, qué cosa es el latus rectum (mi profesora se enojaba que lo dijera en latín).
  • Los grabados de M. C. Escher.
  • La literatura de Jorge Luis Borges.
  • ¡Que es posible estudiar solamente matemática!
• Maestría
  • La Hauptvermutung de Steinitz y Tietze.
  • El nervio de una cubierta abierta.
  • Los complejos CW.
  • Los espacios de Eilenberg-Maclane.
  • Las suspensiones y su adjunción con el espacio de lazos.
  • El teorema de Hurewicz.
  • El bordismo y el cobordismo.
  • A resolver el problema de Basilea usando integración compleja.
  • La topología de Zariski.
  • La conjetura del jacobiano.
  • El Nullstellensatz de Hilbert. El truco de Rabinowtisch, en particular.
  • Las propiedades de los anillos noetherianos.
  • La dimensión de Krull.
  • El lema de Hensel.
  • Que es posible peinar una esfera de modo que tenga exactamente un remolino.
  • El teorema de Sard.
  • Los grafos de Cayley.
  • Los conos y los límites en teoría de categorías.
  • El lema de Yoneda.
  • La importancia de las pregavillas (o sea, de los funtores contravariantes hacia la categoría de conjuntos).
• Doctorado. Durante el doctorado no llevé curso alguno, pues me enfoqué en mi tesis. Pero aprendí lo siguiente.
  • El poder de la heurística de imponer un orden parcial en una estructura y buscar los elementos mínimos.
  • Entendí mejor el teorema de Seifert-van Kampen y la teoría de espacios cubrientes.
  • A mejorar la intuición de cuándo un enunciado matemático es verdadero y perseverar para encontrar su demostración.
  • Que hay que tener mucha paciencia con los editores y árbitros de una revista.

Adenda (12/07/19). Para fines de completitud, aquí están las listas (con algunas adiciones menores) de lo de primaria y licenciatura.

• Primaria
  • A escribir. Con letra muy fea, pero no es culpa de la maestra.
  • A leer y a comprender.
  • La aritmética básica pese a mi dificultad con ella, incluyendo la de los números racionales.
  • La geometría elemental de las construcciones de Euclides.
  • Las fórmulas para las áreas y perímetros básicos, lo mismo que de cuerpos tridimensionales sencillos.
  • Las capitales de todos los países (aún si con fronteras de algunas décadas de edad) y otros datos geográficos básicos.
  • Los axiomas de los campos ordenados (aunque no los llamaba así mi maestra de sexto).
  • Relaciones de proporcionalidad directa e inversa.
• Licenciatura
  • Las demostraciones por vacuidad.
  • La noción de que la derivada es el “coeficiente” de la mejor aproximación lineal a una función en un punto.
  • La constante de Euler-Mascheroni.
  • Los autovalores y la forma canónica de Jordan.
  • Las ideas centrales de la topología algebraica (en particular, el cálculo de grupos de homología y el lema de Barratt-Whitehead).
  • El teorema de Euler relativo a los ciclos que llevan su nombre en la teoría de grafos.
  • La teoría de Fourier que se usa para resolver la ecuación hiperbólica en derivadas parciales.
  • El teorema del límite central.
  • Los estimadores de máxima verosimilitud.
  • El teorema de inclusión y exclusión.
  • La dualidad en programas lineales.
  • Que todo dominio entero finito es un cuerpo.
  • Que un ideal de un anillo es máximo si, y sólo si, el cociente respecto a él es un cuerpo.
  • Cómo obtener soluciones de ecuaciones diferenciales usando series de potencias (en particular, cómo esto conduce a las funciones de Bessel).
  • Las aplicaciones conformes (en particular, la transformación de Schwarz-Christoffel).
  • La fórmula integral de Cauchy.
  • La desigualdad de Cauchy-Schwarz.
  • El algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor.
  • A escribir demostraciones con un discurso y no solamente acumulando revolturas de frases con símbolos taquigráficos.

Demostración de la fórmula de Fàa di Bruno

Vale, pues voy a seguir muy de cerca a (Johnson, 2002) aquí. Cada partición de $\{0,\ldots, m\}$ se puede obtener de forma única al pegar a $m$ a alguna partición de $\{0,\ldots, m-1\}$, y hay de dos sopas:

1. Se agrega como un nuevo bloque $\{m\}$, y así se incrementa el número de bloques en una unidad respecto a la partición inicial. Esto corresponde a derivar a $g^{(k)}(f(t))$ con respecto a $t$ para obtener $g^{(k+1)}(f(t))f'(t)$.
2. Se elige uno de los bloques de la partición y se le agrega $m$. Digamos que la cardinalidad del bloque es $i$; entonces el número de bloques de cardinalidad $i$ se reduce en una unidad, y el número de bloques de cardinalidad $i+1$ aumenta en $1$. Aún así, el número total de bloques permanece igual. Esto corresponde a derivar a $(f^{(i)}(t))^{b_{i}}$ respecto a $t$ para obtener $b_{i}(f^{(i)}(t))^{b_{i}-1}f^{(i+1)}(t)$, donde $b_{i}$ es el número de bloques de tamaño $i$.

Por ejemplo, recordemos que $g'(f(t))f''(t)$ está asociado al bloque $\{0,1\}$, y al derivar respecto a $t$ obtenemos \[ g''(f(t))f'(t)f''(t)+g'(f(t))f'''(t), \] cuyos sumandos están asociados, respectivamente, a $\{\{2\},\{0,1\}\}$ (un bloque de cardinalidad $1$ y un bloque de cardinalidad $2$) y $\{0,1,2\}$ (un solo bloque de cardinalidad $3$). Naturalmente, van saliendo más sumandos que toman en cuenta todas las particiones posibles cuando se realizan todos los detalles de la derivación.

Y no se da una vanidad en vano...

Escribí esto para la ceremonia de entrega de unos reconocimientos de mejores promedios y campeones de una olimpiada de lógica, y que les dejo por si les interesa. Al final me decidí por otras palabras que no hacen justicia a mi sentir pero que, espero sinceramente, me hicieron ver menos odioso ante los demás.

La matemática es tan vasta que, para avanzar nuestro conocimiento, se necesitan a muchas personas para lograrlo. No solamente porque cada vez es más titánica esta tarea, sino porque para abrir brecha se necesitan enfoques creativos que, muy difícilmente, pueden salir de un solo grupo reducido de personas. Todos aquellos que tienen interés en la matemática son necesarios.

