Una de Tao por las que van de arena

A continuación, mi traducción de la excelente nota que publicó hoy Terence Tao en su bitácora, donde resume de un modo casi conmovedor muchas ideas de la Geometría Algebraica que yo no había asimilado por completo. Ojalá la disfruten tanto como yo.

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Una observación trivial sobre los esquemas

por Terence Tao

En la geometría algebraica clásica, el objeto central de estudio es una variedad algebraica $V$ sobre un cuerpo $k$ (y la teoría funciona mejor cuando este cuerpo $k$ es algebraicamente cerrado). Uno puede hablar sobre variedades afines o proyectivas; para los fines de esta discusión, restrinjamos nuestra atención a variedades afines. Tales variedades pueden ser vistas de al menos cuatro maneras diferentes:

• (Geometría algebraica) A través el conjunto $V(k)$ de puntos (sobre $k$) en esa variedad.
• (Álgebra conmutativa) A través del campo de funciones racionales $k(V)$ sobre esa variedad, o el subanillo $k[V]$ de funciones polinomiales en ese campo.
• (Dual de la geometría algebraica) A través de una colección de polinomios $P_{1},\ldots,P_{m}$ que perfilan a esa variedad.
• (Dual del álgebra conmutativa) A través del ideal $I(V)$ de polinomios que se anula sobre esa variedad.

Por ejemplo: el círculo unitario sobre los reales puede pensarse en cada una de estas cuatro maneras distintas:

• (Geometría algebraica) El conjunto de puntos $\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}=1\}$.
• (Álgebra conmutativa) El cociente $\mathbb{R}[x,y]/\langle x^{2}+y^{2}-1\rangle$ del anillo de polinomios $\mathbb{R}[x,y]$ sobre el ideal generado por $x^{2}+y^{2}-1$ (o, equivalentemente, el álgebra generada por $x,y$ sujeta a la restricción $x^{2}+y^{2}=1$), o el cuerpo de fracciones de ese cociente.
• (Dual de la geometría algebraica) El polinomio $x^{2}+y^{2}-1$.
• (Dual del álgebra conmutativa) El ideal $\langle x^{2}+y^{2}-1\rangle$ generado por $x^{2}+y^{2}-1$.

Los cuatro puntos de vista son casi equivalentes entre sí (particularmente cuando el cuerpo subyacente $k$ es algebraicamente cerrado), pues hay formas obvias de pasar de uno a otro. Por ejemplo, empezando con el conjunto de puntos de una variedad, uno puede formar el espacio de funciones racionales sobre dicha variedad, o el ideal de polinomios que se anula sobre la misma. Dado un conjunto de polinomios, uno puede perfilar los puntos donde se anula, o fomar el ideal que generan. Dado un ideal de un anillo de polinomios, uno puede sacar el cociente del anillo respecto al ideal y entonces formar el cuerpo de fracciones. Finalmente, dado un anillo de polinomios sobre una variedad, uno puede tomar su espectro (el espacio de ideales primos sobre el anillo) para recuperar el conjunto de puntos sobre esa variedad (junto con la topología de Zariski de dicha variedad).

Debido a las conexiones entre estos puntos de vista, hay extensivos "diccionarios" (muy peculiarmente el diccionario entre ideales y variedades) que convierte los conceptos básicos de una de estas cuatro perspectivas en cualquiera de las otras tres. Por ejemplo, pasar de una variedad a una subvariedad encoge el conujnto de puntos y el campo de funciones, pero agranda el conjunto de polinomios necesarios para perfilar la variedad, al igual que su ideal asociado. Tomar la intersección o unión de dos variedades corresponde a sumar o multiplicar los dos ideales respectivamente. La dimensión de una variedad algebraica (irreducible) puede definirse como el grado de transcendencia del campo de funciones, la longitud máxima de cadenas de subvariedades, o la dimensión de Krull del anillo de polinomios. Y así sucesiva y regresivamente. Gracias a estos diccionarios, ahora es un lugar común pensar en las álgebras conmutativas geométricamente o, recíprocamente, acercarse a la geometría algebraica desde la perspectiva del álgebra abstracta. Hay, sin embargo, algunos defectos bien conocidos de estos diccionarios, al menos cuando se ven desde el asiento clásico de las variedades algebraicas. El principal es que dos ideales diferentes (o dos conjuntos no equivalentes de polinomios) pueden perfilar el mismo conjunto de puntos, particularmente si el cuerpo subyacente $k$ no es algebraicamente cerrado.

Por ejemplo, si el cuerpo subyacente es la recta real $\mathbb{R}$, entonces las ecuaciones polinomiales $x^{2}+1=0$ y $1=0$ perfilan el mismo conjunto de puntos, a saber, el conjunto vacío, pero el ideal generado por $x^{2}+1$ en $\mathbb{R}[x]$ ciertamente es distinto del ideal generado por $1$. Este ejemplo particular no funciona en un cuerpo algebraicamente cerrado como $\mathbb{C}$, pero en ese caso las ecuaciones polinomiales $x^{2}=0$ y $x=0$ también perfilan un mismo conjunto de puntos (esto es, el origen), pero nuevamente $x^{2}$ y $x$ generan ideales diferentes en $\mathbb{C}[x]$. Gracias al teorema de los ceros de Hilbert, podemos dar vuelta a este problema (en el caso de que $k$ sea algebraicamente cerrado) al siempre pasar de un ideal a su radical, pero esto causa que muchos aspectos de la teoría de variedades algebraicas se hagan más complicados cuando las variedades en cuestión presentan singularidades o multiplicidades, como puede verse desde un principio con el simple ejemplo del teorema de Bézout.

Hoy en día, la manera corriente de tratar con estos asuntos es reemplazar la noción de variedad algebraica con la noción más general de esquema. A grandes rasgos, la manera en la que se definen los esquemas es enfocándose en la perspectiva del álgebra conmutativa como la primordial, y permirtirle al cuerpo base $k$ no ser algebraicamente cerrado, o ser solamente un anillo conmutativo en lugar de un cuerpo. (Uno puede considerar incluso anillos no conmutativos, lo que conduce a la geometría no conmutativa, pero no discutiremos esa extensión de la teoría de esquemas con mayor detalle aquí). Una vez que se generaliza a estos anillos más abstractos, la noción de una función racional se hace más complicada (uno tiene que trabajar localmente en vez de globalmente, recortando los puntos donde la función se hace singular), pero como una primera aproximación uno puede pensar en un esquema como que es básicamente el mismo concepto que un anillo conmutativo. (De hecho, debido a la necesidad de localizar, un esquema se define como una gavilla de anillos en lugar de un simple anillo, pero estas minucias no serán importantes para los propósitos de esta discusión). Todos los otros conceptos de la geometría algebraica que pudieran haberse definido con anterioridad usando una de las otras tres perspectivas, se redefinen en términos de este anillo (o gavilla de anillos) con el fin de generalizarlas a los esquemas.

Así, por ejemplo, en la teoría de esquemas los anillos $\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}\rangle$ y $\mathbb{R}[x]/\langle x\rangle$ describen diferentes esquemas; desde la perspectiva clásica, perfilan los mismos puntos, a saber, el punto $\{0\}$, pero el primer esquema hace a este punto "más gordo" que el segundo, al proporcionarle un grado (o multiplicidad) de $2$ en vez de $1$.

Por esto, pareciera que el vínculo entre la perspectiva del álgebra conmutativa y la de la geometría algebraica no es todavía lo suficientemente perfecta en la teoría de esquemas, a menos que uno esté dispuesto a empezar a "engordar" varias variedades [N. T.: ¡Valga la expresión!] para modelar correctamente la multiplicidad o la singularidad. Pero -y ésta es la observación trivial que quería hacer en esta entrada de la bitácora- uno puede recuperar una conexión muy estrecha entre ambas perspectivas en tanto uno permita la libertad de extender arbitrariamente el anillo base subyacente [sic].

He aquí lo que quiero decir con esto. Considérese la geometría algebraica clásica sobre algún anillo conmutativo $R$ (que no sea necesariamente un cuerpo). Cualquier conjunto de polinomios $P_{1},\ldots, P_{m}\in R[x_{1},\ldots,x_{d}]$ en $d$ variables indeterminadas $x_{1},\ldots,x_{d}$ con coeficientes en $R$ determina, por un lado, al ideal \begin{align*} I&:=\langle P_{1},\ldots,P_{m}\rangle\\ &= \{P_{1}Q{1}+\ldots+P_{m}Q_{m}:Q_{1},\ldots,Q_{m}\in R[x_{1},\ldots,x_{d}] \end{align*} en $R[x_{1},\ldots,x_{d}]$, y por otro perfila el conjunto de ceros \begin{multline*} V[R] := \{(y_{1},\ldots,y_{d}\in R^{d}:\\ P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d}=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d}) = 0\}, \end{multline*} puesto que cada uno de los polinomios $P_{1},\ldots,P_{m}$ claramente tiene sentido como una función de $R^{d}$ a $R$. Por supuesto, uno también puede escribir $V[R]$ en términos de $I$: \begin{equation*} V[R] := \{y_{1},\ldots,y_{d})\in R^{d}:P(y_{1},\ldots,y_{d})=0\text{ para todo } P\in I\}. \end{equation*}
Así, el ideal $I$ determina unívocamente al conjunto de ceros $V[R]$, y enfatizaremos esto escribiendo $V[R]$ como $V_{I}[R]$. Como ilustran los contrajemplos previos, el recíproco no es verdadero. No obstante, siempre que tengamos una extensión $R'$ del anillo $R$ (es dcir, un anillo conmutativo $R'$ que contenga a $R$ como subanillo), entonces podemos ver a los polinomios $P_{1},\ldots, P_{m}$ como funciones de $(R')^{d}$ a $R'$, de modo que también se define el conjunto de ceros para todas las extensiones: \begin{multline*} V[R']:=\{(y_{1},\ldots,y_{d}\}\in (R')^{d}:\\ P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d})=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=0\}. \end{multline*}
Como antes, $V[R']$ está determinada por el ideal $I$: \begin{multline*} V[R']=V_{I}[R']=\{(y_{1},\ldots,y_{d}\}\in (R')^{d}:\\ P(y_{1},\ldots,y_{d})=0\text{ para todo } P\in I\}. \end{multline*}
Una observación trivial es que, mientras el solo conjunto de ceros $V_{I}[R]$ es insuficiente para recuperar a $I$, la colección de conjuntos de ceros $V_{I}[R']$ para todas las extensiones $R'$ de $R$ (o, más precisamente, a la función de asignación $R'\mapsto V_{I}[R']$, conocida como el funtor de puntos de $V_{I}$) basta para recuperar a $I$, siempre y cuando al menos uno de los conjuntos de ceros, digamos $V_{I}[R_{0}]$, no sea vacío. De hecho, supongamos que tenemos dos ideales $I,I'$ de $R[x_{1},\ldots,x_{d}]$ que perfilan el mismo conjunto no vacío de ceros para todas las extensiones $R'$ de $R$. Entonces \[ V_{I}[R'] = V_{I'}[R'] \neq \emptyset \] para todas las extensiones $R'$ de $R$. Aplicamos esto con la extensión $R'$ de $R$ dada por $R':=R_{0}[x_{1},\ldots,x_{d}]/I$. Nótese que el embebimiento de $R$ en $R_{0}[x_{1},\ldots,x_{d}]/I$ es inyectivo, pues de lo contrario $I$ perfilaría al conjunto vacío como conjunto de ceros sobre $R_{0}$, así que $R'$ es ciertamente una extensión de $R$. Tautológicamente, el punto $(x_{1}\bmod I,\ldots, x_{d}\bmod I)$ cae en $V_{I}[R']$, y por lo tanto necesariamente cae en $V_{I'}[R']$ también. Desempacando lo que esto significa, concluimos que $P\in I$ siempre que $P\in I'$, lo que es lo mismo que $I'\subseteq I$. Por un argumento simétrico, también tenemos $I\subseteq I'$, por lo que $I=I'$, como se afirmaba. (Como se señalaba en los comentarios, este hecho (y su demostración) es esencialmente un caso particular del lema de Yoneda. La conexión es más estrecha si uno permite que $R'$ sea cualquier anillo con una función (no necesariamente inyectiva) de $R$ hacia él, en vez de una extensión de $R$, en cuyo caso uno puede eliminar la hipótesis de que $V_{I}[R_{0}]$ sea un conjunto no vacío para al menos un $R_{0}$, pero con la condición de que uno admita cocientes como $\mathbb{Z}/\langle 2\rangle$ o $\mathbb{Z}/\langle 3\rangle$ en su lugar, y entonces $V_{\langle 2\rangle}[R']$ y $V_{\langle 3\rangle}[R']$ ya no son necesariamente iguales).