Para ejemplo, me viene primero a la mente el reverendo Thomas Bayes, que publicó nada en vida bajo su nombre, pero que su descubrimiento en probabilidad es vital para varios campos y en particular para algo tan contemporáneo como la inteligencia artificial. Mucho menos hay que olvidar a Richard Price, que fue quien reconoció la importancia de los escritos de Bayes y los preparó para su publicación.

Uno más que creo que vale la pena nombrar es a Christian Goldbach, que fue amigo de Euler y que es famoso por la conjetura que lleva su nombre, la cual ha sido campo fértil para nueva y fascinante matemática. Tal conjetura fue planteada de forma epistolar (como una conversación, pues) y se dice que fuera de ello Goldbach contribuyó con muy poco original a la matemática. Estoy en total desacuerdo, y creo que es evidente la razón.

Tanto Bayes como Goldbach probablemente no figurarían en "el cuadro de honor", pues distarían grandemente y por volumen de gigantes como Karl Pearson o Leonhard Euler. Pero es gracias a las contribuciones colectivas que la matemática es la ciencia viva de hoy día. Es por ello que conmino principalmente a aquellos que en el día a día luchan por comprender los arcanos de nuestra ciencia y apenas consiguen aprobar sus exámenes a no cejar y, muy por el contrario, redoblar esfuerzos, para que en un futuro cercano logremos comprender lo que hoy es inaccesible.

Cierro con un último ejemplo. Reconocemos, sin duda, el tesón y brillantez de Andrew Wiles para conseguir demostrar la última conjetura de Fermat, pero no debemos olvidar que su obra se levantó sobre los cimientos que colocaron Frey, Hensel, Kummer, Langlands, Ribet, Shimura, Taniyama, Tunnell, Weil y tantos otros, y de los cuales no me habría enterado con justicia si no fuera por el primoroso y diáfano detalle con el que escribió un artículo de divulgación Fernando Q. Gouvêa. A todos ellos, por lo menos yo, les agradezco de todo corazón su esfuerzo, lo mismo que a ustedes, alumnos que diariamente luchan contra sus demonios cartesianos. Enhorabuena.

P. D. (09/05/19): Recordé haber leído que los grupos grandes de investigación tienen precisamente el problema de que no son muy creativos. Y tiene sentido, precisamente por los problemas de comunicación que ello entraña. Sin embargo, creo que se mantiene mi punto porque yo observo que la "crema y nata" jala a más "crema y nata" aunque sea en grupos pequeños de investigación, y en esa retroalimentación simplemente se perpetúan ciertos temas favoritos. Comprendo ahora un poco mejor a Grothendieck cuando hablaba sobre el valor "de estar solo": no es en sí en la cuestión de estar aislado, sino en tratar de no prolongar líneas de pensamiento simplemente por congraciarse con los demás.

¡Santa matemática, Batman!

El 27 de marzo inició la tercera temporada del "Seminario de la Pizza" en la UTM, y se cumplía un aniversario de la muerte del matemático sardo Francesco Faà di Bruno, por lo que se me hizo una buena idea hablar de su vida y la fórmula que lleva su nombre. Sin embargo, debido a los imprevistos, no pude hacerlo, y por eso escribo esta entrada.

La vida de Faà di Bruno es particularmente interesante para algunos porque es lo más cerca que hay de un santo matemático: fue beatificado por Juan Pablo II en el centenario de su muerte.

Como saben, a mí me viene guango en sí que Faà di Bruno sea un beato y que le puedan rezar si quieren, pero pienso que algo de ese vaticano reconocimiento le es merecido en cuanto que su vida fue muy piadosa. Yo la veo en muchos sentidos como representativa de los matemáticos que no alcanzan una fama equiparable a la de Arquímedes, Euler o Gauss.

Lo primero que hay que aclarar es que el país donde nació Faà di Bruno, el reino de Cerdeña, tiene rato de no existir, pues fue absorbido por Italia durante la reunificación de esta última. Además, mucha de su educación y labor profesional la hizo en Francia, por lo que es inexacto adjudicarle una nacionalidad (aunque alcanzo a morir ya italiano).

Venía de una familia noble y acomodada, pero su madre murió cuando tenía nueve años. Al principio su destino se enfilaba hacia las armas: se matriculó en 1840 en la Real Academia Militar de Turín y le tocó defender en marzo de 1849 a su patria de las tropas austriacas. Justamente las experiencias durante la guerra le hicieron abandonar la milicia.

Viajó en 1850 a París para estudiar en La Sorbona con Augustin-Louis Cauchy, a quien admiraba no solo como matemático sino también como hombre de fe; además, fue colega de Charles Hermite y se hicieron amigos. Asimismo, visitaba la parroquia de San Sulpicio (que, para desgracia de la misma, hiciera famosa la novela "El código da Vinci") y trataba de ayudar a los pobres.

En 1851 se "licenció" en ciencia y regresó a su país, pero la situación era turbulenta y anticlerical, por lo que no consiguió trabajo. En el Observatorio de Turín le prometieron un puesto si se especializaba en astronomía y cumplió su parte con creces, pues estudió mecánica celeste con nada más ni nada menos que Urbain Le Verrier (el descubridor del planeta Neptuno), siguió haciendo investigación matemática bajo el auspicio de Cauchy y presentó en 1856 no una, sino dos tesis: una de matemática sobre la teoría de la eliminación y otra sobre "el desarrollo de la función de perturbación y las coordenadas de un planeta en su movimiento elíptico". Fueron defendidas ante el mismo Cauchy, Gabriel Lamé y Charles-Eugène Delaunay (que no debe confundirse con el Delaunay de las triangulaciones), todos ellos nombres inscritos en la torre Eiffel, al igual que Le Verrier.

En 1857 se le permitió dar cursos de matemática, física y astronomía en la Universidad de Turín, pero hasta 1860 consiguió un puesto como suplente del titular de la cátedra de Análisis Superior. Sin embargo, nunca lo promovieron a profesor de tiempo completo.

En Turín se dedicó en general a las obras de caridad y diseñó él mismo buena parte de la iglesia de Nostra Signora del Suffragio entre 1866 y 1869. Eso no le impidió seguir realizando investigación matemática, y en particular en 1876 publicó el libro "Théorie des formes binaires" que recibió una buena reseña de Paul Gordan y fue traducido al alemán por Max Noether en 1881.

Los católicos, muy gustosos de ciertas numerologías sagradas, listan catorce obras de misericordia: siete corporales y siete espirituales. Según las biografías que he leído, Faà di Bruno se distinguió en las siguientes, que poco tienen que ver realmente con creer en alguna deidad: visitar a los enfermos, dar de comer al hambriento, dar de beber al sediento, enseñar al que no sabe, dar buen consejo al que lo necesita y sufrir con paciencia los defectos del prójimo. En suma, tenemos evidencia de que era una buena persona.

Por lo que hemos visto, además, Faà di Bruno fue un militar capaz (llegó al grado de capitán) y patriota; fue un académico brillante aún si no fuera particularmente original. Fue instruido y evaluado por los mejores maestros de su época y escribió libros que fueron bien recibidos. Me parece, pues, que tuvo una vida ejemplar y que merece mucho ser recordada aunque solo fuera por una fórmula que no descubrió (pero de la que sí encontró una expresión original), y que discutiremos a continuación.

La fórmula de Faà di Bruno nos dice cómo calcular la $n$-ésima derivada de una composición \[ \frac{d^{n}}{dx^{n}}(g\circ f)(x). \] Para entenderla, me parece óptimo seguir la exposición de Warren P. Johnson y que le atribuye la siguiente interpretación combinatoria a Riordan.

Recordemos que una partición de un conjunto de $n>0$ elementos es un conjunto de sus subconjuntos tal que ninguno es vacío, son disjuntos dos a dos y su unión recupera al conjunto. A cada elemento de una partición se le llama bloque. Por ejemplo, un conjunto singular solo tiene una partición; un $2$-conjunto como $\{0,1\}$ tiene $2$ particiones, una de un bloque y una de dos a saber: $\{\{0,1\}\}$ y $\{\{0\},\{1\}\}$; un $3$-conjunto como $\{0,1,2\}$ tiene cinco particiones \[ \{\{0,1,2\}\},\{\{0,1\},\{2\}\}, \{\{0,2\},\{1\}\},\{\{1,2\},\{0\}\}, \{\{0\},\{1\},\{2\}\}, \] etcétera. Al número de particiones de un $n$-conjunto se le llama número de Bell y se denota con $B_{n}$. Ahora le asociaremos particiones a las derivadas de composiciones de la siguiente manera: la derivada $g'(f(x))\circ f'(x)$ está asociada a la partición $\{\{0\}\}$ del conjunto singular $\{0\}$, mientras que a las particiones $\{\{0,1\}\}$ y $\{\{0\},\{1\}\}$ de $\{0,1\}$ les asociamos $g'(f(x))f''(x)$ y $g''(f(x))(f'(x))^{2}$. En general, el orden de la derivada de $g$ cuenta el número de bloques y los restantes factores relativos a $(f^{(\ell)})^{s}$ indican que hay $s$ bloques de cardinalidad $\ell$. Así, las derivadas correspondientes a las particiones de las susodichas particiones de un $3$-conjunto serían \begin{multline*} g'(f(x))f'''(x),\\ g''(f(x))f''(x)f'(x),g''(f(x))f''(x)f'(x),g''(f(x))f''(x)f'(x),\\ g'''(x)(f'(x))^{3}. \end{multline*} Tenemos así que \[ \frac{d^{n}}{dx^{n}}(g\circ f)(x)=\sum g^{(k)}(f(x))\prod_{\ell=1}^{m} (f^{(\ell)}(x))^{b_{\ell}} \] donde la sumatoria se toma sobre todas las particiones de $\{0,\ldots,m-1\}$, de modo que $k$ es el número de bloques y $b_{\ell}$ es el número de bloques con $\ell$ elementos.

La demostración encadena bien (¡valga la expresión!) el proceso de la derivación con la construcción recursiva de las particiones, pero la dejaremos para otra ocasión, junto con otra muy simple que la conecta con la fórmula multinomial. También contemplaremos un tanto la versión determinantal de Faà di Bruno, que en cierto modo justifica que se lleve su nombre.

Por el Día de Pi

Apenas caigo en cuenta que no es tan difícil darse una idea del orden de magnitud de $1-\mathrm{erf}(x)$ para valores grandes de $x$. Puesto que \[ -x^{2}/2\leq -x/2 \] para $x\geq 1$, entonces \[ \frac{\exp(-x^{2}/2)}{\sqrt{2\pi}} \leq \frac{\exp(-x/2)}{\sqrt{2\pi}}. \] Si integramos, resulta \[ 1-\mathrm{erf}(x) \leq \int_{x}^{\infty}\frac{\exp(-t/2)}{\sqrt{2\pi}}\,dt = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\exp(-x/2), \] y al tomar $x=360.8$ (que es el valor relacionado con esto del voto por el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik y las encuestas para decidir sobre proyectos nacionales), tenemos \[ 1 - \mathrm{erf}(360.8) \leq 3.59\times 10^{-79}. \] Sin duda un valor muy, pero muy muy muy pequeñito, aunque por supuesto no nulo.

Carta abierta a los legisladores mexicanos

Estimables diputados y senadores:

El 22 de mayo de 2018, la American Mathematical Society y el Mathematical Sciences Research Institute se reunieron con legisladores estadounidenses para contarles cómo la inversión federal en investigación básica produce valiosos resultados. Esto me motivó a emitir este mensaje. Me inspiró especialmente lo expuesto por Eric Demaine, un especialista en papiroflexia matemática, que les mostró cómo su investigación puede desembocar en la fabricación de muebles que se auto-ensamblan, mejores angioplastias, un mejor acomodo de lentes en vehículos espaciales, el estudio de proteínas para desarrollar nuevos medicamentos, etcétera, además de hermosas figuras de papel.

También me mueve el hecho de que se busca aprobar una nueva ley de humanidades, ciencia y tecnología que “orientará” a la investigación científica para “atender problemas prioritarios de la sociedad mexicana”. Sin ser explícita, se entiende que las facultades que tendría el Conahcyt, a través de la definición de “prioridades para la asignación y optimización de los recursos públicos destinados a las humanidades, ciencias y tecnologías”, le permitirían limitar o incluso eliminar ciertas vertientes de la investigación científica.

Como matemático esto me preocupa profundamente, pues los tiempos de la matemática se miden en intervalos enormes. Existen problemas sin resolver de miles de años de antigüedad, técnicas que toman cientos de años en desarrollarse y teoremas que necesitan décadas de esfuerzos colectivos sostenidos para demostrarse. En particular, es muy difícil predecir cuál de la matemática que se desarrolla en este momento podría resultar clave en la solución de un problema importante para la sociedad en el futuro.