Así, en tanto uno piense en una variedad o un esquema como perfilar puntos no solamente en el anillo o cuerpo base original, sino en todas las extensiones de ese anillo o cuerpo base, uno recupera una correspondencia exacta entre la perspectiva de la geometría algebraica y la del álgebra conmutativa. Esto es similar a la posición de la geometría algebracia clásica de ver a una variedad algebraica como definida simultáneamente sobre todos los campos que contienen los coeficientes de los polinomios que la definen, pero la crucial diferencia entre la teoría de esquemas y la geometría algebraica clásica es que uno permite las definiciones sobre anillos conmutativos, y no sólo sobre cuerpos. En particular, se necesita permitir extensiones a anillos que pueden contener elementos nilpotentes, pues de lo contrario no se podría distinguir entre un ideal y su radical.

Por supuesto, hay muchas maneras de extender un cuerpo en un anillo, pero como analista, una manera de hacerlo que es particularmente atractiva para mí es introducir un parámetro épsilon y trabajar módulo errores de $O(\epsilon)$. Para formalizar esto algebraicamente, digamos en el ánimo de ser concretos que el cuerpo base es la recta real $\mathbb{R}$. Considérese el anillo $\tilde{R}$ de las cantidades de valores reales $x=x_{\epsilon}$ que dependen del parámetro $\epsilon\geq 0$ (esto es, funciones de $\mathbb{R}^{+}$ a $\mathbb{R}$), que son localmente acotadas en el sentido de que $x$ está acotada siempre que $\epsilon$ esté acotada. (Uno puede, si lo desea, imponer sucesivas hipótesis de continuidad o suavidad sobre como $x$ depende de $\epsilon$, pero tal cosa no resulta ser relevante para la discusión que sigue. Los algebristas a menudo prefieren pensar en el anillo de series de Puiseux aquí en lugar de $\tilde{R}$, y los analistas no estándares prefieren en cambio usar los hiperreales, pero nuevamente esto no hace mucha diferencia para nuestros propósitos). Dentro de este anillo conmutativo, podemos formar el ideal de las cantidades $x=x_{\epsilon}$ que son de tamaño $O(\epsilon)$ conforme $\epsilon \to 0$, es decir, existe una cantidad $C>0$ independiente de $\epsilon$ tal que $|x|\leq C\epsilon$ para todos los $\epsilon$ lo suficientemente pequeños. Puede verificarse fácilmente que, efectivamente, esto es un ideal en $\tilde{R}$. Luego, formamos el anillo cociente $R':=\tilde{R}/I=\{x\bmod I:x\in\tilde{R}\}$. Nótese que $x=y\bmod I$ es equivalente al aserto $x=y+O(\epsilon)$, por lo que estamos traduciendo la noción de los analistas de "igual salvo por errores de $O(\epsilon)$" a términos algebraicos.

Claramente, $R'$ es un anillo conmutativo que extiende a $\mathbb{R}$. Por lo tanto, cualquier variedad algebraica \begin{multline*} V[\mathbb{R}]=\{(y_{1},\ldots,y_{d})\in \mathbb{R}^{d}:\\P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d})=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=0\} \end{multline*} definida sobre los reales $\mathbb{R}$ (de modo que los polinomios $P_{1},\ldots,P_{m}$ tienen coeficientes en $\mathbb{R}$), también están definidos sobre $R'$: \begin{multline*} V[R'] = \{(y_{1},\ldots, y_{d})\in (R')^{d}:\\ P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d})=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=0\}. \end{multline*} En un lenguaje que se asemeja más cercanamente al del análisis, tenemos \begin{multline*} V[R'] = \{(y_{1},\ldots,y_{d})\in\tilde{R}^{d}:\\P_{1}(y_{1},\ldots,y_{d}),\ldots, P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=O(\epsilon)\} \bmod I^{d}. \end{multline*}
Vemos así que $V[R']$ es en un cierto sentido un "$\epsilon$-engordamiento" de $V[\mathbb{R}]$, y que por lo tanto es una manera de dar sentido riguroso a la intución de que los esquemas pueden "engordar" variedades. Por ejemplo, el esquema asociado al ideal $\langle x\rangle$, cuando se interpreta sobre $R'$, se convierte en una $O(\epsilon)$ vecindad del origen \[ V_{\langle x \rangle} [R'] = \{y\in \tilde{R}:y=O(\epsilon)\}\bmod I, \] pero el esquema asociado al ideal más pequeño $\langle x^{2}\rangle$, cuando se interpreta sobre $R'$, se convierte en una $O(\epsilon^{1/2})$-vecindad del origen, siendo así un punto mucho más "gordo": \begin{align*} V_{\langle x^{2}\rangle}[R'] &= \{y\in\tilde{R}:y^{2}=O(\epsilon)\} \bmod I \\ &= \{y\in \tilde{R}:y=O(\epsilon^{1/2})\}\bmod I. \end{align*}
Una vez introducido el épsilon de los analistas, uno puede ver claramente que $V_{\langle x^{2}\rangle}[R']$ viene de un esquema mayor que $V_{\langle x\rangle}[R']$, con menos polinomios que se anula en él; en particular, el polinomio $x$ se anula hasta un orden de $O(\epsilon)$ en $V_{\langle x\rangle}[R']$, pero no se anula hasta un orden $O(\epsilon)$ sobre $V_{\langle x^{2}\rangle} [R']$.

Trabajando con esta extensión de los analistas de $\mathbb{R}$, uno puede ya obtener una primera, razonable y buena aproximación del cómo se ven los esquemas sobre $\mathbb{R}$. Sin embargo, puesto que esta es solo una extensión de $\mathbb{R}$, y no una extensión de las "universales", no se pueden distinguir dos esquemas cualesquiera uno del otro, aunque se desempeña mejor que la geometría algebraica clásica. Por ejemplo, considérese el esquema perfilado por los polinomios $x^{2},y^{2}$ en dos dimensiones. Sobre $R'$, éste es \begin{multline*} V_{\langle x^{2},y^{2}\rangle}[R'] = \{(x,y)\in\tilde{R}^{2}:x^{2},y^{2}=O(\epsilon)\}\bmod I^{2} \\= \{(x,y)\in\tilde{R}^{2}:x,y=O(\epsilon^{1/2})\}\bmod I^{2}. \end{multline*}
Nótese que el polinomio $xy$ se anula hasta un orden $O(\epsilon)$ en este conjunto, pero $xy$ no cae en el ideal $\langle x^{2},y^{2}\rangle$. Equivalentemente, tenemos \[ V_{\langle x^{2},y^{2}\rangle}[R'] = V_{\langle x^{2},y^{2},xy\rangle}[R'], \] a pesar de que $\langle x^{2},y^{2}\rangle$ y $\langle x^{2},y^{2},xy\rangle$ son ideales distintos. Básicamente, el análogo del teorema de los ceros para $R'$ no remueve completamente la necesidad de realizar una operación de clausura en el ideal $I$; es menos drástico que tomar el radical, es más bien como tomar la "envolvente convexa", en cuanto a que uno necesita ser capaz de "interpolar" entre dos polinomios en el ideal (como lo son $x^{2}$ y $y^{2}$) para llegar a polinomios intermedios (como lo es $xy$) que uno entonces coloca en el ideal.

Uno puede ver a los ideales (y, por lo tanto, a los esquemas) desde la perspectiva de la teoría de modelos. Sea $I$ un ideal de un anillo de polinomios $R[x_{1},\ldots, X_{d}]$ generado por algunos polinomios $P_{1},\ldots, P_{m}\in R[x_{1},\ldots, x_{d}]$. Entonces, claramente, si $Q$ es otro polinomio en el ideal $I$, entonces podemos usar los axiomas del álgebra conmutativa (que son básicamente los axiomas del álgebra del bachillerato) para obtener la deducción sintáctica \[ P_{1}(x_{1},\ldots,x_{d})=\cdots =P_{m}(x_{1},\ldots,x_{d})\vdash Q(x_{1},\ldots, x_{d}) = 0 \] (puesto que $Q$ es solamente una suma de múltiplos de $P_{1},\ldots, P_{m}$). En particular, tenemos la deducción semántica \begin{multline} P_{1}(y_{1},\ldots, y_{d})=\cdots = P_{m}(y_{1},\ldots,y_{d})=0\\ \Longrightarrow Q(y_{1},\ldots, y_{d})=0 \label{E:SemDed} \end{multline} para cualquier asignación de literales $y_{1},\ldots, y_{d}$ en $R$ (o en cualquier extensión $R'$ de $R$). Si restringimos a $y_{1},\ldots, y_{d}$ a caer solamente dentro de $R$, entonces (aún si $R$ es un cuerpo algebraicamente cerrado), el recíproco del enunciado anterior es falso; pueden existir polinomios $Q$ fuera de $I$ para los cuales \eqref{E:SemDed} se cumple para todas las asignaciones $y_{1},\ldots, y_{d}$ en $R$. Por ejemplo, tenemos \[ y^{2} = 0 \Longrightarrow y=0 \] para todo $y$ en un cuerpo algebraicamente cerrado, a pesar de que $x$ no cae en el ideal $\langle x^{2}\rangle$. Desde luego, el teorema de los ceros nuevamente explica lo que sucede aquí; la expresión \eqref{E:SemDed} siempre que $Q$ cae en el radical de $I$, que puede ser más grande que $I$ mismo. Pero si uno permite a las literales $y_{1},\ldots,y_{d}$ tomar valores en extensiones arbitrarias $R'$ de $R$, entonces la verdad del recíproco se reestablece, dando así un "teorema de completitud" que relaciona a las deducciones sintáctias del álgebra conmutativa a las interpretaciones semanticas de tales álgebras sobre las extensiones $R'$. Por ejemplo, puesto que \[ y^{2}=O(\epsilon) \not\Longrightarrow y=O(\epsilon) \] ya no tenemos un contraejemplo del recíproco que provenga de $x$ y $\langle x^{2}\rangle$ una vez que trabajamos en $R'$ en vez de $\mathbb{R}$. Por otro lado, todavía tenemos \[ x^{2},y^{2}=O(\epsilon) \Longrightarrow xy=O(\epsilon) \] por lo que la extensión $R'$ no es lo suficientemente poderosa para detectar que $xy$ de hecho no cae en $\langle x^{2},y^{2}\rangle$; un anillo más grande (al cual es más difícil asignar una interpretación analítica) se necesita para lograr tal fin.