Los ejemplos abundan, pero cito dos. Los griegos que estudiaron las curvas provenientes de cortar un cono nunca pudieron imaginar que mil ochocientos años después serían precisamente aquellas que describen los movimientos de los cuerpos celestes bajo el influjo de la gravedad. Cuando Cauchy, Abel o Galois desarrollaron la teoría de grupos para estudiar las simetrías o la resolución de ecuaciones polinomiales, tampoco podían adivinar que un siglo después el matemático polaco Marian Rejewski la aplicaría para elucidar el funcionamiento de la máquina Enigma, lo que a la larga contribuiría a acortar la Segunda Guerra Mundial y a que su curso favoreciera a los Aliados.

La matemática, durante mucho tiempo, pudo regodearse en el hecho de que, al ser sumamente abstracta, no podía utilizarse para fines maléficos. Sin embargo, en el siglo XX las computadoras y métodos numéricos permitieron a los científicos del proyecto Manhattan construir en un tiempo razonable una bomba atómica, y en pleno siglo XXI los algoritmos apoyados en la estadística y la optimización han mecanizado la discriminación en muchos ámbitos cruciales para la población, como lo son los seguros y la contratación de personal, sin mencionar la construcción de burbujas individuales en las redes sociales y que desemboca en la manipulación de la opinión pública para fines nefastos. Sin duda hay aspectos éticos que deben tomarse en cuenta en el estudio de la matemática, y aplaudo el que se piense en reforzar la consideración de estos criterios en la nueva ley. No obstante, creo que no debe ondearse esta bandera para sofocar la creatividad propia de la investigación matemática.

Mi apología, por supuesto, no necesita ser enfática en las aplicaciones manifiestas de la matemática. Muchos investigadores que se especializan en las ecuaciones diferenciales (en especial en la biomatemática) y ciertos aspectos discretos que se requieren en la computación y la modelación de redes sociales seguramente no tendrán problemas para justificar su financiamiento e impulso. Más bien quiero hacer una arenga para no restringir los recursos a la matemática que podría ser llamada "básica".

He de evidenciar aquí mi interés personal en el asunto, pues me dedico a la musicología matemática. Conozco colegas que juzgan que de hecho esta especialidad consiste en una aplicación de la matemática, y yo tendría que estar mayormente de acuerdo con la veracidad de tal enunciado; pero también hay que reconocer que sería fácil descartarla como un uso frívolo del poder de la matemática, pues no es para nada obvio si el estudio científico de la música es un problema prioritario de la sociedad mexicana (o de cualquier país, a fin de cuentas).

Si adoptamos tal rasero, sin embargo, entonces no sería la musicología matemática más vana que la geometría y topología algebraicas, la teoría de categorías, la teoría de números o la teoría de representaciones, por traer a colación unos cuantos casos en los que me consta que hay matemáticos mexicanos que han realizado notabilísimas contribuciones, y que les han valido amplio y merecido reconocimiento internacional. Este hecho, por cierto, no me parece que sea un “resultado magro” de los recursos invertidos en su formación y mucho menos del desarrollo de sus investigaciones. Y es por eso que el destinar presupuesto suficiente e irrestricto al cultivo de estas ramas requiere una ulterior defensa.

En primera, porque normalmente la matemática representa una fracción muy pequeña de lo que de por sí se invierte en la ciencia. Lo primordial para aquellos que se dedican a lo más puro de la matemática es la subsistencia y la de sus estudiantes, dado el caso. Por ejemplo: el monto solicitado en 1990 por Andrew Wiles para lo que después sería la demostración de la última conjetura de Fermat fue menos de la millonésima parte del total destinado a investigación y desarrollo en Estados Unidos en dicho año. La American Mathematical Society, por esas épocas, rondaba los diez mil miembros, y si todos hubieran pedido una cantidad semejante y se les hubiera otorgado, la suma sería inferior al 1% del presupuesto total para ciencia y tecnología del vecino del norte a principios de los años noventa. Estamos, pues, ante una inversión pequeñísima que tiene réditos gigantescos a largo plazo, y que por lo mismo no tiene por qué ser menoscabada.

En segunda, he de insistir que la sed de conocimiento es una cualidad preponderantemente humana. No de balde afirmaba el gran matemático alemán David Hilbert en 1900 que en la matemática (y la ciencia en general) no hay ignorancia permanente, sino que tenemos la capacidad colectiva de desvelar las respuestas a las interrogantes más profundas y que hemos de alcanzar el conocimiento. Aunado a esto está la capacidad humana de crear, y que es justamente la vía que nos conduce al descubrimiento. La creatividad, puedo afirmar, sirve de coligante entre la ciencia, la tecnología, la matemática y las artes, y no sobra en lo absoluto subrayar el enorme gozo que entraña el comprender algún aspecto del universo, los frutos de la creación artística o diversas mezclas que son posibles entre estas actividades. Además, estos son aspectos de la cultura que mayormente se pueden compartir para el beneficio de todos, como lo han demostrado numerosos divulgadores de la ciencia nacionales y extranjeros y, por supuesto, legiones de artistas. Las patentes y derechos de autor, sin duda, imponen algunas justas limitaciones, pero afortunadamente no son sempiternas. Todo esto redunda en un ambiente que impulsa la innovación y la tecnología, como ha demostrado de forma contundente el Valle del Silicio en California. Estoy consciente de que este último “ecosistema intelectual” ya está mostrando signos de agotamiento, pero esto sirve de argumento en contra de que ciertas áreas geográficas y disciplinas específicas deban acaparar los recursos humanos y financieros.

Regresando al cruce de caminos entre la ciencia y el arte y que es donde se ubica mi especialidad, puedo echar a volar mi imaginación respecto al cómo podría desembocar lo que investigo en beneficios concretos y comunes, en refuerzo de lo ya expuesto.

De los varios aspectos de la música que son particularmente susceptibles de ser comprendidos mejor a través de la matemática, yo me enfoco en el contrapunto. El contrapunto es una técnica de composición que permite conjuntar dos o más voces de manera que el resultado es armonioso. Es por eso que la noción de consonancia es central para mi investigación.