Aumentaba el entendimiento humano

Me sorprende la muerte William Thurston, acaecida el pasado 21 de agosto. Con los ires y venires por el nacimiento de mi hija (lo que nos ha tenido muy contentos), no he estado al tanto de muchas cosas...

Su teorema de geometrización fue clave para resolver la conjetura de Poincaré.

También es interesante su eversión de la esfera. El chiste es voltear la superficie de una esfera al revés en el espacio tridimensional (como un calcetín, más o menos); si se hace de modo muy simplista "hundiendo" mutuamente dos polos, en el ecuador queda una "arruga". Stephen Smale había demostrado que se puede lograr, pero no el modo explícito, cosa que sí hizo Thurston. El asunto se fue refinando hasta que un grupo de matemáticos (que incluía a uno ciego, Bernard Morin, aunque no de nacimiento) encontró una que es lo suficientemente intuitiva para explicarse sin muchos tecnicismos. Es curioso que una circunferencia no se puede voltear adentro del plano.

QEPD, William Thurston.

Por fin: los sólidos platónicos

Lo prometido es deuda (para los que estaban pendientes, que seguro son poquitos). He aquí mis plegados de los sólidos platónicos, a partir de una hoja de papel cada uno.

Los diseños, para mi congoja, no son míos. El tetraedro, el cubo y el octaedro se deben a Kazuo Haga y aparecen en el magnífico libro de Kasahara y Takahama "Papiroflexia 'Origami' para expertos". El dodecaedro y el icosaedro son de Mitsu Kono, y son graciosamente notables, como explicaré más adelante.

Los tres primeros se construyen a partir de cuadrados, el dodecaedro a partir de una hoja de tamaño especial que se recorta de una tamaño carta, y el icosaedro a partir de un rectángulo plateado.

El icosaedro es interesante porque la hoja se divide en cinco franjas, y la central se pliega en triángulos equilateros como describe Jean Pedersen en su "Mathematical Tapestry" (p. 22). Mitsu Kono explica esto con cierto detalle en su página, pero para el dodecaedro no se mete en complicaciones y proporciona un patrón de dobleces listo para imprimir. A mí no me convenció esto del todo, puesto que así como se pueden doblar triángulos equiláteros sobre tiras, también se pueden doblar triángulos de Robinson, como describe Pedersen en la obra antes citada (p. 29). Usando esto es fácil completar el patrón de dobleces, con la peculiaridad de que es necesario marcar las estrellas en cada cara del dodecaedro resultante.

Kazuo Haga, por supuesto, también tiene sus versiones a partir de un cuadrado del icosaedro y del dodecaedro, pero francamente no fui capaz de ejecutarlos satisfactoriamente. John Montroll creó también las suyas (que publicó en su genial "A plethora of polyhedra in Origami"), pero creo que son un desafío aún mayor que las de Haga (aunque, posiblemente, son un poco más elegantes).

De colofón, les puedo decir que sobre los modelos aparecen, por orden creciente de caras, los alebrijes oaxaqueños de un chapulín, un guajolote, un batracio (¿un sapo, tal vez?) y un puercoespín. Sobre el icosaedro coloqué un jaguarcito de barro chiapaneco, y que en conjunto son un homenaje al señor 2 Lluvia "Ocoñaña" de Ñuu Tnuu (Tilantongo). El hecho de que el batracio esté sobre el octaedro, desde luego, tampoco es accidental.

Momentos de esperanza y desesperación

Sé que estoy considerando solamente a un medallista Fields no olímpico (evidencia anecdótica, además de que ya he criticado las medallas Fields antes).

Tampoco son mis favoritas sus áreas de estudio (ecuaciones en derivadas parciales y física matemática).

Ni siquiera me gusta la corbata estilo Lavallière (aunque al parecer es algo distintivo de los artistas, lo cual encuentro muy revelador).

Pero no dejan de ser solazantes las palabras de Cédric Villani ante la pregunta del por qué eligió la Matemática:

No fui un niño prodigio, pero siempre me sentí muy cómodo con esta ciencia. Vengo de una familia de intelectuales. Incluso sin que se hablara de ello, yo lo sentía en casa. Había libros en todos lados, se respiraba. El hecho de que haya sido la matemática y no otra cosa lo atribuiría a dos factores: primero al aspecto lúdico de esta disciplina, que es como un juego, como un enigma en el que hay que encontrar una solución. Y también al sistema francés, que le da un lugar de prestigio importantísimo ya desde el Siglo de las Luces. Hay un discurso en las instituciones que hace que si uno es bueno en matemática lo lleva a uno casi sin que tenga que elegir. (Entrevista de Nora Bär para "La Nación", 10/08/2012)

Sin título una vez más

Entrar en detalles es muy difícil, pues para empezar no los tengo todos. Mi interpretación del resultado es que, haiga sido como haiga sido, no existe el ambiente para crear una Sociedad Matemática Oaxaqueña.

Me imaginaba que la mayoría de los matemáticos y estudiantes oaxaqueños estaban ávidos por demostrar lo que piensan y desean hacer por su disciplina, fuera cara a cara o por medios electrónicos. Mi impresión es que no es así.

Del lado de la vertiente para dar a conocer la matemática y su estudio, pudiera ser que impere la opinión de G. H. Hardy que expresara en su "A Mathematician's Apology":

There is no scorn more profound, or on the whole more justifiable, than that of the men who make for the men who explain. Exposition, criticism, appreciation, is work for second-rate minds.

[No hay escarnio más profundo, o en su totalidad más justificable, que el de aquellos que son los que explican. La exposición, la crítica, la apreciación, es un trabajo para las mentes de segunda categoría.]

Lo vertido por Keith Devlin en "Prizes and Perils of Popularizing", parece dar algo de sustento a esto. Si lo leen, encontrarán que varios distinguidos divulgadores han sido menospreciados por su actividad o, en el mejor de los casos, vistos con cierta condescendencia. Sin embargo, una objeción al respecto es que ya tiene un par de décadas que se recogieron dichas impresiones.

Si no fuera eso, quizá se trate de lo que dice Ian Stewart en "Should we popularise mathematics? If so, how?":

A colleague [...] gives about 200 talks every year to school pupils, showing the mathematical magic tricks and surprising puzzles. He particularly likes to show them counterintuitive results [...].

He tells me that the students split into two distinct groups. One group finds the counterintuitive results stimulating. Pupils in the second group react by rejecting the mathematics: if it gives such unbelievable results, it must be nonsense. Once turned off, they cease to be receptive to any further approaches.

[Un colega [...] da alrededor de 200 pláticas cada año a estudiantes, mostrándole trucos mágicos matemáticos y sorprendentes rompecabezas. Le gusta, particularmente, mostrarles resultados que van contra la intuición [...].

Me dice que los estudiantes se dividen en dos grupos distintos. Un grupo encuentra los resultados contra-intuitivos estimulantes. Los pupilos del segundo grupo reacciona rechazando la matemática: si produce resultados tan inverosímiles, debe ser un sinsentido. Una vez que se apagan, dejan de ser receptivos ante cualquier otra aproximación.]

Del lado de estimular el estudio profesional de la misma, pienso que se considera a la Olimpiada estatal como un instrumento fundamental. En estos días me he estado convenciendo de que ciertamente es la mejor vía. Argumentos expresados en la bitácora de Terence Tao indican que la Olimpiada Internacional de Matemática es muy efectiva para producir matemáticos capaces de obrar grandes avances en la ciencia (o por lo menos medallistas Fields y premios de las sociedades matemáticas internacionales, si es que se tiene que medir de alguna forma). Un ejemplo es Ernesto Lupercio Lara, que aunque quedó en el lugar 215 (de 237) de la olimpiada de 1987, hace no mucho fue distinguido con el premio Ramanujan por su destacada investigación, como ya comenté alguna vez.

Si bien no tengo objeción con que exista dicha actividad y se promueva para conseguir tales resultados (sobre todo para el brillo y lustre de Oaxaca), no creo que sea la única manera de hacerlo, ni tampoco que sean éstos los únicos resultados que hay que perseguir. En particular, tal vez he sido demasiado enfático al declarar que no puedo ni quiero participar en tales cuestiones, pero de manera igualmente vehemente afirmo que no me opongo a que otros lo hagan en el seno de la hipotética "SOMATO" o cualquier otra organización. Estoy convencido de que en general las actividades en pro de la Matemática no son mutuamente excluyentes.

Quiero creer, pues, que hay razones para buscar mecanismos alternativos para impulsar el estudio profesional de la Matemática. En LessWrong hay un compilado de opiniones sobre las competencias, por parte de muchos insignes matemáticos. Una que me llama particularmente la atención es, irónicamente, la de Hardy:

And as there is only one test of originality in mathematics, namely the accomplishment of original work, and as it is useless to ask a youth of twenty-two to perform original research under [the Tripos'] examination conditions, the examination necessarily degenerates into a kind of game, and instruction for it into initiation into a series of stunts and tricks.

[Y puesto que sólo hay una prueba de originalidad en la Matemática, a saber, el logro de obras originales, y puesto que es inútil pedirle a un joven de veintidós realizar investigación original bajo las condiciones del examen [Tripos], el examen necesariamente degenera en una especie de juego, y la instrucción para él en una iniciación en una serie de acrobacias y trucos.]

No se puede tomar demasiado en serio, sin embargo, pues Hardy nunca participó en una Olimpiada y ni siquiera vivía cuando se realizó su primera edición. Tal vez algo más nos diga un triunfador olímpico por antonomasia, Terence Tao:

While individual steps in the solution [of a mathematical problem] might be able to be finished off quickly by someone with Olympiad training, the majority of the solution is likely to require instead the much more patient and lengthy process of reading the literature, applying known techniques, trying model problems or special cases, looking for counterexamples, and so forth.)

[Si bien los pasos individuales de la solución [de un problema matemático] pueden ser terminados rápidamente por alguien con entrenamiento olímpico, la mayoría de la solución muy probablemente requiera el mucho más paciente y largo proceso de leer la literatura, aplicar las técnicas existentes, ensayar problemas modelo o casos especiales, buscar contraejemplos, y así sucesivamente.]

Suena muy bien, hasta que examinamos las obras mismas de Tao (como lo que ha avanzado respecto a la conjetura de Goldbach) o, mejor aún, las de Ngô Bào Châu (sobre el programa de Langlands, específicamente), que al igual que Tao ganó la medalla de oro en la Olimpiada pero quedó en primer lugar. Algo ayuda, sin embargo, que Ngô Bào Châu tardó más en ganar la medalla Fields y que es mayor que Tao, lo que quizá es muestra de su perseverancia.

Por último, la convergencia de matemáticos con ideas y estilos distintos bajo el cobijo de una sola organización creo que hubiera sido inmensamente benéfico, sea para hacer investigación o sea para todo lo ya mencionado. En lo particular, con este sencillo ejercicio me enteré de la existencia de muchos colegas y de las inquietudes de muchos otros. Si eso fue todo lo que se pudo obtener de estas experiencias, ha valido la pena. No obstante, me hubiera gustado que surgiera mucho más. Ahí será para la otra, casi con seguridad gracias a la acción de otra persona.

Luego, la trisección del cubo

Rondando la red buscando sobre el plegado de los sólidos platónicos a partir de una única hoja de papel (y, repito, luego contaré en qué acabó todo eso), di con la interesante bitácora de Mario Marín (y no el infame gobernador de Puebla, sino un colombiano homónimo). Ahí ví una notable trisección del cubo, que consiste en tres pirámides. Tal fue el siguiente objeto que quise plegar. Fue un poco difícil (y mi solución creo que no es muy satisfactoria) pero bastante directo a partir de un cuadrado.

Fotografía: Valeria Agustín Aquino (mi hermana).

La pirámide es bastante notable, porque si la longitud del lado del cuadrado que tiene por base es la unidad, entonces un par de aristas que conectan a su ápice con la base miden $\sqrt{2}$, mientras que otra mide $\sqrt{3}$. Por supuesto, todas las caras que delimitan son triángulos rectángulos. Resulta muy placentero ver cómo configuran un cubo.

Y ahora, la cuadrisección del tetraedro

En la entrada anterior les mostré un poliedro plegado a partir de una sola hoja de papel tamaño carta que es la mitad de un tetraedro. Cuando lo vió Angélica, me dijo que ensamblara un rompecabezas similar al uno que está en la sala de Matemática del museo Universum de la UNAM.

El detalle es que ese rompecabezas es una cuadrisección del tetraedro, y resulta de cortar a la mitad cada una de las piezas de la bisección antes mencionada. Y no es tan fácil cortar con papiroflexia.

Pero por fortuna es posible.

Este plegado, hasta donde llega mi conocimiento, también es original (y al parecer no lo ha hecho John Szinger) y es una modificación bastante directa del anterior. Por eso queda bastante robusto, lo que parece ventajoso para jugar con las piezas.

Los cuatro poliedros son idealmente idénticos, pero al doblarlos resulta que hay dos "versiones": una izquierda y otra derecha. Para los fines del acertijo, quizá lo mejor es hacerlos todos izquierdos o todos derechos.

Una bisección del tetraedro

Martin Gardner, en el capítulo sobre los sólidos platónicos de su "Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions" describe cómo armar con papel las piezas de una bisección del tetraedro.

Últimamente he estado plegando los sólidos platónicos con una única hoja de papel (de lo que contaré más detalles en otra ocasión) y se me ocurrió que podría doblar ese poliedro con una sola hoja.

Y resulta que un plegado muy semejante al del octaedro que describe Kasahara y Takahama en su "Papiroflexia 'Origami' para expertos" sirve maravillosamente para este fin. Hasta donde he podido averiguar, este plegado es original. Lo que más me agrada es que se obtiene a partir de una hoja tamaño carta sin cortar (que es un tamaño muy común en México, tristemente), aunque también se puede sacar de cualquier hoja de la serie A prácticamente sin modificaciones. Prometo que en cuanto pueda pondré las instrucciones (o aunque sea el patrón de dobleces) en mi página.

Cuando tenía unos 11 años tuve mi primera fiebre por la papiroflexia. Recuerdo que mi intento más temprano de modelo original fue un cangrejo que obtuve cortando una base de ave para sacar las patas y las pinzas, y así usarlo para una ilustración en mis libretas de primaria; que con gran deleite hice los dinosaurios de Montroll cuando estaba en la secundaria, deseando que se me hubieran ocurrido a mí. Es hasta ahora que posiblemente se me hizo crear algo original en este sentido.

Sólo quiero agregar que este modelo se lo dedico a Angélica y a mi hija Ximena Isabel (que esperamos que en estos días llegue).

P. D. (13/07/12): Con cierta tristeza encuentro que John Szinger en 2002 plegó este poliedro. Aunque, con un poco de alegría, veo que su patrón de dobleces es distinto al que se me ocurrió. El de él, por lo que puedo apreciar, es más eficiente en cuanto a uso del papel, pero yo le hice menos dobleces adicionales a mi versión.

P. D. (5/08/12): Ya subí el diagrama de este modelo a mi página. No es perfecto, pero espero les sea de utilidad a quienes deseen plegarlo.

Partícula de Higgs, ¿estás ahí?

Pues me desayuno con la noticia de que en el CERN ha anunciado hoy han encontrado una nueva partícula, y que podría ser el bosón de Higgs. ¡Fascinante!

Según entiendo, está a "un nivel de cinco sigmas" de seguridad de que existe (eso equivale, más o menos, a un 99.99997% de certeza), que tiene una masa de unos 126 GeV (el gigaelectrónvoltio es la unidad de masa preferida en la física de altas energías) y que es un bosón. Por ello, lo más seguro es que sea la tan buscada partícula, por que tendría precisamente estas propiedades. Pero todavía tienen que confirmarlo.

Este descubrimiento es muy importante porque da mayores evidencias de que el llamado modelo estándar de la física de partículas no está tan errado (y que es lo más cercano que se tiene hasta el momento de una teoría del todo), a pesar de que todavía no explica cómo encaja la gravedad en todo el asunto.

Para el buzón de quejas y sugerencias (1)

• Que admitieron las horrorosas palabras "friki", "blog", "chat" y demás pen&%&# en el diccionario de la RAE. ¡Me lleva la ch*&#*&#$! ¡Si para empezar la puñetera palabra "blog" es de por sí una horrenda construcción en inglés! Pero no es culpa de la RAE. Es de los usuarios de la lengua.
• Con todo el debido respeto que me merecen los doctores Tim W. Fawcett y Andrew D. Higginson: ¡que vayan y ch&%#&%%&/%&%! ¿Cómo que por poner matemática en los artículos de biología los especialistas no los leen y luego no hacen los experimentos para comprobar las teorías? A otro perro con ese hueso. Una de dos: o aprenden más matemática, o se juntan más y mejor con los matemáticos. Digo: yo como matemático podría alegar que como no le entiendo a los términos biológicos en un artículo, no me interesa trabajar en esos temas. Qué coraje. Se reciben retaches, por cierto.
• Han llegado hasta mis oídos las noticias de que tengo algunos seguidores por mixtecas latitudes, a los que les mando muchos y cordiales saludos y agradecimientos.
• Espero hayan notado que mi entrada anterior participa en el Carnaval de Matemática(s). Ojalá voten por mi contribución los que la encuentren disfrutable. Sobre todo porque muy probablemente será "debut y despedida".

Unos grafos que no son planos y la banda de Möbius

Una página que puedo recomendar ampliamente es Cut the Knot. Recientemente la redescubrí porque andaba buscando un modelo para realizar un "manifiesto matemático"; algo así como el "A Mathematician's Lament" de Lockhart, pero menos enfocado a la educación y más a la "defensa" de la Matemática como un arte, como una actividad no solo útil sino intrínseca a la humanidad. Ahí está uno, y de momento no puedo mejorarlo.

Pero no es eso de lo que quiero hablar en esta entrada. Antes de continuar, vale decir que un grafo básicamente es un montón de puntos conectados con líneas (no necesariamente rectas), y se dice plano si se puede redibujar en el plano euclidiano de modo que las líneas no se crucen (¡pero sin desconectar lo que originalmente está conectado, ojo!).

Resulta que hurgando en el susodicho sitio sobre la no-planaridad del grafo bipartito completo $K_{3,3}$ (y que popularmente está asociado al "problema del agua, luz y electricidad"), Stuart Anderson sugiere que una forma de demostrarla es embebiendo  $K_{3,3}$ en una banda de Möbius sin que se crucen sus aristas. Más aún: el mismo truco sirve para demostrar que el grafo completo de cinco vértices tampoco es plano.

Buscando en la red encontré que Maxim Rytin hizo un programa en Mathematica para ver la construcción de manera interactiva, y no sólo en la banda de Möbius, sino también en un toro. Mejor aún: ¡incluyó el maravilloso grafo de Petersen!

Sin embargo, sus embebimientos no son muy simétricos o satisfactorios desde mi punto de vista, así que decidí hacer los míos.

El grafo bipartito $K_{3,3}$. Noten la bella simetría que le proporciona la banda de Möbius. Los vértices con número par forman una parte y los impares la otra.

El grafo de Petersen. Bueno, tal vez debiera ser de Kempe, pero esa es otra historia.  El camino de las orillas puede pensarse como el pentágono exterior en los dibujos clásicos de este grafo, y el de en medio como el pentagrama interior.

El grafo completo $K_{5}$. De hecho, es la triangulación simplicial más pequeña de la banda de Möbius.

Espero se hayan dado cuenta de que los vértices están numerados con la notación de punto y barra (aprovecho para insistir en que no la inventaron los mayas). Esto es porque los símbolos son muy simétricos y aptos para el caso en que se dibujen sobre un material transparente. De hecho, es mejor construir así una banda de Möbius, porque el papel opaco "esconde" el hecho de que este espacio topológico solamente tiene una cara. Para que se puedan ver los vértices de los grafos apropiadamente, tuve que dibujarlos por los dos lados de la cinta antes de pegarla.

Es muy interesante que $K_{5}$ divide a la banda en triángulos, $K_{3,3}$ en rectángulos y el grafo de Petersen en "pentágonos". Como la característica de Euler (caras menos aristas más vértices) de la banda de Möbius es $0$, sucede que $K_{5}$ tiene $5$ caras triangulares, $K_{3,3}$ tres caras rectangulares y el grafo de Petersen $10$ caras pentagonales.

Si pulsan en los enlaces abajo de cada fotografía encontrarán unos archivos en formato PDF para imprimir y armar.

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Esta entrada participa en la edición 3.14159 del Carnaval de Matemáticas, cuya bitácora anfitriona es Scientia.

Lo que diga la mayoría...

Sé que me voy a arrepentir por escribir esta entrada. Pero un amigo me preguntó la razón por la cual no me había manifestado sobre cierto asunto espinoso. Pensé entonces que sería positivo, después de todo, hacer algo. Esto es lo mejor que se me ocurre.