Sin entrar en los detalles, puedo decir que el estudio de las simetrías que gobiernan a las consonancias le permitieron al matemático suizo Guerino Mazzola, en colaboración con un equipo liderado por el neurólogo polaco Heinz-Gregor Wieser, obtener los primeros indicios de cómo la música es una “llave” para acceder a los recuerdos y además cómo desencadena emociones. Esto ha sido confirmado de forma indirecta con otras investigaciones, pero aún hay muchas preguntas que responder al respecto. Si bien yo no he podido colaborar todavía con un neurofisiólogo para refinar y extender estos descubrimientos, sí me he dedicado a progresivamente ampliar la potencia del modelo matemático del contrapunto para abarcar música cada vez más compleja, de modo que podríamos comprender mejor los efectos de la misma sobre el cerebro, y quizá estos algún día tengan consecuencias para la salud pública. Hay que tener en cuenta que la pirámide poblacional mexicana se está invirtiendo, lo que implica que podemos esperar el aumento de los padecimientos neurológicos degenerativos; la musicología matemática podría ser clave para encontrar paliativos o incluso curas de estos males. Reitero que esto es principalmente especulación, pero precisamente esta clase de ejercicios son los que caracterizan a la ciencia y la matemática. Vale recalcar aquí que tampoco, suponiendo que se descubre algo que tenga consecuencias positivas para la salud pública, tendrían que restringirse los beneficios a nuestro país, sino que deben tener repercusiones globales. Asimismo, el potencial concreto de crear matemática o música novedosa permanece como justificación suficiente de estos estudios.

Dejo la siguiente reflexión para concluir: el estudio de la matemática de los antiguos egipcios, babilonios y mayas nos indica que, cuando los especialistas se enfocan exclusivamente en resolver problemas con consecuencias sociales inmediatas, la creatividad y el conocimiento se estancan durante muchas generaciones. Debemos reconocer que, frente a las economías posindustriales con las que debemos convivir, no podemos darnos el lujo de frenar el progreso que hemos conseguido. Por el contrario, tenemos que acelerarlo para conservar la viabilidad de nuestro país.

Atentamente,

Octavio Alberto Agustín Aquino

Cuestiones de lógica

En lo que va de la supuesta cuarta transformación, hay dos asuntos que se hacen frecuentes en el día a día.

1. La falacia tu quoque o apelar a la hipocresía. Ante el aluvión de críticas al gobierno del camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik (en especial porque no ha sido fiel a su prédica de honestidad como con las declaraciones patrimoniales de algunos funcionarios), sus fanáticos normalmente responden que "¿y por qué no fiscalizaban de la misma manera a las administraciones anteriores?". De la misma manera, cuando el Pan critica que no se vote a favor de la reducción del IEPS, el líder de la bancada morenista de forma socarrona los llamó "hipócritas". Esta respuesta, con todo lo satisfactoria que pudiera ser emocionalmente, no hace que sean menos valederas las observaciones. La situación es como la de una médica que le recomienda a una paciente bajar de peso y esta le replica "¡pero si usted es una marrana!". Las amenazas al sistema cardiovascular permanecen pese al bálsamo del desfogue.
2. El ex falso sequitur quodlibet o "de la falsedad todo se sigue" o principio de explosión. No es corta la lista de contradicciones en las que ha incurrido el camarada presidente. Dos ejemplos egregios: que había huachicol en las obras del nuevo aeropuerto y que no se habían reducido las importaciones de gasolina desde Estados Unidos a principios de este año. Aquí debo repetir lo dicho por Garry Kasparov: "Cuando un líder te miente constantemente, su objetivo no es hacerte creer en algo concreto, sino hacerte creer en lo que sea". Esto es un corolario al susodicho principio de explosión: si las premisas en un argumento son inconsistentes, entonces cualquier proposición puede deducirse de ellas. Esto disuelve la distinción entre lo verdadero y lo falso, y les es conveniente primordialmente a los fanáticos, que de partida ven todo como blanco o negro, y al final ya no les importa la realidad sino lo que les diga su caudillo. Sabemos que en el mundo real los hechos presentan diversos tonos de gris, y para quienes no caemos en la anulación de la verdad esta práctica del titular del ejecutivo nos resulta desgastante. Hay que resistir, sin embargo, para no dejarnos manipular.

La primera del 2019

Después de leer una columna de Carlos Elizondo Mayer-Serra, me siento francamente muy desconsolado. Es prácticamente imposible negar que tiene razón al evaluar la percepción que tiene la gente del camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik. Siento que, por ahora, todo está perdido.

Desde mi punto de vista, cada vez le diremos adiós a más libertades. No sé si alcance un sexenio para que se complete el proceso, pero está en marcha. Leía en Quora respuestas a la pregunta de que si Cuba realmente es tan pobre como la pinta Estados Unidos, y sospecho que aunque hay mucha propaganda, sí es verdad que muchos cubanos están resignados a vivir como lo han hecho bajo la dictadura de Castro y sus remanentes, y que hacia allá nos dirigimos. Debo añadir que me gustó mucho una en particular que afirma que todo aquél que aspira a ser diferente, a vivir en sus propios términos, termina yéndose de la isla; me consta que brillantes matemáticos cubanos que trabajan en México propagan la ideología comunista pero no se les ven ganas de regresarse a vivir al paraíso que engendra.

Me resulta todavía más claro (en particular después de ver lo minúscula que es la minoría que votó por el doctor José Antonio Meade Kuribreña) que hay unas tres o cuatro generaciones a las que les venden enemigos nítidos (sin importar si existen o no) muy fácilmente. Que el aumento en la cantidad de personas con educación media superior o superior sólo ha facilitado la penetración de los mensajes populistas. Que es apabullante el cómo gente con formación en el pensamiento crítico lo aplica brillantemente a su disciplina y falla miserablemente para analizar la realidad del país.

Aquí debo insistir en que México es un país que tiene problemas como muchos otros, pero no está en ruinas ni mucho menos. El artículo de Torreblanca, Muñoz y Merino aparecido en Nexos lo deja bastante claro; un dato que refuerza mi punto sobre la disonancia cognoscitiva es que, según veo, el José Merino coautor del escrito es uno de varios que no se cansó de alabar a los artífices del nuevo régimen como medio para conseguir un huesito. Regresando al punto, el tema de la violencia es particularmente notorio porque a principios del milenio vivimos en un ambiente de inusitada paz. También opino que la gráfica del susodicho artículo en relación a la desigualdad no hace justicia al hecho de que el índice de Gini trae tendencia a la baja desde hace tres décadas, lo mismo que el coeficiente de Palma. Esto es notable debido a que hay múltiples fuerzas e inercias que se oponen a que esto ocurra.