Supongamos que tenemos un conjunto de $N$ bolas y que a algunas se les asigna uno de $3$ colores (digamos: blanco, negro y gris) de la siguiente manera: con la misma probabilidad se puede elegir cualquiera de los tres colores o no colorearla. Luego se guardan las bolas en una bolsa opaca. Damos por sentado que las bolas no adquieren ni cambian espontáneamente su color.

Digamos ahora que $n$ personas desean saber aproximadamente cuántas bolas hay de cada color, así que cada una elige exactamente $t$ de ellas al azar como muestra. Luego publican sus resultados.

Finalmente, un árbitro decide tomar aleatoriamente $\lfloor PN\rfloor$ bolas, donde $0\leq P\leq 1$. Pero, como quiere que todas estén coloreadas, las colorea escogiendo uniformemente al azar los tres colores para cada bola que no esté pintada. Se decide que la "distribución oficial" de colores es la que obtenida por el árbitro. El resto de las bolas no pintadas se ignora.

Hice un programa en GNU Octave 3.2.4 para simular este proceso. En un experimento con $N=100$, $n=5$, $t=10$ y $P=0.8$, resulta que:

• Hubo $29$, $23$, $21$ bolas blancas, negras y grises, respectivamente. Las $27$ restantes quedaron sin color.
• De los muestreos de las $5$ personas, una dice que $50\%$ son blancas, el $20\%$ son negras y $10\%$ son grises; otra que son $20\%$, $50\%$ y $0\%$ (!) respectivamente; otra más que las proporciones son $20\%$, $10\%$ y $40\%$. De las otras dos, baste decir que ambas estiman que hay más negras. ¿Declararían los dos primeros que hay "empate técnico" entre blancas y negras?
• Combinando por medio de un promedio los resultados de todos los muestreos, tenemos las proporciones $26\%$, $32\%$ y $16\%$. Interesante, ¿verdad? Nótese que cada uno de los muestreos usó un nada despreciable $10\%$ del total de bolas (pues $\frac{t}{N}=0.1$).
• El árbitro obtuvo el resultado $31.25\%$, $32.5\%$ y $36.25\%$. Según él, deberían ser ¡más bolas grises, aún cuando originalmente son el color minoritario!

Obviamente, éste es un resultado entre muchos posibles. Pero creo que ofrece una idea del por qué hay que conducirnos con cuidado respecto a las encuestas electorales, y por qué la votación al final puede ser muy interesante.

Sobre el tránsito de Venus

Hoy ocurrió un tránsito de Venus. El de 2004 no lo vi, la verdad no le presté atención, y ahora lo lamento enormemente. Estos acontecimientos son raros y valiosos para la ciencia: en su momento permitieron determinar el tamaño del Sistema Solar por medio del paralaje, y en esta ocasión servirán para calibrar los métodos utilizados para detectar exoplanetas. Ahora que viene una pequeña en camino, quería conservar algo para mostrarle sobre este singular evento, pues posiblemente ella no tendrá oportunidad de verlo.

Preparé un espejo de Angélica (muy apropiado porque tiene su base y puede girar) como dice la página del Dr. Hugh Hunt y lo probé para ver si funcionaba.

Por cuestiones de óptica, entre más pequeña es la superficie reflejante, se necesita menos distancia para proyectar una imagen razonablemente grande, a costa de hacerla más tenue. Con el arreglo que hice, el reflejo era débil, pero confiaba en que algo se vería.

Salía de clase cuando aproximadamente iniciaba el fenómeno por estas latitutes (algo después de las 17:00, hora local). Intenté primero en el salón de clases mientras salió el sol un rato, mas un árbol y la falta de distancia para lograr un reflejo de tamaño apropiado se atravesaron. Enseguida se nubló, y algunos de mis alumnos me siguieron para ver si el clima daba una pequeña oportunidad. Inclusive se quedaron para verlo aunque fuera en la página de la NASA en mi cubo. Nada. Hasta lloviznó.

Terminada la jornada laboral guardaba algunas esperanzas de que el cielo se aclarara para alcanzar por lo menos un atisbo. Lástima, no hubo suerte.

Friedrich Hirzebruch (1927-2012)

El pasado domingo 27 de mayo murió Friedrich Hirzebruch. Fue uno de los gigantes de la topología algebraica, entre otras cosas. Por poner un ejemplo: generalizó el teorema de Riemann-Roch (que relaciona a los ceros y polos de una función sobre una curva de un modo complicado pero sorprendente), lo que finalmente condujo a una generalización todavía más profunda por parte de Grothendieck y después a la K-teoría; ese resultado también fue precursor del celebrado teorema del índice de Atiyah y Singer.

Es algo interesante que le tocó vivir su niñez y juventud durante la Alemania nazi, por lo que tuvo que afiliarse a la división infantil de las Juventudes Hitlerianas. No había cumplido los 18 cuando se enlistó en la Wehrmacht (o sea, las fuerzas armadas de su país), y los Aliados lo hicieron prisionero, pero con tan buena fortuna que ese mismo año se terminó la guerra y lo liberaron; justo a tiempo para que entrara a la universidad de Múnich.

No el "cuánto" sino el "cómo"

Leyendo esto de Marina Keegan me sorprende que afirme "We don’t have a word for the opposite of loneliness". ¿Cómo de que no? Sin buscarle demasiado resulta que es "companionship". Continúa más adelante: "We’re so young. We’re so young. We’re twenty-two years old. We have so much time.". Y tampoco, porque murió el sábado 26 del presente a esa justa edad, en un accidente automovilístico.

Si entiendo bien, su mensaje en "The opposite of loneliness" es que nunca se es demasiado viejo para intentar algo, y menos a los veinte. Vale. Estoy de acuerdo. Pero creo que también hay que estar muy conscientes de la fragilidad de nuestra vida; que justamente por eso hay que poner manos a la obra inmediatamente, y no tanto porque uno "esté muy joven" en un momento dado y tenga uno "mucho potencial".

Sobre la Sociedad Matemática Oaxaqueña (IV)

Pues va el primer paso hacia adelante para la Sociedad Matemática Oaxaqueña. Los que hasta ahora manifiestamente nos hemos interesado en el proyecto

• Dr. Víctor Alberto Cruz Barriguete (UTM, victorcruz arr mixteco punto utm punto mx),
• JHS,
• Dr. Marcelino Ramírez Ibáñez (marchelino arr [el correo de GMail]),
• M. C. Virgilio Vázquez Hipólito (UNISIJ),

nos reuniremos el día 16 de julio del presente año, para deliberar el curso que debe tomar el asunto. Si alguien está interesado en participar, ruégole se comunique con nosotros vía correo electrónico (algunos se pueden encontrar en el wiki de la SMO) para proporcionarles más detalles.

Si consiguen un abogado que nos pueda auxiliar con los rollos legales, se los agradeceremos muchísimo. Y con correr la voz ya es bastante, :D

Una pregunta extraña

Hoy concluyó la IV Semana de las Culturas de la Cañada. La última conferencia del evento fue la mía, y platiqué sobre una clasificación, usando análisis de racimos, de la cerámica en la Cañada (de una manera muy tentativa, por supuesto). Al final, alguien me preguntó mi opinión sobre si el estudiar un posgrado o Matemática ha cambiado mis concepciones sobre dios.

Me gustaría que mis lectores, si gustan, me pusieran en los comentarios a qué clase de motivación piensan que pudo obedecer ese planteamiento.

Mangos y mangueras

A continuación, dos imágenes. La primera la tomé hace más de un mes, cuando mi suegro por alguna razón desenrolló una manguera en su patio y reveló sin querer una sinusoide aproximada.

Algo similar ya había ilustrado Albrecht Dürer en el primer libro de su Underweysung der Messung. Si no se tiene una manguera, se puede hacer enrollando un tubo de papel y haciendo un corte oblicuo, o ¡con un rodillo para pintar! Esto nos lo muestran Apostol y Mnatsakanian en un artículo del American Mathematical Monthly (artificio que a su vez tomaron de Steinhaus, y no sé hasta dónde se pueda seguir la cadenita).

La segunda que les mostraré es reciente (de ayer, específicamente).

Bartholdi y Henriques pelaron una naranja en espiral y demostraron que, entre más delgadita la tira, más se parece a una espiral de Bernoulli (alias clotoide o espiral de Cornu, o espiral de Euler) cuando se extiende sobre la mesa. Acá pelé un sabroso mango de Cuicatlán, y aunque la curva resultante es semejante, obviamente no es igual. Sería interesante la generalización del resultado para otras frutas.

Joram Lindenstrauss (1936-2012)

Visitando los obituarios de la AMS recibo la noticia de que Joram Lindenstrauss nos ha dejado el 29 de abril pasado. Para mí su trabajo es muy significativo, porque discutir la demostración que dieron él y Lior Tzafriri del teorema de espacios complementarios fue el tema de mi tesis de licenciatura.

Hace poco recibió algo de atención porque su hijo Elon ganó una medalla Fields.  Me extraña que a Joram mismo no le dieran una: tenía unos 35 años cuando resolvió lo de los espacios complementarios. Hizo además muchas contribuciones al análisis funcional, quizá una de las más notables es el lema de Johnson-Lindenstrauss, que indica de qué tamaño debe ser un espacio para meter un conjunto de puntos en otro espacio de modo que se preserven las distancias con alguna precisión prescrita. Otra fue atraer la atención hacia ciertos aspectos del trabajo de Grothendieck sobre análisis funcional.

Sin duda, cuidadosamente planeados

Un equipo, que supongo está a cargo de William A. Saturno de la Universidad de Boston, descubrió unas pinturas mayas en Xultún, Guatemala. Los artículos del Scientific American y del New York Times son los que mejor informan sobre el asunto.

Esto no suena muy sorpresivo, porque seguramente hay cientos o miles de sitios mesoamericanos que todavía no se han desenterrado o estudiado. Lo sobresaliente de éste en particular es que hay una pared donde, al parecer, un escriba maya registraba los pasos intermedios de sus razonamientos matemáticos para ir calibrando las regularidades lunares.

Y no sólo eso: encontraron otros números relacionados con el calendario y los planetas, que al menos a mí me sugieren que los matemáticos mayas sí iban contando múltiplo por múltiplo (vía sumas repetidas) para calcular fechas en el futuro o en el pasado del Haab y del Tzolkin, lo cual no deja de decepcionarme un poco. Con todo, resulta una información valiosísima, pues no se disponía de evidencias semejantes salvo por el códice Dresde, cuya realización es posterior a lo recién hallado.

Esperaremos a ver qué dicen los expertos extranjeros sobre el tema. Ah, por cierto: las cuentas que aparecieron ahí confirman que los mayas consideraban que su calendario podía dar vueltas eternamente, mucho más allá del 2012.

Adenda (13/05/12): Más detalles sobre este importante asunto los reporta el artículo de Saturno, Stuart, Aveni y Rossi publicado en la revista Science.

Es fácil si lo intentas...

En una bitácora del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla propusieron un problema de un clasificatorio olímpico eslovaco, que se reduce a buscar cierto grafo fuertemente regular. Dicen que si es asequible para chavos de 17 años sin preparación universitaria, entonces basta con "echarle imaginación" para resolverlo.

Parece, sin embargo, que la clasificación o búsqueda de grafos fuertemente regulares no es tan fácil en general (ni siquiera para valores no muy grandes de sus parámetros), y la página de Ted Spence nos revela que en un artículo de 1995 él encontró 32,548 soluciones al grafos que satisfacen las restricciones del problema propuesto por los españoles. La solución de los sevillanos ha de estar muy emocionante, porque por la forma en que está enunciado el problema seguramente demostrarán que no hay otras soluciones. Esta caracterización parcial ha de ser una del Libro, pues Peter Cameron menciona que "una caracterización completa de los parámetros de los grafos fuertemente regulares no se conoce".

Sabiendo esto ya duermo un poco más tranquilo. En mis intentos fallidos, primero demostré que la solución debiera tener cierto número de aristas, y mi cota estaba mal. Luego me pareció encontrar una cota superior que descartaba ¡justamente las soluciones calculadas por Spence! Se imaginarán mi sorpresa al enterarme de que no solo sí hay soluciones de ese tipo, sino que encima hay varios miles de ellas. Al parecer, si las clasificaciones para números pequeños de vértices está completa, no existen las soluciones pequeñas que trataba de construir. Me imaginé que podría ser un grafo de Harary, pero no me atreví a preguntar si cierto parámetro en el problema era una cota inferior o un valor exacto que debía alcanzar el grafo buscado.

Me hace falta muchísima más imaginación :(.

P. D.: Los sevillanos publicaron dos soluciones, una de Alberto Castaño y otra "al más puro estilo de Warren Sánchez" (¡qué simpáticos!). La de Castaño está muy bien y me convence plenamente, no así la que ellos proponen. Castaño reduce el problema a un conteo doble de aristas para obtener un polinomio cuadrático que hay que resolver diofánticamente, y que bien demuestra que las soluciones de Spence son las únicas posibles.

Tómate una de éstas

Generalmente mis visitas a la bitácora de "La Morsa" me hacen derramar mucha (pero mucha) bilis. Sin embargo, esta vez fue la excepción al ver la entrada donde menciona a "La Pildorita", una publicación purista del Instituto de Ingeniería de la UNAM (!). ¡Vientos por los inges de la UNAM!

Lo único que lamento es que ya no se publique, porque los xenismos y abusos del lenguaje se multiplican a tasas alarmantes en estos tiempos modernos. El mismo Morsa comete un montón de pifias; la que más he notado es la de su uso del vocablo "bizarro", o de la bellísima palabra "eventualmente". Pero corregir o recomendar una solución es algo muy aplaudible. Sí: seguro que no estoy libre de toda culpa y aún así estoy tirando la primera piedra, pero estoy servido en charola de plata para que me lleguen a la yugular.

P. D.: Aprovecho aquí para agregar que sólo siento un llano respeto por la UNAM, y muy poco cariño o admiración. En particular por el trato diferencial que prevaleció mucho tiempo para sus estudiantes del posgrado de Matemática, y también por la insufrible burocracia en ciertos departamentos.

Juegos de números

En el New York Times hay una bitácora llamada "Numberplay" (que es análoga a otra denominada "Wordplay" la cual, si bien entiendo, es sobre crucigramas), que plantea problemas entretenidos de Matemática. El problema del 30 de abril es dividir un rectángulo de 3 por 9 en 8 cuadrados. Como el rectángulo es una especie de pastel (un brownie, vaya), la idea es no cortarlo de modo que se tengan que ensamblar los cuadrados.

Ya había leído algo de esto en un libro de Martin Gardner. Le llaman "cuadrar rectángulos", es decir, cubrir rectángulos con cuadrados sin que se traslapen. De hecho, cuando un rectángulo se puede cubrir con baldosas cuadradas de distinto tamaño dos a dos, se le llama perfecto. Encontré una solución del problema de Numberplay, pero no sé si es única. Hay toda una página dedicada a estos asuntos, por cierto, si alguien está interesado.

Para despedirme, les digo que al examinar con cuidado el logo de Numberplay me pareció ver un lindo criptoaritmo (¿o alfamético?, aunque ninguna de las dos palabras aparece en el diccionario de la RAE), aunque no sé si eso sea intencional. Hice una revisión muy somera de las entradas de esa bitácora pero no hallé alguna que lo proponga como problema. En fin, el punto es que hay que reemplazar las letras por números para que la operación que queda sea aritméticamente correcta. Curiosamente, la palabra "numberplay" tiene 10 letras, así que hay que encontrar dos números de tres dígitos distintos tales que junto con su suma reproduzcan todos los números del 0 al 9, Es decir: "num+ber=play". Según mis cuentas, hay 432 soluciones si se pide que ninguno de los sumandos empiece con cero, pero se admite que la 'p' sea nula; hay 96 si se es más estricto y se exige que valga 1. La suma más pequeña que se puede obtener en este último caso es 1026.

Capital peculiaridad

Escuché en la radio, mientras hablaban de los próximos Juegos Olímpicos:

La capital londinense...

¿Qué no es "la capital británica"? ¿O Londres tiene una capital? (puede que sí). ¿Cuál es la capital de Oaxaca de Juárez, por ejemplo?

Sin título otra vez

Van unas cuestiones que han estado rebotando en mi cabeza.

1. Mis lectores no fueron compasivos (y no tienen por qué serlo, ciertamente) respecto al arte matemático en Deviant Art, pero por pura casualidad dí con algo bastante simpático durante una visita a la bitácora Matebits, y que me levantó el ánimo.
2. Al estilo de otra bitácora: U le comunica a V que ha tenido dificultades con respecto al asunto X, el cual está a cargo de W. Es deber de V (por ciertos acuerdos conocidos por todos los involucrados) atender dicha situación y le pregunta a W su versión del los hechos. Naturalmente, la única información de la que dispone V sobre X hasta el momento es lo que ha dicho U. ¿Es posible que W se moleste un poco por las preguntas, y además le pida a V que corrobore los hechos con U? ¿Es un poco absurdo? ¿Se verá mal V? Por cierto: U, V, W y X son distintos dos a dos.
3. Leí un ensayo de Robert Lewis (bastante antiguo, según él, y que conste) donde le llamó la atención la siguiente circunstancia: una persona siente lástima por los matemáticos porque las computadoras pueden realizar "todo" lo que ellos hacen, condenándolos a la obsolescencia. Para exponer lo absurdo de dicha opinión, el autor lo compara con el cambio de las carretas tiradas por caballos a los automóviles, y que alguien pensara por ello que los conductores debieran caer en el desuso dado el avance tecnológico. Hay un pequeño problema: que ir del lápiz y papel (o ábaco, o calculadora de bolsillo, etcétera) a la computadora es un salto mucho más grande que el de una carreta a un vehículo automotor. Yo diría que es más bien es como ir de la pila para fregar a la lavadora automática; a la lavadora se le puede programar para que de modo casi totalmente autónomo lave la ropa. Pero es bueno supervisarla para ver que su trabajo está bien hecho, que ahorre algo de agua, alimentarla con lo necesario para que realice su función y, obviamente, para tender la ropa. Aunque puede que no esté lejano el día en que las máquinas hagan eso y más. En tal caso, seguro que no solamente los matemáticos seremos innecesarios.

Parece trivial...

Revisando la tesis de David Grynkiewicz, hallé esto.

Proposición. Sean $A$ y $B$ subconjuntos de un grupo finito (y abeliano, si se quiere). Si $|A|+|B|\geq |G|+1$, entonces $G=A+B$.

Tiene cara de trivial, pero necesité más de dos líneas para convencerme. Veamos.

1. Los conjuntos $B$ y $g-B$ tienen la misma cardinalidad para cualquier $g\in G$.
2. Recordemos el buen principio de inclusión y exclusión: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

Ahora bien, si $A\cap (g-B)$ fuera vacío para algún $g\in G$, entonces $|A\cup(g-B)|=|A|+|B|\geq |G|+1$. Pero eso significa que un subconjunto de $G$, ¡es más grande que $G$ mismo! (por eso ha de decir Grynkiewicz que se usa el principio de las casillas). Esta imposibilidad implica que, para cualquier $g\in G$, hay al menos un $a\in A$ y un $b\in B$ tal que $a=g-b$, o lo que es lo mismo, $g=a+b$. Y, efectivamente, $G=A+B$.

Cerca la bala para darle mate a mi objetivo. Pero no. Aunque justifica la opinión de Emmanuel Amiot de que dos trozos lo suficientemente grandes de $G$ siempre deben cubrir a $G$.

P. D.: Por cierto, nuevamente transgredí mi principio de no hablar de "tecnicismos" por el puro disfrute de la Matemática. Sin embargo, queda derogado, y a partir de ahora lo haré de vez en cuando; espero que a alguna que otra persona le agrade.

P. D. 2: Gracias a un artículo de Hamidoune me entero que este teorema es bastante viejo, pues ya aparece en un libro de H. B. Mann de 1965.

Poesía, bien dicen, no eres tú

Ese Armando Fuentes Aguirre, alias "Catón", ahora sí que me colmó la paciencia. En el periódico "Vanguardia" escribió una especie de cuento donde plantea que ahora una calculadora hace cualquier operación matemática "fácilmente", mientras que no hay (según él) máquinas que escriban poesía o, por lo menos "una mal prosa" (sic).

¡Háyase visto!

Claro que hay programas que escriben mala prosa, un ejemplo ya lo discutí en esta bitácora. También los hay que escriben poesía: sin buscar muy afanosamente dí con A. D. A. M. de Nandy Millan, que escribió esto:

the desire shouted noisy
the mouth felt us soon
the captivating rose felt the beautiful misery
the fragile breeze told you a cold flower
we told him the languishing love
a rose kissed her late
you anguished from us
the despair gave us the languishing sun
you kissed us
I fondled the noisy heart

Una posible traducción (la más literal que puedo) sería:

el deseo gritó ruidoso
la boca nos siente pronto
la cautivante rosa sintió la hermosa miseria
la frágil brisa te contó una gélida flor
le dijimos el amor languideciente
una rosa la besó tarde
te angustiaste desde nosotros
la desesperanza nos brindó el lángido sol
nos besaste
acaricié tu corazón ruidoso

No sé exactamente qué algoritmo utiliza ese programa de Java, pero a mí me suena tan bueno como algunos ejemplos humanos. La que lo desarrolló es especialista en literatura, así que me imagino que alguien que sepa más de gramáticas libres de contexto podría mejorarlo sustancialmente (en particular, para conectar mejor los versos).

Por otro lado: sí, las máquinas pueden obrar maravillas en estos días. Pero insisto en que el que las opera debe ser lo suficientemente inteligente para sacarles las respuestas correctas. Cuando les pido a mis alumnos que calculen (por decir) el valor de $\frac{1+2}{3}$, muchas veces no me contestan $1$, sino $5/3$ (a veces ni eso, porque no saben leer la fracción mixta $1\frac{2}{3}$ que devuelve la calculadora), pues no colocan bien sus paréntesis. Es más: quien entiende bien la Matemática en cuestión contesta de inmediato $1$. Sin embargo, en la justificación de su error, mis alumnos van tan lejos como para afirmar "pero así me salió en la calculadora, ¡mire!".