Antes me esperanzaba el pensar que, apenas viera lo mucho que se pierde con decisiones equivocadas y soluciones aparentemente rápidas, la población recapacitaría y obligaría al gobierno a tomar una dirección más moderada. Ha muerto en mí mucho de ese optimismo, al comprobar cómo México es un pueblo sin memoria ni mirada hacia el futuro, y ahora veo lo iluso que he sido al no darme cuenta de la intensidad y magnitud de esa amnesia y ceguera antes. Baste mencionar que entre los mejores especialistas de la historia mesoamericana rara vez hay mexicanos, y que el mismo camarada presidente desprecia a los profesionales proactivos y capaces. Otro ejemplo es que en mi pueblo adoptivo, San Antonino Castillo Velasco, saben que es una villa heroica por eventos relacionados con la Revolución, pero creo que ignoran que la mayor parte del desmadre de 1910 no tocó a Oaxaca ni que entre 1915 y 1920 el estado se declaró soberano, por lo que técnicamente estaba en contra de todos los revolucionarios, empezando por el presidente Venustiano Carranza. No saben, observo, en qué bando militaban, aunque yo podría apostar que del lado soberanista o "contrarrevolucionario" (!).

Bien dicen que el desconocer la historia nos condena a la rima. Una muy consonante y bastante ramplona, subrayo.

Envoltorios matemáticos

En ésta epoca de dar regalos utilicé mucha matemática. En especial, logré sacar una caja cúbica de una caja de pizza y luego aplicarle una envoltura óptima. Por cierto que traté de usar la misma idea en general pero no es clara la explicación de cómo generalizarla para un paralelepípedo arbitrario; sospecho que con el rectángulo obvio no queda uno muy lejos del optimizador.

También usé el cómo doblar un círculo para cubrir un triángulo equilátero. Por cierto, este hecho igual lo aprovechan por lo menos en Acatlima para crear sabrosos triángulos rellenos de frijol.

Por último, fue de mucha utilidad el truco de cómo obtener un tetraedro de un sobre para unos dulces.

En las vísperas de la "cuarta transformación"

Como dije antes, el camarada Andréi Andreyévich López Rabotnik está cumpliendo con sus promesas de campaña, lo que me tiene profundamente preocupado.

En particular, me ha tenido estudiando y reestudiando historia, economía, sociología, psicología, etcétera, para poder defender posturas que muchos profesionales han tomado en nuestro país y que han funcionado bien. Es un hecho que mayormente y a nivel macroeconómico México va mejor o al menos igual de bien durante este sexenio que en los anteriores. Sin duda hay problemas con el crimen, pero el mismo gobierno entrante ha reconocido que sin el apoyo del ejército no será posible manejarlo.

En fin. Los resultados de lo que propone el régimen que en unas horas inicia son sabidos, pues se han ensayado en otros países, en varios momentos de la historia; vaya, los mercados lo reflejan, lo mismo que mi fondo de ahorro para el retiro. Pienso que lo que queda para el futuro sombrío (que, esperemos, se reduzca a seis años) es buscar cómo asegurar el futuro de mis hijas y defender con todas mis fuerzas cada espacio de libertad del que disfruto en mi país, porque estoy seguro de que vendrán por ellos.

No estoy jugando ni exagerando: en mi trabajo nos mandaron las instrucciones de la camarada doctora María Elena Raimondova Álvarez-Buylla Roces de que no tenemos libertad para explorar la frontera del conocimiento. Ya les respondí que no las acataré. A partir de mañana pudiera ser que experimente las consecuencias. Pero si ellos no tienen prisa, yo tampoco.

Un cómputo difícil

Pensaba en este asunto de la consulta por el Nuevo Aeropuerto de la Ciudad de México. Según el Prep, el camarada Andréi Andreyévich López Rabotnik obtuvo prácticamente el $52.960$% de los votos, con una desviación estándar de aproximadamente \[ \sqrt{\frac{0.52960\cdot 0.47040}{57\times 10^{6}}} = 6.6\times 10^{-5}. \]
Según entiendo (pero seguramente lo entiendo mal), sería razonable suponer que el $52.96$% de la población estaría de acuerdo con cancelar la obra, y en la consulta se elevó esto a $70.641$%. Al intentar calcular la sumatoria \[ \sum_{k=747000}^{1057463}\binom{1057463}{k}0.52960^{k}0.47040^{1057463-k} \] para obtener el $p$-valor de que esto ocurra, no pude hacerlo con Maxima. Precisamente en estos casos, se supone, acude en nuestro auxilio la aproximación normal, con lo que podría usarse la función de error para estimar el número. Tendríamos que calcular \[ 1-\mathrm{erf}\left(\frac{0.70641-0.52960}{4.9\times 10^{-4}}\right) = 1-\mathrm{erf}(360.8) \] y tanto Maxima como Wolfram Alpha me dicen que esto da $0$. No es de extrañar: hablamos de un valor que se aleja en más de trescientas desviaciones estándar de la media.

Y bueno, siendo muy inocente diríamos que es virtualmente imposible que haya ganado de forma tan aplastante la opción de cancelar la obra en Texcoco. Si acaso está raro que, siendo que el gobierno entrante goza de tanta legitimidad, ¿para qué tomarse tantas molestias y dinero en ejecutar lo que de por sí quiere "el pueblo"? Insistiría que hay que comprender que el trasfondo no es impulsar la democracia, sino complacer a la base. Pero podría estar equivocado.

Aunque lo que realmente me intriga ahora es ¿cómo se puede calcular de forma cada vez más precisa la función de error para valores grandes? He realizado algunos tientos pero resulta que no es tan fácil...

P. D.: Más razones.

Matemática para ganar elecciones y sepultar un aeropuerto.
Los lugares seleccionados para la consulta ciudadana fueron cuidadosamente seleccionados. Una fórmula matemática lo muestra así en #La4ta con @scherermar . pic.twitter.com/e3fbGJMMPR

— El Financiero TV (@ElFinancieroTv) November 2, 2018

P. S. 2: Todavía más razones. La fuente tiene a su favor que le publicó al Dr. Fernando Córdova Tapia su pieza en contra del aeropuerto en Texcoco.

Tetraédrico por sexta vez

Aunque me causa alegría haber llegado a los 35 años hoy, me da un poco de tristeza hacerlo lejos de mi país y de mi familia. Pero todo sea por darles algo mejor a ambos.