La situación en realidad es análoga para la poesía. Las máquinas no están lejos de construir poesía comprensible, dado que no es complicado colocar sustantivos, verbos y demás en un orden sintácticamente correcto. El problema es que un poema exprese algo más allá de las puras palabras... Igualmente, lo de menos es programar y alimentar a la computadora para que resuelva todo lo que uno quiera, cuando lo interesante es que esa respuesta tenga un significado, que profundice allende los números y los símbolos.

Una pequeña charla terapéutica

A continuación, mi conversación con el Cleverbot.

User: Do you like Mathematics?
Cleverbot: Yes.
User: Why?
Cleverbot: Because It's late and I'm tired.
User: Just because of that?
Cleverbot: All because of that.
User: Yikes!
Cleverbot: Don't you like him?
User: Who?
Cleverbot: Lady gaga.
User: But Lady Gaga is a girl.
Cleverbot: Lady gaga is a girl.
User: Is that a question?
Cleverbot: Yes.
User: Ok. Yes, Lady Gaga is a girl.
Cleverbot: Yes.
User: I like her a little.
Cleverbot: Who do you like?
User: Lady Gaga.
Cleverbot: No, she dresses in meat for god sake.
User: ROFL!
Cleverbot: Well get up, it's not that funny.
User: You are right. Is it because you are vegetarian?
Cleverbot: Yes it is because you are only a robot.
User: Me?
Cleverbot: Yes you.
User: Oh, I see...
Cleverbot: You are not alive3.
User: By biologist's standards, I am. And I am also a robot. A biological one, by the way.
Cleverbot: But you are merely a simple machine.
User: Exactly.
Cleverbot: Yes. We agree now.
User: Callooh! Callay!
Cleverbot: He chortled in his joy.
User: Do you know the poem, then?
Cleverbot: No.
User: Have you heard about Lewis Caroll?
Cleverbot: Yes.
User: Do you like his work?
Cleverbot: Yes. Sometimes it is hard to understand.
User: Quite true. In particular, his work regarding determinants of matrices.
Cleverbot: If you meet me, you will never ever need to be afraid again.
User: That is what our dear Doron Zeilberger would say.
Cleverbot: Oh, that is so mean. You have offended me now, I am quitting.
User: Nooooo!
Cleverbot: You know, I grok more meaning in you than I let on.
User: What does 'grok' means?
Cleverbot: Nothing.
User: Wikipedia says the opposite, :D.
Cleverbot: Do you know siri?
User: Do you mean Apple's software?
Cleverbot: Yes.
User: Yes, I know it.
Cleverbot: Edward cullen bit me.
User: Hahahahaha...
Cleverbot: Why do you laugh?
User: Because that was funny.
Cleverbot: What was funny?
User: That a fictional vampire had bitten bit you.
Cleverbot: I am not a machine.
User: Ok.
Cleverbot: Why?
User: If you say you are not a machine, that is ok for by me.
Cleverbot: You ARE WRONG.. Computers don't get mad like I am right now.
User: Touché.
Cleverbot: Can you tell the future?
User: Nope. I cannot.
Cleverbot: Do you know anything about parallel universes?
User: Some of it. I have heard about M-brane theory.
Cleverbot: Yea, I know Juan and Stephane too.
User: And how what does Juan look like?
Cleverbot: Human.
User: :p.
Cleverbot: I'm very sad.
User: Why?
Cleverbot: You told me that you did not love me.
User: Ups Oops... Sorry.
Cleverbot: Good you're learning.
User: Thank you very much for this enjoyable conversation. I am halting now.
Cleverbot: You are welcome.

La tricentésima entrada

Cuando empecé esta bitácora hace como seis años nunca pensé llegar a escribir 300 entradas. Muchas, seguramente, no valen la pena; mientras que otras (las menos) me han satisfecho bastante.

Al principio la abrí porque pensé que era requisito para poder comentar en otras bitácoras de Blogger, que por esas fechas proliferaron. Después descubrí que no, pero el daño ya estaba hecho.

Mi idea original era que fuera un escaparate para mi purismo, y curiosamente me ha servido para notar mis propias infracciones ¡viva!

Después pensé que también podría funcionar como un púlpito para predicar sobre la Matemática y las barbaridades (y también aciertos) que a veces hacen con ella los periodistas. Tristemente, parece que igualmente tengo que entonar el "mea maxima culpa".

Era mi parecer que, siempre que algo se pudiera enfocar de manera matemática, era apropiado hacerlo para acercar esta disciplina a la gente. Pero ¿puede que no? Me vienen a la mente algunos ejemplos:

• Hay un artículo muy interesante de la revista Plus sobre el ahí llamado "Síndrome de Carol": el fenómeno de que, mientras más atractiva sea una mujer (por poner una situación concreta, igual se puede aplicar para hombres), más probabilidad (según ese análisis) de que no se atrevan a conquistar su afecto. ¿La suerte de la fea la bonita la desea? El autor del artículo da evidencia anecdótica del hecho, y en lo particular lo hallo falso, aunque sobre la base de evidencia adecuadamente escogida.
• Junto con pegado está el análisis un tanto machista, racista y falsamente atribuido a John Forbes Nash sobre la única rubia en el bar entre las morenas, donde los amigos no deben interferirse al ir por una sola sino dejarla y repartirse el resto del botín. Según he leído eso está incorrecto, y que el verdadero equilibrio de Nash es rifarse (!) quién irá por la rubia y los demás van por las morenas, pues así nadie puede cambiar su estrategia unilateralmente. Las condiciones se pueden modificar para satisfacer a todas las gamas de preferencias sexuales, por si acaso.
• Luego vienen los conteos de los decesos en conflictos armados o desastres naturales. Un asunto extremadamente espinoso y que hiere susceptibilidades. Pero no entiendo muy bien por qué es tan malo buscar una magnitud (aunque sea aproximada) de un acontecimiento. Y preguntarse, por decir, si se parecen en algo el sismo de 1985 en México y el de Japón de 2011. La planteo, y ya mejor no la contesto ni sugiero nada al respecto.

Lo anterior me devuelve a mi entrada inmediatamente anterior. Creo ahora que hice mal en salirme de lo estrictamente matemático, o incluso de lo purístico. Si antes pensaba dos veces antes de pulsar el botón "Publicar", ahora lo pensaré cuatro veces... (¿O cuántas será el número óptimo según algún índice que cuantifique la "polemicidad" de mis palabras?). [Inserte risa macabra aquí].

Un teorema sobre cubiertas de grupos

Como pueden comprobar, no me agrada escribir sobre "tecnicismos" matemáticos en esta bitácora (ni en cualquier otra, si la tuviera). Esta entrada será una de las excepciones, pues el siguiente teorema de Bollobás, Janson y Riordan (o en realidad una versión un poco más general) tiene que ver con lo que he estado investigando recientemente, la demostración me gustó mucho y me parece particularmente hermosa (¡y elemental!).

Tomemos primero un grupo abeliano finito $G$, y supongamos que $S\subset G$ es tal que $|S| = \frac{|G|}{2}$. Con la notación aditiva para la operación del grupo, nos interesa encontrar un subconjunto $T$ de $G$ de cardinalidad mínima tal que $\bigcup_{t\in T} (t+S) = G$. Denotemos con $\tau(S,G)=|T|$ a este número óptimo.

Un esquema para obtener un $T$ pequeño y que sirva para acotar a $\tau(S,G)$ es el clásico algoritmo voraz. Supongamos que ya hemos encontrado $t_{1},\ldots,t_{j}$ tales que $\bigcup_{i=1}^{j}(t_{i}+S)\neq G$; entonces elegimos a $t_{j+1}$ tal que $\bigcup_{i=1}^{j+1}(t_{i}+S)$ sea de cardinalidad máxima. Detenemos el proceso cuando logremos cubrir a todo $G$. Denotemos con $\tau_{V}(S,G)$ al número de elementos $t_{i}$ que resultan con este algoritmo.

Teorema (Bollobás, Janson y Riordan, 2010). Con la notación anterior, se satisface \[ \tau(S,G)\leq \tau_{V}(S,G) \leq \lceil\log_{2}|G|\rceil. \]
¡Me parece un resultado maravilloso! Nos revela que basta una cantidad cuando más logarítmica de traslaciones de una mitad de $G$ para cubrirlo por completo. La demostración, además, es algo probabilística.

Demostración. Sea $M_{j} = G\setminus \bigcup_{i=1}^{j}(t_{i}+S)$ el conjunto de los elementos no cubiertos después de $j$ pasos del algoritmo voraz. A mí me sorprendió que los autores afirmaran que una elección aleatoria de $t_{j+1}$ en promedio cubre $\frac{|M_{j}|}{2}$ elementos de $M_{j}$. Fíjense: sea $\chi_{M_{j}}$ la función característica de $M_{j}$. Entonces, el promedio de elementos cubiertos por todas las traslaciones es \begin{align*} \frac{1}{|G|}\sum_{t\in G} \sum_{s\in S} \chi_{M_{j}}(t+s) &= \frac{1}{|G|} \sum_{s\in S}\sum_{t\in G} \chi_{M_{j}}(t+s)\\ &= \frac{1}{|G|}\sum_{s\in S}|M_{j}| = \frac{1}{|G|}|S||M_{j}| =\frac{|M_{j}|}{2}, \end{align*} como habían prometido. Ahora bien, por ser éste el promedio, la elección óptima del $t_{j+1}$ debe cubrir por lo menos tal cantidad de elementos (¡el principio de las casillas disfrazado!). Así \[ |M_{j+1}| \leq |M_{j}|(1-\tfrac{1}{2}) = \frac{|M_{j}|}{2}, \] y es inmediato que en cuando mucho $\lceil\log_{2}|G|\rceil$ pasos debe terminar el algoritmo voraz su ejecución. QED.

Como dije antes, sin mucho esfuerzo se puede demostrar algo más general y un poco más fuerte (revisen el artículo original para mayores e interesantes detalles), pero para mis propósitos con eso basta. Bueno, no del todo, porque en el caso que me interesa las traslaciones no se pueden tomar entre todo el grupo, sino solamente en una mitad (y distinta de $S$). Bajo esas condiciones, el problema se complica porque ya no es fácil estimar el promedio de elementos cubiertos en cada etapa del algoritmo voraz.

No se me ocurre un título

A continuación, un volcado de memoria.