Si uno construye pirámides con base triangular acomodando naranjas, puede uno usar $1$, $4$, $10$, $20$, $35$, etcétera, de ellas. Es la sucesión de los números tetraédricos.

También es posible desmontar la sexta pirámide y armar justamente el sexto de los números pentagonales. Según las soluciones de la curva elíptica $Y^3+Y=X^{3}-X$, los únicos números tetraédricos con los que es posible hacer esto son $0$, $1$ y $35$.

Obviamente esto me sirve de pretexto para mencionar a mi héroe Euler y su teorema de los números pentagonales. Una última propiedad que encontré agradable del $35$ es que también es un coeficiente binomial. Más especificamente, es \[ \binom{7}{4}=\binom{7}{3}=35 \] o sea, todas las formas de elegir (sin importar el orden) cuatro objetos entre siete disponibles. O de descartarlos, si se quiere. También esto significa que hay (sin tomar en cuenta equivalencias debidas a simetrías afines) la misma cantidad de acordes de tres que de cuatro notas en una escala diatónica.

El teorema de Pitágoras y la constante de Arquímedes en acción

Para una actividad escolar de mi hija menor, le pidieron un gorro cónico de fiesta. Ange me dijo que teníamos cartulina rosa e hilo elástico, así que podíamos hacerlo nosotros mismos. Después de dictaminar que un radio en la base de $6$ cm era razonable, busqué cuál era la altura estándar y encontré que podían tomarse $16$ cm. ¿De qué radio debía ser el sector circular a trazar? Es relativamente fácil ver que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $6$ y $16$ cm, o sea \[ \sqrt{6^{2}+16^{2}} \approx 17.1 \] cm. Para averiguar el ángulo que debía subtenderse, se multiplica por $\pi$ al cociente del radio de la base entre el radio del sector, lo que da aproximadamente $0{.}70\pi$ radianes. No tenía transportador, solamente escuadra, así que para trazarlo primero se nota que el ángulo excede un cuarto de vuelta en $0{.}2\pi$. Luego con un triángulo rectángulo con base $17.1\cos(0{.}2\pi)=13.83$ y altura $17.1\sin(0{.}2\pi)=10.05$ obtenemos el ángulo faltante. Vean el resultado una vez aplicado el compás, las tijeras, el pegamento y puesto el elástico.

Pero, ¿a quién podrían servirle estas cosas?

No hay quinto malo

Veo con gran alegría que mi quinto artículo "Enumeration of strong dichotomy patterns" por fin salió en la revista electrónica Algebra and Discrete Mathematics, después de ser rechazado por una revista de Elsevier, no recibir acuse de recibo por parte del Seminaire Lotharingien de Combinatoire y ser rechazado también por el Australasian Journal of Combinatorics. Tardó dos años en ser publicado, y creo que ya me acostumbré a estas dilaciones.

Por cierto que no sé si debe contarse mi contribución del congreso de Puerto Vallarta como artículo; MathSciNet® tiene indizado el libro de memorias y algunos de las contribuciones individuales, pero no la mía. Si llega a aparecer, tal vez podría decir que ya estoy dentro del rango proporcional a mi cociente intelectual en cuanto a publicaciones. Creo que no está tan mal.

¡Venga el sexto!

Discurso a mi patria

Compatriotas mexicanos:

Ayer salí a votar con la convicción de que el futuro de México estaba asegurado, y que el ejercicio democrático lo realizaba un pueblo lo suficientemente educado como para esquivar los errores del pasado.

Pero me equivoqué.

Y básicamente eso sería todo lo que tengo que decirles. Sin embargo, voy a abundar un poco, por entrenenimiento mío y de ustedes, y para hacer una promesa.

Recién atestiguamos el ejemplo del vecino al elegir al peor candidato y aprendimos cero, nada, naranjas dulces. Ahí hemos visto cómo rezuma la pus del resentimiento y la estupidez de ciertos colectivos contra la cándida pero variopinta mayoría ante la complacencia de la élite gobernante. En palabras llanas: nos toca chingarnos todos.

En el corto plazo, aseguran los que saben, tratará el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik de cumplir sus promesas, al costo que sea. Cuando esto sea insostenible o algo falle seriamente, la culpa será de la mafia del poder, lo que requerirá algún tipo de purga de la sociedad y por medio de esta maniobra se hará de más recursos para nuevas iteraciones de dilapidación, o vayan ustedes a saber qué otro tipo de atropellos se le ocurrirán en el camino.

Si se le da dinero a la gente nada más por que sí entonces aumenta el consumo, pero si no hay más producción (y recordemos que intentaremos producir todo lo que consumamos), entonces la única salida es que aumenten los precios, y con ello la inflación. Yo cometí la imprudencia de acostumbrarme a una inflación baja durante mi vida adulta (normalmente de menos del 10% y casi siempre rondando el 5%), pero pues ya ven... Todo por servir se acaba. O tal vez el Banco de México, en su independencia prometida, pueda obrar milagros. Sabrá Dios.

Estas exquisiteces serían las menos graves, por lo menos desde mi perspectiva. El camarada Andréi Andreyévich López Rabotnik estableció muy claramente que la reforma educativa tiene mal el nombre (y todo, de hecho) por lo que, después de una supuesta consulta, la derogará. Lo más lógico que puedo suponer es que, una vez que tal despropósito se consume, la criminal y pérfida Sección XXII tendrá nuevamente carta blanca para la compra-venta de plazas y así poder seguir disfrutando de sus prebendas malhabidas, con las consecuencias obvias para la educación de la niñez y juventud oaxaqueña y las flagrantes en cuanto a la violación de los demás derechos humanos de la población en general. Ahora sí podré creer que el régimen tendría por objetivo mantenernos en la oscuridad de la ignorancia para hacer con nosotros lo que le plazca.

Lo menos que puedo prometer hacer es continuar sacando a las mentes de los jóvenes de las tinieblas mientras el camarada presidente Andréi Andreyévich López Rabotnik y su séquito no estén mirando, pero debo ir por más. El enseñar más y con mayor ahínco sobre el pensamiento crítico y la matemática (con algunos toques de ateísmo por aquí y por allá) al público en general es mi obvia primera respuesta, y se que no es suficiente, pero debo admitir que no estaba preparado para este escenario. Toda sugerencia que no pase por la violencia es bienvenida.