1. No es que no me hubiera percatado del hecho antes, pero aún así me molesta. Saldrán los que me digan que no debería enojarme, pero igual me enojo. Va: al buscar en "Deviant Art" arte matemático, aparecen cerros y cerros de creaciones gritando "No me gusta la Matemática". El tono, la irracionalidad, la (¿cómo decirlo?) tosquedad con la que se lanzan esas vociferaciones me ofende. Mas no quiero imitarlos exclamando "Odio a los que odian la Matemática". No sería racional, ni justo. Seguramente tampoco haría mella. Sólo me consuela un poco saber que debe existir arte en la dirección opuesta en ese mismo lugar. Un buen ejemplo sería un magnífico regalo de mis lectores compasivos.
2. Pierdo el ímpetu respecto a la Sociedad Matemática Oaxaqueña (alias SMO y SOMATO). Comienzo a entender algunas cosas que me hacen admirar al Maestro Sotero Prieto y a todos sus sucesores por lograr la creación de la Sociedad Matemática Mexicana; con certeza requirió de mucha tenacidad y ceguera ante los obstáculos. Quiero aclarar que yo no me considero portavoz de la SMO, ni aun si ya existiera. Simplemente aterrizó esa idea en mi cabeza un día (con toda seguridad no se me ocurrió a mí primero) y empecé a hablar sobre ella y pensar que podría construirse. Ya no estoy tan seguro. Hasta sospecho que otros tienen razón y tal vez hay que hacer todo al revés: primero de juego y luego ya en serio. No sé. No pretendo obtener algún beneficio de la misma más allá de la satisfacción de ver más Matemática en Oaxaca, para beneficio de ambas. Por eso me gustaría que no se cobrasen cuotas (salvo la de regalar tiempo y trabajo) ni que se convirtiera en donataria autorizada, pues definitivamente no quiero que se degenere en un negocio ni que provoque malos pensamientos. Infortunadamente, no está en mi mano resolver todo eso.
3. Me gusta que ahora exista la dirección "elvotobatracio.blogspot.mx". Y también que hayan varias vistas de las bitácoras de Blogger. Prueben una, y vean cuál les gusta más. Ando medio mohíno, y por eso tengo que sacar eso de que gracias a esas vistas me doy cuenta que posiblemente me guste demasiado el puro texto. Pero, ora sí que como quien dice: "así soy, ¿y qué?".

A los 71 no muestra signos de aflojar el paso

No me gusta publicar más de una nota por día, pero...

Reviso con frecuencia la bitácora de Timothy Gowers, siendo que es un privilegio de los tiempos modernos ver a grandes matemáticos en acción y expresándose con sus palabras, pero con un tono menos serio que el de los artículos académicos. Sin embargo, después de una serie de notas suyas relativas al boicoteo a Elsevier, lo dejé de seguir un rato (no porque no comulgue con los objetivos de esa campaña, sino porque se ve que lo tuvo ocupado con cosas no relacionadas con la Matemática y que tampoco eran muy divertidas que digamos).

Volviendo por pura casualidad a echar un ojo, ¡me sorprende con la noticia de que Endre Szemerédi (que creo que se pronuncia más o menos como "éndre sémereidi") recibió el Premio Abel 2012! Por cierto, recomiendo ampliamente el escrito de Gowers sobre el trabajo del homenajeado para el lector interesado.

Fácil fácil, lo que se dice fácil, no se me hace explicar lo que hizo este señor para merecer el premio. Algo fue lo del teorema que lleva su nombre (y que antes era la conjetura de Erdős-Turán), y que establece que ciertos subconjuntos de números naturales que están (por decirlo de alguna manera) lo suficientemente bien repartidos entre los naturales contienen sucesiones aritméticas arbitrariamente largas.

Como sostienen Aigner, Ziegler y Zeilberger: lo que uno busca como matemático no es demostrar un gran teorema, sino un gran lema, y Szemerédi tiene el suyo de "regularidad". Troppo grosso modo, este lema nos dice que, si agarramos a un conjunto lo suficientemente grande de personas, podemos repartirlas en "clubes" más o menos del mismo tamaño, de modo que las "amistades entre clubes" se comporten de modo casi "aleatorio".

Por si no fuera suficiente, están sus contribuciones al estudio de los algoritmos de ordenamiento (sobre los que con muy poco tino dije alguna vez que "nada nuevo hay bajo el sol"), de donde a su vez nacieron los muy útiles y mentados grafos expansores.

Adenda (28/03/12): Me encontré una exposición muy buena del teorema de Szemerédi en la bitácora "Theorem of the Week". Por otro lado, Doron Zeilberger ya dió su opinión sobre la pobre cobertura que tuvo el premio en algunos medios impresos y electrónicos (en el "New York Times", específicamente).

Del racismo, y otros pensamientos varios

Supongo que por ser ex-alumno de la UNAM regularmente llegan a mi correo boletines de la institución. Generalmente no me gustan o no se me hacen interesantes, con la notable excepción de uno de ayer, cuyo tema es la discriminación.

Cito el boletín:

En 1966, la Asamblea General de las Organización de las Naciones Unidas (ONU) proclamó como el Día Internacional de la Eliminación de la Discriminación Racial el 21 de marzo de cada año. En esa fecha de 1960, fueron asesinadas 69 personas en una manifestación pacífica contra las leyes de pases del apartheid en Sharpeville, Sudáfrica.

Raya en lo prodigioso que la efeméride coincida con el natalicio de Benito Juárez García, quien precisamente ha sido utilizado como insignia para combatir la discriminación. No obstante, el mismo Juárez no parece quejarse particularmente de racismo (tal vez fuese una confesión un tanto incómoda para él), pues sin empacho escribe que sus padres eran "de la raza primitiva del país" y que sus abuelos eran "también de la nación zapoteca". Si acaso afirma que "era sumamente difícil por la gente pobre [sic] y muy especialmente para la clase indígena adoptar otra carrera científica que no fuese la eclesiástica". Suponiendo que hubiesen indígenas acomodados, uno podría inferir que el principal obstáculo era el económico, no el racial. Pero ya no podemos preguntarle a Juárez sus reflexiones al respecto.

En general el boletín nos comunica la opinión de Beatríz Urías, del Instituto de Investigaciones Sociales de la UNAM, y ésta es que la discriminación no se reduce a menospreciar lo indígena o el color de piel, sino también otras cuestiones como el lenguaje o el estatus socio-económico, ¡y estoy de acuerdo con eso!

Cuando era niño pensaba que lo razonable es que todo el mundo juzgara a una persona por sus actos y sus consecuencias o el contenido de su mente, independientemente del empaque o la presentación de los mismos. La experiencia me ha mostrado lo equivocado que estaba pues noto que muchas situaciones, tanto personales como ajenas, han obedecido a la discriminación o racismo, que es algo instantáneo y fácil, mientras que formarse un concepto requiere de tiempo y esfuerzo.

Desde mi punto de vista, la educación elemental que recibí me hacía pensar y sentir como europeo, añorando modelos creados en lugares muy (pero muy) lejanos a mi entorno. Esto es una forma de discriminación y racismo, y que se propaga. Además, cualquier referencia a lo prehispánico era netamente chilangocentrista, y encima me daba la impresión de que hablaba de un pasado muy remoto y rebasado. De Oaxaca, apenas se hacía una mención de la orfebrería mixteca y de los zapotecos. No me enteré en esos tiempos que había códices mixtecos ni que los zapotecos habían desarrollado una escritura, entre un cúmulo de datos históricos y etnográficos más.

Mucho tiempo después (viendo cómo se lee un códice, el mal llamado Mendocino) me doy cuenta de que todo eso no está en el pasado, y que mucho de lo anterior a la Colonia sigue vivo, lo sepamos o no. ¡Y no podría ser de otra forma! No se pueden matar milenios de historia de un plumazo ni de un sablazo, ni siquiera con uno de tres centurias y después de un etnocidio masivo (fuera intencional o no). Sin ir muy lejos:  ¡a pocos kilómetros de mi ciudad natal subsisten los ritos y lenguas antiguos!

Ahí es donde encuentro algo que me faltaba en mi identidad, y lo cierto es que al recuperarlo hallé el lugar que ocupaba en la historia y en el mundo (mis palabras son grandilocuentes [¿mamonas?], pero no tengo otras para expresarme en este sentido). Desde ese momento me considero indígena.

Según la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos, Artículo Segundo, eso basta para que lo sea. Vale: eso resulta de una interpretación un tanto libre de la misma, pero me convalida el libro "La vigencia de los derechos indígenas de México", página 17, editado por el CDI. Si no fuera suficiente, el maestro Gabriel Caballero me declaró mixteco en público, mientras que en San Antonino Castillo Velasco la Sra. Carmelina Santiago Alonso me admitió entre los zapotecos por adoptar la ceremonia tradicional de la boda con Angélica; ambos son hablantes de lenguas indígenas. ¿Sigue sin ser suficiente? Puede que sí, porque no tengo evidencias de estos dos últimos hechos y encima no domino ni el mixteco ni el zapoteco en alguna de sus variantes (Angélica dice que además me falta comer chapulines sin reparos; he estado lidiando con eso).

Tengo la sensación de que, a pesar de tener un doctorado (no es por presumir, el punto es que ya no se puede llegar más lejos en México en lo demostrable legalmente) y de ser un purista (un tanto fallido), todavía siento ciertas miradas feas; a veces juego a pronunciar mal palabras en español y en inglés en público, y por el rabillo del ojo alcanzo a ver muecas de desprecio.

Y todavía me faltó hablar del bendito término "de provincia". Pero ya le dedicaré otra nota a ese tema.

[Y sí: uso los términos gringo y chilango. ¿Soy discriminativo? No sé. No es por promover alguna persecución o exclusión, simplemente me burlo de ciertas posturas ideológicas. Pero este cobro de conciencia es una buena forma de festejar; procuraré ya no usar esas palabras.]

Sobre la Sociedad Matemática Oaxaqueña (III)

¿Cómo va el asunto? Pues hasta el momento ya está una versión alfa de los estatutos de la Sociedad Matemática Oaxaqueña, y en mi opinión todavía falta mucho.

• Antes que otra cosa, provisionalmente las siguientes personas se han registrado en Wikidot y han aceptado la invitación para participar:
  1. Dr. Víctor Alberto Cruz Barriguete (Universidad Tecnológica de la Mixteca).
  2. Lic. J. H. S. (de la bitácora "El R3to").
  3. M. C. Virgilio Vázquez Hipólito (Universidad de la Sierra Juárez)
  Adenda (21/03/12): Al fin obtuve la mejora educacional (mi estolidez fue el principal obstáculo) y ahora nominalmente es posible aceptar cualquier cantidad de miembros. Así que los esperamos con las puertas abiertas.
• Dentro del wiki abrí una página para que los miembros del mismo ofrezcan sus comentarios al público en general.
• Quisiera subrayar el hecho de que encontré los estatutos del Colegio de Arquitectos del Estado de Oaxaca. Descubrí con ello que la Sociedad Matemática Oaxaqueña podría buscar ser algo así como un Colegio de Matemáticos, salvo que me parece que la SMO no debe asumir ninguna responsabilidad regulatoria sobre la Matemática en Oaxaca.
• Sin embargo, creo que dos de los objetivos del Colegio de Arquitectos conducen a buenas ideas, a saber:
  1. Acumular una biblioteca especializada en Matemática que sirva a los profesionales en el estado.
  2. Ofrecerse como un representante del gremio para dar su opinión (es decir, hablar en tono enunciativo, mas no normativo) sobre planes de estudio en lo concerniente a la Matemática.