En fin: que no quede de nosotros, los que entendemos las consecuencias de nuestros actos y de los demás. No me extrañaría que tengan miedo igual que yo. Y si, por el contrario, son muy sacalepunta, les pido de favor me echen porras y me unten un poco de su audacia.

He dicho.

Octavio Alberto Agustín Aquino.

Adversus scholastica certamina

Este asunto de las competiciones académicas ya lo he tratado antes, pero creo que es buen momento de agregar nuevas reflexiones.

Primero que nada, debo decir que este tipo de justas son excelentes para resolver problemas relacionados con tecnología con el fin de conseguir avances sustanciales. En principio, si deseamos obtener un robot capaz de tocar convincentemente el violín, un proceso para extraer dióxido de carbono de la atmósfera o la demostración más corta posible del teorema de Perelman-Poincaré y tenemos prisa, un concurso tiene una alta probabilidad de entregárnoslos.

Sin embargo, si se supone que la primordial razón para hacer matemática es para entender y ampliar nuestro conocimiento sobre ciertas entidades abstractas, ¿por qué importa quién ha de lograrlo primero o que esto suceda lo más pronto posible? Además, el pionero o campeón rara vez hace el esfuerzo por explicar sus métodos de manera que todos los demás puedan verificar sus resultados o extender sus métodos, y son legiones de otros matemáticos (que no alcanzan amplio reconocimiento por lo general) quienes se encargan de sistematizar y exponer. Esto ya lo ha señalado con gran maestría Jordan Ellenberg (quien, además, tiene autoridad moral para manifestarse pues es medallista olímpico y campeón del Putnam), y no está por demás leer los argumentos de Izabella Łaba, con su característico estilo contundente, cuando afirma que la actitud de los matemáticos a lo largo de los siglos ha sido más competitiva que cooperativa.

A modo de ejemplo, y para redondear lo que digo, hay que señalar que, en mi humilde opinión, Leonhard Euler mismo ha sido víctima de esto. Sus obras sobre mecánica hicieron mucho para poder aprovechar los métodos de Newton y Leibniz en la ingeniería práctica y su notación está ampliamente difundida por ser, efectivamente, clarificadora, y sin embargo es muy raro que un ingeniero o el público en general lo coloquen en el panteón de los matemáticos ilustres. Hay que reconocer que ni Arquímedes (a quien admiro) ni Gauss (a quien no tanto), entre otras luminarias, nunca hicieron mucho por desgranar sus prodigiosos artilugios que les permitían sondear las maravillas de la matemática.

Es por esto que yo me opongo a que se realicen concursos de matemática a diestra y siniestra. Me parece que es tóxico el fomentar la imagen del matemático como un genio que acaba con los "dragones" de los problemas con apenas algunas estocadas impulsadas por la fuerza arrolladora de su capacidad intelectual. No sobra remarcar el problema del efecto Mateo: cuando se realizan las pruebas preliminares, normalmente los competidores distan poco unos de otros, pero hay un ganador. A este ganador se le entrena y, obviamente, amplifica su ventaja sobre sus compañeros, y en futuras iteraciones de las competencias refuerza su dominio y se le entrena aún más. Pero sólo podemos, por definición, obtener una cantidad limitada de matemáticos por esta vía, ¿no es mejor destinar esos recursos de entrenamiento a todos los que sientan vocación por la matemática? Hay simulaciones que demuestran que dar un poco (aunque sea ínfimo) a todos es mejor que dar a manos llenas a los más "talentosos" para conseguir avances.

Por su visionario programa...

Lo importante que ha sucedido recientemente, y que no quiero dejar sin algún tipo de glosa, es que Robert Langlands fue galardonado con el premio Abel este año; no será muy sustanciosa puesto que es un asunto muy técnico y que, a decir verdad, no alcanzo a apreciar del todo. El libro de Bernstein y Gelbart "An Introduction to the Langlands Program" parece que es un buen punto de partida para quien quiera profundizar en el famoso programa iniciado por Langlands.

Según entiendo, todo tiene su origen en la ley de reciprocidad cuadrática tan apreciada por Gauss. Hay que decir primero que un entero $q$ un residuo cuadrático módulo $n$ si es congruente con un cuadrado perfecto, esto es, $q\equiv x^{2}\pmod{n}$ para algún $x$ entero. El símbolo de Legendre $(\frac{q}{p})$ es una indicatriz de la residuosidad cuadrática, pues se define como $0$ si $q$ es nulo, $1$ si $q$ es no nulo y es un residuo cuadrático, y $-1$ si no es un residuo cuadrático. Así, $5$ es un residuo cuadrático módulo $11$ porque $5\equiv 7^{2} \pmod{11}$, mientras que $2$ no es residuo cuadrático módulo $11$, luego $(\frac{5}{11})=1$ y $(\frac{2}{11})=-1$.

Dicho esto, la ley de reciprocidad cuadrática nos dice que, si $p$ y $q$ son números primos impares, entonces \[ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}. \] En otras palabras: hay una relación (¿recíproca?) entre la residuosidad cuadrática de $p$ módulo $q$ y la de $q$ módulo $p$. Juntando esto con las propiedades del símbolo de Legendre, es posible saber si la ecuación cuadrática más simple $x^{2}\equiv a \pmod{p}$ para un primo impar $p$ tiene solución o no.

Con un poco de razonamiento algebraico muy elegante, es posible ver que el símbolo de Legendre en realidad es un homomorfismo del grupo de unidades de $\mathbb{Z}_{p}$ hacia el grupo $\{1,-1\}$ con la multiplicación. La mejor forma de hacerlo es estudiar el cuerpo $K$ de descomposición del polinomio $x^{q}-1$ sobre $\mathbb{Z}_{p}$, y luego estudiar las propiedades del grupo de Galois $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Z}_{p})$.

De aquí hay que ir a la ley de reciprocidad de Artin, que relaciona a la abelianización del grupo de Galois de una extensión de campos globales con el grupo clase de ideles del campo extensor, y cómo esto puede mirarse como una conexión entre las $L$-series de Artin (que son un tipo de series de Dirichlet) y los caracteres de Hecke (que son generalizaciones de los caracteres de Dirichlet). Todo esto es una ensalada de teoría de campos clase, y que fue llevada a sus mayores consecuencias hasta ahora por Langlands y los continuadores de su obra, y que relaciona a la teoría de números con el álgebra y el análisis (armónico). Es por eso que se considera una de las grandes unificaciones de la matemática.